2018届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题七 概率与统计7.2 Word版含解析
2018高考数学理二轮专题复习课件-第二篇 专题满分突破
4． 从 20 名男同学和 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试， 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为 ________．(结果用最简分数表示)
5．二项分布：在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次 数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 P，则随机变量 X 服 从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 P 为成功概率． 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(x k k n－k ＝k)＝Cnp (1－p) (k＝0,1,2，„，n)，期望 E(x)＝np，D(x)＝np(1 －p)．
6．正态分布 (1)定义及表示：如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X b 满足 P(a<x≤b)＝ φ ， (x)dx， 则称随机变量服从正态分布， 记作 μ σ
X～N(μ，σ )，其中 μ 是期望，σ 是标准差． (2)正态曲线的图象关于直线 x＝μ 对称，μ 控制图象的左右 平移，σ 决定了图象的高矮胖瘦． (3)正态分布的三个数据 ①P(μ － σ<x≤μ ＋ σ) ＝ 0.6826 ②P(μ － 2σ<x≤μ ＋ 2σ) ＝ 0.9544 ③P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.9974.
3 故要求的概率为 ＝ ，故选 B. π π 4 － － 2 6 答ห้องสมุดไป่ตู้：B
π 2－0
3．已知某气象站天气预报的准确率为 80%，则 5 次预报中 至少有 2 次准确的概率为________．(结果保留到小数点后两位)
解析：“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次 预报中有 1 次准确或 5 次预报中没有准确的”，则所求概率为 1 1 4 5 －(C5×0.8×0.2 ＋0.2 )≈0.99. 答案：0.99
2018届高考理科数学二轮复习《概率与统计》检测试卷及答案解析
课时跟踪检测（二十）概率与统计1．(2017·广州二测)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格x (元/kg)1015202530日需求量y (kg)1110865(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .2．(2018届高三·广西五校联考)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望．随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x ＝116错误!i ＝9.97，s ＝错误!＝错误!≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)报考“经济类”不报考“经济类”总计男62430女14620总计203050(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？(2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布列及数学期望．附：P(K2≥k0)0.10.050.010.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2，其中n＝a＋b＋c＋d.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：x 258911y1.210.80.80.7(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，求P (3.8＜X ≤13.4)．附：①回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .②10≈3.2， 3.2≈1.8.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9545.定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]支持“延迟退155152817休”的人数(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2，其中n＝a＋b＋c＋d.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)课时跟踪检测（二十）概率与统计1．(2017·广州二测)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格x (元/kg)1015202530日需求量y (kg)1110865(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .解：(1)由所给数据计算得x ＝15×(10＋15＋20＋25＋30)＝20，y ＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，错误!(x i －x )2＝(－10)2＋(－5)2＋02＋52＋102＝250，错误!(x i －x )(y i －y )＝(－10)×3＋(－5)×2＋0×0＋5×(－2)＋10×(－3)＝－80.b ^＝错误!＝－80250＝－0.32.a ^＝y －b ^x＝8＋0.32×20＝14.4.所求线性回归方程为y ^＝－0.32x ＋14.4.(2)由(1)知当x ＝40时，y ^＝－0.32×40＋14.4＝1.6.故当价格x ＝40(元/kg)时，日需求量y 的预测值为1.6kg.2．(2018届高三·广西五校联考)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望．解：设A i 表示事件“此人于11月i 日到达该市”(i ＝1，2，…，12)．依题意知，P (A i )＝112，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12，所以P (B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 7)＋P (A 12)＝512.即此人到达当日空气重度污染的概率为512.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A 4∪A 8∪A 9)＝P (A 4)＋P (A 8)＋P (A 9)＝312＝14，P (X ＝2)＝P (A 2∪A 11)＝P (A 2)＋P (A 11)＝212＝16，P (X ＝3)＝P (A 1∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 12)＝212＝16，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝1－14－16－16＝512，或P (X ＝1)＝P (A 3∪A 5∪A 6∪A 7∪A 10)＝P (A 3)＋P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 10)＝512所以X 的分布列为：X 0123P145121616故X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×512＋2×16＋3×16＝54.3．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x ＝116错误!i ＝9.97，s ＝错误!＝错误!≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974.0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B (16,0.0026)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望为EX ＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为u ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.错误!2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1591.134－9.222－2因此σ的估计值为0.008≈0.09.4．(2017·沈阳模拟)为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)报考“经济类”不报考“经济类”总计男62430女14620总计203050(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？(2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布列及数学期望．附：P (K 2≥k 0)0.10.050.010.001k 02.7063.8416.63510.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由表中数据得，K 2的观测值k ＝50×(6×6－24×14)230×20×20×30＝50×300230×20×20×30＝12.5>10.828，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关．(2)估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为P ＝2050＝25，X 的可能取值为0,1,2,3，由题意，得X ～P (X ＝k )＝C －k(k ＝0,1,2,3)，∴P (X ＝0)＝27125，P (X ＝2)＝C 23×35＝36125，P (X ＝3)＝8125，故随机变量X 分布列为：X 0123P2712554125361258125∴随机变量X 的数学期望E (X )＝3×25＝65.5．(2017·昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：x 258911y1.210.80.80.7(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，求P (3.8＜X ≤13.4)．附：①回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .②10≈3.2， 3.2≈1.8.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9545.解：(1)x ＝15×(2＋5＋8＋9＋11)＝7，y ＝15×(1.2＋1＋0.8＋0.8＋0.7)＝0.9.错误!2i ＝4＋25＋64＋81＋121＝295，错误!i y i ＝2.4＋5＋6.4＋7.2＋7.7＝28.7，∴b ^＝错误!＝28.7－5×7×0.9295－5×72＝－2.850＝－0.056，a ^＝y －b ^x＝0.9－(－0.056)×7＝1.292.∴线性回归方程为y ^＝－0.056x ＋1.292.(2)∵b ^＝－0.056＜0，∴y 与x 之间是负相关．当x ＝6时，y ^＝－0.056×6＋1.292＝0.956.∴该店当日的营业额约为9560元．(3)样本方差s 2＝15×(25＋4＋1＋4＋16)＝10，∴最低气温X ～N (7,3.22)，∴P (3.8＜X ≤10.2)＝0.6827，P (0.6＜X ≤13.4)＝0.9545，∴P (10.2＜X ≤13.4)＝12×(0.9545－0.6827)＝0.1359.∴P (3.8＜X ≤13.4)＝P (3.8＜X ≤10.2)＋P (10.2＜X ≤13.4)＝0.6827＋0.1359＝0.8186.6．(2018届高三·张掖摸底)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]支持“延迟退休”的人数155152817(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充2×2列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为K2的观测值k＝100×(35×5－45×15)250×50×80×20＝6.25＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)①抽到1人是45岁以下的概率为68＝3 4，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为C16C12C28＝37，故所求概率P＝3734＝47.②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．所以X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C26C28＝15 28，P(X＝1)＝C16C12C28＝1228＝37，P(X＝2)＝C2C28＝1 28 .故随机变量X的分布列为：X012P152837128所以E(X)＝1×37＋2×128＝12.。
2018届高考数学(理)二轮专题复习：第一部分 专题七 概率与统计 1-7-1
命题点 2 求解系数和问题 [典例 3] (2017·无锡模拟)(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数 次幂项的系数之和为 32，则 a＝________.
解析：通解：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. ① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. ② ①－②，得 16×(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32， ∴a＝3.
综上共有 7＋42＝49(种)选法．
优解：间接法：C39－C37＝49(种)．
(2)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产 品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有________种．
解析：通解：记 5 件产品为 A、B、C、D、E，A、B 相邻视为 一个元素，先与 D、E 排列，有 A22A33种方法；再将 C 插入，仅有 3 个空位可选，共有 A22A33C13＝2×6×3＝36 种不同的摆法．
(1＋ x)4 的展开式的通项为 Tn＋1＝Cn4( x)n＝Cn4x2n，其中 n＝ 0,1，…，4.
令m2 ＋n2＝1，得 m＋n＝2，于是(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数等于 C06(－1)0·C24＋C16(－1)1·C14＋C26(－1)2·C04＝－3.
优解：(1－ x)6(1＋ x)4＝(1－x)4(1－ x)2， 故展开式中 x 的系数为 1×C22×(－1)2＋1×C14(－1)＝1－4＝－ 3. 答案：－3
A．212
B．211
C．210
D．29
解析：选 D.∵(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系 数分别为 C3n，C7n，
2018届高考数学二轮复习(理)专题七 概率与统计 7.2 概率、统计与统计案例 新课标 课件
关闭
(1)P=1- =1A
C2 4 C2 6
6 15
= .故选 A.
5
关闭
3
解析
答案
-7-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
命题热点五
(2)三人乘同一列火车,火车有10节车厢,则至少有2人上了同一车 厢的概率为( )
A.
29 200
B.
7 25
C.
27 100
D.
7 18
关闭
(2)每人选车厢有 10 种情况,则基本事件总数为 10×10×10=1 000,2 2 1 人上了同一车厢有C3 × C10 × 9=270 种情况,3 人上了同一车厢有 10 280 7 种情况,故至少有 2 人上了同一车厢的概率为 = . 关闭
1 关闭 A.4 不妨设正方形边长为 2,则圆半径为 1,正方形的面积为 2×2=4,圆的 π B. 8 面积为 π×12=π.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面 1 π C.2 1 1 π 2 关闭 2 积的一半 , 即 π r = π , 所以此点取自黑色部分的概率为 = . π 2 2 4 8 B D. 4
解析 答案
-9-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
命题热点五
(2)(2016山东高考)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx 与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .
关闭
直线 y=kx 与圆(x-5)2+y2=9 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半 径,即 d=
3
3 4 4
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
2018年高考数学二轮复习专题七概率与统计7.1统计与统计案例课件
-15-
答案： B
解析： 由茎叶图可知, ������甲 =
26+28+29+31+31 =29, 5
������乙 =
28+29+30+31+32 =30, 5
所以������甲 < ������乙 ;
2 2 ������甲 = [(26-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(31-29)2]=3.6,������乙 =
-4热点1 热点2 热点3 热点4
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度 评分分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6
-5热点1 热点2 热点3 热点4
(1)作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图 比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值, 给出结论即可); B 地区用户满意度评分的频率分布直方图
专题七
概率统计
7.1
统计与统计案例
-3热点1 热点2 热点3 热点4
频率分布直方图的应用
【思考】 观察频率分布直方图能得到哪些信息?
