2014届高三数学一轮复习精讲精练：3.7三角函数的值域与最值

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江苏省2014届一轮复习数学试题选编3：函数的基本性质(单调性、最值、奇偶性、周期性)(学生版)

江苏省2014届一轮复习数学试题选编3：函数的基本性质（单调性、最值、奇偶性、周期性）填空题1 ．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）函数ln ,(0,)y x x x =-∈+∞的单调递减区间为________.2 ．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数,则m 的取值范围是____________.3 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）函数))(1()(a x x x f +-=为奇函数,则)(x f 的减区间为______________.4 ．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ,都有2]1)([=-x x f f , 则)51(f 的值是____________.5 ．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）函数xx y +-=11的单调递减区间为__________________. 6 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）已知函数f (x )=⎩⎨⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数,则实数k 的取值范围是_______.7 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））函数2()||f x x x t =+-在区间[-1,2]上最大值为4,则实数t=____________________.8 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））给定函数①1y x -=,②121(1),y og x =+③|1|,y x =-④12,x y +=其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号为______________________________.9 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是 ▲ ．10．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知定义在R 上的奇函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，若0)21(=f ，△ABC 的内角A 满足0)(cos <A f ，则A 的取值范围是11．（2010年高考（江苏））设函数f(x)=x(e x +ae -x ),x ∈R,是偶函数,则实数a =________________ 12．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为________._13．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）设f (x )奇函数,当0x ≥时, f (x )=2x -x 2,若函数f (x )(x ∈[a ,b ])的值域为[1b ,1a],则b 的最小值为____. 14．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）下列函数为奇数函数的是_______.①.2x y = ; ②3x y =;③ x y 2=;④ x y 2log =.15．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）若函数()f x =是偶函数,则实数a 的值为 ________.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知2234,0(),0x x x f x ax bx x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩为偶函数,则ab=______________________.17．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎨⎧3x －1，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2013)=________.18．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数()13log )12a x f x x a =+++-(0,1a a >≠),如果()3log 5fb =(0,1b b >≠),那么13log f b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是______.19．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数,直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ,B ,C ,D .若AB BC =,则实数t 的值为______.20．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(a)>f(b), 则f(-a)_________ f(-b)(填“>”或:“<”)21．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）定义在R 上的函数()f x ,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=,当(2,0)x ∈- 时,()4x f x =,则(2013)f =________.解答题22．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）求函数y .江苏省2014届一轮复习数学试题选编3：函数的基本性质（单调性、最值、奇偶性、周期性）参考答案填空题1. (0,1)2.410≤≤m 3. 11[,]22- 4. 65. ),1(),1,(+∞---∞6. [12,1)7. 2或1548. ①②③9. 910. ),32()2,3(ππππ ． 11. —1 12. 3113[,)(,]2222-- 13. 1- 14. ②15. 2 ;16. 1217. -1318. 3- .19. 74- 20. <21.答案:14. 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用.解答题22.因为22y =≤22[1][12]33x x +-++=⨯∴y ≤3 ,= “=”号,即当0x =时,max 3y =。

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编19：函数的极值与导数

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编19：函数的极值与导数一、填空题1 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知函数()2(1)ln f x f x x '=-,则()f x 的极大值为________.【答案】2ln 22-2 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______. 【答案】21(,]e e -∞+ 3 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++,定义''()y f x =是函数'()y f x =的导函数.若方程''()0f x =有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数32()26322013sin(1)g x x x x x =-+++-, 则 (2011)(2010)(2012)g g g -+-+++…(2013)g 的值为_______________.【答案】4025二、解答题4 ．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）已知函数()223241234--++-=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减,在区间[]2,1上单调递增. (1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程()m f x =2有三个不同的实数解,求实数m 的取值范围;(3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,求实数p 的取值范围.【答案】解:(1)由 ()2101'=⇒=a f 经检验符合 ;(不写检验扣1分) (2)()()()()211'-+--=x x x x f 易知函数在()()()()↓+∞↑↓-↑-∞-,22,11,1,1,所以,函数有极大值()()382,1251-=-=-f f ,有极小值()12371-=f , 结合图像可知:⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈38,1237m ; (3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,则必须有()()⎩⎨⎧=+>+无解有解10p x f p x f ,即()[]()⎩⎨⎧+=>+的值域内不在p x f y p x f 10max而()[]p p x f +-=+125max ,函数()p x f y +=的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛+-∞-p 125, 所以有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+->>+-p p 12510125,解之得:1217125<<p 5 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知函数()ln 3()f x a x ax a =--∈R .(1)当0a ＞时,求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒,且函数21()()()2g x x nx mf x m n '=++∈R ，当且仅当在1x =处取得极值,其中()f x '为()f x 的导函数,求m 的取值范围;(3)若函数()y f x =在区间1(3)3，内的图象上存在两点,使得在该两点处的切线相互垂直,求a 的取值范围.【答案】解:(1)(1)()(0)a x f x x x-'=＞, 当0a ＞时,令()0f x '＞得01x ＜＜,令()0f x '＜得1x ＞,故函数()f x 的单调增区间为(01)，，单调减区间为(1)+∞，; (2)函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒,则(2)1f '=,即2a =-; 所以212()(2)2g x x nx m x=++-，所以322222()m x nx m g x x n x x ++'=++=，因为()g x 在1x =处有极值,故(1)0g '=,从而可得12n m =--, 则322222(1)(22)()x nx m x x mx m g x x x ++---'==，又因为()g x 仅在1x =处有极值, 所以2220x mx m --≥在(0)+∞，上恒成立, 当0m ＞时,由20m -＜,即0(0)x ∃∈+∞，,使得200220x mx m --＜, 所以0m ＞不成立,故0m ≤,又0m ≤且(0)x ∈+∞，时,2220x mx m --≥恒成立, 所以0m ≤;(注:利用分离变量方法求出0m ≤同样给满分.)(3)由(1)()(0)a x f x x x-'=＞得(01)，与(1)+∞，分别为()f x 的两个不同的单调区间, 因为()f x 在两点处的切线相互垂直,所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内故可设存在的两点分别为1122(,())(,())x f x x f x ，，其中121133x x ＜＜＜＜, 由该两点处的切线相互垂直,得1212(1)(1)1a x a x x x --⋅=-,。

高考数学复习精讲精练及测试专题三角函数[附答案]

