2015年秋高一人教A版数学必修4课件: 第1章 三角函数 1.2 第1课时
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高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ,且α是第四象限角,则sin α=( )
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角,所以sin α<0,
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简:s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二:(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5,
12
【解析】方法一:因为cosα+2sinα= 5 , 所以cosα=-2sinα 5 , 又因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1, 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0,( si5 nα+2)2=0,
sin sin
cos.
答案:cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ,φ∈( ,π),则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1,
【解析】由已知得
sin cos
所以
2,
sin2(sin)2 1, 2
所以sin2φ= 2 ,由φ∈( , π)得sin φ>0,
3
2
限决定的,不可凭空想象.
11
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-2-1任意角的三角函数-2
(1)sinβ________sinα. (2)cosα________cosβ. (3)tanβ________tanα. 答:(1)> (2)> (3)>
(1)三角函数线的特征:①三角函数线的位置:正弦线 为角α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段,余弦线在x 轴上,正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三 条有向线段中有两条在单位圆内,一条在单位圆外.②三 角函数线的方向:正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的 交点,余弦线由原点指向垂足,正切线由切点指向切线与 角α的终边或其反向延长线的交点.③三角函数线的正负: 三条有向线段凡与x轴或y轴同向的,为正值,与x轴或y轴 反向的,为负值.
在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由 此写出角α的集合.
(1)sinα≥ 23;(2)cosα≤-12.
解:直线y=
3 2
交单位圆于A,B两点,连接OA与OB,则
OA与OB围成的区域(图(1)的阴影部分)即为角α的终边范围.
故满足条件的角的集合为{α|
π 3
+2kπ≤α≤
2π 3
+2kπ,k∈
解析:因为π4<1<2π,如图所示:
由三角函数线可得sin1> 22>cos1,故sin1-cos1>0. 答案:>
(2)下列关系式中正确的是( ) A.sin10°<cos10°<sin160° B.sin160°<sin10°<cos10° C.sin10°<sin160°<cos10° D.sin160°<cos10°<sin10°
【解】 如图(1). ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥12. ∴函数定义域为2kπ-π3,2kπ+3π(k∈Z).
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗?
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义.所以sin2α+cos2α=1对于任意角α∈R都成立,而
sin cos
αα=tan
α并不是对任意角α∈R都成立,这时α≠kπ+π2,k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时,其正负号应怎样确 定?
=tan
tan2αsin2α α-sin αtan
αsin
α=tatnanαα-sisninαα=左边,
∴原等式成立.
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质:清除等式两端的差异, 有目的的化简. (2)证明三角恒等式的基本原则:由繁到简. (3)常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右同时证.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简:
1-2sinα2cosα2+ 1+2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式=
cosα2-sinα22+
cosα2+sinα22
=cosα2-sinα2+cosα2+sinα2.
∵α∈0,π2,∴α2∈0,π4.
利用tan α=csoins αα和sin2α+cos2α=1向等号左边式子进行转化;
也可利用tan
α=
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦,结
合sin2α+cos2α=1达到两边式子相等的目的.
证明
∵右边= tan
tan2α-sin2α α-sin αtan αsin
α
=tantaαn2-α-sintaαn2tαacnoαs2sαin α=tantαan-2αsi1n-αctaons2ααsin α
2015年秋高一人教A版数学必修4课件: 第1章 三角函数 1.1.1
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优效预习
第一章
1.1
1.1.1
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●知识衔接
1 .初中我们已经学习过角,那么初中对角的定义是什么 呢?所谓角就是________________. [答案] 由两条具有公共端点的射线组成的图形
第一章
1.1
1.1.1
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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到过海边的人都知道,海水有涨潮和落潮现象,涨潮时, 海水上涨,波浪滚滚,景色十分壮观;退潮时,海水悄然退去, 露出一片海滩.在我国,有闻名中外的钱塘江涨潮,当潮流涌 来时,潮端陡立,水花四溅,像一道高速推进的直立水墙,形 成“滔天浊浪排空来,翻江倒海山为摧”的壮观景象.科学地 讲,潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动, 是海洋中常见的自然现象之一.实际上,现实中的许多运动变 化都有着循环反复、周而复始的现象,这种变化规律称为周期 性.在唐代诗人王湾的《江南恋》中有这样的诗句:“客路青 山外,行舟绿水前.潮平两岸阔,风正一帆悬 .海日生残夜, 江春入旧年.”诗中生动地描述了潮汐运动、昼夜交替的周期 性变化规律.
