2019高考数学一轮复习第9章解析几何第9课时抛物线一练习理

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数学(理)一轮复习：第九章解析几何双曲线

1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。

(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。

北师版高考总复习一轮理科数精品课件第9章解析几何第1节直线的倾斜角、斜率与直线的方程

(
A.
C.
)
π 3π
,
4 4
π 3π
π
0, 4 ∪ 2 , 4
B.
D.
π 3π
,
4 4
π 3π
π π
, ∪ 2, 4
4 2
(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则
直线l的斜率k的取值范围是(
A.
C.
3
,
2
4
3
, +∞
4
)
B.
3
−∞, 4
D.(-∞,2)
π
,π
2
时也是如此,但当 α∈
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
斜截式
纵截距,斜率
y=kx+b
点斜式
过一点,斜率
y-y0=k(x-x0)
过两点
y-y 1
y 2 -y 1
截距式
纵、横截距
x
a
一般式
—
Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面内所有直线都适用
两点式
+
适用条件
=
x-x 1
x 2 -x 1
综上,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
突破方法1.求解直线方程的2种方法
直接法根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
①设所求直线方程的某种形式;
待定系 ②由条件建立所求参数的方程(组);
数法
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程
2.谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在;

2019届高考数学一轮复习第九章解析几何第9课时抛物线(一)课件文.pptx

答案 y2＝－8x 或 x2＝－y
10
5．(2018·江西八校联考)已知抛物线 y＝ax2(a>0)的焦点到准
线的距离为 2，则 a＝( )
A．4
B．2
1
1
C.4
D.2
答案 C
解析化为标准方程 x2＝1ay，据题意1a＝2×2，
∴a＝14.
11
6．焦点为(2，3)，准线是x＋6＝0的抛物线方程为( )
当点 M，P，D 共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42. 当点 M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当点 P，M，F 共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
17
由最小值为41，得 402＋（20－p2）2 ＝41，解得p＝22或 58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或22.
21
(2)(2018·贵州遵义模拟)已知点P是抛物线x＝
1 4
y2上的一个动
点，则点P到点A(－1，2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小
值为( )
A．2 2
B．2 2－1
C. 5－1
D. 5＋1
22
【解析】
抛物线x＝
1 4
y2的焦点为F(1，0)．由抛物线定
义，得点P到点A(－1，2)的距离与点P到y轴的距离之和为|PF|＋
19
★状元笔记★ “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
20
思考题 1 (1)平面内满足：（x－1）2＋（y－1）2＝ |x＋y2－2|的动点(x，y)的轨迹是________．

2019年高考数学(理)一轮复习精品课时练习：第九章解析几何 Word版含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品课时练习第九章解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠π2，则斜率k＝tan_α.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．两条直线平行与垂直的判定[基本能力]1．判断题(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．填空题(1)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________. 答案：－2(2)如图中直线l1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．解析：设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>tan α3>0>tan α1，即k 2>k 3>k 1.答案：k 2>k 3>k 1(3)已知直线l 1：x ＝－2，l 2：y ＝12，则直线l 1与l 2的位置关系是________．答案：垂直(4)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由题意，得a a －3＝－2，解得a ＝2.答案：2[全析考法]1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：2.tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0. 解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12 [易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－16B ．6C ．0D ．0或－16(2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，经检验都成立．故选D.(2)l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)D (2)1或0 [方法技巧]已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[全练题点]1.[考点一]设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，即切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 2.[考点一]直线l 过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[0,1] C ．[0,2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 因为直线过点A (1,2)，且不经过第四象限，作出图象，如图所示，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线l 过A 且平行于x 轴时，斜率取得最小值，k min ＝0；当直线l 过A (1,2)，O (0,0)时，斜率取得最大值，k max ＝2，所以直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．故选C.3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1.故选C. 4.[考点二]直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．－12B ．－14C ．10D ．8解析：选A 由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0.解得n ＝－12.故选A.5.[考点二](2018·温州五校联考)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：因为直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，所以a ·1＋2·(a －1)＝0，解得a ＝23.答案：23突破点(二) 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式[基本能力]1．判断题(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( )答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)直线l 经过点(0,1)且倾斜角为60°，则直线l 的方程为________________．解析：∵k ＝tan 60°＝3，又直线l 过点(0,1)， ∴由点斜式方程得，y －1＝3(x －0)．即3x －y ＋1＝0. 答案：3x －y ＋1＝0(2)经过点A (2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________________．解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x ＝2.答案：x ＝2(3)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝____________. 解析：显然a ＝0不符合题意，当a ≠0时，令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－2[全析考法]求直线方程[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程； (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.[易错提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．[解析] (1)由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －122＋12. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.(2)易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.[答案] (1)12 (2)5[方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[全练题点]1.[考点一]直线3x －y ＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为( )A ．x ＋3y －3＝0B ．x ＋3y －1＝0C ．3x －y －3＝0D ．x －3y ＋3＝0解析：选B 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，得y ＝－13(x －1)，即x ＋3y －1＝0.2.[考点二]已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8B ．2 2 C. 2 D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3.[考点二]当k >0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为________．解析：直线2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形的面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k ，又k ＋2k≥2k ·2k ＝22，故三角形面积的最大值为24. 答案：244.[考点二](2018·苏北四市模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：255.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离[基本能力]1．判断题(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．填空题(1)两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，x －2y ＋4＝0，可解得⎩⎨⎧x ＝－25，y ＝95.所以两直线交点坐标为⎝⎛⎭⎫－25，95. 答案：⎝⎛⎭⎫－25，95 (2)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是________．解析：d ＝|0＋0－5|5＝ 5.答案： 5(3)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1. 答案：2－1(4)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：2[全析考法]交点问题[例1] (1)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝23.[答案] (1)B (2)23[方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2] (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为_____________________________．[解析] (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. [答案] (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0[易错提醒](1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等．对称问题1若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得{ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解2．轴对称问题的两种类型及求解方法若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎨⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2) (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由已知 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[方法技巧]解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．[全练题点]1.[考点一]过点⎝⎛⎭⎫65，－25且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －⎝⎛⎭⎫－25＝－2⎝⎛⎭⎫x －65，即2x ＋y －2＝0.故选C. 2.[考点三]点P (2,5)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标是( )A ．(5,2)B ．(2，－5)C ．(－5，－2)D ．(－2，－5)解析：选C 设P (2,5)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P 1，则PP 1的中点应在x ＋y ＝0上，可排除A ，B ；而(－2，－5)与P (2,5)显然关于原点对称，而不关于直线x ＋y ＝0对称．故选C.3.[考点二]若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 B. 2 C ．3 2D ．2 3解析：选C 点M 在直线x ＋y －6＝0上，到原点的最小距离等价于原点O (0,0)到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝3 2.故选C.4.[考点二]已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27解析：选C设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C.5.[考点二]已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为__________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－796.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．解析：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，则其可化为(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋(4－2λ)＝0，因为直线l 与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11.则直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b .∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋b a ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b>b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DM MN＝1. ∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m ⎣⎡⎭⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)、(2)可得：1－22<b <12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.故选C.3．(2018·山东省实验中学月考)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C 的位置关系是________．解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y＋sin C ＝0垂直．答案：垂直4．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12.故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞对点练(二) 直线的方程1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.2．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：选A ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴其方程为x ＝2.3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 设点B 的坐标为(a,0)(a >0)，由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2. ∴点B (2,0)．易知k AB ＝－3，由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．4．(2018·北京西城区月考)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b .则直线l 的方程为__________________．解析：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x 3b ＋yb ＝1.因为点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 答案：x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0对点练(三) 直线的交点、距离与对称问题1．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为( ) A ．135° B ．45° C ．30°D ．60°解析：选B 由题意知，PQ ⊥l ，∵k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，∴k l ＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.故选B.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.3．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a－2≠c －1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋113，∴c ＋2＝±4，∴c ＋2a ＝±1. 答案：±16.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)7．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43，∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0[大题综合练——迁移贯通]1．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.3．过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)因为4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2 a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.第二节圆的方程本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程； 2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一) 圆的方程[基本知识]1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.[基本能力]1．判断题(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．填空题(1)圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心为________，半径为________．解析：圆心坐标为(2，－4)，半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.答案：(2，－4) 5(2)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝2(3)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1.答案：(－1,1)[全析考法]1．求圆的方程的两种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1](1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．[解析](1)依题意，设圆心坐标为C(a,0)，则|CA|＝|CB|，即(a－5)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，则a＝2.故圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)法一：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7.法二：由题易知AB ∥CD ，所以圆的一条对称轴既是AB 的垂直平分线又是CD 的垂直平分线，而AB 的垂直平分线方程为x ＝2，故－3＋a2＝2，解得a ＝7.[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)7 [方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [例2] (2018·河南六市模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. [答案] D[全练题点]1.[考点一]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2.[考点一](2018·福建厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，故选A. 4.[考点二]圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________________．解析：圆心(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(0，－1)，所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.答案：x 2＋(y ＋1)2＝15.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.答案：26.[考点一、二](2018·湖北襄阳四中模拟)已知点C (－1,0)，以C 为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)如果圆C 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求m 的值．解：(1)因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径长．由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－1－3|1＋3＝2，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为圆C 上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心C ，所以－m ＋1＝0，解得m ＝1.突破点(二) 与圆的方程有关的综合问题 (对应学生用书P148)圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.[全析考法]与圆有关的轨迹问题[例1] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在R t △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法[例2] (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧] 与圆有关最值问题的求解策略。