专题内容概要三角函数是高中数学的重要内容之一，跨学科应用是它的鲜明特点．在解答复数、立体几何、解析几何问题时，三角函数是常用工具，更是物理学科的基本工具．因此三角函数是历年高考命题必然要涉及的热点内容之一．从1996年～20XX年全国高考理科三角试题的题型、题量和分值的统计表中，我们可以看出：①三角试题的分值在10～28分之间，平均21.5分；②分值虽然有较大波动，且似有下降趋势，1999、2000年分值均接近平均值，但20XX年仅占10分．估计20XX年高考试卷中三角试题的分值仍然会控制在215分上下.从1998年开始，高考中对三角函数的和差化积与积化和差公式不要求记忆．特别当高考命题从知识立意转向能力立意以后，设计以复数、立体几何、解析几何等形式出现，而化归为三角函数问题解答的试题，成为考查跨学科应用能力的主渠道之一（如1999年理科第（6）题和第（20）题，文科第（21）题）．而增大问题情景的抽象性与综合性，以提高对考生能力的考查力度，是命题的另一个显明趋势.故而在首轮复习的基础上，本专题要进一步深化复习：①三角函数的性质与图象；②三角恒等变换；③解三角形的综合问题．复习中应注重强化以下三个能力：①灵活运用三角函数的性质和图象解答三角问题（主要是选择、填空题）的能力；②对三角函数式熟练进行恒等变形的能力以及对三角函数图象熟练进行平移和伸缩变换的能力；③把三角问题、复数、解析几何、立体几何等问题转化为三角恒等变形问题的能力．§1三角函数的性质与图象一、复习要点三角函数的性质（包括三角公式）与图象是解答三角函数问题的知识基础；借助三角函数的图象来理解、掌握、运用三角函数的基本性质，是常用的复习方法．三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、值域性质、关系性质（包括相等关系与不等关系）的判定与应用，是本节复习的重点；掌握好图形变换中，三角函数的图象、表达式及其性质的对应变化规律（要求能把这种规律迁移到一般函数理论中），是本节复习的又一重点，也是难点．二、例题讲解例1（1）如果α，β∈（（π／2），π），且ｔｇα＜ｃｔｇβ，那么必有（）．Ａ．α＜βＢ．β＜αＣ．α＋β＜（3／2）πＤ．α＋β＞（3／2）π（1992年高考文科试题）（2）满足ａｒｃｃｏｓ（1－ｘ）≥ａｒｃｃｏｓｘ的取值范围是（）．Ａ．［－1，－（1／2）］Ｂ．［－（1／2），0］Ｃ．［0，（1／2）］Ｄ．［（1／22），1］（1997年高考理科试题）（3）已知点P （ｓｉｎα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限，则在［0，2π）内α的取值范围是________. （1998年高考题）讲解：（1）本题要用已知的正切函数ｔｇα与余切函数ｃｔｇβ的大小关系，来推断角α与β的大小关系，回忆与这个问题紧密相关的基础知识与方法，若想到函数的单调性和利用单位圆作直观分析的方法，可理出如下推断方法：图3-1在单位圆的第二象限中，让角α、β沿逆时针方向旋转，则看到：ｔｇα从－∞开始单调递增到0，而ｃｔｇβ从0开始单调递减向－∞；若α与β重合在第二象限的角平分线上，则ｔｇα＝ｃｔｇβ＝－1．立知当α与β在第二象限的上半象限中任意变化，即α，β∈（（π／2），（3π／4））时，总有ｔｇα＜ｃｔｇβ；而α，β∈（（3π／4），π）时，总有ｔｇα＞ｃｔｇβ．从而由α，β∈（（π／2），π），ｔｇα＜ｃｔｇβ，推出π＜α＋β＜（3π／2）．选C ．若想用解不等式的方法作推断，并在变形中巧用正切倍角公式，又得如下解法： ∵ α，β∈（（π／2），π），tg α＜ctg βｔｇα＜（1／ｔｇβ）ｔｇαｔｇβ＞11－ｔｇαｔｇβ＜0（tg α＋tg β）／tg （α＋β））＜0，∴ ｔｇα＜ｃｔｇβ（ｔｇα＋ｔｇβ）／ｔｇ（α＋β））＜0．∵ ｔｇα＋ｔｇβ＜0，∴ ｔｇ（α＋β）＞0，并推得π＜α＋β＜（3π／2）．故选C ．若考虑函数的单调性，由ｔｇα＜ｃｔｇβ，得ｔｇα＜ｔｇ（（3／2）π－β）． ∵ α，β∈（（π／2），π），∴ （3／2）π－β∈（（π／2），π）．又ｙ＝ｔｇｘ在（（π／2），π）上是增函数， ∴ α＜（3／2）π－β，故选Ｃ．此题还可以用极限思想做推断：当（π／2）＜α＜π，（π／2）＜β＜π，且α→（π／2），β→（π／2）时，有tg α→－∞，ctg β→0．∴总有tg α＜ctg β成立．可见A 、B 、D 均不成立，故选C ．（2）本题是关于反余弦函数的简单不等式解集的判定问题．若想利用反余弦函数的图象来分析判定，则先想出或画出草图．由图可知，反余弦函数在定义域［－1，1］上单调递减，所以原不等式等价于1－ｘ≤ｘｘ≥（1／2）（1／2）≤ｘ≤1．－1≤ｘ≤1， 0≤ｘ≤1－1≤1－ｘ≤1故而选Ｄ．图3-2若能注意到，在ｘ轴上x 与1-x 两点关于（1／2）点对称，则由图象立即看出x 的取值范围是（1／2）≤ｘ≤1．若想利用特殊值法判定，则取ｘ＝－（1／2），可排除Ａ、Ｂ；取ｘ＝0，可排除Ｃ．（3）本题的条件是几何型的，而目标却是求变量α的取值范围，所以解答此题，应首先将几何型条件等价转化为不等式或不等式组，然后分析求解得出答案．现分析解答如下．点P （sin α－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限ｓｉｎα－ｃｏｓα＞0，ｓｉｎα＞ｃｏｓα， ① ｔｇα＞0 ｔｇα＞0． ②在单位圆中分析易知：满足不等式①的α为第一、三象限角平分线左上方半圆中的角；满足不等式②的α角为第一或第三象限中的角．图3-3故取以上两个α的变化范围所对应的集合与区间［0，2π）的交集，即得α的取值范围是（（π／4），（π／2））∪（π，（5π／4））．例2 把函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）（其中φ为锐角）的图象至少向右平移（π／8）或至少向左平移（3π／8），可使对应的函数成为奇函数．则函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）的一条对称轴为（）．Ａ．ｘ＝（π／2）Ｂ．ｘ＝（π／4）Ｃ．ｘ＝－（π／8）Ｄ．ｘ＝（5π／8）讲解：从题目的条件可以发现这样两个信息：第一，此函数的周期为π；第二，平移后函数图象过原点．由前者得ω＝2；图象向右平移（π／8）后对应的函数解析式为ｙ＝ｓｉｎ［2（ｘ－（π／8））＋φ］，由其过原点知ｓｉｎ（φ－（π／4））＝0，又φ为锐角，∴ φ＝（π／4）．至此可得原函数为ｙ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4））．再根据此类函数图象的性质：与平衡位置的交点为对称中心，过顶点作x 轴的垂线即为对称轴．经检验当ｘ＝（5π／8）时此函数取最小值，故应选Ｄ．例3 （1）若函数ｙ＝（1＋ａｓｉｎｘ／2－ｓｉｎｘ）的值域为［0，2］，则ａ的值为_____．（2）设直线ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ－1＝0?（0＜θ＜（π／2））．①求此直线的倾角φ；②求ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ的值域．讲解：（1）对于此类结构式，一定是用ｓｉｎｘ的范围来确定ｙ的范围，途径有两条：一是化部分分式，将变元集中于分母（请独立思考）；二是将ｓｉｎｘ分离出来，用ｓｉｎｘ来反控ｙ的范围：ｓｉｎｘ＝（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ），∴｜（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ）｜≤1，平方并化简，得3ｙ２－2（ａ＋2）ｙ＋1－ａ２≤0．由条件知此不等式的解为［0，2］，由韦达定理得ａ＝1．（2）①由题意知ｔｇφ＝－（ｃｏｓθ／ｓｉｎθ）＝－ｃｔｇθ＝ｔｇ（（π／2）＋θ），∵0＜θ＜（π／2），∴φ＝（π／2）＋θ．②∵ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ＝（ｓｉｎ２2φ／－2ｓｉｎ2φｓｉｎφ）＋ｓｉｎφ＝（－ｓｉｎ2φ／2ｓｉｎφ）＋sinφ＝ｓｉｎφ－ｃｏｓφ＝2ｓｉｎ（φ－（π／6））＝2ｓｉｎ（θ＋（π／3）），而θ＋（π／3）∈（（π／3），（5π／6）），∴ｆ（φ）∈（1，2］．例4 在△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ为其三个内角，设ｙ＝2＋ｃｏｓＣｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ2Ｃ．（1）若任意交换Ａ、Ｂ、Ｃ的位置，ｙ的值是否发生变化?证明之；（2）求ｙ的最大值．讲解：（1）ｙ的值是否变化取决于其表达式是否为轮换对称式，为此注意到为使Ａ、Ｂ对称，可将ｃｏｓＣ换为－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）：ｙ＝2－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ２Ｃ＝2－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ）－（1＋ｃｏｓ2Ｃ／2）＝（3／2）－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ＋ｃｏｓ2Ｃ），故y的值不发生变化．（2）由于变量较多，故应考虑减少变元．方法之一是研究这些变量之间的内在关系，之二是选取主元．对前者，由于三角形的任意性，不易达到目的，对后者较明显的是以C为主元．这时又有两种思维角度：若运用函数思想，将ｙ视为ｃｏｓＣ的二次函数，用配方法ｙ＝－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＋2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）．当－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＝0且ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）＝1同时成立时ｙ取得最大值．这时有Ａ＝Ｂ且Ｃ＝（π／3），即△ＡＢＣ为正三角形时ｙ取最大值（9／4）．若运用方程思想，将原式变形为ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ＋ｙ－2＝0，视此式为关于ｃｏｓＣ的一元二次方程，则Δ＝ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）－4ｙ＋8≥0，即ｙ≤2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）≤（9／4），取等号的条件与上面相同．从本题可以看出，要善于运用数学的观点、思想、方法分析和思考问题，这是提高解题能力的有效途径．三、专题训练1．函数ｙ＝9－8ｃｏｓｘ－2ｓｉｎ２ｘ的最大值是（）．Ａ．17Ｂ．－1Ｃ．1Ｄ．32．若f（x）·ｓｉｎｘ是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）.A．ｓｉｎｘＢ．ｃｏｓｘＣ．ｓｉｎ2ｘＤ．ｃｏｓ2x3．若ｓｉｎα＞ｔｇα＞ｃｔｇα（-（π／2）＜α＜（π／2）），则α∈（）.A．（-（π／2），-（π／4））B．（-（π／4），0）C．（0，（π／4））D．（（π／4），（π／2））4．设y=f（x）的定义域为［－1，1］，其反函数y=f－１（x）的图象如图3－4．对于f（x）解析式的判定有如下四种：①f（x）=arcsinx;②f（x）=arcsinx+（π／2）;③f（x）=arccos（-x）；④f（x）=π-arccosx.其中错误判定的个数是（）.图3－4A．0B．1C．2D．35．把函数ｙ＝2ｓｉｎ（（1／2）ｘ＋（π／6））的图象向ｙ轴均匀压缩，使图象上所有点的横坐标缩短到原来的（1／3）．则图象所对应函数的最小正周期变为________．6．当ｘ∈（π，（3／2）π）时，ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｘ）＝________．7．已知点P（sinx，cosx），角θ以OP为终边，且为第二象限角，那么函数y=tgx+tgθ的值域是________.8．设α为锐角，试比较ｓｉｎ2α与ｓｉｎ（α＋（π／4））的大小．9．已知θ∈（0，2π），且ｓｉｎθｃｏｓ2θ＞0，求θ的取值范围．10．设0≤θ≤（π／2），ｆ（θ）＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ，ｇ（θ）＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（1）当θ为何值时，ｆ（θ）有最大值?（2）若ｇ（θ）＝－（8／5），求ｆ（θ）、ｓｉｎθ的值．§ 2 三角恒等变换一、复习要点三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础．所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．同一式子的不同形状，可以暴露式子的不同整体性质，我们对式子作恒等变换的目的，就是要把我们所需的整体性质显现出来．对式子的一次变形常常不能得到所需形状，须经过数次变形转化，才能达到目的．如何选择变形起步点?如何一步一步把给定式子转化为所需形状?通过对例题及训练题的分析，总结归纳出思维规律来，这是本节复习的重难点；本节复习的另一重点是，如何把一个三角函数问题化归为三角式的恒等变形问题．三角式的化简、求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型．求三角函数的最小正周期、求三角函数最值、证明三角恒等式、解证三角方程或三角不等式问题，一般都要借助三角恒等变换而完成．联想三角公式与基本题型，并把二者与方程、不等式观点综合运用，这是运用三角恒等变换解答三角函数问题的思维关键．例1 （1）函数ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋2ｃｏｓ２ｘ的最小正周期是（）；Ａ．（π／2）Ｂ．πＣ．2πＤ．4π（2）函数y=2sinxsin2x的最大值是（）；A．（64／27）B．（8／9）C．2D．（／2）（3）若（1／cosθ）-（1／sinθ）=1，则sin2θ的值等于_________.讲解：（1）本题是判定一个较复杂三角函数的最小正周期问题．联想与此问题有关的基础知识与方法，想起我们会求角为ωｘ＋φ的基本三角函数的最小正周期，自然产生这样一个解题念头：希望运用三角公式和概念把原函数式变形为ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ（或ｙ＝Ａ·ｃｏｓ（ωｘ＋φ）＋Ｂ）的形式，然后用熟知方法求出最小正周期．在这一思路指导下，着重观察已知三角函数式的结构特点，朝着既定目标方向，发现用倍角公式与和角公式能完成变形工作，得解法如下：ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ+2ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ2ｘ＋ｃｏｓ2ｘ＋1＝2ｓｉｎ（2ｘ＋（π／6））＋1，∴Ｔ＝（2π／2）＝π，故选B．（2）本题是一道无附加条件的最值问题.回忆求三角函数最值的基本模型方法，想到用三角恒等变换向基本模型转化，但转化方向一下看不透，应在变形过程中逐步明朗化．首先想到应用倍角公式，把原式化为y=4sin２xcosx，接着思考第二步变形．想法一：希望把原式化为y=Asin（ωx+φ）＋Ｂ的形式；想法二：希望把原式化为二次函数模型．这两种转化思维均受阻以后，应重新深入分析y=4sin２xcosx的结构特点，从中找出转化的新出路．注意到y的最大值应在cosx＞0时取得，因此：①y=4sin２xcosx可视为正变量的乘积，所以y与y２＝16sin４xcos２x同时取得最大值；②由y２的表达形式与sin２x+cos２x=1，联想到均值不等式，产生出想用均值不等式实施转化的思维方向——设法把式子变形为能用均值不等式求最值的形式．构思后，可得如下解法：当cosx＞0时，当且仅当sin２x=2cos２x，即cos２x=（1／3）时，等号成立．故选B．（3）这是一道填空题.条件为：sinθ与cosθ满足的一个方程式；目标为：求sin2θ的值．由目标首先联想到正弦倍角公式，得sin2θ＝2ｓｉｎθ·cosθ，看到了目标与条件的内在联系，萌发出解题的方程观点，想到由方程组（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1，求出sin2θ.ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝1，细思考感觉，先求出sinθ与cosθ的方法比较繁，暂不采取．转而思考：能否对条件中的方程式实施三角恒等变换，产生出关于sin2θ的方程而求得其值．朝着这一既定方向，运用三角恒等变换和解方程的方法，便可获得如下两种解法：解法1（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1（（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ））２＝11／ｃｏｓ２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＋（1／ｓｉｎ２θ）＝1（1／ｓｉｎ２θcos２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1，即（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）２－2（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）－1＝0．解得（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1±．又由|ｓｉｎθｃｏｓθ|≤1｜（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）｜≥1，（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1＋，∴ｓｉｎθｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2（－1）．解法2（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝sinθｃｏｓθ1－2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝1－2ｓｉｎθｃｏｓθ＝（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２，即（sinθ－ｃｏｓθ）２＋2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）－1＝0．