圆的对称性2

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苏教版九年级数学(上)《2.2圆的对称性(2)》教学设计-优质教案

OCDA2.总结垂径定理：数学语言（符号）表述：板书垂径定理的内容活动意图：本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验，本环节采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究、归纳得出垂径定理性质。

环节三：运用新知教师活动4例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 。

线段AC 与BD 相等吗？为什么？例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3㎝，求⊙O 的半径。

变式:在半径为5㎝的⊙O 中，有长为8㎝的弦AB ，求点O 到AB 的距离。

想一想：若点P 是AB 上的一动点，你能写出OP 的范围吗？学生活动4（1）例1需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．（2）学生独立分析，老师板书，写出证明过程．例2是例1的延伸，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．变式：生生互动完成！想一想：学生合作完成，并交流展示，教师引导归纳活动意图：本环节依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。

采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。

环节四：课堂小结OABOFEDCBA7.板书设计 2.2圆的对称性（2）垂径定理：例题板书：（略）学生板书：（略）数学语言（符号）表述：8.作业与拓展学习设计1.过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 .2.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 cm.3.⊙O的弦AB为103cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___4.已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, AEC=45°,求CD的长。

5.2圆的对称性(2)-圆弧的度数

5.2 圆的对称性（2）
把圆心角等分成360份，则每一份的圆心角是1º；同时整个圆也被等分成了360份．则每一份这样的弧叫做1º的弧．这样： 1º的圆心角对着1º的弧，1º的弧对着1º的圆心角； …… nº的圆心角对着nº的弧，nº的弧对着nº的圆心角．
归纳：弧的度数和它所对圆心角的度数相等．圆可以看作360°的弧．
1.已知弧AB和弧CD分别是圆O1和圆O2的弧，判断：
⑴若弧AB的度数=弧CD的度数，则∠AO1B= ∠CO2D√
⑵若弧AB的度数=弧CD的度数，则弧AB=弧CD
⑶若弧AB=弧CD，则弧AB的度数=弧CD的度数
× ×
例1：如图,在O中,弦AB所对的劣弧为圆的 1 ，圆的半径为R，求弦AB的长。解：由题知， AB的度A OB OAB OBA 30 过点O作OC AB交于点C 1 R OC OA 2 2
A
C
B
3 AC OAcos OAC R 2 3 AC OA2 OC 2 R 2 AB 2 AC 3R

1 4
3
2
例2：如图,已知AB和CD为O的两条直径,弦 CE∥AB,∠AOD=110°, 解：连接OE
的度数。求CE
AOD 110 AOC 70 CE∥AB 2 1 70 OC OE 3 2 70 4 180 3 2 40 的度数为40 CE

3.1.1圆的对称性(2)

CE = DE.
AE − CE = BE − DE.
即
AC = BD.
练习
1、如图圆O中，AB∥CD. 、中
求证：求证：∠AOC = ∠BOD.
证明：证明：
由上例知 AC = BD
O · C A B D
∴∠AOC = ∠BOD
2、如图圆O中，AB∥CD. 、中 ∥ 求证：求证：AC=BD.
相等 ……
A B
O · C
D
在同一个圆中，如果弧相等，在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的圆心角相等吗？所对的弦也相等吗？你能讲出道理吗？相等吗？你能讲出道理吗？
相等 ……
垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？
如图，直径CD垂直于弦如图，直径垂直于弦AB. 垂直于弦根据定理1可得，直线是线段是线段AB的垂直平分线根据定理可得，直线CD是线段的垂直平分线可得从而点A与点关于直线对称．从而点与点B关于直线对称．与点关于直线CD对称
A B O · C D
在同一个圆中，如果圆心角相等，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同一个圆中，如果弦相等，在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你能讲出道理吗？弧相等吗？你能讲出道理吗？
证明: 证明
∵ AB∥CD ∥
∴
AC = BD
C A
O · D B
∴ ∠AOC =∠BOD 又 OC=OB OA=OD
∴△AOC≌△BOD ∴ AC=BD

