【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第十四章 第二节 导数的应用(课时提能精练) 全国版

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】从f ′(x )的图象可知f (x )在(a ，b )内从左到右的单调性依次为增 减 增 减，∴在(a ，b )内只有一个极小值点．

【答案】 A

2．(2008年广东高考)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1

C ．a ＞－1e

D ．a ＜－1

e

【解析】 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x

＋a .

又∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，即方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，即a ＝－e x (x ＞0)．

∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＜－1. 【答案】 A

3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )

A ．－37

B ．－29

C ．－5

D ．以上都不对

【解析】 ∵f ′(x )＝6x 2

－12x ＝6x (x －2)，

∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大，

∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值为－37. 【答案】 A

4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞)

【解析】∵f ′(x )＝3x 2

－3＝3(x ＋1)(x －1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，

∴当x ＝－1时f (x )有极大值． 当x ＝1时，

f (x )有极小值，要使f (x )有3个不同的零点．

只需⎩

⎪⎨⎪⎧

f (－1)＞0f (1)＜0，解得－2＜a ＜2.

【答案】 A 5．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有( )

A ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )

B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )

C ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )

D ．f (x )g (x )＞f (b )g (a )

【解析】 令y ＝f (x )·g (x )， 则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )， 由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＜0， 所以y 在R 上单调递减，

又x ＜b ，故f (x )g (x )＞f (b )g (b )， 【答案】 C

6．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π

2

)时，f (x )＝x ＋sin x ，则( )

A ．f (1)＜f (2)＜f (3)

B ．f (2)＜f (3)＜f (1)

C ．f (3)＜f (2)＜f (1)

D ．f (3)＜f (1)＜f (2) 【解析】由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线 x ＝π2对称，又当x ∈(－π2，π

2)时， f ′(x )＝1＋cos x ＞0恒成立，

所以f (x )在(－π2，π

2

)上为增函数，

f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，

且0＜π－3＜1＜π－2＜π

2

，

所以f (π－3)＜f (1)＜f (π－2)，即f (3)＜f (1)＜f (2)． 【答案】 D

二、填空题(每小题6分，共18分)

7．函数y ＝x 2e x 的单调递增区间为________．

【解析】 ∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )≥0. 解得x ≥0或x ≤－2.

∴y ＝x 2e x 的递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)． 【答案】 (－∞，－2]和[0，＋∞)

8．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )

在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π

2

)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序

号都填上)

①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1； ④f (x )＝x e x .

【解析】 对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈(0，π

2

)时，

f ″(x )＜0恒成立；

对于②，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π

2

)时，f ″(x )＜0恒成立；

对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π

2)时，f ″(x )＜0恒成立；

对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x 在x ∈(0，π

2

)时f ″(x )＞0恒成立，

所以f (x )＝x e x

不是凸函数． 【答案】 ④

9．将长为52 cm 的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．

【解析】 设剪成2段中其中一段为x cm ，另一段为(52－x ) cm ，依题意知：