高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》易错题汇编及答案
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》易错题汇编
【高中数学】单元《复数》知识点归纳一、选择题1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i 【答案】D【解析】【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数， 即0OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．3．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9 【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】 因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.4．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B【解析】【分析】化简复数得到答案. 【详解】 ()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.5．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi6．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m=-+++-，若z 为负实数，则m 的取值集合为（ ）A ．{}0B ．{}8C ．()2,4-D ．()4,2-【答案】B 【解析】由题设可得2280{280m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》难题汇编及答案
【最新】数学《复数》高考知识点一、选择题1．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．5【答案】D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+, 因此5,z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1C ．1D ．3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 因,故由题设,故,故选D ．考点：复数的概念与运算.3．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x-的最大值为（ ） A 3B 6 C ．26+ D ．26【答案】C 【解析】【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解. 【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=.设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k --=，解得2k =∴1yx -的最大值为2 故选:C. 【点睛】本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.4．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B．2CD 【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.5．已知复数z，则|z |＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：因为===，因此|z |＝126．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案. 【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a babi =-+，2z 为纯虚数22020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D. 【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.7．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．8．在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A B ．13C ．10D【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可． 【详解】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|a ai =--= 本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.10．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.11．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）A ．1 BC ．2D 【答案】A 【解析】分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求1z i ++的最小值.详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6， 所以点Z 的轨迹为线段AB,因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离， 所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.13．已知复数122iz i+=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0C ．1D ．i【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案． 【详解】 复数()()()()1221252225i i i iz i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.15．复数1122ii ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110-C ．310D ．310-【答案】A 【解析】 【分析】化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则222m ii+=-（ ） A ．i B ．1 C ．- iD ．1-【答案】A 【解析】因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20{240m m m >⇒=-=，故22(1)222(1)m i i i i i ++==--，应选答案A ．17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ） A ．22i - B ．22i +C ．22i -+D ．22i --【答案】A 【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=，所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A .19．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值【答案】C 【解析】 【分析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，2222(1)(3)x y x y ∴+-=++， 解得1y =-；222||11z x y x ∴=+=+…，即||z 有最小值为1，没有最大值． 故选：C ． 【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》知识点总复习附答案解析
新《复数》专题解析一、选择题1．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1i + B ．i -C ．iD ．0【答案】D 【解析】 【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果． 【详解】 解：复数2(1ix i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．2．若1z i =+，则31izz =+（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】B 【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1izz i i i zz =+-==+，故选B.3．已知i 是虚数单位，则31ii+-=（ ） A ．1-2i B ．2-iC ．2+iD ．1+2i【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，由于33124121112i i i ii i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．4．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2C ．5D ．3【答案】D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.5．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A ．3 B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】22(2)22(1)5z i i i i =-=-=+-=，故选B ．6．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．若43i z =+，则zz=（ ）A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.8．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i -【答案】B 【解析】 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.9．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A B ．13C ．10D【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可． 【详解】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|a ai =--= 本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.10．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）A B ．15C ．25D 【答案】D 【解析】 【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||5z =. 故选：D . 【点睛】本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.11．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A B ．2C ．D 【答案】D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi12．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.13．已知复数122iz i+=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0C ．1D ．i【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案． 【详解】复数()()()()1221252225i i i iz i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则222m ii+=-（ ） A ．i B ．1 C ．- iD ．1-【答案】A 【解析】因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20{240m m m >⇒=-=，故22(1)222(1)m i i i i i ++==--，应选答案A ．16．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i + B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.17．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-， z 的共轭复数为342525i +，模为2234125255⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.18．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】∵()112z i i +=-，∴()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．19．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。
高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》易错题汇编及答案解析
新单元《复数》专题解析(1)一、选择题1．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）A ．8-B ．8+C ．1+D ．8【答案】B【解析】【分析】根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.【详解】|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为)221(18=+=+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．若复数21z i i =+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）AB C D ．5【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.【详解】 22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.3．已知i 是虚数单位，则31i i +-=（ ） A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，由于33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．4．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i -- 【答案】B【解析】【分析】由已知求得z ，代入z i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+， 则22(2)()12z i i i i i i i-+-+-===+-． 故选：B ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-，复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为a bi -．6．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）ABC ．52D ．54【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,12222||2i i i i z i i z ----====-+∴== 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.7．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位），而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．8．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= )A ．