数字信号处理 第6章 下
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数字信号处理教程课后习题及答案
∴所给系统在 y(0) = 0 条件下是线性系统。
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
┇
8
y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
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y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
第6章 数字信号处理应用
语音识别系统，除了包含核心的识别程序，还必 须包括语音输入手段、参数分析、标准声学模型、词 典、文法语言模型等。从语音识别系统的各个功能划 分的角度出发，语音识别系统可分为语音信号的预处 理部分、语音识别系统的核心算法部分以及语音识别 系统的基本数据库等几部分。
语音信号输入
话筒 电话 A/D变换 端点检测
图像处理
图像是与之对应的物体或目标（objects）的 一个表示，这个表示可以通过某种技术手段得到。 图片(picture)是图像的一种类型，在一些教 科书中将其定义为“经过合适的光照后可见的物 体的分布”，图片强调现实世界中的可见物体。 图 形 (graphics) 一 词 的 定 义 是 “ the art of making drawings , as in architecture or engineering , in accordance with mathematical rules” ，它强调应用一定的数学 模型来生成图形。
(1 x 1)
式中， 是参数（在美国和日本， =255），x是 需要压缩的归一化整数。
缩展器的欧洲标准采用A律限制采样为12比特， A律的压缩可按照下列公式定义：
A| x | F ( x ) sgn( x ) (1 ln A) (1 ln A | x |) sgn( x ) (1 ln A)
语音信号的数字化一般包括放大与增益控制、 反混叠滤波、采样、A/D变换及编码。
语音信号经过滤波和采样后，由A/D变换器变换 为二进制数字码。数字化后的语音信号序列将依次 存入一个数据区，在语音信号处理中一般用循环队 列的方式来存储这些数据，以便用一个有限容量的 数据区来应付数量极大的语音数据，处理完提取出 语音特征参数的一个时间段的语音数据可以依次抛 弃，让出存储空间来存储新数据。
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
第6章信号处理简介
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
随机信号分类
随机信号可分为平稳的和非平稳的。如果随机 信号的特征参数不随时间变化，则称为平稳的，否
则为非平稳的。一个平稳随机信号，若一次长时间
测量的时间平均值等于它的统计平均值(或称集合平 均值)，则称这样的随机信号是各态历经的。通常把 工程上遇到的随机信号均认为是各态历经的。
X(k ) x(n)e j2πkn/N
n 0
N 1
(2.4.1)
1 N 1 x(n) X(k )e j2πkn/N N k 0
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
上述的离散傅里叶变换对将N个时域采样点x(n)与N 个频率采样点X((k)联系起来，建立了时域与频域的关 系，提供了通过计算机作傅里叶变换运算的一种数学 方法。利用计算机进行离散傅里叶变换可查阅相关文 献。
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
图2.4.3 采样频率不同时的频谱波形
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
3. 量化及量化误差
(1) 量化 将采样信号的幅值经过四舍五入的方法离散化的 过程称为量化。 (2) 量化电平 若采样信号可能出现的最大值为A，令其分 为B个间隔，则每个间隔Δx=A/B，Δx称为量化电平，每个量 化电平对应一个二进制编码。 (3) 量化误差 当采样信号落在某一区间内，经过四舍五入 而变为离散值时，则产生量化误差，其最大值是±0.5Δx。 量化误差的大小取决于A/D转换器的位数，其位数越高， 量化电平越小，量化误差也越小。比如，若用8位的A/D转换 器，8位二进制数为28=256，则量化电平为所测信号最大幅值 的1/256，最大量化误差为所测信号最大幅值的±1/512。
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
数字信号处理课后答案+第6章(高西全丁美玉第三版)
式中 Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104 rad/s
4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： (1)
H a (s) =
s+a ( s + a) 2 + b 2
(2)
b H a (s) = (s + a)2 + b 2
式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变 法将其转换成数字滤波器H(z)。
7.2687 ×10 16 H a (s ) = 2 ( s − 2 Re[ s1 ]s + | s1 |2 )( s 2 − 2 Re[ s2 ]s + | s2 |2 ) = 7.2687 ×1016 ( s 2 + 1.6731 ×10 4 s + 4.7791 ×10 8)( s 2 +4.0394 × 4 s +4.7790 × 8 10 10 )
1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟ +⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎠
Ak 1/ 2 1/ 2 H ( z) = ∑ = + s k T −1 ( − a + jb )T −1 1− e z 1− e z 1 − e ( −a − jb )T z −1 k =1
