导数双变量专题

导数-双变量问题

1.构造函数利用单调性证明

2.任意性与存在性问题

3.整体换元—双变单

4.极值点偏移

5.赋值法

构造函数利用单调性证明

形式如：1212|()()|||f x f x m x x -≥- 方法：将相同变量移到一边，构造函数

1.已知函数23

9()()(24

f x x x =++）对任意[]12,1,0x x ∈-，不等式12|()()|f x f x m -≤恒成立，试求m 的取值范围。

2.已知函数2

()(1)ln 1f x a x ax =+++.设1a <-,如果对12,(0,)x x ∀∈+∞,有

1212|()()|4||f x f x x x -≥-,求实数a 的取值范围.

3.已知函数2

)1ln()(x x a x f -+=区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠时，若不等式

1)

1()1(>-+-+q

p q f p f 恒成立，求实数a 的取值范围。

4.已知函数2

1()2ln (2),2

f x x a x a x a R =

-+-∈．是否存在实数a ，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且21x x ≠，有

2121

()()

f x f x a x x ->-，恒成立，若存在求出a 的取值范围，

若不存在，说明理由．

练习1：已知函数2

()ln =+f x a x x ,若0>a ,且对任意的12,[1,]∈x x e ，都有

1212

11

|()()||

|-<-f x f x x x ,求实数a 的取值范围． 练习2.设函数

()ln ,m f x x m R x =+

∈.若对任意()()0,1f b f a b a b a

->><-恒成立， 求m 的取值范围.

5.已知函数()2

1()1ln ,12

f x x ax a x a =

-+-> （1）讨论函数的单调性

（2）证明：若5a <，则对任意的()12,0,x x ∈+∞，且21x x ≠，有2121

()()

1

f x f x x x ->--恒

成立

6.设函数()2mx

f x e

x mx =+-

（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；

（2）若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有12|()()|e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围。

任意与存在性问题

1.已知函数()2

a f x x x

=+，()ln g x x x =+，其中0a >．

（1）若函数()x f y =在[]e ,1上的图像恒在()x g y =的上方，求实数a 的取值范围．

（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，

求实数a 的取值范围．

2.已知函数321

()313f x x x x =+-+，

2

()2g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。 （2）若对任意[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。 （3）若对任意[]

0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。

（4）若对任意

[]

10,2x ∈，存在

[]

20,2x ∈，恒有

()

12()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。

整体换元——双变单

1.已知函数2

()ln .f x ax x =+

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与函数()y f x =相交于两点1122(,)(,)A x y B x y 、

21()x x >，求证：121

x x k

<

<．

练习1.已知函数为常数其中且a a a x x g x x x f a ),1,0(log )(,22

1)(2

≠>=-=

，如果 )()()(x g x f x h +=在其定义域上是增函数，且()h x '存在零点（()()h x h x '为的导函数）． （I ）求a 的值；

（II ）设(,()),(,())()A m g m B n g n m n <是函数()y g x =的图象上两点，

0()()

()g n g m g x n m

-'=

-0(()()),:.g x g x m x n '<<为的导函数证明

练习2.已知函数2

1()ln 1,()2

a f x x ax g x x -=-+=，a R ∈；

（1）已知2a <，()()()h x f x g x =+，求()h x 的单调区间； （2）已知1a =，若1201x x <<<，211221()()()()f x f x f t x t x x x -'=

<<-，求证：12

2

x x t +<

练习3.已知函数(),x

f x e x R =∈，设a b <，比较()()2f a f b +与()()

f b f a b a

--的大小，

并说明理由。

2.已知函数()()x a x x f -+=ln 有且只有一个零点，其中a ＞0. （Ⅰ）求a 的值；

（II ）设()()x x f x h +=，对任意()()2121,1,x x x x ≠+∞-∈，证明：不等式

()()

12121212

1+++--x x x x x h x h x x ＞恒成立.

3.已知2

()2ln f x x x ax =-+在(0,)+∞内有两个零点12,x x ，求证：'12

(

)02

x x f +<。 练习.已知函数f (x )＝ln x －mx （m R ），若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2． 4.已知函数()()2

()ln 0f x x ax a =>

（1）若()2

'f x x ≤对任意的0x >恒成立，求a 的取值范围

（2）当1a =时，设函数()g()f x x x =

，若12121,,1,1x x x x e ⎛⎫∈+< ⎪⎝⎭

，求证：()4

1212x x x x <+。

对称轴问题12x x +的证明

1.已知函数()x f x xe -=．