2020中考数学复习基础考点(课件+新题练及答案)第六单元 圆 3.第26课时 与圆有关的计算
中考数学总复习第六章圆课件
例1
提分技法
利用 圆周角 定理及 其推论 解题时 的思路 1.在利 用圆周 角定理 解答具 体问题 时,找准 同弧所 对的圆 周角及 圆心角 ,并结 合圆周 角定理 进行相 关计 算是关 键.与圆 周角有 关的常 用辅助 线有 :① 过圆 上某点 作直径, 连接 过直径 端点的 弦;② 弦垂 直平 分半径 时可构 造直角 三角形 ;③ 构造 同弧所 对的圆 周角. 2.在利 用圆周 角定理 的推论 解答具 体问题 时,要找 准直径 及等弦 或同弦 所对应 的圆周 角, 一般 会结 合圆 周角定 理进行 相关计 算或证 明.
中考
2019
数学
第六章 圆
目录
CONTENTS
第一节 圆的基本性质 第二节 与圆有关的位置关系 第三节 与圆有关的计算
第一节 圆的基本性质
PART 01
考点帮
考点1 垂径定理及其推论(2011年新 课标
选学内容) 考点2 弦、弧、圆心角之间的关系
考点3 圆周角定理及其推论
考点4 圆内接四边形的概念和性质
∵OA=OB,PA=PB,
∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB 是☉O 的切线.
(2)解:连接 BC,设 OP 交 AB 于点 F. ∵AC 是☉O 的直径,∴∠ABC=90°. ∵OA=OB,AP=BP, ∴OP 垂直平分 AB,∴BC∥OP, ∴∠OPC=∠PCB. ∵∠APC=3∠BPC,∠APO=∠BPO, ∴∠OPC=∠CPB,∴∠PCB=∠CPB,∴BC=BP. 设 OF=t,则 PB=BC=2t,易得△FPB∽△BPO,
方法帮 命题角度 2 圆内接四边形的性质
例2
[ 2 0 1 8 山东济宁] 如图, 点 B , C , D 在☉O 上, 若∠B C D = 1 3 0 °, 则∠B O D 的度数是( D )
2020年中考数学第一轮复习 第六章 圆 学生版(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习第六章圆第二十三讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。
⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【注意：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【注意：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【注意：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【注意：三类三角形内心都在三角形 若△ABC 三边为a 、b 、c 面积为s ，内切圆半径为r ，则s= ，若△ABC 为直角三角形，则r= 】 三、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有 种，若⊙O 1半径为R ，⊙O 2半径为r ，圆心距为d ，则 ⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝> ⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【注意：两圆相离（无公共点）包含 和 两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时d= 】 四、反证法：假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【注意：反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】 【典型例题解析】 考点一：切线的性质例1（2019年菏泽）（本题10分）如图，BC 是⊙O 的直径，CE 是⊙O 的弦，过点E 作⊙O 的切线，交CB 的延长线于点G ，过点B 作BF ⊙GE 于点F ，交CE 的延长线于点A . （1）求证：⊙ABG=2⊙C ；（2）若GF=33，GB=6，求⊙O 的半径.对应练习1－1（2019年济南）如图，AB 、CD 是O e 的两条直径，过点C 的O e 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC 、BD ． （1）求证：ABD CAB ∠=∠；（2）若B 是OE 的中点，12AC =，求O e 的半径．对应练习1－2(2019聊城中考)如图，ABC △内接于O e ，AB 为直径，作⊥OD AB 交AC 于点D ，延长BC ，OD 交于点F ，过点C 作O e 的切线CE ，交OF 于点E （1）求证：EC ED =；（2）如果4OA =，3EF =，求弦AC 的长． 考点二：切线的判定例2( 2019山东济宁)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是⌒AC 的中点，E 为OD 延长线上一点，∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若DH ＝9，tan C ＝34，求直径AB 的长．对应练习2－1（自贡）如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积． （结果保留π）对应练习2－2（玉林）如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，若AC=FC ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若BF=8，DF=40，求⊙O 的半径r ．考点三：直线与圆的位置关系 例3（2019年日照）探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB 上的三点A （1，3）、B （2，5）、C （4，9），有k AB ＝5321--＝2，k AC ＝9341--＝2，发现k AB ＝k AC ，兴趣小组提出猜想：若直线y ＝kx+b （k≠0）上任意两点坐标P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）（x 1≠x 2），则k PQ ＝2121y y x x --是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，k PQ 是定值，并且是直线y ＝kx+b （k≠0）中的k ，叫做这条直线的斜率．请你应用以上规律直接写出过S （﹣2，﹣2）、T （4，2）两点的直线ST 的斜率k ST ＝ ．探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线DE 与直线DF 垂直于点D ，D （2，2），E （1，4），F （4，3）．请求出直线DE 与直线DF 的斜率之积． 综合应用如图3，⊙M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆，M （1，2），N （4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N 的⊙M 的切线的解析式．对应练习3－1（2019年枣庄）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O e ，点D 为O e 上一点，且CD CB =，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E ． （1）判断直线CD 与O e 的位置关系，并说明理由； （2）若2BE =，4DE =，求圆的半径及AC 的长．对应练习3－2（盘锦）如图，△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定 考点四：圆与圆的位置关系例4（攀枝花）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是方程x 2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切对应练习4－1（黔东南州）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r 的值为（ ） 对应练习4－2（东营）已知⊙O 1的半径r 1=2，⊙O 2的半径r 2是方程321x x =-的根，⊙O 1与⊙O 2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ） A ．内含 B ．内切 C ．相交D ．外切第二十三讲 与圆有关的位置关系 参考答案【典型例题解析】 考点一：切线的性质 例1 答案：解：（1）连接OE ，GE 是⊙O 的切线，因此GE ⊙OE ，BF ⊙GE ，所以AB ⊙OE ，所以 ⊙ABG=⊙EOG=⊙CEO ＋⊙C ，而OE=OC ，所以⊙CEO=⊙C ，因此⊙ABG=2⊙C ；（2）BF⊙GE ，所以⊙GFB=90°，GF=33，GB=6，因此cos⊙FGB=GF GB=333=, 所以⊙FGB=30°, GE 是⊙O 的切线， 因此⊙GEO=90°，因此OG=2OE ，而OG=GB ＋OB ，设圆的半径是r ，则OG=6＋r ， 所以6＋r=2r ，因此圆的半径是6. 对应练习1－1答案：（1）证明：⊙AB 、CD 是O e 的两条直径， ⊙OA OC OB OD ===，⊙OAC OCA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠， ⊙AOC BOD ∠=∠，⊙OAC OCA ODB OBD ∠=∠=∠=∠， 即ABD CAB ∠=∠； （2）连接BC ．⊙AB 是O e 的两条直径，⊙⊙ACB ＝90°， ⊙CE 为O e 的切线， ⊙90OCE ∠=o ， ⊙B 是OE 的中点， ⊙BC OB =， ⊙OB OC =，⊙OBC ∆为等边三角形， ⊙60ABC ∠=o ， ⊙30A ∠=o ， ⊙343BC AC ==， ⊙43OB =， 即O e 的半径为43． 对应练习1－2答案：（1）证明：连接OC ，∵CE 与O e 相切，OC 是O e 的半径， ∴OC CE ⊥，∴90OCA ACE ︒∠+∠=. ∵OA OC =， ∴A OCA ∠=∠， ∴90ACE A ︒∠+∠=. ∵⊥OD AB ， ∴90ODA A ︒∠+∠=. ∴CDE ACE ∠=∠， ∴EC ED =. （2）∵AB 为直径， ∴90ACB ∠=o .在Rt DCF ∆中，90DCE ECF ︒∠+∠=， 又DCE CDE ∠=∠， ∴90CDE ECF ︒∠+∠=， 又∵90CDE F ︒∠+∠=， ∴ECF F ∠=∠， ∴EC EF =. ∵3EF =， ∴3EC DE ==.在Rt OCE ∆中，4OC =，3CE =， ∴2222435OE OC EC =+=+=. ∴2OD OE DE =-=.在Rt OAD ∆中，22224225AD OA OD =+=+=. 在Rt AOD ∆和Rt ACB ∆中， ∵A A ∠=∠，∴Rt AOD Rt ACB ∆∆∽， ∴AO AD AC AB =，即425AC =， ∴1655AC =.考点二：切线的判定 例2 答案： （1）证明：连接AD ， ∵D 是⌒AC 的中点， ∴⌒AD =⌒DC ，∴∠DAC ＝∠C .∵∠CAE ＝∠EAD ＋∠DAC ，∠CAE ＝2∠C ， ∴∠EAD ＝∠C . ∵∠C ＝∠B ， ∴∠B ＝∠EAD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线.（2）解：在△ADH中，∠ADH＝90°，DH＝9，∵∠DAH＝∠C，tan C＝34，∴tan∠DAH＝34 DHAD=，∴934BD=，∴AD＝12.在△BAD中，∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝34，∴tan∠B＝34 ADBD=，∴BD＝16.∵∠ADB＝90°，∴AB＝2222121620AD BD+=+=．对应练习2－1 答案：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（1）证明：如图，连接OC、OD，根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°-30°-60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．由垂径定理可知，MD=MB=12BD=33．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=33cos303MB=o=6．在△CDM与△OBM中，3090CDM OBM MD MBCMD OMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△CDM ≌△OBM ∴S △CDM =S △OBM∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC =606360π⨯=6π（cm 2）． 对应练习2－2 答案：（1）证明： 如图，连接OA 、OD ， ∵D 为弧BE 的中点， ∴OD ⊥BC ， ∠DOF=90°， ∴∠D+∠OFD=90°， ∵AC=AF ，OA=OD ，∴∠CAF=∠CFA ，∠OAD=∠D ， ∵∠CFA=∠OFD ，∴∠OAD+∠CAF=90°， ∴OA ⊥AC ， ∵OA 为半径，∴AC是⊙O 切线；（2）解：∵⊙O 半径是r ， 当F 在半径OE 上时， ∴OD=r ，OF=8-r ，在Rt △DOF 中，r 2+（8-r ）2=（40）2， r=6，r=2；当F 在半径OB 上时， ∴OD=r ，OF=r -8，在Rt △DOF 中，r 2+（r -8）2=（40）2， r=6（舍去），r=2（舍去）； 即⊙O 的半径r 为6或2． 考点三：直线与圆的位置关系 例3 答案：解：（1）∵S （﹣2，﹣2）、T （4，2） ∴k ST ＝2(2)4(2)----＝23故答案为：23（2）∵D （2，2），E （1，4），F （4，3）．∴k DE ＝4212--＝﹣2，k DF ＝3242--＝12， ∴k DE ×k DF ＝﹣2×12＝﹣1， ∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1． （3）设经过点N 与⊙M 的直线为PQ ，解析式为y ＝k PQ x+b ∵M （1，2），N （4，5）， ∴k MN ＝5241--＝1， ∵PQ 为⊙M 的切线 ∴PQ ⊥MN ∴k PQ ×k MN ＝﹣1， ∴k PQ ＝﹣1，∵直线PQ 经过点N （4，5）， ∴5＝﹣1×4+b ，解得 b ＝9 ∴直线PQ 的解析式为y ＝﹣x+9． 