第二节行列式的性质与计算1

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线性代数1.2行列式的性质

如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节行列式的性质
一行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是讨论行列式的变换遵循什么法则.

线性代数之行列式的性质及计算

第二节行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列，得称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++=111211212n i i in n n nna a a a a a a a a +111211212n i i in n n nna a ab b b a a a . 证: 由行列式定义性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．例1: 计算行列式解: 211231231232123223240188(1)3234086204250425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式解: (1)1112132,3,1111100000i r r ni nna a a D a a a a -=+---=221111111001001nna a a a a -=+-(箭形行列式)(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=1[(1)]()n x n a x a -=+--.例3: 设111111111111,kk kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =11111,kk kka a D a a =11121,nn nnb b D b b =证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式: 对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式: 故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=.思考练习 1.计算行列式2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明4.计算行列式2324323631063a b c d a a b a b ca b c dD a a b a b ca b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案2.左边=21111111111111222222222222c c a bb c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++=右边 4. 解: 从第4行开始，后行减前行得， §2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132aa M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式1011025112331x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--= 二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即证（1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地1122j j j j nj nj D a A a A a A =++同理有.推论 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即证考虑辅助行列式1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=（.关于代数余子式的重要性质在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的. 三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.304222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-. 例6: 计算n 阶行列式解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++按第列展1(1)n n n x y +=+-.1110000200(1)(1)!00200001n n nn n n ++=-=---.例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)nn i j j i nn n n nx x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏,其中1()i j j i nx x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.112()nii x x ==-∏按第列展提取公因子2322223111nn n n nx x x x x x ---1()i j j i nx x ≤<≤=-∏.例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式解：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====- 所以有(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368 =----⋅---⋅--=. 第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.iA i=的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有。

第二节行列式的性质

a j1 kai 1 kai 2 kain a n1 an 2 ann
a11 a12 ai 1 ai 2 a1n
a11 a12 a1n a jn a in a nn ain 第i行 a j 1 a j 2 a jn 第j行 a i 1 a i 2
a j1 a j 2 an1 an 2
a11 ai 1 a j1 a n1 a12 ai 2 a1n a11 a12 ai 2 an 2
23 - 10

a1n ain kain a jn ann
ain×k ai 1 kai 1 a j 1 a n1
Chapter 1
第二节行列式的性质
一
行列式的性质
性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的值不变。即
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann D
若k 0，则行列式中有一行全为0，此时行列式的值为0。证明左边按第i 行展开左边 kai 1 Ai 1 kai 2 Ai 2 kain Ain
k (ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain )
右边
Economic- mathematics
48
Economic- mathematics
23 - 3
Thursday, March 07, 2019
性质2 行列式中的某一行（列）若有公因子，则可将公因子提到行列式外，即

§12行列式的性质与计算

§1.2 行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种特殊的方阵，由一个方阵中的所有元素按照一定规则构成。

