平面向量数量积的坐标表示 模 夹角
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
Office组件之word2007
AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
Office组件之word2007
uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
Office组件之word2007
2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
Office组件之word2007
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
Office组件之word2007
例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
Office组件之word2007
2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= .2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅=；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅ 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a = ________________或a ________________。
（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，=___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________二、合作探究1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、交流展示1、若()4,3a =- ，()5,6b = ，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a =-- ，()4,b k =- ，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +- 与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知()3,4a =- ，()5,2b =，则a b ⋅ 等于（ ） A.23 B.7 C.23- D.7-2. 若()3,4a =- ，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（ ）A.6365 B.3365 C.3365- D.6365- 3. ()2,3a = ，()2,4b =-，则()()a b a b +⋅- = ，4.已知向量()1,2OA =- ，()3,OB m =，若OA AB ⊥ ，则m = 。
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
数量积的模和坐标表示
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a|cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b| ≤ |a||b| 3．练习：（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60°B.30°C.135°D.４５°（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m=a-4b 的模为（ ） A.2 B.23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x= . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：《习案》作业二十四。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计
“引导－探究式”教学法”。
课堂基调：
自主探索，民主开放。 合作交流，师生对话。
借助：
“多媒体”教学
课堂流程
提供材料 设计问题
复习思考 提出问题
类比化归 解决问题
反思建构 操作练习
教学过程
选择恰当的实例。
新
课
从复习向量加减法的坐标运算开始。
导
开门见山，直奔主题。
入 提供材料，让学生发现问题。
夹角等知识进行简单的计算和证明 。
能力目标：
领悟数形结合的思想方法，培养学生自主学习， 提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感目标：
体验探索的乐趣，认识世间万物之间的联系与转化。 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
重、难点分析
重点：
数量积坐标表示的推导过程。
难点：
公式的建立与应用。
教法分析
可设计：
向量的两个要素：模、夹角随之确定。
求
a
?
b
?∠AOB＝？等。
设计意图： 渗透数形结合意识，突出向量的两个要素。
结论
1.
数量积的定义：
a
b
a
b
cos
2． 数量积的性质：
（1）
a
b
ab
0
（2）当
a与b同向时，a
b
a
b.
可解。
ab
关键:是如何用坐标表示
a
b
?
设计意图：
突出重点，为后面建立模、夹角公式做铺垫，使 学生产生学习数量积坐标表示的积极心理倾向。
教案平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。
1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。
教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。
2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。
2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。
教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。
3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。
教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。
4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。
5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。
教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。
6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。
5.3.2 平面向量数量积的坐标表示, 模, 夹角
宁晋中学“五为”教学高三数学教学提纲
编号：SXTG -
5.3.2 平面向量数量积的坐标表示, 模, 夹角编写：毕朋飞 审核：齐立芳 使用时间: 月 日 班级：______________ 姓名：
______________
[学习目标]
会用坐标形式表示向量的数量积, 模, 夹角
[重点难点]
重点: 理会用坐标形式表示向量的数量积, 模, 夹角; 难点: 利用坐标形式进行向量数量积, 模, 夹角的综合运算
[导学流程]
一、自学互学
1. 向量数量积的坐标表示: 已知两个向量 则_______.
2. 设两个非零向量 则_______.
3. (1) 向量模长公式: 若 则_______.(2) 两点间距离公式: 若 则_______.(3) 向量的夹角公式: 设两个非零向量 设与的夹角为 则_______.