对应练习3－1答案：解:（1）证明：连接OC ．CB CD =Q ，CO CO =，OB OD =，()OCB OCD SSS ≌∴∆∆， 90ODC OBC ∴∠=∠=︒， OD DC ∴⊥， DC ∴是O e 的切线；（2）解：设O e 的半径为r ．在Rt OBE ∆中，222OE EB OB =+Q ，222(4)2r x ∴-=+，1.5r ∴=，tan OB CDE EB DE∠==Q ， 1.524CD∴=，3CD BC ∴==，在Rt ABC ∆中，22223332AC AB BC =+=+=．∴圆的半径为1.5，AC 的长为32对应练习3－2 答案：解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DE 于点N ， ∴AM×BC=AC×AB ， ∴AM=6810⨯=4.8， ∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=12BC=5， ∴AN=MN=12AM ， ∴MN=2.4， ∴以DE 为直径的圆半径为2.5， ∵r ＞2.5＞2.4，∴以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是：相交． 故选：A ．考点四：圆与圆的位置关系 例4 答案： 解：∵x 2-4x+3=0， ∴（x -3）（x -1）=0， 解得：x=3或x=1，∵⊙O 1与⊙O 2的半径r 1、r 2分别是方程x 2-6x+8=0的两实根， ∴r 1+r 2=3+1=4，∵⊙O 1与⊙O 2的圆心距d=4，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是外切． 对应练习4－1 答案：B 对应练习4－2 答案：B【聚焦中考真题】 一、选择题1．（青岛）直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，则r 的取值范围是（ ） A ．r ＜6 B ．r=6 C ．r ＞6 D ．r≥62．（烟台）如图，已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为2cm ，将⊙O 1，⊙O 2放置在直线l 上，如果⊙O 1在直线l 上任意滚动，那么圆心距O 1O 2的长不可能是（ ） A ．6cm B ．3cm C ．2cm D ．0.5cm3．（枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．（泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是⌒EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE5．（济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4B．33C．6D．236．（铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定7．（云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙O2的半径是2cm，O1O2=6cm，则两圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切8．（泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2B．3C．6D．129．（南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．内含10．（重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O 的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm11．（杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径12．（河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC13．（毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°14．（安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题15．（日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．16．（舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为．17．（天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．18．（平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．19．（天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是．20．（晋江市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=43．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．（1）当点D运动到线段AC中点时，DE= ；（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C 与直线AB相切．21．（张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．22．（南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为．23．（黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．24．（永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．三、解答题25．（济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．26．（临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．27．（东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C 作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．28．（烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为⌒AD上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．（1）求证：CB=CF；（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=35，求⊙O的半径．29．（潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．（1）求证：四边形BEDF为矩形；（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．30.（义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．31．（扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．32．（巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组1212263-57r rr r+=⎧⎨=⎩的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．33．（凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（0，-3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（-2，-2），E（0，-3），判断直线l与⊙P的位置关系．34．（永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．35．（株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．36．（天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．37．（苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=35，求⊙O的半径．38．（湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=253，求AC的长．39．（莆田）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．（1）求证：△AED≌△DCA；（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．40．（新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积．41．（泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ． （1）求证：CD 2=CA•CB ；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=23，求BE 的长．42．（滨州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，EF ⊥AC ，垂足为F ．求证：直线EF 是⊙O 的切线．第二十三讲 与圆有关的位置关系 参考答案【聚焦中考真题】 一、选择题 1-5 ADDDB 6-10 BCCDC 11-14 BCAC二、填空题 15答案：（3π-349）cm 2 16答案：外切 17答案：2＜r ＜8 18答案：2或4 19答案：4-98π 20答案：（1）3（2）23或233 21答案：22πa 22答案：94π3－23答案：236－24答案：60 三、解答题 25答案：解：（1）连接BD ，则∠DBE=90°，∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=12AD=1，则AD=2；（2）连接OB，∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O的切线．26答案：（1）证明：连接OD，∴∠ODB=90°，∴BE=OE=OD=2，∴∠B=30°，∠DOB=60°，∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC=12∠DOB=30°，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠A=2∠DCB；（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=23，∴阴影部分的面积S=S△ODB-S扇形DOE=12×23×2-602360π⨯=23-23π．27答案：解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OC．∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴直线CD与⊙O 相切．（2）∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，∵∠CAB=30°，∴∠COE=2∠CAB=60°，CE=OC•tan60°=33．∴在Rt△COE中，OC=3，28答案：（1）证明：如图1，∵AE2=EF•EB，∴AE EF EB AE=．又∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△AEB，∴∠1=∠EAB．∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，∴∠2=∠3，∴CB=CF；（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．∴．⌒AE=⌒ED∴OE⊥AD，∵cos∠C=35，且∴EG=1．∴sin∠GAO=35，∠C+∠GAO=90°，∴OGOA=35，即135rr-=，解得，r=52，即⊙O的半径是52．29答案：（1）证明：∵BD为⊙O直径，∴∠DEB=∠DFB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90°，∴四边形BEDF为矩形；（2）解：直线CD与⊙O的位置关系是相切，理由是：∵BD2=BE•BC，∴BD BC BE BD=，∵∠DBC=∠CBD，∴△BED∽△BDC，∴∠BDC=∠BED=90°，即BD⊥CD，∴CD与⊙O相切．30答案：解：（1）连接OD，∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，∴OB=12OA=4，BC=BD=12CD，∴在Rt△OBD中，BD=22OD OB-=43，∴CD=2BD=83；（2）∵PE 是⊙O 的切线， ∴∠PEO=90°，∴∠PEF=90°-∠AEO ，∠PFE=∠AFB=90°-∠A ， ∵OE=OA ， ∴∠A=∠AEO ， ∴∠PEF=∠PFE ， ∴PE=PF ；（2）过点P 作PG ⊥EF 于点G ， ∴∠PGF=∠ABF=90°， ∵∠PFG=∠AFB ， ∴∠FPG=∠A ， ∴FG=PF•sinA=13×513=5， ∵PE=PF ，∴EF=2FG=10． 31答案：（1）证明：∵BF 是⊙O 的切线， ∴∠3=∠C ，∵∠ABF=∠ABC ， 即∠3=∠2， ∴∠2=∠C ， ∴AB=AC ；（2）解：如图，连接BD ，在Rt △ADB 中，∠BAD=90°， ∵cos ∠ADB=ADBD， ∴BD=44cos cos 5AD AD ADB ABF ==∠∠=5，∴AB=3．在Rt △ABE 中，∠BAE=90°， ∵cos ∠ABE=AB BE ，∴BE=3154cos 45AB ABE ==∠， ∴AE=22159()344-=， ∴DE=AD -AE=4-94=74． 