行列式具有一些重要的性质和计算方法，以下是关于行列式的性质与计算的介绍。

一、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的独立性。

即对于一个n阶行列式，它的行和列都是n个独立的元素，可以独立进行变换，而不影响其他元素的位置。

2.行列式的行和列具有相同的代数余子式。

即对于一个n阶行列式，它的行代数余子式和列代数余子式都是n阶行列式，可以通过伴随矩阵的方式求得。

3.行列式的行和列具有相同的转置矩阵。

即对于一个n阶行列式，它的行转置矩阵和列转置矩阵都是n阶矩阵，可以通过转置矩阵的方式求得。

4.行列式的行和列具有相同的逆矩阵。

即对于一个n阶行列式，它的行逆矩阵和列逆矩阵都是n阶矩阵，可以通过逆矩阵的方式求得。

5.行列式的行和列具有相同的特征值。

即对于一个n阶行列式，它的行特征值和列特征值都是n个独立的特征值，可以通过特征多项式的方式求得。

二、行列式的计算1.按照定义计算。

行列式的定义是一个由方阵中的元素按照一定规则构成的多项式，可以按照定义直接计算。

2.化简计算。

行列式中的元素可以进行化简和约分，使得计算更加简便。

3.公式计算。

行列式有一些常用的公式，可以通过这些公式进行计算。

4.软件计算。

现在有很多数学软件可以用来计算行列式，例如MATLAB、Mathematica等等。

三、特殊行列式的计算1.二阶行列式的计算。

二阶行列式只有两个元素，可以通过交叉相乘的方式计算。

2.三阶行列式的计算。

三阶行列式有六个元素，可以按照展开式的公式进行计算，也可以通过软件计算。

3.n阶行列式的计算。

对于n阶行列式，可以使用Laplace展开式进行计算，也可以使用软件进行计算。

四、行列式的应用1.在解线性方程组中的应用。

通过求解线性方程组的系数矩阵和常数向量，可以得到方程组的解。

而系数矩阵就是一个n阶行列式，因此行列式在解线性方程组中有着重要的应用。

§1.2 行列式的性质与计算

行列式的值不变. 行列式的值不变.
上节例4 0 例1 上节例中计算四阶行列式 1 1 1
用性质计算行列式
1 0 1 1 解： 0 2 5 1 ( 1)r1 + r3 D= 1 x 2 3 0 3 0 1
1
1 1 0 2 5 1 0
0 0
x 3
3 2 0 1
2 5 1 3 5 5 1 3c3 + c1 1+ 1 x 6 3 2 3 2 +6 x 展开1( 1) 0 0 1 0 3 0 1 3
… … …
→1 →i → j
i、 j行互换，行列式变号行互换，、行互换行列式变号.
2 4 2 2 1 1 1
ai 1 D= ain
2 4
… … →i →j
= D
D= 0
性质1.2.4 把行列式的某一行（列）中的各元素都乘以同一常性质把行列式的某一行（乘此行列式的值. 数 k , 等于用数 k 乘此行列式的值推论1.2.2 符号外面. 符号外面. 推论1.2.3 若行列式中有两行(列)元素对应成比例，则此行列若行列式中有两行( 元素对应成比例，推论式值为零. 式值为零. 行列式中某一行（行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式
D=
a a
b a+b
c a+b+c
d a+b+c+d
r3 + r4 = r2 + r3
a b c d 0 a a+b a+b+c 0 0 0 0 a a 2a + b 3a + b
r3 + r4 =
a b
c
d
0 a a+b a+b+c 0 0 a 2a + b 0 0 算例2 解：1

行列式的性质与运算法则

行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。

行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。

一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。

行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。

2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。

3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。

4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。

二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。

1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。

2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。

3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。

4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。

三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。

1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。

利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。

2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。

1-2行列式的性质

a1 b3 a 2 b3 0. a 3 b3
1.解互换行列式D第1行、第4行(r1←→r4)得
0 0 D 0 1
0 0 2 3 0 3 2 3
4 1 2 4 0 2 4 0 0 4 0 0
3 3 3 0
4 4 = −24. 4 4
2. 解
1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2
c2 c 1 c3
d2 d 1 d3
.
性质 2 的证明设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i＜ j ) 两行,得行列式
b11
b12 b1n
b21 b22 b2 n D1 , bn1 bn 2 bnn
其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip , 于是 t( p p p p ) 1 i j n b1 p1 bipi b jp j bnp n ( 1 ) D1
1 0 6 0 0
r4+3r3
0 1 2 1 1 1 0 1 3 0 3 5
1 0 0
2 1 3 4
24
例 9 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
b c d a ab abc a4 0 a 2a b 0 0 a
例 10 计算行列式
a x D x x
解
x a x x
x x a x
x x x a
各行都加到第一行，
a 3x x D x x