10BC ．5D 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．9．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】 由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.10．复数1122i i ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310- 【答案】A【解析】【分析】化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】 由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122i i ++的虚部为110. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i -【答案】C【解析】【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.14．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.15．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】 试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ． 考点：复数的代数运算及几何意义．16．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2B 2C ．1D ．22【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，, 112z =+=,故选B.17．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2a x a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.18．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ）A ．1188i +B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B【解析】【分析】 计算得到18i z --=，再计算共轭复数得到答案.【详解】21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B .【点睛】 本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.20．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》易错题汇编含答案
新数学《复数》复习资料一、选择题1．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，本题选择D 选项.2．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.3．设i 为虚数单位，321i z i =+-，则||z =（ ） A ．1BCD【答案】D【解析】【分析】计算出z ，进而计算z 即可.【详解】 ()()()3133313222,111222i i i i i z i i i ⋅+-=+=+=+=+--+z ∴== 【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．4．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】 Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题5．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m=-+++-，若z 为负实数，则m 的取值集合为（ ）A ．{}0B ．{}8C ．()2,4-D ．()4,2-【答案】B 【解析】由题设可得2280{280m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》易错题汇编附答案
新数学《复数》专题分析 (1)一、选择题1．若复数z 3 4sin 2 1 2cos i 为纯虚数，0,，则（）A．B．3C．2D．或26333【答案】 B【分析】剖析：由题意获得对于sin ,cos的方程组，求解方程组联合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确立角的大小.详解：若复数 z 3 4sin2 1 2cos i 为纯虚数，则：34sin 20sin 23，即： 4 ，12cos0cos12sin 30,2，故联合，可知：.cos132本题选择 B 选项 .点睛：本题主要考察纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考察学生的转化能力和计算求解能力.2．已知复数z的模为2 ,则z i的最大值为： ()A．1B． 2C．5D． 3【答案】 D【分析】由于 z i z i 2 13，所以最大值为3，选 D.3．在复平面内复数8 3i 、 45i 对应的点分别为A、B，若复数z对应的点 C 为线段AB的中点，z为复数 z 的共轭复数，则z z 的值为（）A．61B．13C．20D．10【答案】 C【分析】由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为，则，从而,选 C.4．在复平面内，已知复数 z 对应的点与复数2 i 对应的点对于实轴对称，则z （ ）iA ． 1 2iB ． 1 2iC ． 1 2iD ． 1 2i【答案】 B【分析】【剖析】由已知求得 z ，代入 z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．i【详解】由题意， z 2 i ，则z2 i ( 2 i )( i ) 1 2i ．iii 2应选： B ．【点睛】本题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的基本观点，是基础题．5．已知 为虚数单位， m R ，复数 zm 22m 8m 28m ，若 z 为负实数，则 m 的取值会合为（ ）A ．0B ．8C ．2,4D ．4,2【答案】 B【分析】由题设可得{m 2 8m 0，解之得 m 8 ，应选答案 B 。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》全集汇编含答案解析
【最新】单元《复数》专题解析(1)一、选择题1．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.2．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.3．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】 因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上，又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.4．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i -- 【答案】B【解析】【分析】由已知求得z ，代入z i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+， 则22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．6．已知复数z ，则|z |＝( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2【答案】B【解析】【分析】【详解】解：因为4i ===，因此|z |＝127．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）A B ．2 C ．52 D ．54【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,1222214952||442i i i i z i i z ----====-+∴=+= 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.8．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】，的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2a x a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.10．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数 【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.11．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）A ．5B ．15C ．25D 【答案】D【解析】【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||z =. 故选：D .本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.14．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i +D ．2i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．15．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2C ．D 【答案】D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi16．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12-【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.18．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】 1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.19．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( )A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值【答案】C【解析】【分析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值．【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++， 2222(1)(3)x y x y ∴+-=++，解得1y =-；||1z ∴=，即||z 有最小值为1，没有最大值．故选：C ．【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．20．若复数z满足22iz i=-（i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i iiz ii i i-⋅--===--⋅-Q22,z i∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》难题汇编含答案解析
【最新】数学《复数》高考复习知识点一、选择题1．已知i 是虚数单位，则复数242i z i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi2．若复数21z i i =+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）AB C D ．5【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.【详解】 22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.3．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】 Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题4．已知i 是虚数单位，则31i i +-=（ ） A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，由于33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．5．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ，所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi6．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i --【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.7．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD 【答案】D【解析】【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.8．若复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A B ．13 C ．10 D【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可．【详解】由复数的运算法则有： 2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|a ai =--=本题选择A 选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.9．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简22z i =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .【点睛】 本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）A ．8-B ．8+C ．1+D ．8【答案】B【解析】【分析】根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.【详解】|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为)221(18=+=+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.12．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.13．复数11i+的共轭复数是 （ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1i - D ．1i +【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数11i+，进而可得结果.【详解】 因为()()111121211i i i i i -+--==+， 所以11i+的共轭复数是1122i +， 故选：A.【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.15．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.16．复数1122i i ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310- 【答案】A【解析】【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】 由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122i i ++的虚部为110. 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.17．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】 因, 故由题设, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.18．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ）A ．iB ．1C ．i -D ．1- 【答案】B【解析】 ()()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.19．若复数满足，则复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为20．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i --【答案】A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A .。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》难题汇编含答案
