三角形

专题讲座三：三角形

一、选择题

1．如图所示，l ∥m ，等腰直角△ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β＝20°，则∠α的度数为(

)

A ．25°

B ．30°

C ．20°

D ．35°

2．如图，直线AB ，CD 交于点O ，OT ⊥AB 于O ，CE ∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO ＝30°，则∠DOT 等于( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

3．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n 个点最多可确定21条直线，则n 的值为( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

4．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB ，∠BOD ＝45°，则∠COE 的度数是( )

A ．125°

B ．135°

C ．145°

D ．155° 5．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为( )

A ．2

B ．12

C ．55

D ．25

5

6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD ，CE 分别是△ABC ，△BCD 的角平分线，

则图中的等腰三角形有( )

A ．5个

B ．4个

C ．3个

D ．2个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45°，F 是高AD 和B

E 的交点，CD ＝4，则线段DF

的长度为( )

A ．2 2

B ．4

C ．3 2

D ．4 2

8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△

BEC 的周长为( )

A ．13

B ．14

C ．15

D ．16 9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋

BC 等于( )

A ．5

B ．513

C ．1313

D ．9 5

10．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接O P ，将线段O P 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则A P 的长是( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．8 二、填空题

11．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，则∠A ＝

__________.

12．如图，已知AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，可补充的条件是__________(写出一个即可)．

13．如图，∠ABC ＝50°，AD 垂直平分线段BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是__________．

14．边长为6 cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为__________．

15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__________ cm 2.

16．如图，等边△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD

交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FG

AF

＝

__________.

17．如图，直线l 1∥l 2，以直线l 1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于点B ，C ，连接AC ，BC ．若∠ABC ＝67°，则∠1＝

__________.

18．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，把△ABC 沿AC 翻折，点B 落在点D 处，连接BD ，若∠ACB ＝100°，则∠CBD ＝________°

.

三、解答题

19．在一次数学课上，王老师在黑板上画出了如图所示的图形，并写下了四个等式： ①AB ＝DC ，②BE ＝CE ，③∠B ＝∠C ，④∠BAE ＝∠DCE.

要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可)

已知：

求证：△AED 是等腰三角形． 证明：

20．已知：如图，锐角△ABC 的两条高CD ，BE 相交于点O ，且OB ＝OC ，

(1)求证：△ABC 是等腰三角形；

(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．

21．如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，BC 与DE 相交于点F ，连接CD ，EB ．

(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

(2)求证：CF ＝EF.

22．如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C 点，乙船正好到达甲船正西方向的B 点，求乙船的速度．(3≈

1.7)

23．阅读下面材料：

问题：如图(1)，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD ＝∠C ＝2∠DAC ＝45°，DC ＝2.求BD 的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．

(1)请你回答：图中BD 的长为________；

(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD ＝∠C ＝2∠DAC ＝30°，DC ＝2，求BD 和AB 的长．

24．问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在∠ACB 的内部，连接BE.探究线段BE 与DE 之间的数量关系．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

(1)当点D 与点C 重合时(如图2)，请你补全图形．由∠BAC 的度数为______，点E 落在________________，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为__________；

(2)当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．