2018年秋九年级数学上册第24章一元二次方程24.3一元二次方程根与系数的关系导学课件(新版)冀教版
24.3 一元二次方程根与系数的关系 课件-2021-2022学年冀教版九年级数学上册
-----冀教版九年级上册第二十四章第3节
选自冀教版高中
深化理解
知识基础
一、教材解读
第二十四章 一元二次方程
24.1 一元二次方程 24.2 解一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系 24.4 一元二次方程的应用
自然延伸
积
累
转化
代
一次式
利用根
数
乘积
的概念
推
理
的
基
本
经
验
(三) 交流展示，探究问题
韦达
欧拉
渗透文化 增强兴趣
(四) 解决问题，反思提升
注意的问题
化为一般式
(四) 解决问题，反思提升
基本知识
强化方法
探究过程 解决问题
六、教学反思 感悟符号表达
05
发现问题
提出问题
01
03
根与
系数
探究问题 02 关系 04
分式方程
一元一次方程
01
抽象概括
三、学情分析 教学难点
一元二次方程根与系数 关系的发现及探究.
四、教学策略
发现问题 提出问题 解决问题
层层递进 设置问题
小组合作 探究学习
五、教学过程
回顾 旧知
师生 对话
交流 展示
解决 问题
(一) 回顾旧知，发现问题
根——系数
特殊
一般
(二) 师生对话，提出问题
06
积累推理经验
一般过程 一般方法
系数表述根 根系数表示
一、教材解读 教学重点
一元二次方程根与系数 关系及探究过程.
二、教学目标
经历观察、归纳、猜想、 推理的过程，了解一元二 次方程根与系数的关系.
24.3一元二次方程根与系数的关系
方程 x2-5x+6=0
x1
x2
x2+3x-4=0
6x2+x-2=0
2x2-3x+1=0
x1＋x2
2024/6/13
x1·x2
思考:
1、观察上表,方程的两根为x1,x2,则x1+x2,x1x2
与方程的系数之间有什么关系?
2、语言叙述你发现的规律； 3、对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2-
x1
2a
x2 b
b2 4ac .
2a
2024/6/13
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
2b b ， 2a a
b b2 4ac b
x1 x2
2a
(b)2
(b2 4a2
4ac)
c. a
b2 4ac 2a
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2-4ac≥0
2024/6/13
1、根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方 程两根的和与两根的积：
（1）-x2+3x-2＝0； （2）2x2+5x＝0； （3）x2-8＝0； 2、已知关于x的一元二次方程x2+(k-1)x+ k2 ＝0两 根的积为1，求k的值。
2024/6/13
另外几种常见求值：
① 11
x1 x2
④ x2 x1
x1 x2
② x12 x22
③（x1
-
x
）2
2
⑤ ( x1 1)( x2 1)
若方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2
2019-2020学年度数学九年级上册第24章 一元二次方程24.3 一元二次方程根与系数的关系冀教版练习题四十三
2019-2020学年度数学九年级上册第24章一元二次方程24.3 一元二次方程根与系数的关系冀教版练习题四十三第1题【单选题】已知α，β是一元二次方程x^2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α^2+αβ+β^2的值为( )A、﹣1B、9C、23D、27【答案】：【解析】：第2题【单选题】若方程3x^2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1 ，x2 ，则x1+x2=( )A、﹣4B、3C、有误D、有误【答案】：【解析】：第3题【单选题】已知一元二次方程x^2+3x-4=0的两个根为x1 ，x2 ，则x1?x2的值是( )A、-4B、2C、4D、-2【答案】：【解析】：第4题【单选题】若一元二次方程x^2+3x﹣4=0的两根是x1、x2 ，则x1?x2=( )A、3B、﹣3C、4D、﹣4【答案】：【解析】：第5题【单选题】若关于x的一元二次方程x^2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为( )A、1B、﹣1C、2D、﹣2【答案】：【解析】：第6题【填空题】已知三角形两边长是方程x^2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是______．【答案】：【解析】：第7题【填空题】如果关于x的一元二次方程2x^2+6x+3=0有两个实数根α、β，那么（α﹣1）^2+（β﹣1）^2的值是______．A、14【答案】：【解析】：第8题【填空题】已知：一元二次方程x^2-6x+c=0有一个根为2，则另一根为______。