线性代数之行列式的性质及计算

第二节行列式的性质与计算 § 行列式的性质考虑111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n Tnn nna a a a a a D a a a =L L L L L L L称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212nnT n n nnb b b b b b D b b b =LL L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L1212()12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑LL 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即111211112112121212n n i i in i i in n n nn n n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=LL L L L L L L L L L111211212n i i in n n nn a a a a a a a a a +LL L L L L L L L L L111211212n i i in n n nna a ab b b a a a L L L L L L L L L L L. 证: 由行列式定义1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即111211212i jn r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L11121112212n i j i j in jn n n nna a a a ka a ka a ka a a a +++LL LL LL L L L L L计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．例1: 计算行列式2324311112321311(1)(2)3234113104251113D --=-解: 211231231232123223240188(1)323408620425425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式12111111(1)(2)111(0,1,2,,)n n ni a x a a a ax a D D a a a xa i n ++==+≠=LL L L L L L L L L L L LL L 解: (1)1112132,3,11111000000i r r n i nn a a a D a a a a -=+---=L L L L M M M M ML22111111100100010n na a a a a -=+-L L L L L L L L L L L L L L(箭形行列式) 11223122,3,,11110000iinc c i ia n i nna a a a a a a +==++∑=L LL L L L L L L2312122111(1)(1)nnn n n i i i ia a a a a a a a a a a ===++=+∑∑L L L(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,(1)(1)(1)i c c ni nx n aa a x n a x a D x n a ax+=+-+-+-=L L L L L L L L11[(1)]1a a x a x n a ax=+-L L L L L L L12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=L L L L L L L L1[(1)]()n x n a x a -=+--. 例3: 设1111111111110,k k kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =L M M L L L M M M M LL11111,kk kka a D a a =L M M L11121,n n nnb b D b b =L M M L证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式:1111110;kk k kk p D p p p p ==M OL L对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:1121110.nn n nk q D q q q p ==M OL L先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式:11111111110,k kk k n nkn nnp p p D c c q c c q q =M O L L M M M O LL故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=L L . 思考练习 1.计算行列式111222122512123714(1)(2)(2)5927124612n n n n a a a na a a nD D n a a a n+++-+++--==≥-+++-L L M M M M L2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)4(2)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a ab ac aeb b b b bd cdde abcdef c c c c bf cf efd d d d +++-+++-==+++-+++ 4.计算行列式2324323631063abcda ab a bc a b c dD a a b a b c a b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案134152217341.(1)29571642c c D ↔------=3243422152215220113011311(3)39003000300333r r r r r r -++--⨯⨯-⨯---====112122,3,,111111,2(2)0,2111i c c ni nn a n a n a a n D n a n -=+-+--=⎧==⎨>⎩+-L LL M M M M L 2.左边=21111111111111222222222222c c a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+ 32111111111122222222222222c c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c ++-+-=+-=+-+-+-2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b c cd d --++==++=右边4. 解: 从第4行开始，后行减前行得，002320363a bcda ab a bc D a a b a b ca ab a bc +++=++++++4332r r r r -=-0002003a b c d a a b a b c a a b a a b +++++43r r -=0002000a b c da ab a bc a a b a++++4a =§ 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：111213212223313233a a a a a a a a a 222321232123111213323331333133a a a a a a a a a a a a a a a =-+可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132a a M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式11102511230301x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--=二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即11221122(1,2,,)(1,2,,)i i i i in inj j j j nj nj D a A a A a A i n D a A a A a A j n =++==++=L L L L 或证（1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200nn n nna a a a D a a a =L LL L L L L1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑L LL L2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑LL L 1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）1111100j n ij n nj nna a a a D a a a =L L M M M M ML LM M M M M L L 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行;将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000n i i in n n nn a a a D a a a a a a =+++++++++LL LL LL L L L L L L L L11121111211112112121212000000n n n i i in n n nn n n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LLL1122i i i i in in a A a A a A =++L1122j j j j nj nj D a A a A a A =++L 同理有.推论 n 阶行列式111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =L L L L L L L的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即112211220()0()i s i s in sn j t j t nj nt a A a A a A i s a A a A a A j t ++=≠++=≠L L 或证考虑辅助行列式1111121222112j j n j j nn nj nj na a a a a a a a D a a a a i j =L L L L L L M M M M M M M L L L 列列1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠L 按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=L （.关于代数余子式的重要性质1,,0,;n ki kj ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑ 1,,0,;nik jk ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑1,0,.ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩，其中在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式414243443402222,..075322ij ij D M M M M M a =+++--求的值其中为的余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.414243441424344441424344111(1)1M M M M A A A A A A A A +++=-+++=-⋅+⋅+-⋅+⋅3040222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-.例6: 计算n 阶行列式00001000000020(1)(2)0000001000000n n x y x y D D x y n y x n ==-L L L L M M M M M M M M M M M L L L L解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++L 按第列展1110000000000000(1)(1)00000000000000n xy y x y x y x y x y y x x y++=-+-L L L L M M M M M M M M M M M M L L L L1(1)n n n x y +=+-.11111212111(2)nn n D a A a A a A =++L 按第列展1110000200(1)(1)!00200001n n n n n n ++=-=---LL M M M M M L L .例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得 22[()()]a b a bD a b a b a b a b +-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)n n i j j i n n n n n x x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏L L LL L L L , 其中1()i j j i n x x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.21311222221331111121222133111111000n n n n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------L L L M MM M M L 2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------L L L M M M M ML112()n i i x x ==-∏按第列展提取公因子 2322223111n n n n n x x x x x x ---L L L L L L L 1()i j j i nx x ≤<≤=-∏. 例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式 1111437516949256427343125D -=- 解：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====-所以有14()i j j i D x x ≤<≤=-∏213141324243()()()()()()x x x x x x x x x x x x =---⋅--⋅-(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368=----⋅---⋅--=.第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式1424344411713180,..21435125ij ij D A A A A A a -=+++-求的值其中为的代数余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算. 14243444142434441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅ 它是D 中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有 142434440.A A A A +++=。

