2012年中考代数综合题教材分析

4. 认识综合题的结构,确定知识的结合点.
将数学知识、数学思想、数学技能等融会贯通, 正确地处理已知和未知、条件和结论之间的关系.
思考3：怎么解代数综合题?
已知关于 x 的一元二次方程 2 x2 4 x k 1 0 有实数根， k 为正整数. （1）求 k 的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的 二次函数 y 2 x 4 x k 1 的图象向下平移 8 个 单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保 持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象 回答： 当直线 y
k 2；
④二次函数图像的平移与解析式系数变化的对应关系不清； ⑤不少同学采取了将解析式配方后再平移，但配方常发生计算错误.
22 2013-8-1
思考3：怎么解代数综合题?
（3）. 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方 的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图 象.请你结合这个新的图象回答： 当直线 y 象有两个公共点时， b 的取值范围.
一元二次方程的根 的判别式
k
2
一元二次方程的特殊解、 解一元二次方程、 二次函数的平移
y
8
6 4 2 A O B 2 4 x
1 x b b k 与此图象有两个公 2
共点时， b 的取值范围.
19 2013-8-1
思考3：怎么解代数综合题?
已知关于 x 的一元二次方程 2 x2 4 x k 1 0 有实数根， k 为正整数. （1）求 k 的值；
y 2 x 2 4 x k 1 的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；
第（2）问学生典型错误： ①对条件“此方程有两个非零的整数根”解读不正确，很多同学解读成“原方程有两个不等实 根”得出△ 0 ，进而得出 k 3 ，导致后续完全错误； ②忽略条件“此方程有两个非零的整数根”，导致求了三个解析式（ k 1, 2,3 时的） ； ③在 k 1, 2,3 的前提下，不会判断何时方程有两个非零的整数根，导致未舍去 k 1 或
代数综合 （含字母系数 的一元二次方 程、判别式、 求实数根、构 造新函数、画 函数图象，根 据两个函数图 象信息比较函 数值大小、数 形结合）
四年考点梳理
（1）代数式求值、代数式比较大小等； （2）方程相关概念、方程根的判别式；解含有字母系数的 一元二次方程；方程的特殊解（整数根）；利用图象解丌等 式
7
2009北京（7分）
2
近年考题
23. 已知关于 x 的一元二次方程 2 x 4 x k 1 0 有实数根，
k 为正整数. （1）求 k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的二次函数
y 2 x 2 4 x k 1 的图象向下平移 8 个单位，求平移后的
y 8 6 4 2 A O B 2 4
1 x b b k 与此图 2
第（3）小问学生典型错误： ①要求“结合这个新的图象回答”视而不见，试图通过纯计算解出，结果徒劳无益；
1 ②对直线 y x b 不理解（对一次函数 k , b 的作用理解不到位） ； 2
③不会结合图像解决两函数的的交点问题（不会从函数观点看待方程组的解问题） ； ④画错图像，不注意关键点； ⑤忽略了 b k 的条件，导致在求 b 的范围时多了 b ⑥审题错误，将条件“沿 x 轴翻折”看成“沿 y 轴翻折”.
图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下 方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个 新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
1 y x b b k 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 2
8
2010北京（7分）
23．已知反比例函数 y
关键：相同字母的作用？
15
2013-8-1
思考2：如何综合？
数与式 方程(组) 不等式(组) 函数 2.横向联系
函数、方程和不等式之间的 联系
16
2013-8-1
思考2：如何综合？
举例：2008 年中考 23 题，7 分 已知：关于 x 的一元二次方程
mx 2 (3m 2) x 2m 2 0(m 0) ．
17
一元二次方程的根 的判别式 解含字母系数的一 元二次方程、式的 比较大小、函数概 念、函数解析式的 确定 画函数图像、图象 法解不等式（从函 数观点看不等式）
2013-8-1
m
思考3：怎么解代数综合题?
1. 深刻理解基本概念、具备基本技能是前提； 2. 灵活应用基本思想方法是关键； 3. 审题准确、计算准确、严密推理是保证;
计算 数与式 方程(组) 不等式(组) 函数 方程概念 恒等变形 比较大小 不等式的基 解的意义 概念 本性质 解法 图像 列解不等式 根的判别式 性质 （组） 解析式确定 转化 方程
分类讨论 数形结合
14
2013-8-1
思考2：如何综合？
数与式 方程(组) 不等式(组) 函数
1.纵向联系
由于代数式、方程与 不等式、函数解析式中含 有相同的字母，从而将几 个问题串在一起.
k 2；
④二次函数图像的平移与解析式系数变化的对应关系不清； ⑤不少同学采取了将解析式配方后再平移，但配方常发生计算错误.
