实变函数课程教学初探

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《实变函数》课程教学方法的改革初探

１问题的提出
自２０年我国进行新一轮的基础教育０１
有了很大的变化，这对中小学数学教师是极大的挑战。为了培养适应基础教育改革要
求的新型中学数学教师，笔者曾对《中学数
学教材教法》课程的内容和教学方法进行改
改革后，中小学数学课程内容和教学方法都
收稿日期：０６— ６～８２００２
ｆｕｄｔｎｅｕａｉｎｒｆｒｒｑｅｔｔｒｕｈｅｕａｉｎｒｆｒｏｎａｉｄｃｔｅｏｍｕｓｏｇｄｃｔｅｏｍ，Ｄｕｎｅｔａｈｎｒｃｓｆｈｏｒｅｏｏｅｈｏｉｒｇｔｅｃｉｇｐｏｅｓｏｅｃｕｓｈｔ
作者简介：丁丰朝（９６一，，１４）男浙江义乌人，贵阳学院数学系教授。
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革，经过几年的实践，取得了较大的成功，使我系的毕业生走上教学工作岗位后，就能基本胜任数学新课程标准的教学。通过对《中学数学教材教法》课程的改革进行反思，笔者深深感到，的改革。因
此，基础课和专业基础课的课时被大量压
缩，使得教学方法的改革更是困难重重。（）４近几年高校扩大招生，国高等教我
育蓬勃发展，但学生的整体素质下降也是不
争的事实。这又给教学方法的改革增添了
难度。
Ｄｅ．２ｏＣｏ６
《实变函数》课程教学方法的改革初探
丁丰朝
（贵阳学院数学系，贵州贵阳５００）５０５

《实变函数与泛函分析》课程教学初探

过科披风《：实变函数与泛函分棚课程教学初探荣嵘(徐州工程学院，江苏徐州221008)睛要】结合实变函数与泛函分析的教学实践，分析了课程教学中易于产生的问题以及学生学习课程常见的困难，镕螺程教学作了一些探讨。

陕篷词]教学内容；教学方法；教学改革侠变函数与泛函分析>课程是信息与计算科学专业重要的专业基础课程，也是所有本科数学专业学生的必修课程，更是从事数学及相关专,_I LA员必须掌握的--f q至关重要的课程。

它内容抽象，理论深刻，论述精密，应用广泛。

它的数学思想与方法密集，是进一步掌握现代数学理论，开展理论和应用研究必不可少的基础课程。

按照D i eudonne的观点，相当于目前大学本科二年级以前的课程讲授的主要是经典数学的内容，在此之后才接触现代数学。

筷变函数与泛函分哲静正是从“经典理论”向“现代理论”转折的关口，又是联系各门经典课程的纽带。

但侠变函数与泛函分析>课程由于理论性强，内容抽象(概括程度高)，与其它课程联系多，应该说在学生学习和老师授课方面都有相当的难鹿因此进行课程教学改革是上好这门课的关键。