2.2 行列式的性质与计算

a n1
an 2 ann
a n1
an 2 ann
10
a11
a12 an 2 a12 a1n bi 2

a1n
性质5 bi 1 ci 1
an1 a11 bi 1 an1
bi 2 ci 2 bin cin a11 an1 ann a12 a1n ci 2 cin
例9 证明范德蒙行列式(n≥2).
1 x1
2 Vn x1
1 x2
2 x2
1 x3
2 x3

1 xn
2 xn ( xi x j ),

n x1 1

n x 2 1

1 j i n
n n x 3 1 x n 1
证 n = 2:
1 x1
1 x2
x2 x1 , 结论成立.
2r1 r2 r1 r3
1
2
3
0 2 3 0 1 2
1 r2 r3 2
1
2
3 3 1 1 2
0 2 0 0
21
x
y x y
y y x
y x y
y y x
例7 计算 Dn
y y

.
x ( n 1) y
y y x
9
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式为零．
a11 ai 1
a12 a1n ai 2 ain
a11 ai 1
a12 a1 n ai 2 ain

k 0 ai 1 ai 2 ain kai 1 kai 2 kain

1.2 行列式的性质与计算

3
第一章行列式
§1.2 行列式的性质与计算
证明 (利用数学归纳法证明对 1 阶行列式，性质显然成立；利用数学归纳法证明) 阶行列式，性质显然成立；利用数学归纳法证明阶行列式成立，假设对于 n − 1 阶行列式成立，则对于 n 阶行列式有
D = ∑ a i j Ai j , ( j = 1 ~ n ) , ⇒ nD = ∑ ∑ a i j Ai j ,
第一章行列式
§1.2 行列式的性质与计算
a11 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ai 1 ⋯ a in ⋮ , a i 1 A j 1 + ⋯ + ain A jn = ⋮ ai 1 ⋯ a in ⋮ ⋮ an1 ⋯ ann
第i行
相同
第 j行
当 i ≠ j 时, a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a in A jn = 0, ( i ≠ j ).
i =1 n
n
n
j =1 i =1
n n ~ ~ ~ ~ A = 同理 nD = ∑ ∑ ak l k l ∑ ∑ a k l ⋅ ( −1) k + l M k l T n n l =1 k =1 n n l = 1 k =1 n n
= ∑ ∑ al k ⋅ ( −1)
l = 1 k =1 n n
证明只需将上式右端行列式的第 j 列拆开即可证明列拆开即可证明. 12
第一章行列式
§1.2 行列式的性质与计算
四、关于代数余子式的重要性质
a11 a12 a13 引例已知 a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 = a 21 a22 a23 , a 31 a32 a33 4 a12 a13 5 问 (1) 4 A11 + 5 A21 + 3 A31 = ? a 22 a23 ; 3 a 32 a33 b1 a12 a13 b ( 2) b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 = ? 2 a22 a23 ; b3 a32 a33 a12 a12 a13 a ( 3) a12 A11 + a22 A21 + a32 A31 = ? 22 a22 a23 = 0 . a32 a32 a33

§2 行列式的性质与计算

1 2 n

j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn

p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零．比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0

2.2 行列式的性质与计算

1 2 例计算 D 4 3 7 解 2 D 0 3
4 1 4 1 4 3 2 3 11 0 9 2
0 17 8 7 17 8 1 4 3 ( 1) 2 2 0 5 5 0 5 5 3 9 2 0 9 2
7 17 8 0 5 5 3 9 2
a1 n ain a jn kain ann
a1 n ain kain ann
det A k 0 det A
a11 （ 3） a j1 det A3 ai 1 an1 a11 ai 1 a j 1 ai 1 an1
2.2
2.2.1. 2.2.2.
行列式的性质与计算
行列式的性质行列式的计算
2.2.3
方阵乘积的行列式
2.2.1
行列式的性质
性质1 行列式按任一行展开，其值相等，即 det A ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 a in Ain ,
其中 Aij ( 1)
4 0 例 2 1 D 0 0 7 4
b