32答案： 解：∵⎩⎨⎧②7＝5r 3r ①6＝2r +r 2211－，①×3-②得：11r 2=11，解得：r 2=1，把r 2=1代入①得：r 1=4； ∴⎩⎨⎧1＝r 4＝r 21， ∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4， ∴两圆的位置关系为相交． 33答案：解：（1）如图所示：△ABC 外接圆的圆心为（-1，0），点D 在⊙P 上；（2）连接PD ，设过点P 、D 的直线解析式为y=kx+b ， ∵P （-1，0）、D （-2，-2）， ∴0--2-2k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得22k b =⎧⎨=⎩，∴此直线的解析式为y=2x+2；设过点D 、E 的直线解析式为y=ax+c ， ∵D （-2，-2），E （0，-3），∴-2-2-3a c c =+⎧⎨=⎩， 解得1-2-3a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴此直线的解析式为y=-12x -3， ∵2×（-12）=-1， ∴PD ⊥DE ，∵点D 在⊙P 上，∴直线l 与⊙P 相切． 34答案：证明：（1）∵AB 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥AB ， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ∵OB=OC ， ∴∠OCB=∠OBC=12∠AOB=30°， ∴∠A=∠OCB ，∴AB=BC ； （2）如图，连接OD ， ∵∠AOB=60°，∴∠BOC=120°，∵D 为BC 的中点，∴⌒BD =⌒CD，∠BOD=∠COD=60°， ∵OB=OD=OC ，∴△BOD 与△COD 是等边三角形， ∴OB=BD=OC=CD ， ∴四边形BOCD 是菱形． 35答案：解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°， BD ⊥AC ，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD ， 在△ABD 和△CBD 中，ADB CDB BD BDABD CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABD ≌△CBD （ASA ）， ∴AB=CB ，∵直线BC 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ABC=90°，∴∠BAC=∠C=45°；（2）证明：∵AB=CB ，BD ⊥AC ， ∴AD=CD ． 36答案：解：（Ⅰ）如图①，连接OC ， ∵直线l 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥l ， ∵AD ⊥l ， ∴OC ∥AD ，∴∠OCA=∠DAC ， ∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ，∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°-∠B ，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O 中，四边形ABFE 是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°-108°=72°，∴∠BAF=90°-∠B=90°-72°=18°．37答案：（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=12 BF，又∵OE=12 BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=312x+，AO=AB-OB=5x-312x+=712x-，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即35OEOA=，即31327152xx+=-，解得：x=43，则圆O的半径为312x+=52．38答案：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半径，∴PA 为⊙O 的切线；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5， ∴OA=OB=5． 又∵OP=253， ∴在直角△APO 中，根据勾股定理知203=， 由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°． ∵∠BAC=∠P ， ∴△ABC ∽△POA ，∴AB ACPO PA =． ∴10252033AC =， 解得AC=8．即AC 的长度为8． 39答案：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AD ∥BC ， ∴四边形AECD 是梯形， ∵AB=AE ， ∴AE=CD ，∴四边形AECD 是等腰梯形， ∴AC=DE ，在△AED 和△DCA 中，AE DC DE AC AD DA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△DCA （SSS ）； （2）解：∵DE 平分∠ADC ， ∴∠ADC=2∠ADE ，∵四边形AECD 是等腰梯形， ∴∠DAE=∠ADC=2∠AED ， ∵DE 与⊙A 相切于点E ， ∴AE ⊥DE ， 即∠AED=90°， ∴∠ADE=30°， ∴∠DAE=60°，∴∠DCE=∠AEC=180°-∠DAE=120°，∵四边形ACD 是平行四边形， ∴∠BAD=∠DCE=120°，∴∠BAE=∠BAD -∠EAD=60°，∴S 阴影=60360×π×22=23π． 40答案：（1）证明：如图，连接OA ． ∵AB=AC ，∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=30°． ∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴在△ABO 中，∠AOB=180°-∠ABO -∠AOB=90°，即AB ⊥OA ，又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：如图，连接AD ． ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DAC=90°．∵由（1）知，∠ACB=30°， ∴AD=12CD=4， 则根据勾股定理知AC=22CD AD -=43，即弦AC 的长是43； （3）解：由（2）知，在△ADC 中，∠DAC=90°，AD=4，AC=43，则S △ABC =12AD•AC=12×4×43=83． ∵点O 是△ADC 斜边上的中点， ∴S △AOC =12S △ABC =43． 根据图示知，S 阴影=S 扇形ADO +S △AOC =604360π⨯+43=83π+43，即图中阴影部分的面积是83π+43． 41答案：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD ，∠C=∠C ， ∴△ADC ∽△DBC ， ∴AC DCDC BC=，即CD 2=CA•CB ； （2）证明：如图，连接OD ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∵OA=OD ， ∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD ，即∠4=∠1， ∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=23，∴tan∠OEB=23 OBBE=，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴23 CD OD OBCB BE BE===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．42答案：解：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，又∵OB=OE，∴∠ABC=∠OEB，∵∠FEC+∠C=90°，∴∠FEC+∠OEB=90°，∴OE ⊥EF，∵OE是⊙O半径，∴直线EF是⊙O的切线．第二十四讲与圆有关的计算【基础知识回顾】一、正多边形和圆：1、各边相等，也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫可用用α表示，α= ，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的三角形，被它的半径和边心距分成个全等的三角形【注意：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】二、弧长与扇形面积计算：⊙O的半径为R，弧长为L，圆心角为n0，扇形的面积为S扇，则有如下公式：L=S扇= =【注意：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴已知规则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为h,底面半径为R则有：⑴S圆柱侧=⑵S圆柱全=⑶V圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：⑴S圆锥侧= 、⑵S圆锥全=⑶V圆锥=【注意：1、圆柱的高有条，圆锥的高有条2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的，扇形的弧长是圆锥的4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n，若l=2r，则n= l=3r,则n= l=4r则n= 】【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1（2019年山东滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆的半径为_________．对应练习1－1（2019年莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分△BFDC．AC2+BF2=4CD2 D．DE2=EF•CE对应练习1－2（绵阳）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．6mm B．12mmC．63mm D．43mm考点二：圆周长与弧长例2（2019年德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠P AC＝30°，AC＝2√3．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段P A、PC围成的封闭图形的面积．对应练习2－1（2019青岛中考）如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC =BD = 4 ，∠A=45°，则弧CD的长度为（）A. πB. 2πC. 22πD. 4π对应练习2－2（黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为．考点三：扇形面积与阴影部分面积例3（2019年山东滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．对应练习3－1(2019山东东营) 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C在⊙O 上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积.对应练习3－2( 2019山东济宁14)如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝3，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4（2019山东东营）如图所示时一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为（ )A ．23B ．233 C ．3 D ．33 对应练习4－1（2019年莱芜）一个圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的高是（ ） A ．RB ．C ．D ．对应练习4－2(2019聊城中考)如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm ），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为_______．考点五：圆的综合题例5（2019年莱芜）如图1，在△O 中，E 是弧AB 的中点，C 为△O 上的一动点（C 与E 在AB 异侧），连接EC 交AB 于点F ，EB=（r是△O 的半径）． （1）D 为AB 延长线上一点，若DC=DF ，证明：直线DC 与△O 相切； （2）求EF •EC 的值；（3）如图2，当F 是AB 的四等分点时，求EC 的值．对应练习5－1（攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F 过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．对应练习5－2（茂名）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=34，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2-GB2=DF•GF．第二十四讲与圆有关的计算参考答案【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1答案：解析：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为，因此本题填．对应练习1－1 答案：解：△五边形ABCDE是正五边形，△AB=BC=CD=DE=AE，BA△CE，AD△BC，AC△DE，AC=AD=CE，△四边形ABCF是菱形，△CF=AF，△△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A说法正确；△四边形ABCF是菱形，△AC△BF，。
中考数学总复习 第六单元 圆 第26课时 与圆有关的计算课件
2
60π·( )
∴S 扇形 KRQ=
360
π
= .