一、几点探讨(一)转变该课程教育教学观念课程教育教学观念，是人们在一定的社会实践中，直接或间接形成的对课程教育问题的认识。

教师的教育教学观念制约和支配着自身的教育教学行为。

目前，教学中普遍存在着重”数学”而轻“教育”的传统思想，这种思想必须加以改变。

首先，教师在传授书本知识的同时要兼顾对学生分析思维能力和解决问题的能力培养。

其次，在实际教学中，要树立学生的主体地位，引导学生独立思考、自主学习。

通过充实和丰富课堂内外的各种教学活动，使学生由被动的接收者转变为主动的参与者和积极的研究者。

‘二)教学内容直舰化、趣喇匕，提高学生的学习兴趣供变函数与泛函分析>的许多概念有一定的抽象性，许多重要结论异常深刻，而为达到这些结论所需的理论推演亦不简单。

教学中应尽可能注意介绍理论背景，增强学习目的性。

实变函数课程教学的几点体会

实变函数课程教学的几点体会实变函数课程对于大多数学生来说都很困难、很抽象，主要原因是学生习惯了从初等数学到数学分析或高等数学，所研究的函数都是常规的性质很好的函数.然而，有更多的性质不好的函数，需要换个角度认识它们，这就导致实变函数的形成，并最终成为一门课程.这门课程的思想方法与思想痕迹其实在中学数学课程及大学数学课程中都有所体现.1.实变函数思想下初等数学内容的认识为了研究函数的性质，对函数的定义域再认识，从而从另一角度研究集合，因此实变函数课程中一开始就研究集合，当然不只是停留在集合的简单运算上.当两个集合之间能建立一一映射时，这两个集合中的元素就是一样多的.由于无理数集是不可数集，有理数集是可数集，则无理数集与有理数集不对等，这两个集合中的元素就不是一样多的，实际上无理数比有理数要多得多.利用一一映射，还可以得到任何一个三角形的三条边上的点是一样多的，但就长度而言三条边往往不相等，这说明点不能有大小（度量），并不是人为规定点没有大小.对于两个非空集合（点集）A与B，把A中的任何点与B中的任何点之间的距离的下确界说成是集合A与B之间的距离.这样，一直线外一点到该直线的距离，平面上两条平行直线之间的距离，两条异面直线之间的距离，空间中两平行平面之间的距离等，都采用垂线段的方式计算.按照此定义，平面上两条相交直线之间的距离，两个相交的平面之间的距离等则为零.由此看出，只有真正学懂了实变函数课程，才能正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论.比如，点为什么不能有大小，有理数与无理数的本质区别是什么，无理数在实数中占有什么样的地位，集合的表示为什么要用区间这样的方法，为什么不是所有集合都能用列举法表示，等等.2.集合的测度之意义拓广对集合整体度量的认识，利用测度概念.在测度意义之下，点集可以是非常不规则的，其元素可以是相当凌乱的，集合的元素可以是多样的，从而测度可以是长度，可以是体积，可以是质量，可以是概率，等等.在测度意义之下，由一个元素组成的集合，由有限个元素组成的集合，由可数个元素组成的集合，测度均为零.这样，一个点的测度为零，这就说明点确实没有大小.在测度意义之下，有理数集的测度是零，从而实数集R中基本上全都是无理数，或者说，一条直线上几乎处处为无理点，实数的核心是无理数，实数集R的“质量”都集中在无理数上，无理数集是实数集R的“原子核”.可数集的测度为零的一个现实反映，比如，一个筛子的孔是很多的，但也应该是有限个，不过可以理解为可数多个，当人们往筛子（悬空的）里盛放细小的东西（一部分可以穿过孔）时，如果人不摇晃筛子，则自然从孔漏出去的细小东西的体积几乎为零.这就是为什么有了筛子，还得要人筛一筛，才能把东西分开成粗与细的两个部分.这表明，任何一个集合添加零测度集后，其测度不改变.这一性质的一个现实反映经常出现，比如人们外出旅行，收拾包裹行囊很满，鼓鼓囊囊的，正要出门时突然看到一支笔或一把梳子被落下了，这时往往就把笔或梳子随便插进包裹的缝隙里，照样带走.这里，相对于一大包东西，一支笔或一把梳子的体积或质量几乎为零，添加进包裹也不会改变包裹的体积或质量，并不会影响人的出行.由此看出，所谓集合的测度，其实并不那么抽象.在测度意义之下，集合又区分为可测集与不可测集.零测度集是可测集，区间是可测集，区间的并集是可测集，这些为函数范围的拓宽奠定了基础.不可测集是存在的，由于集合的测度是非负实数，那么不可测集的测度一定不为零，从而不可测集存在于正测度集之中.3.可测函数概念教学的一个策略对于函数，中学数学教材及数学分析里的函数，往往强调定义域的重要性，而且定义域基本上是连续的一个数集——区间，同时对函数的值域往往不太重视.这样，导致学生习惯于从定义域到函数值认识函数，而忽视了从函数值范围到自变量取值范围认识函数.尽管教材里有所体现，比如，试根据函数y=3x-15的性质或图像，确定y0时x取何值，观察余弦曲线，写出满足条件cosx0的区间，但都是以习题的形式出现的，在教材的正文中几乎没有涉及.虽然这仅仅就是解函数不等式，但认识上、方法上还是有所不同.因此，在实变函数里突然出现一个可测函数概念，使学生感到迷惑.所以，笔者在讲授可测函数概念时，是按照如下策略引导讲解的.由上述例子看出，连续函数是可测函数；处处不连续的函数也可以是可测函数，所以，可测函数是比连续函数更广泛的函数类型。

《实变函数》课程教学改革探索

《实变函数》课程教学改革探索实变函数课程是高等学校数学本科专业重要的专业基础课之一，通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握贝格测度和勒贝格积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为学生进一步学习现代数学理论打下基础。