【高中数学】高中数学《复数》期末考知识点(1)一、选择题1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【解析】 ()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.3．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ）A ．61B ．13C ．20D ．10 【答案】C【解析】由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为， 则，从而,选C.4．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】 因, 故由题设, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.5．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b 的方程组102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意12+是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴2﹣2+b 2+bi +c ＝0，即()12220b c b i -+++= ∴102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题6．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2C 3D 5【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.7．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.9．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.10．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.11．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0 【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得02a <<，即实数a 的取值范围是(0,2). 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.14．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】 试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ．考点：复数的代数运算及几何意义． 15．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2B 2C ．1D ．22【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，, 112z =+=,故选B.16．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】1343434252525iz i i -===-+，所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共轭复数为342525i +15=，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.17．复数52i -的共轭复数是( )A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --【答案】C【解析】【分析】先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C.【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.18．复数z 11ii -=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．【答案】A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】 由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.19．若复数满足，则复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.详解：因为，所以， 因此复数的虚部为，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为20．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( )A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值【答案】C【解析】【分析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值．【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++， 2222(1)(3)x y x y ∴+-=++，解得1y =-；222||11z x y x ∴=++…，即||z有最小值为1，没有最大值．故选：C．【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》分类汇编附答案
【最新】数学《复数》复习知识点一、选择题1．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.2．设i 为虚数单位，321iz i=+-，则||z =（ ）A ．1 BCD ．2【答案】D 【解析】 【分析】计算出z ，进而计算z 即可. 【详解】()()()3133313222,111222i i i i iz i i i ⋅+-=+=+=+=+--+2z ∴==. 【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．3．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A 【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ．4．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.5．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+，则22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．已知i 是虚数单位，则131ii +=+（ ） A ．2i - B ．2i +C ．2i -+D ．2i --【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】由复数的运算法则有：13(13)(1)422(1)(11)2i i i ii i i i ++-+===++-+. 故选B . 【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.7．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +=1y x-的最大值为（ ） ABC．2+ D．2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解. 【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=.设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k --=，解得2k =∴1y x -的最大值为2 故选:C. 【点睛】本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.8．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．9．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.12．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ．考点：复数的代数运算及几何意义．13．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.15．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D 【解析】 【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题16．复数z 11ii-=+，则|z |=( ) A ．1 B ．2CD ．【答案】A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.17．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为18．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．22i -+ D ．22i --【答案】A 【解析】 【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=，所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A .19．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》专项训练解析附答案
【最新】数学《复数》专题解析一、选择题1．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.2．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +【答案】C【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--，则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.4．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b 的方程组102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意12+是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴2﹣2+b 2+bi +c ＝0，即()12220b c b i -+++= ∴102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题5．设复数4273i z i -=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129 【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则求解1712929z i =-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】 此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.6．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 【答案】A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．7．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.8．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ）A ．1188i +B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B【解析】【分析】 计算得到18i z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】 21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B .【点睛】 本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.9．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．若复数()234sin12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ） A ．6B ．50 C．D【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】 由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）A．5 B ．15 C ．25 D．5【答案】D【解析】【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】 (2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||5z =. 故选：D .【点睛】本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.13．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e e ππ表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】 根据欧拉公式计算4i i e e ππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为444ii e cos isin cos isin e ππππππ+===+，所以对应点22-（，，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ）A．1255i-B．1255i+C．2155i-D．21i55+【答案】B 【解析】【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i ii ii ia b i=+++-=--+，即可求解a b i-，得到答案．【详解】由题意，复数12ii a bii+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i ia b i=ii i ii i++++-=-=--+，所以1255a b i=i-+，故选B．【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .【详解】，的共轭复数为，对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A． B．C． D．【答案】A【解析】对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.18．若复数z满足22iz i=-（i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i iiz ii i i-⋅--===--⋅-Q22,z i∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．19．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A．-1 B．1 C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.20．已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭（ ） A ．32i --B ．33i --C ．24i -+D ．22i -- 【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】()()()22231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌 故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》难题汇编附答案解析