24
3
1
3
π
3
2
16
24
16
在 Rt△ RKE 中,RE=RK·sin60°= ,∴S△ PRK= ·PK·RE= ,∴S 阴影= + .
4
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3.[2016·河北 25 题节选] 如图 26-13,半圆 O 的直径 AB=4,以长为 2 的弦 PQ 为直径,向点 O 方向作半圆 M,
sin 60°
=OD-AE=1,S 阴影=S 扇形 OAD-S△ OED+S△ ACE=
60π×22 1
360
图26-11
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1
2π
2
3
- ×1× 3+ ×1× 3= .故选 D.
2
高频考向探究
2.[2015·河北 26 题节选] 平面上,矩形 ABCD 与直径为 QP 的半圆 K 如图 26-12①摆放,分别延长 DA 和 QP
4 3
8
∵在 Rt△ BOQ 中,cosB= =
3
1
= ,∴∠B=30°,∠BOQ=60°,∴OQ= OB=4.
2
2
(360-150)·π·4
∵∠COD=90°,∴∠QOD=90°+60°=150°,∴优弧 QD 的长=
180
2021/12/9
第十四页，共二十四页。
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= π.
3
图 26-6
其中 P 点在上且不与 A 点重合,但 Q 点可与 B 点重合.
安徽省2020届中考数学大一轮复习课件 第六章 圆(共50张PPT)
例2
提分技法
[2019宁夏]如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,垂足为点C,将劣弧AB沿直线AB折
叠交OC于点D,已知点D为OC的中点,若AB=2,则☉O的半径为
.
思路分析 连接OA,设☉O的半径为x.根据已知条件,用含x的式子表示出OC 的长,在Rt△ACO中,利用勾股定理列方程求解即可.
15
方法帮 命题角度 2 垂径分弦
3
考点帮 与圆有关的概念
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
1.圆的定义 如图,在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,则另一个端点A所形成 的封闭曲线叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA的长为r,叫做半径.以点O为 圆心的圆,记作“☉O”,读作“圆O”. 注:圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.
1.因为直径是线段,而对称轴是直线,所以不能说 “圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是 直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的 每一条直线”. 2.圆的对称轴有无数条.
(2)圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,都能与自 身重合,旋转中心为圆心,圆的这种性质叫做圆的旋转不变性. (3)圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
,相等的
9
考点帮 圆周角定理及其推论
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
根据圆周角定理的推论,涉及直径时,可构造直径所对 的圆周角是直角来进行证明或计算.
如图,四边形ACBD内接于☉O,且☉O的半径为R.若 AB=R,求弦AB所对的圆周角. 解:连接OA,OB. ∵OA=OB=AB=R, ∴△OAB为等边三角形, ∴∠AOB=60°, ∴∠ACB= ∠AOB=30°, ∴∠ADB=180°-∠ACB=150°, ∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°. 注:在圆中,一条弦所对的圆周角有两种情况,且这 两种情况的圆周角互补.
2023最新中考数学总复习(精品课件)第六篇 《圆》
经过半径的外端并且 垂直 这条半径的直线是圆的切线.
4.证明直线和圆相切的方法:
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证 垂直 .
(2)当不知道直线与圆是否有公共点时,过圆心作直线的垂线,证圆心到直线的距离
等于半径
.
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
_____p_r______
知识点5:五种基本作图
(1)作一条线段等于已知线段. (2)作一个角等于已知角. (3)作一个角的平分线. (4)经过一已知点作直线的垂线: ①经过已知直线 上 一点作这条直线的垂线; ②经过直线 外 一点做已知直线的垂线. (5)作已知线段的垂直平分线.
【注意】运用基本作图法作图时,一般先画出草图,分析作图步骤以及相应的字母表 示,选择正确的作图程序,再按分析后编排的字母写出已知、求作,按步骤一边画图一 边写好作法.
知识点5:圆心角与圆周角
________
∠_________________. ACB=90°
知识点6:圆内接四边形及其性质
___∠__D____
知识点7:弦、弧、圆心角的关系
1.定理: 同圆 或 等圆 中,相等的圆心角所对的弧相等 ,所对的弦相等 .
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一 组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别 相等 .
知识点4:垂径定理及推论
1.垂径定理:垂直于弦的直径 平分 这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过 圆心 ,并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径 垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
人教版九年级数学第六单元《圆》中考知识点梳理
第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。
2020年中考数学单元复习卷：第6单元 圆 含答案
2020年中考数学单元复习卷：第6单元 圆 含答案(时间：120分钟 分值：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．在平面直角坐标系内，已知点M (4,3)，以点M 为圆心，r 为半径作⊙M ，如果点(2,3)在⊙M 内，点(4，－1)在⊙M 外，那么r 的值可能为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为N ，如果∠MNB ＝52°，则 ∠NOA 的度数为( )(第2题)A ．76°B ．56°C ．54°D ．52°3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 平分∠ACB 交⊙O 于点D ，若∠ABC ＝30°，则∠CAD 的度数为( )(第3题)A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°4．如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，点O 为圆心，若∠BCD ＝120°，AB ＝AD ＝6，则⊙O 的半径长为( )(第4题)A ．23B ．2C ．233D ．35．如图，已知钝角三角形ABC 内接于⊙O ，且⊙O 的半径为5，连接OA ，若∠OAC ＝∠ABC ，则AC 的长为( )(第5题)A ．52B ．252C ．53D ．86．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是( )(第6题)A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到BC ︵上任意一点的距离都相等C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心O 1的距离都相等D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为__________．8．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为__________．(计算结果保留π)(第8题)9．如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为1的⊙O ，则ACE ︵的长为__________．(第9题)10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且AB ＝6，BC ＝3，则tan ∠ADC 的值为__________．(第10题)11．如图，已知半圆O 的直径AB 为12，OP ＝1，C 为半圆上一点，连接CP ，将CP 沿射线AB 方向平移至DE ，若DE 恰好与⊙O 相切于点D ，则平移的距离为__________．(第11题)12．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，点P 为AC 的中点，连接PD ，BC ＝6，DP ＝4.O 为BA 边上一点，以点O 为圆心，OB 长为半径作⊙O ，当⊙O 与△PDC 的一边所在直线相切时，⊙O 的半径等于__________．(第12题)三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，AD 是⊙O 的直径，点O 是圆心，C ，F 是AD 上的两点，OC ＝OF ，B ，E 是⊙O 上的两点，且AB ︵ ＝DE ︵，求证：BC ∥EF .14．如图，半圆O 的直径AB ＝6，弦CD ＝3，AD ︵ 的长为34π，求BC ︵ 的长．15．(2019沈阳)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线MN 与⊙O 相切于点C ，过点B 作BD ⊥MN 于点D .(1)求证：∠ABC ＝∠CBD ；(2)若BC ＝45，CD ＝4，则⊙O 的半径是________．16．(2019铜仁)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G .(1)求证：FG 是⊙O 的切线；(2)已知FG ＝23，求图中阴影部分的面积．17．(2019资阳)如图，AC 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，且∠APB ＝60°.(1)求∠BAC 的度数；(2)若P A ＝1，求点O 到弦AB 的距离．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019鄂尔多斯)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC .过BD ︵上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG .(1)求证：EG 是⊙O 的切线；(2)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若AH ＝2，CH ＝22，求OM 的长．19．