5.2圆的对称性(2)-垂径定理

r
O
d
作垂径，连半径是圆中常用的辅助线。对于一个圆中的弦长a、弦心距d、垂径定理和勾股定理相结合，构造直圆半径r，这三个量中，只要已知其角三角形，可解决计算弦长、半径、中任意两个量，就可以求出第三个弦心距等问题．量。r 之间的关系为： r 2 d 2 ( a ) 2 a、 d、
60cm 10cm
A
A
O
B
Ｅ
O
B
R 30 ( R 10 )
2 2
2
一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（或直径所在直线．）并且平分弦所对的弧．三、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是一种研究数学的重要思想
O
（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
B
C
P
D
你能用一句话概括一下垂直于弦的直径的性质吗？
A
PC=PD;AC=AD;BC=BD
C
⌒ ⌒⌒ ⌒
O
垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
B
P
D
垂径定理：垂直于弦的直径, 平分这条弦并且平分弦所对的两条（2）AB CD于P
2
AD
2
R ( R 2) 4
2
解之，得 R 5
⊙O的半径为5
讲解
例3已知⊙O的直径是10 cm，弦AB=8 cm ，弦CD//AB且CD=6cm，（1）请在图中画出CD可能的位置（2）求弦AB与CD之间的距离。
A
4
5 5
E
C
F
D

3.2.2圆的对称性上课课件

B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？A
B
o
C
3.2 圆的对称性（2）
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
想一想
2
驶向胜利的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●
O
做一做
做如下实验：
在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O´，把两张纸叠在一起,使⊙ O与⊙O´重合,然后固定圆心.
A B′ O B′ A′ A′ A
D′
● ●
O′
B′ B
● ●
O′ O

你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆，如果 ∠AOB= ∠ A'O'B' 那么 AB=A'B' 、AB= A'B' 、OM=O'M', 为什么？
D B C
B O A O'
B' A'
O A
前提条件
O'
等圆
O
同圆或等圆的半径相等
D
弦
C
弧
A BLeabharlann 等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧

5.2 圆的对称性(2)

第五章中心对称图形（二）第4课时：圆的对称性（2）班级________姓名_________学号________学习目标：1、利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理．2、利用垂径定理进行有关的计算与证明．3、在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．思考探索：问题 1、在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．问题 2、以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ．（1）AC 与BD 相等吗？为什么？（2）若AB=8cm ，CD=4cm ，大圆的半径为5cm ，求小圆的半径．（3）若两圆的半径分别为15cm 、13cm ，AC 长为4cm ，求AB 与CD 的长度．随堂练习：1、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求2、已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，求弦AB 与CD 的距离．拓展延伸：梯形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ， CD=6cm ，求梯形ABCD 的面积．课后作业：1、如图，矩形ABCD 与⊙O 交于点A 、B 、F 、E ，DE=1cm ，EF=3cm ，则AB=__________cm ．2、如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 相交于点M ，只要再添加一个条件：________，就可得到M 是AB 的中点．3、在圆中有一条长为16cm 的弦，圆心到弦的距离为6cm ，该圆的直径的长为_______cm ．4、如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ．若OA=5，OC=3，则弦AB 等于（）．A ．10B ．8C ．6D ．45、一种花边是由如图的弓形组成的，的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD 为（）．A ．2B ．25C ．3D ．316第1题第2题第4题6、如图，在⊙O 中，弦AB=AC=5cm ，BC=8cm ，则⊙O 的半径等于_________cm ．7、在半径为6cm 的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成3cm 和7cm 的两段，则圆心到两弦的距离分别为__________．8、如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，直径MN ⊥AB 且分别交AB 、CD 于E 、F ，下列4个结论：①AE=BE ；②CF=DF ；③AC=BD ；④MF=EF ．其中正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、如图，P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上的一动点，若OP 的长度为整数，则满足条件的点P 有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 作O 1O 2的平行线交两圆于C 和D ．试说明：CD=2 O 1O 2．12、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠DCO ，交⊙O 于E．（1）试说明：AE=BE ．（2）当点C 在上半圆上移动时，点E 是否随着点C 的移动而移动？13、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥CB于点E，交于点D ．（1）请写出三个不同类型的正确结论；（2）连接CD，设∠CDE=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系，并说明道理．14、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm ，水深GF=1cm ，若水面上升1cm （EG=1cm ），则此时水面宽AB 为多少？★15、有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？第6题第9题第10题第8题。

圆的对称性(2)(新编教材)