实变函数中的数学思想与方法密集，是开展理论和应用研究必不可少的基础课程。

同时，它又是数学分析课程中许多重要概念的加深与拓广，融合在实变函数理论中的思想方法和数学语言对学生的数学素养与能力培养有着举足轻重的作用。

与数学分析、高等代数等课程相比，实变函数内容更抽象，理论更深刻，论述更精密，普遍认为是数学专业本科阶段最难学习的课程之一。

作为任教老师，应当认真研究这门课的教法，上好这门课，使学生能真正理解这门课的思想实质。

随着中国高校十多的快速发展，高等教育已从精英阶段迈入了大众化发展阶段。

新升本的地方院校学生来源分布广，生源质量与老牌本科院校的相比还是有一定差距。

目前，实变函数的课程体系、教学内容和教学方法都还是沿用精英教学时期的，就此，结合自己的教学经历，参考其他教师的教学改革研究成果 [1-8]，提出了一些教学改革探索。

一、着力做好基本概念和基本理论的教学注重实际应用背景知识及几何直观的解释，强调讲清楚概念与方法的来源，使抽象概念的引入具体生动，克服学生在数学上认知与理解的困难。

注重方法、技巧及思维的启发引导，强化习题训练，巩固深化基础知识和基本方法，指导学生解决实际应用问题。

（一）要善于运用类比方法，讲透基本概念实变函数课程的基本概念特别多，而且比较抽象，因此，在基本概念的教学过程中，要讲究一些教学方法，要思考怎样讲解才能使得学生更容易理解。

因为实变函数课程是数学分析课程的继续与深化，所以许多概念这两门课程之间都有很多相似之处。

从而在讲解一些概念时，可以把数学分析中相关的概念先复习一篇，然后通过类比的方法给出实变函数课程中的新概念。

比如，在讲解依测度收敛时，如果直接写出它的定义形式，学生一时是比较难接受的，我们可以通过类比的方法，先复习数学分析中的收敛的定义，然后给出依测度收敛的定义；在讲解可测函数的积分的概念时，老师可以先给出数学分析课程中闭区间上连续函数定积分的定义，然后讲清它们之间的联系和区别。

“实变函数”课程教学初探

划。
通过以上Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分思想的介绍，实变函数这门课程的内容体系显而易见如下：集合Ｅ的“ 长度 ”如何定义（见文献［１］第三章测度论）；
系统地阐述了他关于测度和积分的思想，由此导致了一场积分学的革命。
收稿日期：２０１２—１１— ２４
基金项目：内蒙古自然科学基金（２０１２ＭＳ０１２１，２０１０ＭＳＯ１１８），内蒙古高校科技研究项目（ＮＪＺＹ１１０３３）。
作者简介：王瑞英（１９７４一），女，内蒙古呼和浩特人，博士，副教授，研究方向：函数论和拓扑学。
２０１３年３月
阴山学刊
ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ
Ｍａｒ．２０ｌ３Ｖ０１．２７Ｎｏ．１
第２７卷
第１期 ຫໍສະໝຸດ “ 实变函数 ” 课程教学初探
王瑞英
（内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特市０１００２２）
实变函数论就是围绕Ｌｅｇｅｂｅｇｕｅｓ积分的建立而
展开的，它以集合论为基础，将考察对象从数学分析考察的定义在区间（或区域）上的连续函数扩大到定义在可测集上的可测函数，使得微积分理论得到进一步发展，其中心内容为Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度论与Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分论。但实变函数处理问题的思想方法较之数学分析有了较大的飞跃，常使初学者感到陌

实变函数课程教学的几点体会

实变函数课程教学的几点体会实变函数课程是一门理论性和应用性都很强的专业基础课。

学好它不仅对本专业学习和工作有重要意义，而且还对整个自然科学的发展和技术进步有重大影响。

从内容上看，实变函数内容包括了初等函数与数列极限、连续函数的概念及其性质、解析函数的概念及其性质、多元函数的偏导数与全微分、多元函数的微分法、隐函数存在定理与泰勒公式、复合函数与反函数、洛必达法则、函数极值、最大（小）值原理、函数的单调性与极值、极坐标系与参数方程、特殊函数、广义积分、曲线积分与曲面积分等知识。