按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构 来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以将H(z)的两项通分 并化简整理， 可得
1 G( p) = 2 ( p + 0.618 p + 1)( p2 + 1.618 p + 1)( p + 1)
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
pk = e
4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： (1)
H a (s) =
s+a ( s + a) 2 + b 2
(2)
b H a (s) = (s + a)2 + b 2
式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变 法将其转换成数字滤波器H(z)。
7.2687 ×10 16 H a (s ) = 2 ( s − 2 Re[ s1 ]s + | s1 |2 )( s 2 − 2 Re[ s2 ]s + | s2 |2 ) = 7.2687 ×1016 ( s 2 + 1.6731 ×10 4 s + 4.7791 ×10 8)( s 2 +4.0394 × 4 s +4.7790 × 8 10 10 )
1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟ +⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎠
Ak 1/ 2 1/ 2 H ( z) = ∑ = + s k T −1 ( − a + jb )T −1 1− e z 1− e z 1 − e ( −a − jb )T z −1 k =1
按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构 来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以将H(z)的两项通分 并化简整理， 可得
1 G( p) = 2 ( p + 0.618 p + 1)( p2 + 1.618 p + 1)( p + 1)
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
pk = e
数字信号处理第6章 有限长单位脉冲响应(FIR)
图6-1 ±h(N-1-n)图形
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-3） （6-4）
6.1.1 线性相位特性
图6-2 h(n)偶对称时线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-11）
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.2 窗口法
6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4
窗口法的基本思想 理论分析 几种常用窗函数 设计方法小结
6.2.1 窗口法的基本思想
图6-9 理想低通数字滤波器的频率响应
6.2.2 理论分析
(1) 过渡带。 (2) 肩峰及波动。
6.2.2 理论分析
6.2.2 理论分析
图6-10 矩形窗的频谱
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
6.1.3 线性相位FIR滤波器的零点位置
(1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对， 如图6-4a所示。 (2) zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时 零点是一组共轭对，如图6-4b所示。 (3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分,故零点对 如图6-4c所示。 (4) zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，或位于 z=1，或位于z=-1，如图6-4d、e所示。
5.凯塞(Kaiser)窗
图6-13 零阶贝塞尔函数
5.凯塞(Kaiser)窗
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-3） （6-4）
6.1.1 线性相位特性
图6-2 h(n)偶对称时线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-11）
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.2 窗口法
6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4
窗口法的基本思想 理论分析 几种常用窗函数 设计方法小结
6.2.1 窗口法的基本思想
图6-9 理想低通数字滤波器的频率响应
6.2.2 理论分析
(1) 过渡带。 (2) 肩峰及波动。
6.2.2 理论分析
6.2.2 理论分析
图6-10 矩形窗的频谱
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
6.1.3 线性相位FIR滤波器的零点位置
(1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对， 如图6-4a所示。 (2) zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时 零点是一组共轭对，如图6-4b所示。 (3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分,故零点对 如图6-4c所示。 (4) zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，或位于 z=1，或位于z=-1，如图6-4d、e所示。
5.凯塞(Kaiser)窗
图6-13 零阶贝塞尔函数
5.凯塞(Kaiser)窗
现代数字信号处理6章(new1)
现代数字信号处理6章(new1)通信专业基础知识Chapter6小波分析（WaveletAnalyi）小波分析在数学中占有独特的地位。
而在信号处理领域中，如计算机视觉和图象处理中的多分辩率技术、语言和图象压缩中的子带编码技术等，很好地运用了“小波”这种特殊的数学工具。