教育最新K122019高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.6 抛物线及其性质练习理

§9.6抛物线及其性质考纲解读分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.五年高考考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8答案 B2.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B.C. D.1答案 C3.(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M 为FN的中点,则|FN|= .答案 64.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9教师用书专用(5—8)5.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .答案 26.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则= .答案1+7.(2013广东,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=,且结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.8.(2013湖南,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.解析(1)由题意得,抛物线E的焦点为F,直线l1的方程为y=k1x+.由得x2-2pk1x-p2=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.所以点M的坐标为,=(pk1,p).同理可得点N的坐标为,=(pk2,p),于是·=p2(k1k2+).由题设知k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<=1.故·<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+,所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,从而圆M的半径r1=p+p.故圆M的方程为(x-pk1)2+=(p+p)2,化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(-)y=0.又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离d===.故当k1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C. D.答案 A2.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.答案 B3.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为.答案教师用书专用(4—5)4.(2013北京,7,5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.答案 C5.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .答案 6考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C. D.答案 D2.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.答案 D3.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.教师用书专用(4—5)4.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p的取值范围是.5.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2018陕西西安一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为( )A.-2B.2C.-4D.4答案 D2.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p 的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 D3.(2017皖北协作区3月联考,3)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C 的方程为( )A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案 C4.(2017河南百校联盟质检,4)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF|>2,则点A到原点的距离为( )A.3B.4C.4D.4答案 B5.(2017河南新乡二模,14)已知点A(1,y1),B(9,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,y2>y1>0,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则+y2的值为.答案10考点二抛物线的几何性质6.(2018青海西宁模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足||=||,B是抛物线的准线与x轴的交点,则·=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案 C7.(2018贵州贵阳一模,8)过点M作圆x2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,l与抛物线E交于A、B两点,则AB的中点到抛物线E的准线的距离为( )A. B.3C. D.4答案 D8.(2017江西红色七校一联,7)已知抛物线y=x2和y=-x2+5所围成的封闭曲线如图所示,给定点A(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A对称,则实数a的取值范围是( )A.(1,3)B.(2,4)C. D.答案 D9.(2017江西九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|= .答案 2考点三直线与抛物线的位置关系10.(2018河南安阳模拟,7)已知点A(-1,-2)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,过点F且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M,N两点,则线段MN的长为( )A.4B.2C.2D.1答案 A11.(2018四川南充模拟,7)如图,过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,则p=( )A.1B.2C.D.3答案 B12.(2017广东汕头一模,11)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|=( )A.1B.2C.3D.4答案 A13.(人教A选2—1,二,2-4A,5,变式)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A、B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x答案 AB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018河南开封一模,10)抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PA⊥PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:≈2.24)()A. B. C. D.答案 D2.(2017山西五校3月联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C 与圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为( )A.2-B.2-1C.1-D.-1答案 A二、填空题(每小题5分,共15分)3.(2017河北唐山调研,15)已知抛物线x2=4y与圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)有公共点P,若抛物线在P点处的切线与圆C也相切,则r= .答案4.(2017河南商丘模拟,16)如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,且两曲线交点的连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为.答案-15.(2017湖北孝感模拟,16)已知抛物线x2=4py(p>0)的焦点为F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若·+(+)·=-1-5p2,则p的值为.答案三、解答题(共15分)6.(2018辽宁大连模拟,20)如图,已知过抛物线E:x2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),∠FAD=∠FDA,经过点C作抛物线E的切线为l2.(1)求证:l1∥l2;(2)求三角形ABC面积的最小值.解析(1)证明:抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),且直线AF的斜率一定存在,故设AF的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨设x2>0),由得x2-4kx-4=0⇒x1+x2=4k,x1x2=-4,∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,y1+=y D-1,∴y D=y1+2.∴直线l1的斜率k1==,∵x1x2=-4,∴k1==x2,又∵y'=x,∴过C(x2,y2)的切线斜率k2=x2.即k1=k2,∴l1∥l2.(2)由(1)得直线l1的斜率为x2,故直线l1的方程为y=x2x++2,联立得x2-2x2x--8=0,∴x1+x B=2x2,x1x B=-(+8).∴|AB|=·=2·,点C到直线l1的距离d=====,三角形ABC的面积S=×|AB|×d=(x2-x1)3.由(1)可得x2-x1=4,∴当k=0时,(x2-x1)min=4,∴当k=0时,三角形ABC的面积S=(x2-x1)3取到最小值,S min=×43=16.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求抛物线的标准方程的方法1.(2018广西钦州模拟,6)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A,若=2,则p等于( )A.1B.2C.2D.4答案 B2.(2017江西赣州二模,4)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 B3.(2017福建福州模拟,14)函数y=a x-1(a>0且a≠1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是.答案y2=x方法2 抛物线定义的应用策略4.(2018湖南长沙模拟,7)已知点A(3,0),过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,若|PB|=|PA|,则点P的横坐标为( )A.1B.C.2D.答案 C5.(2018浙江温州模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=( )A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案 D6.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案7.(2017福建四地六校4月模拟,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=6,若AB的垂直平分线交x轴于P点,则P点的坐标为.答案(4,0)8.(2016陕西西安模拟,13)如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是.答案(8,12)方法3 解决直线与抛物线位置关系问题的方法9.(2018广东汕头一模,9)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=( )A.1B.2C.3D.4答案 A10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A、B 两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求证:y1y2为定值;(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线的方程和弦长,如果不存在,说明理由.解析(1)证明:设直线AB的方程为my=x-2.由得y2-4my-8=0,∴y1y2=-8,为定值.(2)存在.设存在直线x=a满足条件.设AC的中点为E,则E,|AC|=,因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|==,点E到直线x=a的距离d=,所以所截弦长为2=2==.当1-a=0,即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.。

2019届高考数学一轮复习第九章解析几何 9.7 抛物线

x=��2��
y=-��2��
范围
x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R
开口方向向右
向左
向上
焦半径(其中 P(x0,y0))
|PF|=x0+��2��
|PF|=-x0+��2��
|PF|=y0+��2��
x2=-2py (p>0)
y=��2��
y≤0,x∈R 向下 |PF|=-y0+��2��
∵K - �� ,0 ,∴|KF|=p,|KF|=|MF|,
2
∴C ∠MKO=45°,故选 C.
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见你
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解析答答案案9
-10-
知识梳理双基自测自测点评
12345
4.(2017福建龙岩一模)已知过抛物线C:x2=4y的焦点F作直线l交
F1(-√2,0),F2(√2,0).
抛物线的准线方程为 x=-��.
因为
p>0,所以-��
2
=-√2,解得
p=2√2.
(1)D (2)2√2 2
关闭
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见你
解析
答答案1案6
考点1
考点2
考点3
-17-
解题心得1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
9.7 抛物线
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9 (1)

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22，设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ，代入x 26＋y 24＝1，得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1，所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)，满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12，当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0，即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ，又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2，即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ，所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2，所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13，所以332≤3d <3，即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ，得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ，消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12，所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |，因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1，得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1，则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1，同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1，所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1，所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2，要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332，解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2，因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.(2)解由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1，可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1，所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1，同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1，因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2，则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328，即存在常数λ＝328，使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1，所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)，则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34，即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34，因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1，即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34，解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3，可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0，即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0，即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0，所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12，当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意．所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14，即y 2x 2－4＝－14，即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ，得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ，即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4，当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号，则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14，当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20，当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15，即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0，故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)，所以y ′＝x p(p >0)，设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0，所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)，又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)，解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222，所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)，切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)，两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2，由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ，消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0，所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2，令t ＝－4k ＋31＋k 2，则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22，令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12，所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减，当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0，所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.8 抛物线习题理