第一章 三角函数
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第一章
1.1 任意角和弧度制
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质:1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解:(2)当x 2k , k Z时,函数取得最大值,ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
,ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
,ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值?如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么?
(1)y cos x 1, x R; (2)y sin x, x R.
解:(1)当x 2k , k Z时,ymax 11 2,
当x 2k , k Z时,ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例:
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢?
思考:y=sinx,x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt
cos
2
3 2
6, 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时,P( 3 , 5),r 2 2 ,
cos 6 ,tan 15 .
4
3
综上所述:
(1) 当 y 0 时,cP(os 3,1, 0)ta,nr 03.
(2) 当 y 5 时 ,coP(s 3 ,6 ,5 )tan,r2 125,.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值:
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解:(2)∵ 当 时,在直角坐标系中, y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量,以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 :(见教材13页)
一般地,设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0,则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-2-2同角三角函数的基本关系
【例】 已知 tanα=2,则 (1)24ssiinnαα- -39ccoossαα=________; (2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=________.
【思维导图】
【解】 (1)24ssiinnαα- -39ccoossαα=24ttaannαα--39=24× ×22- -39=-1. (2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α =4sin2α-si3ns2iαn+αccoossα2-α 5cos2α, 因为 cos2α≠0,所以分子和分母同除以 cos2α, 则 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=4tan2tαa-n2α3+tan1α-5 =4×4-4+3×1 2-5=1.
(2)sin2α是(sinα)2的简写,不能写成sinα2.
(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意 义,如式子tan90°=csoins9900°°不成立.
(4)注意公式变形的灵活应用. (5)在应用平方关系式求sinα或cosα时,其正负号是由角 α所在的象限决定的.当角所在象限不明确时,要进行分类 讨论.
cos2α sin2α
(2)原式=1-sincoαsα·
csoinsαα-sinα csoinsαα+sinα
=1-sincoαsα·
1-cosα 1+cosα
=1-sincoαsα·
1-cosα2 1-cos2α
=1-sincoαsα·1-|sincoαs| α
=±1.
通法提炼 同角三角函数关系化简常用方法有: ①化切为弦,减少函数名称;②对含根号的,应先把 被开方式化为完全平方,去掉根号;③对含有高次的三角 函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以降幂化 简.
【评析】 形如(2)式的求解,应灵活利用“1”的代换, 将整式变为分式,即可利用分式的性质将式子变为关于 tanα 的代数式,从而代入求值.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π+2kπ,74π+2kπ](k∈Z). 所以原函数 y=2sin(π4-x)的单调增区间为[34π +2kπ,74π+2kπ](k∈Z); 单调减区间为[-π4+2kπ,34π+2kπ](k∈Z).
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y=2sin(x+π4)的单调区间. 解:y=sinx 的单调增区间为[-π2+2kπ,π2+ 2kπ],k∈Z;单调减区间为[π2+2kπ,32π+2kπ], k∈Z. 由-π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,
栏目 导引
第一章 三角函数
由-π2+2kπ≤x-π4≤π2+2kπ,k∈Z, 得-π4+2kπ≤x≤34π+2kπ,k∈Z; 由π2+2kπ≤x-π4≤32π+2kπ,k∈Z, 得34π+2kπ≤x≤74π+2kπ,k∈Z. 所以函数 y=sin(x-π4)的单调增区间为[-π4 +2kπ,34π+2kπ](k∈Z);
∴y=sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3-π6+2π=2sinx3-π6, 即 2sin13(x+6π)-π6
栏目 导引
=2sinx3-π6, ∴y=2sinx3-π6的周期是 6π.
(3)y=|sinx|的图象如图所示.
第一章 三角函数
∴周期T=π.
∴|φ|的最小值|φ|min=2π+π2-83π=π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
第一章 三角函数
单调减区间为[34π+2kπ,74π+2kπ](k∈Z). 所以原函数 y=2sin(π4-x)的单调增区间为[34π +2kπ,74π+2kπ](k∈Z); 单调减区间为[-π4+2kπ,34π+2kπ](k∈Z).