解得sinθ－ｃｏｓθ＝－1±．又因｜ｓｉｎθ－ｃｏｓθ｜＝｜ｓｉｎθｃｏｓθ｜≤1，ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2ｓｉｎθｃｏｓθ＝2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝2（－1）．例2 （1）计算ctg10°－4ｃｏｓ10°的值;（2）化简ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ·ｃｏｓ（α＋β）．讲解：（1）本题是具体角的两个基本三角函数求差，形状虽简单，但两项角度均非特殊角，其倍、半角也非特殊角，也不能分拆为含特殊角的和或差，所以既无法分别求得其值，又不能用拆分角的方法，通过展开、抵消、合并得出结果．这种情况下，一个有效的策略思想是，先设法将两项分散的信息聚笼贯通，希望从中能看到“某种整体特殊性”或“内在联系”，在这一思想下，想到从“切化弦”并通分入手，得ｃｔｇ10°－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°／ｓｉｎ10°）－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°－4ｃｏｓ10°ｓｉｎ10°／ｓｉｎ10°）．分子中第二项能用倍角公式将角扩大，出现一新角，得（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°／ｓｉｎ10°）．思路1．经观察可见，分子中两项的角度之和恰为特殊角30°，且分母的角度与分子中第一项的角度均为10°，由这种关系想到拆角法：20°＝30°－10°，得（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ（30°－10°）／ｓｉｎ10°）＝（ｃｏｓ10°－2［（1／2）ｃｏｓ10°－（／2）ｓｉｎ10°］／ｓｉｎ10°＝（ｓｉｎ10°）／ｓｉｎ10°．至此求解思路已贯通．整理以上分析，得出解答如下：原式＝（ｃｏｓ10°／ｓｉｎ10°）－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ（30°－10°））／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ10°－2［（1／2）ｃｏｓ10°－（／2）ｓｉｎ10°］／ｓｉｎ10°）＝．思路2．注意到分式化简的基本思想是对分子、分母因式分解，再行约分，而ｃｏｓ10°与2ｓｉｎ20°的系数不同，不便于化积，加之化为同名（ｓｉｎ80°与ｓｉｎ20°）后两角之差的一半为30°，想到拆项处理：（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｓｉｎ80°－ｓｉｎ20°－ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（2ｃｏｓ50°ｓｉｎ30°－ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ50°－ｃｏｓ70°）／ｓｉｎ10°）＝（2ｓｉｎ60°ｓｉｎ10°）／ｓｉｎ10°＝．（2）这是一道二元三角多项式的化简问题．从式子各项中含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的结构特点：第三项比前两项角度复杂，组合关系复杂，而前两项为单角正弦的平方，幂次具有特殊性．由此可以产生出如下三个变形方向：①从分解较复杂的第三项入手，先把和角的三角函数化为单角的三角函数，从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；②从分解较复杂的第三项入手，先把单角化为和差角，并从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；③从前两项幂次的特殊性入手，先降幂，再从角度方面向第三项靠拢．若选定第一方向，则先用和角公式展开第三因子，得ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ－2ｓｉｎ２αｓｉｎ２β．看到第四项与前两项已经相通，拆开第四项与前两项分别合并，得ｓｉｎ２α（1－ｓｉｎ２β）＋ｓｉｎ２β（1－ｓｉｎ２α）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝ｓｉｎ２αｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２βｃｏｓ２α＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ．仔细观察发现：式子整体已呈现出两数和的平方展开式的形状，即式子的各部分用两数和的平方公式能贯通为一个整体：（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）２．再用正弦和角公式，立得化简出结果：ｓｉｎ２（α＋β）．整理以上变形过程，得出解法一如下：原式＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝ｓｉｎ２α（1－ｓｉｎ２β）＋ｓｉｎ２β（1－ｓｉｎ２α）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝ｓｉｎ2αｃｏｓ2β＋ｃｏｓ2αｓｉｎ2β＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）２＝ｓｉｎ２（α＋β）．若选定第二变形方向，并在变形中运用积化和差公式，可得解法二如下：原式＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋［ｃｏｓ（α－β）－ｃｏｓ（α＋β）］·ｃｏｓ（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｃｏｓ（α－β）ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋（1／2）（ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋（1／2）（1－2ｓｉｎ２α＋1－ｓｉｎ２β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝1－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２（α＋β）．若选定第三变形方向，并在变形中运用和差化积公式，可得解法三如下：原式＝1－（1／2）（ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝1－ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝1－ｃｏｓ（α＋β）［ｃｏｓ（α－β）－2ｓｉｎαｓｉｎβ］＝1－ｃｏｓ（α＋β）［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝1－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２（α＋β）．例3（1）求（1＋ｔｇ7°＋ｔｇ8°－ｔｇ7°ｔｇ8°／1－ｔｇ7°－ｔｇ8°－ｔｇ7°ｔｇ8°）的值；（2）若ｔｇθ、ｃｔｇθ是方程2ｘ２－2ｋｘ＝3－ｋ２的两个实根，且π＜θ＜（5π／4），求ｃｏｓθ－ｓｉｎθ的值．讲解：（1）从表达式中含有ｔｇ7°＋ｔｇ8°和ｔｇ7°ｔｇ8°能想到什么呢?在ｔｇ（7°＋8°）的展式中将会出现这样的式子!于是想到思路：ｔｇ15°＝（ｔｇ7°＋ｔｇ8°）／（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）．故原式＝[（1＋ｔｇ15°（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）－ｔｇ7°ｔｇ8°]／[[1－ｔｇ15°（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）－ｔｇ7°ｔｇ8°）]＝[（1＋ｔｇ15°）（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）]／（1－ｔｇ15°）（1－ｔｇ7°ｔｇ8°））＝（1＋ｔｇ15°）／（1－ｔｇ15°）＝ｔｇ（45°＋15°）＝．本题中运用的结构联想的思维方法在数学解题中是十分重要的．（2）由这样的条件想到韦达定理是很自然的：ｔｇθ＋ｃｔｇθ＝ｋ，ｔｇθ·ｃｔｇθ＝（1／2）（ｋ２－3）＝1，ｋ２＝5，ｋ＝±．对吗?注意θ的范围！由此应有ｋ＝．由于ｋ的确定，不难求出ｔｇθ＝（－1）／2（也要注意由θ的范围，0＜ｔｇθ＜1），∴（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）２＝1－ｓｉｎ2θ＝1－（2ｔｇθ／1＋ｔｇ２θ）＝（1／5）（5－2）．又∵ｃｏｓθ＜ｓｉｎθ，∴ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝－．（本题也可由ｔｇθ＋ｃｔｇθ＝后直接变形得ｓｉｎθｃｏｓθ＝（1／）代入上式）例4设ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝0，Ａｓｉｎ2ｘ＋Ｂｃｏｓ2ｘ＝Ｃ（ａ，ｂ不同时为0）．证明：2Ａａｂ＋（ｂ２－ａ２）Ｂ＋（ａ２＋ｂ２）Ｃ＝0．讲解：本题要证明的是一个条件等式，其条件可看成关于ｘ的两个三角方程组成的方程组．可由前式解出ｘ再代入后式得出求证不等式．但ｘ不是特殊角，这样做计算量大，不可取．若由前式分别求出ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ再代入后式也可以，但求ｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ时涉及到符号问题，这样处理也很麻烦．运用思维模块对ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ进行变形：ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝（（ａ／）ｓｉｎｘ＋（ｂ／）ｃｏｓｘ）．令ｓｉｎｙ＝－（ｂ／），ｃｏｓｙ＝（ａ／），则ｓｉｎ（ｘ－ｙ）＝0，由此得ｘ＝ｙ＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），并求出ｃｏｓ2ｘ和ｓｉｎ2ｘ的值（ｃｏｓ2ｘ＝ｃｏｓ2（ｙ＋ｋπ）＝ｃｏｓ2ｙ＝2ｃｏｓ２ｙ－1＝…）代入后式即可得求证的结论．如果联想到ｓｉｎ2ｘ、ｃｏｓ2ｘ与ｔｇｘ的关系，可由前式求得ｔｇｘ＝（ｂ／ａ）（ａ＝0时另证），用万能公式求得ｓｉｎ2ｘ、ｃｏｓ2ｘ后代入后式也可得证．三、专题训练1．已知ｃｏｓ78°约等于0．20，那么ｓｉｎ66°约等于（）．A．0．92B．0．85C．0．88D．0．952．复数z=ｃｏｓ2＋i的模为（）．A．-cos2B．-cos2C．cos2D．cos23．函数ｙ＝｜ｓｉｎｘ｜＋｜ｃｏｓｘ｜的最小正周期是（）．Ａ．（π／4）Ｂ．（π／2）Ｃ．πＤ．2π4．设（1－ｔｇα）／（1＋ｔｇα）＝3－2，则ｓｉｎ2α的值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．（2／3）Ｃ．（3／4）Ｄ．（3／8）5．化简（ｓｉｎ（α／2）＋ｃｏｓ（α＋β／2）ｓｉｎ（β／2）／ｃｏｓ（α／2）－ｓｉｎ（α＋β）／2ｓｉｎ（β／2）），得______________．6．已知α、β为锐角，2ｔｇ（α＋3）ｓｉｎβ＝7，ｔｇα－6ｓｉｎβ＝1，则ｓｉｎα＝________．7．已知ｃｔｇα＝2，ｔｇ（α－β）＝－（2／3），则ｔｇ（β－2α）＝______________．8．求下列三角式的值：（1）ｓｉｎ80°ｃｔｇ20°（ｔｇ20°－1）；（2）ｓｉｎ（60°－（α／2））ｃｏｓ（30°－（α／2））·（ｓｉｎ（α／2）／ｓｉｎ（3α／2））．9．（1）化简：（1＋ｓｉｎα／ｃｔｇ（α／2）－ｔｇ（α／2）［（3ｃｏｓα／2ｃｏｓ2（（π／4）－（α／2）））－2ｔｇ（（π／4）－（α／2）］；（2）证明：2sin4x+（3／4）sin22x+5cos4x-cos3xcosx=2（1+cos2x）.10．已知α、β、γ为锐角，ｔｇ（α／2）＝ｔｇ3（γ／2），2ｔｇβ＝ｔｇγ，求证：α，β，γ成等差数列．§ 3 解三角形的综合问题一、复习要点本节复习的重点是：如何把三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理、勾股定理及面积公式与其他三角函数公式配合运用，解答三角形的综合问题.这类试题在历年高考中时有出现．把方程观点和三角式的恒等变形方法结合运用，是解答这类问题的策略之一．把边和角的已知关系式相互转化，是解答这类问题的策略之二．巧用内角和定理，是解答这类问题的策略之三．例如，ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ，ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＝－ｃｏｓＡ，ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｃｏｓ（Ａ／2），ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｓｉｎ（Ａ／2），ｔｇ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｃｔｇ（Ａ／2）等．二、例题讲解例1 （1）在△ＡＢＣ中，Ａ＝（π／3），求证ｂ＋ｃ≤2ａ；（2）在△ＡＢC中，ａ，ｂ，ｃ成等差数列，求证B≤60°．讲解：（1）本题是由三角形角的一种特殊性，推证边的一种大小关系.要完成证明，应先吃透条件，寻找沟通目标与条件的渠道．由Ａ＝（π／3）Ｂ＋Ｃ＝（2／3）π，Ａ＝（Ｂ＋Ｃ）／2；根据目标不等式的形状，想到用正弦定理可把目标与条件沟通，即用正弦定理可把边的不等式转化为关于角的不等式，从而与条件相衔接，分析归纳后得证法如下：由正弦定理和Ａ＝（π／3），A+B+C＝π推知ｂ＋ｃ≤2ａｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ≤2ｓｉｎＡｓｉｎ（（2π／3）－Ｃ）＋ｓｉｎＣ≤（／2）ｃｏｓＣ＋（3／2）ｓｉｎＣ≤ｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣ≤22ｓｉｎ（Ｃ＋（π／6））≤2ｓｉｎ（Ｃ＋（π／6））≤1．最后一不等式是显然成立的，故有ｂ＋ｃ≤2ａ．（2）本题是由三角形边的一种特殊关系，推证角的一种大小关系问题.先理解条件ａ，ｂ，ｃ成等差数列，即2ｂ＝ａ＋ｃ；再寻找目标与条件的联系：由于目标不等式是三角形一个内角的变化范围，故用余弦定理能把目标与条件联系起来．得证法如下：∵ａ，ｂ，ｃ成等差数列，∴2ｂ＝ａ＋ｃ，且由余弦定理，得ｃｏｓＢ＝（ａ２＋ｃ２－ｂ２）／（2ａｃ）＝（ａ２＋ｃ２－（（ａ＋ｃ）／2）２／（2ａｃ）＝（3（ａ２＋ｃ２）－2ａｃ／8ａｃ）（6ａｃ－2ａｃ／8ａｃ）＝（1／2）＝ｃｏｓ60°．又0＜Ｂ＜π，且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，故得Ｂ≤60°．例2在△ABC中，若（sin２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（1＋ｃｏｓ2Ｃ）／（1＋ｃｏｓ2Ｂ），试证明△ABC为等腰三角形或直角三角形；讲解：思路1．要证明三角形为等腰三角形，须由条件推得两边相等或两角相等；要证明三角形为直角三角形，须由条件推得三边满足勾股关系或一角等于90°．这就需要运用恒等变形的方法和方程观点对条件等式进行转化．注意到条件等式右端若用二倍角公式，条件即化为更均称的形式（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）．观察此式，易从左端想到正弦定理，而从右端想到余弦定理；左右两端分别用正余弦定理变形，即可以从边的关系方面把左右两端沟通，有希望解出勾股关系或边的相等关系．进一步分析后，得证法如下：根据二倍角公式，由条件得（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）．等式左右两端分别用正、余弦定理，得（ａ２＋ｂ２－ｃ２／ａ２－ｂ２＋ｃ２）＝（（（ａ２＋ｂ２－ｃ２／2ａｂ））２／（（ａ２＋ｃ２－ｂ２／2ａｃ））２）＝（（ａ２＋ｂ２－ｃ２／ａ２－ｂ２＋ｃ２））２·（ｃ２／ｂ２），∴（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）·（ｃ２／ｂ２）－1）＝0．由（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）＝0，得ａ２＋ｂ２＝ｃ２；由（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）·（ｃ２／ｂ２）－1＝0，得ａ２ｃ２＋ｂ２ｃ２－ｃ４＝ａ２ｂ２－ｂ４＋ｂ２ｃ２，即（ｃ２－ｂ２）（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＝0．∴ｂ＝ｃ或ｂ２＋ｃ２＝ａ２．故三角形为等腰三角形或直角三角形．思路2．变换到（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）时，左端用正弦定理即为（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２＋ｃ２－ｂ２），而此表达式的形式又容易使我们想到余弦定理ａ２＋ｂ２－ｃ２＝2ａｂｃｏｓＣ，ａ２＋ｃ２－ｂ２＝2ａｃｃｏｓＢ，故而此式＝（ｂｃｏｓＣ）／（ｃｃｏｓＢ）＝（ｓｉｎＢｃｏｓＣ）／（ｓｉｎＣｃｏｓＢ），从而有（ｃｏｓ２Ｃ）／ｃｏｓ２Ｂ）＝（ｓｉｎＢｃｏｓＣ）／（ｓｉｎＣｃｏｓＢ），（ｃｏｓＣ／ｃｏｓＢ）＝（ｓｉｎＢ／ｓｉｎＣ），即ｓｉｎ2Ｂ＝ｓｉｎ2Ｃ，2Ｂ＝2Ｃ或2Ｂ＝π－2Ｃ，即Ｂ＝Ｃ或Ｂ＋Ｃ＝（π／2）．可知此三角形为等腰三角形或直角三角形．例3 已知△ＡＢＣ的三个内角A、B、C满足Ａ＋Ｃ＝2Ｂ，（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ）．求ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2）的值．