【高中数学】高考数学《复数》解析(1)一、选择题1．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简z =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.3．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= )A ．10BC ．5D 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．4．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2CD ．3【答案】D【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9 【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】 因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.6．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i=（ ）A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i -- 【答案】B【解析】【分析】由已知求得z ，代入z i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+， 则22(2)()12z i i i i i i i-+-+-===+-． 故选：B ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题8．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 9．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误， 本题选择D 选项.10．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C【解析】【分析】 根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.12．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.13．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误；21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.14．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）A B ．15 C ．25 D 【答案】D【解析】【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||z =. 故选：D .【点睛】 本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.15．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i +D ．2i - 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．16．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.17．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．若43i z =+，则z z=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i - 【答案】D【解析】【详解】由题意可得 ：22435z =+=，且：43z i =-， 据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.19．若复数满足，则复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.详解：因为，所以， 因此复数的虚部为，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】为纯虚数，故且，即. 故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》真题汇编含解析
数学《复数》复习知识点一、选择题1．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.3．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题4．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】 ()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 5．若43i z =+，则z z=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i - 【答案】D【解析】【详解】由题意可得：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.6．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 【答案】A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．7．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C【解析】【分析】 根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.8．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ）A ．1188i + B ．1188i -+ C ．1188i -- D ．1188i -【解析】【分析】 计算得到18i z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】 21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.9．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.11．复数12i 2i +=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】 由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）A ．5B ．15C ．25 D【解析】【分析】 化简得到1355z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++===-，∴1355z i =+，∴||5z =. 故选：D .【点睛】 本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.14．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i - 【答案】C【解析】【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.15．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2a x a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.17．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0 【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】解：复数2(1i x i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．18．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】 1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.19．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 【答案】C【解析】试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i iii i i-+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i--．考点：复数的运算及共轭复数的概念.20．若复数z满足22iz i=-（i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i iiz ii i i-⋅--===--⋅-Q22,z i∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》单元汇编附解析
新数学《复数》复习知识点一、选择题1．已知复数z 满足11212i i z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.2．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】 Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【解析】 ()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.4．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ）A ．61B ．13C ．20D ．10【答案】C【解析】由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为， 则，从而,选C.5．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi6．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b 的方程组102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意12+是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴2﹣2+b 2+bi +c ＝0，即()12220b c b i -+++=∴102220b c b -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题7．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i --【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.8．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .【详解】， 的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．若复数z 的虚部小于0，|z |5=4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C【解析】【分析】 根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±.又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.11．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.12．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】 因为734i i++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.13．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）A ．8-B ．8+C ．1+D ．8【答案】B【解析】【分析】根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.【详解】|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为)221(18=+=+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.15．复数12i2i+=-（）．A．i B．1i+C．i-D．1i-【答案】A【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i iii i i+++++-===--+，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.16．已知复数122izi+=-（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．－1 B．0 C．1 D．i 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】复数()()()()1221252225i ii iz ii i i+++====--+，所以复数z的虚部为1，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．欧拉公式cos sinixe x i x=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i ie e ππ表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式计算4i ie e ππ，再根据复数几何意义确定象限.因为4224422iie cos isinicos isineππππππ+===-++，所以对应点（，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.18．已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z z=.则其中正确命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z和2z的模相等,例如1=1+z i,2z,则1z和2z是共轭复数是错误的;对于②1z和2z都是复数,若12+z z是虚数,则其实部互为相反数,则1z不是2z的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z是实数,令z a=,则z a=所以z z=,反之当z z=时,亦有复数z是实数,故复数z是实数的充要条件是z z=是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.19．已知复数z满足(1)2i z i-=，i为虚数单位，则z等于A．1i-B．1i+C．1122i-D．1122i+【答案】B【解析】【分析】由题意可得21zi=-，根据复数的除法运算即可.【详解】由()12i z i-=，可得22(1)112iz ii+===+-，【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.20．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》单元汇编附答案