(2019本溪)如图，点P 为正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，连接BP 并延长交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，⊙O 是△DEF 的外接圆，连接DP .(1)求证：DP 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠PDC ＝12，正方形ABCD 的边长为4，求⊙O 的半径和线段OP 的长．20．(2019永州)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且BC 为⊙O 的直径，在劣弧AC ︵ 上取一点D ，使CD ︵＝AB ︵，将△ADC 沿AD 对折，得到△ADE ，连接CE .(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若CE ＝3CD ，劣弧CD ︵的弧长为π，求⊙O 的半径．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(2019河池)如图，五边形ABCDE 内接于⊙O ，CF 与⊙O 相切于点C ，交AB 延长线于点F . (1)若AE ＝DC ，∠E ＝∠BCD ，求证：DE ＝BC ； (2)若OB ＝2，AB ＝BD ＝DA ，∠F ＝45°，求CF 的长．22．(2019遵义)如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 交于点E ，且AC ＝BD ，连接AD ，BC . (1)求证：△ADB ≌△BCA ；(2)若OD ⊥AC ，AB ＝4，求弦AC 的长；(3)在(2)的条件下，延长AB 至点P ，使BP ＝2，连接PC .求证：PC 是⊙O 的切线．六、(本大题共12分)23．(2019大庆)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是AC 中点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接P A ，PC ，AF ，且满足∠PCA ＝∠ABC .(1)求证：P A 是⊙O 的切线； (2)证明：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝8，tan ∠AFP ＝23，求DE 的长．备用图参考答案1．C 2.A 3.B 4.A 5.A 6.C 7.15π 8.534－π2 9.4π310.3 11.8 12.95或154或272013．证明：∵AB ︵ ＝CE ︵ ，AD 是直径，∴AB ＝DE ，BD ︵ ＝AE ︵.∴∠A ＝∠D . ∵OC ＝OF ，OA ＝OD ，∴AC ＝DF . 在△BAC 和△EDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，∴△BAC ≌△EDF (SAS)．∴∠ACB ＝∠DFE .∴∠BCF ＝∠EFC . ∴BC ∥EF .14．解：如图1，连接OD ，OC . ∵AB ＝6，CD ＝3，∴CD ＝OC ＝OD ＝3.图1∴△CDO 是等边三角形．∴∠COD ＝60°. ∴CD ︵ 的长＝60π×3180＝π.又半圆弧的长度为12×6π＝3π，∴BC ︵ ＝AB ︵ －CD ︵ －AD ︵ ＝3π－π－3π4＝5π4.15．(1)证明：连接OC .∵MN 为⊙O 的切线，∴OC ⊥MN .∵BD ⊥MN ，∴OC ∥BD .∴∠CBD ＝∠BCO . 又OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠ABC .∴∠ABC ＝∠CBD . (2)解：5.16．(1)证明：如图2，连接OF ，AO . ∵AB ＝AF ＝EF ，图2∴AB ︵ ＝AF ︵ ＝EF ︵ . ∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠EBF . ∵OB ＝OF ，∴∠EBF ＝∠BFO . ∴∠ABF ＝∠BFO .∴BA ∥OF .∵FG ⊥BA ，∴OF ⊥FG .∴FG 是⊙O 的切线． (2)解：∵AB ＝AF ＝EF ，∴∠AOF ＝∠EOF ＝60°. ∵OA ＝OF ，∴△AOF 是等边三角形． ∴OA ＝AF ，∠AFO ＝60°. ∴∠AFG ＝90°－∠AFO ＝30°. 在Rt △AFG 中，FG ＝23，∴AF ＝FGcos ∠AFG＝4.∴OA ＝4.∵∠AFO ＝∠EOF ＝60°，∴AF ∥BE .∴S △ABF ＝S △AOF . ∴阴影部分的面积＝60π×42360＝8π3.17．解：(1)∵P A 和PB 都是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∠P AC ＝90°. ∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形． ∴∠BAP ＝60°.图3∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)如图3，过点O 作OD ⊥AB 于点D ， 则AD ＝BD ＝12AB .由(1)，得△APB 是等边三角形， ∴AB ＝P A ＝1.∴AD ＝12AB ＝12.在Rt △OAD 中，∠BAC ＝30°，∴OD ＝AD ·tan 30°＝36. 即点O 到弦AB 的距离为36. 18．(1)证明：如图4，连接OE .图4∵EG ＝FG ，∴∠GEF ＝∠GFE . ∵∠GFE ＝∠AFH ，∴∠GEF ＝∠AFH . ∵OA ＝OE ，∴∠OEA ＝∠OAF . ∵AB ⊥CD ，∴∠AFH ＋∠OAF ＝90°. ∴∠GEA ＋∠OEA ＝90°，即∠GEO ＝90°. ∴OE ⊥GE .∴EG 是⊙O 的切线． (2)解：如图4，连接OC .设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，OH ＝r －2.在Rt △OCH 中，CH ＝22，由勾股定理，得OH 2＋CH 2＝OC 2， 即(r －2)2＋(22)2＝r 2，解得r ＝3.∴OC ＝OE ＝3. 在Rt △ACH 中，CA ＝CH 2＋AH 2＝(22)2＋22＝2 3. ∵AC ∥GE ，∴∠M ＝∠CAH .∵OE ⊥GE ，AB ⊥CD ，∴∠OEM ＝∠CHA ＝90°. ∴Rt △OEM ∽Rt △CHA .∴OM CA ＝OE CH ，即 OM 23＝322.∴OM ＝362.19．(1)证明：如图5，连接OD .∵四边形ABCD 为正方形，∴CD ＝CB ，∠DCP ＝∠BCP ＝45°. 又CP ＝CP ，∴△CDP ≌△CBP (SAS)． ∴∠CDP ＝∠CBP .∵∠BCD ＝90°，∴∠CBP ＋∠BEC ＝90°. ∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ＝∠BEC . ∴∠CDP ＋∠ODE ＝90°.∴∠ODP ＝90°. ∴DP 是⊙O 的切线． (2)解：∵∠PDC ＝∠CBE ， ∴tan ∠CBE ＝tan ∠PDC ＝CE BC ＝12.∴CE ＝12BC ＝12×4＝2.∴DE ＝DC －CE ＝2.在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠F ＝∠CBE ＝∠PDC .在Rt △DEF 中，tan F ＝tan ∠CBE ＝DE DF ＝12，∴DF ＝2DE ＝4.∴EF ＝DF 2＋DE 2＝42＋22＝2 5. ∴OE ＝ 5.∵∠F ＝∠PDE ，∠DPE ＝∠FPD ，∴△DPE ∽△FPD . ∴PE PD ＝PD PF ＝DE DF ＝12. 设PE ＝x ，则PD ＝2x ，PF ＝PE ＋EF ＝x ＋2 5. ∵PE ·PF ＝PD 2，∴x (x ＋25)＝(2x )2，解得x ＝253.∴OP ＝OE ＋PE ＝5＋253＝553. ∴⊙O 的半径为 5，线段OP 的长为553. 20．(1)证明：由折叠的性质，可知∠CAD ＝∠EAD ，∠DCA ＝∠DEA ，DC ＝DE . ∴∠DCE ＝∠DEC .设∠CAD ＝∠EAD ＝α，∠DCA ＝∠DEA ＝β，∠DCE ＝∠DEC ＝γ. ∵CD ︵ ＝AB ︵，∴∠CAD ＝∠BCA ＝α.在△ACE 中，根据三角形内角和为180°，可得2α＋2β＋2γ＝180°. ∴α＋β＋γ＝90°，即∠OCE ＝90°. ∴CE 是⊙O 的切线．(2)解：如图6，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，延长AD 交CE 于点N ，易得DN ⊥CE .∵∠OCE ＝∠CMA ＝∠CNA ＝90°， ∴四边形AMCN 为矩形． 设AB ＝CD ＝x ，则CE ＝3x ， CN ＝12CE ＝32x ＝AM .在Rt △ABM 中，sin ∠ABM ＝AM AB ＝32，∴∠ABM ＝60°.又OB ＝OA ，∴△OAB 为等边三角形．∴∠AOB ＝60°. ∴CD ︵ ＝AB ︵ ＝60π·OA 180＝π，解得OA ＝3.∴⊙O 的半径为3.21．(1)证明：∵AE ＝DC ，∴AE ︵ ＝DC ︵.∴∠ADE ＝∠DBC . 在△ADE 和△DBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠DBC ，∠E ＝∠BCD ，AE ＝DC ，∴△ADE ≌△DBC (AAS)． ∴DE ＝BC .(2)解：如图7，连接CO 并延长交AB 于点G ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ， 则∠OHG ＝∠OHB ＝90°.图7∵CF 与⊙O 相切，∴∠FCG ＝90°. ∵∠F ＝45°，∴∠CGF ＝45°.∴△CFG ，△OGH 是等腰直角三角形． ∴CF ＝CG ，GH ＝OH . ∵AB ＝BD ＝DA ， ∴△ABD 是等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.∵等边三角形ABD 内接于⊙O ，∴点O 为等边三角形ABD 的外心．∴OB 平分∠ABD . ∴∠OBH ＝30°.∴OH ＝12OB ＝1.在Rt △OGH 中，OG ＝GH 2＋OH 2＝ 2.∴CF ＝CG ＝OC ＋OG ＝2＋ 2.22．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 与Rt △BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴△ADB ≌△BCA (HL)． (2)解：如图8，连接DC .∵OD ⊥AC ，∴AD ︵ ＝DC ︵.∴AD ＝DC .∵△ADB ≌△BCA ，∴AD ＝BC .∴AD ＝DC ＝BC . ∴∠AOD ＝∠ABC ＝60°.在Rt △ACB 中，AB ＝4，∴AC ＝AB ·sin 60°＝4×32＝2 3.图8(3)证明：如图9，连接OC .图9∵OC ＝OB ，∠ABC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形． ∴OB ＝BC ＝12AB ＝2，∠OCB ＝60°.∵BC ＝BP ＝2，∴∠BCP ＝∠P ＝12∠ABC ＝30°.∴∠OCP ＝∠OCB ＋∠BCP ＝60°＋30°＝90°.∴OC ⊥PC . ∴PC 是⊙O 的切线．23．(1)证明：∵D 是弦AC 的中点，∴OD ⊥AC .∴PD 是AC 的中垂线． ∴P A ＝PC .∴∠P AC ＝∠PCA .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＋∠ABC ＝90°. 又∠PCA ＝∠ABC ，∴∠CAB ＋∠P AC ＝90°，即AB ⊥P A . ∴P A 是⊙O 的切线．(2)证明：由(1)知∠ODA ＝∠OAP ＝90°， 又∠AOD ＝∠POA ，∴Rt △AOD ∽Rt △POA . ∴AO PO ＝ODAO.∴OA 2＝OP ·OD .又OA ＝12EF ，∴14EF 2＝OP ·OD ，即EF 2＝4OP ·OD .(3)解：在Rt △ADF 中，tan ∠AFP ＝AD DF ＝23.设AD ＝2a ，则DF ＝3a .∵OD ＝12BC ＝4，∴AO ＝OF ＝DF －OD ＝3a －4.在Rt △AOD 中，OD 2＋AD 2＝AO 2，即42＋4a 2＝(3a －4)2， 解得a ＝245.∴DE ＝OE －OD ＝OA －OD ＝3a －8＝325.。