§9.8 抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2标准方程 y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 ① ②⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ③ ④⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线⑤x ＝－p 2 ⑥ ⑦y ＝－p2 ⑧范围 ⑨x ≥0， y ∈R⑩ ⑪⑫y ≤0，x ∈R对称轴⑬ ⑭y 轴顶点 ⑮原点O (0，0)离心率 ⑯ 开口⑰ ⑱向左⑲向上⑳自查自纠1．l 焦点准线2．①⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⑥x ＝p 2 ⑧y ＝p2 ⑩x ≤0，y ∈R ⑪y ≥0，x ∈R ⑬x 轴 ⑯e ＝1 ⑰向右 ⑳向下(2015·陕西)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)解：∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1，∴p2＝1，焦点坐标为(1，0)．故选B .已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝8B ．x ＝－8C ．x ＝4D ．x ＝－4解：由题意得1＋p2＝5，故p ＝8，准线方程为x ＝－4.故选D .已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74 解：易知抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点P (x 0，y 0)，则由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋14，|BF |＝x 2＋14.∵|AF |＋|BF |＝3，∴x 1＋x 2＝52，x 0＝12(x 1＋x 2)＝54，即P 点到y 轴的距离为54.故选C .(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝____________．解：抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∵p >0，∴x ＝－p2必经过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，∴－p2＝－2，p ＝2 2.故填22.(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝____________．解：过点Q 作QQ ′⊥l 于点Q ′，∵FP →＝4FQ →，∴|PQ ||PF |＝34.又焦点F 到准线l 的距离为4，∴|QQ ′|4＝|PQ ||PF |＝34，|QF |＝|QQ ′|＝3.故填3.类型一抛物线的定义及标准方程(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．解：∵抛物线过点A (m ，－3)，∴抛物线的开口向下、向右或向左．①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义得p2－(－3)＝5，解得p ＝4，抛物线的方程为x 2＝－8y .∵点A (m ，－3)在抛物线上，∴代入得m 2＝24，m ＝±2 6.②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝－a 2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝92，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，m ＝－92，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，m ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－9，m ＝－12.∴当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝－92时，抛物线的方程为y 2＝－2x ；当m＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝－12时，抛物线的方程为y 2＝－18x .(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115D.3716解：易知直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，点P 到l 2的距离等于点P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小．因此最小值为F (1，0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A .【点拨】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率．(2)把“数”“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．(1)F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为____________．(2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是____________．(3)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为____________．解：(1)过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，由|AF|＋|BF|＝6及抛物线的定义知|AD|＋|BE|＝6，∴线段AB的中点到准线的距离为12(|AD|＋|BE|)＝3.又抛物线的准线为x＝－12，∴线段AB的中点到y轴的距离为52.故填52.(2)将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，∵|a|＞4，∴A在抛物线的外部，如图．由题意知F(1，0)，抛物线上点P到准线l：x ＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F 三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时|PA|＋|PM|也最小，∴最小值为|AF|－1＝9＋a2－1. 故填9＋a2－1.(3)∵ca＝2，∴c2a2＝a2＋b2a2＝4，得ba＝ 3.易知抛物线C2的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p2，双曲线C1的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3x，根据题意，有p21＋（3）2＝2，∴p＝8，∴C2的方程为x2＝16y.故填x2＝16y.类型二抛物线焦点弦的性质如图，AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：(1)||AB＝x1＋x2＋p；(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)1||AF ＋1||BF ＝2p.证明：(1)由抛物线的定义知||AB ＝||AF ＋||BF ＝||AA 1＋||BB 1＝x 1＋x 2＋p . (2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝p 2，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－2px 1·2px 2＝－p 2；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消x 得y 2－2p k y －p 2＝0， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24.(3)设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝||AA 1＋||BB 12＝||AF ＋||BF 2＝||AB 2，∴以AB 为直径的圆与准线相切．(4)当直线AB 的斜率不存在时，1|AF |＋1|BF |＝1|AA 1|＋1|BB 1|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝1p ＋1p ＝2p；当直线AB 的斜率存在时，∵x 1＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2k ＋p 2＝y 1＋y 2k ＋p ＝2p k 2＋p ，x 1x 2＝p 24，∴1||AF ＋1||BF ＝1||AA 1＋1||BB 1＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24＝2pk 2＋2pp 2＋p 2k 2＝2p. 【点拨】本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x 2＝2py ，性质(1)应为|AB |＝y 1＋y 2＋p ，性质(2)应为x 1x 2＝－p 2，y 1y 2＝p 24，其余情况可自行推导．本题与变式2分别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)若点A ，B 在准线上的射影分别为M ，N ，则∠MFN ＝90°； (2)取MN 的中点R ，则∠ARB ＝90°； (3)以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F ；(4)若经过点A 和抛物线顶点O 的直线交准线于点Q ，则BQ 平行于抛物线的对称轴．证明：(1)由抛物线的定义知|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |，∴∠AMF ＝∠AFM ，∠BNF ＝∠BFN .∵AM ∥x 轴，BN ∥x 轴， ∴∠AMF ＝∠KFM ，∠BNF ＝∠KFN . ∴∠MFN ＝∠KFM ＋∠KFN ＝12(∠KFA ＋∠KFB )＝90°. (2)证法一：取P 为AB 的中点，连接PR ，有|PR |＝12(|MA |＋|NB |)＝12|AB |，则∠ARB ＝90°.