高二数学 二项式定理

高二数学 二项式定理

【教学目标】

使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。 【教学重、难点】

重点：二项式定理的推导及证明 难点：二项式定理的证明 【教学过程】 (一)新课引入：

(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？ 在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a 2+2ab+b 2

(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 (提问)：对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?(利用多项

式乘法)

(再提问)：(a+b)100又怎么办？ (a+b)n (n ∈N +)呢？

我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n 的二项展开式的规律性 (二)新课：

(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。 规律：(a+b)1=a+b

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a 2+2ab+b 2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a 3+3a 2b+3ab 2+b 3)(a+b)=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4

根据以上的归纳，可以想到(a+b)n 的展开式的各项是齐次的，它们分别为a n , a n-1b, a n-2b 2,…，b n ,展开式中各项系数的规律，可以列表：

810＝(7+1)10＝010C 710+1

10C 79+…+9

10C 7+10

10C

(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1

（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。）

如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数

(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

(1)若每个括号都不取b ，只有一种取法得到a 4即0

4C 种 (2)若只有一个括号取b ，共有14C 种取法得到a 3b

(3)若只有两个括号取b ，共有24C 种取法得到a 2b 2

(4)若只有三个括号取b ，共有34C 种取法得到ab 3

(5)若每个括号都取b ，共有44C 种取法得b 4

01C 11C

02C 1

2C 22C 03C 13C 23C 33C

04C 14C 24C 34C 44C 05C 15C 25C 35C 45C 55C

…………

∴ (a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+r n C a n-r b r +…+n n C b n (n ∈N +)

一、指出：这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点： 1．项数：共有(n+1)项

2．系数：依次为0n C ，1

n C ，2n C ，…r n C ，…n n C ，其中r n C (r ＝0，1，2，…n)称为二项

式系数

说明：二项式系数r n C 与展开中某一项系数是有区别的。例如：(1＋2x)6展开式中第3项中系数为26C ·22＝60而第三项的二项式系数是26C ＝15。

3．指数：a n-r ·b r 指数和为n ，a 的指数依次从n 递减到0，b 的指数依次从0递增到n 。 三、小结：

（1）二项式定理(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+r n C a n-r b r +…+n n C b n 是通过不完全归纳法，

并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明。 （2）二项式定理的特点：1．项数 2．系数 3．指数 四、作业：