21 2013-8-1
思考3：怎么解代数综合题?
已知关于 x 的一元二次方程 2 x2 4 x k 1 0 有实数根， k 为正整数. （1）求 k 的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的二次函数
2008北京（7分）
23.已知：关于 x 的一元二次方程
近年考题
mx 2 (3m 2) x 2m 2 0(m 0) ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2） 设方程的两个实数根分别为 x1 ，x2（其中 x1 x2 ） 若 ． 且 求这个函数的解析式； y 是关于 m 的函数， y x2 2 x1 ， （3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 m 的取值范围满足什么条件时， y ≤ 2m ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 x1 ， x2 （其中 ．若 x1 x2 ） y 是关于 m 的函数，且 y x2 2 x1 ， 求这个函数的解析式； （3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当 自变量 m 的取值范围满足什么条件时， y ≤ 2m ．
解析式.
四年考点梳理
2011 2010 2009 2008
代数综合 偏代数综合 代数综合 (二次函数与 （反比例函数、（含字母系数 一元二次方程 解析式的确定、的一元二次方 关系、含字母 图形的旋转、 程、判别式、 系数的一元二 判断点是否在 正整数、整数 次方程、待定 函数图象上， 根、图象的平 系数法求函数 由面积确定关 移、翻折，解 解析式、解二 系坐标，根据 析式的确定、 元一次方程组、所得条件求代 观察函数图象 画图能力、数 数式的值、代 写出参数的取 形结合） 数式的灵活变 值范围、数形 形等） 结合）
近年考题
k 1) 的图象经过点 A( 3 ， ． x
（1） 试确定此反比例函数的解析式； （2） 点 O 是坐标原点，将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB ，判断点 B 是 否在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3） 已知点 P ( m ， 3m 6) 也在此反比例函数的图象上（其中 m 0 ） ，过 P 点作 x 轴的垂线， x 轴于 Q 点的纵坐标为 n ，求 n2 2 3n 9 的值．
第（1）问学生典型错误： ①一元二次方程的判别式△＝ b2 4ac 记忆不准确； ②将 a 2, b 4, c k 1 代入△＝ b2 4ac 中出现计算错误； ③由“一元二次方程有实根”得出“△ 0 ”发生错误，应为△ 0 ；
25 ④将不等式△ 16 8(k 1) 0 解错（例如：错解有 k 4 、 k ） ； 8
《2012中考说明》代数部分C级知识点：
函数：
• 能探索具体问题中的数量关系和变化规律，并用函数加以 表示；
结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步预测； 能结合图象对简单实际问题中函数关系进行分析； • 能用一次函数解决实际问题； • 能用二次函数解决简单的实际问题； 能解决二次函数与其他知识综合的有关问题.
（3）函数概念、函数解析式的确定、画或读函数图象，函 数图象的变换等；
（4）函数不方程、丌等式之间的联系等 （5）有时会结合简单几何背景 基本概念、基本技能、
基本方法、基本数学思想
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复习建议
启示：深刻理解知识本质，凸显思想
方法，提升学生的审题能力、分析问
题的能力、计算能力以及思维的严密
性．
思考1：对哪些知识综合？
能力、发现问题和分析解决问题的能力，以及 应用意识等.
《2012中考说明》代数部分C级知识点：
数与式： • 能运用有理数运算解决简单问题；
• 能根据特定的问题所提供的资料，合理运用知识和方法， 通过代数式的适当变形求代数式的值；
• 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有 关问题； • 能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形； • 能根据需要运用公式进行相应的代数式的变形； • 能运用因式分解的知识进行代数式的变形，解决有关问题；
《2012中考说明》代数部分C级知识点：
方程与不等式： • 会运用一元一次方程解决简单的实际问题； • 会运用二元一次方程组解决简单的实际问题； • 会运用分式方程解决简单的实际问题； • 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的 情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围； 会运用一元二次方程解决简单的实际问题； • 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简 单问题；