A E1 E2 E s
det( A ) det( Es E2 E1 )
T
T
T
T
(det Es )(det E2 )(det E1 )
(det Es )(det E2 )(det E1 ) det( E1 E2 Es )
det A
T
T
T
说明
行列式的性质对行成立的，对列也同样成立.
D a n 1b
a n 1b
a n 1b a n 1b
b a b b

a ( n 1)b 1 1

2.2 行列式的性质

2
1
2
0
0 1
1 1 2
0 1 1
2 2 0
×1 ×(-2)
2 1 10
2 1 10
1 1 0 2
1 1 1 2
0 1 1 2
×1
×3
0 1 1 2
0 1 1 2
0 0 2 4 ×(-1)
0 3 1 4
0 0 2 2
二、行列式的计算举例
第2章方阵的行列式 18
如 a1 b1 c1 2 1
a2 b2 c2 3 0
a3 b3 c3 1 5
a1 2 1
b1 2 1
a2 3 0 b2 3 0
a 3 1 5
b31 5
c1 2 1 c2 3 0
c3 1 5
一、行列式的性质
第2章方阵的行列式 15
性质5 行列式某一行(列)的所有元素乘以同一数，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．
一、行列式的性质
第2章方阵的行列式 16
证明
a11
L
ai1 kas1 L
as1 L
an1
a11 a12 LL
ai1 ai2
L L
as1 as 2 LL
an1 an 2
a12
L
a1n
LLL
ai2 kas2 L ain kasn LLL
as 2
L
asn
LLL
an 2
L
ann
L a1n LL
对列也成立
a1 b1 2 1 a2 b2 3 0 a3 b3 1 5
a1 2 1 b1 2 1 a2 3 0 b2 3 0

行列式的性质与计算

1 b ba
1b bb
a (n 1)b
ab
ab 0
0 ab
a (n 1)b(a b)n1.
a0 1 1
1
1 a1 0
0
例求行列式的值 D 1 0 a2
0
100
an
解
D
c1
(
1 a1
)c2
(
1 an
)cn1
a0
1 a1
0
0
0
1 an
1 a1 0
0
1 0 a2
0
1 0 0
an
(a0
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12.
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
11
1
x1 x2
xn
Dn x12
x22
xn2
x x n1
n1
1
2
x n1 n
rn ( x1 )rn1 1 rn1 ( x1 )rn2 0
1 16 81 256 625
解 D5 是 5 阶范德蒙行列式
D5
(xi xj )

行列式的性质和计算

例
i+ j
4 0 0 1 4 0 0 2 1 3 1 = 22 1 3 = 2×4 1 3 D= 4 3 0 0 0 2 7 4 3 7 4 3 2
= 2×4 ×(15)
例计算解
a11 a12 a1n a22 a2n Dn = 0 a1,n1 a2,n1 ann
Dn = ann
证
不可逆时：当A不可逆时设不可逆时
初等行变换 A R(最后一行的元全为零) →
即存在初等矩阵 E1, E2, ..., Et， A = E1E2 Et R
det R = 0 det A = (det E1 )(det Et )(det R) = 0.
不可逆又A不可逆 AT不可逆不可逆所以 det AT = 0.
2 A ≠ 2A
k An×n = k A ≠ k A .
n
初等矩阵与任一方阵A乘积的行列式：初等矩阵与任一方阵乘积的行列式：乘积的行列式
det(Eij A) = det A = (det Eij )(det A), det(Ei (c) A) = c(det A) = (det Ei (c))(det A),
det(Eij (c) A) =det A = (det Eij (c))(det A).
对任一初等矩阵 E , det( EA ) = (det E )(det A )
设E1 , E2 ,, Et为初等矩阵，则为初等矩阵， det( E1 E2 Et A) = (det E1 )(det Et )(det A)
1 7 5 r3 + ( 3 )r1 0 10 3 0 15 5 1 7 5 r3 + 3 r3 0 5 2 0 0 1
1 r2 r3 0

高考数学知识点解析行列式的性质与计算

高考数学知识点解析行列式的性质与计算高考数学知识点解析：行列式的性质与计算在高考数学中，行列式是一个重要的知识点，它在解决线性方程组、向量的叉积等问题中发挥着关键作用。

接下来，咱们就一起深入探讨行列式的性质与计算方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、行列式的定义首先，咱们来了解一下行列式的定义。

对于一个二阶行列式，它的形式是：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼对于一个三阶行列式，其形式为：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼从二阶和三阶行列式的定义，我们可以推广到更高阶的行列式。