二、深入学习
4. 已知 求 以及的夹角
5. 已知 求
三、迁移学习
6. 已知 试判断的形状, 并给出你的证明.a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a ⋅b =a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a ⊥b ⇔a =(x ,y ),|a |=A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∣∣∣−−→AB ∣∣∣
=a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a b θ,cos θ=a =(1,√3),b =(2,0),a ⋅b ,|a |,∣∣b ∣
∣,a ,b θ.a
=(2,3),b =(−2,4),c =(−1,−2),a ⋅b ,(a +b )⋅(a −b ),a ⋅(b +2c ).A (2,1),B (6,3),C (0,5),ΔABC。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
向量数量积的坐标表示、模、夹角
其中，A·B表示向量A和B 的数量积，||A||和||B||分别 表示向量A和B的模长。
ABCD
cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||)
通过计算cosθ的值，可 以进一步求得θ的值。
向量夹角的性质
01
向量夹角具有对称性，即向量 A与向量B的夹角等于向量B与 向量A的夹角。
02
当两个向量的夹角为0或π时， 它们共线；当夹角为π/2时，它 们垂直。
03
向量夹角的余弦值与两个向量 的数量积和它们的模长之积的 比值相等。
05 向量数量积的坐标表示
数量积的定义与性质
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
定义
两个向量$vec{a}$和 $vec{b}$的数量积（也 称为点积）定义为 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$，其 中$theta$是$vec{a}$ 和$vec{b}$之间的夹角。
向量的运算
向量的数乘
设向量a=(x,y)，实 数λ，则数λ与向量a 的积为λa=(λx,λy)。
向量的模
设向量a=(x,y)，则 向量a的模为 |a|=√(x²+y²)。
向量的加法
设向量a=(x1,y1)， b=(x2,y2)，则向量 a与b的和为 a+b=(x1+x2,y1+y 2)。
向量的数量积
向量模的性质
非负性
向量的模总是非负的，即 |a| ≥ 0。
零向量的模为零
如果向量 a 是零向量，则 |a| = 0。
向量模的乘法性质
对于任意实数 k 和向量 a，有 |ka| = |k| × |a|。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
探究点二
平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
问题 1 若 a＝(x，y)，试用 x，y 表示|a|.
|a|＝ x ＋y .
2
2
问题 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两 点，试推导平面内两点间的距离公式．
答 → ∵AB＝ (x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)， → ∴|AB|＝ x2－x12＋y2－y12.
；
3 π 4 例如，(1)若 a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则 a 与 b 的夹角为_____．
直角 (2)已知 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC 的形状是_____
三角形．
【典型例题】 例1 已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a· b＝10. (1)求 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求 a· (b· c)及(a· b) · c.
3．平面向量的模
2 2 x ＋ y 1 1 . (1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝__________
(2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， → x2－x12＋y2－y12 则|AB|＝_________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，
探究点三
平面向量夹角的坐标表示
设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 x ＋ y · x ＋ y cos θ＝ ＝ 1 1 2 2. |a||b|
b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式知识点三平面向量夹角的坐标表示cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(×)2．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(×)提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角．3．两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(×)题型一数量积的坐标运算例1(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．10 B．－10C．3 D．－3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE →的值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，∴E ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝⎝⎛⎭⎫223，2，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BE →＝－49＋4＝329.反思感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a .②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 C解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C. 题型二 平面向量的模例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a －2b |＝72＋32＝58.(2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1， ∴c ＝a ＋b ＝(1,6)， ∴|c |＝12＋62＝37.反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方． (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.题型三 平面向量的夹角与垂直问题命题角度1 向量的夹角例3 已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D解析 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 命题角度2 向量的垂直例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.向量的坐标在解三角形中的应用典例 如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB →·BC →＝1，求边AC 的长．解 以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)， ∵AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)， ∴AB →＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )． ∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，32，则AC →＝⎝⎛⎭⎫52，32， ∴|AC →|＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＝342， 故边AC 的长为342. [素养评析] 本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系．利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养．1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A 解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求参数答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 A解析 由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．5．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．求证：AB ⊥AD .