九年级数学三角形与四边形专题训练
中考数学四边形专题训练50题含答案
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．若一个多边形的内角和是720︒，则该多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．下列哪个度数可能成为某个多边形的内角和()A．240°B．600°C．1980°D．21800°3．下列说法中错误．．的是（）A．平行四边形的对边相等B．正方形的对角线互相垂直平分且相等C．菱形的对角线互相垂直平分D．矩形的对角线互相垂直且相等4．有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个四边形，则四边形的最大面积是A．27B．12C．15D．185．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∥DAC＝∥ACD6．每一个外角都等于36︒，这样的正多边形边数是()A．9B．10C．11D．127．如图，点O是ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠ D ．CFE DEF ∠=∠8．对角线互相平分且相等的四边形一定是（ ）A ．等腰梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 9．如图，在平行四边形ABCD 中，∥B ＝70°，AE 平分∥BAD 交BC 于点E ，CF ∥AE 交AE 于点F ，则∥1＝（ ）A ．45°B ．55°C ．50°D ．60° 10．下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的平行四边形是正方形D ．对角线相等的菱形是正方形 11．如图，ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，ACB ∠的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若10BC =，则PQ 的长为（ ）A ．32B ．52C ．3D ．412．有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF （如图∥）；再沿过点D 的折痕将角A 翻折，使得点A 落在EF 的H 上（如图∥），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为（ ）A ．6 B ．3 C ．8﹣D ．4﹣13．下列说法错误的是（ ）A ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形B ．四条边都相等的四边形是菱形C ．四个角都相等的四边形是矩形D ．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形14．已知：如图，四边形ABCD 中，90,60A B C ∠=∠=︒∠=︒，2,3CD AD AB ==．在AB 边上求作点P ，则PC PD +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 15．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOD AD ∠==°，，则AB 的长是（ ）A ．2B ．4C ．D ．16．如图，菱形ABCD 的对角线12AC =，面积为24，∥ABE 是等边三角形，若点P 在对角线AC 上移动，则PD PE +的最小值为（ ）A．4 B ．C ． D ．617．如图，ABC 的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且8AB =，17BC =，15CA =，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（ ）A ．4B ．6.25C ．7.5D ．9 18．如图，点E 在边长为5的正方形ABCD 的边CD 上，将ADE 绕点A 顺时针旋转90︒到ABF 的位置，连接EF ，过点A 作FE 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点.G 若2CG =，则CE 的长为（ ）A ．54B ．154C ．4D ．9219．如图，菱形ABCD 的对角线AC =12，面积为24，∥ABE 是等边三角形，若点P 在对角线AC 上移动，则PD +PE 的最小值为（ ）A ．4B ．C ．D ．6 20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ）A．2B．53C．54D二、填空题21．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得50mMN=，则池塘的宽度AB为______m．22．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是P A、PR 的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为_____．23．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点则四边形EFGH的周长等于___cm．24．如图，已知矩形ABCD中，8AB=，5πBC=．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为________（用含π的式子表示）25．如图，四边形ABCD的对角线AC BD=，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是___________（平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个）26．如图，在△ABC 中，4BC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，G ，H 分别是AD ，AE 的中点，则GH ＝______．27．已知O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，24AB =，36AD =，则OBC △的周长比AOB 的周长大___________．28．平行四边形ABCD 中，∥A 比∥B 小20°，那么∥C ＝_____．29．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BC =6，AC +BD =14，那么∥BOC 的周长是_____．30．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝6，∥CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．（结果保留π）31．如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是(0,1)，(2,2)--，(2,2)-，则顶点D 的坐标是_________．32．判断题，对的画“√”错的画“×”(1)对角线互相垂直的四边形是菱形( )(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( )(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )(4)对角线相等的四边形是菱形( )33．如图，在菱形ABCD 中，2A B ∠=∠，2AB =，点E 和点F 分别在边AB 和边BC 上运动，且满足AE CF =，则DF CE +的最小值为_______．34．如果一个梯形的上底长为2cm ，中位线长是5cm ，那么这个梯形下底长为__________cm ．35．如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，在AD 的延长线上有一点E ，当BE 时，DE 的长是_____cm ．36．如图，在菱形ABCD 中，∥BAD ＝110°，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，点M 为垂足，连接DN ，则∥CDN 的大小是______．37．如图，在▱ABCD 中，BM 是∥ABC 的平分线，交CD 于点M ，且DM =2，平行四边形ABCD 的周长是16，则AB 的长等于______．38．已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、M 、N 分别在AB 、BC 、AD 边上，CE ＝MN ，∥MCE ＝35°，∥ANM 的度数______．39．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且EF ＝6，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP +PM 的最小值是_____．40．如图，在ABC 中，M 是BC 边上的中点，AP 是BAC ∠的平分线，BP AP ⊥于点P ，已知16AB =，24AC =，那么PM 的长为________．三、解答题41．如图，在ABCD 中，AE CF =．求证：ABE CDF ∠=∠．42．已知，如图长方形ABCD 中，3cm AB =，9cm AD =，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求EF 的长．43．如图，在平面直角坐标系内，ABC 的顶点坐标分别为(4,4)A -，(2,5)B -，(2,1)C -．(1)平移ABC ，使点C 移到点1(2,2)C ，画出平移后的111A B C △；(2)将ABC 绕点(0,0)旋转180︒，得到222A B C △，画出旋转后的222A B C △；(3)连接12A C ，21A C ，求四边形1221A C A C 的面积．44．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为()6,4，E 为AB 的中点，过点()8,0D 和点E 的直线分别与BC 、y 轴交于点F ，G ．（1）求直线DE 的函数关系式；（2）函数2y mx =-的图象经过点F 且与x 轴交于点H ，求出点F 的坐标和m 值； （3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG 的面积．45．如图，AMN 是边长为2的等边三角形，以AN ，AM 所在直线为边的平行四边形ABCD 交MN 于点E 、F ，且30EAF ∠=︒．(1)当F 、M 重合时，求AD 的长；(2)当NE 、FM )NE FM EF +=； (3)在（2）的条件下，求证：四边形ABCD 是菱形． 46．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ． （1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若4AB =，求平行四边形BCFD 的面积．47．阅读下面材料，并回答下列问题：小明遇到这样一个问题，如图，在ABC ∆中，//DE BC 分别交AB 于点D ，交AC 于点E .已知,3,5CD BE CD BE ⊥==，求BC DE +的值. 小明发现，过点E 作//EF DC ，交BC 的延长线于点F ，构造∆BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）请你回答：（1）证明：DE CF =；（2）求出BC DE +的值；（3）参考小明思考问题的方法，解决问题；如图，已知ABCD 和矩形,ABEF AC 与DF 交于点,G AC BF DF ==.求AGF ∠的度数.48．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将A ，B 两点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD .(1)求点C ，D 的坐标；(2)若点P 在直线BD 上运动，连接PC ，PO .∥若点P 在线段BD 上(不与B ，D 重合)时，求S △CDP ＋S △BOP 的取值范围；∥若点P 在直线BD 上运动，试探索∥CPO ，∥DCP ，∥BOP 的关系，并证明你的结论．49．Rt∥ABC 中，∥BAC ＝90°，（1）如图1，分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABFG 、ACPE 、BCDE ，其面积分别记为S 1，S 2，S 3，∥若AB ＝5，AC ＝12，则S 3＝ ；∥如图2，将正方形BCDE 沿C 折，点D 、E 的对应点分别记为M 、M ，若点从M 、N 分别在直线FG 和PH 上，且点M 是GO 中点时，求S 1∥S 2∥S 3；∥如图3，无论Rt∥ABC 三边长度如何变化，点M 必定落在直线FG 上吗？ 请说明理由；（2）如图4，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正三角形ABD ，ACF ，BCE ，再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB＝保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值．50．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）∥请直接写出图1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；∥将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断∥中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4～6），且，试判断（1）∥中得到的结论哪个成立，哪个不成立？（写出你的判断，不必证明.）（3）在图5中，连结DG、BE，且，则.参考答案：1．C【分析】根据多边形内角和定理进行求解即可．【详解】解；设这个多边形的边数为n ，由题意得；()1802720n ︒⋅-=︒，解得6n =，∥这个多边形是六边形，故选C ．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知对于n 边形其内角和为()1802n ︒⋅-是解题的关键．2．C【分析】本题可根据多边形的内角和为（n ﹣2）×180°来确定解决本题的方法，即判断哪个度数可能是多边形的内角和，就看它是否能被180°整除，从而根据这一方法解决问题．【详解】判断哪个度数可能是多边形的内角和，我们主要看它是否能被180°整除． ∥只有1980°能被180°整除．故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和的计算公式．熟练掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．3．D【分析】根据平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质对每个选项进行分析，即可得出答案．【详解】解：∥平行四边形的对边相等，∥选项A 不符合题意；∥正方形的对角线互相垂直平分且相等，∥选项B 不符合题意；∥菱形的对角线互相垂直平分，∥选项C 不符合题意；∥矩形的对角线相等但不一定互相垂直，∥选项D 符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质是解决问题的关键．4．C【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断出四边形的形状；当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：重叠的四边形的两组对边分别平行，那么可得是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，那么重叠的四边形应为菱形；如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB=x，EB=9-x，AE=3，则由勾股定理得到：32+（9-x）2=x2，解得x=5，S最大=5×3=15．故选C．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解题的关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程．5．D【分析】根据平行四边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，故A正确；∥，故B正确；∴AD BC∴AD＝BC，故C正确；故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．6．B【分析】根据多边形外角和为360°，然后除以36°即可得到正多边形的边数.【详解】每一个外角都等于36︒，这样的正多边形边数为360°÷36°=10，故选B【点睛】本题考查有关于多边形外角和的计算，记住多边形的外角和是360°是解题关键. 7．A【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO∥∥CFO，从而进行分析即可．【详解】∥点O是ABCD对角线的交点，∥OA=OC，∥EAO=∥CFO，∥∥AOE=∥COF，∥△AEO∥∥CFO（ASA），∥OE=OF，A选项成立；∥AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；∠=∠，则DO=DC，若DOC OCD由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；由△AEO∥∥CFO得∥CFE=∥AEF，但不一定得出∥AEF=∥DEF，则∥CFE不一定等于∥DEF，D选项不一定成立；故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．8．B【详解】分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形,判断即可.详解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形,故选B.点睛：考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形.9．B【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∥1的度数即可．【详解】：解：∥AD∥BC，∥B=70°，∥∥BAD=180°-∥B=110°．∥AE平分∥BAD∥∥DAE=12∥BAD=55°． ∥∥AEB=∥DAE=55°∥CF∥AE∥∥1=∥AEB=55°．故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10．D【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定即可判断出正确答案.【详解】A 、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故本选项错误；B 、对角线相互垂直的四边形有可能是等腰梯形或者是针形；故本选项错误；C 、对角线相等且垂直且相互平分的四边形是正方形，故本选项错误；D 、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确.故选D【点睛】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定，熟记和掌握矩形、正方形、菱形的判定是解题关键.11．C【分析】首先判断BAE 、CAD 是等腰三角形，从而得出BA BE =，CA CD =，由ABC 的周长为26，及10BC =，可得6DE =，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】解：由题意得：BQ AE ⊥，BQ 平分ABE ∠，∥ABQ EBQ ∠=∠，90AQB BQE ∠=∠=︒，又∥BQ BQ =，∥()ASA ABQ EBQ ≌，∥,AB BE AQ QE ==，∥BAE 是等腰三角形，Q 为AE 的中点，同法可得：CA CD =，CAD 是等腰三角形，P 为AD 的中点，∥ABC 的周长2026AB BC AC BE BC CD BC BC DE DE =++=++=++=+=， ∥6DE =， ∥132PQ DE ==； 故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形的中位线定理．根据已知条件，证明三角形全等，是解题的关键．12．B【分析】由于正方形纸片ABCD的边长为2，所以将正方形ABCD对折后AE=DF=1，由翻折不变性的原则可知AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长，进而求出EH的长，再设EG=x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求解．【详解】∥正方形纸片ABCD的边长为2，∥将正方形ABCD对折后AE=DF=1，∥∥GDH是△GDA沿直线DG翻折而成，∥AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中，HF==在Rt△EGH中，设EG=x，则GH=AG=1-x，∥GH2=EH2+EG2，即（1-x）2=（2+x2，解得．故选B.【点睛】考查的是图形翻折变换的性质，解答此类题目最常用的方法是设所求线段的长为x，再根据勾股定理列方程求解．13．A【分析】根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案.【详解】A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法错误，符合题意，B.四条边都相等的四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意，C.四个角都相等的四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意，D.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项说法正确，不符合题意，故选A.【点睛】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键.14．B【分析】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小；再作D'E∥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∥DCD'=∥DD'C，然后根据平行线的性质得出∥D'CE=∥DD'C，从而求得∥D'CE=∥DCD'，得出∥D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD 的最小值．【详解】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．作D'E∥BC于E，则EB=D'A=AD．∥CD=2AD，∥DD'=CD，∥∥DCD'=∥DD'C．∥∥DAB=∥ABC=90°，∥四边形ABED'是矩形，∥DD'∥EC，D'E=AB=3，∥∥D'CE=∥DD'C，∥∥D'CE=∥DCD'．∥∥DCB=60°，∥∥D'CE=30°，∥D'C=2D'E=2AB=2×3=6，∥PC+PD的最小值为6．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．15．C【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OD=AD，然后求出BD，再利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∥OA=OB=OD，∥∥AOD=60°，∥∥AOD是等边三角形，∥OD=AD=2，∥BD=2OD=4，由勾股定理得，AB=．故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并判断出△AOD是等边三角形是解题的关键．16．C【分析】如图，连接BD交AC于O，连接PB．因为AC与BD互相垂直平分，推出PD=PB，推出PE+PD=PE+PB，因为PE+PB≥BE，推出当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，求出BE即可解决问题；【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∥S菱形ABCD=12•AC•BD，∥24=12×12×BD，∥BD=4，∥OA=12AC=6，OB=12BD=2，AC∥BD，∥AB=∥AC 与BD 互相垂直平分，∥PD =PB ，∥PE +PD =PE +PB ，∥PE +PB ≥BE ，∥当E 、P 、B 共线时，PE +PD 的值最小，最小值为BE 的长，∥∥ABE 是等边三角形，∥BE =AB∥PD +PE 的最小值为故选：C ．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的判定和性质、菱形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．D【分析】先根据勾股定理的逆定理判定ABC 是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形OFAE 是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：∥8AB =，17BC =，15CA =，∥222AB CA BC +=，∥ABC 为直角三角形，90A ∠=︒，∥O 与AB AC ，分别相切于点F 、E ，∥OF AB ⊥ ，OE AC ⊥，OF OE =，∥四边形OFAE 是正方形，设OE r =，则AE AF r ==，∥ABC 的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，∥8BD BF r ==-，15CD CE r ==-，∥81517r r -+-=， ∥8151732r +-==， ∥阴影部分的面积是：239=，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键．18．B【分析】连接EG ，根据AG 垂直平分EF ，即可得出EG FG =，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG EG x ==-，再根据Rt CEG △中，222CE CG EG +=，即可得到CE 的长．【详解】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，ADE ∥ABF △，AE AF ∴=，DE BF =，又AG EF ⊥，H ∴为EF 的中点，AG ∴垂直平分EF ，EG FG ∴=，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG x =-，8EG x ∴=-，90C ∠=︒，Rt CEG ∴中，222CE CG EG +=，即2222(8)x x +=-， 解得154x =， CE ∴的长为154， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．19．C【分析】如图，连接BD交AC于O，连接PB，由菱形的性质可得AC与BD互相垂直平分，可得PD＝PB，于是PE+PD＝PE+PB，因为PE+PB≥BE，故当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，所以求出BE即可解决问题，而根据菱形的面积、菱形的性质和勾股定理即可求出AB的长，再根据等边三角形的性质即得答案．【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∥S菱形ABCD＝12•AC•BD，∥24＝12×12×BD，∥BD＝4，∥四边形ABCD是菱形，∥OA＝12AC＝6，OB＝12BD＝2，AC∥BD，∥AB=∥AC与BD互相垂直平分，∥PD＝PB，∥PE+PD＝PE+PB，∥PE+PB≥BE，∥当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，∥∥ABE是等边三角形，∥BE＝AB＝∥PD+PE的最小值为故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式、等边三角形的性质、勾股定理以及轴对称﹣最短问题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．20．B【分析】由折叠的性质可得∥DCA＝∥ACF，由平行线的性质可得∥DCA＝∥CAB＝∥ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt∥BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．【详解】解：设BF＝x，∥将矩形沿AC折叠，∥∥DCA＝∥ACF，∥四边形ABCD是矩形，∥CD∥AB，∥∥DCA＝∥CAB＝∥ACF，∥FA＝FC＝8﹣x，在Rt∥BCF中，∥CF2＝BC2+BF2，∥（8﹣x）2＝x2+42，∥x＝3，∥BF＝3，∥AF＝5，∥AF：BF的值为53，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．100【分析】根据三角形中位线的性质定理解答即可．【详解】解：∥点M、N是OA、OB的中点，∥MN是∥ABO的中位线，∥AB=2MN．又∥MN=50m，∥AB=100m．故答案是：100．【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．22．6.5【分析】根据题意，连接AR，在直角∥ADR中，DR＝5，AD＝12，根据勾股定理可得AR.AR=13，又因为E、F分别是PA、PR的中点，即为∥PAR的中位线，故EF＝12【详解】∥∥D＝90°，DR＝5，AD＝12，∥AR，∥E、F分别是PA、PR的中点，AR＝6.5，∥EF＝12故答案为6.5．【点睛】本题考查了三角形中位线长度的求取，本题的解题关键是不要因为动点问题的包装而把题目想的复杂，根据中位线的性质解题即可.23．16．【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．【详解】如图，连接AC、BD，∥四边形ABCD是矩形，∥AC=BD=8cm，∥E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC=4cm，∥HG=EF=12BD=4cm，EH=FG=12∥四边形EFGH的周长=HG+EF+EH+FG=4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，故答案为：16．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是能求出四边形的各个边的长．矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．24．4π【分析】根据阴影面积=三角形面积-2个扇形的面积即可求解．【详解】∥S △ABD =5π×8÷2=20π；设ABD n ∠=︒,S 扇形BAE =64360n π⨯；S 扇形DFM =()9064360n π-⨯； ∥阴影面积=20π-()649064360n n ππ⨯+-⨯=20π-16π=4π．故答案为：4π▱ 【点睛】本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．25．菱形 【分析】根据三角形中位线定理可得1122EH BD EH BD FG BD FG BD ==∥∥，，，，进一步可得EH FG EH FG =∥，，同理可得EF HG EF HG =∥，，又根据AC BD =即可得EF HG ==EH FG =，进一步即可得证．【详解】解：∥E ，F ，G ，H 分别是各边的中点， ∥1122EH BD EH BD FG BD FG BD ==∥∥，，，， ∥EH FG EH FG =∥，，同理可证EF HG EF HG =∥，，又∥AC BD =，∥EF HG ==EH FG =，∥四边形EFGH 是菱形．故答案为：菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．26．1【分析】利用三角形中位线定理求得GH =12DE ，DE =12BC ．【详解】解：∥D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∥DE 是△ABC 的中位线，∥DE= 12BC=12×4=2，∥G，H分别是AD，AE的中点，∥GH是△ADE的中位线，∥GH=12DE=12×2=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．27．12【分析】根据平行四边形的性质可以得到OA＝OC，BC＝AD，然后根据AB＝24，AD＝36，即可计算出∥OBC的周长与∥AOB的周长之差．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD＝BC，∵AB＝24，AD＝36，∴BC＝36，∴C△OBC﹣C△AOB＝（OB+OC+BC）﹣（OB+OA+AB）＝OB+OC+BC﹣OB﹣OA﹣AB＝BC﹣AB＝36﹣24＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确△OBC的周长与△AOB的差就是BC与AB的差．28．80°【分析】根据平行四边形的性质分别求出∥A和∥B的度数，然后根据平行四边形对角相等的性质可得∥C=∥A，即可求解．【详解】∥四边形ABCD为平行四边形，∥18020A BB A∠∠∠∠+=︒⎧⎨-=︒⎩，解得：80100AB∠∠=︒⎧⎨=︒⎩，∥∥C=∥A=80°．故答案为80°．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．29．13 【分析】先根据平行四边形的性质可得11,22OC AC OB BD ==，从而可得7OB OC +=，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，11,22OC AC OB BD ∴==， 14AC BD +=，()172OB OC BD AC ∴+=+=， 又6BC =， BOC ∴的周长为7613OB OC BC ++=+=，故答案为：13．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．30．32π 【分析】利用矩形的性质求得OA =OC =OB =OD =3，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∥矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且BD =6，∥AC=BD ＝6，∥OA =OC =OB =OD =3， ∥22303236032AOE S S ππ⨯⨯===阴影扇形， 故答案为：32π． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．31．()41，【分析】首先根据B 、C 两点的坐标确定线段BC 的长，然后根据A 点向右平移线段BC 的长度得到D 点，即可由A 点坐标求得点D 的坐标．【详解】解：∥B ，C 的坐标分别是（−2，−2），（2，−2），∥BC＝2−（−2）＝2＋2＝4，∥四边形ABCD是平行四边形，∥AD＝BC＝4，∥点A的坐标为（0，1），∥点D的坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC的长，难度不大．32．××√×【分析】根据菱形的判定定理即可解答.【详解】(1)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(2)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(3)正确，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(4)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.【点睛】本题考查菱形的判定定理，熟悉掌握是解题关键.33．4【分析】由“SAS”可证∥ABF∥∥CBE，可得AF＝CE，则DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH，即当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长，由勾股定理可求解．【详解】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示：∥四边形ABCD为菱形，∥，∥AB=BC=CD=AD=2，AD BC∥180BAD ABC ∠+∠=︒，∥∥BAD ＝2∥B ，∥∥B ＝60°，∥∥ABC 是等边三角形，∥点A ，点H 关于BC 对称，∥AH ∥BC ，AN ＝NH ，∥FH ＝AF ，又∥∥ABC 是等边三角形，∥BN ＝NC ＝112BC =，AN ∥AH ＝2AN＝∥AE ＝CF ，AB =BC ，∥BE ＝BF ，∥在∥ABF 和∥CBE 中AB BC B B BF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∥∥ABF ∥∥CBE （SAS ），∥AF ＝CE ，∥DF ＋CE ＝DF ＋AF ＝DF ＋FH ，∥当点F ，点D ，点H 三点共线时，DF ＋CE 的最小值为DH 的长，∥AH ∥BC ，∥90HNC ∠=︒，∥AD BC ∥，∥90HAD HNC ∠=∠=︒，∥4DH ==， 即DF CE +的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形全等是解题的关键．34．8。