二、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。

所谓转置行列式，就是将原行列式的行与列互换得到的新行列式。

例如，二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼它的转置行列式为：＼＼begin{vmatrix}a ＆ c ＼＼b ＆ d＼end{vmatrix}＼这两个行列式的值是相等的。

2、互换行列式的两行（列），行列式的值变号。

比如对于二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼如果将第一行和第二行互换，得到：＼＼begin{vmatrix}c ＆d ＼＼a ＆ b＼end{vmatrix}＼那么这个新行列式的值是原行列式值的相反数。

第二节行列式的性质与计算1

a11+b11 a21+b21 … an1+bn1
a12 … a1n a22 … a2n … … … an2 … ann
(1)
(1)
( i1i2in )
(ai1 1 bi1 1 )ai2 2 ainn ai1 1ai2 2 ainn bi1 1ai2 2 ainn

性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． a11 a1i a1 j a1n 即 a 21 a 2 i a 2 j a 2 j k
a n1 a ni
a11
a nj
a nj
a1n a nj
９
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.
a11+b11 a21+b21 例如，D = … an1+bn1
a12 … a1n a22 … a2n … … … an2 … ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a21 D= … an1
a12 a22 … an2
… a1n b11 a12 … a1n … a2n b21 a22 … a2n … … + … … … … . … ann bn1 an2 … ann
设排列 p1 p j pi pn 的逆序数为t1 , 则有
５
故
1 1 , t D1 1 a1 p aip a jp anp D.
t t1
1 1 j i n
a11 例如 a 21 a12 a22
a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21

1.2 行列式的性质与计算

n n x3 2 ( x3 x1 ) xn 2 ( xn x1 )
按第一列展开，并把每一列的共因子 ( xi x1 ) 提出，有
1 x2 Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) n x2 2 1 1 x3 xn n n x3 2 xn 2
一、行列式的性质 a11 a12 a1n 记 a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 T D
a1n a2 n ann
行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即D=DT。证明令 D det(aij ) T 则 D det aij 的转置行列式为 D det a ji
性质3
证明
互换行列式的两行（列）,行列式变号.
设行列式 D ( 1) a1 p1 aipi a jp j anpn
t
其中 1 i j n 为标准排列
t 为排列 p1 pi p j pn 的逆序数
ri rj
D1 1 a1 p1 a jpi aip j anpn
4 5 0
c3 c2
3 100 1 1
8 4 5 0 0 0
100 20 2000
例2
1 1 1 x1
1 1 x 1 1
1 x 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 0 0 x x x 0 0 0 x x x 0 0 0 x
解 D

1 xn 2 xn
n n x2 1 xn 1
解
将前一行乘以 x1 加到后一行上（从后往前）

工程数学II第二节行列式的性质和计算

a1n
ai1
ai 2
ain
ai1 ai2
ain

a j1 kai1 a j2 ．kai2
a jn kain a j1 a j2
a jn
an1
an 2
ann
an1 an2
ann
为叙述方便，引进以下记号：
（1）交换行列式的 i, j 两行（列），记
为 ri rj (ci c j；)
i （2）第行（列）乘以 k ，记作 ri k (ci k )，第 i行（列）提出公因子 k ，记作ri k (ci k)； i （3）将行列式的第行（列）乘k 加到第 j 行
（列）上，记为 rj kri (c j kci )．
．
例1 计算
1201
1350 D
置行列式，即（DT）T D
性质1 行列式与其转置行列式相等，即 DT D
性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号．推论行列式有两行（列）相同，则此行列式为零．性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以
k k 同一数，等于用数乘此行列式．
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零．
性质4 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零．
性质5 将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不
变．即第 k 行乘i 加到第 j 行上，有
a11
a12
a1n
a11 a12
babb D
bbab
解
bbba

第二节 行列式的性质与计算1

线性代数1.2行列式的性质

线性代数之行列式的性质及计算

第二节 行列式的性质

§12行列式的性质与计算

§1.2 行列式的性质与计算

行列式的性质与运算法则

1-2行列式的性质

线性代数之行列式的性质及计算

2.2 行列式的性质与计算

1.2 行列式的性质与计算

§2 行列式的性质与计算

2.2 行列式的性质与计算

2.2 行列式的性质

行列式的性质与计算

行列式的性质和计算

高考数学知识点解析行列式的性质与计算

第二节 行列式的性质与计算1

1.2 行列式的性质与计算

工程数学II第二节 行列式的性质和计算

第二节行列式的性质与计算1

第二节行列式的性质

第二节行列式的性质与计算1

工程数学II第二节行列式的性质和计算