本章主要从信号处理工程应用角度对小波分析的基本理论、基本概念和主要方法进行扼要介绍。
重点是讨论小波变换的概念和性质、算法及其实现，以及在信号处理中的典型应用。
其中涉及到的数学理论，大多只引用重要结论，而不与推导、证明。
先介绍几个数学概念（符号）⒈Z：整数集theetofinteger⒉R：实数集theetofrealnumber⒊L2(R)：表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间thevectorpaceofmeaurablequare-integrable⒋g(u),f(u)g(u)f(u)du：g(u)和f(u)的内积g(u),f(u)L2Rf(u)：f(u)的复共轭⒌||f||2|f(u)|2du在L2(R),f(u)的范数⒍f(u)某g(u)f(u)g(tu)duf某g(t)[f(u)某g(u)](t)⒎f(w)f(t)ejwtdt，j1,ji2令L(R)表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间，该空间中的任何函数f(t)是可测的且满足|f(t)|2dt这样的函数可用来表示能量有限的连续时间信号or模拟信号。
通信专业基础知识§6.1窗口付里叶变换（WindowedFourierTranformWFT）or短时付里叶变换（Short-TimeFourierTranformSTFT）信号的局部发生变化，会影响到信号的整个频谱。
例如一个低频信号如果在某一时刻t0增加一个冲激，那么它的频谱立刻变成宽带频谱。
但这个宽带频谱只能辨别信号中存在着冲激，但却无从确定这个冲激发生的时间位置。
说明付里叶分析没有时间定位或时间局域化的能力。
数字信号处理》第三版课后习题答案
数字信号处理课后答案教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列()nδ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：2.给定信号：25,41 ()6,040,n nx n n+-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n序列；（3）令1()2(2)x n x n=-，试画出1()x n波形；（4）令2()2(2)x n x n=+，试画出2()x n波形；（5）令3()2(2)x n x n=-，试画出3()x n波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）（3）1()x n的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n波形如题2解图（四）所示。
3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5.设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()nm y n x m ==∑。
解：（1）令：输入为0()x n n -，输出为'000'0000()()2(1)3(2)()()2(1)3(2)()y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=故该系统是时不变系统。
数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第6章.
则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换:
GT
x
(t
,
Ω)
(x( )e jΩ
)g
(
t)d
（6.2.4）
第六章 小波分析的基本原理及其应用
不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可 移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它 们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地 确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是 在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就 可以看得到。
(a) (b) (c)
图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.2 连续小波变换
1. 连续小波变换的定义
设x(t)是平方可积函数，记作 x(t) L2 (R) ，ψ(t)是基小波
或“母小波函数”，则
WTx (a, )
1 a
x(t)
*
第六章 小波分析的基本原理及其应用
6.2 连续小波变换
6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换
由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过
引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数
的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得 到信号频谱随时间变化的规律。
这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换:
a＝ 0.001 1
ga(t)
ga(t)
第6章 信号分析与处理-71页文档资料
(f
1 n )
n
T
时域 周
期
延
X ( f ) P [ X ( f ) S ( f ) W ( f )D ( ] f )
拓
离散化
周期函数
[x(t)s(t)w (t)d(t)]
栅栏效应
离散傅里叶变换（DFT）
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
周期延拓信号与真实信号是不同的：
X(f) Δ
0
Δf
f
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
栅栏效应误差实验：
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
能量泄漏与栅栏效应的关系 频谱的离散采样造成了栅栏效应，谱峰越尖
锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率
与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为 无穷大。
0 fs/2 fs
f
折叠 频率
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
条件一
不产生混叠的条件
带限信号
抗混叠滤波预处理
X(f)*S(f)
条件二
-fh 0 fh
fh
f
fS
1 fS T 2 fh
采样定理
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
三、量化和量化误差
离散信号 的电压幅值
量化 二进制数码组
式
TS——采样间隔；
12
中 N——序列长度，N=T/TS
4
0
t
fS——采样频率， fS =1/TS
B3
TS
混叠现象
TS
数据 量大
哈尔滨工业大学机电工程学院
1 n )
n
T
时域 周
期
延
X ( f ) P [ X ( f ) S ( f ) W ( f )D ( ] f )
拓
离散化
周期函数
[x(t)s(t)w (t)d(t)]
栅栏效应
离散傅里叶变换（DFT）
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
周期延拓信号与真实信号是不同的：
X(f) Δ
0
Δf
f
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
栅栏效应误差实验：
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
能量泄漏与栅栏效应的关系 频谱的离散采样造成了栅栏效应，谱峰越尖
锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率
与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为 无穷大。
0 fs/2 fs
f
折叠 频率
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
条件一
不产生混叠的条件
带限信号
抗混叠滤波预处理
X(f)*S(f)
条件二
-fh 0 fh
fh
f
fS
1 fS T 2 fh
采样定理
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械工程测试技术基础
三、量化和量化误差
离散信号 的电压幅值
量化 二进制数码组
式
TS——采样间隔；
12
中 N——序列长度，N=T/TS
4
0
t
fS——采样频率， fS =1/TS
B3
TS
混叠现象
TS
数据 量大
哈尔滨工业大学机电工程学院
数字信号处理第六章 习题答案
( )
H ( e jω ) = Ha ( jΩ)
又由 Ω =
ω
T
，则有
5 2 π ΩT + 3, − 2 ΩT + 5 , = π 3 0 2π π − ≤Ω≤ − 3T 3T π 2π ≤ Ω≤ 3T 3T 其他Ω
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
ω=ΩT
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
各极点满足下式ຫໍສະໝຸດ 1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12，4 ，3 ，
则 k = 1,2时，所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 2 3 2 =− +j 2 2 3 2 3 2 =− −j 2 2
2
=
1−1.1683z−1 + 0.4241z−2
0.064(1+ 2z−1 + z−2 )
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 Ωc = 3rad s 解：由幅度平方函数： H ( jΩ) =
2
1 1+ ( Ω Ωc )
4
令 Ω2 = −s2，则有
Ha ( s) Ha ( −s) =
∴H ( z ) = Ha ( s) s=1−z−1
1+ z−1
=
1 1− z 1− z 1+ z−1 + 1+ z−1 +1
−1 2 −1
(1+ z ) =
3 + z−2
−1 2
数字信号处理(西电版) 第六章 有限长单位脉冲响应 复习
n
因此Σ中第n项和第(N-1-n)项相等，可将其合并
H
(
)
(
N 3) n0
/
2
2h(n)
sin
N
2
1
n
令 n N 1 m ，上式改写为
2
H
( )
(
N 1) / 2 m1
2h
N 2
1
m
sin(m)
cos
N 2
1
n
cos
N 1 2
n
将Σ内相等项合并，即 n=0 项与n=N-1项，n=1 项与n=N-2 项等
第6章 有限长单位脉冲响应
h(n)偶对称的幅度函数式
H
(
)
N 1 n0
h(n)
cos
N 2
h(n)的系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
将m=N-1-n代入上式，进行整理
N 1
N 1
H (z) h(m)z(N 1m) z(N 1) h(m)zm z(N 1) H (z1)
m0
m0
h(n)是实数序列，且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-1-n)
• 满足第二个公式的条件为： FIR滤波器单位脉冲响应 h(n)是实数序列，且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-1-n)
第6章 有限长单位脉冲响应 6.1.1 线性相位特性
数字信号处理第6章_习题解答
第六章 习题解答(部分)［1］解：对采样数字系统，数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系T Ω=ω。