2020年九年级数学中考一轮专题汇编 考点三角形和四边形 压轴题提高训练检测卷 含答案
2020年九年级数学中考一轮专题汇编考点三角形和四边形压轴题提高训练检测卷含答案1、如图，在△ABC中，∠ACB=90︒，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30︒时，求证：四边形ECBF是菱形.2、如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．3、如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；（2）求△ACE的面积．4、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．5、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．6、四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．7、如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．（1）求证：△ABP∽△QEA；（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）8、已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．9、现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是；（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）10、如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．11、如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA 至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB 交EF于点N．（1）求证：AD=AF；（2）求证：BD=EF；（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．12、如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN 的面积；（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．13、数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t= ．14、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）15、如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．（1）求证：BD=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE 相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．16、如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F 处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有①②⑤（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4﹣4．17、如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x 的取值范围（不用说明理由）．答案1、 (1) 证明：∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC.又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形.(2)证法一：∵∠ACB=90︒，∠A=30︒，E为AB的中点，∴12CB AB=，12CE AB=.∴CB CE=.又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形,[来源:] ∴四边形ECBF是菱形.证法二：∵∠ACB=90︒，∠A=30︒，E为AB的中点，∴12BC AB BE==，∠ABC=60︒.∴△BCE是等边三角形. ∴CB CE=.又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形,∴四边形ECBF是菱形. 证法三：∵E为AB的中点，∠ACB=90︒，∠A=30︒，∴12CE AB BE==, ∠ABC=60︒.∴△BCE是等边三角形.∴CB CE.又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形,2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∵图形翻折后BC与GE完全重合，∴BE=EC，∴GF=EC，∴四边形CEGF为平行四边形，∴四边形CEGF为菱形；（2）解：如图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，∵∠ECD=90°，∴∠DEC=45°=∠CDE，∴CE=CD=DG，∵DG∥CE，∴四边形CEGD是矩形，∴CE=CD=AB=3；如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE=CE，∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，∴CE=5，∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．3、【解答】解：（1）如图，连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．理由如下：∵BD、AC是▱ABCD的对角线，∴点O是AC的中点，∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，∴AE=BO，AO=BE，∵AO=BE，∴△ABO≌△BAE（SSS），∴∠ABO=∠BAE，△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，∵∠BAC=∠ABC，∴∠EAC=∠OBC，由可得△AFC≌BFC（SAS）∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，所以CH是△ABC的高；（2）∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，∴AH=AB=3，∴CH==4，∴S△ABC=AB•CH=×6×4=12，∵AE是△ABC的中线，∴S△ACE =S△ABC=6．4、【解答】解：（1）相等．理由：连接AC，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，∴∠B=∠D．（2）设AD=x，BC=y，当点C在点D右侧时，，解得，当点C在点D左侧时，解得，此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，∴不合题意，∴AD=13cm，BC=10cm．5、【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ6、【解答】证明：（1）∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，即BF=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE与Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；（2）如图，连接AC交BD于O，∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．7、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形；∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，∵QE⊥AP；∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；∴△ABP∽△QEA（AA）（2）∵△ABP≌△QEA；∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2即32+t2=（2t）2解得t1=，t2=﹣（不符合题意，舍去）答：当t取时△ABP与△QEA全等．（3）由（1）知△ABP∽△QEA；∴=（）2∴=（）2整理得：y=．8、【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．9、（2）仍成立．证明：如图2，连接AC、BD，则由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°∵∠MON=90°∴∠BOM=∠CON在△BOM和△CON中∴△BOM≌△CON（ASA）∴OM=ON（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°又∵∠C=90°∴∠EOF=90°=∠MON∴∠MOE=∠NOF在△MOE和△NOF中∴△MOE≌△NOF（AAS）∴OE=OF又∵OE⊥BC，OF⊥CD∴点O在∠C的平分线上∴O在移动过程中可形成线段AC（4）O在移动过程中可形成直线AC．10、【解答】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．11、【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=135°，∵∠BCD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AD=AF；（2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB=∠DAC，∴∠EAB=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠BAD，在△AEF和△ABD中，，∴△AEF≌△ABD（SAS），∴BD=EF；（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：∵CD=CB，∠BCD=90°，∴∠CBD=45°，由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF=∠ABD=90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE=AB，∴四边形ABNE是正方形．12、【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：，∴DF的最大值=DC-CF=．13、【解答】解；（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，∴∠D=∠B=60°，∵AD=AB，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，∵∠ECF=60°，∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACF，在△BCE和△ACF中，∴△BCE≌△ACF．②∵△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，∴AD=2AB=4x，∴AH=AD﹣DH=3x，∵CH⊥AD，∴AC==2x，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACH=60°，∵∠ECF=60°，∴∠HCF=∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴==2，∴AE=2FH．（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵∠AFC+∠CFN=180°，∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，∴△CFN∽△CEM，∴=，∵AB•CM=AD•CN，AD=3AB，∴CM=3CN，∴==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，∵∠MAH=60°，∠M=90°，∴∠AHM=∠CHN=30°，∴HC=2a，HM=a，HN=a，∴AM=a，AH=a，∴AC==a，AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM= a，∴==．故答案为．14、【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=AC，FG=BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．15、【解答】解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，∴AH=BH，在△BHD和△AHC中，，∴△BHD≌△AHC，∴BD=AC，（2）①如图，在Rt△AHC中，∵tanC=3，∴=3，设CH=x，∴BH=AH=3x，∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1，∴AH=3，CH=1，由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，∴∠EHA=∠FHC，，∴△EHA≌△FHC，∴∠EAH=∠C，∴tan∠EAH=tanC=3，过点H作HP⊥AE，∴HP=3AP，AE=2AP，在Rt△AHP中，AP2+HP2=AH2，∴AP2+（3AP）2=9，∴AP=，∴AE=；②由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，∴∠GAH=∠HCG=90°，∴△AGQ∽△CHQ，∴，∴，∵∠AQC=∠GQE，∴△AQC∽△GQH，∴=sin30°=．16、【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正确，设PB=x，则CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴=，∴CM=x（4﹣x），∴S=[4+x（4﹣x）]×4=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，四边形A M C B∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y=，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∵AM==，∴AG最小时AM最小，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=（x﹣1）2+3，∴x=1时，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=z，∴z+z=4，∴z=4﹣4，∴PB=4﹣4故⑤正确．故答案为①②⑤．：当y=0时，2x+3=0，x=﹣17、【解答】解：（1）直线l1与x轴坐标为（﹣，0）则直线l1：当y=3时，2x﹣3=3，x=3直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；则直线l2（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，则Rt△ABP≌Rt△PNM，∴AB=PN=4，MN=BP，设M（x，2x﹣3），则MN=x﹣4，∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），x=，∴M（，）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M（x，2x﹣3），1过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），∴x+3﹣（2x﹣3）=4，x=2∴M1（2，1）；设M2（x，2x﹣3），同理可得x+2x﹣3﹣3=4，∴x=，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；（3）x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤或≤x ≤2．。
2020年九年级数学中考复习：《四边形》压轴专题训练(解析版)
《四边形》压轴专题训练1．已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN＝，请求出四边形ABED的⾯积．2．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长．3．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N 在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．4．如图，在△ABC中，tan∠ABC＝，∠C＝45°，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE ∥BC，BD＝DE＝5，动点P从点B出发，沿B﹣D﹣E﹣C向终点C运动，在BD﹣DE上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒个单位长度的速度运动，过点P作PQ ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点B、点N始终在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S．（1）当点P在BD﹣DE上运动时，用含t的代数式表示线段DP的长．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当点P在DE上运动时，求S与t之间的函数关系式．（4）当点P出发时，有一点H从点D出发，在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D ﹣E﹣D连续做往返运动，直至点P停止运动时，点H也停止运动．连结HN，直接写出HN 与DE所夹锐角为45°时t的值．5．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．6．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．7．在四边形ABCD中，E为BC边中点．（Ⅰ）已知：如图1，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD＝AB+CD；（Ⅱ）已知：如图2，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，点F，G均为AD 上的点，AF＝AB，GD＝CD．求证：（1）△GEF为等边三角形；（2）AD＝AB+BC+CD．8．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．9．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB 上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．11．在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交AB（或AB的延长线）于点N，连接CN．感知：如图①，当M为BD的中点时，易证CM＝MN．（不用证明）探究：如图②，点M为对角线BD上任一点（不与B、D重合）．请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论．应用：（1）直接写出△MNC的面积S的取值范围；（2）若DM：DB＝3：5，则AN与BN的数量关系是．12．已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点M，已知BC＝5，点E在射线BC上，tan∠DCE＝，点P从点B出发，以每秒2个单位沿BD方向向终点D匀速运动，过点P作PQ⊥BD交射线BC于点O，以BP、BQ为邻边构造▱PBQF，设点P的运动时间为t（t ＞0）．（1）tan∠DBE＝；（2）求点F落在CD上时t的值；（3）求▱PBQF与△BCD重叠部分面积S与t之间的函数关系式；（4）连接▱PBQF的对角线BF，设BF与PQ交于点N，连接MN，当MN与△ABC的边平行（不重合）或垂直时，直接写出t的值．14．在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，过点C作CD∥AB 交∠CAM的平分线于点D．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，连接BD，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形（不包含△CDE），使写出的每个三角形的面积与△CDE的面积相等．15．探索发现：如图①，△DEC与△ABC均为等腰直角三角形，∠E＝∠ABC＝90°，点A在边CD上，B在边EC上，把△DEC绕C点旋转α（0°＜α＜180°）得到图②，在图②中连接AD、BE交于点P，则图②中：（1）∠APB＝；△BCE与△ACD的关系为．（2）连接图②中的AE、BD，如图③所示，若CE＝3BC＝3，则在旋转的过程中，四边形ABDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理由；创新应用：（3）如图④，四边形ABCE中，AB＝BC，∠ABC＝90°，CE＝2，AE＝4，连接BE，请求出BE的最大值，并说明理由．（4）如图⑤，BE、AC为四边形ABCE的对角线，CE＝2，∠CAE＝60°，∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，连接BE，请直接写出BE的最大值．参考答案1．解：（1）∵BC＝AC，CD＝CE，∴BD＝AE，∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，∴OM∥BD且OM＝BD，ON∥AE且ON＝AE，∴OM＝ON，∠AOM＝∠ABD＝45°，∠BON＝∠BAE＝45°，∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（45°+45°）＝90°∴△OMN是等腰直角三角形．（2）（1）中的结论成⽴．理由如下：如图2，连接BD，∵△CDE顺时针旋转90°，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，∴OM∥BD且OM＝BD，ON∥AE且ON＝AE，∴OM＝ON，∠AOM＝∠ABD，∠BON＝∠BAE，∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（∠ABD+∠BAE）＝180°﹣（∠ABD+∠CBD+∠BAC）＝180°﹣（∠ABC+∠BAC），∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴∠MON＝180°﹣90°＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形．（3）如图，连接AE、BD，由（2）同理可证△OMN为等腰直角三角形．∴MN＝OM．又∵OM＝BD，∴MN＝BD，BD＝MN＝＝2，∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，∵∠BCA＝90°，∴∠AHB＝90°，∴BD⊥AE，∴四边形ABED的面积为．2．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝2，∴t＝2时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．3．（1）解：如图1中，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，∴∠BDA＝∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴E、C重合时BF＝BD＝AB，在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2+BF2，∴（2）2＝（2BF）2+BF2，∴BF＝2，AB＝4，在Rt△ABD中，AD＝＝4；（2）证明：如图2中，在AF上截取AK＝HD，连接BK，∵∠AFD＝∠ABF+∠2＝∠FGD+∠3，∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3，在ABK和△DBH中，，∴△ABK≌△DBH，∴BK＝BH，∠6＝∠1，AK＝DH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠4＝∠1＝∠6＝45°，∴∠5＝∠ABD﹣∠6＝45°，∴∠5＝∠1，在△FBK和△FBH中，，∴△FBK≌△FBH，∴KF＝FH，∵AF＝AK+KF，∴AF＝DH+FH；（3）解：连接AN并延长到Q，使NQ＝AN，连接GQ，取AD的中点O，连接OG，∵∠AGD＝90°，∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且OG＝4，∴OQ＝10，OG＝4，∴GQ最小值为6，∵MN是△AGQ的中位线，∴MN的最小值为3．4．解：（1）当0＜t≤1时，DP＝5﹣5t．当1＜t≤2时，DP＝5t﹣5．（2）如图1中，在Rt△BDM中，∵∠DMB＝90°，tan B＝＝，BD＝5，∴DM＝4，BM＝3，∵DP＝DM，∴5t﹣5＝4，解得：．（3）①如图2﹣1中，当1≤t≤时，重叠部分是四边形BQPD，S＝．②如图2﹣2中，当＜t≤时，重叠部分是五边形MQPDK，S＝．③如图2﹣3，当＜t≤2时，重叠部分是正方形PQMN，S＝16．综上所述，S＝．（4）如图3﹣1中，作HK⊥NP交NP的延长线于K．由题意∠HNK＝45°，∵HK⊥NK，∴△NHK是等腰直角三角形，∴NK＝HK，可得4t+3﹣3t+5t＝4﹣4t，解得t＝0.1．如图3﹣2中，当2＜t＜3时，满足EH＝PN，条件成立．可得：5﹣5（t﹣2）＝（4﹣2（t﹣2）），解得．如图3﹣2中，当t＞3时，满足EH＝PN，条件成立．可得5（t﹣3）＝（4﹣2（t﹣2），解得．综上所述，满足条件的t的值为0.1或或．5．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．6．解：（1）如图1中，∵MN∥B′D′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°，∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°，∴∠C′MN＝∠C′NM，∴C′M＝C′N，∵C′B′＝C′D′，∴MB′＝ND′，∵AB′＝AD′，∠AB′M＝∠AD′N＝90°，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠B′AD′＝90°，∠MAN＝45°，∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAB′＝22.5°，∴α＝22.5°．（2）①如图2中，∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°，AQ＝AQ，AB′＝AD，∴Rt△AQB′≌Rt△AQD（HL），∴∠QAB′＝∠QAD，∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AD＝30°，∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．②如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AE＝EP，连接EP．设PB＝a．∵∠ABP＝∠AB′P＝90°，AP＝AP，AB＝AB′，∴Rt△APB≌Rt△APB′（HL），∴∠BAP＝∠PAB′＝15°，∵EA＝EP，∴∠EAP＝∠EPA＝15°，∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°，∴PE＝AE＝2a，BE＝a，∵AB＝6，∴2a+a＝6，∴a＝6（2﹣）．∴PB＝6（2﹣），∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6（2﹣）＝6﹣6，∵∠CPQ+∠BPB′＝180°，∠BAB′+∠BPB′＝180°，∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°，∴PQ＝＝＝12﹣4．7．（Ⅰ）证明：（1）如图1中，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SAS），（2）∵△ABE≌△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝BF，∵AE平分BC，∴BE＝CE，∴FE＝CE，∵∠AED＝∠AEF+∠DEF＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEF＝∠DEC，在△DEF和△DEC中，，∴△DEF≌△DEC（SAS），∴DF＝DC，∵AD＝AF+DF，∴AD＝AB+CD；（Ⅱ）证明：（1）如图2中，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC，同（1）得：△ABE≌△AFE（SAS），△DEG≌△DEC（SAS），∴BE＝FE，∠AEB＝∠AEF，CE＝EG，∠CED＝∠GED，∵BE＝CE，∴EF＝EG，∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，∴∠AEF+∠GED＝60°，∴∠FEG＝60°，∴△FEG是等边三角形．（2）由（1）可知FG＝GE＝EF＝BC，∵AD＝AG+GH+HD，∴AD＝AB+CD+BC．8．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CPM＝＝＝．9．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝CG＝4，∠B＝90°，∵AB＝CD＝2，∴DG＝＝＝2，∴AG＝AB﹣BG＝4﹣2，故答案为4﹣2．（2）如图2中，由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，∵点G在线段AE上，∴∠AGC＝90°，∵CA＝CA，CB＝CG，∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．∴∠ACB＝∠ACG，∵AB∥CD∴∠ACG＝∠DAC，∴∠ACH＝∠HAC，∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，∴m2＝22+（4﹣m）2，∴m＝，∴AH＝，GH＝＝＝．（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，最小值＝×OG×EG＝×2×（4﹣）＝4﹣．当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大．最大值＝×E′G′×OG′＝×2×（4+）＝4+综上所述，4﹣≤S≤4+．10．解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝＝＝．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝x，AM＝x，KQ＝BQ＝，BK＝BQ＝，∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝，∵QN＜QK，∴x＜，∴x＜，∴y＝PM•MK＝（0≤x＜）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB 交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝NQ＝PM＝x，PC＝8﹣x，∴x＝•（8﹣x），解得x＝．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝•x，解得x＝，综上所述，满足条件x的值为或．11．解：探究：如图①中，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，∴ME＝BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME＝MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠FME＝90°，∴∠CME＝∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN＝MC；应用：（1）当点M与D重合时，△CNM的面积最大，最大值为18，当DM＝BM时，△CNM的面积最小，最小值为9，综上所述，9≤S＜18．（2）如图②中，由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴＝＝＝，∵AN＝BC＝6，∴AF＝3.6，CE＝3.6，∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝3.6，∴AN＝7.2，BN＝7.2﹣6＝1.2，∴AN＝6BN，故答案为AN＝6BN．12．（1）证明：连接FD，∵AD＝ED，∠ADE＝90°，∴∠DAC＝∠AED＝45°，∵四边形BCEF是平行四边形，∠BCE＝90°，∴四边形BCEF是矩形，∴∠CEF＝∠AEF＝90°，BC＝EF＝AC，∴∠DEF＝45°，∴∠A＝∠DEF，∴△ADC≌△EDF（SAS），∴DC＝DF，∠DCA＝∠DFE，∴∠FDC＝∠FEC＝90°，从而△DFC为等腰直角三角形，∴CD＝CF．（2）解：成立．理由：连接FD，∵AD⊥DE，EF⊥AC，∴∠DAC＝∠DEF，又AD＝ED，AC＝EF，∴△ADC≌△EDF（SAS），∴DC＝DF，∠ADC＝∠EDF，即∠ADE+∠EDC＝∠FDC+∠EDC，∴∠FDC＝∠ADE＝90°∴△DFC为等腰直角三角形，∴CD＝CF．（3）解：如图3﹣1中，设AE与CD的交点为M，∵CE＝CA，DE＝DA，∴CD垂直平分AE，∴＝，DM＝，∴CD＝DM+CM＝3，∵CF＝CD∴CF＝6．如图3﹣2中，设AE与CD的交点为M，同法可得CD＝CM﹣DM＝﹣＝2，∴CF＝CD＝4，综上所述，满足条件的CF的值为6或4．13．解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H．在Rt△BCD中，∵∠DHC＝90°，CD＝5，tan∠DCH＝，∴DH＝4，CH＝3，∴BH＝BC+CH＝5+3＝8，∴tan∠DBE＝＝＝．故答案为．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BC＝5，tan∠CBM＝＝，∴CM＝，BM＝DM＝2，∵PF∥CB，∴＝，∴＝，解得t＝．（3）如图3﹣1中，当0＜t ≤时，重叠部分是平行四边形PBQF ，S ＝PB •PQ ＝2t •t＝10t 2．如图3﹣2中，当＜t ≤1时，重叠部分是五边形PBQRT ，S ＝S平行四边形PBQF ﹣S △TRF ＝10t 2﹣•[5t ﹣（5﹣t ）]•[5t ﹣（5﹣t ）]＝﹣t 2+30t ﹣10．如图3﹣3中，当1＜t ≤2时，重叠部分是四边形PBCT ，S ＝S △BCD ﹣S △PDT ＝×5×4﹣•（5﹣t ）•（4﹣2t ）＝﹣t 2+10t ．（4）如图4﹣1中，当MN ∥AB 时，设CM 交BF 于T ．∵PN∥MT，∴＝，∴＝，∴MT＝，∵MN∥AB，∴＝＝＝2，∴PB＝BM，∴2t＝×2，∴t＝．如图4﹣2中，当MN⊥BC时，易知点F落在DH时，∵PF∥BH，∴＝，∴＝，解得t＝．如图4﹣3中，当MN⊥AB时，易知∠PNM＝∠ABD，可得tan∠PNM＝＝，∴＝，解得t＝，当点P与点D重合时，MN∥BC，此时t＝2，综上所述，满足条件的t的值为或或或2．14．（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠CAM＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，∵AD平分∠CAM，∴∠CAM＝∠MAD，∴∠ABC＝∠MAD，∴AD∥BC，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵∠ABC＝60°，AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．15．解：（1）如图2中，设EC交AD于O．∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，∴AC＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝45°，∴＝，∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴∠ODC＝∠OEP，∵∠COD＝∠EOP，∴∠OPE＝∠OCD＝45°，故答案为45°，△BCE∽△ACD．（2）如图③中，作EH⊥BA交BA的延长线于H，作BG⊥DE交DE的延长线于G．由题意CE＝3BC＝3，∴AB＝BC＝1，EC＝DE＝3，∵BE ≤BC +EC ，∴BE ≤4，∴当点E 在BC 的延长线上时BE 的值最大，最小值为4，∵S 四边形ABDE ＝S △ABE +S △BDE ＝•AB •EH +DE •BG ，又∵EH ≤BE ，BG ≤BE ，∴EH 与BG 的最大值为4，∴四边形ABDE 的面积的最大值＝×1×4+×4×3＝8．（3）如图④中，以EC 为直角边，向下作等腰直角△CEH （EC ＝EH ，∠CEH ＝90°），连接AH ．∵△ABC ，△CEH 都是等腰直角三角形，∴∴AC ＝CB ，CH ＝CE ，∠ACB ＝∠ECD ＝45°， ∴＝，∠ACH ＝∠BCE ，∴△ACH ∽△BCE ， ∴＝＝，∴BE ＝AH ，∵AH ≤EH +AE ，∴AH ≤2+4＝6，∴AH 的最大值为6，∴BE 的最大值＝6×＝3．故答案为3．。