（1996年高考题）讲解：这是一道三角形中的条件求值问题．根据题目的条件与目标结构特点，解答本题的基本想法可以是：将其他已知条件代入条件方程式（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ），然后运用恒等变形方法和方程观点进行转化，从中解出目标ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2来．由△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｃ＝2ＢＢ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°；代入条件方程式，整理，得ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝－2ｃｏｓＡｃｏｓＣ．观察并朝着目标方向思考，想到用和差化积公式可把方程左端转化为2ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2·ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2，目标出现了，而右端用积化和差公式可转化为－［ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）］；且二倍角公式能把左边ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2与右边ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）相沟通，又左边ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2与右边ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）能求出，故ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2可由解二次方程求出.整理得解法如下：由题设条件知，Ｂ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°．∵（－／ｃｏｓＢ）＝－2，（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－2．将上式化为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝－2ｃｏｓＡｃｏｓＣ．利用和差化积及积化和差公式，上式化为2ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝－［ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）］．将ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2＝ｃｏｓ60°＝（1/2），ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝－（1／2）代入上式，得ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝（／2）－ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）．将ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）＝2ｃｏｓ2[（Ａ－Ｃ）／2]－1代入上式并整理，得4ｃｏｓ２（Ａ－Ｃ）／2＋2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－3＝0，（2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－）（2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＋3）＝0，∵2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＋3≠0，∴2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－＝0．从而得ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝／2．若运用变量替换法，还可以有如下解法：由题设条件知Ｂ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°．设α＝（Ａ－Ｃ）／2，则A－Ｃ＝2α，可得Ａ＝60°＋α，Ｃ＝60°－α．∴（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ）化为ｃｏｓ（60°＋α）＋ｃｏｓ（60°－α）＝－2ｃｏｓ（60°＋α）ｃｏｓ（60°－α）．又ｃｏｓ（60°＋α）＝（1／2）ｃｏｓα－（／2）ｓｉｎα，ｃｏｓ（60°－α）＝（1／2）ｃｏｓα＋（／2）ｓｉｎα，ｃｏｓ（60°＋α）ｃｏｓ（60°－α）＝（1／4）ｃｏｓ２α－（3／4）ｓｉｎ２α＝ｃｏｓ２α－（3／4），代入上式并整理，得4ｃｏｓ２α＋2ｃｏｓα－3＝0，（2ｃｏｓα－）（2ｃｏｓα＋3）＝0．∵2ｃｏｓα＋3≠0，∴2ｃｏｓα－＝0．故ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝ｃｏｓα＝（／2）．三、专题训练1．若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）．A．（0，（／2））B．（1，］C．［（1／2），（／2）］D．（（1／2），（／2）］2．△ABC中，cos2Ａ＜cos2Ｂ是Ａ＞B的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．等腰三角形腰长为2，底边的中点到腰的距离为（／2），则三角形外接圆半径为（）．Ａ．（2／3）Ｂ．4Ｃ．2或（2／）Ｄ．4或（4／3）4．设1＜ｔ＜（／2），在△ＡＢＣ中，Ｃ＝（π／2），ａ＋ｂ＝ｔｃ，则｜Ａ－Ｂ｜的变化范围是区间（）．Ａ．（0，（π／3））Ｂ．（（π／4），（π／3））Ｃ．（（π／3），（π／2））Ｄ．（0，（π／2））5．操场上有一旗杆OP（如图3-5），为了测得它的高度ｈ，在地面上取一基线ＡＢ＝20米，在A处测得P点的仰角∠ＯＡＰ＝30°，在B处测得P点的仰角∠ＯＢＰ＝45°，又测得∠ＡＯＢ＝150°，则旗杆的高ｈ＝________米．图3-56．如图3-6所示，货轮在海上以40km/小时的速度沿着方位角（从指正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为140°的方向航行，为了确定船位，在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点与灯塔A的距离是________km（结果可以保留根号）．图3-67．设△ＡＢC中角A、B、C所对边长分别为ａ、ｂ、ｃ，关于直线ｘｓｉｎＡ＋ａｙ＋ｃ＝0与ｂｘ＋ｙｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝0的位置关系有以下四个判定：①可以是相互平行的位置关系；②可以是重合的位置关系；③可以是相互垂直的位置关系；④一定是相交但不垂直的位置关系．其中正确判定的序号是________．（把你认为正确判定的序号都填上）8．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，C＝90°，ｒ、Ｒ分别是三角形内切圆半径和外接圆半径，求（ｒ／Ｒ）的最大值．9．已知△ＡＢC的三内角A，B，C成等差数列，公差为θ，又（1／ｓｉｎ2Ａ），（1／ｓｉｎ2Ｂ），（1／ｓｉｎ2Ｃ）也成等差数列，求ｃｏｓθ．10．锐角△ＡＢＣ中，2ｔｇＢ＝ｔｇＡ＋ｔｇＣ，且函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｃｏｓ2Ｃ）＝ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）．（1）求ｔｇＡｔｇＣ的值；（2）求ｆ（ｘ）的表达式．专题能力测试一、选择题1．ω是正实数，函数f（x）=2sinωx在［-（π／3），（π／4）］上递增，那么（）．Ａ．0＜ω≤（3／2）Ｂ．0＜ω≤2Ｃ．0＜ω≤（24／7）Ｄ．ω≥22．ａｒｃｓｉｎ（ｃｏｓ（5π／4））的值是（）．A．－（π／4）Ｂ．（3π／4）Ｃ．（π／4）Ｄ．－（3π／4）3．若函数ｆ（ｘ）＝ａｓｉｎ（ａｘ）＋ａｃｏｓ（ａｘ）（ａ＞0）的最大值是2，则ｆ（ｘ）的最小正周期为（）．Ａ．（π／4）Ｂ．（π／2）Ｃ．πＤ．2π4．函数ｆ（ｘ）＝Ｍｓｉｎ（ωｘ＋φ）（ω＞0）在区间［ａ，ｂ］上是增函数，且ｆ（ａ）＝－Ｍ，ｆ（ｂ）＝Ｍ，则函数ｇ（ｘ）＝Ｍｃｏｓ（ωｘ＋φ）在区间［ａ，ｂ］上（）．Ａ．是增函数B．是减函数C．可取得最大值MＤ．可取得最小值－Ｍ5．如果函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），且有f（x+（π／2））=-f（x），那么f（x）的解析式可以是（）．A．tg（x+π）B．sin（x+π）C．sin2xD.cos2x6．已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）．A．若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB．若α、β是第二象限角，则tgα＞tgβC．若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD．若α、β是第四象限角，则tgα＞tgβ7．函数y=-xcosx 的部分图象是（）．A．B．C．D．图3-78．已知奇函数f（x）在［－1，0］上为单调减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则（）．A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）Ｄ．f（sinα）＜f（cosβ）9．下列命题中正确的一个是（）．Ａ．函数ｙ＝ｃｏｓｘ（ｘ∈［0，2π］）是一个偶函数Ｂ．函数ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋（π／4））在第一象限内是增函数Ｃ．函数ｙ＝｜ｔｇｘ｜的最小正周期是πＤ．函数ｙ＝（1／ｓｉｎｘ）的值域是［－1，1］10．把函数ｙ＝3ｓｉｎ（ｘ＋（4π／3））－1的图象向右平移θ（θ＞0）个单位，使点（（π／2），－1）成为图象的一个对称中心，则θ的最小值为（）．Ａ．（π／6）Ｂ．（π／3）Ｃ．（5π／6）Ｄ．（4π／3）11．已知α是第二象限的角，给出四个不等式：ｔｇ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）；ｓｉｎ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）＞ｔｇ（α／2）；ｔｇ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）；ｃｏｓ（α／2）＞ｔｇ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）．其中可能成立的是（）．Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ．③④12．设f１（x）=cos（2x+（π／3）），f２（x）=cos（3x-（2π／3）），把f１（x）与f２（x）的图象作以下三种变换：先把f1（x）图象向右平移（π／3）个单位，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的（2／3）；先把f１（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的（2／3），再把图象向左平移（π／3）个单位；先把f２（x）图象向右平移（π／3）个单位，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的（3／2）．能使f１（x）与f２（x）重合的变换个数是（）．A．0B．1C．2D．3二、填空题13．函数f（x）=sin（2x+（π／3））在［0，π）内的单调减区间是_______．14．函数f（x）=（1+sinx-2sin2（（π／4）－（x／2））／4sin（x／2））的最小正周期是_______．15．（1／ｓｉｎ40°）＋ｔｇ10°的值是_____．16．给出下列命题：存在实数x，使ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝（3／2）；②若α、β是第一象限角，且α＞β，则ｃｏｓα＜ｃｏｓβ；函数ｙ＝ｓｉｎ（（2／3）π＋（7ｘ／2））是偶函数；若ｃｏｓαｃｏｓβ＝1，则ｓｉｎ（α＋β）＝0；函数ｙ＝ｓｉｎ2ｘ的图象向左平移（π／4）个单位，得到ｙ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4））的图象．其中正确命题的序号是_________．三、解答题17．已知1＋ｃｏｓα－ｓｉｎβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝0，1－ｃｏｓα－ｃｏｓβ＋ｓｉｎαｃｏｓβ＝0．求ｓｉｎα的值．18．已知（ｓｉｎβ／ｓｉｎα）＝ｃｏｓ（α＋β），其中α、β为锐角．（1）求证：ｔｇβ＝（ｓｉｎ2α／3－ｃｏｓ2α）；（2）求ｔｇβ的最大值．19．在△ＡＢＣ中，三角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，且ｂ２＝ａｃ成立．求ｙ＝（1＋ｓｉｎ2Ｂ）／（ｓｉｎＢ＋ｃｏｓＢ）的取值范围．20．在△ＡＢＣ中，ｃｏｓＡ＝（5／13），ｔｇ（Ｂ／2）＋ｃｔｇ（Ｂ／2）＝（10／3）．求：（1）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）的值；（2）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ／2）的值．专题方法总结一、高考中考查三角函数的主要题型有：1．求三角函数的最小正周期；2．求三角函数及反三角函数的值、值域或定义域；3．比较三角函数或反三角函数值的大小；4．解证三角函数及反三角函数不等式，或判定不等式的解集；5．求三角函数的最值问题；6．求或判定三角函数的单调区间；7．关于三角函数的某一种或几种性质的判定问题；8．三角函数图象与解析式或性质的转换判定问题；9．与函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象有关的问题；10．解三角形的问题(常揉进立几试题中考查)；11．与三角形有关的综合问题；12．把三角函数的基本性质与恒等变形方法揉进复数、解几等问题中进行考查．二、三角函数式的基本变形转化方法及技巧有：①化异名函数为同名函数；②化复角为单角，化异角为同角；③化异次式为同次式；④和差化积或积化和差；⑤切割弦互化；⑥用特殊角的三角函数值代换常数；⑦引入辅助角；⑧分拆角；⑨用万能公式．三、三角函数值在单位圆中的线段表示，可以看作自变量为角度的图象，是对不同三角函数值进行综合分析比较的有力工具．在解答三角不等式或三角方程，比较三角函数值的大小，或由三角函数值判定角的变化范围时，借助单位圆分析是一种极有效的方法．四、对三角函数式进行恒等变形的基本思维策略有：1．首先从问题要求和式子的类型特点(多项式、分式、根式等)把握恒等变形的目的或大方向．例如解三角方程ｆ（ｘ）＝0时，对左边ｆ（ｘ）作恒等变形的大方向自然是把ｆ（ｘ）分解为因式乘积形状；化简三角式时，作恒等变形的大方向则应根据三角式的结构特点而选定．2．其次，从式子内部各部分的函数名称、角度、次数、运算关系等方面，深入观察式子结构特点，通过联想有关概念和公式，寻找并发现各部分间的内在联系(对复杂问题，发现的联系常常是大致的，隐隐约约的，在变形过程中逐步明朗化)；然后选定变形起步点，灵活运用公式及各种变形转化方法，一步步把各部分沟通，使给定式子化为所需形状．3．要注意把三角式的基本变形转化方法与代数式的一般变形转化方法综合运用．例如对一般代数式分解因式的拆项、添项法，分式的变形方法等，都是常用方法．4．从近几年的高考看，三角恒等变换中积化和差与和差化积公式已淡化．如需要用积化和差公式或和差化积公式，而公式又没给出时，可改用和差角公式处理．例如：ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝ｃｏｓ（1／2）［（Ａ＋Ｂ）＋（Ａ－Ｂ）］＋ｃｏｓ（1／2）［（Ａ＋Ｂ）－（Ａ－Ｂ）］＝ｃｏｓ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（1／2）（Ａ－Ｂ）－ｓｉｎ（1／2）（Ａ＋Ｂ）·ｓｉｎ（1／2）（Ａ－Ｂ）＋ｃｏｓ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（1／2）（Ａ－Ｂ）＋ｓｉｎ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｓｉｎ（1／2）（Ａ－Ｂ）＝2ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）／2·ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2．五、在未来高考中，三角选择题与填空题仍会以考查三角函数的性质和图象为主；而三角综合题必以考查三角恒等变换、图象变换及应用意识为重点．不论是什么题型，其难度都会控制在低、中档题的水平上，但运用三角基本概念、图象和基本公式进行转化的思维能力，必是考查的核心；而在题目的构思上会突出三角知识与其它数学知识（如几何、不等式、复数、数列等）综合运用的设计，特别是在函数大框架下的特殊设计.专题三三角函数参考答案及提示§ 1 三角函数的性质与图象1．Ａ；2．Ｂ；3．B；4．C；5．（4π／3）；6．π－ｘ；7．（-∞，-2］．8．方法1：运用正弦函数的单调性，分三种情形研究：（1）当α∈（0，（π／4））时，0＜2α＜α＋（π／4），ｓｉｎ2α＜ｓｉｎ（α＋（π／4））；（2）当α＝（π／4）时，2α＝α＋（π／4），ｓｉｎ2α＝ｓｉｎ（α＋（π／4））；（3）当α∈（（π／4），（π／2））时，（π／2）＜α＋（π／4）＜2α＜π，ｓｉｎ2α＜ｓｉｎ（α＋（π／4））．方法2：ｓｉｎ2α－ｓｉｎ（α＋（π／4））＝－ｃｏｓ（（π／2）＋2α）－ｓｉｎ（α＋（π／4））＝2ｔ２－t－1＝2（ｔ－（1／4））２－（9／8）（ｔ＝ｓｉｎ（α＋（π／4））∈（（／。