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第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y=2sin(x+π4)的单调区间. 解:y=sinx 的单调增区间为[-π2+2kπ,π2+ 2kπ],k∈Z;单调减区间为[π2+2kπ,32π+2kπ], k∈Z. 由-π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,
栏目 导引
第一章 三角函数
由-π2+2kπ≤x-π4≤π2+2kπ,k∈Z, 得-π4+2kπ≤x≤34π+2kπ,k∈Z; 由π2+2kπ≤x-π4≤32π+2kπ,k∈Z, 得34π+2kπ≤x≤74π+2kπ,k∈Z. 所以函数 y=sin(x-π4)的单调增区间为[-π4 +2kπ,34π+2kπ](k∈Z);
∴y=sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3-π6+2π=2sinx3-π6, 即 2sin13(x+6π)-π6
栏目 导引
=2sinx3-π6, ∴y=2sinx3-π6的周期是 6π.
(3)y=|sinx|的图象如图所示.
第一章 三角函数
∴周期T=π.
∴|φ|的最小值|φ|min=2π+π2-83π=π6.
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归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
必修四第一章 三角函数1.2.2
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第一章 三角函数
[思路分析] tanα=3,即sinα=3cosα,结合sin2α+cos2α=1,解方程组可求 出sinα和cosα;对于(2),注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式,可分子分母 同除以cosα化为tanα的表达式;对于(3),如果把分母视作1,进行1的代换,1= sin2α+cos2α然后运用(2)的方法,分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式,也 可以将sinα=3cosα代入sin2α+cos2α=1中求出cos2α,把待求式消去sinα,也化为 cos2α的表达式求解.
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第一章 三角函数
[解析] (1)tanα=3=csoinsαα>0, ∴α 是第一或第三象限角. 当 α 是第一象限角时,结合 sin2α+cos2α=1,有
sinα=3
10 10
.
cosα=
10 10
当 α 是第三象限角时,结合 sin2α+cos2α=1,有
如 sin23α+cos23α=1 成立,但是 sin2α+cos2β=1 就不一定成立.
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写,读作“sinα 的平方”,不能将 sin2α 写成 sinα2,前
者是 α 的正弦的平方,后者是 α2 的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并
能正确书写.
数
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的,sin2α+
人
教
A
版
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第一章 三角函数
3.化简 1-sin2440°=____c_o_s_8_0_°_____.
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第一章 三角函数
[思路分析] tanα=3,即sinα=3cosα,结合sin2α+cos2α=1,解方程组可求 出sinα和cosα;对于(2),注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式,可分子分母 同除以cosα化为tanα的表达式;对于(3),如果把分母视作1,进行1的代换,1= sin2α+cos2α然后运用(2)的方法,分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式,也 可以将sinα=3cosα代入sin2α+cos2α=1中求出cos2α,把待求式消去sinα,也化为 cos2α的表达式求解.
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第一章 三角函数
[解析] (1)tanα=3=csoinsαα>0, ∴α 是第一或第三象限角. 当 α 是第一象限角时,结合 sin2α+cos2α=1,有
sinα=3
10 10
.
cosα=
10 10
当 α 是第三象限角时,结合 sin2α+cos2α=1,有
如 sin23α+cos23α=1 成立,但是 sin2α+cos2β=1 就不一定成立.
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写,读作“sinα 的平方”,不能将 sin2α 写成 sinα2,前
者是 α 的正弦的平方,后者是 α2 的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并
能正确书写.
数
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的,sin2α+
人
教
A
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第一章 三角函数
3.化简 1-sin2440°=____c_o_s_8_0_°_____.
必修四第一章 三角函数1.2.1第一课时
(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0,则2θ是第
象限角.
A.一
数
学 必
C.一或三
修
④
·
人
教
A
版
B.三 D.任意象限角
( C)
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第一章 三角函数
[解析] (1)①π2<3<π,π<4<32π,32π<5<2π,
∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,∴sin3·cos4·tan5>0.
②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上任意一点坐标
(a,b),则对应角的正弦值 sinα= a2b+b2,余弦值 cosα= a2a+b2,正切值 tanα数 学Fra bibliotek必=ab.
修 ④
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参
·
人 教
数进行分类讨论.
A
版
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第一章 三角函数
3.已知α是第三象限角,设sinαcosα=m,则有
A.m>0
B.m=0
C.m<0
D.m的符号不确定
(A)
4.(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2),则tanα·cosα等于 25 _____5_.
数 学 必
[解析] 由三角函数的定义,tanα=yx=2,cosα=xr= 55,∴tanα·cosα=255.
人 教
函数值的函数,我们将它们统称为三角函数(trigonometric function).
A
版
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号; 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1.利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1.已知sinα=-3/5,且 α在第三象限,求cosα和 tanα的值.