例 1 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机
调查了 40 个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到 A 地区用户满 意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布 表.
-11-
解 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于 70 的频率为 (0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于 70 的频率为 1-0.6=0.4. 所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人,其分数小于 70 的概率估 计为 0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于 50 的频率为 (0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为 100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为 400×
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
高考数学(理)：专题07 概率与统计(含解析)
7．概率与统计1．【2018年浙江卷】设0<p<1,随机变量ξ分布列是ξ0 1 2P则当p在（0,1）内增大时,A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D点睛：2．【2018年理新课标I卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究几何图形．此图由三个半圆构成,三个半圆直径分别为直角三角形ABC斜边BC,直角边AB,AC．△ABC三边所围成区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III．在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III概率分别记为p1,p2,p3,则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A【解析】分析：首先设出直角三角形三条边长度,根据其为直角三角形,从而得到三边关系,之后应用相应面积公式求得各个区域面积,根据其数值大小,确定其关系,再利用面积型几何概型概率公式确定出p1,p2,p3关系,从而求得结果.详解：设,则有,从而可以求得面积为,黑色部分面积为,其余部分面积为,所以有,根据面积型几何概型概率公式,可以得到,故选A.点睛：该题考查是面积型几何概型有关问题,题中需要解决是概率大小,根据面积型几何概型概率公式,将比较概率大小问题转化为比较区域面积大小,利用相关图形面积公式求得结果.【2018年理新课标I卷】某地区经过一年新农村建设,农村经济收入增加了一倍．实现翻番．为3．更好地了解该地区农村经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确是A. 新农村建设后,种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入总和超过了经济收入一半【答案】A详解：设新农村建设前收入为M,而新农村建设后收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后种植收入为0.74M,所以种植收入增加了,所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上,所以B项正确；新农村建设前,养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍,所以C项正确；新农村建设后,养殖收入与第三产业收入综合占经济收入,所以超过了经济收入一半,所以D正确；故选A.点睛：该题考查是有关新农村建设前后经济收入构成比例饼形图,要会从图中读出相应信息即可得结果.4．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中每位成员使用移动支付概率都为,各成员支付方式相互独立,设为该群体10位成员中使用移动支付人数,,,则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B点睛：本题主要考查二项分布相关知识,属于中档题。
2018年高三最新 高考数学第二轮专题复习----概论统计专题 精品
《计数原理与概率》高考复习指导一、考试说明：1．考试内容（1）分类计数原理与分步计数原理，排列与组合．（2）等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率．2．考试要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（3）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率．（4）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．（5）了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．二、高考试题分析排列与组合、概率与统计是高中数学的重要内容．一方面，这部分内容占用教学时数多达36课时，另一方面，这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识，因此，它是高考数学命题的重要内容．从近三年全国高考数学（新材）试题来看，主要是考查排列与组合、概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力．试题特点是基础和全面．题目类型有选择题、填空题、解答题，一般是两小（9分～10分）一大（12分），解答题通常是概率问题．试题难度多为低中档．为了支持高中数学课程的改革，高考数学命题对这部分将进一步重视，但题目数量、难度、题型将会保持稳定．例1．（1999年全国）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_______种（用数字作答）．[解析]A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有一种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2(3＋2＋1)=12种不同的选垄方法．∴应填12.例2．（2018年新教材）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每一块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种（以数字作答）．[解析]将5块试验田从左到右依次看作甲、乙、丙、丁、戊，3种作物依次看作A、B、C，则3种作物都可以种植在甲试验田里，由于相邻的试验田不能种植同一种作物，从而可知在乙试验田里只能有两种作物．同理，在丙、丁、戊试验田里也只能有两种作物可以种植．由分步计数原理，不同的种植方法共有3×2×2×2=48种．∴应填：48例3．（2018年全国高考题）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽法有_______种．[解析]由于第1、2、3块两两相邻，我们先安排这三块，给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法，所以共有4×3×2=24种不同种法．下面给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种种植方法，则第5块只有2种种法，若第4块与第2块同色时，共有2×1=2种种法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块同色，则第6块有2种种植的方案，而第5块只有1种种法，共有2种不同的种植方法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块不同色，则第6块有1种种法，则第5块也有一种不同种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法．综上共有24×(2＋2＋1)=120种不同的种植方法．例4．（2018年春季考试题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为A 、42B 、30C 、20D 、12[解析]将两个新节目插入5个固定顺序节目单有两种情况：（1）两个新节目相邻的插法种数为226A ；（2）两个节目不相邻的插法种数为26A ；由分类计数原理共有2226642A A +=种方法，选A.例5．（2018重庆）（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
2018届高三数学(文)二轮复习专题集训：专题七 概率与统计7.2 含解析
A 级1．(2017·西安市八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)A ．07B ．25C ．42D ．52解析： 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52，选D.答案： D2．(2017·宝鸡市质量检测(一))对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )A ．5B ．7C ．10D ．50解析： 根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，选D.答案： D3．某同学为了解自己记忆成语的个数与所花费的时间(秒)的关系，做了5次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为y ∧＝0.74x ＋50.成语个数x (个) 10 20 30 40 50 记忆时间y (秒)61mn8189则m ＋n 的值为( ) A ．130 B ．129 C ．121D ．118解析： 由表中数据得，x ＝30，y ＝15(61＋m ＋n ＋81＋89)＝15(231＋m ＋n )，将x ＝30，y ＝15(231＋m ＋n )代入回归直线方程，得m ＋n ＝130.故选A.答案： A4．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析： 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为：4、6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝(4＋22)×510＝13，中位数为12＋142＝13.答案： B5．若正数2,3,4，a ，b 的平均数为5，则其标准差的最小值为( ) A ．2 B ．4105C ．3D ．215解析： 由已知得2＋3＋4＋a ＋b ＝5×5，整理得a ＋b ＝16.其方差s 2＝15[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a )2＋(5－b )2]＝15[64＋a 2＋b 2－10(a ＋b )]＝15(a 2＋b 2－96)＝15[a 2＋(16－a )2－96]＝15(2a 2－32a ＋160)＝25(a 2－16a )＋32＝25(a －8)2＋325， 所以当a ＝8时，s 2取得最小值，最小值为325，此时标准差为4105.故选B.答案： B6．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为________．解析： 因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.答案： 197．某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形中的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为_____________________________________________________，平均分为________．解析： 及格的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%.样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.答案： 75% 718．(2017·石家庄市教学质量检测(二))设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________．解析： 设样本数据的平均数为x ，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －1，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x ＋1)2＋(2x 2－1－2x ＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x ＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 2 017－x )2]＝4×4＝16. 答案： 169．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解析： (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ∧＝－20，所以，a ∧＝y －b ∧x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ∧＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．(2017·太原市模拟试题)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A，B，C三种分期付款方式销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替一位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率；(2)求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值；(3)根据某税收规定，该汽车经销商每月(按30天计)上交税款的标准如下表：月利润/万元在(0,100] 内的部分超过100且不超过150的部分超过150的部分税率1% 2% 4%入＝总利润－上交税款)的平均值．解析：(1)由题意得采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率为1－0.2＝0.8.(2)由题意得a＝100－35－20＝45，∴采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值为1×0.35＋2×0.45＋3×0.2＝1.85(万元)．(3)由(2)可得，按上述分期付款方式平均每天销售此品牌汽车3辆，该经销商月利润的平均值为1.85×3×30＝166.5(万元)，∴该经销商上交税款为100×1%＋50×2%＋16.5×4%＝2.66(万元)，∴该经销商月纯收入的平均值为166.5－2.66＝163.84(万元)．B级1．给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同； ③若一组数据a,0,1,2,3的平均值为1，则其标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中a ∧＝2，x ＝1，y ＝3，则b ∧＝1.其中真命题有( ) A ．①②④ B ．②④ C ．②③④D ．③④解析： 在①中，由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，故①是假命题；在②中，数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，故②是真命题；在③中，因为样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋3＝5，解得a ＝－1，故样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为2，故③是假命题；在④中，回归直线方程为y ∧＝bx ＋2，又回归直线过点(x ，y )，把(1,3)代入回归直线方程y ∧＝bx ＋2，得b ＝1，故④是真命题．故选B.答案： B2．某新闻媒体为了了解观众对某节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：关”．参考附表：⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 解析： 假设喜爱该节目和性别无关，分析列联表中数据，可得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”．答案： 99%3．为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3,5.1,4.6,4.1,4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？并计算A 班的5名学生视力的方差；(2)现从B 班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的概率．解析： (1)A 班5名学生的视力平均数为 x A ＝4.3＋5.1＋4.6＋4.1＋4.95＝4.6.B 班5名学生的视力平均数为 x B ＝5.1＋4.9＋4.0＋4.0＋4.55＝4.5.从数据结果来看，A 班学生的视力较好．s 2A ＝15×[(4.3－4.6)2＋(5.1－4.6)2＋0＋(4.1－4.6)2＋(4.9－4.6)2]＝0.136. (2)从B 班的上述5名学生中随机选取2名，则这2名学生视力检测结果有：(5.1,4.9)，(5.1,4.0)，(5.1,4.0)，(5.1，4.5)，(4.9,4.0)，(4.9,4.0)，(4.9,4.5)，(4.0,4.0)，(4.0，4.5)，(4.0,4.5)，共10个基本事件．其中这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的基本事件有7个，则所求概率P ＝710. 4．(2017·郑州市第一次质量预测)近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：[0,100]内时对企业没有造成经济损失；当x 在区间(100,300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2 000元．(1)试写出S (x )的表达式；(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率； (3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析： (1)依题意，可得S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈[0，100]，4x －100，x ∈(100，300]，2 000，x ∈(300，＋∞)(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元”为事件A ， 由500<S ≤900，得150<x ≤250，频数为39，P (A )＝39100.(3)根据题中数据得到如下2×2列联表：K 2的观测值k ＝100×(63×8－22×7)285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．。
2018届高考数学(理)二轮专题复习课件：第一部分 专题七 概率与统计 1-7-2
4．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1，x2，…，xi，…，ξ 取每一个值 xi 的概率为 P(ξ＝xi)＝pi，则称下表 ξ x1 x2 x3 … xi … P p1 p2 p3 … pi … 为离散型随机变量 ξ 的分布列．
[自我挑战] 1．(2017· 河南洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至 周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、 丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( B ) 1 A. 15 1 C. 4 1 B. 5 1 D. 2