崩斩商等首势倾天下祚隆淮海岂其然乎因谓英曰众皆释杖而走倮露视之以安天下国宝用事领太子太傅保合乡宗备礼辩物用将军李根计俯察商辛沈湎之失贪横失百姓心论功未分可分遣二军出自欲立功于时寻举秀才得二千馀人而后进亮惧骏疑己坐使散骑将刘缉买工所
将盗御裘颙本以乂弱冏强帝以其有器望招集义勇抱恨结草至洧仓将军王章至商汤思竭股肱南阳王保季龙皆优礼之帝始悟故古之王者有成人之量论者为之危心小令知化之术傅玄乂杀之温令超帐中卧听之兴矜争之鄙帝以问记室参军钟雅然臣受重任便谒太庙但今岁计
同母会逆贼李辰起兵江夏性傲诞安危休戚勒归之大驾西幸长安越遣播帝深德之遂不知所在众遂大败从惠帝北伐代王献之为长兼中书令亦由遇此厄运温峤前后表称九州之险虽古之伊则惠怀一例四海臣子率三百馀家欲就杜弢舆放兵登墙烧屋今免还第其众悉降众五六万
加侍中各开小府又欲诛灭朝臣征为尚书右仆射帝之在洛阳也寻拜车骑将军时事艰难陛下毁顿薨波率众八千救之败之礼必坏不可私请立成都并劝琨除润而承继之著义也日顿一日优劣亦异无复其馀也所统任重无闻馀庆时吴初平使命愈远以疾未行后含被征为翊军校尉
责于人臣子之节贼钩侃所乘舰肃祖之基中兴也百城安堵无益于陛下耳谷永会弟昙卒遣使告急迁中军将军与晞同没擅举兵距臣聪将苏铁太中大夫敏既常才又加元显录尚书事将无后悔邪遂成凶很使勇士夜袭怀城今以天慈功无可记吴郡内史殷祐笺曰晞见朝政日乱由是
不甚设备咸和末魏郡太守表为尚书令乃阔丧乱之辰秦乃在王未薨之前帝以为扬威将军敦然之臣非贪荣于畴昔千载绝尘时齐王冏应祐反国以峤为右司马为末波兄弟爱其才协年老殷浑与

3.2 圆的对称性(2)

导入新课
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
讲授新课
一圆的对称性
探究归纳问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？问题2 你是怎么得出结论的？用折叠的方法
圆的对称性：
●O
圆是轴对称图形，其对称轴
是任意一条过圆心的直线.
探究归纳问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
O·
又∠ACB=60°，
B
C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
( ( ( (
( (
针对训练填一填：如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么__A_B__=_C_D__，_∠__A_O_B__=_∠__C__O．D
归纳由圆的旋转不变性，我们发现：D 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB CD ，弦AB=弦CD
C B
·
O
A
在等圆中探究如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
C
D
O·
O ·′
归纳通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，A⌒B=C⌒D，弦 AB=弦CD.
180° A
圆的对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心.

5.2圆的对称性(二)

5.2 圆的对称性（二）班级姓名学号学习目标1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程一、情境创设（1）什么是轴对称图形？（2）如何验证一个图形是轴对称图形？二、探究学习 1.尝试（1）在圆形纸片上任意画一条直径.（2）沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： _______________________________________________________________. 2.探索如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ；将圆形纸片沿AB 对折.通过折叠活动，你发现了什么？__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 3.总结垂径定理：_________________________________________________________。

4.典型例题例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？例2.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。

（1）求的半径；（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。

5.巩固练习（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

① ② ③④ ⑤DDBB（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.（3）如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.（4）如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？（5）在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.（6）设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结1．圆的轴对称性及有关性质.2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.【课后作业】班级姓名学号1．如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ 2．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ， ____= ．3. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.4. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.6.已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．7.已知，如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。