证法二：易知R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1＋y 22，则RA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2，y 1－y 22，RB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2，y 2－y 12，∵RA →·RB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2－14(y 1－y 2)2＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－14(y 21＋y 22)＋12y 1y 2＝0，∴∠ARB ＝90°.(3)∵∠MFN ＝90°，∴F 在以MN 为直径的圆上．∵|AF |＝|AM |，|MR |＝|FR |， ∴∠MFA ＝∠AMF ，∠MFR ＝∠FMR .∴∠AFR ＝∠MFA ＋∠MFR ＝∠AMF ＋∠FMR ＝90°，即RF ⊥AB ，F 为垂足．因此，以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F .(4)易知直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－py 12x 1.∵y 1y 2＝－p 2，∴－py 12x 1＝－p 2·y 1y 212p＝－p 2y 1＝y 2，于是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2与点N 重合．因此，BQ 平行于x 轴，即BQ 平行于抛物线的对称轴．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握． 2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny (m ≠0，n ≠0)．若m ＞0，开口向右；若m ＜0，开口向左．m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．5．抛物线的几个常用结论(1)焦半径：抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r ＝||PF .①y 2＝2px (p ＞0)，r ＝x 0＋p2；②y 2＝－2px (p ＞0)，r ＝－x 0＋p2；③x 2＝2py (p ＞0)，r ＝y 0＋p2；④x 2＝－2py (p ＞0)，r ＝－y 0＋p2.(2)焦点弦：若AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，||AB ＝l .则：①x 1x 2＝p 24；②y 1y 2＝－p 2；③弦长l ＝x 1＋x 2＋p ，因x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，故当x 1＝x 2时，l 取得最小值，最小值为2p ，此时弦AB 垂直于x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．1．准线方程为y ＝4的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝16yB ．x 2＝8y C ．x 2＝－16yD ．x 2＝－8y解：由题意可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，∵抛物线的准线方程为y ＝p2＝4，∴p＝8.∴该抛物线的标准方程为x 2＝－16y .故选C .2．(2015·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12C.32D.52解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，∴x 1＋x 2＝3，∴点C的横坐标是x 1＋x 22＝32.故选C .3．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解：设点P (x 0，y 0)，由题意知F (2，0)，抛物线C 的准线为x ＝－2，则|OF |＝2，x 0＋2＝|PF |＝42，x 0＝32，y 0＝±26，S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.故选C .4．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5C ．2 D.5－1解：抛物线的焦点为F (1，0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，∴点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，∴d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋（－1）2＝5，∴d＋|PF |－1的最小值为5－1.故选D .5．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解：由题可知抛物线焦点坐标为F (4，0)，则p ＝8.过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，∴直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8，∴x ＝4，∴△AFK 为直角三角形，∴△AFK 的面积为12×8×8＝32.故选D .6．(2015·浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x ＝－1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于点E ，交y 轴于点N ，BD ⊥DE 于点D ，交y 轴于点M ，由抛物线的定义知|BF |＝|BD |，|AF |＝|AE |，则|BM |＝|BD |－1＝|BF |－1，|AN |＝|AE |－1＝|AF |－1，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.故选A .7．(2014·上海)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为____________．解：易知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0)，∵抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，∴p ＝4，抛物线的准线方程为x ＝－2.故填x ＝－2.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽__________ m.解：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .再把y ＝－3代入得x ＝±6，因此水位下降1 m 后，水面宽为2 6 m ．故填26.9．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2，求曲线Γ的方程．解法一：设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，∴曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，其方程为x 2＝4y .解法二：设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则 |y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，∴y >－3.∴（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1，化简得曲线Γ的方程为x 2＝4y .10．(2014·全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |，求C 的方程．解：设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p，∴|PQ |＝8p ，∴|QF |＝x 0＋p 2＝8p ＋p2.又∵|QF |＝54|PQ |，∴8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2(舍去负值)． ∴C 的方程为y 2＝4x .11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解：设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1，4p 2k 2（k 2＋1）＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，p 2＝45.又p >0，∴p ＝255，所求抛物线方程为y 2＝455x .(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.由已知|AF |＝3，得2＋p2＝3，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，∴m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x 得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)， ∴k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223， ∴k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．解法二：(1)同解法一．(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .∵点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，∴m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x 得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，∴点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r . 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线练习理新人教A版

