澈力木格 论文

泰勒公式的应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，也是数学中的一类基本问题，本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述。

文章首先是介绍泰勒公式的定义，然后是泰勒公式应用的阐述，体现在求行列式的值、函数极限，计算近似值，求不等式的证明,求初等函数的幂级数展开式。

关键词： 泰勒公式 行列式 极限 级数 近似值 不等式泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分中将函数展开成无穷级数而定义出来，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到阶导数，由这些导数构成一个次多项式()()()()000!1x x x f x f x T n -'+=()()200!2x x x f -''++……+()()()n n x x n x f00!-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直到阶导数，则有()x f ()()()nn x x x T 00-+= ，即()()()()()()()()()00200000!!2x x n x fx x x f x x x f x f x f n -++-''+-'+= +()()n x x 00-称为泰勒公式 。

众所周知泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值，判断行列式的值、函数的极限，计算近似值，求不等式的证明等方面。

一、利用泰勒展式求函数的幂级数展开式如果函数()x f 在0x x =处存在任意阶的导数，这时称形式为()()()()()+-''+-'+200000!2x x x f x x x f x f ……()()()+-+nn x x n x f00! (1)的级数为函数()x f 在0x 的泰勒公式。

如果()x f 能在0x 的某领域上等于其函数级数的和函数，则称函数()x f 在0x 的这领域内可以展开成泰勒公式，并称等式()x f = ()()()()()+-''+-'+200000!2x x x f x x x f x f ……()()()+-+nn x x n x f00!……的右边为在处的泰勒展开式，或称幂级数展开式。

在实际应用上，主要讨论函数在00=x 处的展开式，这时 (1) 式可以写作()()()()()...!0...!20!1002+++''+'+nn x n fx f x f f称为麦克劳林级数。

例1 )()1()(R a x x f a ∈+=展开成幂级数 解：na n x n a a a x f -++--=)1)(1()1()()()3,2,1,0(),1()1()0()( =+--=n n a a a fn++--++-++nx n n a a a x a a ax !)1()1(!2)1(12）内，若在（1,1-1111lim=∴=+-=+∞→R n n a a a nn n++--+++=nx n n a a a ax x s !)1()1(1)(+-+--++-+='nx n n a a a x a a a x s )!1()1()1()1()(+-+--++-+='nx n v a a a x a a ax x s x )!1()1()1()1()(2利用!)1()1(!)()1()!1()1()1(n n m m m n n m m n n m m +--=--+----)()1(x s x '+∴++--++-++=-1222!)1()1(!2)1(n xn n a a a x a a x a a)(x as =1)0(,1)()(=+='∴s xax s x s 且是 两边积分)1,1(,1)()(00-∈+='⎰⎰x dx xa dx x s x s xx)1ln()0(ln )(ln x a s x s +=-得 a x x s )1ln()(ln +=即)1,1(,)1()(-∈+=∴x x x s a牛顿二项式展开式ax )1(+∴)1,1(!)1()1(!2)1(12-∈++--++-++=x x n n a a a x a a ax n的取值有关处收敛性与注意：在a x 1±=);1,1-1收敛域为（-≤a ];1,11--<<收敛域为（a];1,1[1->收敛域为a 时，有当21,1±-=a)1,1()1(11132-+-++-+-=+ nnx x x x x+--++⋅⋅⋅+⋅-+=+nx n n n x x x x !)!2(!)!32()1(64231421211132[-1,1]+--++⋅⋅⋅⋅=⋅⋅+-=+nnx n n x xx x!)!2(!)!12()1(64253142312111132[-1,1]二、利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，课本上介绍了多种方法，如拉格朗日中值定理、函数的凸性以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式一个重要办法。

例2 设)(x f 在[]1,0有三阶导数，且0)0(=f ，21)1(=f ，0)21(='f ，证明在()1,0内至少存在一点ξ，使得分析；能将函数及其一阶导、二阶导数、三阶导数联系在一起的唯有泰勒公式，要判断()12≥'''ξf ，自然考虑对[]1,0∈∀x 在η点展开泰勒公式。

()()()()+-+=ηηηx f f x f ()()()()32!3!2ηξηη-'''+-''x f x f ，（[]1,0∈∀x ），其中ξ在η与x 之间证明：考虑到区间[]1,0，分别取为区间的断点，当[]1,0=x 时，取21=ξ，由泰勒公式得()()312211!3211!22121121211⎪⎭⎫ ⎝⎛-'''+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξf f f f f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,211ξ ()()322210!3210!22121021210⎪⎭⎫ ⎝⎛-'''+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξf f f f f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,02ξ两式相减并化简得 ()()2421='''+'''ξξf f因此，至少有一个的函数值不小于12，即 ()12≥'''ξf例3 证明不等式y y x x ln ln + ＞ ()2ln y x y x ++ ﹙ x ＞0，y ＞0 y x ≠ ﹚证明∶令 ()()t t t f ln = ﹙ ＞0 ﹚则()1ln +='t t f ()01〉=''t t f()t t t f ln =∴在﹙y x ,﹚或﹙x y ,﹚ x ＞0 ，＞0 是凹的，于是 ()()[]y f x f +21＞⎪⎭⎫⎝⎛+2y x f 即[]y y x x ln ln 21+＞2ln 2y x y x ++即＞()2lny x y x ++例 4 设)(x f '在[]1,0上的二阶导数连续0)1()0(==f f 并且当()1,0∈x 时A x f n≤)(，求证：2)(A x f ≤''，)1,0(∈x证明：因为()()()()()()!22000x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ ⑶其中ξ在x 与0x 之间取x x x ==0,0，则泰勒公式为()()()()()()!200001x f x x f x f f -''+-'+=ξ ⑷其中0<1ξ<1≤x ，因为()()001==f f 式（4）减去（3）得()()()()()()[]22211!2101x f x f f f x f -''-''+-='ξξ又()()1.0,∈≤''x A x f 所以()()[]2212x xA x f -+≤'()12222+-=x xA而10≤≤x()11222≤+-x x故()2A x f ≤''三、利用泰勒公式求极限一般是把所求极限式经过变换后，其部分项用泰勒公式替换并注意到()nnxx o ＝0 其次在解题过程中可能用到下面几个情形()nm nmxxx+=⋅0()()()()()()mmnnm nmx x x xx x00000=±±=⋅+ ()n m ≤()()nnx xk 0=⋅ （k 为常数）()nnxxn xxx e 0!!212++++=sim ()()()nn n xn xxxx 2121530!121!5!3+--++---COS ()()n nn xn xxxx 01!4!21142+-+++-=-ln ()()()nnn xnxxx x 012112+-++-=+-()nnxx x x x01112+++++=-例 5 求极限 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 11ln 2解∶由泰勒公式知⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11ln ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-=22101211x x x则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 11ln 2＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--22210211x x x x x 21=例 6 求2cos 22xex -极限解∶ x cos ＝1—!22x+!44x+0()4x＝1—22x+244x+0()4x22xe＝1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x +222!21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x +0()4x＝1－22x+84x+0()4x由此可得x cos 22xe-＝244x+0()4x ()4408xx--＝()44012xx+-∴2cos 22xex --＝()444012xx x+-＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-440121x x＝121-+()440xx＝121＋0＝121-注：带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具，运用得当会使求函数的极限变得十分简单。

四、 利用泰勒公式计算近似值当要求的算式不能得出它的准确值时，既只能求出其近似值，这时泰勒公式是解决这种问题的好方法。