证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 求坐标形式下的向量的夹角答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为() A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3考点 平面向量投影的坐标表示与应用题点 平面向量投影的坐标表示与应用答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D. 4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为() A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313D ．以上都不对考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )，∵(x ，y )是单位向量的坐标形式，∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ，∴2x －3y ＝0，②由①②得⎩⎨⎧ x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧ x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( )A ．－1＋ 3B ．－2C ．－1±3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 8．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12， 则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3， 故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)． 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 二、填空题9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点 平面向量模的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 8 2解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.11．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)． 12．已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 －8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ， 则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题13．(2018·安徽芜湖质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)∵c ＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，∴b ·c ＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.(2)∵a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，(a ＋λb )⊥a ，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝52.14．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 平面向量模的坐标表示的综合应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
平面向量数量积的坐标表示、模和夹角
目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向， 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为 答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(新2019)
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角、教学分析平面向量的数量积，教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积以及平面向量的坐标表示•那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基二、教学目标1知识与技能:掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法:通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。
3、情感态度与价值观:能用所学知识解决有关综合问题。
三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用四、教学设想（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节，我们最新高一数学优质学案(附经典解析)学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示，对平面向量的数 量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来 么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如 何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数 对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示 (二) 推进新课、新知探究、提出问题① 平面向量的数量积能否用坐标表示② 已知两个非零向量 a=(X i ,y i ),b=(X 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标 表示a b 呢？③ 怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件?④ 你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公 式？ 活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究 .前 面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来 表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性 运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具 备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的思路2•在平面直角坐标系中 ，平面向量可以用有序实数对来表示，那最新高一数学优质学案（附经典解析）运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充•推导过程如下:a=x i i +y i j,b=x2 i +y2j,••• a b=(x i i +y i j) (x2 i +y2j)=X i X2 i 2+X i y2 i j・+X2y i i j+y i yf.又Ti i =1,j j-=1, i j=j i =0,a b=X i X2+y i y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即a=(X i,y i),b=(X2,y2),贝y a b=X i X2+y i y2.2°向量模的坐标表示若a=(X,y),则| a| 2=X2+y2,或| a|= J x2 y2如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x i,y i）、（X2,y2）,那么I 2 2a=(X2-x i,y2-y i),| a|= U(X2 x」皿 y i)-3°两向量垂直的坐标表示设a=(X i,y i),b=(X2,y2),则a 丄b X i X2+y i y2=0.4 °两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a=(X i ,y i ),b=(X 2,y 2),是a 与b 的夹角， 根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cos 0=a ?b --------------------------- L|a||b| J x ； y ； ? J X i讨论结果:略.(三) 应用示例 例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形 的形状问题•判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看 边长是否相等，角是否为直角.可先作出草图，进行直观判定，再去 证明•在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相 等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零 ，则此三角形为等腰 三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面 图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5三点，我们发现AABC 是直角三角形.下面给出证明.V AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), 二 AB -A C =1 X (-3)+1 X 3=0.x i X 2 y y 2y 2AB丄AC.