经典初中数学三角形专题训练及例题解析
经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
中考数学复习 四边形专题训练
中考数学复习四边形专题训练一、选择题（每小题3分，共24分）1．在下列命题中，正确的是（）（A）一组对边平行的四边形是平行四边形．（B）有一个角是直角的四边形是矩形．（C）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（D）对角线互相垂直平分的四边形是正方形．2．如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB＜AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）（A）4cm．（B）6cm．（C）8cm．（D）10cm．（第2题）（第3题）（第4题）3．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）（A）43（B）33（C）42（D）8．4．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）（A）3对．（B）4对．（C）5对．（D）6对．5．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm，则梯形中位线的长等于（）（A）．（B）7cm．（C）．（D）6cm．6．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为（ ）（A ）10x =，14y =． （B ）14x =，10y =． （C ）12x =，15y =． （D ）15x =，12y =．（第6题） （第7题） （第8题）7．2002年8月在召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较大直角边为a ，较短直角边为b ，则34a b +的值为（ ）（A ）35． （B ）43． （C ）89． （D ）97． 8．如图，矩形ABCG （AB ＜BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是（ ） （A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3． 二、填空题（每小题3分，共18分）9．阳光广告公司为某种商品设计的商标图案如图所示，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都1，则红色的面积是___．（第9题） （第10题） （第11题）10．如图，梯形纸片ABCD ，已知AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝6，CD ＝3．将该梯形纸片沿对角线AC 折叠，点D 恰与AB 边上的E 点重合，则∠B ＝____________．11．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是____________． 12．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，如果AD ＝4，BC ＝8，∠B ＝60o ，那么这个等腰梯形的周长等于_____________．13．现有一X 长为40cm ，宽为20cm 的长方形纸片，要从中剪出长为18cm ，宽为12cm 的长方形纸片，则最多能剪出____________X ．14．在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水（如图所示），看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了文字应是______________． 三、解答题（每小题5分，共20分）15．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点E ．求证：BE ＝CD ．16．如图，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60o ），菱形ABCD的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上，在下面的菱形斜网格中画出示意图．ABCDE（直角三角形）（等腰梯形）（矩形）17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45o，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．（1）求证：AE∥BC；（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAD的平分线AE交BC 于E，F，G分别是AB，AD的中点．（1）求证：EF＝EG；（2）当AB与EC满足怎样的数量关系时，EG∥CD？并说明理由．四、解答题（每小题6分，共24分）19．如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE＝BF．请你以F 为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须研究一组线段相等即可）．20．如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角形的直角顶点放在P点处，并使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E点，写出图中与P A相等的线段，并说明理由．21．用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E．设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取什么值时，S最大？并求出S的最大值．22．如图①，在四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．（1）当点P与点B重合时，图①变为图②，若∠ABD＝90o，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图①，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？图①图②五、解答题（每小题7分，共14分）23．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．24．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD上运动．（1）设ND的长为x，用x表示点N到AB的距离，并写出x的取值X围；（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．D 二、填空题9．5 10．60o 11．AD ＝BC 12．20 13．3 14．菱形 三、解答题15．略． 16．略． 17．（1）略；（2）6． 18．（1）略；（2）AB ＝2EC ． 四、解答题19．FC ＝AE ，证明略． 20．PE ＝P A ，证明略． 21．4x =，max S = 22．（1）略；（2）BC ∥AD ． 五、解答题23．（1）4；（2）作FM ⊥DC ，连结GE ，S ＝6x -；（3）若S ＝1，则5x =，HG AE 6=>，点E 不在边AB 上，故不可能等于1．24．（1）()1202x -，015x ≤≤； （2）10x =时，五边形的面积最小，此时三角形为等腰三角形．。
中考数学冲刺专题训练(附答案)：三角形与四边形
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学冲刺专题训练（附答案）：三角形与四边形一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16 B ．12C ．14D ．12或16【答案】A 【解析】解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16， 故选：A ．2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B 【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠EBM=12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线， ∴∠ECM=12∠ACM ， 则∠BEC=∠ECM-∠EBM=12×（∠ACM-∠ABC ）=12∠A=30°， 故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．3D ．6【答案】D 【解析】∵∠C ＝90°，cos ∠BDC ＝57， 设CD ＝5x ，BD ＝7x ， ∴BC ＝6x ，∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ， ∴AD ＝BD ＝7x ， ∴AC ＝12x ， ∵AC ＝12， ∴x ＝1， ∴BC ＝6； 故选D.4．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A ．8 B ．12C ．16D ．32【答案】C 【解析】 如图所示：四边形ABCD 是菱形，12AO CO AC ∴==， 12DC BO BD ==，AC BD ⊥， 面积为28，∴12282AC BD OD AO ⋅=⋅=① 菱形的边长为6，2236OD OA ∴+=②，由①②两式可得：222()2362864OD AO OD OA OD AO +=++⋅=+=，8OD AO ∴+=，2()16OD AO ∴+=，即该菱形的两条对角线的长度之和为16， 故选C ．5．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DE B ．AC =DF C ．∠A =∠D D ．BF =EC【答案】C 【解析】解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误； 选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误． 故选C ．6．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于点E ，连接BE ，若ABCD 的周长为28，则ABE ∆的周长为（ ）A ．28B ．24C ．21D ．14【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，AB CD =，AD BC =， ∵平行四边形的周长为28， ∴14AB AD += ∵OE BD ⊥，∴OE 是线段BD 的中垂线， ∴BE ED =，∴ABE ∆的周长14AB BE AE AB AD =++=+=， 故选：D ．7．如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C 【解析】由折叠可得，90ACD ACE ︒∠=∠=，90BAC ︒∴∠=，又60B ︒∠=，30ACB ︒∴∠=，26BC AB ∴==，6AD ∴=，由折叠可得，60E D B ︒∠=∠=∠=，60DAE ︒∴∠=，ADE ∴∆是等边三角形， ADE ∴∆的周长为6318⨯=，故选：C ．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF 、有以下结论：①AN ＝EN ，②当AE ＝AF 时，BEEC＝2﹣2，③BE+DF ＝EF ，④存在点E 、F ，使得NF ＞DF ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 ①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM ＝∠ADM ＝∠FDN ＝∠ABD ＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM=，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90 AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt △CEF 中，OC ＝12EF ＝22x ， △EAF 中，∠EAO ＝∠FAO ＝22.5°＝∠BAE ＝22.5°， ∴OE ＝BE ， ∵AE ＝AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE （HL ）， ∴AO ＝AB ＝1， ∴AC ＝2＝AO+OC ，∴1+22x ＝2， x ＝2﹣2，∴BE EC ＝1(22)22---＝(21)(22)2-+＝22； 故②不正确； ③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF ＝AH ，∠DAF ＝∠BAH ， ∵∠EAF ＝45°＝∠DAF+∠BAE ＝∠HAE ， ∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°， ∴H 、B 、E 三点共线， 在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH （SAS ）， ∴EF ＝EH ＝BE+BH ＝BE+DF ， 故③正确；④△ADN 中，∠FND ＝∠ADN+∠NAD ＞45°， ∠FDN ＝45°， ∴DF ＞FN ，故存在点E 、F ，使得NF ＞DF ， 故④不正确； 故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 与点D ，连结AD ，若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是____________．【答案】34° 【解析】由作图过程可知BD=BA ， ∵∠B=40°， ∴∠BDA=∠BAD=12(180°-∠B)=70°， ∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°. 故答案为34°. 10．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE α=．连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则 a 的值为________．【答案】53或53【解析】 分两种情况：①当点B '落在AD 边上时，如图1． 四边形ABCD 是矩形，90BAD B ︒∴∠=∠=，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '︒∴∠=∠=∠=，AB BE ∴=，315a ∴=， 53a ∴=；②当点B '落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ︒∴∠=∠=∠=∠=，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，90B AB E '︒∴∠=∠=，1AB AB '==，35EB EB a '==，2221DB B A AD a ''∴=-=-，3255EC BC BE a a =-=-=． 在ADB '∆与B CE '∆中，90A 90B AD EBC B DD C ︒︒⎧∠=∠=-∠'''⎨∠=∠=⎩， ADB B CE ''∴∆⋃∆，DB AB CE B E'''∴=，即2112355a a a -=，解得153a =，20a =（舍去）． 综上，所求a 的值为53或53． 故答案为53或53． 11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90°得ABG ∆，则CF 的长为_____．【答案】6-25 【解析】作FM AD M FN AG N ⊥⊥于，于 ，如图，易得四边形CFMD 为矩形，则4FM ＝∵正方形ABCD的边长为4，点是的中点，2DE ∴＝，∴224225AE =+=∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ，∴252349090AG AE BG DE GAE ABG D ∠∠∠︒∠∠︒＝＝，＝＝，＝，＝，＝＝ 而90ABC ∠︒＝ ， ∴点G 在CB 的延长线上，∵AF 平分∠BAE 交BC 于点F ，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即F A 平分∠GAD ， ∴FN ＝FM ＝4， ∵11••22AB GF FN AG ＝, ∴425254GF ⨯==, ∴4225625CF CG GF +=-＝﹣＝﹣ ． 故答案为6-25．12．如图，在平面直角坐标系中，OA ＝1，以OA 为一边，在第一象限作菱形OAA 1B ，并使∠AOB ＝60°，再以对角线OA 1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA 1A 2B 1，再依次作菱形OA 2A 3B 2，OA 3A 4B 3，……，则过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-32018，3）2019） 【解析】过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，∵四边形OAA1B是菱形，∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，∴A1C＝32，AC＝12，∴OC＝OA+AC＝32，在Rt△OA1C中，OA1＝2213OC AC+=，∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，∴∠A3A2B1＝90°，∴∠A2B1A3＝60°，∴B1A3＝23，A2A3＝3，∴OA3＝OB1+B1A3＝33＝（3）3∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（3）2，设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B133）1，∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，23，∵菱形OA3A4B3的边长为333，∴OA4＝934，设B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（3）2，∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，33），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为（3）2019，OA2020＝（3）2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（3）2018，∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，∵2018÷12＝168…2，∴点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为（﹣（3）2018，（3）2019），即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为：（﹣（3）2018，（3）2019），故答案为：（﹣（3）2018，（3）2019）．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.=；（1）求证：BG DEFH=，求菱形ABCD的周长。
中考数学平面几何压轴(三角形与四边形)训练15题(精选无答案)
中考平面几何压轴（三角形与四边形）训练15题（精选）1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且对角线AC , BD 交于点O ，点M , N 分别在AD , BC 上，且AM = CN ,点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点.(1)求证:OE = OF ;(2)连接BM 交AC 于点H ,连接HE ，HF ;(i)如图2，若HE ∥AB ,求证: FH ∥AD ;(ii)如图3,若四边形ABCD 为菱形且DM = 2AM ,∠EHF=60°，求AC BD 的值.2.(1)如图①，在矩形ABCD 的AB 边上取一点E ，将ΔADE 沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的A′处，若AB =6，BC =10，求AEEB 的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B′处，若BC ·CE =24，AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在ΔABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AD =10，AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD+53EF 的值.3. 在正方形ABCD 中，AB =10, AC 是对角线，点O 是AC 的中点，点E 在AC 上，连接DE ，点C 关于DE 的对称点是C',连接DC' ,EC'.(1) 如图1，若DC'经过点O ,求证:OC ′CE = √22. (2) 如图2，连接CC'，BC',若∠ADC' = 2∠CBC',求CC'的长;(3) 当点B , C', E 三点共线时，直接写出CE 的长.4.如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．（1）求证：ED= EC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C 重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，已知AB= 1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．5.如图，在正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN.(1)如图1，若M，N都在线段BD上，且AN = NE，求∠MAN;(2)如图2.当点M在线段DB 延长线上时,AN = NE,(1)中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明;(3)如图3,若点M在DB的延长线上,N在BD的延长线上,且∠MAN=135°(i)AB=√6,MB=√3,求DN.(ii)求证:2AM2 - MB 2= MN2 - BN2.6.如图，在RtΔABC与RtΔBDE中,∠BAC=∠BDE=90°,∠ABC=∠DBE=α.（1)如图1,当α= 60°,且点E为BC的中点时,若AB=2,连接AD.求AD的长度；（2)如图2,若α≠ 60°,且点E为BC中点时,取CE中点F,连接AF、DF。
中考数学复习考点题型专题练习21 与三角形、四边形相关的压轴题
中考数学复习考点题型专题练习 专题21 与三角形、四边形相关的压轴题解答题1．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．(1)求点C的坐标；(2)求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；(3)在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，ABC 和BDE 都是等边三角形，点A 在DE 上．求证：以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC ，根据已知条件，可以证明DC AE =，120ADC =∠︒，从而得出ADC 为钝角三角形，故以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，点A 在EG 上．①试猜想：以AE 、AG 、AC 为边的三角形的形状，并说明理由． ②若2210AE AG +=，试求出正方形ABCD 的面积．3．（2022·海南）如图1，矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，点P 在边BC 上，且不与点B 、C重合，直线AP 与DC 的延长线交于点E ．(1)当点P 是BC 的中点时，求证：ABP ECP △≌△；(2)将APB △沿直线AP 折叠得到APB '，点B '落在矩形ABCD 的内部，延长PB '交直线AD 于点F ．①证明FA FP =，并求出在（1）条件下AF 的值；②连接B C '，求PCB '△周长的最小值；③如图2，BB '交AE 于点H ，点G 是AE 的中点，当2EAB AEB ∠=∠''时，请判断AB 与HG 的数量关系，并说明理由．4．（2022·吉林）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6cm =AB ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动．以PA 为一边作120APQ ∠=︒，另一边PQ 与折线AC CB -相交于点Q ，以PQ 为边作菱形PQMN ，点N 在线段PB 上．设点P 的运动时间为(s)x ，菱形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为2()cm y ．(1)当点Q 在边AC 上时，PQ 的长为cm ；（用含x 的代数式表示）(2)当点M 落在边BC 上时，求x 的值；(3)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．5．（2022·黑龙江牡丹江）在菱形ABCD和正三角形BGF中，60∠=︒，P是DF的中ABC点，连接PG、PC．(1)如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）(2)如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；(3)如图3，当点F 在CB 的延长线上时，线段PC 、PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．6．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，90AEF ∠=︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证AE EF =．（提示：取AB 的中点G ，连接EG ．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；(2)如图1，若点E 是BC 边上任意一点（不与B 、C 重合），其他条件不变．求证：AE EF =；(3)在（2）的条件下，连接AC ，过点E 作EP ⊥AC ，垂足为P ．设=BEk BC，当k 为何值时，四边形ECFP 是平行四边形，并给予证明．7．（2022·福建）已知ABC DEC ≌△△，AB ＝AC ，AB ＞BC ．(1)如图1，CB 平分∠ACD ，求证：四边形ABDC 是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE 绕点C 逆时针旋转（旋转角小于∠BAC ），BC ，DE 的延长线相交于点F ，用等式表示∠ACE 与∠EFC 之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE 绕点C 顺时针旋转（旋转角小于∠ABC ），若BAD BCD ∠=∠，求∠ADB 的度数．8．（2022·湖南衡阳）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒）．(1)当点M 与点B 重合时，求t 的值；(2)当t 为何值时，APQ 与BMF 全等；(3)求S 与t 的函数关系式；(4)以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t ≤≤时，求点E 运动路径的长．9．（2022·浙江金华）如图，在菱形ABCD中，310,sin5AB B==，点E从点B出发沿折线B C D--向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．(1)如图1，点G在AC上．求证：FA FG=．(2)若EF FG=，当EF过AC中点时，求AG的长．(3)已知8FG=，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与BEF相似（包括全等）？10．（2022·四川南充）如图，在矩形ABCD 中，点O 是AB 的中点，点M 是射线DC 上动点，点P 在线段AM 上（不与点A 重合），12OP AB =．(1)判断ABP △的形状，并说明理由．(2)当点M 为边DC 中点时，连接CP 并延长交AD 于点N ．求证：PN AN =．(3)点Q 在边AD 上，85,4,5AB AD DQ ===，当90CPQ ∠=︒时，求DM 的长．11．（2022·湖北武汉）已知CD 是ABC 的角平分线，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，AD m =，BD n =，ADE 与BDF 的面积之和为S ．(1)填空：当90ACB ∠=︒，DE AC ⊥，DF BC ⊥时，①如图1，若45B ∠=︒，m =n =_____________，S =_____________；②如图2，若60∠=︒，m=n=_____________，S=_____________；B(2)如图3，当90∠=∠=︒时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：ACB EDF(3)如图4，当60n=时，请直接写出S的大小．ACB∠=︒，120∠=︒，6EDFm=，412．（2022·山东临沂）已知ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线∠的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的段AC上的位置发生变化时，DPQ条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．13．（2022·江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处，并绕点O 逆时针旋转，探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，重叠部分的面积为__________；当OF 与BC 垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________； (2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处，在旋转过程中，,OE OP 分别与正方形的边相交于点M ，N ．①如图2，当BM CN =时，试判断重叠部分OMN 的形状，并说明理由； ②如图3，当CM CN =时，求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）； (3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处，该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=），将GOH ∠绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，GOH ∠的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为2S ，请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），（参考数据：sin15tan152︒=︒=︒=-14．（2022·贵州贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在ABCD □中，AN 为BC 边上的高，AD m AN=，点M 在AD 边上，且BA BM =，点E 是线段AM 上任意一点，连接BE ，将ABE △沿BE 翻折得FBE ．(1)问题解决：如图①，当60BAD ∠=︒，将ABE △沿BE 翻折后，使点F 与点M 重合，则AM AN=______；(2)问题探究：如图②，当45BAD ∠=︒，将ABE △沿BE 翻折后，使EF BM ∥，求ABE ∠的度数，并求出此时m 的最小值；(3)拓展延伸：当30BAD ∠=︒，将ABE △沿BE 翻折后，若EF AD ⊥，且AE MD =，根据题意在备用图中画出图形，并求出m 的值．15．（2022·吉林长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A 4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A 4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD =．他先将A 4纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E ，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H ，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想ADG AFG △≌△．【问题解决】(1)小亮对上面ADG AFG △≌△的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形ABCD 是矩形，∴90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=︒． 由折叠可知，1452BAF BAD ∠=∠=︒，BFA EFA ∠=∠．∴45EFA BFA ∠=∠=︒． ∴AF AD ==．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)DAG ∠的度数为________度，FG AF的值为_________； (3)在图①的条件下，点P 在线段AF 上，且12AP AB =，点Q 在线段AG 上，连结FQ 、PQ ，如图②，设AB a ，则FQ PQ +的最小值为_________．（用含a 的代数式表示）16．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交CD 边于G 点．求证：BFG BCG △≌△（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且8,6,AD AB ==将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交BC 边于点,G 延长BF 交CD 边于点,H 且,FH CH =求AE 的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD 中，E 为CD 边上的三等分点，60,D ∠=︒将ADE 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点,P 求CP 的长．17．（2022·黑龙江）ABC和ADE都是等边三角形．(1)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA PB PC+=）成立；请证明．(2)将ADE绕点A旋转到图②的位+=（或PA PC PB置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．18．（2022·辽宁锦州）在ABC中，AC BC=，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE CD=，过点E作EF AB⊥，交直线AB于点F．(1)如图1，若120ACB ∠=︒，请用等式表示AC 与EF 的数量关系：____________．(2)如图2．若90ACB ∠=︒，完成以下问题：①当点D ，点F 位于点A 的异侧时，请用等式表示,,AC AD DF 之间的数量关系，并说明理由；②当点D ，点F 位于点A 的同侧时，若1,3DF AD ==，请直接写出AC 的长．19．（2022·广西）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．(1)如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：(3)如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．20．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．21．（2022·陕西）问题提出(1)如图1，AD 是等边ABC 的中线，点P 在AD 的延长线上，且AP AC =，则APC ∠的度数为__________． 问题探究(2)如图2，在ABC 中，6,120CA CB C ==∠=︒．过点A 作AP BC ∥，且AP BC =，过点P 作直线l BC ⊥，分别交AB BC 、于点O 、E ，求四边形OECA 的面积． 问题解决(3)如图3，现有一块ABC 型板材，ACB ∠为钝角，45BAC ∠=︒．工人师傅想用这块板材裁出一个ABP △型部件，并要求15,BAP AP AC ∠=︒=．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C 为圆心，以CA 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ； ②作CD 的垂直平分线l ，与CD 于点E ； ③以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧，交直线l 于点P ，连接AP BP 、，得ABP △． 请问，若按上述作法，裁得的ABP △型部件是否符合要求？请证明你的结论．。