2020年中考考前冲刺复习《圆》含答案
中考复习之培优综合压轴大题练习卷：《圆》1．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC．（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半径．2．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，点F是的中点，连接OF并延长交CD于点E，连接BD，BF．（1）求证：BD∥OE；（2）若OE＝3，tan C＝，求⊙O的半径．3．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点A，C，D分别为⊙O的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F．（1）求证：CD∥BM；（2）连接OE，若DE＝m，求△OBE的周长．4．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，PA是⊙O切线，PC交⊙O于点D．（1）求证：∠PAC＝∠ABC；（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝，CD＝2，求⊙O的半径．6．已知OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，垂足为O，P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．（I）如图①，点P在线段OA上，若∠OBQ＝15°，求∠AQE的大小；（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠OBQ＝65°，求∠AQE的大小．7．如图，点O是△ABC的边AB上一点，以OB为半径的⊙O交BC于点D，过点D的切线交AC于点E，且DE⊥AC．（1）证明：AB＝AC；（2）设AB＝cm，BC＝2cm，当点O在AB上移动到使⊙O与边AC所在直线相切时，求⊙O的半径．8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点M，点M在以AB为直径的⊙O上，AD与⊙O 相交于点E，连接ME．（1）求证：ME＝MD；（2）当∠DAB＝30°时，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB＝AC时，若CE＝2，EF＝3，求⊙O的半径．10．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝Rt∠，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．（1）求证：△BDF是直角三角形；（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．11．在△ABC中，∠ABC＝45°，∠C＝60°，⊙O经过点A，B，与BC交于点D，连接AD．（Ⅰ）如图①．若AB是⊙O的直径，交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小．（Ⅱ）如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．12．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；（1）求证：∠ADC+∠CBD＝∠AOD；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．13．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．（1）求证：DB＝DC；（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的长度．14．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中阴影部分的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA＝6，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．16．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．17．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径；（3）若∠ADB＝60°，BD＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF＝6，EF＝2，求⊙O的半径长．19．已知△A BC中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．（1）求证：BN＝AN；（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．参考答案1．解：（1）连接OC．∵半径OA⊥弦BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOC＝2∠AEC＝56°，∴∠AOB＝56°．（2）∵BE是⊙O的直径，∴∠ECB＝90°，∴EC⊥BC，∵OA⊥BC，∴EC∥OA，∴∠A＝∠AEC，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵∠BEA＝∠B，∴∠B＝∠AEB＝∠AEC＝30°，∵EC＝3，∴EB＝2EC＝6，∴⊙O的半径为3．2．（1）证明：∵OB＝OF，∴∠1＝∠3，∵点F是的中点，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3，∴BD∥OE；（2）解：连接OD，如图，∵直线CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，在Rt△OCD中，∵tan C＝＝，∴设OD＝3k，CD＝4k．∴OC＝5k，BO＝3k，∴BC＝2k．∵BD∥OE，∴．即．∴DE＝6k，在Rt△ODE中，∵OE2＝OD2+DE2，∴（3）2＝（3k）2+（6k）2，解得k＝∴OB＝3，即⊙O的半径的长．3．（1）证明：∵点A、C、D为⊙O的三等分点，∴，∴AD＝DC＝AC．∴△ACD为等边三角形，而点O为△ACD的外心，∴AB⊥CD．∵BM为⊙O的切线，∴BE⊥AB．∴CD∥BM；（2）解：连接DB，如图，∵△ACD为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠ABD＝∠C＝60°，∴∠DBE＝30°，在Rt△DBE中，BE＝2DE＝2m，DB＝DE＝m．在Rt△ADB中，AB＝2BD＝2m，则OB＝m，在Rt△OBE中，OE＝＝m，∴△OBE周长为2m+m+m＝（2++）m．4．证明：（1）连接BD，交AC于F，∵DC⊥BE，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵，∴∠BAC＝∠BD C，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴BD⊥DE，∴DE是⊙O切线；解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，∴BD⊥AC．∵BD是⊙O直径，∴AF＝CF，∴AB＝BC＝8，∵BD⊥DE，DC⊥BE，∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，∴△BDC∽△BED，∴，∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，∴BD＝．即⊙O直径的长是4．5．（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．∵AE是直径，∴∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠E＝90°，∵∠B＝∠E，∴∠B+∠EAC＝90°，∵PA是切线，∴∠PAO＝90°，∴∠PAC+∠EAC＝90°，∴∠PAC＝∠ABC．（2）解：连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵OM⊥BC，∴BM＝MC，＝，∵OB＝OD，∴OM＝CD＝1，∵∠BAC＝∠BDC＝2∠ACB，＝，∴∠BDF＝∠CDF，∴∠ACB＝∠CDF，∴＝，∴AB＝CF＝2，∵CM2＝OC2﹣OM2＝CF2﹣FM2，∴x2﹣12＝（2）2﹣（x﹣1）2，∴x＝3或﹣2（舍弃），∴⊙O的半径为3．6．解：（I）如图①中，连接OQ．∵EQ是切线，∴OQ⊥EQ，∴∠OQE＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠AQB＝∠AOB＝45°，∵OB＝OQ，∴∠OB Q＝∠OQB＝15°，∴∠AQE＝90°﹣15°﹣45°＝30°．（Ⅱ）如图②中，连接OQ．∵OB＝OQ，∴∠B＝∠OQB＝65°，∴∠BOQ＝50°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOQ＝40°，∵OQ＝OA，∴∠OQA＝∠OAQ＝70°，∵EQ是切线，∴∠OQE＝90°，∴∠AQE＝90°﹣70°＝20°．7．（1）证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∵DE⊥OD，∵AC⊥DE，∴O D∥AC，∴∠ODB＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（2）设AC与⊙O相切于点F，连接OF，作AH⊥BC于H．设半径为r．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝1，∴AH＝＝2，∴tan∠C＝＝2，∵∠OFE＝∠ODE＝∠DEF＝90°，∴四边形ODEF是矩形，∵OD＝OF，∴四边形ODEF是正方形，∴EF＝DE＝r，∵tan C＝＝2，∴EC＝，∴AF＝﹣r﹣r＝﹣r，在Rt△AOF中，∵OA2＝AF2+OF2，∴（﹣r）2＝r2+（﹣r）2，解得r＝．8．证明：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠AMB＝90°，∴▱ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∵四边形AEMB是圆内接四边形，∴∠DEM＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DEM，∴ME＝MD．（2）直线CD与⊙O相切理由如下：过O作OH⊥CD于H，过D作DF⊥AB于F，∵DF⊥AB，AB∥CD，∴DF⊥CD，且OH⊥CD，∴OH∥DF，且AB∥CD，∴四边形OFDH是平行四边形，∴OH＝DF，∵在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝AD，又∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴OH＝DF＝AD＝AB，又∵OH⊥CD，∴直线CD与⊙O相切．