4.3 力矩的功 刚体定轴转动的动能定理

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4.3-4.4 力矩的功 刚体定轴转动的动能定理 转动定律
M
j
ej
( m r )α
2 j j
转动惯量:
J m r
j
z
O
2 j j
r j m j
Fej
转动定律 M J
Fij
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
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第四章
刚体力学简介
第四章
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4.3-4.4 力矩的功 刚体定轴转动的动能定理 转动定律
本节内容概要
力矩的功和功率 刚体的转动动能和重力势能 刚体绕定轴转动的动能定理 刚体定轴转动定律
本节教学要求
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rdr (2 πr )
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4.3.2 力矩的功 dW F dr Ft ds
Ft rd
dW Md
力矩的功 W
d Ft
v
F
o
2
1
r
dr
x

Md
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M mr2
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij m r
2 j j
（2）刚体
z
O
r j m j
Fej
外力矩
内力矩
ej
Fij
2 j j
M
M
j
M ij m r
M ej ( m j rj2 )α
j
j
ij
j
0
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• 讨论 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平 固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开 始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪 一种是正确的？ • (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小． • (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大． • (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小．

2
1
Md
力矩的功率
d Ft
v
F
dW d P M dt dt M
比较 W F dr
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o
r
dr
x
P F v
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4.4 转动定律
（1）单个质点 m 与转轴刚性连接
4.3.1 力矩
力矩－－描述力对 刚体的转动作用。
F 对转轴 z 的力矩 M r F
z
M
F
O
r
*
d
P

M Fr sin Fd
d : 力臂
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讨论 1）如果一个刚体所受合外力为零，其合外
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FT1 mA a mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN mA FT1 O x PA
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FT1
PC
FC
FT2
FT2
不计滑轮轴的摩擦，则有
• (A)
B ，
A＝ B
．
A
B
• (B)
• (C)
A＞ B
A＜ B
．
．
M

F
(D) 开始时
A＝ B ，以后 A＜ B
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．
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例3 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
理解刚体定轴转动的转动动能概念，会计算力矩的功、刚体的 转动动能。 掌握刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律，能对含有定 轴刚体在内的系统正确应用机械能守恒定律。 掌握刚体绕定轴转动的转动定律，能求解定轴转动刚体和质点 联动问题。 第四章 刚体力学简介
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O A
• (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大．
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解 (1) df
mg
πR
2
2
drdl
o
R
df
r dl dr
rdf
dM
mg
πR
πR
2
rdrdl
mg
rdr (2 πr )
2 mg M 2 R
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R
0
2 r dr Rmg 3
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讨论
2）若力 F 不在转动平面内 F Fz F z
k
O
F 对转轴力矩：
F
M z k r F
M z rF sin
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r
Fz

F
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解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN 作用
m,l O
FN
θ
mg
1 mgl sin J 2
式中
1 2 J ml 3
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3g sin 得 2l
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2
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(2) 由转动定律求 ，(唱片J=mR2/2)
2 M Rmg 3
M 4 g J 3R 0 t
3R t 4 g
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drdl
R
df 对点o力矩：
rdf
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mg
πR
2
rdrdl
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4.3-4.4 力矩的功 刚体定轴转动的动能定理 转动定律rdfຫໍສະໝຸດ mgπR2
rdrdl
o
df
r
ω
dl dr
宽为dr圆环：
dM
mg
2
πR R 2 mg 2 r dr 2 R 2 mg R 2 2 M 2 0 r dr 3 Rmg R
讨论 3）合力矩
M M1 M 2 M 3
4）刚体内作用力和反作用力的力矩
M ij
rj
j
Fji
ij
O
M ji
d
iF ri
Mij M ji
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例2 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘 面的轴以角速率 ω 作匀速转动．放上唱片 后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转 盘间的摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘 间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω时需 要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱 动力矩做了多少功？
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例4 一长为 l 、质量 为 m 匀质细杆竖直放置， m,l 其下端与一固定铰链O相 θ 接，并可绕其转动．由于 mg O 此竖直放置的细杆处于非 稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时 的角加速度和角速度．
力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为
零，其合外力是否也一定为零？
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
Fi 0 , Mi 0
刚体定轴转动平衡条件： M 0 （保持静止或匀角速转动状态）。
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解 (1) (隔离法) 对 各物体受力分析，并取如 图所示坐标系。
A
FT1
PC
FC
mA
FN FT1 mA O x PA
C
FT2
mC
FT2
mB PB y
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O
mB B
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mB g a mA mB mC 2
(2) 物体 B 从静 止落下距离 y 时，其 速率是多少？
A
mA
C
mC
mB B
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
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2 M Rmg 3
3R t 4g
2 0
(3) 0 到 t 的时间内驱动力矩做的功
2
2
3 R 8g 1 2 2 W M mR 4
2
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力矩的功 W
z
M
O
Ft
M r F r (Ft Fn )
r
F
m Fn
Ft mat mr
M rFt mr
2
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M mr
2
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单个质点：
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dω dω dθ dω ω dt dθ dt dθ
3g ωdω sin θdθ 2l
m,l O
FN
θ
mg
3g ω (1 cos θ ) l
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例1 一半径为R、质量为m的匀质圆盘，
以角速度ω绕中心轴转动。现将它平放在一
水平板上，盘与板 表面的摩擦因数为μ。
m
ω
求圆盘所受的摩擦力矩。
R
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解：
ds = drdl
df
ω
dl dr
df
mg
πR
2
o
r
讨论 一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固
定有质量为2m和m的小球，杆可绕通过其中心O且与 杆垂直的水平光滑固定轴在垂直平面内转动．开始 杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，释放后， 杆绕O轴转动．则当杆转到水平位置时，该系统所受 到的合外力矩的大小M＝___，此时该系统角加速度
的大小α ＝____．
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转动定律
说明 (1) M J ,
M J
与 M 方向相同。
(2) 瞬时关系。 (3) 转动中 M J与平动中F ma 地位相同。
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O

2m
1 答案： mgl ；2g / (3l) 2
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m
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• 讨论 如图所示， A 、 B 为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为 M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F ＝ Mg ．设 A 、 B 两滑轮的角加速度分别为 A和
• 讨论 一个作定轴转动的轮子，对轴的转动
惯量J =2.0kg· 2，正以角速度 m
0 作匀速转
动．现对轮子加一恒定的力矩M =-12N· m，
经过时间ｔ＝8.0ｓ 时轮子的角速度
－ 0 ，则
0 ＝___．
＝
答案：14 rad/s
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mB PB y
25
O
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解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2 (mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
mA mB g 若 mC 0，则： FT1 FT2 mA mB