初中数学三角形专题训练50题含答案
初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知AO=OB ，OC=OD ，AD 和BC 相交于点E ，则图中全等三角形有（ ）对．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 2．两个同心圆的半径分别是 5 和 4，则长为 6 的大圆的弦一定和小圆（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定 3．在△ABC 中，AB =8，BC =15，AC =17，则下列结论正确的是( ) A ．△ABC 是直角三角形，且△A =900B ．△ABC 是直角三角形，且△B =900 C ．△ABC 是直角三角形，且△C =900D ．△ABC 不是直角三角形 4．若菱形ABCD 的对角线8AC =，60ABC ∠=，则菱形ABCD 的面积为（ ） A ．16 B ．C ．D ．5．用10根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不允许剩余，重叠和折断），这个三角形一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形 6．下列命题：△任何实数的0次幂都等于1；△有两个角相等的等腰三角形是等边三角形；△三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三条边的距离相等；△若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形．正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．菱形的两条对角线分别是12和16，则该菱形的边长是( )A ．10B ．8C ．6D ．5 8．如图，下列条件中，不能证明△ABC △△DCB 的是（ ）A ．AB ＝DC ，AC ＝DBB ．AB ＝DC ，△ABC ＝△DCB C ．△ACB ＝△DBC ，△A ＝△D D ．AB ＝DC ，△DBC ＝△ACB 9．如图，把ABC 纸片沿EG 折叠，当点A 落在ABC 外部的点F 处，此时测得2104∠=︒，30A ∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．40︒B ．44︒C ．46︒D ．48︒ 10．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 、AF 交于点G ，AF 的中点为H ，连接BG 、DH ．给出下列结论：△AF DE ⊥；△85DG =；△HD BG ∥；△ABG 与DFH 相似．其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．411．下列条件中，能判定△ABC△△DEF 的是( )A ．AB=DE ，BC=EF ，△A=△EB ．△A=△E ，AB=EF ，△B=△DC ．△A=△D ，△B=△E ，△C=△F D ．△A=△D ，△B=△E ，AC=DF 12．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，点P 是ABC 所在平面内一点，则222PA PB PC ++取得最小值时，下列结论正确的是（ ）A ．点P 是ABC 三边垂直平分线的交点B ．点P 是ABC 三条内角平分线的交点 C ．点P 是ABC 三条高的交点D ．点P 是ABC 三条中线的交点13．下列命题中，真命题是（ ） A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等14．已知直角三角形两边的长分别为6和8，则此三角形的周长为（ ）A ．24B ．14C ．14+24D ．14+15．如图，点A 的坐标为（﹣3，2），△A 的半径为1，P 为坐标轴上一动点，PQ 切△A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（﹣2，0）D ．（﹣3，0） 16．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n + 17．如图，若 AC 、BD 、EF 两两互相平分于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．27cmB ．228cmC ．242cmD ．249 cm 19．如图，在□ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE △AB ，垂足E 在线段AB上，连接EF 、CF ，则下列结论中：△△DCF ＝12△BCD ；△EF ＝CF ；△S △BEC ＜2S △CEF ；△△DFE ＝4△AEF ．一定成立的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．420．如图，等边ABC 内部有一点D ，3DB =，4DC =，150BDC =∠︒，在AB 、AC 上分别有一动点E 、F ，且AE AF =，则DE DF +的最小值是( )A ．5B ．C ．D ．7二、填空题21．等腰三角形的两边长为2和3，则等腰三角形的周长为________．22．若3，m ，5=______． 23．如图，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，且BP ＝BC ，则△DPC ＝______°．24．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，70B ∠=︒，D ，E 分别是边AB 、AC 上的点，将A ∠沿DE 折叠，使点F 落在AB 的下方，当FDE 的边EF 与BC 平行时，ADE ∠的度数是_________．25．《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）．26．如图，ABC ∆和ABE 关于直线AB 对称，ABC ∆和ADC ∆关于直线AC 对称，CD 与AE 交于点F ，若32ABC ∠=︒，18ACB ∠=︒，则CFE ∠的度数为______．27．如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．28．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝40°，CD ∥AB ，则△BCD 的度数是______．29．如图△ABC 中，△A =96°，延长BC 到D ，△ABC 的平分线与△ACD 的平分线交于点A 1，△A 1BC 的平分线与△A 1CD 的平分线交于点A 2，以此类推，△A 4BC 的平分线与△A 4CD 的平分线交于点A 5，则△A 5的大小是___30．ABC 中，AB 15=，BC 12=，AC 9=，圆O 是ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为________．（结果不取近似值）31．如图所示，一水库迎水坡AB 的坡度1:2i =，则求坡角α的正弦值sin α______．32．一根旗杆在离地面4.5 m 的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6 m 外，则旗杆折断前的高度是________．33．如图，O 的弦AB 长为2，CD 是O 的直径，30,15ADB ADC ∠=︒∠=︒．△O 的半径长为_________．△P 是CD 上的动点，则PA PB +的最小值是_________．34．直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为___________．35．如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是____.36．在等边ABC 中，点D 在BC 边上，若4AB =，AD =BD 的长为______．37．如图，已知△MON =30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1=2，则△A 5B 5A 6的边长为________．38．已知点G是面积为227cm的ABC的重心，那么AGC的面积等于____39．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.40．如图，平行四边形ABCD中，点P为边AD上一个动点，连接BP，将线段PB绕点B逆时针旋转60°得到BQ，连接AQ，若△ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，则线段AQ 的取值范围是______．三、解答题41．如图，已知ACB DBC AC BD，，求证：A D∠=∠=∠=∠．∠交AC于点D，E为AB中点，过点A作42．已知：如图ABC中，BD平分ABCAF BD，交DE延长线于点F.∥(1)求证：AF BD=(2)当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形?请证明你的结论.43．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，△B＝90°，连接AC．(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？44．尺规作图=．（保留作图痕迹，不如图，ABC中，2B C∠=∠，在AC边上找一点P，使PB PC写作法）45．如图，在直角△ABC中，△ACB=90°，CD是高，△1=35°，求△2、△B与△A的度数.46．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：△AED△△CFB；（2）试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．47．如图，在△ABC 中，△ABC ＝△ACB ，E 为BC 边上一点，以E 为顶点作△AEF ，△AEF 的一边交AC 于点F ，使△AEF ＝△B ．(1)如果△ABC ＝40°，则△BAC ＝ ；(2)判断△BAE 与△CEF 的大小关系，并说明理由；(3)当△AEF 为直角三角形时，求△AEF 与△BAE 的数量关系．48．如图，在平面直角坐标系内有一正方形OABC ，点C 坐标为(0,4)，点D 为AB 的中点，直线142y x =-+经过点C ，D 并交x 轴于点E ，BCD △沿着CD 折叠，顶点B 恰好落在OA 边上方F 处，连接BE ，点P 为直线CD 上的一动点，点Q 是线段BE 的中点．连接BP ，PQ ．（1）求点F 的坐标；（2）求出点P 运动过程中，PO PA +的最小值；（3）是否存在点P ，使其在运动过程中满足EQP EBC △∽△，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．49．在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90°至CE ，连结DE ，过C 作CF DE ⊥交AB 于F ，连结BE ．（1）求证：AD BE=．（2）试探索线段AD，BF，DF之间满足的等量关系，并证明你的结论．（3）若15CD=，求BF．ACD=︒∠，1（注：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）50．如图1，在ABC中，△A＝90°，AB＝AC+1，点D，E分别在边AB，AC 上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，如图2，连接CE，BD，CD．(1)当0°＜α＜90°时，求证：CE＝BD；(2)如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)在旋转过程中，求BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．参考答案：1．D【分析】由条件可证△AOD △△BOC ，可得△A ＝△B ，则可证明△ACE △△BDE ，可得AE ＝BE ，则可证明△AOE △△BOE ，可得△COE ＝△DOE ，可证△COE △△DOE ，可求得答案．【详解】解：在△AOD 和△BOC 中OA OBAOD BOC OD OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ △△AOD △△BOC （SAS ），△△A ＝△B ，△OC ＝OD ，OA ＝OB ，△AC ＝BD ，在△ACE 和△BDE 中A BAEC BEDAC BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACE △△BDE （AAS ），△AE ＝BE ，在△AOE 和△BOE 中OA OBA BAE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOE △△BOE （SAS ），△△COE ＝△DOE ，在△COE 和△DOE 中OE OECOE DOEOD OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△COE △△DOE （SAS ），故全等的三角形有4对，故选：D ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．2．B【分析】连接OB，作OC AB⊥，根据垂径定理求出132BC AB==，根据勾股定理求出OC，即可得到判断．【详解】解：连接OB，作OC AB⊥，△6AB=，△132BC AB==，在Rt OBC中，4OC=，△点C在小圆上，△OC AB⊥，△长为6的大圆的弦和小圆相切，故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系，正确理解垂径定理是解题的关键．3．B【详解】22281517+=, △△ABC是直角三角形，△AC是斜边,△△B=900,故B正确;故选B.4．C【分析】过A作AE△BC于E，由菱形性质和△ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，解Rt△ABE求得AE即可解答；【详解】解：由题意作图如下，过A作AE△BC于E，由菱形的性质可得：AB=BC，△△ABC=60°，△△ABC是等边三角形，△AB=BC=AC=8，Rt△ABE中，AE=AB sin△B=△菱形ABCD面积=BC•AE=故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数等知识；掌握菱形的性质是解题关键．5．B【分析】根据题意可知三角形的周长为10，再根据三角形的三边关系找到符合条件的三边，看符合哪类三角形即可．【详解】根据题意可知三角形的周长为10，又因为三角形任意两边之和大于第三边，△最大边要小于5，△三角形的三边可以为4，2，4或4，3，3．△这个三角形一定是等腰三角形．故选B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系及等腰三角形的判定．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．6．B【分析】根据0指数幂的定义，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定，线段垂直平分线性质逐个进行判断即可．【详解】解：△0的0次幂不存在，△△错误；△有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故△错误；△三角形三条边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故△错误；△若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形，故△正确△正确的个数为：1个．故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，0指数幂的定义，等腰三角形性质，等边三角形的判定的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，任何不等于0的0次幂等于1，能理解性质和法则是解此题的关键．7．A【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分别为12和16，求得OA 与OB ，再由勾股定理即可求得菱形的边长．【详解】如图，△菱形ABCD 中，A C=12，BD =16，△OA =12AC =6，OB =12BD =8，AC △BD ，△AB ．即菱形的边长是10.故选：A.【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键．8．D【详解】解：根据题意知，BC =BC ．A 、由“SSS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；B 、由“SAS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；C 、由“AAS”可以判定△ABC △△DCB ，故本选项不符合题意；D 、由“SSA”不能判定△ABC △△DCB ，故本选项符合题意．故选：D ．9．B【分析】设EF 与AB 交于D ，由折叠可得30F A ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质得到21043074ADE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1ADE F ∠=∠-∠，则由1ADE F ∠=∠-∠，即可求解．【详解】解：设EF 与AB 交于D ，如图，△21043074ADE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又1ADE F ∠=∠-∠，1743044ADE F ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，故选：B ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形外角的性质与折叠的性质是解题的关键．10．B【分析】利用正方形的性质和线段中点性质，证明()SAS ADF DCE ≌，得到DAF CDE ∠=∠，即可判断△；利用勾股定理求AF =DG 的长，即可判断△；利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得到DH HF =，进而得到HDF HFD ∠=∠，然后根据平行线的性质，得到HDF HFD BAG ==∠∠∠，由勾股定理求出AG =△；根据ABG DFH ∽，得到ABG DHF =∠∠，又因为AB AG ≠，得到ABG AGB ∠≠∠，进而得到AGB DHF ≠∠∠，即可判断△． 【详解】解：四边形ABCD 为正方形，90ADC BCD ，AD CD BC ==， E 、F 分别是BC 、CD 的中点，11222DF CD BC EC ∴====， 在ADF △和DCE 中，AD CD ADC BCD DF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADF DCE ∴≌，DAF CDE ∴∠=∠，90ADG CDE ADC ∠+∠=∠=︒，90ADG DAF ∴∠+∠=︒，90AGD ∴∠=︒，AF DE ∴⊥，△结论正确；4AD =，122DF CD ==，AF ∴=，1122ADF S AD DF AG DG =⋅=⋅，AD DF DG AF ⋅∴==△结论错误； H 为AF 的中点，90ADC ∠=︒，12DH HF AF ∴=== HDF HFD ∴∠=∠，AB CD ∥，HFD BAG ∠=∠∴，HDF HFD BAG ∠=∠=∠∴，AG AD ==4AB =，52AG DF ∴==AB AB DH HF ==， AB AG DH DF∴=， ABG DFH ∴∽，△结论正确；ABG DHF ∴∠=∠，4AB =，AG = AB AG ∴≠，ABG AGB ∠≠∠∴，AGB DHF ∴∠≠∠，HD ∴与BG 不平行，△结论错误，综上可知，正确的结论为：△△，故选B ．【点睛】本题考查了三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的斜边中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题关键．11．D【详解】解：A ．AB=DE ，BC=EF ，△A=△E ，SSA 不能确定全等；B ．△A=△E ，AB=EF ，△B=△D ，AB 和EF 不是对应边，不能确定全等；C ．△A=△D ，△B=△E ，△C=△F ，AAA 不能确定全等；D ．△A=△D ，△B=△E ，AC=DF ，根据AAS ，能判断△ABC△△DEF ．故选D ．12．D【分析】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则222PA PB PC ++=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，可得P (2，83)时，222PA PB PC ++最小，进而即可得到答案．【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (6，0)，C (0，8)，设P (x ，y )，则222PA PB PC ++=()()22222268x y x y x y ++-+++-=22331216100x y x y +--+=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， △当x =2，y =83时，即：P (2，83)时，222PA PB PC ++最小， △由待定系数法可知：AB 边上中线所在直线表达式为：883y x =-+， AC 边上中线所在直线表达式为：243y x =-+， 又△P (2，83)满足AB 边上中线所在直线表达式和AC 边上中线所在直线表达式，△点P是ABC三条中线的交点，故选D．【点睛】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．13．D【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．【详解】A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误；C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误；D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．14．C【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于8是直角边还是斜边不能确定，故应分8是斜边或x为斜边两种情况讨论．【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x，△当8为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，10x=，此时这个三角形的周长=6+8+10=24；△当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，22x8627,此时这个三角形的周长=△此三角形的周长为：24．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，二次根式的化简，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15．D【分析】连接AQ、P A，如图，利用切线的性质得到△AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ=AP△x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【详解】解：连接AQ、P A，如图，△PQ切△A于点Q，△AQ△PQ，△△AQP＝90°，△PQ当AP的长度最小时，PQ的长度最小，△AP△x轴时，AP的长度最小，△AP△x轴时，PQ的长度最小，△A（﹣3，2），△此时P点坐标为（﹣3，0）．故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理，垂线段最短．16．C【分析】根据条件可得图1中△ABD△△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD△△ACD，△BDE△△CDE，△ABE△△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．【详解】解：△AD是△BAC的平分线，△△BAD=△CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，△BAD=△CAD，AD=AD，△△ABD△△ACD．△图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE△△ACE，△BE=EC，△△ABD△△ACD．△BD=CD，又DE=DE，△△BDE△△CDE，△图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．17．D【分析】根据AC、BD、EF两两互相平分于点O，则有OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；图中的对顶角有△AOB与△DOC，△AOE与△COF，△BOF与△DOE，△AOD与△BOC；根据两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS）可得△AOB△△DOC；△AOE△△COF；再利用前面所证全等三角形，易证四边形ABCD是平行四边形，故△BOF△△DOE；△AOD△△BOC．【详解】解：△AC、BD、EF两两互相平分于点O△OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；△△AOB=△DOC，△AOE=△COF，△BOF=△DOE，△AOD=△BOC；△△AOB△△DOC（SAS）△AOE△△COF（SAS）△OA＝OC，OB＝OD；△四边形ABCD是平行四边形，△ AD△BC，AD=BC△△EDO=△FBO，△AOD△△BOC△△BOF△△DOE故图中所有的全等三角形有6对，分别是△AOB△△DOC；△AOE△△COF；△BOF△△DOE；△AOD△△BOC；△ABD△△CDB；△ABC△△CDA．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定；找寻全等三角形时要从最明显的开始，由易到难，不重不漏．18．D【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题．【详解】解：△所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，△正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又△a2+b2=x2，c2+d2=y2，△正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．19．C【分析】△先证出AF =FD =CD ，得到△DFC =△DCF ，再根据平行线性质得到△DFC =△FCB ，即可得到△DCF =△BCF ，可得△DCF =12 △BCD ，故△正确；△做辅助线延长EF ，交CD 延长线于M ，先证△AEF △△DMF （ASA ），得到FE =MF 即12FE EM =，再通过在Rt ECM 中斜边上的中线等于斜边的一半得到12FC EM =，即可得到CF =EF ，故△正确；△根据EF =FM ，可得EFC CFM S S =，那么2ECM CFE S S =△△，再通过MC ＞BE ，得到BEC ECM S S △△＜，即2BEC CEF S S △△＜，故△的正确；△先证FC =FE ，设△FCE =x ，那么90DCF x ∠=︒-，再通过证△DCF =△DFC ，那么90DCF DFC x ∠=∠=︒-，则1802EFC x ∠=︒-，进一步证得9018022703EFD x x x ∠=︒-+︒-=︒-，即可证得3DFE AEF ∠=∠，故△错误．【详解】解：△△F 是AD 的中点，△AF =FD ，△在ABCD 中，AD =2AB ，△AF =FD =CD ，△△DFC =△DCF ，△//AD BC ，△△DFC =△FCB ，△△DCF =△BCF ，△△DCF =12△BCD ，故△正确；△延长EF ，交CD 延长线于M ，△四边形ABCD 是平行四边形，△//AB CD ，△△A =△MDF ，△F 为AD 中点，△AF =FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， △△AEF △△DMF （ASA ），△FE =MF ，即12FE EM =，△AEF =△M ， △CE △AB ，△△AEC=90°，△△AEC =△ECD =90°， △12FC EM =△12FE EM =， △CF =EF ，故△正确；△△EF =FM ，△EFC CFM S S =，△2ECM CFE S S =△△，△MC ＞BE ，△BEC ECM S S △△＜△2BEC CEF S S △△＜故△正确；△设△FEC =x ，△CE △AB ，//AB CD ，△90ECD BEC ∠=∠=︒，△F 是EM 的中点，△FC =FE ，△△FCE =x ，△90DCF x ∠=︒-，△//AD BC△△FCB =△DFC△△DCF ＝△FCB ；△△DCF =△DFC△90DCF DFC x ∠=∠=︒-△1802EFC x ∠=︒-，△9018022703EFD x x x ∠=︒-+︒-=︒-，△90AEF x ∠=︒-，△△DFE =3△AEF ，故△错误．综上所述正确的是：△△△．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键．20．A【分析】过C 作HC CD ⊥于C ，使CH BD =，连接DH ，FH ，根据SAS 证明BED CFH ≅△△，得出FH DE =，则DE DF FH DF +=+，当FH DF +的最小时，DE DF +最小，当D 、F 、H 在同一条直线时，FH DF +最小，根据勾股定理算出结果即可．【详解】解：如图，过C 作HC CD ⊥于C ，使CH BD =，连接DH ，FH ，90HCA ACD ∴∠+∠=︒，150BDC ∠=︒，18015030DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒，()ABD ACD ABC ACB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠+∠，△ABC 为等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，AB AC =，1203090ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒，HCA ABD ∴∠=∠， =AE AF ，BE CF ∴=，△在BED 和FCH 中BE CF HCA ABD CH BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BED CFH ∴≅△△，FH DE ∴=，DE DF FH DF ∴+=+，∴当FH DF +的最小时，DE DF +最小，∴当D 、F 、H 在同一条直线时，FH DF +最小，在Rt DCH △中，3CH =，4DC =，5DH ∴，△DE DF +的最小值是5，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明BED CFH ≅△△．21．7或8【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：△当腰长为2时，△当腰长为3时，解答出即可．【详解】解：根据题意，△当腰长为2时，周长=2+2+3=7；△当腰长为3时，周长=3+3+2=8，故答案为：7或8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．22．3m ﹣18．【分析】先根据三角形三边关系确定m 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简即可．【详解】△三角形的三边长分别为3、m 、5，△2＜m ＜8，=|2﹣m |﹣2|m ﹣8|=m ﹣2﹣2(8﹣m )=3m ﹣18．故答案为：3m ﹣18．【点睛】本题主要考查三角形三边关系和二次根式的性质，掌握三角形三边关系和二次根式的性质是解题的关键．23．112.5【分析】根据正方形的性质，可以得到△PBC 的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，求得△BPC 的度数，即可求得△DPC 的度数．【详解】解：△点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，△△PBC =45°，△BP =BC ，△△BPC =△BCP =180452︒-︒=67.5°， △△DPC =180°-△BPC =112.5°，故答案为：112.5．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．24．25︒或25度【分析】根据三角形内角和，得A ∠的角度，根据折叠得，A F ∠=∠，ADE EDF ∠=∠；又根据EF BC ∥，得90FEC C ∠=∠=︒，再根据三角形内角和，求出EGF ∠，最后根据三角形的外角和，即可求出ADE ∠．【详解】△ABC 中，90C ∠=︒，70B ∠=︒△18020A C B ∠=︒-∠-∠=︒△DEF 是DEA △折叠得到的△20A F ∠=∠=︒，ADE EDF ∠=∠△EF BC ∥△90FEC C ∠=∠=︒△18070EGF FEC F ∠=︒-∠-∠=︒△70EGF DGC ∠=∠=︒△70A ADG ∠+∠=︒△270A ADE ∠+∠=︒△25ADE ∠=︒．故答案为：25︒或25度．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形内角和、外角和定理． 25．26320x x --=【分析】先表示出BC 的长，再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：由题可知 1丈=10尺，门的对角线距离恰好为1丈，∴门的对角线距离恰好为10尺，△高比宽多6尺，设门高 AB 为x 尺，△()6BC x =-尺，△可列方程为：()222610x x +-=，整理得：26320x x --=故答案为：26320x x --=．【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．