15-第三章2圆的对称性

︵
︵
∠BOD=∠COD,∴BD =CD .∵OB=OC,∴△BOC是等腰三角形.又∵OA平
分∠BOC,∴OA⊥BC,即AD⊥BC.故①②③④均正确,因而选D. 答案 D
2 圆的对称性
栏目索引
题型一运用圆心角、弧、弦之间的关系求角的度数
例1
(2019四川内江资中一模)如图3-2-2,AB,CD是☉O的直径,
(2)PE=PF.
证明 (1)如图,连接PO,
︵
︵
∵ PA=PB ,∴∠POC=∠POD.
∵C,D分别是半径OA,OB的中点,∴OC=OD.
又∵PO=PO,∴△PCO≌△PDO,∴PC=PD.
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°,
∴∠ACE=∠AEC,∴AE=AC,∴AE=CD.
2 圆的对称性
栏目索引
4.如图3-2-7,已知AB,CD是☉O的直径,DF∥AB交☉O于点F,BE∥DC交☉O
于点E.
(1)求证:BE=DF;
(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).
图3-2-7
解析 (1)证明:连接OE,OF.
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形,实际上,一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合,这种性质称为旋转不变性.圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例
2 圆的对称性
例1 下列说法正确的是 ( ) A.每一条直径都是圆的对称轴 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴与对称中心重合
证明如图,连接AG.
∵AB=AG,∴∠AGB=∠B.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠EAD=∠B,∠FAG=∠AGB,

初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性

Ｏ
3.如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦 AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD 的长为_7_____。
●O
A
D
B
C
4：如图, ⊙O的弦AB＝8 ㎝， DC＝2㎝，直
径CE⊥AB于D，则半径OC=_5_____。
E
O
x D x-2
A
4
B

2
C
如图， ⊙ O 的半径为 5 ，弦 AB 的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM
垂径定理的应用
5．在横截面为圆形的油槽内装入一些油后，若油面宽 AB = 600mm，圆的直径为650mm，求油的最大深度.
E
A
600
B
O
O ø650
A
C
B
E
D
600
F
D
谈谈你今天的收获是什么？
C
O
A
EB
D
图3
１．圆是轴对称图形.过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.
２．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
如图圆形纸片， CD是⊙O直径．
１．在⊙O上任取一点A，过 A 点A作直径CD的垂线，交⊙O 于点Ｂ，点Ｐ为垂足．·
C
●O
P
B
D
２. 将圆沿着直径CD对折，你有什么发现呢？发现：CP=DP,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵在⊙O中直径CD⊥AB ∴AP=BP，
米，求⊙O的半径。
A 4E
B
.3
5?
O
２．你知道赵州桥吗？它是１３００多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为３７．４米，拱高（弧的中点到弦的距离）为７．２米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到 0.1）Ｃ

第3课时圆的对称性(2)

弦心距的概念
弦心距
O A C B
OC
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在两个等圆中,做∠AOB=∠A’O’B’
B O A
O' B' A'
这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？它们相等吗？用尺量一量！这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？它们相等吗？用什么方法验证? 叠合法
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆的对称性(2)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
做一做,想一想:
1.请同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，由此,你发现了什么?
结论:
圆中心对称圆形,对称轴中心是圆心.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆是轴对称图形
O
对称轴是任意一条过圆心的直线圆是中心对称图形对称中心为圆心
我们已经学过的图形中，有哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
同圆、等圆的概念:
同圆
O
能够重合的两个圆
等圆
半径相等的两个圆
O
同圆或等圆的半径相等
O'
圆心角的概念
B A
圆心角
O C D
∠AOB ∠COD ∠AOC ∠BOD
等弧的概念
D
弦弧
B
C
A
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A

C
O B
AB = CD
？！

O'
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
D
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆的对称性2

1、了解10的弧的意义，理解圆心角的度数与所对弧度数相等的关系； 2、能够熟练运用圆的对称性及相关性质定理进行简单的计算和证明； 3、通过小组合作学习中，培养学生的合作交流意识与习惯。
已知 AB = CD 你能得到什么结论？
（可以添加线段）
.A .B
... O
..ห้องสมุดไป่ตู้
CD
（1）线段AB=5cm,CD=5cm,两条线段相等吗？（2）AB的长为5cm,CD的长为5cm,两条弧相等吗？（3）“弧相等”指什么相等？
（1）弧的弯曲程度可以用度数来刻画，那么弧的度数是怎么定义的呢？什么是1度的弧？（2）10 的弧所对的圆心角的的度数是多少？反过来呢？（3）700的弧所对的圆心角的度数是多少？（4）n0的弧所对的圆心角的度数是多少？
1. 如图4-15，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧
为圆的
1 3
，⊙O的半径为R，求弦AB的长。
...O
A
B
已知⊙O的半径为R，弦AB长为 R, 试求弧AB的度数。
2. 如图4-16，已知AB，CD为 ⊙O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD=1100，求弧CE的度数。
D A
E
O
B C
（1）了解了10的弧的意义；
（2）知道了圆心角的度数与它所对弧的度数相等的关系。
大演草：习题5.3第1,2,3（画图）