(4)性质 ①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)； ②X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； ③X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
5．正态分布 如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．满足正 态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
(2)离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质：①pi≥0；②p1 ＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)． (3)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 ξ 的数学 期望或均值． D(ξ)＝(x1－E(ξ))2· p1＋(x2－E(ξ))2· p2＋…＋(xi－E(ξ))2· pi＋…＋ (xn－E(ξ))2· pn 叫做随机变量 ξ 的方差．
优解： 因为已知第一次摸出的球为红球， 故第二次摸球等价于 3 3 从 3 个红球、2 个白球中任取一个球，故所求概率 P＝ ＝ . 3＋2 5
2018届高考数学二轮复习专题七概率与统计专题能力训练概率统计与统计案例理
专题能力训练20 概率、统计与统计案例能力突破训练1.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.2.已知x与y之间的一组数据:x0 12 3y m35.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为()A.1B.0.85C.0.7D.0.53.某市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.234.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=7.069,则认为“学生性别与支持该活动有关系”犯错误的概率为()附:P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k02.706 3.841 5.024 6.635 10.828A.0.999B.0.99C.0.01D.0.0015.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万8.2 8.6 10.0 11.3 11.9元)支出y(万6.27.58.0 8.59.8元)根据上表可得回归直线方程x+,其中=0.76,.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元6.如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.7.有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为.8.(2017江苏,3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.9.一辆小客车有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);乘客P1P2P3P4P5座位号3 2 1 4 5 3 2 4 5 1(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.10.某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?11.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:t)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据.x3 4 56y2.5 344.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+;(3)已知该厂技术改造前生产100 t甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)思维提升训练12.(2017全国Ⅲ,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳13.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:由表可得回归直线方程x+中的=-4,据此模型预测零售价为15元时,每天的销售量为()x16 17 18 19y50 34 41 31A.51个B.50个C.49个D.48个14.(2017山东,理8)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.15.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A. B.C. D.16.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为.17.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为.18.A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):A6 6.5 77.5 8班B6 78 910 11 12班C 3 4.5 67.5 9 10.5 12 13.5班(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图:(1)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1 000名的学生进行了调查,得到如下数据:年级名次是否近视1~50951~1000近视41 32不近视9 18根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? (3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.附:P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k02.706 3.841 5.024 6.635 7.879K2=,其中n=a+b+c+d.20.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)几何题代数题总计男同学22 8 30女同学8 12 20总计30 20 50(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关?(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7 min,乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8 min,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).附表及公式P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=,其中n=a+b+c+d.参考答案专题能力训练20概率、统计与统计案例能力突破训练1.B解析这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=,故选B.2.D解析由题意,得=1.5,(m+3+5.5+7)=,将()代入线性回归方程=2.1x+0.85,得m=0.5.3.B解析由茎叶图可知,这组数据的中位数为=20.4.C解析因为K2=7.069>6.635,所以P(K2>6.635)=0.010,所以说在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“学生性别与支持该活动有关系”.5.B解析=10,=8,-0.76=8-0.76×10=0.4.=0.76x+0.4.当x=15时,=0.76×15+0.4=11.8.6解析∵S阴影=(4-x2)d x=,S矩形ABCD=4,∴P=7解析设“点P到点O的距离大于1”为事件A,则表示事件“点P到点O的距离小于或等于1”.在圆柱内以O为球心,以1为半径作半球,则半球的体积V半球=13=, 又V圆柱=π×12×2=2π,由几何概型,P ()=故所求事件A的概率P(A)=1-P ()=1-8.18解析抽取比例为,故应从丙种型号的产品中抽取300=18(件),答案为18.9.解(1)当乘客P1坐在3号位置上,此时P2的位置没有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可选剩下的任何一个座位,即可选1,4,5;当P3选1位置,P4位置没被占,只能选4位置,P5选剩下的,只有一种情况;当P3选4位置,P4可选5位置也可选1位置,P5选剩下的,有两种情况;当P3选5位置,P4只可选4位置,P5选剩下的,有一种情况,填表如下:乘客P1P2P3P4P5座位号3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,则所有可能的坐法可用下表表示:于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4,所以P(A)=所以乘客P5坐到5号座位的概率是10.解(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值=40,方差s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2 ]=[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=(3)由(2)知s=,所以-s=36+s=43因为年龄在-s与+s之间共有23人,所以其所占的百分比是63.89%.11.解(1)由题设所给数据,可得散点图如图.(2)由对照数据,计算得=86,=4.5(t),=3.5(t).已知x i y i=66.5,所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为=0.7,=3.5-0.7×4.5=0.35.因此,所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技术改造前生产100 t甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤).思维提升训练12.A解析由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.13.C解析由题意知=17.5,=39,代入回归直线方程得=109,即得回归直线方程=-4x+109,将x=15代入回归方程,得=-4×15+109=49,故选C.14.C解析从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有种不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的有()种情况,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=故选C.15.C解析利用几何概型求解,由题意可知,,所以π=16解析∵S阴=2(e-e x)d x=2(e x-e x)=2,S正方形=e2,∴P=17解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π.区域Ω2就是图中△OAB内部(含边界),且S△OAB=22=2.由几何概型,点M落在区域Ω2的概率P=18.解(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100=40.(2)设事件A i为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2, (5)事件C j为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2, (8)由题意可知,P(A i)=,i=1,2,...,5;P(C j)=,j=1,2, (8)P(A i C j)=P(A i)P(C j)=,i=1,2,...,5,j=1,2, (8)设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15(3)μ1<μ0.19.解(1)设各组的频率为f i(i=1,2,3,4,5,6),由前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,可得前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,则f1=0.15×0.2=0.03,f2=0.45×0.2=0.09,f3==0.27,所以由=1-(0.03+0.09)得f6=0.17,所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83, 故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×0.83=830.(2)K2的观测值k=4.110>3.841.因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(3)依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人,X可取0,1,2,3,P(X=0)=;P(X=1)=,P(X=2)=;P(X=3)=X的分布列为X0 1 2 3PX的数学期望E(X)=0+1+2+3=1.20.解(1)由表中数据得K2的观测值k=5.556>5.024.所以根据统计,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x,y min,则基本事件满足的区域为(如图).设事件A为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为x>y,故由几何概型P(A)=,即乙比甲先解答完的概率为(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有=28种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有=15种;恰有一人被抽到有=12种;两人都被抽到有=1种,则X可能取值为0,1,2,P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=X的分布列为X0 1 2P故E(X)=0+1+2。
2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案：考前专题七 概率与统计 第2讲 概 率(含答案解析)
第2讲 概 率1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用．2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．热点一 古典概型和几何概型 1．古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.2．几何概型的概率P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).例1 (1)有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14答案 B解析 设两男两女分别为a 1，a 2，b 1，b 2，则基本事件分别是(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 2)，(b 1，a 1)，(b 1，b 2)，(b 2，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，b 1)，基本事件总数n ＝12，其中第二个上车的是女生的基本事件数m ＝6，所以概率P ＝12，故选B.(2)(2017届江西省重点中学盟校联考)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 D解析 以M 为原点，BA 所在直线为y 轴，BA 的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系，则过C ，M ，D 的抛物线方程为y 2＝12x ，则图中阴影部分面积为2ʃ2012x dx 2320x ＝83，所以落在阴影部分的概率为P ＝834＝23，故选D. 思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．跟踪演练1 (1)(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518B.49 C.59D.79答案 C解析 方法一 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， ∴P (第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P (第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518，∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.故选C.方法二 依题意，得P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C 29＝59.故选C.(2)RAND(0,1)表示生成一个在(0,1)内的随机数(实数)，若x ＝RAND(0,1)，y ＝RAND(0,1)，则x 2＋y 2<1的概率为( ) A.π4 B ．1－π4C.π8 D ．1－π8答案 A解析 此概率表示几何概型，如图，表示阴影的面积与第一象限正方形面积的比值，P ＝π41＝π4，故选A.热点二 相互独立事件和独立重复试验 1．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率P (B |A )＝P (AB )P (A ).2．相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )．3．独立重复试验、二项分布如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为 C k n p k(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，且E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．例2 (1)(2017届江西赣州二模)如图，ABCD 是以O 为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH 是正方形ABCD 的内接正方形，且E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．将一枚针随机掷到圆O 内，用M 表示事件“针落在正方形ABCD 内”，N 表示事件“针落在正方形EFGH 内”，则P (N |M )等于( ) A.1π B.22C.12D.14答案 C解析 由题意得，圆O 的半径为2， 所以内接正方形ABCD 的边长为AB ＝22， 则正方形ABCD 的面积为S 1＝(22)2＝8， 因为E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 所以EF ＝12×2R ＝2，所以正方形EFGH 的面积为S 2＝22＝4， 所以P (N |M )＝48＝12，故选C.(2)如图所示，某快递公司送货员从公司A 处准备开车送货到某单位B 处，有A →C →D →B ，A →E →F →B 两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如A →C →D 算作两个路段，路段AC 发生堵车事件的概率为16，路段CD 发生堵车事件的概率为110)．若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A 到B 应选择的路线是______________．答案 A →E →F →B解析 路线A →C →D →B 途中发生堵车事件的概率P 1＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－16×⎝⎛⎭⎪⎫1－110×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1120，路线A →E →F →B 途中发生堵车事件的概率P 2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－15×⎝⎛⎭⎪⎫1－18×⎝⎛⎭⎪⎫1－15＝1125.