•••△ ABC是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC中,A B =(2,3),AC =(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的解:由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论.若/ A=90°,则AB 丄AC,所以AB AC=0. 于是2X 1+3k=0故k=；.3同理可求若/ B=90°时,k的值为口；3 若/ C=90°时,k的值为Md.I故所求k的值为I或号或弓13例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4)求/ BAC的余弦值；⑵a=(3,0),b=(-5,5),求 a 与 b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x i,y i)与b=(X2,y2)的数量积 a b=x i X2+y i y2 和模I a l= J x：y：,| b|= J x；y；的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cos 9詁菽r y hJ x F y.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0W9諾n生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误.解：(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), XC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), AB -A C =3X (-1)+3 X 6=15.又T | A B|=J32 32=3逅,| AC |= J( 1)2 62=后,.看BAC號缶7警(2)a b=3X (-5)+0 X 5=01|§3，| b|=52.设a与b的夹角为9则cos 9昴出T又；0"9"n9 =点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高变式训练设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a b及a、b间的夹角9精确到1°解:a b=5X (-6)+(-7) X (-4)=-30+28=-2.| a|=』52 ( 7)2莎,| b|= 6)2( 4)2V52由计算器得cos 9=r^ F.03.利用计算器中得9-92°.例3已知| a|=3, b=(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若 a 丄 b,求 a;(2)若 a // b,求 a.活动:对平面中的两向量a=(x i ,y i )与b=(x 2,y 2),要让学生在应用中深 刻领悟其本质属性，向量垂直的坐标表示 X i X 2+y i y 2=0与向量共线 的坐标表示X i y 2-X 2y i =0很容易混淆, 应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，两向量垂直 是ab=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习，多给 出这两种类型的同式变形训练解:(1)设 a=(x,y),由I a|=3 且 a 丄b,2 2 [ [2 c得 X y |a| 9,2X 3X 0,X —殒 解得 13y — v Ts 13 二a=( 2、唸2届)或a=2屁，色后.13 13 13 13 ⑵设 a=(x,y),由 | a|=3 且 a / b,得X 2 y 2 |a|2 9,3X 2y 0.X 5 解得13 或 y 2品13 --a=(—^13, ■— ^13 )或a=( ~6胡3, "9^/13).13 13 13 13点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线 ，也能熟练地进行公式的逆用 513 13 5 1313最新高一数学优质学案（附经典解析）利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证一次函数y=2x-3的图象（直线l i）与一次函数y= ^x的图象（直线12）互相垂直.解:在l i：y=2x-3中，令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在1i上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C（-2,1）,D（-4,2）于是:AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示，可得A B CD =1X（-2）+1 X 2=0,A B丄CD ,即h 丄l2.（四）课堂小结1.在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表2.在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法,待定系数法等.（五）作业最新高一数学优质学案（附经典解析）。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
例4：已知 a 、b 是非零向量，且
a b a b ，求 a 与 a b 的夹
角。
例5：已知△ ABC 中，
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6：求证：
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa
③
ab cos a, b
量数量积的运算律：
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式：
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1：已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时， 分别求 a 与 b 的数量积。
主讲：南平高级中学 胡敬衡
复习:
1、定义：已知两个向量 a 和 b ，
它们的夹角为 ，我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积（或内积）记
作 a b 即 a b a b cos
（其中 00 1800 ）。
2、向量数量积的性质：
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。
平面向量中夹角问题
平面向量中夹角问题本文将讨论平面向量中的夹角问题。
平面向量是在平面上具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
两个平面向量的夹角可以通过向量的坐标形式或向量的数量积来计算。
坐标形式计算夹角设平面上有两个向量A和B，其坐标形式分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。
则通过求解向量A和B的数量积，可以计算出它们的夹角θ。
具体步骤如下：1. 计算向量A和B的数量积，公式为A·B = x1·x2 + y1·y2。
2. 计算向量A和B的模，公式为|A| = √(x1² + y1²) 和 |B| = √(x2² + y2²)。
3. 计算夹角θ，公式为θ = arccos((A·B) / (|A|·|B|))。
4. 最后得到的夹角θ的单位是弧度，若需要转换成角度，则可以使用角度制和弧度制的换算公式进行转换。
数量积计算夹角除了坐标形式，还可以使用向量的数量积来计算平面向量的夹角。
数量积的性质之一是：若两个向量的夹角为θ，则它们的数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积，即A·B =|A|·|B|·cosθ。
根据这个性质可以得到以下计算夹角的公式：1. 计算向量A和B的数量积，公式为A·B = |A|·|B|·cosθ。
2. 计算向量A和B的模，公式为|A| = √(x1² + y1²) 和|B| = √(x2² + y2²)。
3. 计算夹角θ，公式为θ = arccos((A·B) / (|A|·|B|))。
4. 最后得到的夹角θ的单位是弧度，若需要转换成角度，则可以使用角度制和弧度制的换算公式进行转换。
以上就是平面向量中夹角问题的相关计算方法。
在应用中，根据实际情况选择合适的计算方法，可以更方便地求解平面向量的夹角。
数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
方向性
向量的模只与向量的长度有关， 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知，可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量，然后分别求出分量 的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$， 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 1 页
636543(,)554355--（），433C.555
-4（，）或（-，）5433)(,)555
4（，或--5§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模
夹角
1. 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅
（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
如：设a (5,-7),b=(-6,-4),求a b 。
2.平面内两点间的距离公式
（１）设a=(x,y),
则2a = _____________或a ________________。
（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为____________________（平面内两点间的距离公式） 3.向量垂直的判定
