第四章 中值定理与导数的应用(2)

例5 解
求 f ( x) ( x 2 1) 的极值 .
f ( x) 的定义域：x (, ) ,
2 2 4x ( x) ( x 1) 3 2 x f 3 3 3 ( x 1)( x 1) 1
2 3
令 f ( x) 0 , 得驻点 x 0 ,
y
y




8 综上所述, 函数 y 2 x x
在 (, 2) , (2, ) 内单调增加 ； 在 (2, 0) , (0, 2) 内单调减少 .
列表可使问题明朗化
例2 证
证明：方程 sin x x 在 (, ) 内有且仅有一个实根 .
令 f ( x) sin x x x (, ) ,
取到它的最大值和最小值 .
f (x) 的最大值和最小值可能在区间的端点
x a , x b 处取得, 也可能在区间内部取得.
如果 f ( x) 在 (a, b) 内 取得其最大值和最小
值 , 则这些最值一定是函数的极值 .
温故而知新
求一个连续函数在 [a, b] 上的最大值和 最小值 , 只要先求出函数 f ( x) 在 (a, b) 内的
一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的
点), 然后比较极值可疑点的函数值及区间端
点函数值 , 其中最大者就是函数 f (x) 在区间
[a, b] 上的最大值, 最小者就是函数 f (x) 在 区间[a, b] 上的最小值.
求最值的几个特殊情况
(1) 若 f ( x) [ a , b ] , 则 f (b) 为最大值 , f ( a ) 为最小值 . (2) 若 f ( x) [ a , b ] , 则 f (a ) 为最大值 , f (b) 为最小值 .
O x0 x0 x0 x
O x0 x0 x0 x
极大点
y y
极小点
y
不是极值点
O x0 x0 x0 x
O x0 x0 x0 x
O x0 x0 x0 x
极大点
极小点
不是极值点
y

y

y

O x0 x0 x0 x
又
x 1 , x 1时 , f ( x) 不存在 ,
故
极值可疑点为 x 1 , x 0 , x 1.
列表讨论单调性, 判别极值:
f (2) 0
x
f (0.5) 0
1

f (0.5) 0
0 0
f (2) 0
1
(, 1)

(1, 0)

没有什么新的东西
用薄铁片冲制圆柱形无盖容器, 要求
例8
它的容积一定, 问应如何选择它的半径和 高度才能使用料最省 ?
解
设容积(体积)为 V , 半径为 r , 高为 h .
用料最省即指容器的表面积 A 最小.
V r2h
V h 2 r
2
故
2V A r 2 r h r r
O x0 x0 x0 x
O x0 x0 x0 x
极大点
极小点
不是极值点
通过观察以上的图形你得到什么结论？
定理
ˆ 设 f ( x) C (U( x0 )) , 在 U( x0 ) 内可微 ,
点 x0 为 f ( x) 的极值可疑点 , (1) 若 x x0 时 , f ( x) 0 ; x x0 时 , f ( x) 0 ,
(单调增加) (单调减少)
则 x0 为 f ( x) 的极大点 , f ( x0 ) 为极大值 . (2) 若 x x0 时 , f ( x) 0 ; x x0 时 , f ( x) 0 ,
(单调减少) (单调增加)
则 x0 为 f ( x) 的极小点 , f ( x0 ) 为极小值 .
二、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念.
在 U( x0 ) 内比较 f ( x) 与 f ( x0 ) 的大小.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件
函数的单调性判别定理和方法
泰勒公式 — 可利用高阶导数
定理
可微函数 f ( x) 在点 x0 处取极值的必要条件是 f ( x0 ) 0 .
(0, 1)

(1, )

y
y

极 小
极 大
极 小
f (x) 的极小点为： x 1 , x 1 ;
极小值为： f (1) 0 , f (1) 0 .
f (x) 的极大点为： x 0 ;
极大值为： f (0) 1.
自己总结求 极值的步骤
回忆以前学过的知识：
若 f ( x) C ( [a, b] ) , 则 f ( x) 必在 [a, b] 上
x x0 时 , 2 ( x, x0 ) , 使
f ( x) f ( x0 ) f ( 2 )( x x0 )
由定理中 (1) 的条件, 得
x x0 时 , x x0 时 ,
f ( x ) f ( x0 ) , f ( x ) f ( x0

可使用料最省.
d2 A 事实上 d r2
r 3
V
(2

4V ) 3 r r 3
V
6 0 .