2014届高三数学一轮复习函数的单调性与最值提分训练题

函数的单调性与最值一、选择题1．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析： ∵f (x )在R 上为减函数且f (|x |)＜f (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1. 答案： D2．函数y ＝－x 2＋2x －3(x ＜0)的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]解析：二次函数的对称轴为x ＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．答案： C3．函数y ＝2x 2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，则a 的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．－1解析依题意可得对称轴x ＝a －14＝1，∴a ＝5.答案 C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3ax ＜，a xx (a ＞0，且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C.()2，3D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23解析由f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，f ＝a 0≤3－3a .化简得0＜a ≤23.答案 A5．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：∵y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数， ∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a <0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．答案：B6．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x K ，K ，f x ＞K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )．A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞) 解析 f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，2－|x |≤1212，2－|x |＞12⇔ f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，x ≤－1或x ≥1，12，－1＜x ＜1.f 12(x )的图象如上图所示，因此f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．答案 C7．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析由题意a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D二、填空题8．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是_______．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x ，x 2－3x x作出该函数的图像，观察图像知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 9．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 ①当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a ＞0时，要使f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x ＝3－a a必在x ＝3的右边，即3－a a ≥3，故0＜a ≤34；③当a ＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3410．若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．解析：∵f (x )在R 上为增函数，∴2－m <m 2. ∴m 2＋m －2>0.∴m >1或m <－2. 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)11. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a x ，log a x x是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．解析 ∵当x ≥1时，y ＝log a x 单调递减，∴0＜a ＜1；而当x ＜1时，f (x )＝(3a －1)x ＋4a 单调递减，∴a ＜13；又函数在其定义域内单调递减，故当x ＝1时，(3a －1)x ＋4a ≥log a x ，得a ≤17，综上可知，17≤a ＜13.答案.17≤a ＜1312．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x ＞0(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．解析 (数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0 且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22成立，故④正确．答案 ①③④【点评】采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性. 三、解答题13．求函数y ＝a 1－x 2(a >0且a ≠1)的单调区间．解析：当a >1时，函数y ＝a 1－x 2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；当0<a <1时，函数y ＝a 1－x 2在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数． 14．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解析 (1)证明：方法一：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．方法二：∵f (x )＝1a －1x，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，∴a ＝25.15．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解任设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)内恒成立，∴a ≤1.综上知0＜a ≤1.16．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.解析 (1)证明设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数． (2) ∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)，∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43.。

2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编专题04 三角函数与三角形

一．基础题组1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知4cos()65πα-=，则sin()3πα+= ．2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】求值：002cos10sin 20cos 20-= ．3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<< ．(1) 若a b ⊥，求θ；(2) 求a b +的最大值．【答案】(1)4πθ=【解析】试题分析：(1)由向量垂直的充要条件:11221212(,y ),(,y ),0y y 0a x b x a b a b x x ==⊥⇔⋅=⇔+=,这样4. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知ABC ∆的周长1，且sin sin A B C + （1）求边AB 的长；（2）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C .试题解析：解：（1）由题意及正弦定理得：1AB BC AC ++=,BC AC +=,两式相减得1AB =.…………（6分）5. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角045CAD ∠=． (1)求BC 的长度；(2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？试题解析：解：(1)如图作AN CD ⊥ 于N ．91569AB CD AB CD DN EC ∴ ，＝，＝，＝，＝．设AN x DAN θ∠＝，＝，4545CAD CAN θ∠︒∴∠︒ ＝，＝－．在Rt ANC ∆ 和Rt AND ∆ 中，069tan ,tan(45-)=x x θ ………………………4分()91tan 451tan tan x θθθ-∴︒+＝－＝化简整理得215540x x －－＝，解得12)183(x x ＝，＝－舍去．BC 的长度是18 m ． ………………………7分6. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 .7. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.8. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为__ ▲____．【答案】214- 【解析】9. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ， AC AB ∙＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4， (1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．当2+62ππθ=，即=6πθ时，max f()3θ=.考点：1.余弦定理;2.三角函数的图象;3.基本不等式10. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】若动直线)(R a a x ∈=与函数()3sin()()cos()66f x xg x x ππ=+=+与的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为．11. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】设向量),cos ,(sin x x a =),sin 3,(sin x x b =x ∈R ，函数)2()(b a a x f +⋅=.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．试题解析：(1) )2()(x f +⋅=222sin cos 2(sin 3sin cos )x x x x x =++ 3111cos 23222(sin 2cos 2)2x x x x =+-=+⋅22(sin 2coscos 2sin )22sin(2)666x x x πππ=+-=+-. …………5′ 由222262k x k πππππ-≤-≤+，得63k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+()k ∈Z . …………8′12. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆，则BC 边长为．13. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为．【答案】13[,]44- 【解析】试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f x x ππ=-，令22242k x k ππππππ-+≤-≤+，解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1,1]x ∈-，所以1344x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-.考点：三角函数的图象与性质.14. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．15. 【苏州市2014届高三调研测试】若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ▲ ．【答案】3π16. 【苏州市2014届高三调研测试】已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ▲ ．17. 【苏州市2014届高三调研测试】在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=．（1）求角A 的大小；（2）若a =4b =，求边c 的大小．试题解析：（1）用正弦定理，由1cos ,2a C cb +=得1sin cos sin sin .2A C C B +=………2分sin sin()sin cos cos sin ,B A C A C A C =+=+1sin cos sin .2C A C ∴=………4分 1sin 0,cos .2C A ≠∴= ………6分0,.3A A ππ<<∴=………8分18. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ．19．【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则c = ．20.二．能力题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值；(2)求C B cos sin 3-的最大值.2. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅ 的值；（2）若4,58a b πα⋅== ，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．3. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】在锐角△ABC 中，角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，且 .3tan )(222bc A a c b =-+ （1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆面积S 的最大值. 【答案】（1）60A ︒=；（2）3. 【解析】试题分析：（1）由式子.3tan )(222bc A a c b =-+的结构特征，很自然联想到余弦定理，将其化为关于角A 的三角函数，由其函数值则可求出角A ；（2）由第（1）题的结果，可知1sin 2S bc A ==，再由条件可得，224b c bc +=+，利用基本不等式可求出bc 的最大值，进一步可得三角形面积的最大值.三．拔高题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD .求BC 的长度；在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？【答案】⑴18m ;⑵当BP 为27)m 时，αβ+取得最小值．【解析】+取得最小值．……………………………14分答：当BP为27)m时，αβ考点：1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用。

2014届高三数学一轮复习导学案：三角函数的值域与最值

备注
1-4题基础学生板演
5-6题优秀学生板演
3个例题学生板演学生点评教师总结
例4学有余力学生完成
课堂检测——三角函数的最值与值域姓名：
1.函数f(x)=tan x( ＞0)的图象的相邻的两支截直线y= 所得线段长
为 ,则f（）的值是.
2.已知函数f(x)=2sin x( ＞0)在区间上的最小值是-2，
3、函数的最大值为
4、函数y= 的最小值为
5、设，则函数的最小值为．
6、的值域为
变式的值域为
7、已知当时，︱ ∣<2,求a的范围。
四：课堂研讨
例1：⑴已知的定义域为，值域为，求的值.
⑵求函数的最小值.
例2：求函数的最值.（1）；（2）
例3：已知的最大值为，求实数a的值.
M
ABCD来自EFH
G
例4：（备选题）体育馆计划用运动场的边角地建造一个矩形健身室，如图，ABCD是正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，半径为40m，矩形AGHM就是计划的健身室，G、M分别在AB、AD上，H在弧EF上，设矩形AGHM面积为S，∠HCF= ，将S表达为的函数，并且指出H在弧EF上何处时，健身室面积最大，最大值是多少？
则的最小值等于.
3.求下列函数的值域：
(1)y= ;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;
(3)y=2cos +2cosx.
课外作业——三角函数的最值与值域姓名：
1.已知f(x)=sin ( ＞0),f =f ,且f(x)在区间
上有最小值，无最大值，则 =.
2.函数f(x)=sin2x+ sinxcosx在区间上的最大值是.

