2010年高考数学重点难点讲解七：奇偶性与单调性(一)

广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——数列
复习建议
数列是高中数学的重点内容之一，是初等数学与高等数学的重要衔接点，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系，又有自己鲜明的特点．而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，所以数列一直是高考考查的重点和热点．纵观江苏省近几年高考数学试卷，数列都占有相当重要的地位，一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现，填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点，解答题属于中高档难度的题目，甚至是压轴题．具有综合性强、变化多、难度较大特点，重点以等差数列和等比数列内容为主，考查数列内在的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力．
一、考纲解读
2、考纲解读（1）考纲中对数列的有关概念要求为A级，也就是说只要了解数列概念的基本含义，并能解决相关的简单问题．（2）等差数列和等比数列要求都为C级，2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求的知识点，等差数列、等比数列占了其中两个，说明这两个基本数列在高考中的地位相当重要．具体要求我们对这两个数列的定义、性质、通项公式以及前n项和公式需要有深刻的认识，能够系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现．
（3）由于数列这一章含有两个C级要求的知识点，可以命制等差数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题，也可以命制数列与函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题，以及数列应用问题，着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题，解决实际问题的能力．
二、考题启示1、考题分布
自2004年江苏省单独命题以来，对数列知识的考查一直是命题的重点和热点，比重较大，具体统计如下：
2、考题启示（1）数列在高考试卷中占的比重较大，分值约为13%左右，呈一大一小趋势，对等差数列和等比数列都有考查，纵观近几年江苏省高考试题，我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列题有很大区别，具有十分明显的特色，对数列的考查不与其他知识综合，同时也回避了递推数列和不等式，主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识，形成江苏卷的一大特色．因此复习中在递推数列方面，特别是利用递推数列求通项，要大胆取舍，不要深挖．（2）客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活、新”的特点，属容易题或中档题．主观题年年都考，且以中等和难度较大的综合题出现，常放在压轴题的位置．回顾江苏省单独命题以来，对数列的考查可以称得上到了极致．如2007年、2008年在倒数第二题，2005年、2006年在最后一题，2009年数列题前移到第17题，以中等题形式出现，这一显著地变化似乎一种信号，具有一定的导向作用．
（3）数列题常考常新，每年命题很有新意，不落浴套，考生看到这样的考题，初看亲切、熟悉，但顺利解决很须动一番脑筋，需要有
扎实的数学功底，极强的推理运算和论证能力．这类试题对概念和思维的考查力度较大，对学生探索能力、思维能力、运算能力和推理论证能力要求较高，具有较强的选拔功能．以数列题考查推理论证能力成为江苏考题的又一大特点．如2007年（20）题:
已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1,记S n为数列{b n}的前n项和.
（1）若b k=a m（m,k是大于2的正整数），求证：S k-1=(m-1)a1；（2）若b3=a i(i是某一正整数),求证：q是整数,且数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值,并加以说明；若不存在,请说明理由；
⏹如2008年高考试题（19）题：
（Ⅰ）设a1,a2,…,a n是各项均不为零的等差数列（n≥4），且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当n=4时，求a1/d的数值；②求n的所有可能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,…,b n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
如（17）设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52,S7=7
（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n．
（2）试求所有的正整数m，使得a m a m+1/a m+2为数列{a n}中的项.2008年考题是典型难题，作为压轴题，对思维能力和推理能力要求较高.2009年是中等题，主要考查等差数列通项公式和前n项和公式，但在第（2）问中考查学生思维能力和推理能力．
三、复习建议1、夯实基础知识
（1）数列的概念
⏹了解数列的概念及其表示方法．
⏹掌握数列前n项和与第n项之间的关系：a n=S n-S n-1（n≥2）,给出
与数列的前n项和有关的问题，我们要能根据这一关系求出数列的通项公式．
（2）等差数列⏹掌握等差数列的定义，能够根据定义判定一个数列是否为等差数列．
⏹掌握等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d；推广形式为a n=a m+(n-m)d.
⏹掌握等差数列的前n项和公式S n=n(a1+a n)/2=n a1+n(n-1)d/2，公式的推导方法为倒序相加法．
⏹等差数列的前n项和可表示为S n=A n2+B n的形式，它是{a n}为等差数列的充要条件.
⏹掌握等差数列的一些性质：
⏹在等差数列{a n}中，对于正整数m,n,p,q，若m+n=p+q，则
a m+a n=a p+a q.