课时作业49 抛物线一、选择题1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的焦点，则a ＝( )．A ．1B ．4C ．8D ．162．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )．A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )． A.19 B.14 C.13 D.124．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )．A ．5B ．4 C.1155 D.1155．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，其上的3个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA |，|FB |，|FC |为边长的三角形( )．A ．不存在B ．必是锐角三角形C ．必是钝角三角形D ．必是直角三角形 6．(2012四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )．A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 57．如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 在抛物线上，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )．A ．6B ．4C ．3D ．2二、填空题8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________．9．(2012安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝__________.10．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF ＝32MN ，则∠NMF ＝__________. 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．12．(2012江西高考)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y)满足|MA→＋MB→|＝OM→·(OA→＋OB→)＋2.(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(－2＜x0＜2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是(0，－1)，l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．参考答案一、选择题1．C 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，双曲线的焦点为(0，2)，依题意则有a 4＝2，解得a ＝8. 2．D 解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0，3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y . 3．A 解析：由题意，得1＋p 2＝5， ∴p ＝8.∴m ＝4.∴M (1，4)．又A (－a ，0)，∴直线AM 的斜率为k AM ＝4－01＋a ＝1a. ∴a ＝13.∴a ＝19. 4．C 解析：设抛物线的焦点为F ，则F (1，0)．由抛物线的定义可知d 1＝|PF |，∴d 1＋d 2＝|PF |＋d 2.∴d 1＋d 2的最小值为|PF |＋d 2的最小值，即点F 到直线x ＋2y －12＝0的距离．∴最小值为|1－12|5＝1155. 5．B 解析：设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k ＞0)，由抛物线定义得|FA |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p 2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．6．B 解析：由抛物线定义知，p 2＋2＝3，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x .因为点M (2，y 0)在此抛物线上，所以y 20＝8，于是|OM |＝4＋y 20＝23.故选B. 7．A 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， ∵F (1，0)，∴FA →＋FB →＋FC →＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0. ∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＋x 3＋p 2＝3＋3＝6. 二、填空题8．x 2＋(y －4)2＝64 解析：抛物线的焦点为F (0，4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0，4)，半径长r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.9.32解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3， ∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2，22)，则直线AB 的斜率为k ＝22－02－1＝2 2. ∴直线AB 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12. ∴|BF |＝x 2＋1＝32. 10.π6解析：过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ， ∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP . 又cos ∠MNP ＝32， ∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6. 三、解答题11．解：如图，依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p . 设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8.① 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①，得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .12．解：(1)由MA →＝(－2－x ，1－y )，MB →＝(2－x ，1－y )，得|MA →＋MB →|＝（－2x ）2＋（2－2y ）2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0，2)＝2y ，由已知得（－2x ）2＋（2－2y ）2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－x 204，分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204，故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204·2＝4－x 204，而S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，则S △QAB S △PDE ＝2，即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何《抛物线》练习理含解析