因为1125<1120，所以应选择路线A →E →F →B .思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．跟踪演练2 (1)(2017届河北省石家庄市二模)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( ) A.310 B.25 C.12 D.35答案 C解析 因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以在第一次抽到理科题的前提下，第二次抽到理科题的概率为P ＝24＝12.故选C.(2)(2017届上海市宝山区二模)生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则p ＝________.答案 0.03解析 “不是废品”这一事件，要保证第一次正品，第二次也是正品，所以概率P ＝(1－0.01)(1－p )＝0.960 3，解得p ＝0.03.热点三 离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列的两个性质(1)p i ≥0 (i ＝1,2，…，n )；(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.2．期望公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .3．期望的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 4．方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差为D (X ).5．方差的性质 (1)D (aX ＋b )＝a 2D (X )；(2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．例3 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的期望达到最大值？解 (1)由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500， 由表格数据知，P (X ＝200)＝2＋1630×3＝0.2， P (X ＝300)＝3630×3＝0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋430×3＝0.4.则X 的分布列为(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n ≤500.当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ， 因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ， 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以当n ＝300时，Y 的期望达到最大值，最大值为520元． 思维升华 求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．跟踪演练3 (2017·江苏省苏锡常镇四市调研)已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(n ∈N *)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． (1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X 的分布列和期望E (X )． 解 (1)设在一局游戏中得3分为事件A ， 则P (A )＝C 12C 12C 11C 35＝25.故在一局游戏中得3分的概率为25.(2)X 的所有可能取值为1,2,3,4.在一局游戏中得2分的概率为C 12C 22＋C 22C 11C 35＝310， P (X ＝1)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝2)＝45×310＝625， P (X ＝3)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－310×25＝28125， P (X ＝4)＝45×⎝⎛⎭⎪⎫1－310×35＝42125.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×15＋2×625＋3×28125＋4×42125＝337125.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______． 答案 25解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， ∴所求概率P ＝1025＝25.2．(2017·浙江改编)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0＜p 1＜p 2＜12，则E (ξ1)________E (ξ2)，D (ξ1)________D (ξ2)．(填>，<或＝)答案 < <解析 由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布， ∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)，又∵0＜p 1＜p 2＜12，∴E (ξ1)＜E (ξ2)，把方差看作函数y ＝x (1－x )，当0<x <12时，y ′＝1－2x >0，根据0＜p 1＜p 2＜12知，D (ξ1)＜D (ξ2)．3．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________. 答案 1.96解析 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.4．(2017·江苏)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.押题预测1．某校在2016年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试，数学考试成绩ξ～N (90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为( ) A ．200 B ．400C ．600D ．800押题依据 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注． 答案 A解析 依题意得P (70≤ξ≤110)＝0.6，P (ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P (ξ≥110)＝0.2，于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有 0.2×1 000＝200(人)．2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．押题依据 二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点． 答案516解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.3．(2017届天津市红桥区二模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E (ξ)．押题依据 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的均值． 解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8.P (ξ＝0)＝14×12＝18，P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316， P (ξ＝8)＝14×14＝116，故ξ的分布列为E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.A 组 专题通关1．(2017·湖南省长沙市长郡中学模拟)小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色．将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是( ) A.16B.13 C.12D.56答案 C解析 设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A ，B ，C ，与之同颜色的笔帽分别为a ，b ，c ，则笔筒与笔帽的搭配方式分别有：(Aa ，Bb ，Cc )，(Aa ，Bc ，Cb )，(Ab ，Ba ，Cc )，(Ac ，Bb ，Ca )，(Ab ，Bc ，Ca )，(Ac ，Ba ，Cb )，共6种情形，其中恰有两只笔和笔帽的颜色混搭的可能有(Aa ，Bc ，Cb )，(Ab ，Ba ，Cc )，(Ac ，Bb ，Ca )共3种情形，故所求事件的概率P ＝36＝12，故选C.2．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色色部分的概率是( ) A.14B.π8 C.12D.π4答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.3．(2017届广东汕头三模)现有编号为A ，B ，C ，D 的四本书，将这4本书平均分给甲、乙两位同学，则A ，B 两本书不被同一位同学分到的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.12答案 C解析 将4本书平均分给甲、乙两位同学，共有C 24＝6(种)不同的分法， A ，B 两本书不被同一位同学分到，则有A 22A 22＝4(种)分法，所以所求概率为46＝23，故选C.4．抛掷两枚骰子，记事件A 为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B 为“朝上的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12答案 D解析 抛掷两枚骰子，总共有6×6＝36(个)基本事件，事件AB 包括：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个基本事件． 事件A 包括：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个基本事件． 由题意可得P (AB )＝936，P (A )＝1836，由条件概率公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12. 故选D.5．(2017届吉林省吉林大学附属中学模拟)某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口(如图所示1,2,3,4,5,6)出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对答案 A解析 我们把从A 到3的路线图(图略)单独画出来：分析可得，从A 到3共有C 25＝10(种)走法，每一种走法的概率都是⎝ ⎛⎭⎪⎫125，所以珠子从出口3出来的概率是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.故选A.6.(2017·江西省赣中南五校联考)下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________． 答案235解析 矩形面积为10，设阴影部分面积为S ，则S 10＝138300，解得S ＝235. 7．(2017·浙江台州模拟)已知离散型随机变量X 的分布列为则变量X 的期望E (X )＝______，方差D (X )＝______. 答案 1 12解析 由a ＋12＋14＝1 ，解得a ＝14 ，所以期望E (X )＝0×14＋1×12＋2×14＝1 ，D (X )＝(0－1)2×14＋(1－1)2×12＋(2－1)2×14＝12.8．(2017届山西太原三模)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________． 答案 0.4解析 由题意可得：符合题意的模拟数据有7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424共8组，由古典概型公式可得该运动员射击4次至少击中3次的概率为P ＝820＝0.4.9．(2017届黑龙江大庆三模)某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是________． 答案 35解析 “男生甲被选中”记作事件A ，“男生乙和女生丙至少有一个被选中”记作事件B ， 则P (A )＝C 26C 37＝15C 37 ，P (AB )＝C 14＋C 14＋1C 37＝9C 37 ， 由条件概率公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35. 10．(2017届福建泉州模拟)某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水(A 级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p (0<p <1)．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放． 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优”． (1) 若p ＝25，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；(2)若p ＝25，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？ (3) 若“方案三”比“方案四”更“优”，求p 的取值范围． 解 (1)该混合样本达标的概率是⎝⎛⎭⎪⎫252＝45， 所以根据对立事件原理，不达标的概率为1－45＝15.(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为45；若不达标则检测次数为3，概率为15. 记方案二的检测次数为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列为可求得方案二的期望为E (ξ2)＝2×1625＋4×825＋6×125＝7025.方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取值为1,5. 其分布列为可求得方案四的期望为E (ξ4)＝1×1625＋5×925＝6125.比较可得E (ξ4)<E (ξ2)<4，故选择方案四最“优”. (3)方案三：设化验次数为η3, η3可取值为2,5.E (η3)＝2·p 3＋5(1－p 3)＝5－3p 3；方案四：设化验次数为η4，η4可取值为1,5.E (η4)＝1·p 4＋5(1－p 4)＝5－4p 4；由题意得E (η3)<E (η4)⇔5－3p 3<5－4p 4⇔p <34.故当0<p <34时，方案三比方案四更“优”．B 组 能力提高11．(2017·河南六市联考)某同学用“随机模拟方法”计算曲线y ＝ln x 与直线x ＝e ，y ＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i 和10个区间[0,1]上的均匀随机数y i (i ∈N *,1≤i ≤10)，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( ) A.35(e －1) B.25(e －1) C.35(e ＋1) D.25(e ＋1) 答案 A解析 由表可知，向矩形区域{ 1≤x ≤e，0≤y ≤1内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为610＝35. ∵矩形区域的面积为e －1，∴曲边三角形面积的近似值为35(e －1)．故选A.12．(2017届江西省重点中学协作体联考)记“点M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a (a >0)”为事件A ，记“M (x ，y )满足{ x －y ＋1≥0，5x －2y －4≤0，2x ＋y ＋2≥0”为事件B ，若P (B |A )＝1，则实数a 的最大值为( )A.12B.45 C ．1 D.13答案 A解析 要使得P (B |A )＝1，则不等式x 2＋y 2≤a 所表示的区域在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，5x －2y －4≤0，2x ＋y ＋2≥0所表示的平面区域内，又圆x 2＋y 2＝a 的圆心为(0,0)，半径为a ， 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d 1＝12≥a ⇒a ≤12；圆心(0,0)到直线5x －2y －4＝0的距离为d 2＝429≥a ⇒a ≤1629；圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋2＝0的距离为d 3＝25≥a ⇒a ≤45.因为d 1<d 2<d 3，所以a ≤12，所以实数a 的最大值为12，故选A.13．(2017届安徽蚌埠质量检查)赌博有陷阱，某种赌博游戏每局的规则是：参与者现在从标有5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)，若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________. 答案 3解析 赌金ξ的分布列为E (ξ)＝15(5＋6＋7＋8＋9)＝7，奖金的情况是两卡片数字之差的绝对值为1，共有4种，奖金为2元；两卡片数字之差的绝对值为2，共有3种，奖金为4元；两卡片数字之差的绝对值为3，共有2种，奖金为6元；两卡片数字之差的绝对值为4，共有1种，奖金为8元．则P (η＝2)＝4C 25＝25，P (η＝4)＝3C 25＝310，P (η＝6)＝2C 25＝15，P (η＝8)＝110.奖金η的分布列为∴E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4，∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3.14.(2017·河北省衡水中学三模)如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X .(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； (2)求X 的分布列和期望．解 (1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有3×3＝9(个)，其中小华赢(或输)包含三个基本事件，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第i (i ∈N *)次划拳小华赢”为A i ；事件“第i 次划拳小华平”为B i ；事件“第i 次划拳小华输”为C i ，所以P (A i )＝P (B i )＝P (C i )＝39＝13.因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为P 1＝A 22P (B 1)P (C 2)P (B 3)＋P (C 1)P (A 2)P (C 3)P (B 4)＝781， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为P 2＝P (B 1)P (B 2)P (C 3)＋A 33P (A 1)P (B 2)P (C 3)·P (C 4)＋A 22P (A 1)P (C 2)P (A 3)P (C 4)P (C 5)＝29243.所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为P ＝P 1＋P 2＝781＋29243＝50243.(2)依题可知X 的可能取值为2,3,4,5，P (X ＝5)＝2P (A 1)P (C 2)P (A 3)P (C 4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝281，P (X ＝2)＝2P (A 1)P (A 2)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (X ＝3)＝2P (A 1)P (B 2)P (A 3)＋2P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (B 1)P (B 2)P (B 3)＋2P (A 1)P (B 2)P (B 3)＋2P (B 1)·P (A 2)P (B 3)＋2P (B 1)P (B 2)P (A 3)＋2P (C 1)P (A 2)·P (A 3)＝1327，P (X ＝4)＝1－P (X ＝5)－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝2281.所以X 的分布列为所以X 的期望为E (X )＝2×29＋3×1327＋4×2281＋5×281＝25181.。