26．118【分析】根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案为：118°．【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．27．（6）（3）（5）【分析】利用全等图形的概念可得答案．【详解】解：（1）与（6）是全等图形，（2）与（3）（5）是全等图形，故答案为：（6），（3）（5）．【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．28．110°##110度【分析】根据等腰三角形性质，可得△B＝△ACB＝70°，再根据平行线的性质，即可求出△BCD的度数．【详解】解：△AB＝AC，△A＝40°，△△B＝△ACB＝12（180°－40°）＝70°，△CD AB∥，△△B＋△BCD＝180°，△△BCD＝110°．故答案为：110°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用已知条件，进行正确的推理计算．29．3°##3度【分析】先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求△A1=12△A，再依此类推得，△A 2=212△A ；…△A 5=512 △A ；找出规律，从而求△A 5的值． 【详解】△BA 1C +△A 1BC =△A 1CD ，2△A 1CD =△ACD =△BAC +△ABC ，△2(△BA 1C +△A 1BC )=△BAC +△ABC ，2△BA 1C +2△A 1BC =△BAC +△ABC ，而2△A 1BC =△ABC ，△2△BA 1C =△BAC ，同理，可得2△BA 2C =△BA 1C ，2△BA 3C =△BA 2C ，2△BA 4C =△BA 3C ，2△BA 5C =△BA 4 C ，△△BA 5C =12 △BA 4C =14△BA 3C =18 △BA 2C =116 △BA 1C =132 △BAC =96°÷32=3°， 故△A 5=3°．故答案为：3°．【点睛】此题考查三角形的外角性质，解题关键在于找到规律30．549π-【分析】由15AB =，12BC =，9AC =，得到222AB BC AC =+，根据勾股定理的逆定理得到ABC 为直角三角形，于是得到ABC 的内切圆半径1291532+-==，图中阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去圆的面积，分别利用它们的计算公式即可得到图中阴影部分的面积【详解】△ 15AB =，12BC =，9AC =，△ 222AB BC AC =+，△ ABC 为直角三角形，△ ABC 的内切圆半径1291532+-==， △ 图中阴影部分的面积2112935492ππ=⨯⨯-⋅=-． 故答案为549π-【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理，对于不规则图形的面积要灵活转化为规则图形的求法是解题的关键31 【分析】过点A 作AC BC ⊥于C ，根据坡度与坡角的概念得1tan 2AC BC α==，设AC x =，2BC x =，根据勾股定理求出AB 的长，再根据锐角三角函数的概念即可求出答案．【详解】过点A 作AC BC ⊥于C ，△AB 的坡度1:2i =， △1tan 2AC BC α==， 设AC x =，2BC x =，△AC BC ⊥，△AB ，△sinAC AB α==【点睛】本题考查了坡度坡角的知识与解直角三角形的知识，熟练掌握坡度坡角的概念与勾股定理的应用是解本题的关键．32．12米【详解】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB= =7.5（米）． 故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．故答案为：12米．33． 2 【分析】△连接,OA OB ，易证AOB 是等边三角形，弦AB 长为2，2OA OB ==，即可得到答案；△先证90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，再用勾股定理求出AE 即可．【详解】解：△连接,OA OB ，△30,ADB ∠=︒△60AOB ∠=︒,△OA OB =，△AOB 是等边三角形，△弦AB 长为2，△2OA OB ==，即O 的半径长为2，故答案为：2△△15ADC ∠=︒，△230AOC ADC ︒∠=∠=,△90BOC AOB AOC ∠=∠+∠=︒，延长BO 交O 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，连接BP ,则此时PA PB PA PE AE +=+=，即PA PB +的最小值是AE 的长，△60BAO ∠=︒，△2OA OE ==，△30OAE AEB ︒∠=∠=，△90BAE BAO OAE ∠=∠+∠=︒，△AE ==即PA PB+的最小值是故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．34．6【分析】利用勾股定理求解出另一条直角边，即可求解．【详解】解：△直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，△．×3×4=6．该直角三角形的面积S=12故答案为6．【点睛】本题考查了了勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理求直角边．35．36°【分析】如图所示，△ABF中，根据内角和外角的关系，△2=△A+△B；△EDG中，△1=△D+△E；根据三角形内角和等于180°，得到△1+△2+△C=180度．于是△A+△B+△C+△D+△E=180°，由于五个角的度数是相同，即可求得每一个角的度数．【详解】△△2=△A+△B；△1=△D+△E，△1+△2+△C=180°，△△A+△B+△C+△D+△E=180°，△五个角的度数是相同，则每一个角的度数都是180°÷5=36°，故答案为36°【点睛】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理，结合三角形内角和外角的关系，将所有角转化到一个三角形内，体现了数形结合思想和转化思想在解决数学问题时的魅力．36．1或3。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。
中考数学专题复习卷 三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。
2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。
3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。
4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。
初中数学 九年级中考复习 三角形 专题训练题(含答案)
三角形（中考复习专题）时间：40分钟分值：100分班级：_______姓名：__________得分：______一、选择题（本大题共5小题，每小题8分，共40分。
）1.(2020德阳)如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF 于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝( )A. 160°B. 110°C. 100°D. 70°2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( )第2题图A.8B. 11C. 16D. 173. 如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠ABD，AC＝24，△BCD的周长为34，则BD的长为( )第3题图A. 10B. 12C. 14D. 16 4．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ABC＝70°，∠CAD＝50°，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，AC＝3，四边形EFGH的周长为8，则AD长为( )A. 4B. 23C. 52D. 55. 如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为( )A. 120°B. 75°C. 60°D. 30°第II卷（非选择题）二、填空题（本题3小题，每小题10分，共30分）6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝________．7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____．8.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为____________．三、解答题（共2题，每题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．（1）求△ADO的周长；（2）求证：△ADO是直角三角形．10．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若半径OB=2，求AD的长．附加题（10分）：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AP＝1，若P为△ABC的布洛卡点，即∠1＝∠2＝∠3；(1)求证：△PBC∽△PCA；(2)求BP＋CP的值．参考答案1--5 B．B C A C 6.5 7.130°或90° 8.5利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴∠ADB=90°，∴AB=10==，∵E为AB的中点，∴DE=12AB=5，故答案为：5．9．（1）见解析；（2）【分析】（1）由于BO=BD=BC，根据等边三角形的判定和性质，三角形外角性质可得∠ODC=90°，从而根据切线的判定方法即可得到结论．（2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2， AB=2BO=4，根据勾股定理可求出AD．【详解】10解：（1）证明：如图，连接OD，∵BO=BD=DO，∴△OBD是等边三角形．∴∠OBD=∠ODB=60°．∵BD=BC，∴∠BDC=12∠OBD=30°．∴∠ODC=90°．∴OD⊥CD．∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°．∵BO=BD=2，∴AB=2BO=4．∴AD==．附加题：(1)证明：在等腰直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，∵∠1＋∠PBC＝∠3＋ACP＝45°，∴∠PBC＝∠ACP，∵∠2＝∠3，∴△APC∽△CPB，(2)∵△APC∽△CPB；∴ AP CP ACCP BP CB===∵AP＝1，∴CP＝，BP＝2，∴BP＋CP＝2＋。
初中数学四边形专题训练50题含答案
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对边平行且相等C ．对角线互相平分D ．对角相等 2．如图，在MON ∠的两边．上分别截取,OA OB ，使OA OB =；分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接,,,AC BC AB OC ．若2AB =，四边形OACB 的面积为4．则OC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．在ABCD 中，下列结论错误的是（ ）A ．//AB CD B ．B D ∠=∠C ．AC BD =D ．180C D ∠+∠=︒ 4．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，若∠A=60°，则∠1的度数为（ ）A ．120°B ．60°C ．45°D ．30° 5．若平行四边形中两个内角的度数比为1∠2，则其中较大的内角是（ ） A ．100° B ．60° C ．120° D ．90° 6．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，位似比为2:3，点B 、E 在第一象限．若点A 的坐标为()1,0，则点E 的坐标是（ ）A ．0)B ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．(2,2) 7．四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AD//BC ，为了判定四边形是平行四边形，还需一个条件，其中错误．．的是（ ） A ．AB//CD B ．∠A=∠C C ．AB=CD D ．AO=CO 8．一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．49．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 10．已知平行四边形ABCD 的周长为32，AB ＝4，则BC 的长为（ ）A ．4B ．12C ．24D ．48 11．如图,四边形ABCD 是矩形,,把矩形沿直线AC 折叠,点B 落在点E处,连结DE,则的值是（ ）A ．B ．C ．8D ．7：25 12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE=3，则BC 的长为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．813．如图，在矩形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，EO AC ⊥于点O ，交BC 于点E ，若ABE ∆的周长为8，3AB =，则AD 的长为 （ ）A ．2B ．5.5C ．5D ．414．如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则BE 的长是（ ）A ．B C ．2.5 D ．1.5 15．如图，在平行四边形ABCD 中，过点P 作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，那么图中共有（ ）平行四边形．A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个 16．如图，已知直线PQ CD ⊥于点P ，B 是CPQ ∠内部一点，过点B 作BA PQ ⊥于点A ，BC CD ⊥于点C ，四边形PABC 是边长为8cm 的正方形，N 是AB 的中点，动点M 从点P 出发，以2cm/s 的速度，沿P A B C →→→方向运动，到达点C 停止运动，设运动时间为()s t ，当CM PN =时，t 等于（ ）A ．2B ．4C ．2或4D ．2或617．如图，在菱形中，，，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为A ．B ．C ．D ． 18．如图，点EF 、分别是菱形ABCD 的边AD 、DC 的中点，如果阴影部分的面积和是10，则菱形对角线AC 与BD 的乘积AC BD ⋅等于（ ）A ．10B ．32C ．20D ．1619．如图，在正方形1ABCB 中，AB =AB 与直线l 所夹锐角为60，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ⋯，依次规律，则线段20212022A A =（ ）A ．20192⨯⎝⎭B ．20202⨯⎝⎭C ．20212⨯⎝⎭D ．20222⨯⎝⎭20．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，添加一个条件使平行四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．AD AB = B ．AB AD ⊥C ．AB AC =D ．CA BD ⊥二、填空题21．如图，这个图案是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺而成的，则这个图案中的等腰梯形的底角(指锐角)是_________度．22．如图，点E 在矩形ABCD 的对角线BD 上，EF BC ⊥于点F ，连接AF ，若5BC =，2EF =，则ABF △的面积为_________．23．已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为______．24．有一个边长为50cm 的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为_____．25．如图，Rt ABC 中，90C BC AC ∠=︒>，，以AB BC AC ，，三边为边长的三个正方形面积分别为1S ，2S ，3S ．若ABC 的面积为7，140S =，则32S S －的值等于______．26．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知50∠=︒，则BADCED'∠'的大小是_____27．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC'，则图中阴影部分的面积为__．28．用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成一个平行四边形（非矩形），所得的平行四边形的周长是______．29．如图，菱形ABCD中，点O为对角线AC的三等分点且AO＝2OC，连接OB，OD，OB＝OC＝OD，已知AC＝3，那么菱形的边长为_____．30．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA ＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____．31．在长方形ABCD中，10AB=，将长方形ABCD折叠，折痕为EF．AD=，8（1）如图1，当A'与B重合时，EF=_______；（2）如图1，当直线EF过点D时，点A的对应点A'落在线段BC上，则线段EF的长为______．32．如图，P 是▱ABCD 内的任意一点，连接P A 、PB 、PC 、PD ，得到△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论：∠S 1+S 3＝S 2+S 4，∠若S 3＝2S 1，则S 2＝2S 4，∠若S 1+S 3＝5，则ABCD 的面积为10；∠S 1+S 2＝S 3+S 4．其中正确的结论的序号是____________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．33．如图， 直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：∠AB BC ⊥；∠AC BD ⊥；∠//AB CD ；∠AO OC =．其中正确的结论有__．34．如图1是三国时期的数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”．将图2的矩形分割成四个全等三角形和一个正方形，恰好能拼成这样一个“勾股圆方图”，则该矩形与拼成的正方形的周长之比为________．35．如图，平行四边形ABCD 中，45B ∠=︒，7BC =，CD =E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，取CE ，DF 的中点G ，H ，连接GH ，则GH 的长度为__________．36．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将∠DCB绕着点D顺时针旋转45°得到∠DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：∠DE平分∠ADB；∠BE∠四边形AEGF是菱形；∠BC+FG=1.5．其中结论正确的序号是_______．37．如图，点E、F是平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，F与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q若S△APD=14cm2，S△BCQ=16cm2，四边形PEQF的面积为______．38．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为_____．39．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．三、解答题40．□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？41．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE CD =，连接AE ．(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)连接OE ，若60ABC ∠=︒，且8AD DE ==，求OE 的长．42．如图，点E 、F 分别在ABCD 的边AB 、CD 的延长线上，且BE ＝DF ，连接AC 、EF 、AF 、CE ，AC 与EF 交于点O ．（1）求证：AC 、EF 互相平分；（2）若EF 平分∠AEC ，判断四边形AECF 的形状并证明．43．正方形ABCD 的对角线交点为O ，连AE 交BC 于E ，交OB 于F ，2EC FO =，求证：AE 平分BAC ∠.44．如图，在三角形ABC 中，90C ∠=︒，四边形DEFC 是边长为4的正方形，且D 、E 、F 分别在边AC AB BC 、、上．把三角形ADE 绕点E 逆时针旋转一定的角度．(1)当点D 与点F 重合时，点A 的对应点G 落在边BC 上，此时四边形ACGE 的面积为___________；(2)当点D 的对应点1D 落在线段BE 上时，点A 的对应点为点1A ，在旋转过程中点A 经过的路程为1l ，点D 经过的路程为2l ，且12:3:2l l =，求线段1AD 的长． 45．如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=AB ，BF=BD ，连接CE ，DF ，相交于点M ．求证：CD=CM ．46．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∠BC ，AD ∠CD ，M 为腰AB 上一动点，联结MC 、MD ，AD ＝10，BC ＝15，cot B 512=．（1）求线段CD 的长．（2）设线段BM 的长为x ，∠CDM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．47．在Rt ABC 与Rt BDE 中，90ABC DBE ∠=∠=︒，AB BC =，BD BE =．(1)如图1，若点D ，B ，C 在同一直线上，连接AD ，CE ，则AD 与CE 的关系为_________；(2)如果将图1中的BDE △绕点B 在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断AD 与CE 的关系，并说明理由；(3)如图3，若6AB =，2BD =，连接AE ，分别取DE ，AE ，AC 的中点M ，P ，N ，连接MP ，NP ，MN ，将BDE △绕点B 在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中MPN△面积的最小值和最大值．48．如图，在矩形ABCD中，AD=4，CD=3，点E为AD的中点．连接CE，将∠CDE 沿CE折叠得∠CFE，CE交BD于点G，交BA的延长线于点M，延长CF交AB于点N．(1)求DG的长；(2)求MN的长．49．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．参考答案：1．A【分析】结合平行四边形的性质即可判定．【详解】结合平行四边形的性质可知选项B、C、D均正确，但平行四边形的对角线不垂直，则A不正确.故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是正确解题的关键．2．C【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：根据作图，AC＝BC＝OA，∠OA＝OB，∠OA＝OB＝BC＝AC，∠四边形OACB是菱形，∠AB＝2，四边形OACB的面积为4，∠12AB•OC＝12×2×OC＝4，解得OC＝4．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．3．C【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可．【详解】解：A、由平行四边形行两组对边分别平行可得//AB CD，故A正确；B、由平行四边形对角相等可得B D∠=∠，故B正确；C、AC、BD为平行四边形对角线，平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故C错误；D、由平行四边形行两组对边分别平行可得//AD BC，两直线平行同旁内角互补，可得180C D∠+∠=︒，故D正确．故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及其推论，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．4．B【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AD∠BC ，∠∠1=∠A=60°．故选B ．5．C【分析】据平行四边形的性质得出AB //CD ，推出∠B ＋∠C ＝180°，根据∠B ：∠C ＝1：2，求出∠C 即可．【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AB //CD ，∠∠B ＋∠C ＝180°，∠∠B ：∠C ＝1：2，∠∠C ＝23×180°＝120°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．6．B【分析】由题意可得:2:3OA OD =，又由点A 的坐标为()1,0，即可求得OD 的长，又由正方形的性质，即可求得E 点的坐标．【详解】解：∠正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为2:3， ∠:2:3OA OD =，∠点A 的坐标为()1,0，即1OA =， ∠32OD =， ∠四边形ODEF 是正方形，∠32 DE OD==．∠E点的坐标为：33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：B．【点睛】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．7．C【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A.根据两组对边分别平行可判定是平行四边形，不符合题意；B.根据平行线性质可得另一对内角相等，根据两组对角分别相等可判定是平行四边形，不符合题意；C.不能判定是平行四边形，可能是等腰梯形，符合题意；D.可通过全等证对角线互相平分，能判定是平行四边形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是熟知平行四边形的判定定理，准确进行判断．8．D【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和等于外角和列方程解答即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则()2180360n-⨯︒=︒，解得4n=，故选：D．【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和的计算，熟练掌握多边形内角和公式及外角和是解题的关键．9．C【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，HG，FG，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．【详解】解：如图所示，因为E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，因为E、F分别是AB、BC的中点，所以EF=12AC ，且EF∠AC同理可得HG=12AC ，且HG∠AC ， FG=12BD ，且FG∠BD ， EH=12BD ，且EH∠BD ， ∠EF∠HG ，HE ∠FG ，∠四边形EFGH 是平行四边形，又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD ，因此有EF=FG=GH=HE ，所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形．故选：C【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．10．B【详解】由题意得：2()32,4,12AB BC AB BC +===得： .故选B.11．D【详解】试题分析：从D,E 处向AC 作高DF,EH ．设AB=4k,AD=3k,则AC=5k ．由∠AEC的面积=4k×3k=5k×EH,得EH=95k k；根据勾股定理得CH=,∠四边形ACED是等腰梯形,∠CH=AF=95 k,所以DE=5k﹣95k×2=75k．所以DE：AC=75k：5k=7：25．故选D．考点：翻折变换．12．C【分析】由平行四边形的性质可得AD∠BC，且AD=BC，结合角平分线的性质可求得DE=DC=AB=4，则可求得AD的长，可求得答案．【详解】解：∠四边形ABCD为平行四边形，∠AB=CD=4，AD∠BC，AD=BC，∠∠DEC=∠BCE．∠CE平分∠BCD，∠∠DCE=∠BCE，∠∠DEC=∠DCE，∠DE=DC=4．∠AE=3，∠AD=BC=3+4=7．故选C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的性质求得DE=DC是解题的关键．13．C【分析】由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BC＝AD，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵△ABE的周长为8，∴AB+AE+BE＝8，∴3+BC＝8，∴AD ＝BC ＝5，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．14．D【分析】由矩形ABCD 中，四边形EGFH 是菱形，易证得()COF AOE AAS ≌，即可得OA OC =，然后由勾股定理求得AC 的长，继而求得OA 的长，又由AOE ABC ∽△△，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】解：如图，连接EF ，交AC 于O ，∠四边形EHFG 是菱形，EF AC OE OF ∴⊥=，，∠四边形ABCD 是矩形，90B D ∴∠=∠=︒，AB CD ∥，ACD CAB ∴∠=∠，在COF 与AOE △中，FCO OAE FOC AOE OF OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()COF AOE AAS ∴≌，AO CO ∴=，AC AB ==12AO AC ∴==， 90CAB CAB AOE B ∠=∠∠=∠=︒，，AOE ABC ∴∽，∠AO AE AB AC=，=， 2.5AE ∴=，1.5BE ∴=，故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解此题的关键．15．D【详解】∠AD∠BC 、AB∠CD ，EF∠AB ，GH∠BC ，∠AB∠EF∠DC ，AD∠GH∠BC ，∠共有9个平行四边形，如平行四边形AGPE ，平行四边形BGPF ，平行四边形PEDH ，平行四边形PFCH ，平行四边形ABFE ，平行四边形EFCD ，平行四边形AGHD ，平行四边形BGHC ，平行四边形ABCD ，故选D.16．D【分析】分点M 是AP 的中点和点M 与点N 重合两种情况讨论，由全等三角形的性质和正方形的性质即可求解．【详解】解：当点M 是AP 的中点时，∵四边形P ABC 是正方形，∴PC ＝P A ＝AB ，∠CP A ＝∠P AN ＝90°，∵N 是AB 的中点，点M 是AP 的中点，∴PM ＝AN ＝4，在△CPM 和△P AN 中，PA CP CPA PAN PM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CPM ≌△P AN （SAS ），∴PN ＝CM ，∴t 42==2， 当点M 与点N 重合时，由正方形的对称性可得PN ＝CM ，∴t842+==6，故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17．A【详解】试题分析：作在菱形中，，,是的中点是的中点，故答案选A.考点：平行四边形的面积，三角函数.18．B【分析】设EF交BD于G，AC交BD于O，由三角形中位线的性质可得EF=12AC，EF//AC，可得EG为∠AOD的中位线，可得DG=12OD，根据菱形的性质可得BG=34BD，根据菱形的面积公式列方程即可得答案．【详解】设EF交BD于G，AC交BD于O，∠点E F 、分别是菱形ABCD 的边AD 、DC 的中点， ∠EF=12AC ，EF//AC ，∠EG 为∠AOD 的中位线， ∠OG=12OD ，∠四边形ABCD 是菱形， ∠OD=OB=12BD ，BD∠AC ， ∠BG=34BD ，BG∠EF ， ∠S 菱形ABCD =S 阴影+S △BEF ，阴影部分的面积和是10， ∠12AC·BD=10+12EF·BG=10+12·12AC·34BD ， 解得：AC·BD=32．故选：B【点睛】本题考查菱形的性质、三角形中位线的性质及菱形的面积公式，菱形的对角线互相垂直且平分；菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；熟练掌握相关性质及公式是解题关键．19．C【分析】利用特殊角的三角函数值分别求出11A B 、22A B 、33A B ，以此类推找到规律求出20222022A B ，最后根据202120222022Rt A A B 中20212022202290A B A ∠=︒，20222021202230A A B ∠=︒，即可求解．【详解】解：∠AB 与直线l 所夹锐角为60︒，且1BAB ∠是正方形1ABCB 的一个顶角， ∠11180609030B AA ∠=︒-︒-︒=︒，又∠1190AB A ∠=︒，∠在11Rt AB A △中，11111tan A B AB A AB =⨯∠，∠正方形1ABCB 的边长AB∠11111tan A B AB A AB =⨯∠同理可求得： 222A B =⎝⎭，333A B =⎝⎭，以此类推可知： 20222021202120222022A B ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∠202120222022Rt A A B 中20212022202290A B A ∠=︒，20222021202230A A B ∠=︒，∠2021202120222022202222A A A B ==⨯⎝⎭，故C 正确．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、含特殊角的锐角三角函数等知识，含30°的直角三角形的性质．利用从特殊到一般寻找规律是解题的关键．20．B【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．【详解】解： A 、AD AB =时，平行四边形ABCD 是菱形，故选项A 不符合题意； B 、AB AD ⊥时，∠BAD ＝90°，则平行四边形ABCD 是矩形，故选项B 符合题意； C 、AB AC =时，平行四边形ABCD 不一定是矩形，故选项C 不符合题意；D 、CA BD ⊥时，平行四边形ABCD 是菱形，故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键．21．60°【分析】根据图案的特点，可知密铺的一个顶点处的周角，由3个完全相同的等腰梯形的较大内角组成，即可求出等腰梯形的较大内角的度数，进而即可得到答案.【详解】由图案可知：密铺的一个顶点处的周角，由3个完全相同的等腰梯形的较大内角组成，∠等腰梯形的较大内角为360°÷3=120°，∠等腰梯形的两底平行，∠等腰梯形的底角（指锐角）是：180°-120°=60°．故答案是：60°．【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质以及平面镶嵌，掌握平面镶嵌的性质是解题的关键．22．5【分析】证明∠BEF∠∠BCD，由相似三角形的性质求得BF•CD，即求得BF•AB，进而由三角形的面积公式求得结果．【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，∠AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，∠EF∠BC，∠EF∠CD，∠∠BEF∠∠BDC，∠BF EF BC CD=，∠BC=5，EF=2，∠BF•CD=BC•EF=5×2=10，∠BF•AB=10，∠∠ABF的面积=12BF•AB=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积计算，关键是由相似三角形求得BF•AB的值．