特别地，2a n+1=a n+a n+2.
⏹在等差数列{a n}中，依次k项的和仍成等差数列，即S k，S2k-S k,S3k-S2k,…成等差数列，其公差为k d．
⏹若等差数列{a n}的公差d>0,{a n}为递增数列；d<0,{a n}为递减数列.（3）等比数列⏹掌握等比数列的定义，能够根据定义判定一个数列是否为等比数列．
⏹掌握等比数列的通项公式a n=a1q n-1；推广形式为a n=a m q n-m.
⏹掌握等比数列的前项和公式S n=(a1-a n q)/1-q=a1(1-q n)/1-q，(q≠1)，公式的推导方法为错位相减法．
特别地，当q=1时，S n=n a1.
⏹掌握等比数列的一些性质：
⏹在等比数列{a n}中，对于正整数m,n,p,q，若m+n=p+q，则a m a n=a p a q.特别地，a n+12=a n a n+2.
⏹在等比数列{a n}中，若q≠-1,依次k项的和仍成等比数列，即S k，S2k-S k,S3k-S2k,…成等比数列，其公比为q k．2、掌握基本方法（1）基本量法：由于等差（等比）数列是由首项与公差（比）确定的，故称首项与公差（比）为等差（比）数列的基本量．因此，大凡涉及等差（等比）数列的数学问题，我们总希望通过等差（等比）数列的基础知识并结合条件去求出首项与公差（比）、或它们间关系，从而认
识数列，达到解决问题的目的，这种方法就是等差（等比）数列特有的基本量方法．简言之,就是用基本量去统一条件与结论而达到解决等差（比）数列相关问题的方法．
基本量法常涉及“知三求二”题型，所谓“知三求二”就是等差（或等比）数列有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公差（比），只要已知这五个量中的任意三个，就可以利用通项公式和前n项和公式求出其余两个．对于“知三求二”的题型训练要适度，不要人为做那些太难、太繁题目，这样不仅增加学习负担，而且淡化数学本质．运用基本量法必须与等差(比)数列的性质密切配合，只有这样才能达到灵活应用的程度，才能发挥无穷的活力．两个重要数列问题都可以运用基本量法解决，有人认为解题过程较繁，想寻找解题技巧．我们不能对计算追求表面上少一步，或不容易设想的计算技巧，而冲淡了对基本数列和基本量法的认识．（2）数列通项公式的常见求法：观察归纳法、累加消项法、累积消项法、迭代法等已知数列的前几项，写出它的一个通项公式时，通常用观察法，然后归纳猜想．我们有时未必能观察出它的通项公式，这时不妨尝试观察它们任意相邻两项间的相依关系，如对于数列:1,3,7,13,21,31,…，若不能直接发现a n=n(n-1)+1，则通过观察出递推关系a n-a n-1=2(n-1),再用迭加或迭代法便可求出通项公式．总之，观察是一切能力的基础，在数列学习中显得尤其重要珍贵．
已知数列{a n}的前n项和S n,求a n,用公式法，即a n=S n-S n-1（n ≥2），具体解题时需看清问题的本质并注意分类讨论．（3）数列求和的常见方法：公式法、拆项求和法、转化求和法、裂项求和法、错位相减法、倒序相加法等．
如：求a+2a2+3a3+…+n a n用错位相减法；求等差数列相邻（或间隔）两项倒数和用裂项求和法；非等差（等比）数列问题可以转化为等差（或）等比数列求和问题．3、把握基本思想数列中涉及很多数学思想，在复习中需要同学们很好地把握以下几个数学思想．
（1）函数思想：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．复习中在理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公
式，弄清等差数列与一次函数的关系，抓住等差数列的特征，掌握前n项和公式，弄清它与二次函数的关系．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，弄清等比数列与指数函数的关系．（2）方程思想：运用数列基本量法解题就需根据题设条件，结合数列通项公式和求和公式构建方程或方程组求解，方程思想贯穿于数列学习和解题的始终．
（3）转化与化归思想：解决等差（比）数列问题都可以归结为研究首项和公差（比）问题；非等差、等比数列的问题常通过构造辅助数列转化为等差或等比数列求解；求和问题也是常见的题型，一些非等差、等比数列求和可以转化为等差、等比数列求和问题解决；有些数列应用题转化为等差、等比数列问题解决．通过两个基本数列的学习，在化归与转化过程中可以认识更多的数列，是数列学习的隐性目标．