数学《复数》高考复习知识点一、选择题1．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C. 2．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线【答案】A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．4．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】 根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题5．a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i+=，则a=（ ）A ．2B C D ．1【答案】B【解析】【分析】【详解】||220,a i a a a i+==∴=>∴=Q ，选B.6．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．7．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.8．已知复数z ，则|z |＝( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2【答案】B 【解析】【分析】【详解】解：因为===，因此|z|＝129．欧拉公式cos sinixe x i x=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i ie e ππ表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式计算4i ie e ππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为4224422iie cos isinicos isineππππππ+===-++，所以对应点（，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.10．复数z满足()1|1|z i i+=-，则复数z在复平面内的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简22z i=-，再结合复数的几何表示方法，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .【点睛】 本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C【解析】【分析】 根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±.又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.12．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】 由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.13．设3i z i +=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-3【答案】D【解析】因为z=3i i+13i =-∴z 的虚部为-3，选D.14．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】 由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2C ．D 【答案】D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi16．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ． 考点：复数的代数运算及几何意义．17．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）A ．1B 2C ．2D 5【答案】A【解析】 分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求 1z i ++的最小值.详解：设复数z 对应的点Z(x,y),2222(3)(3)6x y x y +++-=，它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6，所以点Z 的轨迹为线段AB,因为1z i ++22(1)(1)x y +++Z 到点C （-1,-1）的距离，所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.18．已知复数z 满足(1)2i z i -=，i 为虚数单位，则z 等于A ．1i -B ．1i +C ．1122i -D ．1122i + 【答案】B【解析】【分析】 由题意可得21z i =-，根据复数的除法运算即可. 【详解】由()12i z i -=，可得22(1)112i z i i +===+-， 故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.19．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 ∵()112z i i +=-，∴()()()()221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．20．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( )A ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值【答案】C【解析】【分析】设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值．【详解】解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++， 2222(1)(3)x y x y ∴+-=++，解得1y =-；||1z ∴=，即||z 有最小值为1，没有最大值．故选：C ．【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》易错题汇编附解析
【最新】《复数》专题解析一、选择题1．设复数4273i z i -=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129【答案】C【解析】【分析】 根据复数运算法则求解1712929z i =-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线【答案】A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．3．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2CD ．3【答案】D【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.4．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9 【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】 因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.5．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( ) A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B【解析】【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.6．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i -- 【答案】B【解析】【分析】由已知求得z ，代入z i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+， 则22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．8．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD 【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】 21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.9．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+.故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.10．已知复数z，则|z |＝( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2【答案】B【解析】【分析】【详解】解：因为4i ===，因此|z |＝1211．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，本题选择D 选项.13．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】，的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简22z i =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|111i i z i i i --===++-，则复数z 在复平面内对应的点为(22-位于第四象限. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．16．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.17．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.18．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2 C．D【答案】D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i iiz ii i i-⋅--===--⋅-Q22,z i∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》全集汇编附答案
【最新】《复数》专题解析(1)一、选择题1．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.2．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ）A ．2 BCD ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】||220,a ia a a i+==∴=>∴=Q ，选B.3．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.4．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+，则22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．iC ．1-D ．i -【答案】A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A.6．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x-的最大值为（ ） A 3B 6 C ．26+ D ．26【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解. 【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=.设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k--=，解得2k =∴1yx -的最大值为2 故选:C. 【点睛】本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.7．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简22z i =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-， 则复数z在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限. 本题选择D 选项.9．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．12-- B ．12-+ C ．12+ D ．122- 【答案】C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得122z z i +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有11122z z +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.10．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231zi i=+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C 【解析】 【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案. 【详解】由231zi i =+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ． 【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.11．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z = A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i -【答案】C 【解析】 【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.12．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A B ．2C ．D 【答案】D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi13．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax a y b t=⎧⎨==-⎩ ，即2xy t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.15．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A B ．13C ．10D【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可． 【详解】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|a ai =--= 本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.16．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i -【答案】B 【解析】 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.17．复数z 11ii-=+，则|z |=( ) A ．1 B ．2C ．2D ．22【答案】A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.18．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为19．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》单元汇编及答案解析