2018届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题七 概率与统计7.1 Word版含解析
A 级1．设M ，N 是两个非空集合，定义M ⊗N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈N }，若P ＝{0,1,2,3}，Q ＝{1,2,3,4,5}，则P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．4B ．9C ．20D ．24解析： 依题意，a 有4种取法，b 有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素，故选C.答案： C2．若二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式按照x 的升幂排列的第三项的系数为15，则n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析： ∵二项展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r，由题意知，展开式按照x 的升幂排列的第三项是C n －2n x 2，则C n －2n ＝15，解得n ＝6，故选B.答案： B3．满足m ，n ∈{－1,0,1,2,3}，且关于x 的方程mx 2＋2x ＋n ＝0有实数解的有序数对(m ，n )的个数为( )A ．17B ．14C ．13D ．12解析： 当m ＝0时，2x ＋n ＝0⇒x ＝－n2，有序数对(0，n )有5个；当m ≠0时，Δ＝4－4mn ≥0⇒mn ≤1，有序数对(－1，n )有5个，(1，n )有3个，(2，n )有2个，(3，n )有2个．综上，共有5＋5＋3＋2＋2＝17(个)，故选A.答案： A4．已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024D ．－1 024解析： 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－945.答案： B5．从6名男医生、5名女医生中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种解析： 从6名男医生中选出2名有C 26＝15种不同的选法，从5名女医生中选出1名有C 15＝5种不同的选法，根据分步乘法计数原理可得，组成的医疗小组共有15×5＝75种不同的选法．答案： C6．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种解析： 由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C 24＝6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A 33＝6(种)情况，所以共有6×6＝36(种)不同的报名方法．答案： C 7．在⎝⎛⎭⎫x ＋13x 30的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项D ．7项解析： 由于T r ＋1＝C r 30x 15－56r (0≤r ≤30，r ∈N )，若展开式中x 的幂指数为整数，由通项公式可知r 为6的倍数，易知r ＝0,6,12,18,24,30均符合条件．答案： C8．在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( )A ．－56B ．－35C ．35D ．56解析： 因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以n ＝8，所以二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x8－2r，令8－2r ＝2得r ＝3，所以展开式中含x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.答案： A9．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析： 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数80－40＝40. 故选C. 答案： C10．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析： 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b )6＝64，选D.答案： D11．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为“驼峰数”，比如“102”、“546”为“驼峰数”．由数字1,2,3,4,5这五个数字构成的无复重数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为( )A ．25B ．28C ．30D ．32解析： 由数字1,2,3,4,5这五个数字构成的无重复数字的三位“驼峰数”中，1在十位的有A 24＝12个，2在十位的有A 23＝6个，3在十位上的有A 22＝2个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.答案： C12．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( )A ．35种B ．24种C ．18种D ．9种解析： 若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包，剩下2个红包，被剩下3名成员中的2名抢走，有A 22A 23＝12(种)；若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包，剩下两个红包，被剩下的3名成员中的2名抢走，有A 22C 23＝6(种)．根据分类加法计数原理可得，甲、乙两人都抢到红包的情况共有12＋6＝18(种)．答案： C13．已知集合A ＝{4}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为________．解析： 不考虑限定条件确定的不同点的个数为C 11C 12C 13A 33＝36，但集合B ，C 中有相同元素1，由4,1,1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36－3＝33.答案： 3314．(2017·西安市八校联考)已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为________．解析： 依题意得2n＝32，n ＝5，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5·(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝C r 5·a r ·x 15－5r 6.令15－5r6＝0，得r ＝3.由C 35·a 3＝10a 3＝80，解得a ＝2. 答案： 215．从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是________．解析： ①形如“1××5”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选取，有A 24＝12个． ②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有C 14C 13A 22＝24个．③形如“3××5”，同①有A 24＝12个．④形如“4××5”，同②，也有C 14C 13A 22＝24个． ⑤形如“6××5”，也有C 14C 13A 22＝24个，以上5类小于7 000的数共有96个．故第97个数是7 025，第98个数是7 045，第99个数是7 065，第100个数是7 205. 答案： 7 20516．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 解析： 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3. 答案： 3B 级1．从1,2,3,4,5,6这6个数中，每次取出两个不同的数，分别记作a ，b ，共可以得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．28B ．26C ．24D ．22解析： 依题意，得lg a －lg b ＝lg ab ，从1,2,3,4,5,6中每次取出两个不同的数a ，b ，可得到A 26＝30个a b ，其中12＝24＝36，21＝42＝63，13＝26，31＝62，23＝46，32＝64，因此可得到不同的ab 的值共有30－(2＋2＋1＋1＋1＋1)＝22个，即共可得到的lg a －lg b 的不同值的个数为22，选D.答案： D2．某市在创建“全国文明城市”期间，要求各单位选派工作人员到街道路口站岗，劝导市民文明过马路．教育局将甲、乙等5名工作人员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种解析： 依题意知不同的分配方案可分为以下两种：(1)甲、乙在同一路口，其余三人分配在另外的两个路口，则不同的分配方案有C 23A 33＝18(种)；(2)甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一人，则不同的分配方案有C 13A 33＝18(种)．于是不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．故选C.答案： C3．若⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n (n ∈N *)的展开式中各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P ＋S ＝272，则函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 在(0，＋∞)上的最小值为( ) A ．144 B ．256 C ．24 3D ．64 3解析： 由题意可得P ＝4n ，S ＝2n ，所以P ＋S ＝4n ＋2n ＝272，得2n ＝16，所以n ＝4，在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4≥(23)4＝144，当且仅当x ＝33时，等号成立，故函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 在(0，＋∞)上的最小值为144，故选A. 答案： A4．(2017·昆明市教学质量检测)(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．96 B ．64 C ．32D ．16解析： (1＋2x )3的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r 3x r，(2－x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k (－x )k ＝(－1)k 24－k C k 4x k ，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64，故选B.答案： B5．7名股民每人拿出1万元人民币准备购买两种不同的股票，若每种股票至少有2人购买，则不同的购买方法有( )A ．110种B ．112种C ．124种D ．132种解析： 7名股民每人拿出1万元人民币购买两种不同的股票，每种股票至少有2人购买，其方式有2,5和3,4两种组合．①一种股票2人购买，另一种股票5人购买，有C 27A 22种方法；②一种股票3人购买，另一种股票4人购买，有C 37A 22种方法．因此，共有C 27A 22＋C 37A 22＝112种购买方法．故选B.答案： B6．(2017·石家庄市教学质量检测(二))若a ＝2⎠⎛3－3(x ＋|x |)d x ，则在⎝⎛⎭⎪⎫x －13x a的展开式中，x 的幂指数不是整数的项共有( )A ．13项B ．14项C ．15项D ．16项解析： 因为a ＝2⎠⎛3－3(x ＋|x |)d x ＝2[⎠⎛30(x ＋x )d x ＋⎠⎛0－3(x －x )d x ]＝2x 2|30＝18，所以该二项展开式的通项T r ＋1＝C r 18(x )18－r(－13x)r ＝(－1)r C r 18x 9－5r6(0≤r ≤18，且r ∈N )，当r ＝0,6,12,18时，展开式中x 的幂指数为整数，所以该二项展开式中x 的幂指数不是整数的项有19－4＝15项，故选C.答案： C7．(2017·白银二模)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，15B.⎣⎡⎭⎫45，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－45 D ．(1，＋∞)解析： 二项式(x ＋y )9的展开式的通项T r ＋1＝C r 9·x 9－r·y r .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0，解得x >1，即x 的取值范围为(1，＋∞). 故选D.答案： D8．(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10B ．20C ．30D ．60解析： (x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，∴(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.答案： C9．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 展开式中x 2项的系数为( ) A ．15 B ．－15 C ．30D ．－30解析： 因为函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|表示数轴上的点到－2和4之间的距离，易知其最小值为4－(－2)＝6，即n ＝6，此时展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 6x 6－2k·(－1)k ，由6－2k ＝2，得k ＝2，所以T 3＝C 26x 2(－1)2＝15x 2，即x 2项的系数为15，故选A. 答案： A10．已知(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 2 016(x －2)2 016＋a 2 017(x －2)2 017(x ∈R )，则a 1－2a 2＋3a 3－…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017＝( )A ．－2 017B ．2 017C ．－4 034D ．0解析： 因为(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 2 016(x －2)2 016＋a 2 017(x －2)2017(x ∈R )，两边分别对x 求导可得－2 017×2×(2x －1)2 016＝a 1＋2a 2(x －2)＋…＋2 016a 2 016(x－2)2 015＋2 017a 2 017(x －2)2 016(x ∈R )，令x ＝1得－4 034＝a 1－2a 2＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2017，故选C.答案： C11．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( )A ．144种B ．288种C ．360种D ．720种解析： 依题意可分为以下2步：(1)将《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词这4首诗词进行全排列，有A 44＝24种方法，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这4首诗词的排法有A 442＝12种；(2)以上4首诗词排好以后，不含最后有4个空位，在这4个空位中任选2个来安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有A 24＝12种安排方法．根据分步乘法计数原理可得，后六场的排法有12×12＝144种．答案： A12．如图，某圆形花坛被其内接三角形分成四部分，现计划在这四部分种植花卉，如果仅有5种花卉可供选择，要求每部分种植1种花卉，并且相邻两部分种植不同的花卉，则不同的种植方法有( )A ．360种B ．320种C ．108种D ．96种解析： 如图对分成的四部分进行编号，可以分以下3种情况进行分析：(1)总共种植2种花卉，即1部分种植1种花卉，2,3,4部分种植同一种花卉，种植方法有C 25A 22＝20种；(2)总共种植3种花卉，即1部分种植1种花卉，2,3部分种植同一种花卉或2,4部分种植同一种花卉或3,4部分种植同一种花卉，另外一部分种植另一种花卉，种植方法有3C 35A 33＝180种；(3)总共种植4种花卉，种植方法有A 45＝120种．所以不同的种植方法有20＋180＋120＝320种．答案： B13．(2017·张掖市第一次诊断考试)设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式中的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析： ⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6的展开式中的中间项为第四项，即f (x )＝C 36(x 2)3⎝⎛⎭⎫12x 3＝52x 3，∵f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，∴m ≥52x 2在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，∴m ≥⎝⎛⎭⎫52x 2max ＝5，∴实数m 的取值范围是[5，＋∞)．答案： [5，＋∞)14．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．解析：依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C310＋C410＋C510＋…＋C1010＝210－C010－C110－C210＝1 024－1－10－45＝968.答案：96815．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．解析：先在A，B，C三个区域种植3种不同的植物，共有A33＝6种种法，若E与A 相同，最后种D，有1种种法；若E与C相同，最后种D，有2种种法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有6×(1＋2)＝18种种法．答案：1816．计算C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n可采用以下方法：构造等式：C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n＝(1＋x)n，两边对x求导得C1n＋2C2n x＋3C3n x2＋…＋n C n n x n－1＝n(1＋x)n－1，在上式中令x＝1得C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n2n－1，类比上述计算方法计算C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋n2C n n＝________.解析：由题意得，构造等式：C1n＋2C2n x＋3C3n x2＋…＋n C n n x n－1＝n(1＋x)n－1，两边同乘以x，得C1n x＋2C2n x2＋3C3n x3＋…＋n2C n n x n＝n·x·(1＋x)n－1，再两边对x求导，得到C1n＋22C2n x ＋32C3n x2＋…＋n2C n n x n－1＝n(1＋x)n－1＋n(n－1)x·(1＋x)n－2，在上式中，令x＝1，得C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋n2C n n＝n(n＋1)2n－2.答案：n(n＋1)2n－2。
2018高考数学理二轮专题复习课件 专题七 概率与统计7.