高考一轮数学复习理科课件人教版专题研究三角函数的值域与最值

CHAPTER
06
总结与展望
总结
三角函数值域与最值的定义和性质
总结了三角函数值域与最值的定义，以及相关的基本性质，如周期性、对称性等。
三角函数值域与最值的求法
归纳了几种常见的求三角函数值域与最值的方法，如配方法、换元法、不等式法等。
三角函数了三角函数值域与最值在解决数学问题中的应用，如代数、几何等领域。
解决实际问题
在实际问题中，如物理、工程等领域，常常需要求解三角函数的最值或值域，以解决实际问题。
三角函数值域与最值的求解方法
代数法
通过代数运算，利用三角函数的性质和公式，求出三角函数的最
值或值域。
几何法
将三角函数与几何图形相结合，利用几何意义求出三角函数的最值或值域。
导数法
利用导数求出函数的极值点，再结合函数的单调性求出三角函数的最值。
详细描述
反解法适用于一些难以直接观察的三角函数。通过反解，将自变量表示为因变量的函数，然后利用函数的性质，如单调性、奇偶性等，来求解函数的值域。反解法有时需要结合其他方法一起使用，以简化求解过程。
CHAPTER
03
三角函数最值的求解方法
代数法
总结词
通过代数运算，将三角函数式转化为更易于处理的形式，从而求得最值。
数形结合法
将三角函数与图像结合，利用图像的直观性，得出函数的值
域或最值。
CHAPTER
05
三角函数值域与最值的应用实例
在三角形中的应用
总结词
解决三角形问题
详细描述
三角函数在三角形问题中有着广泛的应用，尤其是在求解角度、边长等问题时。通过三角函数，我们可以利用已知条件推导出未知量，从而解决三角形的问题。

2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.3三角函数图象和性质课件新人教A版

a， c 的大小关系是 b，
(
)
A．a<b<c C．b<a<c
B．c<a<b D．b<c<a
解析： (1)作出 y＝|tan x|的图象，观察图象可知， y＝|tan x|
π 的增区间是kπ，kπ＋2 ，k∈Z. π (2)f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋3 ，因为函数
3 答案：5 π＋2kπ，k∈Z 4
1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y
＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调
区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：
π π (1)y＝sinωx－4 ；(2)y＝sin4 －ωx.
1 cos x－的定义域为________． 2 (2)函数 y＝sin2x＋sin x－1 的值域为
(
)
A．[－1,1]
5 C.－4，1
5 B.－4，－1 5 D.－1，4
sin x>0， [自主解答] (1)要使函数有意义必须有 1 cos x－2≥0， sin x>0，即 1 cos x≥2， 2kπ<x<π＋2kπ，解得 π (k∈Z)， π －3＋2kπ≤x≤3＋2kπ
π ＋kπ，0 2
y＝tan x 奇函数
kπ ，0 2 (k∈Z)
(kπ，0)
∈Z)
(k∈Z)
函数对称轴方程周期
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
π x＝＋kπ 2 (k∈Z) x＝kπ (k∈Z)

高三数学一轮复习学案：三角函数的最值与综合应用

高三数学一轮复习学案：三角函数的最值与综合应用一、考试要求： 1、理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0上最大值、最小值，理解正切函数在上性质。

，⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题。

二、知识梳理：1、型三角函数式，可化为x b x a cos sin y += )sin(y 22ϕ++=x b a ，再求最值。

2、c x b x a y ++=sin sin 2型三角函数式，利用换元法转化成二次函数在闭区间上的最值问题进行求解。

三、基础检测： 1.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （）（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）232.已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（） A. |,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. |22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C. 5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 3.已知函数()sin(2)f x x φ=+其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（）（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭4.函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为 5.函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f6.已知函数f （x ）=A tan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.7．函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)在[43,8ππ]上的最大值和最小值分别是 8.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________9.求f(x)=cos 2(x-12π)+sin2(x+12π)-1的最小正周期及单调区间，以及取最值时x 的集合。

高三数学一轮复习之函数的值域与最值讲义

函数的值域与最值（讲义）【知识要点】求函数值域（最值）的一般方法：1.二次函数或可转化为二次函数的函数2.换元法（无理函数）3.分离变量或反解法（分式函数）4.对勾函数的值域5.判别式法【考点探究】例1.二次函数求值域（1）()23212y x x x =-+-≤≤ （2）y =例2.换元法求值域（1）x x y 21-+= （2）23y x =-（3）()[]1,1,1243-∈+-•=x x f xx例3.分式函数求值域（利用反比例函数图像）（1）312x y x +=-(3)x ≥ （2）312x y x +=-(42)x x ≤≠且（3）2123y x x =++；（4）2123y x x =+-例4.求下列函数的值域（1）22x y x+=；（2）22x x y x ++=(0>x )；（3）()[]4,1,1422∈+++=x x x x x f （4）()[]3,2,2552∈+++=x x x x x f（4）11422+++=x x x y ；（6）1122+-=x x y（7）()22122++++=x x x x x f （8）()[]4,221322∈++++=x x x x x x f ，例5.求下列函数的值域（1）()294x x x f -++= （2）()x x x x f 222--++=例6. 求下列函数的值域（1）()12-++=x x x f （2）()11-++=x x x f （3）()x x x f -++=13例7.求下列函数的值域（1）()x x x f cos 2sin -=（2）()222222+-+++=x x x x x f例8.求下列函数的最值（1）定义：{}c b a ,,m in 表示中最小者，已知函数()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)5(21,1,4min x x x x f 则()x f 的最值。

（2）已知()()()()()()()()(){x g x f x g x g x f x f x f x x x g x x f ≥<=-=-=,,2,2,23，则()x f 的最值。

2014高考数学一轮复习精品讲练(人教通用版)3.7三角函数的值域与最值

第7课三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．【基础练习】1.函数在区间上的最小值为 1 ．2.函数的最大值等于．3.函数且的值域是___________________．4.当时，函数的最小值为 4 ．【范例解析】例1.（1）已知，求的最大值与最小值．（2）求函数的最大值．分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：，，则．，当时，有最小值；当时，有最小值．（2）设，则，则，当时，有最大值为．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．例2.求函数的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3.已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．【反馈演练】1．函数的最小值等于____－1_______．2．当时，函数的最小值是______4 _______．3．函数的最大值为_______，最小值为________.4．函数的值域为 .5．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．6．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）．因此，函数的最小正周期为．（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为．。

【教育资料】届高三数学一轮复习精讲精练：3.7三角函数的值域与最值学习专用

第7课三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ． 2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于． 3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________． 4.当20π<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值．（2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：1sin sin 3y x =-，sin [1,1]y ∈-，则2sin [,1]3x ∈-． 22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值1112-；当2sin 3x =-时，2sin cos y x -有最小值49．（2）设sin cos x x t +=(22)t -≤≤，则21sin cos 2t x x -⋅=，则21122y t t =+-，当2t =时，y 有最大值为122+．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．例2.求函数2cos (0)sin x y x xπ-=<<的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<，得21sin()2y x ϕ++=，即43 (,1][1,)-∞-⋃+∞22sin()1x y ϕ+=+，故2211y ≤+，解得3y ≥或3y ≤-（舍），所以y 的最小值为3．解法二：2cos (0)sin x y x xπ-=<<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，其中点B 在左半圆221(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时3AB k =，所以y 的最小值为3．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3.已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式．解：（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ 又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于____－1_______．2．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是______4 _______．3．函数sin cos 2x y x =+的最大值为_______，最小值为________. 4．函数cos tan y x x =⋅的值域为 . 5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．6．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ2sin 2cos 14244f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为1-．32 3333-(1,1)-。

最新高三数学一轮复习同步：专题研究三角函数的值域与最值

题型一 y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B 型的最值问题例1.求f(x)＝3sinx ＋4cosx ，x ∈[0,π]的值域．例2.已知函数f(x)＝cosxsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．题型二可化为y ＝f(sinx)型的值域问题例3 (1)求f(x)＝cos 2x ＋asinx 的最小值．题型三数形结合求三角函数的值域例4 (1)求函数f(x)＝2－sinx 2＋cosx的值域． (2)已知f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|，求f(x)的值域．1．三角函数y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的值域．2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为①y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B 型；②y ＝f(sinx)型．3．－a 2＋b 2≤asinx ＋bcosx ≤a 2＋b 2.4．求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性．5．利用导数求三角函数的值域和最值．6．y ＝asinx ＋b ccosx ＋d型． (1)转化为Asinx ＋Bcosx ＝C 型．(2)利用直线的斜率求解．7．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数．专题层级训练一．选择题1．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12 C ．－1 D.1－222．将函数f(x)＝cos2x －sin2x 的图像向左平移π8个单位后得到函数F(x)的图像，则下列说法中正确的是( )A.函数F(x)是奇函数,最小值是－2B.函数F(x)是偶函数,最小值是－2C.函数F(x)是奇函数,最小值是－ 2D.函数F(x)是偶函数,最小值是－ 23．函数f(x)＝sin(x ＋π6)－cos(x ＋π3)的最小值为( ) A ．－ 2 B ．－22C ．－ 3 D ．－324．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 35．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos 2x cosxsinx －sin 2x的最小值是(D) A.14 B.12C ．2D ．46．已知f(x)＝sinx ＋1sinx，x ∈(0，π)．下列结论正确的是(B) A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值二、填空题7．已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6),其中x ∈[－π6,a]．当a ＝π3时,f(x)的值域是： ;若f(x)的值域是[－12,1]，则a 的取值范围是8．若函数y ＝sin 2x ＋2cosx 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是:9．函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为:10．若函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围是________．三．解答题11．已知函数f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)，g(x)＝12sin2x －14. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合．12．已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋acos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f(π)＝1，求a ，θ的值．13．已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值．14．已知函数f(x)＝sinx －23sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，2π3]上的最小值．15．已知函数f(x)＝12sin2x －3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像．当x ∈[π2，π]时，求g(x)的值域．专题研究三角函数的值域与最值题型一 y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B 型的最值问题例1.求f(x)＝3sinx ＋4cosx ，x ∈[0,π]的值域．解：f(x)＝3sinx ＋4cosx ＝5(35sinx ＋45cosx)＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45，0<φ<π2. ∵0≤x ≤π，∴φ≤x ＋φ≤π＋φ.∴当x ＋φ＝π2时，f(x)max ＝5；当x ＋φ＝π＋φ时，f(x)min ＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4.∴f(x)的值域为[－4，5]．例2．已知函数f(x)＝cosxsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝cosx ·⎝⎛⎭⎫12sinx ＋32cosx －3cos 2x ＋34 ＝12sinx ·cosx －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34(1＋cos2x)＋34＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14. 所以函数f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 题型二可化为y ＝f(sinx)型的值域问题例3 (1)求f(x)＝cos 2x ＋asinx 的最小值．解：f(x)＝1－sin 2x ＋asinx ，令t ＝sinx ， t ∈[－1，1]，∴y ＝－t 2＋at ＋1＝－(t －a 2)2＋1＋a 24. 当a>0时，t ＝－1时，y 取最小值，y min ＝－a ；当a ≤0时，t ＝1时，y 取最小值，y min ＝a.(2)求函数y ＝sinx ＋cosx ＋sinxcosx 的值域．解：令t ＝sinx ＋cosx ，则有t 2＝1＋2sinxcosx ，即sinxcosx ＝t 2－12.∴y ＝f(t)＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1. 又t ＝sinx ＋cosx ＝2s 故y ＝f(t)＝12(t ＋1)2－1(－2≤t ≤2)．从而知f(－1)≤y ≤f(2)，即－1≤y ≤2＋12. 则函数的值域为[－1，2＋12]． in(x ＋π4)，∴－2≤t ≤ 2. 题型三数形结合求三角函数的值域例4 (1)求函数f(x)＝2－sinx 2＋cosx的值域． (2)已知f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|，求f(x)的值域．解：(1)函数f(x)＝2－sinx 2＋cosx，可看作点(2，2)，(－cosx ，sinx)两点连线的斜率．点(－cosx ，sinx)的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2，2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2，2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k. ∴切线方程为y-2＝k(x －2),即kx-y-2k ＋2＝0.∴满足|2－2k|1＋k 2＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f(x)的值域为[4－73，4＋73]． (2)f(x)＝sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ≤⎧⎨>⎩作出图像，由图像知，－1≤y ≤22. 1．三角函数y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的值域．2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为①y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B 型；②y ＝f(sinx)型．3．－a 2＋b 2≤asinx ＋bcosx ≤a 2＋b 2.4．求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性．5．利用导数求三角函数的值域和最值．6．y ＝asinx ＋b ccosx ＋d型． (1)转化为Asinx ＋Bcosx ＝C 型．(2)利用直线的斜率求解．7．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数．专题层级训练一．选择题1．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是(D) A.2－12 B ．－2＋12 C ．－1 D.1－22解:f(x)＝－sin 2x ＋sinx ＋1＝－(sinx －12)2＋54，当sinx ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 2．将函数f(x)＝cos2x －sin2x 的图像向左平移π8个单位后得到函数F(x)的图像，则下列说法中正确的是(C)A.函数F(x)是奇函数，最小值是－2B.函数F(x)是偶函数，最小值是－2C.函数F(x)是奇函数，最小值是－ 2D.函数F(x)是偶函数，最小值是－ 2解:f(x)＝cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π4)，将f(x)的图像向左平移π8个单位后得到F(x)＝2cos[2(x ＋π8)＋π4]＝2cos(2x ＋π2)＝－2sin2x 的图像，易知F(x)为奇函数，最小值为－2，故选C. 3．函数f(x)＝sin(x ＋π6)－cos(x ＋π3)的最小值为(C) A ．－ 2 B ．－22C ．－ 3 D ．－32 解:f(x)＝(32sinx ＋12cosx)－(12cosx －32sinx)＝3sinx ，当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，f(x)取得最小值－ 3.4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3解:当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos 2x cosxsinx －sin 2x的最小值是 (D) A.14 B.12C ．2D ．4解:f(x)＝1－tan 2x ＋tanx ＝1－（tanx －12）2＋14，当tanx ＝12时，f(x)的最小值为4，故选D. 6．已知f(x)＝sinx ＋1sinx，x ∈(0，π)．下列结论正确的是(B) A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解析令t ＝sinx ，t ∈(0，1]，则y ＝1＋1t，t ∈(0，1]是一个减函数，则f(x)只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sinx ，得出sinx ＝1y －1，由sinx ∈(0，1]也可求出，故选B.二、填空题7．已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6),其中x ∈[－π6,a]．当a ＝π3时,f(x)的值域是：[－12,1];若f(x)的值域是[－12,1]，则a 的取值范围是[π6，π2]．解:若－π6≤x ≤π3，则－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin(2x ＋π6)≤1，即f(x)的值域是[－12，1]．若－π6≤x ≤a ，则－π3≤2x ≤2a ，－π6≤2x ＋π6≤2a ＋π6. ∵当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin(2x ＋π6)＝－12，∴要使f(x)的值域是[－12，1]，则有π2≤2a ＋π6≤7π6，即π3≤2a ≤π，∴π6≤a ≤π2，即a 的取值范围是[π6，π2]． 8．若函数y ＝sin 2x ＋2cosx 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是:(－2π3，2π3] 解:y ＝2－(cosx －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性α∈(－2π3，2π3]． 9．函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为:1解:f(x)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sinx ，因为x ∈R ，所以f(x)的最大值为1.10．若函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围是________．解：f(x)＝1＋2sinxcosx －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解． 2sin(2x －π4)＝m 有解． ∵x ∈[0,π2]∴2x －π4∈[－π4,3π4],∴2sin(2x －π4)∈[－1,2]．三．解答题11．已知函数f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)，g(x)＝12sin2x －14. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合．解：(1)f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)＝(12cosx －32sinx) (12cosx ＋32sinx)＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝ 12cos2x －14，∴f(x)的最小正周期为2π2＝π. (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z)时，h(x)取得最大值22. h(x)取得最大值时，对应的x 的集合为{x|x ＝k π－π8， k ∈Z}．12．已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋acos(x ＋2θ),其中a ∈R,θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f(π)＝1，求a ，θ的值．解：(1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sinx ＋cosx)－2sinx ＝22cosx －22sinx ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4. 故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由()0,2()1,f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos 12asin 0,2asin sin a 1.θθθθ=⎧⎨⎩（－）－－＝由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得1,.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 13．已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝1－cos2x 2－1－cos （2x －π3）2＝12(12cos2x ＋32sin2x)－12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin(2x －π6)．所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f(x)在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间[－π6，π4]上是增函数，f(－π3)＝－14，f(－π6)＝－12，f(π4)＝34.所以，f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12. 14．已知函数f(x)＝sinx －23sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，2π3]上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinx ＋3cosx －3＝2sin(x ＋π3)－3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间[0，2π3]上的最小值为f(2π3)＝－ 3. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间[0，2π3]上的最小值为f(2π3)＝－ 3.15．已知函数f(x)＝12sin2x －3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像．当x ∈[π2，π]时，求g(x)的值域．解： (1)f(x)＝12sin2x －3cos 2x ＝12sin2x －32(1＋cos2x) ＝12sin2x －32cos2x －32 ＝sin(2x －π3)－32，因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知：g(x)＝sin(x －π3)－32. 当x ∈[π2，π]时，有x －π3∈[π6，2π3]，从而y ＝sin(x －π3)的值域为[12，1]，那么y ＝sin(x －π3)－32的值域为[1－32，2－32]．故g(x)在区间[π2，π]上的值域是[1－32，2－32]．。