例2.已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值(1) 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
(1)y叫做 的正弦,记作sin ,即 sin y (2)x叫做 的余弦,记作cos,即 cos x y y (3) 叫做 的正切,记作tan ,即 tan x x
阅读课本P12:三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业:
课本P20习题1.2A组
1,2,6,7,9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义; 2、三角函数在各象限角的符号; 3、三角函数在轴上角的值; 4、诱导公式(一):终边相同的角的 同一三角函数的值相等; 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念,也是一个数量概 念(弧度数). 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念(比值),但它是否也是一个 图形概念呢?
高中数学人教A版必修四课时训练:第一章三角函数1-2任意角的三角函数
11.解 (1)
图1
作直线 y= 23交单位圆于 A、B,连结 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图 1 阴影部分), 即为角 α 的终边的范围. 故满足条件的角 α 的集合为 {α|2kπ+π3≤α≤2kπ+23π,k∈Z}. (2)
∴sin 2cos 3tan 4<0.
10.2
解析 ∵y=3x,sin α<0,∴点 P(m,n)位于 y=3x 在第三象限的图象上,且 m<0,n<0,
n=3m.
∴|OP|= m2+n2= 10|m|=- 10m= 10.
∴m=-1,n=-3,∴m-n=2.
11.解 (1)原式=cosπ3+-4×2π+tanπ4+2×2π=cos π3+tan π4=12+1=32.
3.诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等. 作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0~2π(或 0°~360°)角的三角函数值.
答案
知识梳理
y 1.r
x r
y x
3.相等
sinα
cosα
tanα
作业设计
1.A 2.B
3.C [∵sinα<0,∴α 是第三、四象限角.又 tanα>0,
∴α 是第一、三象限角,故 α 是第三象限角.]
4.C [∵1,1.2,1.5 均在0,π2内,正弦线在0,π2内随 α 的增大而逐渐增大,
∴sin1.5>sin1.2>sin1.] 5.D [在同一单位圆中,利用三角函数线可得 D 正确.] 6.A [
如图所示,在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT,很容易地观察出
OM<MP<AT,即 cosα<sinα<tanα.]
图1
作直线 y= 23交单位圆于 A、B,连结 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图 1 阴影部分), 即为角 α 的终边的范围. 故满足条件的角 α 的集合为 {α|2kπ+π3≤α≤2kπ+23π,k∈Z}. (2)
∴sin 2cos 3tan 4<0.
10.2
解析 ∵y=3x,sin α<0,∴点 P(m,n)位于 y=3x 在第三象限的图象上,且 m<0,n<0,
n=3m.
∴|OP|= m2+n2= 10|m|=- 10m= 10.
∴m=-1,n=-3,∴m-n=2.
11.解 (1)原式=cosπ3+-4×2π+tanπ4+2×2π=cos π3+tan π4=12+1=32.
3.诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等. 作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0~2π(或 0°~360°)角的三角函数值.
答案
知识梳理
y 1.r
x r
y x
3.相等
sinα
cosα
tanα
作业设计
1.A 2.B
3.C [∵sinα<0,∴α 是第三、四象限角.又 tanα>0,
∴α 是第一、三象限角,故 α 是第三象限角.]
4.C [∵1,1.2,1.5 均在0,π2内,正弦线在0,π2内随 α 的增大而逐渐增大,
∴sin1.5>sin1.2>sin1.] 5.D [在同一单位圆中,利用三角函数线可得 D 正确.] 6.A [
如图所示,在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT,很容易地观察出
OM<MP<AT,即 cosα<sinα<tanα.]
高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五~六)课件苏教版必修4
∴cos α=-13,
∴sinπ2+α=cos α=-13.]
3.已知 sin α=23,则 cosπ2-α= ________.
2 3
[cosπ2-α=sin α=23.]
4.若 sin α= 55,求sinπ2+cαossi3nπ-72πα+ α-1+ cos3π+αssinin525π2π+-αα- sin72π+α的值.
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中,sinA+B2-C=sinA-B2+C,试判断△ABC 的形状. 思路点拨: sinA+B2-C=sinA-B2+C ―A―+―B―+―C=―π→ 得B,C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A+B+C=π, ∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B. 又∵sinA+B2-C=sinA-B2+C, ∴sinπ-22C=sinπ-22B,
教师独具 1.本节课的重点是诱导公式五、六及其应用,难点是利用诱导公式 解决条件求值问题. 2.要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题. (2)利用诱导公式解决条件求值问题. (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题.