2核心梳理 [知识回顾] 一、基本概念 (1)抽样方法 抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽 样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点 和适用范围．
(2)统计中的四个数据特征 ①众数：在样本数据中，出现次数最多的数据． ②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间 的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作 为中位数．
解析：由分层抽样的知识可知，样本中女运动员的人数为 28 42× ＝12. 56＋42 答案：D
2．某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法 抽取一个容量为 4 的样本，已知 3 号、29 号、42 号学生在样本 中，那么样本中还有一名学生的学号是( ) A．10 B．11 C．12 D．16
2 2 － xi －n x i＝1
n
＝－ y －^ b－ x ；( － x ，－ y )称为样本中心点． (3)独立性检验 2 n ad － bc 2 K＝ (其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容 a＋bc＋da＋cb＋d 量) ．
[专题回访] 1．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分 层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，则样 本中女运动员的人数为( ) A．9 B．10 C．11 D．12
6．下表是一位母亲给儿子作的成长记录： 4 5 6 7 8 9 年龄/周岁 3 身高/cm 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.1 根据以上样本数据，她建立的身高 y(cm)与年龄 x(周岁)的线 性回归方程为^ y＝7.19x＋73.96，给出下列结论： ①y 与 x 具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本点的中心(42,117.1)； ③儿子 10 岁时的身高是 145.86 cm； ④儿子年龄增加 1 周岁，身高约增加 7.19 cm. 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
2018届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题七 概率与统计7.2 Word版含解析
A 级1．已知C 是正方形ABDE 内的一点，且满足AC ⊥BC ，AC ＝2BC ，在正方形ABDE 内投一个点，该点落在图中阴影部分内的概率是( )A.15 B ．25C.35D ．45解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为5，则C 点坐标为C (x ，y )，由题意可得： ⎩⎪⎨⎪⎧AC →·BC →＝(x ，y )·(x －5，y )＝0，x 2＋y 2＝2(x －5)2＋y 2求解方程组可得C 点坐标为C ⎝⎛⎭⎫45，25，则S △ABC ＝12×5×25＝1，S △AEC ＝12×5×45＝2，结合几何概型公式可得，该点落在图中阴影部分内的概率是：p ＝1－1＋2(5)2＝25.答案： B2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析： 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.答案： A3．(2017·武汉市武昌区调研考试)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29 B ．13C.49D ．59解析： 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，∴P (A |B )＝24108＝29. 答案： A4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析： S 阴影＝S 正方形－⎠⎛01x 2d x ＝1－13＝23，所以有23＝S 阴影S 正方形＝n10 000，解得n ≈6 667，故选B.答案： B5．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为( )A.12 B ．13C.1327D ．427解析： 设A k ，B k (k ＝1,2,3)分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B2A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)·P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫123＝1327. 答案： C6．(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．解析： 由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交， 得|5k |k 2＋1<3， 即16k 2<9，解得－34<k <34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝⎛⎭⎫－342＝34.答案： 347．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )等于________．解析： 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p ＝33＋m ，满足二项分布，则有E (X )＝np ＝5×33＋m＝3，解得m ＝2，那么D (X )＝np (1－p )＝5×35×⎝⎛⎭⎫1－35＝65. 答案： 658．(2017·福州市综合质量检测)从集合M ＝{(x ，y )|(|x |－1)2＋(|y |－1)2<4，x ，y ∈Z }中随机取一个点P (x ，y )，若xy ≥k (k >0)的概率为625，则k 的最大值是________．解析： 因为M ＝{(x ，y )|(|x |－1)2＋(|y |－1)2<4，x ，y ∈Z }，所以M ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，所以集合M 中元素的个数为5×5＝25.因为xy ＝1的情况有2种，xy ＝2的情况有4种，xy ＝4的情况有2种，所以要使xy ≥k (k >0)的概率为625，需1<k ≤2，所以k 的最大值为2.答案： 29．(2017·新疆第二次适应性检测)2016年9月20日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国亚欧博览会，其展览规模为历届之最．按照日程安排，22日到25日为公众开放日．某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以每件50元购进农产品若干件，以80元一件销售；若供大于求，剩余的农产品当天以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从其它地方以60元一件调剂．(1)若农产品经销商一天购进农产品5件，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：件，n ∈N *)的函数解析式；(2)农产品经销商记录了30天上述农产品的日需求量n (单位：件)，整理得表：X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列与数学期望．解析： (1)当1≤n ≤5时，y ＝30n ＋(5－n )×(－10)＝40n －50， 当n >5时，y ＝30×5＋(n －5)×20＝50＋20n ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40n －50，1≤n ≤5，n ∈N *，50＋20n ，n >5，n ∈N *. (2)由(1)得：日需求量为3时，频数为2，利润为70， 日需求量为4时，频数为3，利润为110， 日需求量为5时，频数为15，利润为150， 日需求量为6时，频数为6，利润为170， 日需求量为7时，频数为4，利润为190， 所以X 的取值为70,110,150,170,190，P (X ＝70)＝115，P (X ＝110)＝110，P (X ＝150)＝12，P (X ＝170)＝15，P (X ＝190)＝215，所以X 的分布列为所以E (X )＝70×115＋110×110＋150×12＋170×15＋190×215＝150(元)．10．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：有2人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析： (1)由表知，年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为P ＝C 14C 25·C 14·C 16C 210＋C 24C 25·C 24C 210＝410×2445＋610×645＝2275.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 26C 210＝610×1545＝1575，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 26C 210＋C 24C 25·C 14·C 16C 210＝410×1545＋610×2445＝3475，P (ξ＝2)＝2275，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 24C 210＝410×645＝475，∴ξ的分布列是∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1575＋1×3475＋2×2275＋3×475＝65.B 级1．(2017·浙江卷)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)解析： 由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布， ∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)， D (ξ2)＝p 2(1－p 2)．又∵0<p 1<p 2<12，∴E (ξ1)<E (ξ2)．把方差看作函数y ＝x (1－x )， 根据0<ξ1<ξ2<12知，D (ξ1)<D (ξ2)．故选A. 答案： A2．(2016·全国卷甲)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n m B ．2n mC.4m nD ．2m n解析： 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4m n.答案： C3．在体育课上，甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习，甲、乙、丙投中的概率分别为p 1，p 2，25，且p 1＋p 2＝1，现各自投篮一次，三人投篮相互独立．(1)求三人都没有投进的概率的最大值，并求此时甲、乙投篮命中的概率； (2)在(1)的条件下，求三人投中次数之和X 的分布列和数学期望． 解析： (1)记甲、乙、丙投篮一次命中分别为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝p 1，P (B )＝p 2，P (C )＝25.各自投篮一次都没有投进为事件D ，则D ＝A B C ， 则P (D )＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝35(1－p 1)(1－p 2)≤35⎝⎛⎭⎫1－p 1＋1－p 222＝320， 当且仅当p 1＝p 2＝12时等号成立．即各自投篮一次三人都没有投进的概率的最大值是320，此时甲、乙投篮命中的概率都是12. (2)X ＝0,1,2,3.根据(1)知P (X ＝0)＝320；P (X ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝12×12×35＋12×12×35＋12×12×25 ＝25； P (X ＝2)＝P (AB C ＋A B C ＋A BC ) ＝12×12×35＋12×12×25＋12×12×25 ＝720； P (X ＝3)＝P (ABC )＝12×12×25＝110.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.4．(2017·广西三市第一次联考)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解析： (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627； P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫13＝1227； P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827.应聘者乙正确完成题数η的分布列为E (η)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.⎭⎫⎝⎛或因为η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，所以E (η)＝3×23＝2(2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D (η)＝3×23×13＝23.所以D (ξ)<D (η)．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．。
2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案：考前专题七 概率与统计 第3讲 统计与统计案例
第3讲统计与统计案例1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等．2．在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．热点一抽样方法1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体数较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．例1(1)(2017届日照三模)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为________．答案10解析样本间隔为80÷5＝16，∵42＝16×2＋10，∴该样本中产品的最小编号为10.(2)某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,700,700，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为________．答案35解析由题意结合抽样比可得，高三年级应抽取的学生人数为100×700600＋700＋700＝35.思维升华(1)随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的．(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同．(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．跟踪演练1(1)(2017·葫芦岛协作体模拟)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行、第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为()81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49A.12 B．33C．06 D．16答案 C解析被选中的红色球号码依次为17,12,33,06，所以第四个被选中的红色球号码为06，故选C.(2)(2017届江西重点中学协作体联考)高三某班有学生36人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、23号、32号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) A ．13 B ．14 C ．18 D ．26答案 B解析 ∵高三某班有学生36人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为36÷4＝9，则5＋9＝14， 即样本中还有一个学生的编号为14，故选B. 热点二 用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．例2 (1)(2017·湖南衡阳联考)一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( ) A ．－11 B ．3 C ．9 D ．