设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,
则a b ±⇔ _________________
如：已知A （1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC 是直角三角形。
4.两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）
cos θ＝_____________________＝____________
如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,a BC b CA ==
,则a 与b 的夹角
为_________________。
【小试身手、轻松过关】
1.已知(4,3),(5,6)a b =-=
则23a 4a b=-⋅ （ ）
A.23
B.57
C.63
D.83
2.已知()()a 3,4,b=5,12- 则a b
与夹角的余弦为（ ）
A. B.
3.()a=2,3,b=(2,4),-
则()()
a+b a-b =⋅ __________。
4.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥ ，且则λ＝__________。
【基础训练、锋芒初显】
6.与()a=3,4
垂直的单位向量是__________
A. B.
D. 7.a=(2,3),b=(-3,5)
则a b 在方向上的投影为_________
8. A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)且a=BC,b=CA
则a b 与的夹角为
_______
第 2 页 共 2 页
1
2
5252-152m
b=(1,)5
-- 9.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ABC 为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
10.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为（ ） A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形
11.已知a+b=2i 8j,a b=8i+16j a b=---⋅ 那么_______（其中i,j
为两个相互垂直的单位向量）
12.已知a=(3,4),b=(5,2),c=(1,1)--
，
则()
a b c 等于（ ） A.-14 B.-7 C.(7,-7) D.(-7,7)
13.已知A(-1,1),B(1,2),C(3, ) ,则AB AC
等于（ ） A. B.15
2 C. D.
14.
已知m ,sin ),m n=9,θθ
则m n
与的夹角为（ ） A.150º B.120 º C.60 º D.30 º
15.若a=(2,1)- 与
互相垂直，则m 的值为（ ） A.-6 B.8 C.-10 D.10
【举一反三、能力拓展】
16.
求与a=(2,1)b
平行，且大小
17.已知点A （1，2），B(4,-1),问在y 轴上找点C ，使∠ABC ＝90º若不能，说明理由；若能，求C 坐标。
第二课时
【学习目标、细解考纲】 【知识梳理、双基再现】
1.a =2 b a,b 夹角为450
, 使b-a a λ 与垂直，则λ＝
______
第 3 页 共 3 页
1213
12721722或72
2.a=(1,2),b=(x,1)a+2b 2a b x=-
且与平行，则_______
A. 2
B.1
C.
D.
3.a=(1,2),b=(1,0)a+b a λλ
若与共线则＝_______
4.a=(2,1) b=(1,0)a b
若与的夹角为钝角则λ的取值范围为 5.若a=(0,1),b=(1,1),(a+b)a λ⊥
且，则实数λ的值为（ ）
A. -1
B.0
C.1
D.2
6.若a=(2x 2,3)b=(x+1,x+4)--
与互相垂直则实数X 的值为（ ）
A. B. C. D .或-2 7.已知a(1,2b=(x,1)(a+2b)(2a b)- ），且，则X 的值为（ ）
A.2
B.1
C.
12 D.1
3
9.若1212e =(5,5),e =(0,3),e e sin θθ-
与的夹角为，则＝_________.
10.设11a=(x y ),b=(x2y2)
有以下命题：
①
a
②
③
1212a b=x x +y y ;
④
1212a b x x +y y =0⊥⇔。
其中假命题的序号是____________________.
11已知a=(3,0),b=(k,5)a b
且与的夹角为3
,k=4
π则______________..
12.已知a+b=2i-8j,a b=8i+16j,a b --
则
14.已知，(1,2),(3,2)a b ==-
，
当k 为何值时，（1）3ka b a b +-
与垂直？
（2）3ka b a b +-
与平行吗？平行时它们是同向还是反向？ ３．平面向量的数量积【巩固复习】
１．１．设均为非零向量，则下面结论：正确的是_________.
①； ②； ③； ④
.
２．若且，则向量与的夹角为( ) A.
B.
C.
D.
３．已知
的夹角为
，
，
，则
等于( )
A 5 B. 4 C. 3 D. 1
４．设，，为坐标平面上三点，
为坐标原点，若
与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为() A ．B ．C ．D ．
５．已知且
与的夹角为，k的值是_________.
６．①已
知，求向
量与向
量的夹角是
_________
②已
知
，夹角
为，
则
___________.
７．若两个向量
与的夹角为，则称向量为“向量积”，其
长度
，令已
知，
则
=_____.
８．已知，求.
９．已知平面向量，=(3，-4)，=(2，x)，=(2，y)且
//，，
求以及和的夹角.
１０．已知
(1)求与的夹角
(2)求
和
(3)若作三角形ABC ，求的面积.
第4页共4 页。