3.本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6+α=π2-π3-α⇔π6+α+π3-α=π2,π4+α=π2-π4-α⇔π4+α+ π4-α=π2,56π+α-π3+α=π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五~六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六.(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式,能灵活运用诱 数学运算核心素养.
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3.公式一(k∈Z) sin(α+2kπ)=______ , sinα cosα , cos(α+2kπ)=__________ tan(α+2kπ)=_________. tanα
[小结]该组公式说明:终边相同的角的同名三角函数值相
●知识衔接 1 .初中我们已经学习过锐角三角函数,它们都是以锐角
为自变量的,请填好下表:
图形
定义 sinA=____; cosA=____; a tanA=b
定义域
三角函数值的正负
A∈____
sinA>0,cosA>0 tanA____0
[答案]
a b c c
π 0, 2
>
第一章 1.2 第1课时
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
集合与函数的概念
第一章
集合与函数概念
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第一章 1.2 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数的定义
________.
637π [答案] (1) 18 km 6 370 km (2)α+β=2kπ,k∈Z
第一章
1.2
第1课时
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3.已知角α=2 rad,则角α的终边在第______象限. [答案] 二 [解析] 由2×57.3°=114.6°知在第二象限. 4.用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为
OAB 中,∠OAB=90° ,OA=a,AB=b,OB= r,设∠BOA=α,则有:
α 的三角函数 正弦 余弦 正切
定义 b AB sinα=OB=___ r OA a cosα=OB=___ r b AB tanα=OA=___ a
第一章 1.2 第1课时
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唯一 外,对于每一个确定的 α ,都分别有 ________ 确定的正弦值、 余弦值、正切值与之对应,所以这三个对应法则都是以角 α为 自变量 __________ ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函
数,分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数,这三个函数统
三角函数 称为_______________ ,分别记作y=sinx,y=cosx,y=tanx.
第一章
1.2
第1课时
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[ 破疑点 ] 由于角的集合与实数 集之间建立了一一对应关系,三角 函数可以看作是以实数为自变量的 函数,即实数 → 角 ( 其弧度数等于这个实数 )→ 三角函数值 ( 实 数),其关系如右图所示:
第一章
1.2Βιβλιοθήκη 第1课时成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
2.下列题目你会做吗?
(1)地球的赤道半径约为6370 km,那么赤道上1°的圆心角 所 对 的 弧 长 为 ________ , 1 弧 度 的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 为 ________. (2) 若 角 α 与 角 β 的 终 边 关 于 x 轴 对 称 , 则 α 与 β 的 关 系 为
记法 sinα cosα tanα
形式 sinα=y cosα=x y tanα=x(x≠0)
y ___ x ___
y x _____ (x≠0)
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1.2
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π (4)定义:当α=__________( 2+kπ k∈Z)时,tanα无意义.除此之
2.三角函数值的符号 sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下:
[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口 诀记忆: “一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 其含义是在第一象限各三角函数值全为正,在第二象限只 有正弦值为正,在第三象限只有正切值为正,在第四象限只有 余弦值为正.
第一章 1.2 第1课时
第一章
1.2
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1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
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优效预习
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等;如果给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的(不存在者 除外),反过来,如果给定一个三角函数值,却有无数多个角与 之对应.
第一章
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●预习自测 1.有下列命题,其中正确的个数是(
①终边相同的角的三角函数值相同; ②同名三角函数值相同,角不一定相同; ③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相同; ④不相等的角,同名三角函数也不相同. A.0 C.2 [答案] B B.1 D.3
________.
π [答案] {α|2kπ+2<α<2kπ+π,k∈Z}
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1.2
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●自主预习 1.任意角的三角函数 原点 为 圆 心 , 以 (1) 单 位 圆 : 在 直 角 坐 标 系 中 , 称 以 ______ 单位长度 为半径的圆为单位圆. __________ (2)锐角的三角函数:如图所示,在 Rt△
(3)任意角的正弦、余弦、正切:如图所示,α是任意角, 以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的非负半轴,建立平 面直角坐标系. 设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点,则有:
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α 的三角函数 正弦 余弦 正切
定义
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(5)定义域:如表所示 三角函数 解析式 定义域
正弦函数
余弦函数 正切函数
y=sinx
y=cosx y=tanx
R
R
π {x|x≠kπ+2,k∈Z} ____________________
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