⏹（4）递推思想：递推是数列的本质性的内涵，是数列的一大特
色．我们这里讲递推，并不是要深入研究递推数列，教材中没有递推数列的概念和题型，课标和考试说明中都没有一提到递推数列，因此递推数列已经不是高考涉及的内容，近几年江苏高考一直回避这一问题．但是递推思想和方法在解决数列问题中的作用是很大的，涉及数列前n和S n与的a n关系问题，常采用递推思想来解决．
⏹一般地涉及数列前n和S n与的a n关系问题，常采用递推思想
来解决．
⏹如江苏0５年(23)题：
设数列{a n}的前项和为S n,已知a1=1,a2=6,a3=11,
且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n=A n+B，其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值；
(Ⅱ)证明：数列{a n}为等差数列；
解决此题需要进行两次递推解决．
再如：已知数列{a n}满足2S n=3(a n-1),证明：数列{a n}为等比数列．利用递推思想解决．
（5）分类讨论思想：数列中渗透分类讨论的思想．如由S n求a n，要对n=1和n≠1讨论；在运用等比数列求和公式时，若公比q没有明确给出，需要分ｑ＝１和ｑ≠１讨论；在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论；有些数列的通项公式是分段表示，解题过程需要讨论；在数列解题中有时根据过程需要进行讨论．
（6）特殊化思想：有些数列问题，在一般情况下解决思维受阻或者解决比较困难繁杂，这时我们可以把问题退到特殊情形，研究在特殊情况下的问题，从中寻找规律，或探求问题成立的条件，然后再将结果代到一般问题中去检验或验证，也可以借鉴研究特殊情形的方法去研究一般性问题．这种“从一般到特殊再到一般”的方法，在研究数列问题中很有效果．4、关注重点题型作为高考复习，适当强化题型训练是很有必要的．
（1）“知三求二”题
“知三求二”是等差数列和等比数列的重要题型，通常涉及等差数列（或等比数列）的通项公式，前n项和公式，运用基本量法解决．要注意这两个重要数列之间的相互渗透、融合构成综合题．如子数列型、并列型、类比型、生成型、融合型．这类题型是数列复习的重点．（2）推理论证题
通过数列题考查思维能力，考查推理能力，是江苏高考题的一大特点，近几年江苏高考数列题都涉及这一问题．如2007年（19）题，2008年（19）题，即使2009年数列题难度有所降低，但是（14）题需要分析判断哪些项可以为等比数列中的项；（17）题第（2）小问也考查了思维和推理能力．（3）数列应用题
数列应用题大致有三类：一是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列中可转化为等差、等比数列的问题．通常涉及增长率、银行信贷利率、浓度匹配、养老保险、圆钢对垒等问题．解决数列应用题需要认真理解题意，弄清各项之间的关系，确定模型的类型，明确是求a n还是求S n？项数n是多少？数列应用题尽管在历年高考中考查较少，但由于数列在实际生活中有广泛应用，因此需要引起对这类题型的重视．
（4）情境创新题
研究全国或其它省市高考试题，可以发现数列试题丰富多彩，有时通过数阵形式给出，如三角数阵、正方形数阵等，2008年江苏卷第（10）题就是三角形数阵．有些数列问题是在几何背景给出的；有些是引入新概念定义新数列给出的，如周期数列、等和（积）数列、对称数列、等差比数列等．解决这类问题只要认真理解题意，信息迁移，根据题设条件解决就可以了．总之，在数学复习的过程中，研究考纲，研究考题，注重双基，强化能力，重视通性通法的复习与训练是数列复习的重点．要突出两条主线：一条是基础知识主线，一条是思想方法主线．要以等差数列、等比数列两个主干知识为载体，以通项公式和求和公式为主渠道，用好数列中基本量的关系，灵活运用等差（比）数列的性质，将最基本的解题方法训练好，注重在两个重要数列内在的知识体系中挖潜，还数列的本来面目．重视数列与函数的联系，以及方程思想在数列中的应用，通过分析典型例题和习题，加强数列与其他知识点结合的综合性问题、探索性问题、应用性问题的训练，提高运算能力、思辨能力、转化能力、探究能力以及分析问题与解决问题的能力．。