高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第6课时 同角三角函数的基本关系(2) 含解析

第6课时 同角三角函数的基本关系(2)

课时目标

1.巩固同角三角函数关系式．

2．灵活利用公式进行化简求值证明．

识记强化

1．同角三角函数关系式是根据三角函数定义推导的．

2．同角三角函数的基本关系式包括：

①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1 ②商数关系：tan α＝sin αcos α

. 3．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是α≠k π＋π2

(k ∈Z )． 4．sin 2α＋cos 2α＝1的变形有sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α等．tan α＝sin αcos α的变形有sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α

等．

课时作业

一、选择题

1．已知cos 2θ＝925，且3π2

＜θ＜2π，那么tan θ的值是( ) A.43 B ．－34

C.34 D ．－43

答案：D

解析：∵3π2＜θ＜2π，cos 2θ＝925，∴cos θ＝35

. ∴sin θ＝－45，故tan θ＝sin θcos θ＝－43

. 2．已知tan α＝2，则11＋sin α＋11－sin α

的值为( ) A ．6 B ．10

C ．5

D ．8

答案：B

解析：先将所求关系式化简，再代入求值．

11＋sin α＋11－sin α＝2(1＋sin α)(1－sin α)＝2cos 2α

. ∵tan α＝sin αcos α

＝2，∴sin α＝2cos α， ∴sin 2α＋cos 2α＝4cos 2α＋cos 2α＝5cos 2α＝1，

∴cos 2α＝15，∴原式＝2

15

＝10.故选B.

3．设cos100°＝k ，则tan100°＝( )

A.1－k 2k B ．－1－k 2

k

C ．±1－k 2k

D ．±k

1－k 2 答案：A

解析：∵100°是第二象限角，cos100°＝k ，

∴sin100°＝1－k 2，∴tan100°＝1－k 2

k .

4．已知sin θ＝m －3

m ＋5，cos θ＝4－2m

m ＋5，则m 的值为( )

A ．0

B ．8

C ．0或8

D ．3＜m ＜9

答案：C

解析：利用sin 2θ＋cos 2θ＝1，求m 的值．

5．化简⎝⎛⎭⎫tan x ＋1

tan x cos 2x ＝( )

A ．tan x

B ．sin x

C ．cos x D.1tan x

答案：D 解析：⎝⎛⎭⎫tan x ＋1

tan x cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫sin x

cos x ＋cos x

sin x cos 2x

＝sin 2x ＋cos 2x

sin x cos x ·cos 2x ＝cos x

sin x ＝1

tan x .

6．已知tan α＝1

2，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π

2，则sin α的值是( )

A ．－55 B.5

5

C.255 D ．－255

答案：A

解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π

2，∴sin α<0.由tan α＝sin αcos α＝1

2，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－5

5.

二、填空题

7．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________.

答案：－m

1＋m 2

解析：因为tan α＝m ，所以sin 2α

cos 2α＝m 2，

又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1

m 2＋1，

sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π

2，所以tan α＞0，

即m ＞0.因而sin α＝－m

m 2＋1. 8．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.

答案：2

解析：将已知等式两边平方，得cos 2α＋4sin 2α＋4sin αcos α＝5(cos 2α＋sin 2α)，化简得sin 2α－4sin αcos α＋4cos 2α＝0，即(sin α－2cos α)2＝0，则sin α＝2cos α，故tan α＝2.

9．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α

＝________. 答案：13 7 解析：∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，∴sin αcos α＝13.tan 2α＋1tan 2α＝⎝⎛⎭⎫tan α＋1tan α2－2tan α1tan α

＝9－2＝7. 三、解答题

10．求证：1－2sin2x cos2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan2x 1＋tan2x

. 证明：左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin2x cos2x cos 22x －sin 22x

＝(cos2x －sin2x )2

(cos2x －sin2x )(cos2x ＋sin2x )

＝cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x

＝1－tan2x 1＋tan2x

＝右边． 11．已知tan α＝3，求下列各式的值：

(1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α

； (2)sin 2α－2sin αcos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α

； (3)34sin 2α＋12

cos 2α. 解：(1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α

＝4tan α－13tan α＋5

＝4×3－13×3＋5＝1114

(2)sin 2α－2sin αcos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α

＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α ＝9－6－14－27

＝－223 (3)34sin 2α＋12

cos 2α