从教学内容的深度和广度来说，它要求学生掌握自变量的分布，求函数极限的方法，解析和隐函数存在定理的应用等重要知识点。

因此，学好这门课程是非常重要的，可以帮助我们解决许多实际问题，具有非常重要的现实意义。

但是，该课程也存在着许多的难点，给教师的教学带来了困难，如何让学生既学得轻松又学得扎实呢？这需要我们每位任课老师在今后的教学中不断探索、改革和创新。

根据多年的教学经验，我认为只要处理好以下几个关系，就能取得较好的教学效果：学好这门课程需要学生具有极强的抽象思维能力、观察事物的敏锐性和综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，这些能力的培养是贯穿于整个教学过程的始终。

在授课过程中，老师应注意结合大学数学知识和相关知识，不仅从定义的角度引出问题，同时应通过实例或习题来使抽象的概念形象化，加深学生对问题的理解。

在教学中，适当介绍一些研究实变函数的学者的背景资料，以激发学生的学习兴趣，提高他们的钻研精神，也可以适当地介绍一些数学史方面的知识，以激励学生继承前人的优良传统，鼓励学生勇于开拓。

教师还应注意将理论知识与生活实际联系起来，鼓励学生用所学知识去解释日常生活中的现象，进行开放式的讨论，增强学生的动手操作能力。

教学中，尽量避免过多地使用习题，更不应该把学生搞得太疲劳，应结合教学内容安排适当的课堂练习。

平时作业，除作业题外，最好由老师精心选择一些综合性比较强的题目，这样不仅可以促进学生对知识的融会贯通，加深对知识的理解，同时也可以训练学生的逻辑推理能力。

实变函数课程的教学探讨

实变函数课程的教学探讨摘要：针对实变函数课程抽象性强、推理严谨、自学难度大等特点，通过以下教学思想和教学方法来探讨如何讲授好实变函数课程：在授课过程中采用与数学分析中的诸多思想和概念作类比和利用大量图解、图示做演示及时常穿插讲解数学史等教学方法来减轻授课难度，提高教学质量；在授课完成以后，通过对课后习题、大小作业的布置、批改和讲解来掌握学生学习动态，时刻调整课程进度。

关键词：Lebesgue积分；类比教学；学习兴趣；教学质量“实变函数”是数学专业的一门专业基础课，它具有抽象性强、概括性强、推理严谨、自学难度大等特点，同时也是一门承上启下的课程，它是数学分析课的继续、发展、深化和拓广，也是学好泛函分析、测度论、随机过程等数学专业课程的必备基础课。

由于上述的特点，初学者往往觉得“实变函数”高深难懂、神秘莫测，给“实变函数”扣上了“难学”、“枯燥”、“天书”“鬼的学科”的帽子，为了降低授课难度，减轻学生心理压力，激发学生的学习兴趣，作者从实际出发，根据本课程的特点，结合自己的教学实践经验，以增强授课效果，提高教学质量为目的，从以下几个方面使“教”与”学”有机的结合起来。

一利用类比和图示的教学方法，穿插讲解数学史，减轻授课难度，提高教学质量我们通过Lebesgue积分的授课过程来说明如何利用类比和图示的教学方法，主要分为以下几点：1. Lebesgue积分是实变函数的核心内容，也是本课程的重点和难点，下面以Lebesgue积分概念的讲解为例，探讨如何与我们熟知的Riemann积分相结合来进行类比教学。

首先我们举几个数学分析中Riemann积分局限性的例子作为引例，比如：(1)Riemann积分对被积函数的要求很苛刻，在数学分析中有如下结论：闭区间上的连续函数、单调函数、有界且只有有限个间断点的函数是Riemann可积的，但是对于像物理学科中常见的Dirichlet函数却不是Riemann可积的。

(2)Riemann积分不完全是微分的逆运算。

实变函数论课程联系中学数学的教学实验与体会

实变函数论课程联系中学数学的教学实验与
体会
实变函数论是数学专业的一门重要课程，它研究的是实数集上的函数
及其性质。

那么，实变函数论课程有哪些联系到中学数学的教学实验呢？本文将结合自己的体会，探讨这个问题。

首先，在实数集合上研究函数性质时，相信许多同学都在中学数学的
函数部分中接触过单调性、极值、最值、连续性等概念。

实变函数论
进一步深化了这些概念，加强了同学们对这些基本概念的理解。

因此，我们可以通过教学实验，让同学们深入掌握这些概念，提高他们的数
学素养。

其次，实变函数论涉及到许多极限的概念。

同样地，这些概念也是在
中学数学中学习的。

例如，我们在中学数学中学习的极限是极限点处
函数值的邻域内都有函数值，而在实变函数论中，我们需要考虑点列
极限，函数极限等更为细致的概念，加深对极限的理解同时也加深对
中学数学中的极限的认识。

