结构力学-第14章结构动力学

FI FR Fe F (t ) 0
即
m y k11 y F (t ) y
1 F (t ) (h) m
或 2y 2 y y
微分方程(h)的解有两部分：一是相应齐次方程的通解 y0，
y 0 e t ( B1 cos t B2 sin t )
y(t ) A1 cos t A2 sin t
振动的初始条件为 t 0，y y0，y y0
y0
则有 A1 y0，A2 (b)

可得
y y0 cos t

y0
sin t
§14-3 单自由度结构的自由振动
式中y0—初位移， y0 —初速度。 结构的自由振动由两部分组成： 一部分是初位移y0引起的，为余弦规律； 一部分是初速度 y0引起的，为正弦规律。如图a、b。
一般建筑结构中ξ=0.01~0.1，可认为
某一时刻tn振幅为yn，经过一个周期后的振幅为yn+1，则有
yn be kt n k (tn T ) e kT eT yn 1 be
等式两边取对数得
yn 2π ln T 2π yn 1
振幅的对数递减量
(3) 突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。
§14-1 概 述
(4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。 (5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。 如风的脉动作用、地震等。
结构振动的形式
(1) 自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动 过程中不再受外部干扰力作用。 (2) 强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。
§14-2 结构振动的自由度
结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位 置所需的独立参数的数目。 图a所示简支梁跨中固定一个 重量较大的物体，如果梁本身的 自重较小可略去，把重物简化为 一个集中质点，得到图b所示的计 算简图。 梁在振动中的自由度=1 单自由度结构—具有一个自由度的结构。 多自由度结构—自由度大于1的结构。
m k11 y 0 y
图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平 衡位置为计算位移y的原点，规定位移y和质点所受的力都已 向下为正。
(1) 列动力平衡方程（刚度法）
取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。
k11 命 m
2
y 则有 y 0 (a)
2
单自由度结构 自由振动微分方程
k 1 因 11 m m11
A 1 1
2
2
2
F11 yst
yst=Fδ11： F作为静力荷载引起的静力位移 —位移动力系数，最大动力位移与 静力位移之比值。

1 1
2
2

ห้องสมุดไป่ตู้
A yst
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当θ<ω时：μ为正，动力位移与动力荷载同向； 当θ>ω时：μ为负，动力位移与动力荷载反向。 对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时， 位移动力系数与内力动力系数是相同的，统称为动力系数。
第十四章
§14-1 概 述
结构动力学
§14-2 结构振动的自由度
§14-3 单自由度结构的自由振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动
§14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 §14-10 计算频率的近似法
二是与干扰力F(t)相应的特解 y
当干扰力为简谐荷载时： F (t ) F sin t
θ为干扰力的频率 F 为干扰力的最大值
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
振动方程(h)成为 2y 2 y y F sin t (i) m
设式(i)的一个特解为 y C1 sin t C2 cos t
经过j个周期后，有
yn ln 2πj yn j
§14-3 单自由度结构的自由振动
(2) k>ω—大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式(f)的通解为
y e kt (C1 cosh k 2 2 t C2 sinh k 2 2 t )
是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓 慢回复到原有位置。 (3) k=ω—临界阻尼情况：r1=r2=-k，式(f)的通解为
讨论
(1) k<ω—小阻尼情况：r1、r2是两个复数，式(f)的通解为
y e kt ( B1 cos 2 k 2 t B2 sin 2 k 2 t ) e kt ( B1 cos t B2 sin t )
式中 2 k 2 —有阻尼自振频率
y e kt (C1 C2 t )
—非周期函数，不发生振动。
cr 2m
此时阻尼比ξ=1，k=m，可得临界阻尼系数
故有
cr
—阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
强迫振动—结构在外来干扰力作用下产生的振动。 如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点m上，可得
过渡阶段—振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段； 平稳阶段—纯强迫振动阶段。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
1、不考虑阻尼的纯强迫振动 此时ξ=0，由式(j)的第三项可知纯强迫振动方程为
y F sin t 2 2 m( )
2
最大动力位移即振幅为
A F 2 2 m( ) 1 1 F 2 m 2
FI FR Fe 0
y 即 m y k11 y 0
令 2 k11 2k m m
§14-3 单自由度结构的自由振动
y 则有 2ky 2 y 0 (f)
线性常系数齐次微分方程
设其解为
y Cert
代入式(f)得特征方程 r 2 2kr 2 0 两个根为 r1, 2 k k 2 2
据此有
1 : 2 : 3 1 : 1.51 : 2
说明：随着结构刚度的增大，
其自振频率也相应地增高。
§14-3 单自由度结构的自由振动
2、考虑阻尼作用时的自由振动
阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等； 物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。
粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向 相反。 FR y —β称为阻尼系数 考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示 由动力平衡得
§14-3 单自由度结构的自由振动
解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有
Fl 3 7 Fl 3 Fl 3 Δ1 ， Δ2 ， Δ3 48EI 768EI 192 EI
代入式(d)可得
48EI 768EI 192 EI 1 ， 2 ， 3 3 3 ml 7ml ml 3
t 0 , y y0 , y y0 可得
y0 y0 sin t ] F 2 2 2 ( 2 2 ) t e [2 cos t sin t ] 2 2 2 2 2 2 m[( ) 4 ] F [( 2 2 ) sin t 2 cos t ] (j) m[( 2 2 ) 2 4 2 2 2 ]
§14-3 单自由度结构的自由振动
(2) 列位移方程（柔度法）如图c。 质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷 载作用在体系上，则质点处的位移为
y FI11 m11 对单自由度结构有 k11 y y 可得与(1)相同的结果 m k11 y 0
1
11
方程为一常系数线性齐次微分方程，其通解为
kt
式中
y ky0 2 b y0 0
2
, tan
y0
y0 ky0
式(g)的位移-时间曲线如图所示。
—衰减的正弦曲线
k—衰减系数
§14-3 单自由度结构的自由振动
设阻尼比
k

则有 1 2

实际结构针对具体问题可以进行简化
§14-3 单自由度结构的自由振动
如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原 有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置 附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是 自由振动。
§14-3 单自由度结构的自由振动
1、不考虑阻尼时的自由振动 弹簧拉力(恢复力) Fe=－k11y 惯性力 FI m y 质点处于动力平衡状态 FI Fe 0 可得
§14-1 概 述
动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时 间而变化，要考虑惯性力的影响。 动力荷载的种类
(1) 周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦 (或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为 振动荷载。
(2) 冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行 消失的荷载。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
由式(j)可知，振动由三部分组成： (1) 由初始条件决定的自由振动； (2) 伴随干扰力的作用发生的振动频率为ω’，称为伴生自由振动； (3) 按干扰力频率θ振动，称为纯强迫振动或稳态强迫振动如图。 前两部分振动很快衰减掉， 最后只剩下纯强迫振动。
( 2 2 ) F C1 m[( 2 2 ) 2 4 2 2 2 ] 2F C2 2 2 2 2 2 2 m[( ) 4 ]
y e t [ y0 cos t