23．6【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．【详解】解：∠菱形的两条对角线长分别为3和4，∠菱形的面积为134=6 2⨯⨯故答案为：6【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用．24．【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm，进而由勾股定理可得答案．【详解】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，50故答案为：．【点睛】题主要考查正多边形和圆的相关知识；注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍，可以给解决此题带来方便．25．【分析】结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知()()2223S S BC AC BC AC BC AC -=-=+-，2240BC AC +=，14BC AC ⋅=，然后运用完全平方公式()2222a b a b ab ±=+±求解即可．【详解】解：根据题意，2140S AB ==，22S BC =，23S AC = ∠()()2223S S BC AC BC AC BC AC -=-=+-在Rt ABC 中，根据勾股定理，222BC AC AB +=∠2240BC AC +=∠7Rt ABC S = ∠172BC AC ⋅⋅= ∠14BC AC ⋅=∠BC AC +==BC AC -====∠()()BC AC BC AC +-==即23S S -=故答案为：【点睛】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．26．40【详解】试题分析：先根据折叠的性质求得、的度数，即可求得、的度数，再根据长方形的性质求解即可.∠50CED ∠='︒，AE 为折痕∠∠∠BAD ∠'. 考点：折叠的性质点评：折叠的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.27．342π+【分析】根据菱形的性质以及旋转角为30°，连接CD ′和BC '，可得A 、D′、C 及A 、B 、C′分别共线，求出扇形的面积，再根据AAS 证得两个小三角形全等，求得面积，最后根据扇形ACC '的面积-两个小的三角形的面积即可．【详解】解：连接CD ′和BC '∠∠DAB =60°∠30DAC CAB ∠=∠=︒∠30C AB ∠''=︒∠A 、D′、C 及A 、B 、C′分别共线∠AC =∠扇形ACC′的面积为：2303604ππ⨯=∠AC =AC ′，AD′=AB在OCD OC B ''和中CD BC ACD AC D COD C OB '='⎧⎪∠=∠''⎨⎪∠'=∠'⎩∠()OCD OC B AAS ''≌∠OB =OD′，CO =C′O又∠60,30CBC BC O ︒∠'∠=='︒∠90BOC ∠'=︒在Rt BOC '中，())22211BO BO +-=解得13,22BO C O ='=∠S △OCB=12BO C O '⨯⨯=，∠322442C B AC OC S S Sππ''=-=-=+阴影扇形 故答案为:342π+ 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．28．18或16【分析】首先由直角边分别为3和4，求得其斜边，然后分别从以边长为3，4，5的边为对角线拼成一个平行四边形（非矩形），去分析求解即可求得答案． 【详解】解：直角边分别为3和4，∴5=，若以边长为3的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2(54)18⨯+=； 若以边长为4的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2(53)16⨯+=；若以边长为5的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：2(34)14⨯+=（此时是矩形，舍去）；综上可得：所得的平行四边形的周长是：16或18．故答案为：16或18．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．29【分析】如图，连接BD交AC于E，由四边形ABCD是菱形，推出AC∠BD，AE=EC，在Rt△EOD中，利用勾股定理求出DE，在Rt△ADE中利用勾股定理求出AD即可．【详解】如图，连接BD交AC于E．∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，AE＝EC，∠OA＝2OC，AC＝3，∠CO＝DO＝2EO＝1，AE＝32，∠EO＝12，DE＝EB==，∠AD=【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理解决问题.30．20，22，26，28【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长；【详解】解：∠如图周长=20；∠如图周长=22；∠如图周长=26；∠如图周长=28；∠如图周长=22；∠四边形的周长为：20，22，26，28；故答案为：20，22，26，28．【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键．31．10【分析】（1）根据题意结合图形直接写出答案即可解决问题；（2）根据勾股定理首先求出A C'的长度；再次利用勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，当A'与B重合时，EF=10；（2）如图2，设AE=x，则BE=8-x；∠四边形ABCD为矩形，∠BC=AD=10，DC=AB=8；∠B=∠C=90°；由题意得：=A D AD '=10；由勾股定理得：222A C A D DC 1006436''=-=-=∠A C 6BA 1064''==-=， ，在Rt∠A BE '中，由勾股定理得：222(8)4x x =-+解得：x=5，由勾股定理得：222EF =10+5=125∠EF =【点睛】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；能根据翻折变换的性质准确找出命题图形中隐含的等量关系是解题的关键．32．∠∠【分析】根据平行四边形的的性质可以得到AB ＝CD ，AD ＝BC ，设点P 到AB 、BC 、CD 、DA 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，然后利用三角形的面积公式列式整理判断即可得到答案．【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB ＝CD ，AD ＝BC ，设点P 到AB 、BC 、CD 、DA 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，hAB 、hBC 分别为平行四边形的AB 边和BC 边的高则S 1＝12AB •h 1，S 2＝12BC •h 2，S 3＝12CD •h 3，S 4＝12AD •h 4，hAB = h 1+h 3，hBC =h 2+h 4 ∠12AB •h 1+12CD •h 3＝12AB •hAB ，12BC •h 2+12AD •h 4＝12BC •hBC ，又∠S 平行四边形ABCD ＝AB •hAB ＝BC •hBC ，∠S 2+S 4＝S 1+S 3，故∠正确；根据S 3=2S 1只能判断h 3=2h 1，不能判断h 2=2h 4，即不能得出S 2=2S 4，故∠错误； 根据S 1+S 3＝S 2+S 4，S 1+S 3＝5，能得出ABCD 的面积为5×2＝10，故∠正确；由题意只能得到S 2+S 4＝S 1+S 3无法得到S 1+S 2＝S 3+S 4，故∠错误；故答案为：∠∠．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积是解题的关键．33．∠∠∠【分析】根据轴对称的性质得到直线l 垂直平分BD ，则根据线段垂直平分线的性质得AB AD =，CD CB =，由于AB=CD ，则AB BC CD BC ===，于是可判断四边形ABCD 为菱形，然后根据菱形的性质对4个结论进行判断．【详解】证明：∠直线l 是四边形ABCD 的对称轴，∴直线l 垂直平分BD ，AB AD ∴=，CD CB =，AB CD =，AB BC CD BC ∴===，∴四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，//AB CD ，OA OC =，所以∠∠∠正确 ．故答案为∠∠∠．【点睛】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．也考查了菱形的判定与性质．34．35）【分析】设图2的矩形分割成四个全等三角形的两直角边为a 、b （a ＞b ），由图1与图2的两个小正方形相同，得出a 与b 的关系，再求出矩形的边长和大正方形的边长，应用周长公式求得其周长，最后便可求得其比值．【详解】解：设图2的矩形分割成四个全等三角形的两直角边为a 、b （a ＞b ），小正方形的边长为a-b ，矩形的长为2a+a-b=3a-b ，宽为b ，∠矩形的周长为：2（3a-b+b ）=6a ，由图2知，中间小正方形的边长为b ，∠a-b=b ，∠a=2b ，∠大正方形的周长为,==∠该矩形与拼成的正方形的周长之比：=故答案为：3：5）．【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，关键是根据图形求得全等直角三角形的两直角边与矩形和大正方形的边长的关系．35．134【分析】连接DG 并延长，交于AB 延长线于点M ，过点M 作MN ∠CB ，交于CB 延长线于点N ，首先根据平行四边形的性质证明(),CGD EGM AAS ≅得出,DG GM =即可得出1,2HG FM =再利用勾股定理求出FM ，即可求得答案． 【详解】连接DG 并延长，交于AB 延长线于点M ，过点M 作MN ∠CB ，交于CB 延长线于点N ，如图，∠四边形ABCD 为平行四边形，∠CD ∠AB，AB CD ==∠CDG EMG ∠=∠又∠G 为CE 中点，∠,CG GE =在CGD △和EGM 中∠CDG EMG DGC MGE CG GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠(),CGD EGM AAS ≅∠,DG GM = ,CD EM = ∠1,2HG FM = AB EM =， ∠,AE BM =∠点E 为AB 的中点，∠1,2AE EB AB ==∠12EB BM AB ===， 又∠45,B ∠=︒∠45,MBN ∠=︒∠,BN MN =设,BN MN x ==在Rt BMN 中，∠222,BN MN BM +=∠222x x +=， 解得，5,2x = 即5,2BN MN == ∠点F 为BC 的中点， ∠17,22BF BC == ∠75622FN BF BN =+=+=, 在Rt MNF △中，∠222,NF MN MF +=∠13,2MF = ∠113,24HG FM == 故填：134． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理．36．∠∠∠【分析】根据旋转的性质可知，∠DGH ∠∠DCB ，进而得知DH =DB ，∠H =∠CBD =45°，∠DGH =∠DCB =90°，DG =DC =AD ，之后可证∠ADF ∠∠GDF ，四边形AEGF 是菱形，再根据勾股定理可知AE 的长度，进而可以一一判断选出答案．【详解】解：根据旋转的性质可知，∠DGH ∠∠DCB ，∠DH =DB ，∠H =∠CBD =45°，∠DGH =∠DCB =90°，DG =DC =AD ，在Rt ∠AED 与Rt ∠GED 中，AD =DG ，ED =ED∠Rt ∠AED ∠Rt ∠GED （HL ）∠∠ADE =∠GDE ，即DE 平分∠ADB ，故∠正确；在∠ADF 和∠GDF 中，AD =DG ，∠ADF =∠GDF ，DF =DF ，∠∠ADF ∠∠GDF （SAS ）∠AF =GF ，∠DAF =∠DGF =45°又∠∠ABD =45°∠FG ∠AE∠∠DAC =45°，∠∠DAC =∠H ，∠AF ∠EG∠四边形AEGF 是平行四边形，又∠AF =GF∠平行四边形AEGF 是菱形，故∠正确；∠∠H =45°，∠HAE =90°∠AE =AH∠AE =AF =HD -AD =BD -AD∠正方形ABCD 的边长为1，根据勾股定理可知BD ==即HD∠AE 1∠BE =)11=2-∠正确； ∠四边形AEGF 是菱形∠FG =AE 1∠BC +FG =1∠错误；综上答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查的是正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理和直角三角形的性质，是一道综合性较强的题，能够充分调动所学知识是解题的关键．37．30cm 2。
初三数学四边形练习题
初三数学四边形练习题第一题：计算正方形的周长和面积已知一个正方形的边长为8cm，请你计算它的周长和面积。
解答：正方形的周长等于边长乘以4，所以这个正方形的周长为8cm×4 =32cm。
正方形的面积等于边长的平方，所以这个正方形的面积为8cm×8cm = 64cm²。
第二题：计算矩形的周长和面积已知一个矩形的长为12cm，宽为5cm，请你计算它的周长和面积。
解答：矩形的周长等于长乘以2加上宽乘以2，所以这个矩形的周长为12cm×2 + 5cm×2 = 34cm。
矩形的面积等于长乘以宽，所以这个矩形的面积为12cm×5cm =60cm²。
第三题：计算平行四边形的周长和面积已知一个平行四边形的底边长为6cm，高为4cm，请你计算它的周长和面积。
解答：平行四边形的周长等于底边长乘以2加上高乘以2，所以这个平行四边形的周长为6cm×2 + 4cm×2 = 20cm。
平行四边形的面积等于底边长乘以高，所以这个平行四边形的面积为6cm×4cm = 24cm²。
第四题：计算梯形的周长和面积已知一个梯形的上底长为8cm，下底长为12cm，高为5cm，请你计算它的周长和面积。
解答：梯形的周长等于上底长加下底长再加上梯形的两条斜边的长度，所以这个梯形的周长为8cm + 12cm + 2×斜边的长度。
梯形的面积等于上底长加下底长乘以高再除以2，所以这个梯形的面积为（8cm + 12cm）× 5cm ÷ 2 = 50cm²。
第五题：计算菱形的周长和面积已知一个菱形的对角线长度分别为6cm和8cm，请你计算它的周长和面积。
解答：菱形的周长等于对角线的长度乘以2，所以这个菱形的周长为（6cm + 8cm）× 2 = 28cm。
菱形的面积等于对角线长度之积再除以2，所以这个菱形的面积为6cm×8cm ÷ 2 = 24cm²。
中考数学几何基础、三角形与四边形复习专题训练精选试题及答案
立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、32.43°＝＿＿＿度＿＿＿分＿＿＿秒。
２、若∠1＝30°，则∠A 的补角是＿＿＿＿度。
３、如图，∠1和∠2是直线AB 、AC 被BC 所截而成的＿＿＿＿角。
４、如图，射线OA 表示的方向是＿＿＿＿＿＿＿。
５、锯木头时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这种做法的理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
６、如图，AC ⊥l 1，AB ⊥l 2，则点A 到直线 l 2 的距离是指线段＿＿＿＿＿＿＿＿的长度。
７、如图，已知：AB ∥CD ，∠1＝∠2，若∠1＝50°，则∠3＝＿＿＿＿度。
８、如图，将两块直角三角板的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD ＝127°， 则∠BOC ＝＿＿＿＿。
９、下面是一些相同的小正方体构成的几何体的三视图。
则至少要＿＿＿个正方体搭成。
主视图 左视图 俯视图10、如图，要得到AB ∥CD 的结论，则需要角相等的条件是＿＿＿＿＿＿（写出一个即可）11、直线 a ∥b ，则∠ACB ＝＿＿＿＿。
12、平面内有若干条直线，当下列情形时，可将平面最多分成几部分。
① 有一条直线时，最多分成两部分。
② 有两条直线时，最多分成 2＋2＝4 部分。
③ 有三条直线时，最多分成＿＿＿＿部分。
二、选择题。
（每题 4 分，共 24 分）A B CG D E F （第10题）A O DB C（第8题） A D E C ） ） ） 1 2 3 （第7题） ┘ ┘A B C l 1 l 2 （第6题） ） ） 1 2 A B C （第3题） 东 南西 A北 ） 30° O （第4题）（第11题） a b A B 28° 50°C１、在下列立体图形中，不属于多面体的是（ ）A 、正方体B 、三棱柱C 、长方体D 、圆锥 ２、两条直线被第三条直线所截，则（ ） A 、同位角相等 B 、同错角相等 C 、同旁内角互补 D 、无法确定 ３、在修建泉厦高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据（ ）A 、直线公理B 、直线公理或线段最短公理C 、线段最短公理D 、平行公理４、如图是一个台球桌面的示意图，如果一个球按图中所示的方向被击中（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）A 、1号袋B 、2号袋C 、3号袋D 、4号袋５、下面图形中，不能折成正方体的是（ ）AB D ６、如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（ ）A 、相等B 、互补C 、相等或互补D 、相等且互补三、解答题：（每题 8 分，共 40 分）１、已知C 为线段AB 的中点，D 在线段CB 上，且DA ＝6，DB ＝4，求CD 的长度。
初中数学三角形专题训练50题(含答案)
初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，AC的度数为100°，BC=2BD，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为（）C D RA．R B2．如图，在⊙ABCD中，连接AC，⊙ABC＝⊙CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是()AB．2C．D．43．如图点P是⊙BAC内一点，PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，PE＝PF，则直接得到⊙PEA⊙⊙PFA的理由是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【详解】解：⊙PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，⊙⊙PEA＝⊙PFA=90°，⊙PE=PF，AP=AP，⊙⊙PEA⊙⊙PFA（HL）；4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D 的坐标为（ ）A ．(4，5)B ．(5，4)C ．(5，3)D ．(4，3)5．适合下列条件的ABC ∆中，是直角三角形的共有（ ）⊙6a =，45A ∠=︒；⊙32A ∠=，58B ∠=︒；⊙2a =，2b =，4c =；⊙7a =，24b =，25c =.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据构成直角三角形三边关系的条件：三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，判定即可.【详解】⊙6a =，45A ∠=︒，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙3258A B ︒︒==∠，∠，A B ∠∠=︒+90，是直角三角形；⊙2222222a b c +=+≠，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙()()22222272425a b c +=+==，是直角三角形；【点睛】此题主要考查构成直角三角形条件的判定，熟练掌握，即可解题.=，点N在CD上，且6．如图，已知四边形ABCD是矩形，点M在BC上，BM CD=与BN交于点P，则:DN CM DM,DM BN=（）A2B．C D．27．如图，已知正方形的面积为25，且AB比AC大1，BC的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】A8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，若ABC A B C ''△≌△，且点A '恰好落在AB 上，则ACA ∠'的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可得A C AC '=，从而得到60AA CA ，即可求解．【详解】解：⊙90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，⊙⊙A =60°，⊙ABC A B C ''△≌△，⊙A C AC '=，⊙60AA C A ，⊙60ACA '∠=︒．故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．9．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，1=30∠︒，2=50∠︒，3=∠（ ）度A ．10B ．20C ．30D ．50 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出⊙2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．【详解】解：如图：⊙⊙2=50°，直尺的两边互相平行，⊙⊙4=⊙2=50°，⊙⊙1=30°，⊙⊙3=⊙4-⊙1=50°-30°=20°．故选：B ．【点睛】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10．在ABC 中，若90A C ∠+∠=︒，则（ ）．A ．BC AB AC =+B ．222AC AB BC =+ C ．222AB AC BC =+D ．222BC AB AC =+【答案】B【分析】由⊙A +⊙C =90°可得⊙B =90°，于是可确定AC 是Rt⊙ABC 的斜边，再根据勾股定理即得答案．【详解】解：⊙⊙A +⊙C =90°，⊙⊙B =90°，⊙AC 是Rt⊙ABC 的斜边，222【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的内角和定理，由题意确定AC 是Rt ⊙ABC 的斜边是解题的关键．11．如图，直线AB CD ∥，AE CE ⊥于点E ，若140EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．150°D ．160° 【答案】B 【分析】延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，根据平行线的性质，求出⊙AFC 的度数，再利用外角的性质求出⊙ECF ，从而求出⊙EC D ．【详解】解：延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，⊙AB ⊙CD ，⊙⊙A +⊙AFC =180°，⊙⊙EAB =140°，⊙⊙AFC =40°，⊙AE ⊙CE ，⊙⊙AEC =90°，而⊙AEC =⊙AFC +⊙ECF ，⊙⊙ECF =⊙AEC -⊙F =50°，⊙⊙ECD =180°-50°=130°，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ，下面给出的四个结论，其中正确的有（ ）．距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”可知AD⊙BC ，BD=DC ，得到AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，根据角平分线性质定理可知DE=DF ，根据HL 证直角三角形全等，得到AE=AF ，从而得到AD 平分EDF ∠，即可得出答案．【详解】解：⊙AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，⊙AD⊙BC ，BD=DC ，⊙AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，⊙⊙正确；⊙AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，⊙DE=DF ，⊙EDA=⊙FDA ，⊙AD 平分⊙EDF ，⊙⊙正确；在直角△AED 和直角△AFD 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩ ⊙⊙AED⊙⊙AFD ，⊙AE=AF ，⊙AD 平分⊙BAC ，又⊙AD 是BAC ∠的平分线，⊙到AE 、AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等，⊙⊙、⊙正确，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，角平分线性质，等腰三角形的性质的应用，对条件的合理利用是解题的关键．13．如图，BO 、CO 分别平分⊙ABC 、⊙ACB ，OD ⊙BC 于点D ，OD ＝2，⊙ABC 的周长为28，则⊙ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．7在BOD 和△OEB OBE BO ∠=∠∠==BOD △≌△OE =OD =21122AB OE BC OD AC OF ++ )AB BC AC OD ++ 282⨯故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分CD，垂足为点E，则BAD∠=（）A．100°B．120°C．135°D．150°【答案】B【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AC=AD，再利用菱形的性质以及等边三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：⊙AE垂直且平分边CD，⊙AC=AD，⊙四边形ABCD是菱形，⊙AD=DC，⊙ACB=⊙ACD，⊙⊙ACD是等边三角形，⊙⊙ACD=60︒，⊙⊙BCD=120︒．⊙⊙BAD=⊙BCD=120︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出⊙ACD是等边三角形是解题关键．15．如图中字母A所代表的正方形的面积为（）【详解】试题分析：根据勾股定理的几何意义解答．解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289﹣225=64．故选D．16．三角形的三边长为a，b，c，且满足22-=-，则这个三角形是（）()2a b c abA．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】C【分析】先利用完全平方公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理即可得．【详解】由22a b c ab-=-得：222()2-+=-，a ab bc ab22即222a b c，+=,,a b c为三角形的三边长，∴这个三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．17．如图，⊙ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若⊙BAC+⊙DAE=150°，则⊙BAC的度数是（）A．105B．110C．115D．120【答案】B【分析】根据垂直平分线性质，⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．则有⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°，即180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，再与⊙BAC+⊙DAE=150°联立解方程组即可．【详解】⊙⊙ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，⊙DA=DB，EA=EC，⊙⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．⊙⊙BAC+⊙DAE=150°，⊙⊙⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°．⊙⊙B+⊙C+⊙BAC=180°，⊙180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，即⊙BAC-2⊙DAE=30°．⊙由⊙⊙组成的方程组150230BAC DAEBAC DAE∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解得⊙BAC=110°．故选B．【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到⊙BAC和⊙DAE的数量关系.18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造⊙ABC，使点C在x轴上，⊙BAC＝90°，M为BC的中点，则PM 的最小值为（）A B C D【答案】C【分析】作AH⊙y轴，CE⊙AH，证明⊙AHB⊙⊙CEA，根据相似三角形的性质得到AE ＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊙y轴于H，过点C作CE⊙AH于E，则四边形CEHO是矩形，⊙OH＝CE＝4，⊙⊙BAC＝⊙AHB＝⊙AEC＝90°，19．如图，在ABC 和ADE 中，36CAB DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分ABC ∠，则下列结论错误的是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠B ．//CD ABC ．DE GE=D ．2BF CF AC =⋅ 【答案】C 【分析】根据SAS 即可证明DAC EAB △≌△，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断【详解】,,36AB AC AD AE CAB DAE ==∠=∠=︒DAC EAB ∴∠=∠AB AC=∴∠=ABCBE平分∴∠=ABEDAC△≌△∴∠ACD∴∠=ACDAD AE=∴∠=ADE∠=DGE∠即ADE∴≠DE GE∠=ABCCFB∴∠=∴=BC BF∴△∽△ABCBF CF∴=AB BC=AB ACBF CF∴=AC BF2=BF CF故答案选：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角20．如图，在Rt△ABC中，⊙ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊙BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP＋PD的值最小时，AQ 与PQ之间的数量关系是（）A．AQ＝52PQ B．AQ＝3PQ C．AQ＝83PQ D．AQ＝4PQ⊙MN =PE ，ND =PC ，在△DNQ 和△CPQ 中，NDQ QCP NQD PQC DN PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙DNQ ⊙⊙CPQ ，⊙NQ =PQ ，⊙AN =NP ，⊙AQ =3PQ故选：B ．【点睛】本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P 位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．解两条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段．二、填空题21．在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，若a =6，b =8，则c =________．【答案】10【详解】根据勾股定理2223664100c a b =+=+=c 为三角形边长，故c=10.22．在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是________．【点睛】本题考查利用半径和圆心角求弦长，难度不大，掌握勾股定理是解题的关键．23．在ABC 中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，40ACD ∠=︒，则B ∠的度数为______．【答案】65︒或25︒【分析】分两种情况：当D 在线段AB 上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出B ∠的度数；当D 在线段AB 的延长线上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出B ∠的度数，综合即可得出答案．【详解】解：如图，当D 在线段AB 上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050A ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，⊙218018050130B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙65B ∠=︒；如图，当D 在线段BA 的延长线上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050DAC ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，又⊙2DAC B ACB B ∠=∠+∠=∠，⊙250B ∠=︒，⊙25B ∠=︒，综上所述，B ∠的度数为65︒或25︒．故答案为：65︒或25︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．24．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为4，则勒洛三角形的周长为：_________．25．边长为2的等边三角形的高与它的边长的比值为___________．【详解】解：等边三角形的边长是26．在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝30°，BC＝2，则AC＝_______ ．27．如图，在四边形ABCD中，90∠=︒，2A==，BC=CD=AD AB∠的度数为________．ABC28．如图，在O 中，弦2BC =，点A 是圆上一点，且30BAC ∠=︒，则O 的半径是________．【答案】2【分析】连接OB ，OC ，先由圆周角定理求出BOC ∠的度数，再由OB OC =判断出BOC 是等边三角形，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，⊙30BAC ∠=︒，⊙260BOC BAC ∠=∠=︒，⊙OB OC =，⊙BOC 是等边三角形，⊙2OB BC ==．故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．29．如果等腰三角形的两边长分别为5cm 和10cm ，那么它的周长等于___________cm ．【答案】25【分析】分5cm为腰和10cm为腰，两种情况求解．【详解】解：因为等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，当腰长为5cm时，三边长分别为5cm,5cm,10cm，+，因为55=10所以三角形不存在；当腰长为10cm时，三边长分别为5cm,10cm,10cm，+＞，因为51010所以三角形存在；++=，所以三角形的周长为5101025(cm)故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形周长的分类计算，正确进行分类和判定三角形的存在性是解题的关键．30．等腰三角形的一边长为3，周长为15，则该三角形的腰长是______．31．如图，⊙O的半径为5cm，△ABC内接于⊙O，BC＝5cm，则⊙A的度数为_____°．【答案】3032．如图，AD 、AE 分别是⊙ABC 的角平分线和高，⊙B =60°，⊙C =70°，则⊙EAD =______．【答案】5︒【分析】根据角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解．【详解】解：由题意可知，⊙B =60°，⊙C =70°，所以18013050A ∠=-=°，所以25BAD ∠=°，在三角形BAE 中，906030BAE ∠=-=°，所以⊙EAD=5°故答案为：5°．【点睛】本题属于对角平分线和角度基本知识，解题的关键是进行变换求解．