第7讲抛物线[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D. 2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( )A ．y 2＝233xB ．y 2＝3x C ．y 2＝23xD ．y 2＝33x 解析：选A.根据对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可设点A 的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求抛物线的方程为y 2＝233x .故选A. 3．(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.4．(2019·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为( )A.13B.33C.32D ．1解析：选B.设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33.故选B. 5．(2019·合肥模拟)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |，所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1，因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)，所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.6．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．解析：设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上，又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2，又由题意可知x M ＝p 4，所以p 4＝6－p2，解得p ＝8.所以抛物线方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x7．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由已知可得直线的方程为y ＝23(x ＋2)，即x ＝32y －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝32y －2得y 2－6y ＋8＝0. 由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝6，y 1y 2＝8，所以x 1＋x 2＝32(y 1＋y 2)－4＝5，x 1x 2＝（y 1y 2）216＝4，因为F (1，0)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝4－5＋1＋8＝8.答案：88．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：29．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[综合题组练]1．(2019·重庆六校联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程是( )A ．x 2＝16yB ．x 2＝8y C ．x 2＝833yD ．x 2＝1633y解析：选A.因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，即a 2＋b 2a 2＝4，所以b 2a 2＝3.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·p 2a 2＋b2＝2，解得p ＝8，所以抛物线C 2的方程是x 2＝16y .2．(2019·湖南郴州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C.设A ，B 在准线l 上的射影分别为A 1，B 1，如图，由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线AB 的斜率为3，故|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C.3．(2019·广东六校第一次联考)抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为( )A.118 B.54 C.32D ．1 解析：选A.由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由题意知y 0≥b ＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b2，则|AB |＝1＋k2k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b .因为弦AB 的长为3，所以1＋k2k 24＋2b ＝3，即(1＋k 2)(k 24＋2b )＝9，故(1＋4y 0－4b )(y 0＋b )＝9，即(1＋4y 0－4b )(4y 0＋4b )＝36.由基本不等式得，(1＋4y 0－4b )＋(4y 0＋4b )≥2（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝18y 0＝118时取等号，即1＋8y 0≥12，y 0≥118，点M 的纵坐标的最小值为118，故选A.4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)．因为CA ⊥CB ，所以CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0，所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．(应用型)(2019·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以y 1·y 2＝p 24，所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)，用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33. 6．(创新型)(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1p（x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2，则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。

江苏专版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十四抛物线20180530489

课时达标检测(四十四）抛物线[练基础小题——强化运算能力]1．设抛物线 y 2＝－12x 上一点 P 到 y 轴的距离是 1，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ________．解析：依题意，点 P 到该抛物线的焦点的距离等于点 P 到其准线 x ＝3的距离，即等于 3＋ 1＝4.答案：432．若抛物线 y 2＝2x 上一点 M 到它的焦点 F 的距离为，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为2 ________．1 解析：由题意知，抛物线的准线方程为 x＝－ .设 M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点 M23 1 1 到准线的距离为，所以 a ＝1，代入抛物线方程 y 2＝2x ，解得 b ＝± ，所以 S △MFO ＝ × ×22 2 222 ＝ . 4答案：2 4―→3．设 F 为抛物线 y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若 F 为△ABC 的重心，则| FA ―→ ―→|＋| FB |＋| FC |的值为________．1解析：依题意，设点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点 F ( ，0 )，所以 x 1＋x 2＋x 321 3 ―→ ―→ ―→ 1113 3 3＝3× ＝，则||＋| |＋| |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＋x 3＋＝(x 1＋x 2＋x 3)＋＝＋FAFBFC2 2 22 2 2＝3.答案：34．直线 l 过抛物线 x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于 A ，B 两点，若线段 AB 的长是 6，AB 的中点到 x 轴的距离是 1，则此抛物线方程是________．解析：设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．抛物线 y 2＝2px (p ＞0)的准线截圆 x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为 2，则 p ＝________. p解析：抛物线 y 2＝2px (p ＞0)的准线为 x ＝－，而圆化成标准方程为 x 2＋(y －1)2＝2，圆21p p 2心M(0,1)，半径r＝2，圆心到准线的距离为，所以2＋2＝( 2)2，解得p＝2.2 (2 ) (2 )答案：25 2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝4________.1 5 1 解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝4 4 45|AF|＝x0，解得x0＝1.4答案：11 3．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则|FP| 1＋＝________.|FQ|解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知直线y＝k(x－2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF|1 1 1 1 x1＋x2＋4＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则＋＝＋＝.联立直线与抛物线|FP| |FQ| x1＋2 x2＋2 x1x2＋2x1＋x2＋41 1 x1＋x2＋4方程消去y，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝|FP| |FQ| x1x2＋2x1＋x2＋4x1＋x2＋4 1＝.2x1＋x2＋821答案：24．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为________．p―→解析：由已知得抛物线的焦点F ( ，0 )，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝AF 2p―→y20―→―→( ，－2) ( ，y0－2)，AM＝.由已知得，AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，022 2p8 8 pM( ，4 ).由|MF|＝5得，＋＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4xp p 2或y2＝16x.答案：y2＝4x或y2＝16x5．(2018·长春模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物|AF|线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________．|BF|解析：记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥2|BC| |BB1|－|AA1| |BF|－|AF|l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cos∠ABB1＝＝＝，即cos|AB| |AF|＋|BF| |AF|＋|BF||BF|－|AF| 1 |AF| 160°＝＝，由此得＝.|AF|＋|BF| 2 |BF| 31答案：36．(2017·天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．―→―→又F(1,0)，所以AC＝(－1,0)，AF＝(1，－a)，―→―→由题意得AC与AF的夹角为120°，－1 1故cos 120°＝＝－，解得a＝3，1 ×1＋－a2 2所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－3)2＝17．(2017·全国卷Ⅱ改编)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________．解析：法一：由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝3(x－1)．1由Error!得x＝或x＝3.3由M在x轴的上方，得M(3,2 3)，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，3 所以点M到直线NF的距离为4×＝2 3.2法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，2则|MN|＝|MF|＝＝4.1－cos 60°又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，3 所以点M到直线NF的距离为4×＝2 3.2答案：2 338．(2018·邢台模拟)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．解析：由题意知，抛物线的准线ly：＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B设1，弦AB的|AA1|＋|BB1|中点为过M，M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，|即AF|2＋|BF|≥6，则|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，所以|MM1|≥3，故M到x轴的最短距离为3－1＝2.答案：29．(2018·镇江质检)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB的边长为________．解析：由题意可知A，B两点一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°，由于y2＝4x的焦点为(1,0)，由Error!化简得y2－4 3y－4＝0，解得y＝2 3＋4或y＝2 3－4，所以△AFB的边长为8＋4 3或8－4 3.答案：8＋4 3或8－4 310．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1＝________.解析：由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠1 ππOFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝.2 2 2π答案：2二、解答题11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．p p解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝2 24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．44 3又∵F(1,0)，∴k FA＝.∵MN⊥FA，∴k MN＝－.3 44 3∴FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2，3 48 4 联立Error!解方程组得x＝，y＝，5 58 4( ，5 ).∴点N的坐标为512.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)．由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.y3－y1 2p又直线AB的斜率k AB＝＝，x3－x1 y1＋y3y4－y2 2p直线MN的斜率k MN＝＝，x4－x2 y2＋y4－2p2 －2p2 －2p2＋y1y3 y1＋y3k AB y2＋y4 y1 y3∴＝＝＝＝2.k MN y1＋y3 y1＋y3 y1＋y3故直线AB与直线MN斜率之比为定值．5。