【答案】：【解析】：第9题【填空题】若关于x的方程x^2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为______．A、-2【答案】：【解析】：第10题【填空题】已知x1 ，x2是关于x的方程x^2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，则b^a的值是______．【答案】：【解析】：第11题【填空题】若x=3是方程x^2﹣9x+6m=0的一个根，则另一个根是______．A、6【答案】：【解析】：第12题【填空题】关于x的一元二次方程x^2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是______．【答案】：【解析】：第13题【计算题】已知方程5x^2+kx﹣6=0的一根是2，求它的另一根及k的值．【答案】：【解析】：第14题【综合题】已知关于x的一元二次方程x^2+（2k+1）x+k^2=0①有两个不相等的实数根．求k的取值范围；设方程①的两个实数根分别为x1 ，x2 ，当k=1时，求x1^2+x2^2的值．【答案】：【解析】：第15题【综合题】某公司经市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价(1≤x≤100)为(x＋30)元/件，而该商品每天的销售量y(件)满足关系式：y＝220－2x，如果该商品第15天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．求该公司生产每件商品的成本为多少元；问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至4500元之间(包含4000和4500)，且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围．【答案】：【解析】：。
冀教版九年级数学上册第二十四章24.3 《一元二次方程根与系数的关系》教案
24.3 一元二次方程根与系数的关系*┃教学整体设计┃【教学目标】1.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用.2.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力，提高学生推理论证的能力.【重点难点】重点：1.让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述. 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系.难点：正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系.┃教学过程设计┃二、师生互动，探究新知1.阅读教材第45页“一起探究”1，2并完成，小组合作，你发现了什么？提示：通过具体例子可以发现，两个方程，当它们为一般形式时，根与系数的关系为x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝c a. 师生活动：学生阅读并小组交流，谈自己的看法. 2.你是否能利用求根公式验证你的猜测？ 当b 2－4ac ≥0时，有x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba ， x 1·x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac2a ＝－b2－b 2－4ac24a2＝4ac 4a 2＝ca. 3.请用自己的语言总结根与系数的关系.如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.师生活动：学生自己试着进行推理验证自己的猜想，老师巡回指导.(3)(x 1＋1)(x 2＋1). 【能力提升】4.已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＝0的两个实数根，x 21x 22－x 1－x 2＝115，求k 的值. 四、课堂小结，提炼观点 本节课，我学会了：1.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1和x 2，那么________.它成立的条件是________.2.如何运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.师生活动：教师提出问题，学生通过总结一节课所学内容进行总结归纳.反思所学，把握 “一元二次方程根与系数的关系”的核心思想及易错点.五、布置作业，巩固提升必做：教材第46页A 组第1，2题.选做：教材第46页B 组第1，2题.通过分层次布置作业，体现了分层次教学，使每个学生都有收获.┃教学小结┃ 【板书设计】一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系：x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝c a. 推导验证：当b 2－c ≥0时，有x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba ，x 1·x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac2a ＝－b2－b 2－4ac24a2＝4ac 4a 2＝c a. 总结应用： 【教学反思】1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行的.它表现了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础.2.以一元二次方程根与系数的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.。
24.3一元二次方程根与系数的关系
x
1 3
2
x x x .x
1 2
1
2
2 3
1 -2
4 3
7 3
1 3 2 3
1 9
说一说，你又有什么发现？
猜想：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且
a≠0）的两根为x1、x2， （当b2 4ac 0时）则有Biblioteka b x1 x 2 a
c x1 x 2 a
验证：
c a
一元二次方程根与系数的关系
如果ax 2 bx c 0(a 0) 的两根分别是
x ,x
1
2
则有 x 1
x
2
b c ; x 1 .x 2 a a
一元二次方程根与系数的关系是法 国数学家“韦达”发现的,所以我们又称 之为韦达定理.