33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC 上，且⊙EOF＝90°，则S四边形OEBF⊙S正方形ABCD＝___.34．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD （点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，O E⊙AC于点E，OF⊙BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____cm．(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm．35．如图，直线L 1、L 2、L 3分别过正方形ABCD 的三个顶点A 、D 、C ，且相互平行，若L 1、L 2的距离为1，L 2、L 3的距离为2，则正方形的边长为__________．AED DFC ≌，从而可得度．【详解】如图，过D ⊙123////L L L⊙13,EF L EF L ⊥⊥⊙AED DFC ≌1,DE CF AE DF ===22AD AE ED =+=故答案为：5．【点睛】本题考查了正方形与平行线的问题，掌握平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．36．正方形ABCD 中．E 是AD 边中点．连接CE ．作⊙BCE 的平分线交AB 于点F ．则以下结论：⊙⊙ECD =30°．⊙⊙BCF 的外接圆经过点E ；⊙四边形AFCD 的面积是⊙BCF⊙BF AB =．其中正确的结论有 _____．（请填写所有正确结论的序号），易证BCF GCF ≅37．菱形ABCD中，AD＝4，⊙DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝____．38．已知菱形ABCD中，AC=6cm，BD=4cm．若以BD为边作正方形BDEF，则AF=__cm．⊙如图1,正方形BDEF在点A一侧时,延长CA交EF于点M.39．如图，正方形ABCD中，2AB=，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE OF∆周长的最小值是__________．⊥，则OEF40．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ＝3cm ，BD ，AC ⊙CD ，⊙O 是△ABD 的外接圆，则AB 的弦心距等于_____cm ．【答案】116##516【分析】设AC、BD的交点为G，作圆的直径AN，连接BN，过点O作OF⊙AB于点三、解答题41．如图，AD⊙BC，⊙BAC＝70°，DE⊙AC于点E，⊙D＝20°.(1)求⊙B的度数，并判断⊙ABC的形状；(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是⊙ABC的平分线．【答案】（1）⊙ABC是等腰三角形，⊙B＝40°；（2）见解析.【详解】分析：(1)、根据Rt⊙ADE的内角和得出⊙DAC=70°，根据平行线的性质得出⊙C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．详解：解：(1)⊙DE⊙AC于点E，⊙D＝20°，⊙⊙CAD＝70°，⊙AD⊙BC，⊙⊙C＝⊙CAD＝70°，又⊙⊙BAC＝70°，⊙⊙BAC＝⊙C，⊙AB＝BC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙⊙B＝180°－⊙BAC－⊙C＝180°－70°－70°＝40°.(2)⊙延长线段DE恰好过点B，DE⊙AC，⊙BD⊙AC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙DB是⊙ABC的平分线．点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，属于基础题型．明确等腰三角形底边上的三线合一定理是解决这个问题的关键．42．如图，小雪坐着轮船由点A出发沿正东方向AN航行，在点A处望湖中小岛M，测得小岛M在点A的北偏东60°，航行100米到达点B时，此时测得小岛M在点B的北偏东30°，求小岛M到航线AN的距离．Rt BDM 中，12BD MB ==2MD MB =答：小岛M 到航线【点睛】本题考查了方向角问题，勾股定理，等腰三角形的判定，含43．如图，BD 是⊙ABC 的高，AE 是⊙ABC 的角平分线，BD 交AE 于F ，若⊙BAC ＝44°，⊙C ＝80°，求⊙BEF 和⊙AFD 的度数．【答案】⊙BEF＝102°；⊙AFD＝68°【分析】根据BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，求得⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，根据三角形内角和定理即可求得⊙BEF和⊙AFD的度数．【详解】解：⊙BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，⊙BAC＝44°，⊙C＝80°，⊙⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，⊙⊙CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，⊙⊙BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，⊙AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理的应用，掌握三角形的高，角平分线的意义是解题的关键．44．（1）如图，90∠=∠=︒，O是AC的中点，求证：OB ODABC ADC=．（2）解方程：2430-+=．x x⊙()()130x x --=，即10,30x x -=-=，解得：121,3x x ==．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，一元二次方程的解法是解题的关键．45．如图，点E 在边长为10的正方形ABCD 内，6AE =，8BE =，请求出阴影部分的面积，AEB S =四边形ABCD =10ABCD ⨯AEB S =【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键．46．图（a ）、图（b ）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下：（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；（2）画一个面积为16的等腰直角三角形．47．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，在四个论断“EA=ED，EF⊙AD，AB=DC，FB=FC”中选择二个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．已知、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，．求证、．证明、．【答案】见解析【分析】已知：EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．想办法证明EF 是线段BC 的垂直平分线即可．（答案不唯一）【详解】已知：如图，EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．理由：延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．故答案为EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ；FB=FC ；延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于开放性题目．48．如图，已知60AOB ∠︒=，OC 平分AOB ∠，CD ⊥OA 于点D ．(1)实践与操作：作OC的垂直平分线分别交OA于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接CE，若DE的长为1，求OC的长．（1）解：如图所示，49．正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2），现将△ABC平移先向右平移3个单位长度，再向下平移2单位长度．(1)请画出平移后的A B C '''（点B C ''、分别是B 、C 的对应点）；(2)写出点A B C '''、、三点的坐标；(3)求A B C '''的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）(3)1.5【分析】（1）根据所给的平移方式作图即可；（2）根据平移方式即可求出A 、B 、C 对应点A B C '''、、三点的坐标；（3）用A B C '''所在的正方形面积减去周围三个小三角形面积即可得到答案． （1）解：如图所示，A B C '''即为所求；（2）解：⊙A B C '''是△ABC 向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到的，A （-2，3），B （-3，1），C （-1，2），⊙A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）；（3）50．如图1，Rt⊙ABC中，⊙ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分⊙ABC，求⊙BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得⊙BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．。
中考数学四边形专题训练50题(含答案)
中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．若正多边形的一个外角是24°，则这个正多边形( )A ．正十二边形B ．正十五边形C ．正十八边形D ．正二十边形 2．若平行四边形中两个相邻内角的度数比为1:2，则其中较小的内角是（ ） A ．120︒ B ．90︒ C ．60︒ D ．45︒ 3．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，80E ∠=︒，90G ∠=︒，120D ∠=︒，则B ∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒ 4．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）A ．13cmB ．26cmC ．24cmD ．65cm 5．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于G ，若34AE ED =，DF CF =，则AG GF 的值是（ ）A ．59B ．611C ．713D ．1115 6．在平行四边形ABCD 中，∠B =60°，那么下列各式中，不能成立的是（ ） A ．∠D =60° B ．∠A =120° C ．∠C +∠D =180° D ．∠C +∠A =180°7．下列说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形8．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形9．如图，过O外一点P作O的两条切线PD、PB，切点分别为D、B，作直径∠的度数为（）AB，连接AD、BD，若80P∠=︒，则AA．50°B．60°C．70°D．80°10．如图，在∠ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE∠AB于E，PF∠AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.5∠=︒，11．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若148∠=︒，则B232∠的度数为（）．A．124°B．114°C．104°D．56°12．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相互垂直B．菱形的对角线相等C．平行四边形是轴对称图形D．等腰梯形的对角线相等13．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：∠△EAG＝45°：∠CE＝3DE；∠AG∠CF；∠S△FGC=725，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8B．10C．12D．1415．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为D M，MN的中点，则EF长度的最大值为() ．A．4B．3C．D．16．下列说法错误的是()A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形17．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（）A．86°B．84°C．76°D．74°18．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABE DEF，AB=，26DF=，则BE的长是（）DE=，3D．A．12B．15C．19．如图，在一张矩形纸片ABCD中4BC=，点E，F分别在AD，BC上，AB=，8将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：∠四边形CFHE是菱形；∠CE平分∠DCH；∠线段BF的EF=．以上结论中，其中正确结取值范围为34BF≤≤；∠当点H与点A重合时，5论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题=，连接AE交CD于F，那么20．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE AC∠的度数为________．AFC21．M为矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE∠MC，PF∠MB，当AB、BC 满足_________时，四边形PEMF为矩形．22．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ ，EF ，DF 为折痕．若A ，B ，C 恰好都落在同一点P 上，AE ＝1，则ED ＝___．23．如图，△ABC 内接于∠O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为∠O 的直径，CD ＝8，OA 交 BC 于点 E ，则 AE 的长度是________．24．如图，在正五边形ABCDE 中，AC 为对角线，以点A 为圆心，AE 为半径画圆弧交AC 于点F ，连结EF ，则∠1的度数为__．25．如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形∠的边GD 在边AD 上，若图1正方形中MN=1，则CD=____．26．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，EF ，AF ，若DF BE EF +=，则EAF ∠=______︒．27．如图，已知抛物线24=-+的顶点为D，与y轴交于点C，过点C作x轴的y x x c平行线AC交抛物线于点A，过点A作y轴的平行线AB交射线OD于点B，若OA OB=，则c的值为_____________．28．如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG 与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=7，BC=6，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是______．29．在□ABCD中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝____，∠C＝_____，∠D＝____．30．如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是_____．'沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形．若∠BAO＝34°，则31．把长方形AB CD∠BAC的大小为_______．32．如图，M 是▭ABCD 的AB 的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与▱ABCD 的面积之比为_____．33．如图，矩形ABCD 中，AD=6，P 为边AD 上一点，且AP=2，在对角线BD 上寻找一点M ，使AM+PM 最小，则AM+PM 的最小值为_____．34．如图，在▱ABCD 中，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，E 在AD 上，BE=12cm ，CE=5cm ．则▱ABCD 的周长为_____，面积为_____．35．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),P x y ，我们把点11,Q y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点P 的“逆倒数点”．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标为(48)，，反比例函数()0k y x x =>的图象经过矩形对角线交点M ．点D 是该反比例函数图象上的点，点E 是对角线上的一点，且点E 是点D 的“逆倒数点”，点E 的坐标为______．36．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON ∠OM ，交CD 于点N .若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为 _____．37．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，且ED CD =，连接AE ，交BD 于点F ．若40CDE ∠=，则∠DCF 的度数为_______．38．如图，在矩形ABCD 中，5,3AB BC ==,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 _____ .39．如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，满足∠EDF ＝45°．连接DE 、DF 分别交正方形对角线AC 于点H 、G ，再连接EG ，有如下结论：∠AE CF EF +>；∠ED 始终平分∠AEF ；∠∠AEH ∠∠DGH ；∠DE ；∠14DGH DEF S S =△△．在上述结论中，正确的有______．（请填正确的序号）三、解答题40．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．（利用格点和没有刻度的直尺作图，保留作图痕迹）(1)在方格纸1中画出ADC △，使ADC △与ABC 关于直线AC 对称；(2)在方格纸2中画出以EF 线段为一边的平行四边形（点G ，点H 均在小正方形的顶点上），且平行四边形面积为4；(3)在方格纸3中，连接FM ，在FM 上确定一点P ，使得点P 为FM 中点． 41．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，连接BE 并延长交AD 延长线于点F ，若AB ＝AF ．(1)求证：点D 是AF 的中点；(2)若∠F ＝60︒，CD ＝6，求∠ABF 的面积．42．如图1，在等腰ABO 中，AB AO =，分别延长AO 、BO 至点C 、点D ，使得CO AO =、DO BO =，连接AD 、BC ．()1如图1，求证：AD BC =；()2如图2，分别取边AD 、CO 、BO 的中点E 、F 、H ，猜想EFH 的形状，并说明理由．43．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM 的周长是多少？44．如图∠，在矩形OACB 中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，8OA =，6OB =．（1）直接写出点C 的坐标：________；（2）如图∠，点G 在BC 边上，连接AG ，将ACG 沿AG 折叠，点C 恰好与线段AB 上一点C '重合，求线段CG 的长度；（3）如图∠，P 是直线26y x =-上一点，PD PB ⊥交线段AC 于D ．若P 在第一象限，且PB PD =，试求符合条件的所有点P 的坐标．45．直线443y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，菱形ABCD 如图放置在平面直角坐标系中，其中点D 在x 轴负半轴上，直线y ＝x +m 经过点C ，交x 轴于点E ．(1)请直接写出点C ，点D 的坐标，并求出m 的值；(2)点P （0，t ）是线段OB 上的一个动点（点P 不与O 、B 重合），经过点P 且平行于x 轴的直线交AB 于M ，交CE 于N ．当四边形NEDM 是平行四边形时，求点P 的坐标；(3)点P （0，t ）是y 轴正半轴上的一个动点，Q 是平面内任意一点，t 为何值时，以点C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？46．如图，在Rt ∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6.动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动．当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD ∠AC 于点D ，以AP ，AD 为边作▱APED ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）线段AD的长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）连结BE，当tan∠CBE＝13时，求t的值．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在∠ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．47．如图，BC为∠O的直径，BD平分∠ABC交∠O于点D，DA∠AB于点A．(1)求证：AD是∠O的切线；(2)∠O交AB于点E，若AD＝2AE，求sin ABC∠的值．48．如图1，已知在四边形ABCD中，AB//CD，90ABC∠=︒，8BC=，6CD=，1tan2A=．动点P从点D DA方向运动，到A点结束；点Q同时从点A出发，以3个单位的速度沿射线AB运动，点P停止运动后，点Q 也随之停止．以AP，AQ为边作平行四边形AQGP．设运动时间为t．(1)求AB的长；(2)连接GC 、GB ，当CGB △为等腰三角形时，求t 的值；(3)如图2，以PQ 为直径作圆与AD 、PG 分别交于点M 、N ，连接MQ 交PG 于点F ，连接NQ 、DG ，∠当点N 为弧MQ 的中点时，求PMQPNQ S S △△的值；∠当PQM CDG ∠=∠时，求PQ =______（请直接写出答案）．49．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD∠AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝100米，那么A ，B 间的距离是_____米．思维探索：（2）在∠ABC 和∠ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将∠ADE 绕点A 逆时针方向旋转，把点E 在AC 边上时∠ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点M 是线段BD 的中点，连接MC ，ME ．∠如图2，当∠ADE 在起始位置时，猜想：MC 与ME 的数量关系和位置关系分别是______；∠如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断MC 与ME 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；参考答案：1．B【详解】分析：利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．详解：∠多边形的每个外角相等，且其和为360°，∠这个正多边形的边形为3602415o o ÷=，∠这个正多边形是正十五边形.故选B.点睛：考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，用360除以一个外角的度数，结果即为正多边形的边形．2．C【分析】根据平行四边形的性质来解答即可．【详解】解：∠平行四边形，∠两个相邻内角互补，又∠两个相邻内角的度数比为1:2，∠两个相邻的内角为60°、120°，∠较小的内角为60°．故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的相关性质是解题的关键． 3．C【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形的内角和为360︒解答即可．【详解】解：∠四边形ABCD ∽四边形EFGH∠120H D ∠=∠=︒∠360()70B F E G H ∠=∠=︒-∠+∠+∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、多边形的内角和；理解相似多边形的对应角相等是解题的关键．4．B【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出三角形的三边，再求解即可．【详解】解：∠三角形的三条中位线分别为3cm、4cm、6cm，∠三角形的三边分别为6cm，8cm，12cm，∠这个三角形的周长＝6＋8＋12＝26cm．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟记三角形中位线的性质定理．5．B【分析】延长AF交BC的延长线于点H，证明∠ADF∠∠HCF，得到CH=AD，设AE=3x，则DE=4x，AD=7x，证得∠AEG∠∠HBG，得到AE AGBH HG==314，即可求出AGGF【详解】解：延长AF交BC的延长线于点H，∠四边形ABCD是正方形，∠∠D=∠DCH=90°，AD∥BC，∠∠DAF=∠H，∠DF CF=，∠∠ADF∠∠HCF(AAS)，∠CH=AD，设AE=3x，则DE=4x，AD=7x，∠CH=AD=BC=7x，∠AD∥BC，∠∠AEG∠∠HBG，∠AE AGBH HG==314，∠AGGF =6 11，故选：B．【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．6．D【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠D＝∠B＝60°．故A成立；∠AD△BC，∠∠A＋∠B＝180°，∠∠A＝180°－∠B＝120°，故B成立；∠AD△BC，∠∠C＋∠D＝180°，故C成立；∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠C＝∠A＝120°，故D不成立，故选D．7．B【分析】根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形、平行四边形、菱形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．8．B【分析】根据平行四边形的判定与矩形的判定定理，即可求得答案．【详解】∠对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∠对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形．故选B．【点睛】此题考查了平行四边形，矩形，菱形以及等腰梯形的判定定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理．9．A【分析】如图，连接OD ，可得90ODP OBP ∠=∠=︒，再利用四边形的内角和定理求解BOD ∠，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OD ，∠过O 外一点P 作O 的两条切线PD 、PB ，∠90ODP OBP ∠=∠=︒，∠80P ∠=︒，∠360909080100DOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∠1502A DOB ∠=∠=︒， 故选A ．【点睛】本题考查的是切线的性质，四边形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，作出过切点的半径是解本题的关键．10．C【分析】首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM =12AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM .【详解】在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2，所以△ABC 为直角三角形，∠A =90°，又因为PE ∠AB ，PF ∠AC ，故四边形AEPF 为矩形，因为M 为 EF 中点，所以M 也是 AP 中点，即AM =12AP ，故当AP ∠BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小， 由1122ABC S AB AC BC AP ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得AP =125，AM =12AP =6 1.25= 故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ∠BC 时AM 最小是解题关键.11．A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由折叠得，45∠=∠，∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB CD ，∠53∠=∠，∠3=4∠∠，又∠13448∠=∠+∠=︒， ∠154348242∠=∠=∠=⨯︒=︒， 在ABC 中，180521802432124B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．12．D【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形的性质进行逐一分析解答即可．【详解】A 、错误，矩形的对角线相等；B 、错误，菱形的对角线相互垂直；C 、错误，平行四边形是中心对称图形；D 、正确，等腰梯形的对角线相等．故选D ． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉其性质定理．13．C【分析】∠由正方形的性质和翻折的性质可证明Rt△ABG∠Rt△AFG（HL），推出∠BAG=∠F AG，根据∠DAE=∠F AE，可得∠EAG=12∠BAD=45°；∠由题意得EF=DE，GB=CG=GF=6，设DE=EF=x，则CE=12-x，在Rt△ECG中，（12-x）2+36=（x+6）2，求出x，则可得到CE=2DE；∠由CG=BG，BG=GF，可得CG=GF，则∠GFC=∠GCF，因为∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，可推出∠AGB=∠GCF，则AG∠CF；∠由S△GCE=12×GC×CE，又因为△GFC和△FCE等高，可得S△GFC：S△FEC=3：2，S△GFC=3 5×24=725．【详解】解：∠∠正方形ABCD，∠AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折叠的性质可得，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∠∠AFG=90°=∠B，AB=AF，又∠AG＝AG，∠Rt△ABG∠Rt△AFG（HL），∠∠BAG=∠F AG，∠∠DAE=∠F AE，∠∠EAG=12∠BAD=45°，故∠正确；∠由题意得EF=DE，GB=CG=GF=6，设DE=EF=x，则CE=12-x，在Rt∠ECG中，（12-x）2+62=（x+6）2，∠x=4，∠DE=4，CE=8，∠CE=2DE，故∠错误；∠∠CG=BG，BG=GF，∠CG=GF，∠∠GFC=∠GCF，∠Rt∠ABG∠Rt∠AFG，∠∠AGB=∠AGF，∠∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∠∠AGB=∠GCF，∠AG∠CF，故∠正确；∠∠S△GCE=12×GC×CE=12×6×8=24，又∠GF=6，EF=4，∠GFC和∠FCE等高，∠S△GFC：S△FEC=3：2，∠S△GFC=35×24=725，故∠正确；综上，正确的是∠∠∠，共3个．故选：C．【点睛】本题考查翻折变换的性质、正方形的性质，本题综合性很强，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算方法是解题的关键．14．B【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∠BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.15．B【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3．【详解】解：∠ED＝EM，MF＝FN，∠EF＝12DN，∠DN最大时，EF最大，∠N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=6，∠EF的最大值为3．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．16．C【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案；【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；故选C．【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．17．B【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．【详解】解：由题意：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，∠∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∠∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：B．【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．18．C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∠ABE DEF，∠AB AE DE DF，∠623AE =，∠9AE=，∠矩形ABCD中，90A∠=︒，∠BE故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE的长后利用勾股定理求解．19．B【分析】先根据翻折的性质可得CF＝FH，∠HFE=∠CFE，可证∠FEH是等腰三角形，可得HE=HF=FC，判断出四边形CFHE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出∠正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，判断出∠错误；过点F作FM∠AD于M，点H与点A 重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=FM=MD＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出∠正确；求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出∠正确．