因此，当时，ms T 01.0=TT cc 8πω==Ω，Hz T f c c 6251612==Ω=π 当s T µ5=时， TT c c 8πω==Ω，Hz T f c c 125001612==Ω=π［2］解：的极点为：，)(s H a jb a s +−=1jb a s −−=1将部分分式展开： )(s H a )(21)(21)(jb a s j jb a s js H a +−−−+−−−=所以有1)(1)(121121)(−+−−−−−−+−=z e j z e j z H T jb a T jb a通分并化简整理得：TT T e z bT e z bTe z z H ααα2211cos 21sin )(−−−−−−+−=［3］解：归一化原型低通滤波器与带通滤波器之间的频率变换关系为：B⋅ΩΩ−Ω=Ω22s rad p p /1002210×=ΩΩ=Ωπ，s rad B /2002×=π，dB p 2=δs rad s /80021×=Ωπ，s rad s /124022×=Ωπ，dB s 15=δ因此，归一化原型低通滤波器的通带频率p Ω取1，通带处最小衰减为2dB 。
同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：9375.31221=ΩΩ−Ω=ΩΩ=Ωs Bs ， 1597.62222=ΩΩ−Ω=ΩΩ=Ωs Bs因此，归一化原型低通滤波器的阻带频率9375.3),min(21=ΩΩ=Ωs s s ，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最大衰减为15dB 。
利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器)(s H 利用归一化原型低通滤波器的指标，得巴特沃斯低通滤波器阶数N444.19372.31lg 2110110lg 5.12.0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≥N 取，查表的归一化巴特沃斯原型低通滤波器的系统函数 2=N 14142.11)(2++=s s s H LP由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器22202220222)(4142.1)()()(202B s sB s s B s s H s H Bs s s LP BP +Ω++Ω+==⋅Ω+= ［4］解：（1）用冲激响应不变法① 确定数字滤波器指标rad p 3/πω=，dB p 3=δ rad s 5/4πω=，dB s 15=δ② 将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标。
数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
1 0 0.1a p 1 k sp 1 0 0.1as 1 0 .0 2 4 2
sp
2 2
fs fp
2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
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数字信号处理
(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
j3
s0 e 5 ,
滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
(6.2.19)
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数字信号处理
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图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
数字信号处理
式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的 程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。 令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切 比雪夫多项式，定义为
数字信号处理
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数字信号处理
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数字信号处理
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
(6.2.3) (6.2.4)
以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止 频率，因 H a (j c ) 1 /2 , 2 0 lg H a (j c ) 3 d B
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数字信号处理
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图6.2.2 低通滤波器的幅度特性
数字信号处理
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
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1 H a (s) 2 ( s 0.51763809 s 1)(s 2 1.41421356 s 1)(s 2 1.931851652 s 1)
c 1 1 2 0 c 2 2
2 0
12
c 2 1 B 低通、带通通带带宽 0 12
带通通带几何对称中 心频率。
因此，可以由模拟低通系统函 数获得模拟带通系统函数：
H BP (s) H LP (s) s p 02
2
其中
2 1 D1 c tan 2 2 1 cos( ) 2 E 2 cos 0 1 2 1 cos( ) 2
1 E1z 1 z 2 D1 (1 z 2 )
24
H ( z) H LP (s) s
0 为模拟带阻的几何中心频率。
17
如：
s j,
2 0
p j
则： j j 2 2 0
所以：
2 2 0
2 0
这就是模拟低通与模拟带阻的频率 转换公式。
18
19
0 0,
0
c 1 c 2
j 则： j j j
所以：
2 0 2
2 0
这就是模拟低通与模拟带通的频率 转换公式。
10
11
0 0
c 2
平移
c 1
故模拟低通的通带映射到带通的 1 ， 2 之间 。代入到频率转换公式，可得
p
13
2）模拟带通——数字带通 用双线性变换法：
1 z pc 1 1 z