近年高考数学一轮复习第9章解析几何第9课时抛物线(一)练习理(2021年整理)

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第9课时抛物线(一)1．抛物线x2＝错误!y的焦点到准线的距离是( ）A．2 B．1C.错误!D。

错误!答案D解析抛物线标准方程x2＝2py（p〉0)中p的几何意义为:抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝错误!，故选D.2．过点P（－2，3)的抛物线的标准方程是（)A．y2＝－错误!x或x2＝错误!y B．y2＝错误!x或x2＝错误!yC．y2＝错误!x或x2＝－错误!y D．y2＝－错误!x或x2＝－错误!y答案A解析设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P（－2，3),解得k＝－错误!，m＝错误!,∴y2＝－92x或x2＝错误!y，选A。

3．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是（0，1），则a＝（）A．1 B.错误!C．2 D。

错误!答案D解析因为抛物线的标准方程为x2＝错误!y，所以其焦点坐标为（0，错误!)，则有错误!＝1,a ＝错误!，故选D.4．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ）A．y2＝4x B．y2＝6xC．y2＝8x D．y2＝10x答案C解析∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－错误!。

∵点P(2,y0）到其准线的距离为4，∴|－错误!－2|＝4.∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x。

高考数学一轮复习第九章解析几何 9.7 抛物线学案理

§9.7抛物线考纲展示►1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.了解抛物线的简单应用，掌握其几何性质.3.理解数形结合思想.考点1 抛物线的定义及应用抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．答案：距离相等焦点准线[教材习题改编]动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案：y2＝4x解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.抛物线的定义：关注应用．过抛物线y2＝8x的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于点A，B，则|AB|＝________.答案：16解析：解法一：依题意，过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AB|＝1＋12·x1＋x22－4x1x2＝2×122－16＝16.解法二：过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x 2－12x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12. 由抛物线定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋4＝16.[考情聚焦] 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．主要有以下几个命题角度：角度一到焦点与定点距离之和最小问题[典题1] [2017·江西赣州模拟]若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的点M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)[答案] D[解析] 过点M 作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M 的坐标为(2,2)．角度二到点与准线的距离之和最小问题[典题2] [2017·河北邢台摸底]已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．[答案] 5[解析] 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，则|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度三到定直线的距离最小问题[典题3] 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 [答案] B[解析] 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.角度四焦点弦中距离之和最小问题[典题4] 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．[答案] 2[解析] 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.[点石成金] 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点2 抛物线的标准方程与性质1.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________. 答案：(1)y 2＝2px (p >0) (2)y 2＝－2px (p >0) (3)x 2＝2py (p >0) (4)x 2＝－2py (p >0) 2．抛物线的几何性质答案：O (0,0) y ＝0 x ＝0 1(1)[教材习题改编]若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．答案：－18解析：抛物线y ＝ax 2的标准方程为x 2＝1ay ，∴－14a ＝2，∴a ＝－18.(2)[教材习题改编]将抛物线C 1：x 2＝12y 绕原点逆时针旋转90°，得到抛物线C 2，则C 2的焦点坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0 解析：易知抛物线C 2的方程为y 2＝－12x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0.抛物线的标准方程：注意一次项系数的符号．抛物线x 2＋2py ＝0的焦点到准线的距离为4，则p ＝________. 答案：±4解析：抛物线x 2＋2py ＝0的标准方程为x 2＝－2py ，依题意知|p |＝4，所以p ＝±4.求抛物线的标准方程：待定系数法．抛物线的开口向左，过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段AB 的长为4，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－4x解析：依题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，易得|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2，所以所求抛物线方程为y 2＝－4x .[典题5] (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1) [答案] B[解析] 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y[答案] D[解析] ∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.则x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x . x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题意得p21＋32＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .[点石成金] 1.求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 的值即可．2．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．3．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.若抛物线y 2＝4m x 的准线经过椭圆x 27＋y23＝1的左焦点，则实数m 的值为________．答案：12解析：抛物线y 2＝4m x 的准线方程为x ＝－1m ，椭圆x 27＋y23＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－1m ＝－2，所以实数m ＝12.考点3 焦点弦问题[典题6] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． [解] (1)由题意得，直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)，得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[点石成金] 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0. 由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y B ，则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y A x A ＝k OA . ∴直线AC 经过原点O .考点4 直线与抛物线的位置关系[典题7] 已知A (8,0)，B ，C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC→＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M ，N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )，则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )．∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0，①∴由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ，将b ＝－y 代入①，得y 2＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)，由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋64k 2＝96.② 将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x ，得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0. ∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点， ∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2＞0，即－24＜k ＜24，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝16k 2－4k2，x 1x 2＝64.代入②式，得64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k2＋64k 2＝96. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12.∵k ＝±12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24，∴这样的直线l 不存在．综上，不存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M ，N 两点，且满足OM →·ON →＝97. [点石成金] 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t ＞0)作不过原点O的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．解：(1)由题意知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －t ，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t2.设△PAB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t32.[方法技巧] 1.求抛物线的标准方程时，一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下几个结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以AF 为直径的圆与y 轴相切； (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[易错防范] 直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．真题演练集训1．[2015·浙江卷]如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案：A解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知，焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵ 点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1. 在△CAN 中，BM ∥AN ， ∴ |BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：B解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，解得p ＝4，故选B.3．[2016·四川卷]设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1 答案：C解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则由|PM |＝2|MF |，得M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫p ＋t 22p 3，t 3. 当t ＝0时，直线OM 的斜率k ＝0；当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝tp ＋t 22p ＝1p t ＋t2p，所以|k |＝1p |t |＋|t |2p ≤12p |t |·|t |2p＝22，当且仅当p |t |＝|t |2p 时等号成立，于是直线OM 的斜率的最大值为22，故选C.4．[2016·天津卷]设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案： 6解析：抛物线的普通方程为y 2＝2px ，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，l ：x ＝－p 2.由|CF |＝2|AF |，得|AF |＝32p ，不妨设点A (x ，y )在第一象限，则x ＋p 2＝3p2，即x ＝p ，所以y ＝2p .易知△ABE ∽△FCE ，|AB ||CF |＝|AE ||EF |＝12，所以|EF |＝2|AE |，所以△ACF 的面积等于△AEC 的面积的3倍，即S △ACF ＝92，所以S △ACF ＝12×3p ×2p ＝92，解得p ＝ 6.5．[2016·浙江卷]若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案：9解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.课外拓展阅读对抛物线的标准方程认识不准而致误分析[典例] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233 D.433[解析] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4x －，y ＝12p x 2，消去y ，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0. 设点M 的横坐标为a ，易知在点M 处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′x ＝a ＝a p ，又因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x3±y ＝0，其与切线平行，所以ap ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)．[答案] D。

