第三章 第四节 y=Asin(ωx+φ)图象及三角函数模型的简单应用

一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 ＝ ＋ 的有关概念 振幅 y＝Asin(ωx＋φ) ＝ ＋ (A＞0，ω＞0)， ＞ ， ＞ ， x∈[0，＋ 表 ，＋∞)表 ∈ ，＋ 示一个振动量时 周期 频率 相位 初相
A
T＝ ＝
F＝ ＝ ωx＋φ ＋ = φ
二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画 ＝ ＋ 一个周期内的简图 用五点法画y＝ 一个周期内的简图时， 用五点法画 ＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五 ＋ 一个周期内的简图时 个特征点. 个特征点
π
ห้องสมุดไป่ตู้
π
由y＝f(x)关于直线 ＝ 关于直线 可求得当x∈[－π，－ 可求得当 ∈ － ，－ 综上， x 综上，f(x)=
对称， 对称， ]时，f(x)＝－ 时 ＝－sinx. ＝－
(2)因为 ＝ 因为f(x)＝ 因为 则在区间 (
π 2π
2 , 3
)上有x +
π
3
=
π
3
或x +
π
3
=
π
3
,
∴x1＝0，x2＝ ，
答案： 答案：
5.(2009辽宁高考 已知函数 辽宁高考)已知函数 辽宁高考 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的 ＝ ＋ 的 图象如图所示， 图象如图所示，则ω＝ ＝ .
解析：由题意设函数周期为T，则 解析：由题意设函数周期为 ，
答案： 答案：
1.五点作图法 五点作图法 (1)当画函数 ＝Asin(ωx＋φ)在x∈R上的图象时，一般令 当画函数y＝ 上的图象时， 当画函数 ＋ 在 ∈ 上的图象时 ωx＋φ＝0 ＋ ＝ ，2π，即可得到所画图象的特殊 ，
(2009陕西高考 已知函数 ＝Asin(ωx＋φ)， 陕西高考)已知函数 陕西高考 已知函数f(x)＝ ＋ ， x∈R(其中 ∈ 其中 其中A>0，ω>0,0<φ< ， 两个交点之间的距离为 )的图象与 轴的交点中，相邻 的图象与x轴的交点中 的图象与 轴的交点中， ，且图象上一个最低点为
(1)求f(x)的解析式； 求 的解析式 的解析式； (2)当 x ∈ [ 当
点坐标，其中横坐标成等差数列， 点坐标，其中横坐标成等差数列，公差为 (2)当画函数 ＝Asin(ωx＋φ)在某个指定区间上的图象时， 当画函数y＝ 在某个指定区间上的图象时， 当画函数 ＋ 在某个指定区间上的图象时 一般先求出ωx＋ 的范围 然后在这个范围内， 的范围， 一般先求出 ＋φ的范围，然后在这个范围内，选取特 殊点，连同区间的两个端点一起列表 殊点，连同区间的两个端点一起列表.
解析：将函数 ＝ 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函 解析：将函数y＝sinx向左平移 向左平移 个单位得到函 四项中， 数y＝sin(x＋φ)，在A、B、C、D四项中，只有 ＝ ＋ ， 、 、 、 四项中 时有y 时有 答案： 答案：D
4.弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s与时间 弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移 与时间 弹簧振子的振动是简谐运动 t之间的关系式为 ＝10 sin 之间的关系式为s＝ 之间的关系式为 弹簧振子振动的周期为 相位是 ，初相是 ，＋∞)， ，t∈[0，＋ ，则 ∈ ，＋ ，频率为 . ，振幅为 ，
，得A＝2. ＝
4π 即 sin( + ) = 1, 3 4π 故 + = 2 kπ ( k ∈ Ζ ) 3
又 ∈ (0, ),∴ = , 故f ( x ) = 2sin(2 x + ) 2 6 6
π
π
π
(2) ∴ x ∈ [
当
, ],∴ 2 x + ∈ 12 2 6
即x= 取得最大值2； 时，f(x)取得最大值 ； 取得最大值
关于x＝－ 又y＝f(x)关于 ＝－ ＝ 关于
对称， 对称，
2π 也是方程的解. 也是方程的解 x 3 = , x4 = 3 3
∴f(x)＝ ＝ 的解为
π
如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆 ， 上最低点与地面距离为0.8 秒转动一圈， 上最低点与地面距离为 m,60秒转动一圈，图中 与地 秒转动一圈 图中OA与地 面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到 ，设B点与地面 面垂直， 为始边，逆时针转动 角到OB， 点与地面 为始边 角到 距离是h. 距离是
(1)求h与θ间的函数关系式； 求 与 间的函数关系式 间的函数关系式； (2)设从 开始转动，经过 秒后到达 ，求h与t之间的函 设从OA开始转动 经过t秒后到达 秒后到达OB， 设从 开始转动， 与 之间的函 数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ 数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
2 2
(1)求函数y＝ (1)求函数y＝f(x) 在 求函数 (2)求方程 ＝ 求方程f(x)＝ 求方程 的解. 的解
上的表达式； 上的表达式；
由题中图象可知A＝ ， 解：(1)由题中图象可知 ＝1，ω>0， 由题中图象可知 ，
π
2
< <
π
2
,有
解之得
∴ x ∈ [ ]时, f ( x ) = sin( x + ). 6 3
π
当 2 x + π = 0,
2
4 π 有最大值， 即 x = 时，f(x)有最大值，f(x)max＝ 有最大值 8π
即f(x)在 [ 在
2
上的最小值为－ ， , 0] 上的最小值为－1，最大值为
1.已知函数 ＝2sinx(sinx＋cosx). 已知函数f(x)＝ 已知函数 ＋ (1)求函数 的最小正周期和最大值； 求函数f(x)的最小正周期和最大值 求函数 的最小正周期和最大值； (2)画出函数 ＝f(x)在区间 画出函数y＝ 在区间 画出函数 上的图象. 上的图象
= cos 2 x sin 2 x = 2 cos(2 x +
π
4
).