例9
某出版社出版一种书, 印刷 x 册所需 成本为
y 25000 5x (元)
每册售价 p 与 x 间有经验公式 x p 6 (1 ) 1000 30 假设书可全部售出, 问应将价格 p 定为多 少才能使出版社获利最大？
例1 解
8 讨论 y 2 x 的单调性. x
定义域 : (, 0) (0, )
y 2
8 2 2 ( x 2 4) x2 x
令 y 0 , 得 x1 2 , x2 2 ,
x
( , 2)
2
0
(2, 0)
0 (0, 2)
2
0
(2, )
x0
x
故 x0 为 f ( x) 的极大点 , f ( x0 ) 为极大值 .
由定理中(2) 的条件, 得
x x0 时 , x x0 时 ,
f ( x ) f ( x0 ) , f ( x ) f ( x0 ) ,
y
O
x0
x
故 x0 为 f ( x) 的极小点 , f ( x0 ) 为极小值 .
解
以 Q 表示获利 , 则
Q px y
由经验公式, 得
x p 30 200
于是
x Q (30 ) x (25000 5 x) 200 令 x x Q (30 ) 5 0 200 200
得唯一极值可疑点 x 2500 (册) ,
又 Q
x (, )
y
y | x |
在点 x 0 处不可导 ,
但 x 0 恰好是它的极小点 .
O
x0
x
驻点 : f ( x) 0 的点 .
极值可疑点
使 f ( x) 0 不存在点 .
如何判断极值可疑点是否确为极值点?
首先考察下列函数的图形:
y y y
O x0 x0 x0 x
2
应 用 题
dA 2V V 3 令 2 r 2 0 , 得 r , dr r
因为 r
又
3
V

是 A 的唯一极值可疑点 ,
A 的最小值一定存在 ,
3
所以, r
V

为 A 的最小点,
如果不放心,可用 二阶导数进行判断.
故当要求的容器的容积为 A 时 , 选择半径
r3
V

则 f ( x) C((, )) , f ( x) cos x 1 0 ,
且仅当 x 2k (k Z ) 时, f ( x) 0 ,
即
f ( x) 仅在孤立点处为零 .
从而
f ( x) sin x x ( , )
就是说 , 曲线 y f ( x) 与 x 轴最多有一个交点 .
一、函数的单调性
由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:
若函数 f ( x) 在区间 I 内可导 , 则
f ( x) 0 f ( x) 0
f ( x) I f ( x) I
f ( x) 0 的点可以作为函数 f ( x) 单调性的分界点 .
观察下面的图形, 你能得出什么结论？
计算函数值:
f (1) 4 ,
f (0) 5 ,
f (1) 4 ;
( 端点值 )
f (2) 13 , f (2) 13 ,
故 f ( x) 在 [2, 2] 上的最大值和最小值为 :
ymax max{4, 5, 4, 13, 13 } 13
ymin min{4, 5, 4, 13, 13} 4 最大值点为 x 2 , x 2 . : 最小值点为 x 1 , x 1. :
判别点 x0 是否为函数的极值点 就是在 U( x0 ) 内 ,
比较函数值 f ( x) 与 f ( x0 ) 的大小 .
定理
设 f ( x) C (U( x0 )) , 在 x0 有二阶导数,
且 x0 为 f ( x) 的驻点 ( 即 f ( x0 ) 0 ) , 则 (1) f ( x0 ) 0 时 , x0 为 f ( x) 的极大点 ; ( 2 ) f ( x0 ) 0 时 , x0 为 f ( x) 的极小点 ; ( 3 ) f ( x0 ) 0 时 , 不能判定 x0 是否为 f ( x) 的极值点 .