【详解】解：∠将纸片ABCD沿直线EF折叠，∠FC=FH，∠HFE=∠CFE，∠AD△BC，∠∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE△FC，∠∠HFE为等腰三角形，∠HE=HF=FC，∠EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∠EH△CF，且HE=FC，∠四边形CFHE是平行四边形，∠FC=FH，∠四边形CFHE是菱形，故∠正确；∠HC为菱形的对角线，∠∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°，∠只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，故∠错误；过点F作FM∠AD于M，点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt∠ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4，∠BF＝4，∠线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故∠正确；当点H与点A重合时，由∠中BF=3，∠AF=AE=CF=EC=8-3=5，则ME＝5﹣3＝2，由勾股定理得，EF=∠错误；综上所述，结论正确的有∠∠共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键．20．112.5【分析】根据正方形的性质有∠ACD=∠ACB=45°=∠CAE+∠AEC，根据CE=AC就可以求出∠CAE=22.5°，在△AFC中由三角形的内角和就可以得出∠AFC的度数．【详解】解：∠四边形ABCD是正方形，∠∠ACD=∠ACB=45°．∠∠ACB═∠CAE+∠AEC，∠∠CAE+∠AEC=45°．∠CE=AC，∠∠CAE=∠AEC，∠∠CAE=22.5°．∠∠CAE+∠ACD+∠AFC=180°，∠∠AFC=180°-22.5°-45°=112.5°．故答案为112.5°．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用．21．12AB BC =##2BC AB =【详解】∠在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，AB=12BC ，∠AB =DC =AM =MD ，∠A =∠D =90°，∠∠ABM =∠MCD =45°，∠∠BMC =90°，又∠PE ∠MC ，PF ∠MB ，∠∠PFM =△PEM =90°，∠四边形PEMF 是矩形．故答案为：AB =12BC ．22．3【分析】连接,EP DP ，根据折叠的性质得出三角形全等，根据三角形全等的性质得出对应边相等，由ED EP PD =+，利用等量代换分别求出,EP PD ．【详解】解：连接,EP DP 如下图所示：根据A ，B ，C 恰好都落在同一点P 上及折叠的性质，有,,AQE PQE EBF EPF FPD FCD ≌≌≌，1,1,AE PE EB EP CD PD ∴=====，2AB AE EB =+=，根据正方形的性质得：2AB DC ==，2PD ∴=，ED EP PD =+，123ED ∴=+=，故答案是：3．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的性质，解题的关键是添加辅助线，通过等量代换的思想进行解答．23．4【分析】证明△OAB 是等边三角形，OA ∠BC 即可推出OE ＝AE ，再利用三角形中位线定理即可解决问题．【详解】解：∠AB ＝AC ，∠AB AC =，∠OA ∠BC ，BE ＝EC ，AB ＝AC∠∠ABC 是等腰三角形∠∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ＝60°，∠OA ＝OB ，∠∠OAB 是等边三角形，∠BE ∠OA ，∠OE ＝AE ，∠OB ＝OD ，BE ＝EC ，∠ OE是△BCD的中位线∠OE＝AE＝12CD＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．54°【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质，三角形内角和的定理计算∠BAC，再求∠EAF，利用圆的性质得AE=AF，最后求出∠1即可．【详解】解：∠五边形ABCDE是正五边形，∠∠EAB＝∠ABC＝()5-21805⨯︒＝108°，∠BA＝BC，∠∠BAC＝∠BCA＝180-1082︒︒＝36°，∠∠EAF＝108°﹣36°＝72°，∠以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，∠AE＝AF，∠∠1＝180-722︒︒＝54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查了正多边形的内角与圆，熟练掌握正多边形的内角的计算公式、和圆的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．25122【分析】根据七巧板中图形分别是等腰直角三角形和正方形计算PH的长，即FF'的长，作高线GG'，根据直角三角形斜边中线的性质可得GG'的长，即AE的长，可得结论．【详解】解：如图：∠四边形MNQK是正方形，且MN＝1，∠∠MNK＝45°，在Rt△MNO中，OM＝ON∠NL＝PL＝OL∠PN＝12，∠PQ＝12，∠∠PQH是等腰直角三角形，∠PH＝FF'BE，过G作GG'∠EF'，∠GG'＝AE＝12MN＝12，∠CD＝AB＝AE＋BE＝12122．故答案为122．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、七巧板、等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识．熟悉七巧板是由七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边．26．45【分析】延长CB到G，使BG=DF，根据正方形的性质得到AD=AB，∠D=∠ABE=90°，求得∠ABG=∠D=90°，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，求得GE=EF，推出∠AGE∠∠AFE（SSS），根据全等三角形的性质得到∠GAE=∠EAF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：延长CB到G，使BG=DF，∠四边形ABCD是正方形，∠AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠∠ABG =∠D =90°，在∠ADF 与∠ABG 中，AB AD ABG D BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADF ∠∠ABG （SAS ），∠AG =AF ，∠GAB =∠DAF ，∠DF +BE =EF ，EG =BG +BE =DF +BE ，∠GE =EF ，在∠AGE 与∠AFE 中，AG AF AE AE GE EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠AGE ∠∠AFE （SSS ），∠∠GAE =∠EAF ，∠∠GAE =∠GAB +∠BAE =∠DAF +∠BAE =∠EAF ，∠∠BAD =90°，∠∠EAF =45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．83【分析】根据抛物线的解析式求得4DH c =-，BF AF OC c ===，然后根据三角形中位线定理得到142c c -=，解得即可． 【详解】解：作抛物线的对称轴，交OA 于E ，交x 轴于H ，∠224()42y x x c x c =-+=-+-，∠顶点为(2)4c -，，∠4DH c =-，∠AC x ∥轴，∠AF OC c AB x ==⊥，轴，∠OA OB =，∠AF BF c ==，∠OH FH =， ∠12DH BF =， ∠142c c -= ∠83c =， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解决本题的关键．28【分析】由EF ∠AD ，HG ∠AB ，结合矩形的性质可得四边形AHIE 和四边形IFCG 为矩形，然后根据矩形的性质可的HE +FG 的长度即为AI +CI 的长度，最后利用两点之间，线段最短，求出AC 的长即可．【详解】解：如图所示，连接AI ，CI ，AC ，在矩形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =∠B =90°，AB ∠CD ，AD ∠BC ，又∠EF ∠AD ，HG ∠AB ，∠四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，∠HE=AI，FG=CI，∠HE+FG的长度即为AI+CI的长度，又∠AI+CI≥AC，∠当A，I，C三点共线时，AI+CI最小值等于AC的长度，在Rt∠ABC中，AC∠HE+FG【点睛】本题考查矩形的判定和性质以及两点之间，线段最短的运用，正确判定四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，运用矩形的对角线相等是解题的关键．29．108º，72º，108º【详解】解：∠平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，又∠∠A：∠B=2：3，∠∠A=72°，∠B=108°，∠∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．故答案为108º，72º，108º．30．130°【分析】首先求出∠CFB＝130°，再根据对称性可知∠CFD＝∠CFB即可解决问题.【详解】∠四边形ABCD是菱形，∠BCD＝25°，∠∠ACD＝∠ACB＝12∠EF垂直平分线段BC，∠FB＝FC，∠∠FBC＝∠FCB＝25°，∠∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根据对称性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故答案为130°．【点睛】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．31．62°【分析】先利用AAS 证明∠AOB∠∠COD ，得出∠BAO=∠DCO=34°，∠B′CO=68°，结合折叠的性质得出∠B′CA=∠BCA=34°，则∠BAC=∠B′AC=56°．【详解】由题意，得∠B′CA∠∠BCA ，∠AB′=AB ，∠B′CA=∠BCA ，∠B′AC=∠BAC ．∠长方形AB′CD 中，AB′=CD ，∠AB=CD ．在∠AOB 与∠COD 中，90B D AOB COD AB CD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝ ， ∠∠AOB∠∠COD （AAS ），∠∠BAO=∠DCO=34°，∠∠B′CO=90°-∠DCO=56°，∠∠B′CA=∠BCA=28°，∠∠B′AC=90°-∠B′CA=62°，∠∠BAC=∠B′AC=62°．【点睛】考查了折叠的性质、矩形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是证明∠AOB∠∠COD ，得出∠BAO=∠DCO=34°是解题的关键．32．1：3【详解】试题解析：设平行四边形的面积为1，∠四边形ABCD 是平行四边形， ∠12DAB ABCD S S =，又∠M 是ABCD 的AB 的中点， 则1124DAM DAB ABCD S S S ==，1,2BE MB DE CD == ∠EMB △上的高线与DAB 上的高线比为1.3BE BD ==∠1113212 EMB DABS S=⨯=，∠143 DEC MEBS S，==S阴影面积1111141233 =---=，则阴影部分的面积与▱ABCD的面积比为13．故填空答案：13．33．【详解】分析：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．首先证明P、H关于BD对称,连接AH交BD于M,则AM+PM的值最小,最小值=AH.详解：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．∠四边形ABCD是矩形，∠∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠tan∠ADB=ABAD∠∠ADB=30°，∠∠BDC=60°，∠∠CDH=30°，∠CD∠CH2，△DH=2CH=4，∠DP=DH，∠∠MDP=∠MDH，∠P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，最小值=AH=点睛：本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，含30º角的直角三角形的性质，轴对称的性质，作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．说明P和H关于BD成轴对称是解答本题的关键.34．39cm60cm2【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13cm，根据等腰三角形的性质得到AB=CD=12AD=12CD=6.5cm，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高．【详解】∠BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，∠∠1=∠3=12∠ABC，∠DCE=∠BCE=12∠BCD，在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∠BC，AB∠CD，∠AD∠BC，AB∠CD，∠∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，∠∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，∠AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BC=13cm，∠平行四边形的周长等于：AB+BC+CD+AD=6.5+13+6.5+13=39cm；作EF∠BC于F，根据直角三角形的面积公式得：EF=·6013BE CEBC=cm，∠平行四边形ABCD的面积=BC·EF=601313⨯=60cm2，故答案为39cm，60cm2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．。
中考数学 中档题突破 专项训练五 三角形、四边形中的证明与计算
在Rt△ADE中，
AE＝ AD2＋DE2＝ 42＋82＝4 5，∴C△ABE＝AB＋BE＋AE
＝5＋11＋4 5＝16＋4 5，
1
1
S△ABE＝2BE×AD＝2×11×4＝22.
3．(2022·怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点， 延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
AD＝AD，
∠ADB＝∠ADC， BD＝CD， ∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B＝∠ACB.
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积． 解：在Rt△ADB中，BD＝ AB2－AD2＝ 52－42＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴DE＝CE＋CD＝8，
∴BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11，
(1)求证：四边形AECF是菱形；
证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝DC， ∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED， ∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC， ∴AF＝FC， ∴四边形AECF是菱形．
专项训练五 三角形、四 边形中的证明与计算
类型一：三角形中的证明 与计算
1．(2022·杭州)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中 点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点， ∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B， ∵∠A＝50°， ∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°， ∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°， ∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°， ∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM.
2023年中考数学专题复习——专项训练(五)四边形
2023年中考数学专题复习——专项训练（五）四边形一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 从七边形的一个顶点作对角线，把这个七边形分成三角形的个数是（）A. 7B. 6C. 5D. 42. “花影遮墙，峰峦叠窗.”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案.若∠1=∠2=75º，∠3=∠4=65º，则∠5的度数是（）A. 80ºB. 75ºC. 65ºD. 60º①②第2题图第3题图第4题图第5题图3. 如图，已知四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形.若∠BAG=20°，则∠DGF的度数是（）A．70°B．60°C．80°D．45°4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A. 当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B. 当AC=BD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90º时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形5. 如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，则∠ADB的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°6. 用图①所示两种图形可以无缝隙拼接成图②所示的正方形ABCD.已知图①所示图形，∠F=45°，∠H=15°，MN=2，则图②中正方形的对角线AC的长为（）A. B. C.1 D.2①②第6题图第8题图第9题图第10题图7. 已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.根据下列条件，不能证明四边形EFGH是矩形的是（）A. AC⊥BDB. AB=BC，OB=ODC. AB=BC，OA=OCD. AB=BC，CD=AD8. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60º，CE∥BD，则△BDE的面积为（）A. 1B. 2C. 3D.9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，2），∠ABO=30º，E为CD的中点，则点E的坐标为（）21 B.)2 C. D.2A. )10. 如图，菱形ABCD的边长为12，∠ABC=60°，直线EF⊥AC，垂足为H，分别与AD，AB及CB的延长线交于点E，M，F.若AE∶BF=1∶2，则CH的长为（）A. 12B. 10C. 8D. 6二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 六边形的内角和比它的外角和多__________度．12. 如图，在△ABC中，∠ACB=120º，分别以AC，BC为边，向△ABC外作正方形ACDE和正五边形BCFGH，则∠DCF的度数是.第12题图第13题图第14题图13. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上.若A（2，0），D（4，0），以点O为圆心，OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是.14. 如图，小明同学将边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A'B'C'.当两个三角形重叠部分为菱形时，A'D的长为.15. 把一张宽为2 cm的矩形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为4 cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD为cm.第15题图第16题图16. 如图13，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，N是EC的中点，M是AB的中点.已知S△ABD=6，BC=4，则MN的长为.三、解答题（本大题共4小题，共46分）17. （10分）如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接AF，DE，DF.求证：四边形AEFD是矩形.第17题图第18题图第19题图第20题图18. （10分）如图，在□ABCD中，AB＜BC.（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若BC=8，CD=5，求CE的长.19. （12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=6，BD=8，求CE的长.20.（14分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，P是MN上一点，求△PDC周长的最小值.参考答案专项训练（五）答案详解9. A 解析：先分别求出点C，D的坐标，再利用中点坐标求解.10. B 解析：因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB=BC=12，∠MAH=∠EAH.因为EF⊥AC，所以∠AHM=∠AHE=∠CHE= 90°.因为AH＝AH，所以△AHM≌△AHE.所以AM=AE.因为AD∥BC，所以△AME∽△BMF.所以AM AEBM BF==12.所以AM=AE=4，BM=8.所以BF=8.所以CF=20.因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形.所以∠ACB=60°.所以CH=CF•cos 60°=10.16.52【解析】连接AC交BD于点O，连接ON，OM，取BE的中点M′，连接MM′，如图所示.易得四边形OMM′N 是矩形，则∠MON=90º.因为S□ABCD=2S△ABD=12，BC=4，所以BC•AE=12.所以AE=3.利用三角形中位线定理，得OM=2，ON=32.由勾股定理，得MN=52．第16题图三、17.证明：因为CF=BE，所以CF+EC=BE+EC，即EF=BC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD=BC.所以AD∥EF，AD=EF.所以四边形AEFD是平行四边形. 因为AE⊥BC，所以∠AEF=90°.所以□AEFD是矩形.18. 解：（1）如图所示，点E即为所求.第18题图（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD=5，AD∥BC.所以∠DAE=∠BEA.因为AE是∠BAD的平分线，所以∠DAE=∠BAE.所以∠BAE=∠BEA.所以BE=AB=5.所以CE=BC﹣BE=3.19.（1）证明：因为AB∥CD，所以∠OAB=∠DCA.因为AC 平分DAB ∠，所以∠OAB=∠DAC.所以∠DAC=∠DCA.所以CD=AD.因为AB=AD ，所以CD=AB. 因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形.因为AD=AB ，所以□ABCD 是菱形. （2）解：因为四边形ABCD 是菱形，BD=8，所以OA=OC ，BD ⊥AC ，OB=OD=12BD=4.所以∠AOB=90°.所以所以AC=2OA=所以菱形ABCD 的面积为12AC•BD=12×8=.因为CE ⊥AB ，所以菱形ABCD 的面积为AB •CE=，解得. 20. 解：（1）结论：CF=2DG.证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AD=BC=CD=AB ，∠ADC=∠C=90º. 因为E 是AD 的中点，所以DE=AE.所以AD=CD=2DE.因为EG ⊥DF ，所以∠DHG=90º.所以∠CDF+∠DGE=90º，∠DGE+∠DEG=90º. 所以∠CDF=∠DEG.所以△DEG ∽△CDF.所以12DG DE CF CD ==.所以CF=2DG. （2）作点C 关于直线NM 的对称点K ，连接DK 交MN 于点P ，连接PC ，此时△PDC 的周长值最小，最小值为CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.由（1），知CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，所以.因为12DE •DG=12EG •DH ，所以DH=DE DGEG⋅所以EH=2DH=同法可得2DH EHHM DE⋅==，所以DM=CN=NK==1.在Rt △DCK 中，所以△PCD 的周长的最小值为10+第20题图。
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D1)若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是___________．2)等腰三角形的底角为75°，顶角是°，顶角的余弦值是。
3)如图，EF是△ABC的中位线，若BC＝2 cm，则EF______cm。
4)对角线长分别为6cm和8cm的菱形的边长为_____________cm.5)已知梯形的上底长为3cm，中位线长为5cm，那么下底长为______________cm.6)已知∠α与∠β互余，且∠α=15°，则∠β的补角为度.7)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=Rt∠，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE，BC的延长线相交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是.8)△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则∠A＝＿＿＿＿.9)在Rt⊿ABC中，︒=∠90C，如果AB = 6，21sin=A，那么BC = ________.10)在RtΔABC中，∠C=900，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是；11)圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体，那么圆台可以看成是所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体；如果将一个半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体应是.12)当图中的∠1和∠2满足时，能使OA⊥OB.（只需填上一个条件即可）13)已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长________14)圆锥的底面圆的直径是6cm，高为4cm，那么这个圆锥侧面展开图的面积为 cm2。
（按四舍五入法，结果保留两个有效数字，π取3.14）15)如图，在坡度1：2的山坡一种树。
要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米；16)如图2，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要＿元。
17) 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形图形分割成两个全等图形。
18) 在四边形ABCD 中，若分别给出四个条件：①AB ∥CD ，②AD =BC ，③∠A =∠C ，④AB =CD ．现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是________（只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）．19) 不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ）1. AB=CD AD=BC B 、AB=CD AB ∥CD C 、AB=CD AD ∥BC D 、AB ∥CD AD ∥BC20) 如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE 等于（ ）（A ）100°（B ）80°（C ）60°（D ）40°21) 边长为a 的正六边形的边心距为（ ）（A ）a （B ）a 23（C ） a 3 （D ）2a22) 如图，以圆柱的下底面为底面，上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4，高线长为3，则圆柱的侧面积为（ ）（A ）30π（B ）76π（C ）20π（D ）74π23) 如图，ΔABC 中，AB=7，AC=6，BC=5，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则DE 的长为（ ）A 、2.5 B 、3 C 、3.5 D 、624) 已知菱形的边长为6，一个内角为600，则菱形较短的对角线长是（ ）A 、33 B 、63 C 、3 D 、625) 如图，有一住宅小区呈四边形ABCD ，周长为2000m ，现规划在小区周围铺上宽为3m 的草坪的面积是（精确到1m 2）（ ）A 、6000m 2B 、6016m 2C 、6028m 2D 、6036m 226) 如果直角三角形的三边为2，4，a ，那么a 取值可以有（ ）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个 27) 已知角α＝54O ，那么它的补角的度数是（ ）A. 36oB. 46oC. 126oD. 136o28) 已知等腰三角形的一边为4，一边为8则它的周长是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 16或20 29) 下列图形中，不是．．中心对称图形的是（ ）中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ） 30) 在△ABC（A ）∠C ＞∠A ＞∠B （B ）∠B ＞∠C ＞∠A （C ）∠A ＞∠B ＞∠C （D ）∠C ＞∠B ＞∠A31) 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 等于（ ）ABCD村电厂（A ）4（B ）3（C ）2（D ）132) 为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应是（ ）（A ）19.5（B ）20.5（C ）21.5（D ）25.5 33) 用反证法证明：“三角形中必有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ） （A ） 有一个内角小于60°（B ）每一个内角都小于60° （B ） 有一个内角大于60°（D ）每一个内角都大于60°34) 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个35) 若梯形的中位线的长是高的2倍，面积是18cm 2，则这个梯形的高等于（ ）A 、62㎝ B 、6㎝ C 、32㎝ D 、3㎝36) 已知∠A 的补角为320，∠A 则的度数为（ ）A ．32° B.57° C. 68° D.148°37) 已知如图，梯形ABCD 的面积是4㎝2，M 为CD 中点，连AM ，BM ，则△ABM 的面积是( ) A.1 ㎝2 B.2 ㎝2 C.3 ㎝2 D. 4㎝238) 下列四个图形中，既轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）： (A )（1）、（2） (B ) （1）、（3） (C )（2）、（3） (D ) （1）、（4）39) 如果一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是（ ）（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形A MDCB40) 下列说法错误的是（ ）A 、 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B 、 每组邻边都相等的四边形是菱形；C 、 四个角相等的四边形是矩形；D 、 对角线互相垂直的平行四边形是正方形；41) 如图所示，光线l 照射到平面镜I 上，然后在平面镜I 、II 之间来回反射，已知∠α=55°，∠γ=75°，则∠β为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°42) 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 为AB 上两点，且AE =BF ，DE =CF ，EF ≠CD ．求证：AD =BC ．43) 已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，垂足分别为B 、D ，AC 平分∠BCD 。
求证：BC=DC 。
44) 已知：如图，矩形ABCD ．（1）作出点C 关于BD 所在直线的对称点C '（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）连结C B '、C D '，若C BD '△与△ABD 重叠部分的面积等于△ABD 面积的23，求∠CBD 的度数．45) 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。
求证：AE=AF 。
46) 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，平行四边形 ABCD 的周长为28，面积为40， AB ∶AD = 4∶3． 求(1) DE 的长； (2)EDF∠sin 的值．47) 已知：如图，梯形ABCD 中，AB CD //，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F 。
（1）求证：∆∆ABE FCE ≅；（2）若BC AB ⊥，且BC=10，AB=12，求AF 的长。
48) 如图，若把边长为1的正方形ABCD 的四个角9阴影部分）剪掉，得一四边形1111D C B A 。
试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的95，请说明理由（写出证明及计算过程）。
51．已知：如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC 。
52．已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，DF ∥AB 。
求证：AE ＝DF53．如图3，点C 是线段BA 延长线上的一点，正方形ACDE 和正方形ABGF 在AB 的同侧。
求证：CF ＝BE 。
54．已知如图,四力形ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 交于O ，CE∥DB 交AB 的延长线于E.求证:AC=CE 。
55．已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，E 为梯形内一点，且EA=ED.求证：EB=EC.56．如图，在⊿ABC 中，AQ=PQ ，PR=PS ， PS ⊥AC 于S ，PR ⊥AB 于R ，则三个结论：①AS=AR ；②⊿BRP ∽⊿QSP ；③PQ ∥AB 中，正确的是____________． 请证明你所得到的结论．57．如图，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ，∠BAD =90°，AD+AB=14，（AB>AD ）ECBABC D EFG图3AS PR CBQBD=10， BD =DC ，E 、F 分别是BCCD 上的点，且CE+CF = 4． (1) 求BC 的长； (2) 设EC 的长为x ，四边形AEFD 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；58．求证：等腰梯形下底的中点到两腰的距离相等。
（要求完成图形，写出已知。
求证，并加以证明）59．如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：AD=AE 。
60．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，tgB=3，上底AD=10，梯形的高是6，求(1)∠B的度数；(2)下底BC 的值。
(结果保留根号)AF EBDCA CD。