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式》理新人教B版

[第15讲导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·韶关调研] 函数y ＝x e x的最小值是( )A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．43．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件能力提升5．一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是( )A ．12 cm 3B ．15 cm 3C ．18 cm 3D ．16 cm 36．[2013·湖南卷] 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.227．[2013·全国卷] 已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或18．已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．39．[2013·辽宁卷] 若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B.11＋x≤1－12x ＋14x 2C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 210．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________．11．[2013·厦门质检] 设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2xex ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g （x 1）k ≤f （x 2）k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________．12．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2.则该商品零售价定为________时，毛利润L 最大，最大毛利润是________(毛利润＝销售收入－进货支出)．13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则S 的最小值是________．14．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位： cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．15．(13分)[2013·河北重点中学联考] 已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)若函数y ＝f (x )＋g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)且x 2－x 1＞ln2，求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值；(3)试求实数a 的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上，函数y ＝x 2的图象恒在函数f (x )的图象的上方．课时作业(十五)【基础热身】1．C [解析] y ′＝(x ＋1)e x，令y ′＝0，得x ＝－1.因为x <－1时y ′<0；x >－1时y ′>0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e.2．C [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0，所以当x ＝0时，f (x )取得最大值2.3．C [解析] y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)，令y ′＝0得t ＝－12(舍去)或t ＝8，当6≤t <8时，y ′>0，当8<t <9时，y ′<0，∴当t ＝8时，y 有最大值．4．C [解析] 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．【能力提升】5．C [解析] 设小正方形的边长为x cm ，则盒子底面长为8－2x ，宽为5－2x .V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <52，V ′＝12x 2－52x ＋40，由V ′＝0得x ＝1或x ＝103(舍去)，则V 极大值＝V (1)＝18，且在定义域内仅有一个极大值，∴V 最大值＝18.6．D [解析] 用转化的思想：直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 图象分别交于M ，N ，而||MN 的最小值，实际是函数F (t )＝t 2－ln t (t >0)时的最小值．令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)．故t ＝22时，F (t )＝t 2－ln t 有最小值，即||MN 达到最小值，故选D. 7．A [解析] 由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0⇒x ＝±1，结合f (x )的图象可知只要f (－1)＝0或f (1)＝0即可，故解得c ＝－2或2，故选A.8．C [解析] 设底面边长为a ，则高h ＝SA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝12－12a 2，所以体积V＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6，则y ′＝48a 3－3a 5，当y 取最值时，y ′＝48a 3－3a 5＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝4，故a ＝4时体积最大，此时h ＝12－12a 2＝2.9．C [解析] 验证A ，当x ＝3时，e 3>2.73＝19.68>1＋3＋32＝13，故排除A ；验证B ，当x ＝12时，11＋12＝63，而1－12×12＋14×14＝1316＝3948＝ 1 52148< 1 53648＝16648，故排除B ；验证C ，令g (x )＝cos x －1＋12x 2，g ′(x )＝－sin x ＋x ，g ″(x )＝1－cos x ，显然g ″(x )>0恒成立，所以当x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )≥g ′(0)＝0，所以x ∈[0，＋∞)时，g (x )＝cos x －1＋12x 2为增函数，所以g (x )≥g (0)＝0恒成立，即cos x ≥1－12x 2恒成立；验证D ，令h (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，h ′(x )＝1x ＋1－1＋x 4＝x （x －3）4（x ＋1），令h ′(x )<0，解得0<x <3，所以当0<x <3时，h (x )<h (0)＝0，显然不恒成立．故选C.10.34V [解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝4V 3x 2，∴S ＝3×4V 3x 2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2， ∴S ′＝－43V x2＋3x ，令S ′＝0，得x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′<0，当x >34V 时，S ′>0，故当x ＝34V 时，S 取得最小值． 11．k ≥1 [解析] ∵k 为正数，∴对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g （x 1）k ≤f （x 2）k ＋1恒成立⇒⎣⎢⎡⎦⎥⎤g （x ）k max ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）k ＋1min. 由g ′(x )＝e x ＋2（1－x ）e2x＝0得x ＝1. x ∈(0，1)，g ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，g ′(x )<0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤g （x ）k max＝g （1）k ＝e k . 同理f ′(x )＝e 2x 2－1x 2＝0⇒x ＝1e， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，f ′(x )>0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）k ＋1min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e k ＋1＝2e k ＋1，∴e k ≤2e k ＋1，k >0⇒k ≥1. 12．30 23 000 [解析] 由题意知L (P )＝P ·Q －20Q ＝Q (P －20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150P 2＋11 700P －166 000，∴L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍)．因为在P ＝30附近的左侧L ′(P )>0，右侧L ′(P )<0， ∴L (30)是极大值．根据实际意义知，L (30)是最大值，此时L (30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23 000元．13.3233[解析] 设DE ＝x ，由ED ∥BC ，△ABC 为正三角形，AD ＝DE ＝AE ＝x ，BD ＝EC＝1－x .过D 作DF ⊥BC ，DF ＝32(1－x )，梯形的周长为BD ＋DE ＋EC ＋BC ＝3－x ，梯形的面积为12(x ＋1)×32(1－x )＝34(1－x 2)．S ＝（3－x ）234（1－x 2）(0<x <1)．S ′＝43（2x －6）（1－x 2）－（3（1－x 2）2＝43（2x －6）（1－3x ）（1－x 2）2，令S ′＝0，解得x ＝13或3(舍去)，0<x <13，S ′<0，13<x <1，S ′>0，∴x ＝13时，S min ＝3233.14．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5.再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 400（3x ＋5）2，令f ′(x )＝0，即 2 400（3x ＋5）2＝6.解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.故当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．15．解：(1)由题意f ′(x )＝ln x ＋1＝0，得x ＝1e.①当0<t <1e 时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t ＋2上单调递增，此时函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . ②当t ≥1e时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，此时函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .(2)由题意y ＝f (x )＋g (x )＝x ln x －x 2＋ax ＋2，则y ′＝ln x －2x ＋a ＋1，知y ′＝ln x －2x ＋a ＋1＝0有两个不同的实根x 1，x 2，等价于a ＝－ln x ＋2x －1有两个不同的实根x 1，x 2，等价于直线y ＝a 与函数G (x )＝－ln x ＋2x －1的图象有两个不同的交点．由G ′(x )＝－1x ＋2，知G (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，画出函数G (x )图象的大致形状如图，由图易知，当a >G (x )min ＝G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln2时， x 1，x 2存在，且x 2－x 1的值随a 的增大而增大．而当x 2－x 1＝ln2时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－2x 1＋a ＋1＝0，ln x 2－2x 2＋a ＋1＝0.两式相减可得ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)＝2ln2，得x 2＝4x 1，代入x 2－x 1＝ln2得x 2＝4x 1＝43ln2，此时实数a ＝23ln2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln23－1，所以实数a 的取值范围为a >23ln2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln23－1. 【难点突破】16．解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x >0)．当a >0时，f ′(x )>0恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由f ′(x )＝0得x ＝－a .①当a ≥－1时，f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，得a ＝－32(舍)．②当a ≤－e 时，f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为减函数，则f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，得a ＝－e2(舍)．③当－e<a <－1时，由f ′(x )＝0得x 0＝－a ，当1<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )在(1，x 0)上为减函数；当x 0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，e)上为增函数．∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，得a ＝－e ，综上知，a ＝－ e.(3)由题意得x 2>ln x －a x在(1，＋∞)上恒成立，即a >x ln x －x 3在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝x ln x －x 3(x >1)，则g ′(x )＝ln x －3x 2＋1.令h (x )＝ln x －3x 2＋1，则h ′(x )＝1x－6x ，当x >1时，h ′(x )<0恒成立．∴h (x )＝g ′(x )＝ln x －3x 2＋1在(1，＋∞)上为减函数，则g ′(x )<g ′(1)＝－2<0，所以g (x )在(1，＋∞)上为减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1，故a ≥－1。