1
14
3）模拟低通——数字带通
1 z 由 s p , pc 1 p 1 z 2 1 z Ez 1 有 sD 2 1 z
2 0 1
其中
2 1 D c cot 2 E 2 cos 2 sin(1 2 ) 0 sin 1 sin 2
巴特沃思滤波器幅度平方函数为：
1 H a ( j ) 2N 1 ( ) c
2
38
2N 20log H a ( j) 10 log[1 ( ) ] c
2 10 2 N 10 log[1 ( ) ] 1 c
3
3 10 2 N 10 log[1 ( ) ] 15 c
c c c C1 c tan c 2
1
H ( z ) H LP (s) s C 1 z 1
1 z 1
31
4）模拟低通—数字高通频率转换公式
1 z s j, z e 代入：s C1 1 1 z c C1 cot c tan cot 2 2 2
不变 平移
故模拟低通的阻带映射到模拟带阻的阻带。
20
代入到频率转换公式，可得
12 2 B 2 1 0 c 0 12
21
1 c 2 2 0 1 2 0 2 c 2 2 0 2
2 0
因此，可以由模拟低通系统函 数获得模拟带阻系统函数：
H BR (s) H LP (s) s
2 0 p 2 p 2 0
22
2）模拟带阻——数字带阻 用双线性变换法：
1 z pc 1 1 z
1
23
D1 (1 z ) 有s 1 2 1 E1 z z
3）模拟低通——数字带阻 2 1 0 p 1 z 由 s 2 , pc 2 1 p 0 1 z
4）模拟低通—数字带阻频率转换公式
s j, z e
j
sin D1 cos cos 0
D1 (1 z ) s 代入： 1 2 1 E1 z z
2
sin 2 1 c tan 2 cos cos 0
映射关系:
1
N
i
H z
1 Bi z
i
A0 A1 z AN z 1 N 1 B1 z BN z
33
N
34
例：
设抽样频率fs=10kHz，需设计一个数字 低通滤波器,要求在频率小于fc= 1kHz的 通带内，幅度特性下降小于1dB，在频率 大于fst=1.5kHz的阻带内，衰减大于15dB。 分别以巴特沃思滤波器及切贝雪夫滤波 器为原型，采用冲激响应不变法及双线 性变换法, 确定数字滤波器的系统函数。
8
双线性变换法
2、模拟低通变换成数字带通滤波器 1）模拟低通到模拟带通的变换
变换关系： s p p
2 0
p 为模拟带通拉氏变量（p j ）；
0 为模拟带通的几何中心频率。
9
s 为模拟低通拉氏变量（s j ）；
如： s j,
p jΩ
2 0 2 0
映射关系: 0 0
0
16
3、模拟低通变换成数字带阻滤波器
1）模拟低通到模拟带阻的变换
p 变换关系： s 2 2 p 0
2 0
s
Байду номын сангаас
为模拟低通拉氏变（ s j）；
p为模拟带阻拉氏变量（ p j ）；
j
1
c | | C1 cot c tan cot 2 2 2
32
对于如下多项式的变换，可通过查表 计算。
H a s
d s e s
Az
i 0 N i i 1 N
N
i
i 0 N
i
i
i 0
i
d 0 d1s d N s N e0 e1s eN s
因此，可以由模拟低通系统函 数获得模拟高通系统函数：
H HP (s) H LP (s) s c c
p
29
2）模拟低通——模拟高通 用双线性变换法：
1 z pc 1 1 z
1
30
3）模拟低通——数字高通 1 c c 1 z 由 s , pc 1 p 1 z 1 1 z 有 s C1 1 1 z 其中
6
设计步骤：
1、 根据要求，确定模拟滤波器类型和阶 数，确定归一化模拟低通滤波器的系统函 数。 2、 由表6-8公式，得到高通、带通、带阻 数字滤波器的系统函数。
7
1、模拟低通变换成数字低通滤波器
即前面已讨论的从模拟滤波器映射 成数字滤波器的方法：
模拟低通 冲激响应不变法 阶跃响应不变法 数字低通
j0 j0
20 log H (e
j 0.2
) 1 ) 15
20 log H (e
j 0.3
即为数字滤波器的性能指标要求。
37
H (e ) H a ( j
j
T
) H a ( j), | |
模拟滤波器的指标为：
0.2 20 log | H a ( j ) | 20 log | H a ( j 2 103 ) -1 T 0.3 20 log | H a ( j ) | 20 log | H a ( j 3 103 ) 15 T
1 z
2
15
H ( z ) H LP (s) s D z 2 Ez1 1
4）模拟低通—数字带通频率转换公式 2 1 z Ez 1 j s j, z e 代入：s D 2 1 z
得：
cos 0 cos D sin 2 1 cos 0 cos c cot sin 2
七、 模拟频率变换法设计IIR数字 滤波器
模拟频率变换法设计数字低 通、带通、带阻和高通滤波器的 方法：
1
模拟低通、 数字数字低通、 模拟归 频率 高通、带 化 高通、带 一化原 变换 通、带阻 通、带阻 型 或
数字化
或 归一化数 字低通
频率 变换
2
模拟频率变换法把归一化的模拟原型 低通滤波器在连续域通过频率变换，设计 出所需类型的模拟滤波器，然后利用冲激 响应不变法或双线性变换法将其数字化， 得到所需的数字滤波器。
0 0, 0
25
4、模拟低通变换成数字高通滤波器
1）模拟低通到模拟高通的变换
c c 变换关系：s p
s为模拟低通拉氏变量（ s j）；
p 为模拟高通拉氏变量（p j ）；
c 为模拟高通的截止频率。
26
如：
s j,
p j
c c 则： j j
c c c , 或者 所以： c
这就是模拟低通与高通的频率转换 公式。
27
28
0 0 c c
故模拟低通的通带以相反的关系平移到 模拟高通的阻带。模拟低通的通带等于 模拟高通的阻带。
1.5
.......... ...(2)
(2)-(1) 得：
1 lg[(101.5 1) /(100.1 1)] N 5.5858 2 lg[(3000 ) /(2000 )]
代入(1)式使通带边沿满足要求，得
c 7.04743 10 rad / s
3
41
取 N 6 , 重新代入通带条件式得
冲激响应不变法有频率混叠失真效应， 只适于严格限带的数字低通、带通滤波 器设计，对于数字高通、带阻滤波器的设 计则不能直接应用。所以常用双线性变换 的方法。
3
在实际设计中，把模拟频率变换法 的两步合成一步实现，即把模拟归 一 化低通原型滤波器变换到所需类型模 拟滤波器和用双线性变换实现数字化的 步骤合并到一起 ，直接变换出所需的 数字滤波器。