我们可以通过实验来帮助同学们理解更加
抽象的极限概念，增进对数学的兴趣。

最后，实变函数论很重要的一部分是曲线的长度，面积与微积分的计算。

中学数学中我们曾学过导数、微分等知识，而实变函数论则通过
积分来得到一个曲线的长度，面积等相关信息。

本着知识渐进性原则，我们有必要通过实验进一步深入地探究这些知识。

总之，实变函数论涵盖了许多数学课程的知识。

通过实验和体验，同
学们可以更好地理解、掌握和运用这些知识。

因此，我们应该加强实
验教学，让同学们通过亲身实践来感受数学知识的魅力，同时提高他
们的数学素质，为培育高素质人才打下坚实的基础。

“实变函数”课程教学改革探讨

“实变函数”课程教学改革探讨“实变函数”主要是由法国数学家Lebesgue于19世纪末、20世纪初创立的。

它是大学数学专业本科课程中的一门重要基础课，可以拓展大学生的数学知识面，培养大学生的创新意识，提高大学生的抽象思维能力，深化大学生对现代分析数学理论的理解。

它是普通微积分学的延续，其主要内容是克服了Riemann积分的缺点、以Lebesgue测度理论为基础的Lebesgue积分理论。

它是从事数学教学和科学研究必不可少的基础课程，其理论已被广泛应用到基础数学和应用数学的许多分支，诸如复分析、泛函分析、算子理论与算子代数、微分方程、概率论等。

“实变函数”是数学专业课程中既难教又难学的一门课程。

它的诸多方法源于数学分析，然而又高于数学分析。

该课程理论性强，内容抽象且对初学者的基础知识要求较高，其难度较高。

另外，随着高等教育的普及化，数学专业的大学生成倍、甚至几十倍增加，学生的整体学习水平较之从前有了较大的下滑。

目前大部分高等院校的“实变函数”教学都面临着以下困境：教师投入的时间和精力越来越多，而学生的学习积极性和学习效果却越来越差；期末考核难度越来越低，而学生的考核成绩却越来越差。

从教学内容、教学方法和考核方式三个方面探讨了“实变函数”课程的教学改革。

一、教学内容1.“实变函数”的教学内容是一个动态概念一方面，“实变函数”的教学内容在不同历史时期是不同的，在不同的院校也是不同的。

20世纪70年代，“实变函数”教学主要是在大学基础数学专业中开展，其内容是全面的集合论、测度论和积分论，讲解过程中强调严谨的推理和证明。

目前绝大部分高等院校的数学专业都已经开设了“实变函数”课程，其中大部分工科类院校的实变函数主要是介绍相关的概念和常识，讲解过程中强调证明和证明方法。

另一方面，“实变函数”的教学内容以课程定位为基础，需要在教与学的实践过程中不断完善和发展。

准确的课程定位是课程改革和教学改革成功的前提，[2，3]是撰写教学大纲和授课计划的基础。

《实变函数》课程教学改革探索

中的重中之重，那是因为如果学生对实变函数中的很多概念
随着中国高校十多的快速发展，高等教育已从精英阶段
迈人了大众化发展阶段。新升本的地方院校学生来源分布广，
生源质量与老牌本科院校的相比还是有一定差距。目前，实变函数的课程体系、教学内容和教学方法都还是沿用精英教学时期的，就此，结合自己的教学经历，参考其他教师的教学
相关的概念先复习一篇，然后通过类比的方法给出实变函数课程中的新概念。比如，在讲解依测度收敛时，如果直接写出
它的定义形式，学生一时是比较难接受的，我们可以通过类比的方法，先复习数学分析中的收敛的定义，然后给出依测
生的思维能力和逻辑推理能力，为学生进一步学习现代数学
实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，大多数学生觉得实变函数难懂、抽象，难学。要按时且高质量的完成该课程的教学，就需要教师从教学方法上下功夫，增加趣味性，减少枯燥性，提高学生的学习热情。适
不明确、定理结论不熟记，不掌握证题的技巧，学生就会失去
学习这门课程的积极性与信心，所以，必须首先上好概念定
理的内容。
引导，强化习题训练，巩固深化基础知识和基本方法，指导学
生解决实际应用问题。
二、采用直观化的教学方法
（一）要善于运用类比方法，讲透基本概念实变函数课程的基本概念特别多，而且比较抽象，因此，在基本概念的教学过程中，要讲究一些教学方法，要思考怎