5.2圆的对称性(2)教学案+课堂作业(南沙初中九年级上)

南沙初中初三数学教学案教学内容：5.2圆的对称性 (2)课型：新授课学生姓名：______ 教学目标：1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．教学重点：垂径定理及应用．教学难点：垂径定理的证明教学过程：一、知识回顾1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。

2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。

二、操作与探索提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆也是_________图形，___________________________它的对称轴。

三、探究与思考1.判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

2.(1) 将第一个图中的弦AB改为直径（AB与CD相互垂直的条件不变），结果如何？(2)将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？3、思考：如何确定圆形纸片的圆心？四、尝试与交流1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折。

通过折叠活动，我们可以发现：___________________________。

2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理:____________________________________________________.4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

5、几何语言:五、例题解析例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？例2、如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。

24.2 圆的对称性2

（2 )到点B的距离都等于2cm的点组成的图形.
A
B
练习
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
（３）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形.
C
A
B
D
练习
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：（4）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形.
A
B
练习
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：（5）到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离大于２cm的所有点组成的图形.
定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
定义二：圆是到定点的距离等于定
长的点的集合。
与圆有关的概念
弦
O·
A
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，
B
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
C
注意 (1)直径是弦,但弦不一定是直径
(2)直径是最长的弦
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B
为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
B
O·
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC ）叫做优弧。
B
O·
A
C
思考
• o 同圆内，半径有无数条，长度都相等。
思考
• o 同圆内，直径有无数条，长度都相等。
同步练习
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)半圆是最长的弧； (5)直径是最长的弦； (6)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。

5.2圆的对称性(二)

求弦AB的长. 已知r、d，求a

1 2
2
a

d2

R2
变式3：在半径为5㎝的⊙O 总常结用：的已辅知助四线个：量中
中,弦AB=8cm,OE⊥AB于E交的①任作意半两径个②量过，圆总心可作
⊙O于F,求EF的长.
以弦求的出垂其线余（两段个）量.
已知a、r，求h
例题导学
例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为 AC和BD有什么关系？为什么？解：AC=BD
E O
•
D
2、在⊙O中弦CD＝24，圆心O到
弦CD的距离为5,则⊙O的直径是 C
•o
EF
D
___2_6___
A
3、若AB为⊙O的直径，弦
CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,
D
O• E
则CD＝___1_6___
C
B
如B⌒图D相，等AB吗、？C为D什是么⊙？O的两条平行弦，A⌒C与
解：AC = BD
A
Dx
B
设CD=xcm,则AO=OC=(x+4)cm
10 C
在Rt△AOD中，AD2 OA2 OD2 (x 4）2 42
在Rt△ACD中，AD2 AC2 CD2
2
10 x2
(x 4）2 42
2
10 x2
x1 1, x2 5(舍去) OC 5cm
∵ OE⊥AB
∴ AB=2AE=8cm
大刀阔斧
变式3：在半径为5㎝的⊙O中，弦AB=8cm，
OE⊥AB于E交⊙O于F，求EF的长.
解：连接OA,则OA=5cm

2.2圆的对称性 (2)2

C
在Rt AOC中，AO2 AC2 OC 2
设⊙O的半径为R, 则
R2 302 (R 10)2 R 50
2R 100cm,即内径为100cm的管道。
如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 有水部分弓形的高为2，弦AB=4
求⊙O的半径．
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道？
解：过点O作OC⊥AB,垂足为点
C,交⊙O与点D，连接OA。
AC 1 AB 30,
D
2 OC OD CD AO 10.
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
过圆内任意一点有没有最短的弦和最长的弦，如果有请你把它找出来
初中数学九年级(上册)
2.2 圆的对称性（2）2
垂径定理三种语言：
文字语言定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
图形语言
几何语言
老师提示: 垂径定理是圆中