数学分析课件(华东师大版)1.1

则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 对正整数 x a0 , 记为 x a0 1 .999 对负有限小数（包括负整数）y,先将- y表 示成无限小数，再在无限小数前加负号． 如: -8=-7.999
2.两个实数的大小关系
（1）定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a 2 L a n L , y b0 .b1b2 L bn L , 其中 a0 , b0为非负整数 ， a k , bk ( k 1, 2, L)为整数 ， a k 9,0 bk 9. 0 若有 a k bk , k 1, 2, L , 则称 x与 y相等 ， 记为 x y； 若 a0 > b0或存在非负整数 l , 使得 a k bk ( k 1, 2 L l )而 al +1 > bl +1 则称 x大于 y或 y小于 x， 分别记为 x > y或 y < x.
二 绝对值与不等式
一、实数及其性质： 1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.
q 有理数:任何有理数都可以用分数形式 p ( p, q为整数且q 0)表示， 也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示. 无理数:用无限十进不循环小数表示.
实 数
若规定：
a0 .a1a2 an a0 .a1a2 (an 1)999
1 由于x < y, 故存在非负整数n，使得 x n < y n .令r ( x n + yn ) 2 则r为有理数，且有x x n < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a, b R, 证明 : 若对任何正数e有a < b + e , 则a b. 证明 用反证法 .假若结论不成立
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数. 6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
例1 设x, y为实数，证明 : 存在有理数r满足 : x < r < y. 证明
a
0
绝对值的一些主要性质
1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0 2 . -|a| a |a| 3. |a|< h -h < a < h ; | a | h h a h , h > 0 4. a b a b a + b 5. | ab || a | | b | 6. a |a| , b0 b |b|
x0 x1 x2 L
,
x0 x1 x 2 L
•命题1 设
x a0 .a1a2 ,
y b0 .b1b2
为两个实数，则
x > y 存在非负整数 n , 使得 xn > yn
实数的性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数.
2 2
sin x
1.
sin x

x .
⑵ 记
均值不等式: 对
a1 , a2 ,, an R + ,
a1 + a2 + + an 1 n M (ai ) ai , n n i 1
n
G ( ai )
值)
a1a2 an
ai , i 1
说明: 说明:
对于负实数x,y,若有-x = -y与-x > -y, 则 .自然规定任何非负实数大于任何负实数 分别称x = y与x <y (y >x)
（2） 通过有限小数比较大小的等价条件 定义2 设 称有理数
x a0 .a1a2 an 为非负实数.
xn a0 .a1a 2 a n

a1 a 2 L a n
证 由 1+ x > 0 且
1 + x 0, (1 + x) + n 1 (1 + x) + 1 + 1 + L + 1 >
n + x )
n
n
n (1 + x ).
(1 + x) > 1 + nx.
⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对 h > 0, 由二项展开式
n
n(n 1) 2 n(n 1)(n 2) 3 (1 + h) 1 + nh + h + h + L+ hn , 2! 3!
n
有 (1 + h) >上式右端任何一项.
今日作业
P4,3, 4, 6, 7
, 则根据实数的有序性
有 a > b .令 e a b , 则 e 为正数且 a b + e , 这与假设 a < b + e 矛盾 .从而必有 a b .
二、绝对值与不等式
绝对值定义：
a, a0 | a | a , a < 0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
1 + n 10
为实数x的n位不足近似，而有理数
xn xn
称为x的n位过剩近似，n=0, 1, 2, ….
对于负实数
x a0 .a1a2 an ,
其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为 1 xn a0 .a1 a 2 a n n 10 和 x n a 0 .a1 a 2 a n 注意：对任何实数x, 有
深刻理解函数的定义以及复合函数、反函 数、有界函数、单调函数和初等函数的定 义，熟悉函数的各种表示方法； 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象， 会求函数的定义域，会分析函数的复合关 系. 【重点与难点】 重点是实数集、函数、确界的概念及其有 关性质，难点是确界的定义及应用.
§1 实数
一 实数及其性质
第一章 实数集与函数
§1 §2 §3 §4 实数 数集 确界原理 函数的概念 具有某些特性的函数
【目的与要求】 1. 掌握实数的概念，建立确界的清晰概念； 2. 深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有 关的一些常见术语. 理解并熟练运用实数的 有序性、稠密性与封闭性； 掌握邻域的概念； 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及 几个常见的不等式； 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关 命题证明中正确地加以应用；
性质4（三角不等式）的证明：
由性质2 两式相加
-|a| a |a|, -|b| b |b| -(|a|+|b|) a+b |a|+|b| |a+b||a|+|b| |a-b||a|+|b|
由性质 3 上式等价于 把上式的 b 换成 -b 得
几个重要不等式:
⑴ a + b 2 ab ,
n
1 n
(算术平均

H (ai )
n 1 1 1 + ++ a1 a2 an

1 1 1 a n i 1 i
n

n 1 a i 1 i
n
.
(几何平
均值)
有平均值不等式:
等号当且仅当
H (ai ) G(ai ) M (ai ),
时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法 证明过) n x > 1, 有不等式 (1 + x) 1 + nx, n N. 当 x > 1 且 x 0 n N且 n 2 时, 有严格 n 不等式 (1 + x) > 1 + nx.
2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c. 4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a , b R , 若 b > a > 0 则存在正整数 n, 使得 na > b.