《实变函数》课程教学方式改革初探

《实变函数》课程教学方式改革初探一、实变函数课程教学现状《实变函数》课程是现代数学专业的核心基础课程之一，旨在使学生掌握近代抽象分析的基本思想，提高抽象思维和数学表达能力，加深对数学分析知识的理解[1，2，3]。

《实变函数》内容丰富、思想方法重要，在数学及与数学交叉的各个学科领域中有广泛的应用，例如泛函分析、测度论、概率论、现代偏微分方程及随机微分方程等，因此学好实变函数对于后续数学专业课尤其重要。

但是由于《实变函数》课程具有内容抽象、推理严谨等特点，学生普遍感觉难学。

另一方面，在《实变函数》的教学过程中也面临诸多困难，例如：教师投入越来越多的时间和精力，而学生对此课程越来越无兴趣，往往是教师一个人唱独角戏；实变函数课程中涉及到大量的证明，从而遇到“内容多而课时少”的矛盾。

如何更好地解决上述矛盾、提高教学质量是一个亟待解决的问题。

二、教学方式改革措施（一）“换位教学”与探究创新融合《实变函数》课程传统的教学模式是“教师讲，学生听”，一般采取“满堂灌”的方式，教学内容大多限于教材。

基于此，我们在教学实施中采取的措施之一是“学生讲授与教师讲授相结合”的“换位教学”分层次教学模式。

对于一些较为容易的定义、定理和习题，让学生在教师的指导下备课、编写教案并授课。

在学生的教学过中，教师适当加以点评，并对讲解的好的加大赞扬；对讲解的不到位的，指出问题并重点讲解。

例如在讲到“点集分类”这一节时，由于在《数学分析》课中已经接触了平面点集分类的内容，教师让学生自主学习并归纳实变函数中的点集与数学分析中点集的共性与个性。

大部分同学会提前预习，并查阅大量资料，这样不仅提高了学生自主学习能力，同时也拓展了知识面。

对于习题出现问题较多且相对简单的题目，教师让解答有独到之处的学生提前做好准备，在课堂上呈现他们的思维方式。

而对每个章节涉及的数学家，让学生课下查阅资料收集整理他们的小故事及成果，课堂上适时提问，让部分学生展示出来。

实变函数课程化难为易的教学探讨

实变函数课程化难为易的教学探讨
实变函数课程作为中学教学内容，极大地拓宽了学生们的数学视野，也弯曲了他们声称变
函数时的思维、改变了对抽象概念的处理方式。

然而，实变函数课程却是学生最“难”的课程，大部分中学生都感到非常困难。

值得庆幸的是，现在教师们结合自身的教学长处已经利用许多方法课程化实变函数，让它
变得更容易学习。

首先，老师要进行全面的诊断测试，以了解学生当前的学习水平，并给
出正确的学习导向。

其次，老师可以设置合理的学习任务，比如通过练习题帮助学生熟悉
实变函数中的概念，并进行适当的讲解，帮助学生加深理解。

最后，老师可以通过实际的
例子来帮助学生更好地理解实变函数的实质，而不是僵化地死记课本，以便将所学的知识
融会贯通。

还有许多有助于课程化实变函数的方法，但做到这一点还需要时间、耐心与技巧，而教师
可以通过不断汲取新知和技能，不断实践，不断尝试，最终达成这一目标。

因此，在当下，教师们要多多努力，尽心尽力做好每一堂课，帮助学生更好地理解和掌握实变函数课程，
实现实践转化，改变不久的将来。

实变函数课程教学的几点体会

实变函数课程教学的几点体会高中阶段学习实变函数是非常重要的基础知识，对于后续函数和复变函数的学习也有很大帮助。

在此，笔者就如何提高高中实变函数课程的教学质量谈几点自己的体会：1、实变函数教学不同于导数及其几何意义教学。

高中阶段实变函数教学面临两大任务，一是继续进行函数与方程、不等式、函数性质及其应用的教学；二是对实变函数结构和图形特征进行专门的研究和训练。

以往的教学中由于前面所涉及到的问题比较多，所以导致了学生对实变函数内容的接受比较困难，实际教学过程中也没有重视起来，实变函数部分内容在教学目标中也只能够作为辅助性的内容处理。