高考数学一轮复习抛物线专题练习(含答案)

2019 年高考数学一轮复习抛物线专题练习（含答案）平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

下面是查词典数学网整理的2019 年高考数学一轮复习抛物线专题练习，希望岁考生复习有帮助。

(2019 泰州中学检测 )给定圆 P：x2+y2=2x 及抛物线 S：y2=4x，过圆心 P 作直线 l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下按序记为A，B，C，D，假如线段 AB ，BC，CD 的长按此次序组成一个等差数列，求直线 l 的方程 .[ 解] 圆 P 的方程为 (x-1)2+y2=1 ，则其直径长 |BC|=2，圆心为 P(1,0)，设 l 的方程为 ky=x-1 ，即 x=ky+1 ，代入抛物线方程得： y2=4ky+4 ，设 A(x1 ，y1)，D(x2 ，y2)，有则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2=(y1-y2)2=16(k2+1)2 ，所以 |AD|=4(k2+1).依据等差数列性质得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，|AD|=3|BC|=6，即 4(k2+1)=6，k=，即 l 方程为 x-y-=0 或 x+y-=0.2.(2019 苏州调研)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴.求证：直线 AC 经过原点 O.【惯例证法】抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，明显直线 AB 的斜率不为0，当 AB 斜率不存在时，直线 AP 方程为 x=，不如设 A 在第一象限，则易知 A，B，C，此时 kOA==2 ，kOC==2.kOA=kOC ，A，O，C 三点共线，即直线AC 经过原点 O.当 AB 斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 方程为 y=k 代入 y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0 ，设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)，则 x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知 y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线 AC 过原点 O，综上，直线 AC 经过原点 O.【奇妙证法】由于抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB 的斜率不为零，所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x=my+. 代入抛物线方程消去 x 得 y2-2pmy-p2=0.若记 A(x1 ，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是该方程的两个根，所以y1y2=-p2. 由于 BCx 轴，且点 C 在准线 x=-上，所以点 C 的坐标为，故直线 CO 的斜率为 k=== ，即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O.3.(2019 南师附中检测 )设 A(x1 ，y1)，B(x2，y2)为抛物线 y2=2px(p0) 上位于 x 轴双侧的两点 .(1)若 y1y2=-2p，证明直线 AB 恒过一个定点 ;(2)若 p=2，AOB(O 是坐标原点 )为钝角，求直线AB 在 x 轴上的截距的取值范围 .[ 解] (1)设直线 AB 在 x 轴上的截距为 t，则可设直线 AB 的方程为x=my+t. 代入 y2=2px 得 y2=2p(my+t) ，即 y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以 t=1，即直线 AB 恒过定点 (1,0).(2)由于 AOB 为钝角，所以 0，即 x1x2+y1y20.y=2px1 ，y=2px2，yy=2px12px2，于是 x1x2===t2 ，故 x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t. 解不等式t2-4t0，得 00)把点 P(-2，-4)代入得 (-4)2=-2p(-2).解得 p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点 P(-2，-4)代入得 (-2)2=-2p(-4).解得 p=.抛物线方程为 x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x 或 x2=-y.[ 答案 ] y2=-8x 或 x2=-y4.(2019 广东高考 )已知抛物线 C 的极点为原点，其焦点 F(0，c)(c0)到直线 l ：x-y-2=0 的距离为 .设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C的两条切线 PA，PB，此中 A，B 为切点 .(1)求抛物线 C 的方程 ;(2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线AB 的方程 ;(3)当点 P 在直线 l 上挪动时，求 |AF||BF|的最小值 .[ 解题思路 ] (1)由点到直线的距离求 c 的值，获得 F(0，c)后可得抛物线的方程 ;(2)采纳设而不求策略，先设出 A(x1 ，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线 PA，PB 的方程，代入点 P 的坐标，依据构造，可得直线 AB 的方程 ;(3) 将|AF||BF|转变为对于 x(或 y)的函数，再求最值 . [ 解] (1)依题意，设抛物线 C 的方程为 x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得 =，解得 c=1(负值舍去 )，故抛物线 C 的方程为 x2=4y.(2)由 x2=4y，得 y=x2 ，其导数为 y=x.设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)，则 x=4y1，x=4y2，切线 PA，PB 的斜率分别为 x1，x2，所以切线 PA 的方程为 y-y1=(x-x1) ，即 y=x-+y1 ，即 x1x-2y-2y1=0.同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0.由于切线 PA，PB 均过点 P(x0，y0)，所以 x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解 .所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知 |AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以 |AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去 x 并整理获得对于y 的方程为 y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0 ，y1y2=y.所以 |AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点 P(x0，y0)在直线 l 上，所以 x0-y0-2=0，即 x0=y0+2，所以 y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+ ，所以当 y0=-时， |AF||BF|获得最小值，且最小值为.“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。

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