【高中数学】单元《复数》知识点归纳一、选择题1．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．2．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +【答案】C【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--，则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9 【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上，又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为()()22231412412AB +=--+--+=+，最小值为2412AB -=-，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．6．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i 【答案】D【解析】【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP u u u v对应的复数是()11i i -+-=-，故选D.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．7．已知i 是虚数单位，则复数242i z i -=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi8．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i --B ．12-+C ．12+D ．122- 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.9．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.10．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）A ．8-B ．8+C ．1+D ．8【答案】B【解析】【分析】根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.【详解】|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为)221(18=+=+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）A ．1B C ．2 D 【答案】A【解析】 分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求 1z i ++的最小值.详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6，所以点Z 的轨迹为线段AB,因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离，所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.13．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2B C ．1 D ．【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，,z ==,故选B.14．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】 由题意，复数12i i a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误，1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，本题选择D 选项.16．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．-16B ．0C ．16D ．32 【答案】B【解析】【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i --【答案】A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=, 整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A .18．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133i - 【答案】C【解析】 试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q22,∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.z i故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》难题汇编及解析
新高中数学《复数》专题解析(1)一、选择题1．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D 【解析】 【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题2．设i 为虚数单位，321iz i=+-，则||z =（ ） A ．1 BCD．2【答案】D 【解析】 【分析】计算出z ，进而计算z 即可. 【详解】()()()3133313222,111222i i i i i z i i i ⋅+-=+=+=+=+--+2z ∴==. 【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．3．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．7【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题4．已知复数21iz =-+，则（ ） A ．2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为1-D ．z 的共轭复数为1i +【答案】C 【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--，则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1zi =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2C D ．3【答案】D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.6．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.7．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 B 3C 2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=+=∴=±>∴=Q ，选B.8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，()2211x yi x y ++=++，()()22111iz i x yi y x +=++=-+()()222211x y y x ++-+＝y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则ab的值为（ ） A ．32-B ．23-C ．23D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值. 【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=， 因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi10．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i + B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.11．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1i + B ．i -C ．iD ．0【答案】D 【解析】 【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果． 【详解】 解：复数2(1ix i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．12．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188i + B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18iz --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.13．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．14．复数12i2i+=-（ ）． A ．i B ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】由题意，复数12ii a bii+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i ia b i=ii i ii i++++-=-=--+，所以1255a b i=i-+，故选B．【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．已知2a ib ii+=+，,a b∈R，其中i为虚数单位，则+a b=（）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i-=+，再利用复数相等列方程求出,a b的值，从而可得结果.【详解】因为22222a i ai iai b ii i+--==-=+-，,a b∈R，所以2211b ba a==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b=，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．复数z11ii-=+，则|z|=( )A．1 B．2 C D．【答案】A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z的表达式,然后再计算出z.【详解】由题意复数z11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i iii i i---+===-++-,所以=1z.故选A本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.18．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】C 【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点：复数的模20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。
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【高中数学】数学高考《复数》试题含答案一、选择题1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i -C ．3iD ．3-【答案】D 【解析】 【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故z = A.3．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2C D ．3【答案】D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.4．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ）A ．2 BCD ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=∴+=∴=±>∴=Q Q ，选B.5．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m =-+++-，若z 为负实数，则m 的取值集合为（ ）A ．{}0B ．{}8C ．()2,4-D ．()4,2- 【答案】B【解析】由题设可得2280{280m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。
6．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案】D 【解析】 【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b 的方程组102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意12+是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴2﹣2+b 2+bi +c ＝0，即()12220b c b i -+++=∴102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题7．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．iC ．1-D ．i -【答案】A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A.8．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i【答案】D 【解析】 【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】因为00O P OP=u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数，即0OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．9．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x-的最大值为（ ） A 3B 6 C ．26+ D ．26【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解. 【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z += ()2223x y ++=()2223x y ++=.设圆的切线l ：1y kx =+22131k k -+=+化为2420k k --=，解得2k =∴1y x -的最大值为2 故选:C. 【点睛】本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.10．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B 【解析】 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.12．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188i + B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18iz --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.13．复数12i2i+=-（ ）． A ．i B ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.14．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.15．复数1122ii ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110-C ．310D ．310-【答案】A 【解析】 【分析】化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．19．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.20．已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭（ ）A ．32i --B ．33i --C ．24i -+D ．22i --【答案】B 【解析】 【分析】根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简． 【详解】()()()22231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌故选B. 【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。