动态规划中的背包问题思路

背包问题思路

一个容量的空间（是有限的），并且有多种选择进行存放到这个空间中的实体，要你编程解决，在这些实体中选择一些最有价值的实体进行存放，使得最后存放的结果最优。这种思路就是动态规划中背包问题

我们操作方法是：首先把容量进行细划到最小的单位，一般是整数1.每个单位在这里都充当的一个容量。每个容量在每次存放实体时都要进行最优化。最后需要输出的结果一般在最后一行，大多数在最后一个a[n][m]里面。

[问题描述]

在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的重量为W1，W·2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。

注意：在本题中，所有的重量值均为整数。

可以看出如果通过第N次选择得到的是一个最优解的话，那么第N-1次选择的结果一定也是一个最优解。这符合动态规划中最优子问题的性质。

考虑用动态规划的方法来解决，这里的：

阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中；

状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；

决策是：第N件物品放或者不放；

由此可以写出动态转移方程：

我们用f[i,j]表示在前i 件物品中选择若干件放在所剩空间为j 的背包里所能获得的最大价值

f[i,j]=max{f[i-1,j-Wi]+Pi (j>=Wi), f[i-1,j]}

这样，我们可以自底向上地得出在前M件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是f[m,w] 算法设计如下：

for(i=1;i<=m;i++) /*m是物品的个数*/

for(j=0;j<=n;j++) /*n是背包容量*/

{

f[i][j]=f[i-1][j];

if(j>=v[i])

{

x=f[i-1][j-v[i]]+p[i];

if(x>f[i][j])

f[i][j]=x;

}

}

采药

(medic.pas/c/cpp)

【问题描述】

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

【输入文件】

输入文件medic.in的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

【输出文件】

输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

【样例输入】

70 3

A[100][3] int f[100][100]={0}

71 100

69 1

1 2

F[i][0]=0; f[0][j]=0

f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-a[i][1]]+a[i][2]} j>=a[i][1] j

【样例输出】

3

1、首先初始化f数组，全变成0

2、当j>=物品重量时，f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-a[i][1]]+a[i][2]}

A[i][1]是物品的重量，a[i][2]是物品的价值

3、当j

【数据规模】

对于30%的数据，M <= 10；

对于全部的数据，M <= 100。

动态规划：记f(t, m)是如果只采前m株草药，在时间t里能够得到的最大价值。可以得到

f(t, m) = max{f(t, m – 1), f(t –采第m株草药需要的时间, m – 1) + 第m株草药的价值} 时间复杂度O(T * M)。

2.开心的金明

(happy.pas/c/cpp)

【问题描述】

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，j k，则所求的总和为：

v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[j k]*w[j k]。（其中*为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

【输入文件】

输入文件happy.in 的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

N m

（其中N（<30000）表示总钱数，m（<25）为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有2个非负整数

v p