例
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方
解：由题意得 x1 x2 2, x1x2 3
( x1 1)(x 2 1)
x1x 2 ( x1 x 2) 1 2 3 1 4
解：由题意得 x 1 x 2 2,x 1x 2 3
x 2 x1 x1 x 2
x22 x12 x1x 2 ( x1 x 2 ) 2 2 x1 x 2 x1 x 2
若方程ax 2 bx c 0 (a 0) 有两个根x1,x 2
-b- b2-4ac x2= 2a
-b+ b2-4ac x1= 2a
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1+x2= + 2a 2a
-2b = 2a
b a
冀教版数学九年级上册24.3《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
冀教版数学九年级上册24.3《一元二次方程根与系数的关系》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.3《一元二次方程根与系数的关系》是本册教材的重要内容之一，主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，培养学生解决实际问题的能力。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这一关系解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的解法，对一元二次方程有一定的认识。
但是，对于一元二次方程的根与系数之间的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索一元二次方程的根与系数之间的关系，提高学生的数学思维能力。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.培养学生解决实际问题的能力。
3.培养学生合作交流、自主探索的意识和能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解并运用一元二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.引导探究法：引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.案例分析法：通过典型例题，让学生理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
3.小组合作法：让学生在小组内合作交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程的典型例题。
2.准备PPT，用于展示教学内容。
3.准备黑板，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生初步感知这一关系。
3.操练（10分钟）教师给出典型例题，让学生独立解决，然后学生进行交流分享，引导学生总结出一元二次方程的根与系数之间的关系。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用一元二次方程的根与系数之间的关系进行解答，巩固所学知识。
初中数学 【学案】24.3 一元二次方程根与系数的关系
解一元二次方程学习目标理解配方法，会用配方法解一些简单数字系数的一元二次方程，从中体会转化、降次的数学思想方法.学前准备解二元一次方程组的方法有______法和______法，我们通过这些方法达到_______的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程.（答案：消元）自主学习1.直接开平方法：形如a x 2＝m或a ( x＋c ) 2＝m ，若a、m同号且a≠0，则可直接用来解方程．若a、m异号则可直接判断方程解．2.配方法：通过配方，把方程的一边化为，另一边化为数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种方法就做解一元二次方程的配方法.它是一种重要的数学方法，它是推导一元二次方程求根公式的基础．配方法的步骤：（1）二次项的系数化为；（2）把常数项移到方程的边；（3）方程两边都加上的平方；（3）把左边配成一个式；（5）开方：若右边是非负数，则可利用直接开平方法求得解．注意：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若b是a的偶数倍，利用配方法较简便．探究活动活动一直接开平方法1.下列各式中的x.（1）x2=225；（2）x2-169=0；（3）9x2-25=0．解题的依据是：一个正数有________平方根，这两个平方根____________.2.解方程 (x+3)2=2．解：因为x+3是2的平方根，所以x1=__________,x2=____________.结论：以上解一元二次方程的方法就叫做________________________.活动二配方法1.填空：(1)x2+8x+______=(x+ )2；(2)x2-10x+_____=(x- )2；(4)x2+ax+______=(x+ )2.小结：为了配成完全平方，应填上一次项系数_____________.2.探索一元二次方程x 2+8x+7=0的解法.将常数项移到方程的右边，得x 2+8x=-7方程两边都加上一次项系数一般的平方，得__________________配方，得 (x+3)2=2，开方，得x+3=_______.所以x 1=______，x 2=_______.结论：以上解方程的方法是__________法，其步骤是__________________；___________________；________________；__________________________.练一练解一元二次方程：（x-1）2=4.解：直接开平方，得 x-1=±2.即 x-1=2，或x-1=-2.所以 x 1=3，x 2=-1.用配方法解方程x 2-4x+1=0.解：移项，得x 2-4x=-1.配方，得x 2-4x+（-2）2=-1+（-2）2，即（x-2）2=3.解这个方程，得2x -=∴1222x x ==课堂检测 1.方程x 2－64＝0的解是（ ）A ．x=8 B. x= -8C. x=4D. x=±82.若方程（x+2）2－9＝0，则x 的值等于（ ）A ．1±B ．2±C ．0或2D ．1或-53.用配方法解关于x 的方程x 2+px+q=0时，此方程可变形为（ ）A ．22424p p q x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．22424p q p x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．22424p p q x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．22424p q p x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4.方程22310x x -+=化为2()x a b +=的形式，则正确的结果为（ ）A ．23()162x -=B ．2312()416x -= C ．231()416x -= D ． 以上都不对 5.请你写出一个两根互为相反数的一元二次方程 .6.已知关于x 的二次方程4x 2＋4kx ＋k 2＝0的一个根是2，那么k ＝ ．7. 用配方法解方程：（1）2220x x +-=；（2）234x x +=；（3）2 x 2＋7 x －4＝0.