同构思想在高等代数解题中的应用探讨

同构思想在高等代数解题中的应用探讨
作者：王洋
来源：《知音励志·教育版》2016年第12期
摘要
作为各大高校学生主要的学习科目，高等代数与其他数学知识相比更为复杂，因此，如何提高高等代数的解题效率就成为了教师和学生共同面临的问题，本文以同构思想在进行高等代数解题过程中的应用方向为主要背景，通过将理论和实际例题进行对应讲解的方式，将可以应用同构思想和相关定义加以解决的高等代数题目进行了列举，并归纳出相应的规律，为今后相关高等代数题目的高效解题提供方法和依据。

【关键词】同构思想；高等代数；解题应用
作为最重要的抽象代数概念，同构映射所具有的作用主要体现在对不同代数系统之间所具有的性质和结构加以研究。

正是由于同构映射的含义为针对不同代数系统所开展的双射代数运算，所以，具有同构映射的两个代数系统必然具有相通的性质和结构，因此，对以线性空间作为主要研究方向的高等代数而言，对同构思想的应用能够在一定程度上将相对较难的线性空间问题加以解决。

1 同构映射的重要定义
当A和Fn之间存在同构关系时，可以认为其中一个线性空间A1和另一个线性空间A之间具有双射γ，此时：①γ（α+β）=γ（α）+γ（β）；②γ（kα）=kγ（α）。

上述公式中所出现的α和β均属于线性空间A的向量，而k则为数域中的任意数值，满足上述条件的映射即为同构映射。

当两个不同的向量空间存在同构性质时，可以说这两个空间的代数性质相同，而在对抽象、n维的向量空间进行研究时，则应当对A≌Fn加以应用，此时F为数域，A为n维的向量空间。

2 同构思想在高等代数解题中的应用
2.1 对线性变换所对应的值域和核进行求解
2.1.1 定义
首先将处于数域F上所有经由n维的线性空间加以变换而形成的数据组合为L（A），而L（A）同时也是处于数域F的线性空间，假设将处于数域F的所有n阶线性空间加以结合形成Mn（F），此时则有L（A）≌Mn（F）。

另外，假设处于数域P的某一特定线性空间为A，那么α1……αn则是线性空间A所对应的基，此时γ为经由线性空间A所变换而形成的数值，并且在A对应基下所产生的矩阵为A，此时，可以说dimγ（A）=B的秩。

2.1.2 解题思路
第一步，将B所对应列向量组之中属于极大无关组的数值设为Bi1……Bin，此时γ（A）所对应的基则为δi=（α1……αn）Bi1（j=1……n），并且dimγ（A）=B的秩。

第二步，在对属于齐次线性的方程组BX=0所对应的基础解进行求解时，得出对应解为η1……ηn-m，那么此时将其经由线性变换所的核γ-1（0）所对应的基底为δi=（α1……αn）ηi（i=1……m），并且dimγ-1=n-m。

2.2 对线性空间中的抽象向量组秩问题进行解决
例题1：将数域F具有的n维的线性空间A所对应的无关向量组设为{α1……αn}，而A所具有的另一向量组为（β1……βn），并且存在（α1……αn）B=（β1……βn），而这里的B指的是由r×s所构成的矩阵，那么请证明：dim（β1……βn）=秩B
思路：作为高等代数中相对来说较为困难的向量空间题目，该类题常用的证明方法为将定义作为基础所进行的直接证明，也就是说通过对B和{β1……βn}之间的等价列向量组进行证明，得出二者具有同秩的结论，但应用该法对其进行证明难度较大，因此，可以结合A≌Fn，对同构思想加以应用。

解答：首先假设{α1……αn}是数域F在n维的线性空间A中对应的基，并且将β1……βn 在该基下所对应的坐标设为η1……ηn，此时ηn∈Fn，然后再结合A≌Fn，可以得出
（η1……ηn）≌（β1……βn），也就是dim（η1……ηn）=dim（β1……βn），而又因为
（η1……ηn）=B，因此，dim（η1……ηn）=秩B，最终得出dim（β1……βn）=秩B。

通过对这道高等代数题目进行思考和解答可以发现，将同构思想合理的应用在解题过程中，不仅可以将解题过程进行简化，还能够让人们通过解题了解到同构思想所具有的重要意义。

另外，例题1还可以将“假设{α1……αn}是数域F在n维的线性空间A中对应的基”进行更改，表述为“{α1……αn}是数域F中与线性无关的一组向量”，那么最总结论也由“dim
（β1……βn）=秩B”改为“秩（β1……βn）=秩B”，后者同样成立。

例题2：首先假设{α1……αn}是数域F在n维的线性空间A中对应的基，B为n阶矩阵，且存在（α1……αn）B=（β1……βn），请对以下结论的内容加以证明：①假设B所对应的秩为r，而其列向量组i1……ir属于极大无关组，此时β1……βn的秩同样为r，且该向量组为极大无关组；②假如（β1……βn）的秩是r，且该向量组为极大无关组，那么B的秩同样为r，且i1……ir属于极大无关组。

解答：①由于{α1……αn}是数域F在n维的线性空间A中对应的基，此时β1……βn在该基下所对应的坐标设为η1……ηn，那么可以得出（η1……ηn）=B的结论，另外又由于
A≌Fn，，所以（η1……ηn）≌（β1……βn），此时二者所具有的线性相关性是相同的，
（β1……βn）的秩=（η1……ηn）的秩=秩B=r。

而B所对应的列向量组i1……ir属于极大无关
组，那么{η1……ηn}所对应的极大无关组就是{ηi1……ηin}，由此可推断出{β1……βn}所对应的极大无关组就是{βi1……βn}。

②该问与①问解题流程相同，通过（η1……ηn）≌
（β1……βn），且二者所具有的线性相关性是相同的，即可证明该问结论成立。

结论：综上所述，文章通过对同构思想的定义进行应用，从线性变换所对应的值域和核进行求解以及对线性空间中的抽象向量组秩问题进行解决两个方面，从侧面表明同构思想在给高等代数解题过程中所具有的重要意义，合理应用同构思想可以在很大程度上将高等代数的解题过程进行简化，同时还能够提升解题准确率，因此，无论是从教师还是从学生的角度出发，都需要对同构思想引起足够的重视。

参考文献
[1]苗佳晶，刘海明.同构思想在高等代数教学中的应用[J].牡丹江师范学院学报（自然科学版），2016（03）：76-77.
[2]赵云河，王刚，王林.同构概念的教学思考与实践[J].数学学习与研究，2016（17）：27-28.
[3]江明辉，陈鹏.高等代数教学中结构化思想的培养[J].高师理科学刊，2015（01）：61-64.
作者简介
王洋（1995-），女，山西省大同市人。

大学本科学历。

就读于山西师范大学现代文理学院。

作者单位
山西师范大学现代文理学院山西省临汾市 041000。