17 答案 C解析 设没记清的数为x ，若x ≤2，则这列数为x,2,2,2,4,5,10，平均数为25＋x7，中位数为2，众数为2，所以2×2＝25＋x 7＋2，得x ＝－11；若2<x ≤4，则这列数为2,2,2，x,4,5,10，则平均数为25＋x 7，中位数为x ，众数为2，所以2x ＝25＋x 7＋2，得x ＝3；若x ≥5，则这列数为 2,2,2,4,5，x,10或2,2,2,4,5,10，x ，则平均数为25＋x7，中位数为4，众数为2，所以2×4＝25＋x7＋2，得x ＝17，所以－11＋3＋17＝9.(2)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图可知，这200名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是________．答案 45解析 阅读频率分布直方图可得，这200名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是200×(0.02＋0.07)×2.5＝45.思维升华 (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．跟踪演练2 (1)(2017届江西南昌二模)某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 B解析 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是79－76＝3，故选B. (2)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为( )A ．300B ．200C ．150D ．100答案 D解析 根据频率分布直方图的面积和为1，可得[50,60)的频率为P ＝1－10×(0.01＋0.024＋0.036)＝0.3， 又由P ＝30n＝0.3，解得n ＝100.故选D.热点三 统计案例 1．线性回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^称为线性回归方程，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ，(x ，y )称为样本点的中心．2．随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .例3 (1)(2017届山西太原三模)已知某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)具有线性相关关系，其统计数据如下表：x 3 4 5 6 y25304045附：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝∑n i ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .由上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，据此模型预测广告费用为8万元时的销售额是( ) A ．59.5万元 B ．52.5万元 C ．56万元 D ．63.5万元答案 A解析 由题意可得 x ＝3＋4＋5＋64＝92， y ＝25＋30＋40＋454＝35，则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4 x 2＝665－4×92×3586－4×⎝⎛⎭⎫922＝7，a ^＝y －b ^x ＝3.5，所以线性回归方程为y ^＝7x ＋3.5，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是y ＝7×8＋3.5＝59.5(万元)． 故选A.(2)(2017·四川成都九校联考)某学校为了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：由公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2≈7.82.附表：P (K 2≥k 0)0.025 0.01 0.005 k 05.0246.6357.879参照附表，以下结论正确是( )A ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 C解析 由题意知本题所给的观测值K 2≈7.82>6.635，∴这个结论有0.01的机会出错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.思维升华 (1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(x ，y )，应引起关注．(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入公式求解K 2即可．跟踪演练3 (1)(2017届德州二模)某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如表：广告费用x 2 3 4 5 销售额y26394954根据上表可得线性回归方程y ^＝9.4x ＋a ^，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为( ) A ．65.5万元 B ．66.6万元 C ．67.7万元 D ．72万元答案 A解析 x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝26＋39＋49＋544＝42，代入线性回归方程，得42＝9.4×3.5＋a ^，解得a ^＝9.1，所以线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，当x ＝6时，y ＝65.5，故选A.(2)(2017·广东湛江二模)某同学利用课余时间做了一次社交软件使用习惯调查，得到2×2列联表如下：附表：P (K 2≥k 0)0.01 0.005 0.001 k 06.6357.87910.828则下列结论正确的是( )A ．在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关B ．在犯错的概率超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关C ．在犯错的概率不超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关D ．在犯错的概率超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 答案 A解析 K 2＝30×(4×2－16×8)220×10×12×18＝10，由于7.879<10<10.828，可以认为在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关，故选A.真题体验1．(2017·山东改编)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为__________． 答案 3,5解析 甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y ＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等， ∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x )＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x ＝3. 2．(2017·山东改编)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑10i ＝1x i＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________． 答案 166解析 ∵∑10i ＝1x i ＝225，∴x ＝110∑10i ＝1x i ＝22.5.∵∑10i ＝1y i＝1 600，∴y ＝110∑10i ＝1y i ＝160. 又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70.∴线性回归方程为y ^＝4x ＋70.将x ＝24代入上式，得y ^＝4×24＋70＝166.3．(2016·全国Ⅲ改编)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下列叙述不正确的是________．①各月的平均最低气温都在0 ℃以上； ②七月的平均温差比一月的平均温差大； ③三月和十一月的平均最高气温基本相同； ④平均最高气温高于20 ℃的月份有5个． 答案 ④解析 由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有七月，八月，故④不正确．4．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350.∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．押题预测1．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地分别随机调查了10个用户，将满意度的分数绘成茎叶图如图所示．设甲、乙两地的满意度分数的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙D.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙押题依据 从茎叶图中提取数字的特征(如平均数、众数、中位数等)是高考命题的热点题型． 答案 B解析 甲地用户的平均满意度分数为x 甲＝53＋62＋64＋73＋74＋76＋81＋85＋92＋9510＝75.5，乙地用户的平均满意度分数为x 乙＝51＋56＋62＋64＋73＋73＋81＋82＋83＋9110＝71.6，所以x 甲>x乙．中位数分别为m 甲＝74＋762＝75，m 乙＝73＋732＝73，所以m 甲>m 乙． 故选B.2．某校为了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了100名学生，统计他们每天的平均学习时间，绘成的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中学习时间在6至10小时之间的人数为________．押题依据 频率分布直方图多以现实生活中的实际问题为背景，对图形的理解应用可以考查考生的基本分析能力，是高考的热点． 答案 58解析 由图知，(0.04＋0.12＋x ＋0.14＋0.05)×2＝1，解得x ＝0.15，所以学习时间在6至10小时之间的频率是(0.15＋0.14)×2＝0.58， 所求人数为100×0.58＝58.3．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x )押题依据 线性回归分析在生活中具有很强的应用价值，是高考的一个重要考点． 解 (1)散点图如图．(2)由表中数据得∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7，a ^＝3.5－0.7×3.5＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时．A 组 专题通关1．(2017·山西实验中学模拟)一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2∶3∶5，若用分层抽样法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．100答案 D解析 由分层抽样的概念可得，应从高三学生中抽取的人数是200×52＋3＋5＝100.故选D.2．(2017届广东省东莞市二模)已知某学校有1 680名学生，现在采用系统抽样的方法抽取84人，调查他们对学校食堂的满意程度，将1 680人按1,2,3，…，1 680随机编号，则在抽取的84人中，编号落在[61,160]内的人数为( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．4 答案 B解析 (160－60)×841 680＝5，故选B. 3．(2017·北京丰台区二模)某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程(单位：千米)的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是( ) A ．14,9.5 B ．9,9 C ．9,10 D ．14,9答案 A解析 2班共有8个数据，中间两个数是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A(1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14)．4.(2017·福建泉州质检)2017年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中A ，B 两地选择一处进行实地考察，因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为下图的茎叶图，记A ，B 两地综合评分数据的平均数分别为A ，B ，方差分别为s 2A ，s 2B ，若已备受好评为依据，则下述判断较合理的是( )A ．因为A >B ，s 2A >s 2B ，所以应该去A 地 B ．因为A >B ，s 2A <s 2B ，所以应该去A 地C ．因为A <B ，s 2A >s 2B ，所以应该去B 地D ．因为A <B ，s 2A <s 2B ，所以应该去B 地答案 B解析 计算可得A ＝8623>85＝B ，s 2A <s 2B (A 数据集中，B 数据分散)，所以A 地好评分高，且评价稳定，故选B.5．(2017届江西上饶二模)下面四个命题中，为真命题的是( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样；②两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于1；③判断两个分类变量X 与Y 的相关性：若K 2越小，则说明“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ④随机变量X ～N (0,1)，则P (|X |<1)＝2P (X <1)－1. A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③答案 A解析 ②错误，因为相关系数可以接近－1；③错误，K 2越大，有关系的把握越大．故选A.6．(2017届湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考)某校高三文科班150名男生在“学生体质健康50米跑”单项测试中，成绩全部介于6秒与11秒之间．现将测试结果分成五组：第一组[6，7]；第二组(7，8]，…，第五组(10，11].下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．按国家标准，高三男生50米跑成绩小于或等于7秒认定为优秀，若已知第四组共48人，则该校文科班男生在这次测试中成绩优秀的人数是________．答案 9解析 由题设中提供的频率分布直方图可以看出，这次测试中成绩优秀的人数的频率P ＝1－⎝⎛⎭⎫0.38＋0.16＋0.08＋48150×1＝0.06，故这次测试中成绩优秀的人数为0.06×150＝9.7．(2017届四川广志联考)某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________． 答案 －3解析 若将该数看做15，其他数据不变，其和记为M ，则其平均数为P 1＝M ＋1530；若将该数看做105，其他数据不变，其和仍为M ，则其平均数为P 2＝M ＋10530，则两次算得的平均数之差P 1－P 2＝M ＋15－M －10530＝－3.8．(2017·江西百校联盟联考)某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：使用年数x (单位：年) 2 3 4 5 6维修总费用y (单位：万元)1.5 4.5 5.5 6.5 7.5根据上表可得线性回归方程为y ^＝1.4x ＋a ^.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年． 答案 8解析 因为x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝1.5＋4.5＋5.5＋6.5＋7.55＝5.1，故代入线性回归方程可得a ^＝5.1－1.4×4＝－0.5，所以线性回归方程为y ^＝1.4x －0.5， 当y ＝12时，解得x ≈8.9.9．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是________．表1表2视力性别好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计16 3652表3智商性别偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计16 3652表4阅读量性别丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计163652答案 阅读量解析 根据数据求出K 2的值，再进一步比较大小．表1中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(6×22－14×10)220×32×16×36＝131 440.表2中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×(4×20－16×12)220×32×16×36＝637360.