9．解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CD E＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝3，∵CE＝2，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝，∴⊙O的半径＝．10．（1）证明：如图连接EC交OA于H．∵＝，∴OA⊥EC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴DF⊥EC，∴OA∥DF，∵BF是⊙O的切线，∴OA⊥BF，∴DF⊥BF，∴∠F＝90°，∴△DFB是直角三角形．（2）解：∵∠DEC＝∠F＝90°，∴EC∥FB，∴＝＝2，∴OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，∵CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，∴9m2﹣4m2＝40﹣m2，∴m＝（负根已经舍弃），∴CH＝，∵OA⊥EC，∴EH＝HC＝，∵∠F＝∠FAH＝∠AHE＝90°，∴四边形AFEH是矩形，∴AF＝EH＝．11．解：（Ⅰ）如图，连接BE∵∠ABC＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝75°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠AEB﹣∠BAC＝15°，∵∠ABE＝∠ADE，∴∠ADE＝15°，（Ⅱ）连接OA，OD，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵∠ABC＝45°∴∠AOD＝90°，且OA＝OD∴∠OAD＝45°∴∠DAC＝∠OAC﹣∠DAO＝45°，且∠C＝60°∴∠ADC＝75°12．（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝，∴∠CBD＝∠DCB，∵∠DFE+∠EDF＝90°，∴∠EDF＝90°﹣∠DFE，∵OD＝OA，∴∠ODA＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，∴90°﹣∠DFE＝90°﹣∠AOD，∴∠DEF＝∠AOD，∵∠DFE＝∠ADC+∠DCB＝∠ADC+∠CBD，∴∠ADC+∠CBD＝∠AOD；（2）解：∵OD⊥BC，∴BE＝CE，＝，∴BD＝CD，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°，∴∠OAD+∠DAP＝90°，∵∠PFA＝∠DFE，∴∠PFA+∠ADO＝90°，∴∠PAF＝∠PFA，∴PA＝PF．13．（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵A，D，C，B四点共圆，∴∠EAD＝∠DCB，由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD，∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC；（2）解：由圆周角定理得，∠COB＝2∠CAB＝60°，∠C DB＝∠CAB＝30°，∴△COB为等边三角形，∴OC＝BC＝4，∵DC＝DB，∠CDB＝30°，∴∠DCB＝75°，∴∠DCO＝15°，∴∠COD＝150°，则劣弧的长＝＝π．14．解：（1）AB＝AC．理由是：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵DC＝BD，∴AB＝AC；（2）连接OD、过D作DH⊥AB．∵AB＝8，∠BAC＝45°，∴∠BOD＝45°，OB＝OD＝4，∴DH＝2∴△OBD的面积＝扇形OBD的面积＝，阴影部分面积＝．15．解：（1）MN是⊙O切线．理由：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BCM＝2∠A，∴∠BCM＝∠BOC，∵∠B＝90°，∴∠BOC+∠BCO＝90°，∴∠BCM+∠BCO＝90°，∴OC⊥MN，∴MN是⊙O切线．（2）由（1）可知∠BOC＝∠BCM＝60°，∴∠AOC＝120°，在RT△BCO中，OC＝OA＝6，∠BCO＝30°，∴BO＝OC＝3，BC＝3，∴S阴＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣•6＝12π﹣9．16．证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．17．（1）证明：连接OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，而∠CFA＝∠OFD，∴∠ODF+∠CAF＝90°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去），即⊙O的半径为6；（3）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴△BOD为等腰直角三角形，∴OB＝BD＝，∴OA＝，∵∠AOB＝2∠ADB＝120°，∴∠AOE＝60°，在Rt△OAC中，AC＝OA＝，∴阴影部分的面积＝••﹣＝．18．（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，∴∠OFE+∠OEF＝90°，而∠OFE＝∠CFP，∴∠CFP+∠OEF＝90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°，而∠OCF＝∠OEF，∴∠PCF＝∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，∴∠BOE＝90°，即OE⊥AB，设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2，∴r2+（6﹣r）2＝（2）2，解得，r1＝4，r2＝2，当r1＝4时，OF＝6﹣r＝2（符合题意），当r2＝2时，OF＝6﹣r＝4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r＝4．19．（1）证明：∵CD为⊙O的直径，∴∠CND＝90°，∴CN⊥AB，∵BC＝AC，∴BN＝AN；（2）解：CD＝DE，理由如下：∵△ABC中，∠BCA＝90°，BN＝AN，∴CN＝AN，∵点M是CA中点，∴NM平分∠CNA，∵∠CNA＝90°，∴∠CNM＝45°，∴∠CDE＝∠CNE＝45°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝45°＝∠CDE，∴DE＝CE，∵CE2+DE2＝CD2，∴CD＝DE．。
中考数学复习 第一部分 知识梳理 第六章 圆 第26讲 与圆有关的计算课件
12. (2017黔南州) 如图1-26-14，在扇形(shàn xínɡ)AOB中，AC 为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则 的长为
_____1_2/_9/2_02_1 _______.
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13. （2018乐山）如图1-26-15，△OAC的顶点O在坐标原点， OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋 转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1， ），则在旋 转过程中线段(xiànduàn)OC扫过部分（阴影
D. 9
12/9/2021
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2. (2013广东(guǎng ) dōng) 如图1-26-4，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分面积的和是________________. (结 果保留π)
3. (2017广东改编) 如图1-26-5，AB是⊙O的直径，AB= ， ＰＦ是切线，作CE⊥OB，已知CB是∠ECP的平分线,∠BCP＝ 30°,求劣弧(lièhú)BC的长度. (结果保留π)
为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段
(sān duàn)圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角
形的边长为a，则勒洛三角形的周长为_____．
πa
9. （2018郴州）如图1-26-11，圆锥的母线(mǔxiàn)长为10 cm，高 为8 cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 ____1_2_π_____cm．（结果用π表示）
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(2)若扇形(shàn xínɡ)的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，
面积为S扇形，则S扇形=________________或
________________.
中考数学复习课件26
点与圆、直线与圆的位置关系
1
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考点一 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 如果圆的半径是 r，点到圆心的距离为 d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r； (3)点在圆外⇔d>r. 2．过三点的圆 (1)经过三点作圆： ①经过在同一直线上的三点不能作圆； ②经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个圆． (2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． (3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半 径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．
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12．(2010· 武汉)如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，则 CD 的长为( ) A．7 B．7 2 C．8 2 D．9
【解析】连结 BD、 AD，作 BE⊥CD 于 E， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝ 90° .∵ AC＝ 6， AB＝ 10， 根据勾股定理得 BC＝ 8.∵CD 平分 ∠ACB， ∴∠BCD ＝ 45° .∵ BE⊥CD， ∴CE＝ BE.∵BC＝ 8，根据勾股定理得 CE＝ BE＝ 4 2.∵ AD＝ BD，AB 是直径，∴BD＝ 5 2.在 Rt△BDE 中， BD＝ 5 2， BE＝ 4 2， ∴DE＝ 3 2， ∴CD＝ CE＋ DE＝ 7 2，故选 B.