高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值知识精讲

高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值知识精讲【本讲主要内容】三角函数的最值与给角求值y ＝a sin x +b cos x 型函数最值的求法、已知三角函数求角。

【知识掌握】【知识点精析】1. y ＝a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y ＝（x +ϕ） 2. y ＝a sin 2x +b sin x +c 型常通过换元法转化为y ＝at 2+bt +c 型3. y ＝dx c bx a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作） 4. 已知三角函数求角：求角的多值性法则： 1. 先决定角的象限。

2. 如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ；如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x 。

3. 由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。

【解题方法指导】例1. 求函数y ＝cot2xsin x +cot x sin2x 的最值。

分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题。

解：y ＝x x sin cos 1+·sin x +x x sin cos ·2sin x cos x ＝2（cos x +41）2+87∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1 ∴当cos x ＝－41时，y 有最小值87，无最大值点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件。

例2. 求函数y ＝xxcos 2sin 2--的最大值和最小值。

分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）。

解法一：去分母，原式化为sin x －y cos x ＝2－2y ，即sin （x －ϕ）＝2122yy +-故21|22|y y +-≤1，解得374-≤y ≤374+ ∴y max ＝374+，y min ＝374- 解法二：令x 1＝cos x ，y 1＝sin x ，有x 12+y 12＝1它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可。

三角函数求最值高三第一轮复习课件

⑦ y sin x k 型. sin x
利用均值不等式或函数f (x) x a (a 0)的单调性求解. x
发散与创新
(05辽宁)如图，在直径为１的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 y x 0． (Ⅰ) 将十字形的面积表示为θ的函数； (Ⅱ) θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
方法与技巧总结
三角函数求最值的常见题型
⑤ y a sin x b 型. c cos x d
可用斜率公式或转化为正余弦函数的有界性来求.
⑥ y a sin x b (或 a cosx b )型. c sin x d c cosx d
可采用分离常数法或反解出sin x, 化归为sin x 1解决.
高三数学第一轮复习
一、学习目标：三角函数的最值问题是高考热点之一，
通过复习，应熟练掌握三角函数最值的求法。
二、重点难点: 通过三角变换结合代数变换求三角函数的
最值。
知识与基础
⑴函数f(x)=sinx+cosx在[0, ] 上的值域为( )
4
A.[ 2, 2 ]
B.[1, 2 ]
C.[ 2, 0]

2

上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不
存在，试说明理由。
[思维点拨]：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。
方法与技巧总结
三角函数求最值的常见题型
① 形如y a sin x b或(a cosx b)型，利用三角函数的值域，注意对字母的讨论.
② 形如y a sin x b cosx型，引入辅助角
时， θ等于
2 ()
A.

高三数学一轮教案三角函数的值域与最值

城东蜊市阳光实验学校§三角函数的值域与最值【复习目的】根据正、余弦函数的有界性求简单三角函数的最值和值域；运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。

【重点难点】化归思想及其运用途径【课前预习】函数y=32sinxcosx 的最大值是_____，最小值是_____；函数y=24(cos )5x -＋1615的最大值是_____，最小值是_____；函数y 假设||4x π≤，2()c o s s i n f x x x =+的最小值是〔〕AB．-C ．－1D函数y=x sin —2sinx 值域是〔〕A ．[—3，—1]B ．[—1，3]C ．[0，3]D ．[—3，0]函数y=log2(1＋sinx)＋log2(1—sinx)，当x ∈[—6π，4π]时的值域为〔〕 A ．[—1，0]B ．(]1,0-C ．[)0,1D ．[0，1]求以下函数的值域〔1〕3s i n 4c o s y x x =-〔2〕s i n o s ()22y x x ππ=-≤≤【典型例题】例1求以下函数的最值〔1〕y=21cos2x＋23sinxcosx＋1〔x∈R〕；〔2〕y=2sin1sin3+-xx例2求y=1＋sinx＋cosx＋sinxcosx的最值例3扇形AOB的半径为1，圆心角为3π，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。

【稳固练习】方程sin2x＋cosx＋a=0有实数解，那么a的取值范围是______________。

y=3sin〔x+200〕+5sin(x+800)的最大值是〔〕A、211B、637C、7D、8【本课小结】【课后作业】设函数y=acosx＋b〔a、b为常数〕的最大值为1，最小值为—7，求函数acosx＋bsinx的最大值和最小值。

假设x∈(0，π)，求函数y=θθ2sin31sin3+的最大值。

求函数y=(sinx—2)(cosx—2)的最大、最小值。

高考数学一轮复习第4章三角函数专题研究1三角函数的值域与最值练习理

专题研究1 三角函数的值域与最值1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32]C ．[12，32]D ．[－32，－12] 答案 B解析 x∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]．2．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是( )A.2－12B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D解析 f(x)＝－sin 2x ＋sinx ＋1＝－(sinx －12)2＋54，当sinx ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22.3．(2018·湖南衡阳月考)定义运算：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b.例如1*2＝1，则函数f(x)＝sinx*cosx 的值域为( )A ．[－22，22] B ．[－1，1]C ．[22，1] D ．[－1，22] 答案 D解析根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期内的情况即可．设x∈[0，2π]，当π4≤x ≤5π4时，sinx ≥cosx ，f(x)＝cosx ，f(x)∈[－1，22]，当0≤x<π4或5π4<x ≤2π时，cosx>sinx ，f(x)＝sinx ，f(x)∈[0，22)∪[－1，0]．综上知f(x)的值域为[－1，22]． 4．(2018·河北石家庄一检)若函数f(x)＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图像关于点(π2，0)对称，则函数f(x)在[－π4，π6]上的最小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32答案 B解析因为f(x)＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π6)，则由题意，知f(π2)＝2sin(π＋θ＋π6)＝0.又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f(x)＝－2sin2x ，则f(x)在[－π4，π6]上是减函数，所以函数f(x)在[－π4，π6]上的最小值为f(π6)＝－2sin π3＝－ 3.故选B.5．(2018·黄冈中学适应性考试)将函数f(x)＝cos2x －sin2x 的图像向左平移π8个单位后得到函数F(x)的图像，则下列说法中正确的是( ) A ．函数F(x)是奇函数，最小值是－2 B ．函数F(x)是偶函数，最小值是－2 C ．函数F(x)是奇函数，最小值是－ 2 D ．函数F(x)是偶函数，最小值是－ 2答案 C解析 f(x)＝cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π4)，将f(x)的图像向左平移π8个单位后得到F(x)＝2cos[2(x ＋π8)＋π4]＝2cos(2x ＋π2)＝－2sin2x 的图像，易知F(x)为奇函数，最小值为－2，故选C. 6．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos 2x cosxsinx －sin 2x 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析 f(x)＝1－tan 2x ＋tanx＝1－（tanx －12）2＋14，当tanx ＝12时，f(x)的最小值为4，故选D.7．已知f(x)＝sinx ＋1sinx ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析令t ＝sinx ，t ∈(0，1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0，1]是一个减函数，则f(x)只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sinx ，得出sinx ＝1y －1，由sinx ∈(0，1]也可求出，故选B.8．当函数y ＝sinx －3cosx (0≤x<2π)取得最大值时，x ＝________．答案 56π解析 y ＝sinx －3cosx ＝2sin(x －π3)，∵x ∈[0，2π)，∴x －π3∈[－π3，5π3)，∴当x －π3＝π2，即x ＝56π时，函数取得最大值2.9．(2018·北京西城模拟)已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)，其中x∈[－π6，α]．当α＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－12，1]，则α的取值范围是________．答案 [－12，1] [π6，π2]解析若－π6≤x ≤π3，则－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin(2x ＋π6)≤1，即f(x)的值域是[－12，1]．若－π6≤x ≤α，则－π3≤2x ≤2α，－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.∵当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin(2x ＋π6)＝－12，∴要使f(x)的值域是[－12，1]，则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，∴π6≤α≤π2，即α的取值范围是[π6，π2]．10．若函数y ＝sin 2x ＋2cosx 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________．答案 (－2π3，2π3]解析 y ＝2－(cosx －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性α∈(－2π3，2π3]．11．(2014·课标全国Ⅱ，理)函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 f(x)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sinx ，因为x∈R ，所以f(x)的最大值为1.12．(2017·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则：(1)m ＝________；(2)对任意a∈R ，f(x)在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0.(2)由(1)f(x)＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.13．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值．答案 (1)T ＝π (2)34，－12解析 (1)由已知，有f(x)＝1－cos2x 2－1－cos （2x －π3）2＝12(12cos2x ＋32sin2x)－12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin(2x －π6)．所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)方法一：因为f(x)在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间[－π6，π4]上是增函数，f(－π3)＝－14，f(－π6)＝－12，f(π4)＝34.所以，f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12. 方法二：∵x∈[π3，π4]，∴2x －π6∈[－56π，π3]∴sin(2x －π6)∈[－1，32]∴12sin(2x －π6)∈[－12，34]，∴f(x)在区间[－π3，π4]内的最大值和最小值分别为34，－12. 14．已知函数f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)，g(x)＝12sin2x －14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合．答案 (1)π (2)22 {x|x ＝k π－π8，k ∈Z } 解析 (1)f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)＝(12cosx －32sinx)(12cosx ＋32sinx)＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14，∴f(x)的最小正周期为2π2＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k∈Z )时，h(x)取得最大值22.h(x)取得最大值时，对应的x 的集合为{x|x ＝k π－π8，k ∈Z }．15．(2018·吉林长春朝阳实验中学二模)设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2x ＋a.(2)当x∈[－π6，π3]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．答案 (1)T ＝π [π6＋k π，2π3＋k π](k∈Z ) (2)a ＝0解析 (1)f(x)＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k∈Z )，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k∈Z )．故函数f(x)的单调递减区间是[π6＋k π，2π3＋k π](k∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1.当x∈[－π6，π3]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为(1＋a ＋12)＋(－12＋a ＋12)＝32，解得a ＝0.16．(2018·沧州一中月考)设f(x)＝4cos(ωx －π6)sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0.(1)求函数y ＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间[－3π2，π2]上为增函数，求ω的最大值．答案 (1)[1－3，1＋3] (2)16解析 (1)f(x)＝4(32cos ωx ＋12sin ωx)sin ωx ＋cos2ωx ＝23sin ωxcos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋1，因为－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f(x)的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sinx 在每个闭区间[2k π－π2，2k π＋π2](k∈Z )上为增函数，故f(x)＝3sin2ωx ＋1(ω>0)在每个闭区间[k πω－π4ω，k πω＋π4ω](k∈Z )上为增函数．依题意知[－3π2，π2]⊆[k πω－π4ω，k πω＋π4ω]对某个k∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.1．(2018·湖北重点校联考)已知函数f(x)＝sin(5π6－2x)－2sin(x －π4)cos(x ＋3π4)．(2)若x∈[π12，π3]，且F(x)＝－4λf(x)－cos(4x －π3)的最小值是－32，求实数λ的值．答案 (1)T ＝π，[k π－π6，k π＋π3](k∈Z ) (2)12解析 (1)∵f(x)＝sin(5π6－2x)－2sin(x －π4)cos(x ＋3π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sinx －cosx)(sinx ＋cosx)＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)，∴T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k∈Z )得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k∈Z )，∴函数f(x)的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k∈Z )． (2)F(x)＝－4λf(x)－cos(4x －π3)＝－4λsin(2x －π6)－[1－2sin 2(2x －π6)]＝2sin 2(2x －π6)－4λsin(2x －π6)－1＝2[sin(2x －π6)－λ]2－1－2λ2.∵x ∈[π12，π3]，∴0≤2x－π6≤π2，∴0≤sin(2x －π6)≤1.①当λ<0时，当且仅当sin(2x －π6)＝0时，F(x)取得最小值－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x －π6)＝λ时，F(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12，λ＝－12(舍去)；③当λ>1时，当且仅当sin(2x －π6)＝1时，F(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾．综上所述，实数λ的值为12.。