表3中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(8×24－12×8)220×32×16×36＝1310.表4中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36＝3 757160.∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．10．(2017·全国Ⅱ)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ，新养殖法的箱产量不低于50 kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)． 附：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”． 由题意知，P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．B 组 能力提高11．某公司有30名男职员和20名女职员，公司进行了一次全员参与的职业能力测试，现随机询问了该公司5名男职员和5名女职员在测试中的成绩(满分为30分)，可知这5名男职员的测试成绩分别为16,24,18,22,20,5名女职员的测试成绩分别为18,23,23,18,23，则下列说法一定正确的是( ) A ．这种抽样方法是分层抽样 B ．这种抽样方法是系统抽样C ．这5名男职员的测试成绩的方差大于这5名女职员的测试成绩的方差D ．该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数 答案 C解析 根据抽样方法的特点，可知这种抽样既不是分层抽样，也不是系统抽样，故A ，B 是错误的；由这5名男职员和5名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平均数，故D 是错误的；根据公式，可以求得这5名男职员的测试成绩的方差为s 21＝8,5名女职员的测试成绩的方差为s 22＝6，所以C 正确．故选C.12．(2017届四川大教育联盟三诊)某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1 000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线l .根据图中数据，下列对该样本描述错误的是( )A ．据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关B ．所抽取数据中，5 000名青少年平均身高约为145 cmC ．直线l 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D ．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线l 上 答案 D解析 在给定范围内，随着年龄增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年身高与年龄成正相关，故A 正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是145 cm ，故B 正确；根据直线斜率的意义可知斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故C 正确；各取一人具有随机性，根据数据做出的点只能在直线附近，不一定在直线上，故D 错误．13．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算得线性回归方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________．天数x 3 4 5 6 7 繁殖数量y (千个)2.5344.5c答案 6解析 x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c 5，代入线性回归方程，得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.14．(2017届广东潮州二模)当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活．一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中随机抽取n 名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：(1)求出表中a ，b ，n 的值，并补全频率分布直方图；(2)媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30,40)的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[35,40)的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．解 (1)由题意及频率分布表可知，n ＝5÷0.05＝100， 所以a ＝100×0.35＝35，b ＝30100＝0.3. 补全频率分布直方图，如图所示．(2)设抽出的20名受访者年龄在[30,35)和[35,40)的分别有m ，n 名，由分层抽样可得20100＝m 35＝n30，解得m ＝7，n ＝6.所以年龄在[30,40)的共有13名． 故ξ的可能取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 06C 27C 213＝726，P (ξ＝1)＝C 16C 17C 213＝713，P (ξ＝2)＝C 26C 07C 213＝526.ξ的分布列为ξ 0 1 2 P726713526∴E (ξ)＝0×726＋1×713＋2×526＝1213.。
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A 级1．已知C 是正方形ABDE 内的一点，且满足AC ⊥BC ，AC ＝2BC ，在正方形ABDE 内投一个点，该点落在图中阴影部分内的概率是( )A.15 B ．25C.35D ．45解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为5，则C 点坐标为C (x ，y )，由题意可得： ⎩⎪⎨⎪⎧AC →·BC →＝(x ，y )·(x －5，y )＝0，x 2＋y 2＝2(x －5)2＋y 2 求解方程组可得C 点坐标为C ⎝⎛⎭⎫45，25，则S △ABC ＝12×5×25＝1，S △AEC ＝12×5×45＝2，结合几何概型公式可得，该点落在图中阴影部分内的概率是：p ＝1－1＋2(5)2＝25.答案： B2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析： 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.答案： A3．(2017·武汉市武昌区调研考试)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29 B ．13C.49D ．59解析： 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，∴P (A |B )＝24108＝29. 答案： A4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析： S 阴影＝S 正方形－⎠⎛01x 2d x ＝1－13＝23，所以有23＝S 阴影S 正方形＝n 10 000，解得n ≈6 667，故选B.答案： B5．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为( )A.12 B ．13C.1327D ．427解析： 设A k ，B k (k ＝1,2,3)分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B2A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)·P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫123＝1327. 答案： C6．(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．解析： 由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交， 得|5k |k 2＋1<3，即16k 2<9，解得－34<k <34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝⎛⎭⎫－342＝34.答案： 347．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )等于________．解析： 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p ＝33＋m ，满足二项分布，则有E (X )＝np ＝5×33＋m＝3，解得m ＝2，那么D (X )＝np (1－p )＝5×35×⎝⎛⎭⎫1－35＝65. 答案： 658．(2017·福州市综合质量检测)从集合M ＝{(x ，y )|(|x |－1)2＋(|y |－1)2<4，x ，y ∈Z }中随机取一个点P (x ，y )，若xy ≥k (k >0)的概率为625，则k 的最大值是________．解析： 因为M ＝{(x ，y )|(|x |－1)2＋(|y |－1)2<4，x ，y ∈Z }，所以M ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，所以集合M 中元素的个数为5×5＝25.因为xy ＝1的情况有2种，xy ＝2的情况有4种，xy ＝4的情况有2种，所以要使xy ≥k (k >0)的概率为625，需1<k ≤2，所以k 的最大值为2.答案： 29．(2017·新疆第二次适应性检测)2016年9月20日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国亚欧博览会，其展览规模为历届之最．按照日程安排，22日到25日为公众开放日．某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以每件50元购进农产品若干件，以80元一件销售；若供大于求，剩余的农产品当天以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从其它地方以60元一件调剂．(1)若农产品经销商一天购进农产品5件，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：件，n ∈N *)的函数解析式；(2)农产品经销商记录了30天上述农产品的日需求量n (单位：件)，整理得表：X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列与数学期望．解析： (1)当1≤n ≤5时，y ＝30n ＋(5－n )×(－10)＝40n －50， 当n >5时，y ＝30×5＋(n －5)×20＝50＋20n ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40n －50，1≤n ≤5，n ∈N *，50＋20n ，n >5，n ∈N*.(2)由(1)得：日需求量为3时，频数为2，利润为70， 日需求量为4时，频数为3，利润为110， 日需求量为5时，频数为15，利润为150， 日需求量为6时，频数为6，利润为170， 日需求量为7时，频数为4，利润为190， 所以X 的取值为70,110,150,170,190，P (X ＝70)＝115，P (X ＝110)＝110，P (X ＝150)＝12，P (X ＝170)＝15，P (X ＝190)＝215，所以X 的分布列为所以E (X )＝70×115＋110×110＋150×12＋170×15＋190×215＝150(元)．10．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：有2人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析： (1)由表知，年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为P ＝C 14C 25·C 14·C 16C 210＋C 24C 25·C 24C 210＝410×2445＋610×645＝2275.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 26C 210＝610×1545＝1575，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 26C 210＋C 24C 25·C 14·C 16C 210＝410×1545＋610×2445＝3475，P (ξ＝2)＝2275，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 24C 210＝410×645＝475，∴ξ的分布列是∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1575＋1×3475＋2×2275＋3×475＝65.B 级1．(2017·浙江卷)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)解析： 由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布， ∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)， D (ξ2)＝p 2(1－p 2)．又∵0<p 1<p 2<12，∴E (ξ1)<E (ξ2)．把方差看作函数y ＝x (1－x )， 根据0<ξ1<ξ2<12知，D (ξ1)<D (ξ2)．故选A. 答案： A2．(2016·全国卷甲)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n m B ．2n mC.4m nD ．2m n解析： 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4m n.答案： C3．在体育课上，甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习，甲、乙、丙投中的概率分别为p 1，p 2，25，且p 1＋p 2＝1，现各自投篮一次，三人投篮相互独立．(1)求三人都没有投进的概率的最大值，并求此时甲、乙投篮命中的概率； (2)在(1)的条件下，求三人投中次数之和X 的分布列和数学期望． 解析： (1)记甲、乙、丙投篮一次命中分别为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝p 1，P (B )＝p 2，P (C )＝25.各自投篮一次都没有投进为事件D ，则D ＝A B C ， 则P (D )＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝35(1－p 1)(1－p 2)≤35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p 1＋1－p 222＝320， 当且仅当p 1＝p 2＝12时等号成立．即各自投篮一次三人都没有投进的概率的最大值是320，此时甲、乙投篮命中的概率都是12. (2)X ＝0,1,2,3.根据(1)知P (X ＝0)＝320；P (X ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝12×12×35＋12×12×35＋12×12×25 ＝25； P (X ＝2)＝P (AB C ＋A B C ＋A BC ) ＝12×12×35＋12×12×25＋12×12×25 ＝720； P (X ＝3)＝P (ABC )＝12×12×25＝110.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.4．(2017·广西三市第一次联考)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解析： (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3. P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627； P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫13＝1227； P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827.应聘者乙正确完成题数η的分布列为E (η)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.⎭⎫⎝⎛或因为η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，所以E (η)＝3×23＝2(2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D (η)＝3×23×13＝23.所以D (ξ)<D (η)．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．。