答案，【解析】方程可变形为2x ＝64，直接开平方得x=±8．2．D ，【分析】原方程可变形为：（x+2）2=9，开平方得x ＋2＝±3，即x 1=1，x 2=－5. ，【解析】完全平方部分常数项应该为一次项系数一半.，【解析】方程两边都除以2得231022x x -+=，移项得23122x x -=-，配方得2223313()()2424x x -+-=-+-，即231()416x -=. 5.答案不唯一，如2x －2＝0等.6.－4，【解析】把x ＝2代入原方程得：k 2＋8k ＋16＝0；配方得（k ＋4）2＝0；所以k ＝－4.7. （1）移项得222x x +=；两边同时加上一次项系数一半的平方得：2213x x ++=；配方得：2(1)3x +=，解得：1x +=．11x ∴=-21x =-（2）移项，得243x x -=-，配方，得2(2)1x -=，∴x-2=±1，所以123, 1.x x ==(3) 移项得： 2 x 2＋7 x ＝4 两边同除以2得：x 2＋27x ＝2 配方得： x 2＋22)47(2)47(27+=+x ，∴ ( x+2)47＝1681， 开平方得：x ＋4947±=， ∴ x 1＝21x 2＝－4.。
九年级数学上册第24章一元二次方程24.3一元二次方程根与系数的关系作业冀教版(2021年整理)
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24。
3 一元二次方程根与系数的关系一、选择题1．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2等于A．－4 B．3 C．－43D。
错误!2．一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根分别为x1，x2，则x1·x2的值为A．1 B．－1 C．2 D．－23．已知方程x2－5x＋2＝0的两个根分别为x1，x2,则x1＋x2－x1·x2的值为（）A．－7 B．－3 C．7 D．34．已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两个根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是( )A．a＝－3，b＝1 B．a＝3，b＝1C．a＝－错误!，b＝－1 D．a＝－错误!，b＝15．[2017·石家庄七中模拟］已知m,n是方程x2－2x－1＝0的两实数根,则错误!＋错误!的值为( ）A．－2 B．－12C.错误! D．26．已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式（a－b）(a＋b－2)＋ab的值等于( )A．－1 B．1 C．0 D．27．［2017·保定一模］已知mn≠1，且5m2＋2017m＋9＝0,9n2＋2017n＋5＝0,则错误!的值为( ）A．－402 B.59C。
07-24.3 一元二次方程根与系数的关系_九年级上册数学冀教版
8.教材P46B组T1变式[2022凉山州中考]阅读材料：材料1：若关于的一元二次方程的两个根为 ，，则， .材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为， ，求 的值.解： 一元二次方程的两个实数根分别为， ，， ， .根据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题：
24.3 一元二次方程根与系数的关系*
过基础 教材必备知识精练
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.[2024邯郸永年区期中]若，是一元二次方程 的两个根，则 的值为( )
B
A.10 B.3 C. D.
【解析】 ，是一元二次方程 的两个根， .
2.教材P46练习变式若关于的一元二次方程的两个根为， ，则这个方程可能是( )
知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用
4.一题多解 原创题已知矩形的两邻边长是方程 的两个根，则矩形的面积是( )
A
A.6 B.5 C.10 Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
解法一 设矩形的两邻边长分别为，，则，是方程 的两个根，由根与系数的关系可知 .解法二解方程，得， .所以矩形的面积为6.
5.若一元二次方程的两个实数根分别是， ，则一次函数 的图像一定不经过( )
7.[2023石家庄四十四中期末]在解一元二次方程 时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项 ，得到的解为， ．请你写出正确的一元二次方程:_________________．
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 方程的两个实数根分别是,， ，，则一次函数的表达式为， 该一次函数的图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
2023-2024学年九年级数学上册第24章一元二次方程24.3一元二次方程根与系数的关系上课课件新
答案
2.D ∵一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为2和3,∴2+3=-b,2×3=c,∴b=-5,c=6.
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
3. [2022遂宁期中]下列一元二次方程满足两实数根之和为-4的是 ( )
知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用
6. 若一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a,b,则一次函数y=abx+a+b的图像
一定不经过 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
6.D ∵方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a,b,∴a+b=7,ab=5,则一次函数的表达式为 y=5x+7,∴该一次函数图像经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用 答案
知识点2 一元二Biblioteka 方程根与系数关系的应用 答案知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用
10. 已知某等腰三角形的三边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-8x+n-
2=0的两根,则n的值为
.
答案
10.18 当2为底边长时,a=b,a+b=8,∴a=b=4.∵4,4,2能围成三角形,∴n-2=4×4,解得 n=18;当2为腰长时,a,b中有一个为2,则另一个为6,∵6,2,2不能围成三角形,∴此种情况 不存在.综上,n的值为18.
A.x2+2x-4=0
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24.3 一元二次方程根与系数的关系
②当 x1＝－x2 时，x1＋x2＝2(m＋2)＝0，解得 m＝－2， 此时 b －4ac＝－4(m －4m－5)＝－4×[(－2) －4×(－2)－5]＝－4× 7＝－28＜0， 此时一元二次方程无解． 综上所述，m 的值为－1 或 5.