列表： 列表：
x
0
f(x)
1
0
0
1
图象如图： 图象如图：
3 π π (2) Q ≤ x ≤ 0,∴ π ≤ 2 x + ≤ . 2 4 4 4 3 π 故当 2 x + = π , 4 π4 有最小值， ＝－1； 即x= 时，f(x)有最小值，f(x)min＝－ ； 有最小值
π π
π
当
即x=
取得最小值－ ， 时，f(x)取得最小值－1， 取得最小值
的值域为[－ 故f(x)的值域为 －1,2]. 的值域为
2π ] 上的函数 ＝f(x)的图象关于直 2.已知定义在区间 [ π , 上的函数y＝ 的图象关于直 已知定义在区间 3 π 对称， 函数f(x)＝ 线 x = 对称，当 时，函数 ＝ 6 π π < < )的图象如图 Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－ 的图象如图. ＋ ， ，－ 的图象如图
如下表所示： 如下表所示：
x 2π
ωx＋φ ＋ y＝Asin(ωx＋φ) ＝ ＋
0
π －A
0
A
0
0
1.函数 ＝sin的图象的一条对称轴的方程是 函数y＝ 的图象的一条对称轴的方程是 函数 A.x＝0 ＝ C.x＝π ＝ 答案： 答案：C B.x＝ ＝ D.x＝2π ＝
(
)
2.若动直线 ＝a与函数 ＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别 若动直线x＝ 与函数f(x)＝ 和 ＝ 的图象分别 若动直线 与函数 交于M、 两点 两点， 交于 、N两点，则|MN|的最大值为 的最大值为 ( )
解析： 解析：|MN|＝|sina－cosa|＝ ＝ － ＝ ∴|MN|max＝ 答案： 答案：B
3.将函数 ＝sinx的图象向左平移 将函数y＝ 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得 个单位后， 将函数 的图象向左平移 个单位后 到函数y＝sin(x－ 到函数 ＝ － )的图象，则φ等于 的图象， 的图象 等于 ( )
2.图象变换法 图象变换法 (1)平移变换 平移变换 轴平移， 左加右减 法则； 左加右减”法则 ①沿x轴平移，按“左加右减 法则； 轴平移 轴平移， 上加下减 法则. 上加下减”法则 ②沿y轴平移，按“上加下减 法则 轴平移 (2)伸缩变换 伸缩变换 轴伸缩时， 伸长(0<ω<1)或缩短 或缩短(ω>1)为原 ①沿x轴伸缩时，横坐标 伸长 轴伸缩时 横坐标x伸长 或缩短 为原 来的 纵坐标y不变 倍(纵坐标 不变 ； 纵坐标 不变)；
解：(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx ＝ ＋ ＝1－cos2x＋sin2x － ＋
= 1 + 2(sin 2 x cos = 1 + 2 sin(2 x
π
π
cos 2 x sin ) 4 4 ),
π
4 所以函数f(x)的最小正周期为 的最小正周期为π，最大值为1+ 所以函数 的最小正周期为 ，最大值为
降时与x轴的交点 为 ＋ ＝ ； 第四点 即图象的“谷 第四点”(即图象的 降时与 轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点 即图象的 谷 轴的交点 点”)为ωx＋φ＝ 为 ＋ ＝ 第五点”为 ＋ ＝ ；“第五点 为ωx＋φ＝2π. 第五点
【注意】 当不能确定周期 时，往往要根据图象与 轴 注意】 当不能确定周期T时 往往要根据图象与y轴 的交点，先求 的交点，先求φ.
轴伸缩时， 伸长(A>1)或缩短 或缩短(0<A<1)为原来 ②沿y轴伸缩时，纵坐标 伸长 轴伸缩时 纵坐标y伸长 或缩短 为原来 横坐标x不变 的A倍(横坐标 不变 倍 横坐标 不变).
已知函数f(x)＝ 已知函数 ＝cos2x－2sinxcosx－sin2x. － － (1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区间 ，π]上的图象 在给定的坐标系中，作出函数 在区间 在区间[0， 上的图象 上的图象. 在给定的坐标系中 (2)求函数 在区间 － 求函数f(x)在区间 求函数 在区间[－ 上的最大值和最小值. ，0]上的最大值和最小值 上的最大值和最小值