在这种情况下，我们要注重建立在整体教学框架之上的实变函数知识体系，采用合适的教学策略，全面促进学生数学思维水平和学科素养的发展。

在课堂上，教师要精心设计问题，引导学生运用定义去认识、分析和解决问题，使学生的各种能力得到提升。

具体来说，我们可以采取以下三种策略，以完成两大任务：一是开拓思路。

教师通过多媒体演示与动画，创设富有启发性的教学情境，引导学生把握问题关键，以思考的眼光去发现和理解，并通过归纳与类比，培养推理论证能力。

二是转换视角。

引导学生探索与思考，以获得正确的答案。

针对某些思维障碍，巧妙引导、反复强调，帮助学生在相关的问题情景中，找到解决问题的方法。

三是引导探索。

通过各种途径让学生寻求问题的解决方法，尤其注重利用已有的知识经验和生活经验去探索问题的解决办法。

二是改进教法，营造活跃课堂氛围，提高教学效率。

高中实变函数教学内容的一个显著特点就是多，不但包括三角函数，还包括了集合、向量、函数等知识。

为此，要在保证传统授课方式的前提下，做到重点突出，避免面面俱到。

例如，在教学三角函数时，可先将公式、概念讲清楚，然后再列举若干例题加以应用。

在这个过程中，可根据学生的实际情况，引导他们联想生活、联系实际去深入理解新知识。

在教学集合、向量、复数等知识时，也可借鉴这种方法。

例如，在教学复数时，首先将集合、向量的基本知识讲清楚，然后通过演示复数表示方法的演变过程，帮助学生认识复数在三角函数中的地位和作用，同时，再通过一些应用性的问题，引导学生进行综合运用，使学生进一步巩固所学的知识，并逐步提高分析问题、解决问题的能力。

关于实变函数教学的几点注记

关于实变函数教学的几点注记实变函数是高等数学中非常重要的一个概念，它是数学分析的基础，也是许多工科和理科专业学生必须掌握的重要内容。

在进行实变函数的教学过程中，教师需要注意一些关键的点，以确保学生能够充分理解和掌握这一内容。

下面就实变函数教学过程中的几点注记进行讨论。

一、引入实变函数的概念在开始讲解实变函数之前，教师首先需要引入实变函数的概念。

可以从函数的定义和初等函数的特点入手，引出实变函数的概念，并举一些实际问题或例子来说明实变函数的意义和应用。

可以介绍关于曲线的长度、曲线下的面积等问题，引出实变函数与曲线、面积等几何概念的联系，从而引入实变函数的概念。

在引入实变函数的概念时，教师需要做到通俗易懂，避免使用过多的符号和抽象的定义，让学生通过直观的例子和问题来理解实变函数的概念，从而为后续的学习打下基础。

二、强调实变函数的实际意义实变函数不仅在数学理论中有着重要的地位，更主要的是在实际问题中有着广泛的应用。

在教学过程中，教师需要不断强调实变函数的实际意义，引导学生将数学理论与实际问题相结合。

可以通过介绍一些典型的应用问题，如物理学中的运动学问题、工程学中的优化问题等，来说明实变函数在实际中的重要性和应用价值。

强调实变函数的实际意义有助于激发学生的学习兴趣，让他们在学习的过程中能够更加深刻地理解和掌握实变函数的相关知识。

也能够帮助学生建立起对实变函数的认识和理解，为将来的学习和工作奠定基础。

三、注重实际问题的引入和解决在实变函数的教学过程中，教师需要注重引入和解决一些与实际问题相关的数学问题。

可以通过一些案例或实际问题来引出相关的数学模型和实变函数的应用，让学生通过解决这些问题来理解和掌握实变函数的相关知识。

教师还需要对学生进行相关问题的训练和引导，引导他们通过建立数学模型、应用实变函数的方法解决实际问题。

在解决问题的过程中，学生不仅能够加深对实变函数的理解，还能够培养他们的问题解决能力和创新思维。

实变函数课程教学的几点体会

实变函数课程教学的几点体会实变函数课程是我校新增设的一门公共选修课，它与其他几门公共选修课程相同的地方是对学生进行深入浅出的抽象概念教育，目的是让学生掌握有关信息技术在物理学中应用的知识。