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24.3
目标突破
目标一
一元二次方程根与系数的关系
掌握一元二次方程根与系数的关系
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例 1 [教材补充例题]若 x1，x2 是一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a ≠0)的根，请你求出 x1＋x2 和 x1·x2 的值(用含 a，b，c 的代数式表 示)．
b c 解：x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ . a a
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24.3 一元二次方程根与系数的关系
[归纳总结]与一元二次方程的根有关的代数式的变形 (1)x1 ＋x2 ＝(x1＋x2) －2x1x2. (2)(x1－x2) ＝(x1＋x2) －4x1x2. (3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1. 1 1 x1＋x2 (4) ＋ ＝ . x1 x2 x1x2
第二十四章 一元二次方程
第二十四章 一元二次方程
24．3
一元二次方程根与系数的关系
知识目标
目标突破
总结反思
24.3 一元二次方程根与系数的关系
知识目标
1．经过探究，发现一元二次方程的两根之和以及两根之积 与系数的关系． 2．通过对一元二次方程根与系数之间的关系的理解，能够 利用一元二次方程根与系数的关系解决简单的问题．
24.3
一元二次方程根与系数的关系
例 2 [教材例题针对训练]根据一元二次方程根与系数的关 系，求下列一元二次方程两根的和与积． (1)x ＋6x－5＝0；(2)2x －12x＋1＝0； (3)3x ＋3＝6x.
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24.3
一元二次方程根与系数的关系
解：(1)a＝1，b＝6，c＝－5，且b2－4ac＝62－4×1×(－5)＝56＞0， b c 所以x1＋x2＝－ ＝－6，x1·x2＝ ＝－5. a a (2)a＝2，b＝－12，c＝1，且b2－4ac＝(－12)2－4×2×1＝136＞0， b c 1 所以x1＋x2＝－ ＝6，x1·x2＝ ＝ . a a 2 (3)原方程可化为3x －6x＋3＝0，这里a＝3，b＝－6，c＝3，b －4ac＝(－ －6 3 6) －4×3×3＝0，所以x1＋x2＝－ ＝2，x1·x2＝ ＝1. 3 3
b －4ac＝[－2(m＋2)] －4(2m －1)＝0， 2 整理得m －4m－5＝0， 解得m1＝－1，m2＝5.
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2Hale Waihona Puke 224.3 一元二次方程根与系数的关系
②当x1＝－x2时，x1＋x2＝2(m＋2)＝0， 解得m＝－2. 综上所述，m的值为－1或5或－2. 以上做法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答 过程．
一元二次方程根与系数的关系
利用一元二次方程根与系数的关系求与两根有关的代数式的值
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例 3 [教材补充例题]已知： x1 ， x2 是方程 2x ＋3x－1＝0 的两个根， 求下列代数式的值： (1) ＋ ；(2)x1 ＋x2 . 1 1
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x1 x2
24.3
一元二次方程根与系数的关系
解：∵x1，x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个根， 3 1 ∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ . 2 2 －3 2 1 1 x1＋x2 (1) ＋ ＝ ＝ ＝3. x1 x2 x1x2 1 － 2 9 13 (2)x1 ＋x2 ＝(x1＋x2) －2x1x2＝ ＋1＝ . 4 4
[注意] 使用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是b2－4ac≥0.
24.3
反思
一元二次方程根与系数的关系
已知一元二次方程x2－2(m＋2)x＋2m2－1＝0有两个根x1和x2，并 且x1 －x2 ＝0，求m的值． 解：∵x1 －x2 ＝0， ∴x1＝x2或x1＝－x2. ①当x1＝x2时，
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x1 x2 x1 ＋x2 （x1＋x2） －2x1x2 (5) ＋ ＝ ＝ . x2 x1 x1x2 x1x2
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24.3 一元二次方程根与系数的关系
总结反思
小结 知识点 一元二次方程根与系数的关系
2
如果关于x的一元二次方程ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别
b c － 为x1，x2，那么x1＋x2＝____ a ，x1·x2＝____ a ．
24.3 一元二次方程根与系数的关系
解：以上做法不正确．理由：利用根与系数的关系解得原方程中字母的 值时，不要忘记必须保证原方程根的判别式b －4ac≥0.当m＝－2时，b － 4ac＝－4(m2－4m－5)＝－4×[(－2)2－4×(－2)－5]＝－4×7＝－28＜0， 此时一元二次方程无解． 正解：∵x12－x22＝0，∴x1＝x2或x1＝－x2. ①当x1＝x2时，b2－4ac＝4(m＋2)2－4(2m2－1)＝－4(m2－4m－5)＝0， 整理得m2－4m－5＝0，解得m1＝－1，m2＝5.
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24.3
一元二次方程根与系数的关系
[ 归纳总结 ] 利用一元二次方程根与系数的关系求两 根的和与积的一般步骤 (1)化方程为一般形式； (2)确定 a，b，c 的值及 b －4ac 的符号； (3)当 b －4ac≥0 时，利用根与系数的关系直接写出 两根的和与积．
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24.3
目标二