不同之处是，该课程主要研究利用物理方法解决信息领域的相关问题。

我们结合自己的教学经验和教学体会，就如何组织好本课程的教学谈谈个人的几点看法。

该课程的内容和研究对象都比较抽象，需要借助多媒体来辅助讲授。

因此，合理地使用多媒体课件不仅可以调动学生的学习积极性，而且能够加强直观感，便于学生掌握课堂内容，提高教学效果。

下面结合具体的教学实践谈谈三个方面的认识：在教学中，我首先运用多媒体对实变函数的基本概念、基本规律和定理等进行讲解，这样使抽象复杂的问题通过形象化的事物来表现出来，使学生易于理解和接受，而且大大激发了学生学习的兴趣。

在传统的教学中，老师总是单纯地用粉笔或挂图板书来说明某些抽象的数学语言，这种做法费时费力，很难使学生牢固掌握。

但是，利用多媒体则能够轻松地解决这个问题，学生通过电脑展示的数字和图像以及声音能够直观、准确地了解这些语言。

这种全新的教学手段还改变了学生的思维模式，使学生在潜移默化中逐步地提高抽象思维能力。

其次，在教学过程中，应当充分运用计算机所独有的信息交互功能，设置多种情境，引导学生积极参与讨论，促进学生综合素质的提高。

一是根据实际情况创设问题情境，引导学生对实变函数概念的理解；二是引导学生分析数学问题，启发他们思考；三是开展课外活动，进一步巩固概念。

例如，在《初等函数》一章中，我将学生分成四个小组，要求每组选出代表展示自己的成果，最后以小组竞赛的形式评出优胜小组。

竞赛前，要求学生查阅相关资料，以“在无穷区间里，初等函数的性质”为主题写一篇文章。

竞赛时，我将各小组的文章分别放在屏幕上播放，学生边听边议论，还可以随意发表见解，整个课堂气氛非常活跃。

这样学生不仅主动参与了课堂活动，还真正理解了初等函数的概念。

探讨高等院校中实变函数课程的教学改革

探讨高等院校中实变函数课程的教学改革实变函数课程是高等院校数学本科专业重要的理论分析基础课之一，它为学生进一步学习其它课程如微分方程、泛函分析、概率论、复分析、算子理论与算子代数等提供了必不可少的基础知识。

由于其内容具有高度的抽象性、概括性、严谨性、构造性等特点，导致学生普遍感到学习该门课程很困难。

这里，作者结合自己的教学实践，参考其他教师的教学改革研究成果[1-4]，提出了自己的一些教学改革想法。

1 让学生认识到学习实变函数的意义在学习实变函数的过程中，如果学生仅仅是带着应付下考试的心理，那学习这门功课的意义就大打折扣了。

实际上，实变函数内容的抽象性恰能很好地锻炼我们分析问题和处理问题的逻辑思维能力，锤炼我们的细心、耐心、恒心和信心。

学习过程会是一个不断提升自身数学修养的过程。

在这一方面，实变函数课程里每一章都涉及到大量的定理和证明题，要想很好地解决每道题其实还是很困难的。

这时，学生们正确的学习态度和出色的推理能力将起着重要的作用。

在未来的工作岗位上，绝大部分的数学院系的学生将从事和数学有关的工作，探究实变函数的将在他们未来的工作道路上起到潜移默化的作用。

因此，教师在教学过程中应多挖掘行之有效的教学方法，让学生在实变函数的学习过程中领会到其极富创造力的新方法和新思想。

2 教师精讲与学生自学相结合实变函数课程里的内容非常多，如果教师上课时面面俱到，肯定没有时间留给学生去思考，学生就会在这种不间断的灌输中感到疲惫，逐渐产生厌学情绪，进而出现了逃课现象。

教师的作用不能是灌输，而是精选出在整个课程中承上启下、多处应用到的有关概念或定理，精讲典型例子以及常用方法、技巧和思想。

比如，可测函数列的收敛性问题要精讲，但可测函数的构造中的鲁津定理可以略讲，让学生自学，了解其意义。

再如函数的连续、收敛概念的教学，可以指导同学们对比数学分析中的连续、收敛进行自学，找出异同。

在教学过程中，教师应更好地引导学生思考，让他们用自己的方式来理解和记忆。