考点四 切线长定理 1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切 线长． 2．切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 ．．．．． 平分这两条切线的夹角．
【复习指导】2020年中考数学第一部分考点研究复习第六章圆第26课时圆的基本性质练习含解析
第六章 圆第26课时 圆的基本性质基础过关1. (2016济宁)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( ) A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°第1题图 第2题图2. (2016张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°3. (2016自贡)如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是( )A. 15°B. 25°C. 30°D. 75°第3题图第4题图4. (2016陕西)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为( )A. 3 3B. 4 3C. 5 3D. 6 35. (2016毕节)如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝( )A. 100°B. 72°C. 64°D. 36°第5题图第6题图6. (2016聊城)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°7. (2016南宁)如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为( )A. 140°B. 70° C ．60° D. 40°第7题图 第8题图8. (2016泰安)如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O于点F ，则∠BAF 等于( )A. 12.5°B. 15°C. 20°D. 22.5°9. (2016达州)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( )A. 13B. 2 2C. 24D. 223第9题图第10题图10. (2016杭州)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则( )A. DE＝EBB. 2DE＝EBC. 3DE＝DOD. DE＝OB11. (2016黄冈)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝________．第11题图第12题图12. (2016娄底)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是________．13. (2016贵阳)如图，已知⊙O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA的值是________．第13题图 第14题图14. (2016长春)如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB ︵上一点，若∠OAB ＝25°，∠OCA ＝40°，则∠BOC的大小为________度．15. (2016永州)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD ∥AB ，连接AC ，则∠BAC ＝________度．第15题图第16题图16.(2016南京二模)如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB＝4，则AD的长为________．17. (2016宁夏)已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．第17题图满分冲关1. (2016泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( ) A. 38 B. 34 C. 24 D. 282. (2016安徽)如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC .则线段CP 长的最小值为( ) A. 32 B. 2 C. 81313 D. 121313第2题图第3题图︵3. (2016海南)如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧ABC上，AB＝8，BC＝3，则DP＝________．4. (2016威海)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为____________．第4题图第5题图5. (2016雅安)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为________．6. (2016株洲)已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝7AF，求证CF⊥AB.第6题图答案基础过关1. C 【解析】如解图，连接CO ，∵AB ︵＝AC ︵，∴∠AOC ＝∠AOB ＝40°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝12×40°＝20°.第1题解图2. D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°.3. C 【解析】∵∠C ＝∠AMD －∠A ＝30°，又∵∠C 与∠B 为同弧所对的圆周角，∴∠B ＝∠C ＝30°.4. B 【解析】如解图，延长CO 交⊙O 于点A ′，连接A ′B .设∠BAC ＝α，则∠BOC ＝2∠BAC ＝2α，∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.又∵∠BAC 和∠BA ′C 都为BC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠BA ′C ＝60°.∵CA ′为直径，故∠A ′BC ＝90°，则在Rt △A ′BC 中，由勾股定理得：BC ＝A ′C ·sin∠BA ′C ＝2×4×32＝4 3.第4题解图5. C 【解析】如解图，设OB 与AC 的交点为E ，∵∠A ＝36°，∴∠O ＝72°，∴∠AEB ＝∠OEC ＝180°－72°－28°＝80°，∴∠B ＝180°－80°－36°＝64°.第5题解图6. B 【解析】∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝105°，∴∠ADC ＝75°，∵¼»DFBC ，∴∠DCF ＝∠BAC ＝25°，∴∠E ＝∠ADC －∠DCF ＝50°.7. B 【解析】由题知，∠DCE ＝40°，在四边形CDOE 中，∠CDO ＝∠CEO ＝90°， ∴∠DOE ＝360°－90°－90°－40°＝140°，根据圆周角定理，得∠P ＝12∠AOB ＝12×140°＝70°.8. B 【解析】如解图，∵四边形ABCO 是平行四边形，OA ＝OC ，∴四边形ABCO 是菱形，连接OB ，则△OBC 和△OAB 是等边三角形，∴∠COB ＝∠AOB ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵OF ⊥OC ，∴∠AOF ＝30°，∴∠BOF ＝∠AOB －∠AOF ＝30°，根据圆周角定理得：∠BAF ＝12∠BOF ＝15°.第8题解图 第9题解图9. C 【解析】如解图，设⊙A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD ，则∠OBC ＝∠ODC ，∴tan ∠OBC＝tan ∠ODC ＝OC OD ＝2CD 2－OC 2＝262－22＝24. 10. D 【解析】如解图，连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB ，∵∠AOB ＝∠OBE ＋∠ADB , ∠AOB ＝3∠ADB ，∴∠OBE ＝ 2∠ADB ，∴∠OEB ＝2∠ADB ，∵∠OEB ＝∠D ＋∠DOE ，∴∠D ＝∠DOE ，∴DE ＝OB ，D 选项正确；若EB ＝OE ＝OB ，即△OBE 是等边三角形时，DE ＝EB 才成立，∴A 选项错误；若∠BOE ＝90°，即△OBE 是等腰直角三角形时，BE ＝2OE ，则2DE ＝EB 才成立，所以B 选项错误；若OD ＝3OE ＝3OB ，则3DE ＝DO 才成立，∴C 选项错误，故选D.第10题解图11. 35° 【解析】先根据“同弧所对圆周角是圆心角的一半”得∠BCA ＝12∠AOB ，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCA ＝12∠AOB ＝35°.12. 平行 【解析】∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠D ＝∠C ，∴∠A＋∠D ＝180°.∴AB ∥CD .13.53【解析】如解图，连接OB ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ， ∵OA ＝OB ＝6 cm ，OM ⊥AB , ∴在等腰△OAB 中，BM ＝AB 2＝12×8＝4 cm.∴在Rt △BOM 中，OM ＝62－42＝2 5 cm.PM ＝BM ＋BP ＝6 cm ，∴在Rt △OPM 中，tan ∠OPA ＝OM PM ＝256＝53.第13题解图14. 30 【解析】∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OAB ＝25°，∠OAC ＝∠OCA ＝40°，∴∠AOB ＝180°－2×25°＝130°，∠AOC ＝180°－2×40°＝100°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝130°－100°＝30°.15. 35 【解析】∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B ，∵∠AOB ＝40°，∴∠B ＝70°，∵CO ∥AB ，∴∠B ＝∠COB ＝70°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝35°.16. 6 【解析】如解图，连接OB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，∠BAO ＝∠CDO ＝90°，∵OB ＝5，∴AO ＝52－42＝3，同理可得：DO ＝3，∴AD ＝3＋3＝6.第16题解图17. (1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，∵四边形ABED 是⊙O 的内接四边形，∴∠B ＋∠EDA ＝180°，又∵∠EDA ＋∠EDC ＝180°，∴∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；(2)解：如解图，连接AE ，第17题解图∵AB 为直径，∴AE ⊥BC ，由(1)知AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3，∵∠B ＝∠C ，∠C ＝∠CDE ，∴∠B ＝∠CDE ，∴△CED ∽△CAB ，∴CE CA ＝CD CB， 即CE ·CB ＝CD ·CA ，又∵AC ＝AB ＝4，∴3·23＝4CD ，∴CD ＝32.满分冲关1. D 【解析】半径为1的圆内接正三角形的边心距为12，内接正方形的边心距为22，内接正六边形的边心距为32，由12、22和32为边组成三角形时，由(12)2＋(22)2＝(32)2可得该三角形是直角三角形，所以该三角形的面积为12×22×12＝28.2. B 【解析】如解图，∵∠PAB ＝∠PBC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAP ＋∠PBA ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 始终在以AB 的中点O 为圆心，OA ＝OB ＝OP ＝12AB ＝3为半径的圆上，由解图知，只有当点P在OC 与⊙O 的交点处时， PC 的长最小，即为P ′C .在Rt △OBC 中，OC ＝OB 2＋BC 2＝32＋42＝5，∴P ′C ＝OC －OP ′＝5－3＝2，∴线段CP 长的最小值为2.第2题解图3. 5.5 【解析】∵AB 和DE 都是⊙O 的直径，∴OA ＝OB ＝OD ＝4，∠C ＝90°，又∵DE ⊥AC ，∴OP∥BC ，∴△AOP ∽△ABC ，∴OP BC ＝AO AB ，即OP 3＝48，∴OP ＝1.5.∴DP ＝OP ＋OD ＝5.5. 4. 2 6 【解析】如解图，连接AC 、OF ，正方形ABCD 的边长为4，AC ＝42＋42＝42，即直径是42，∴半径OF ＝2 2.过点O 作OM ⊥EF ，∵△FGE 是等边三角形，∴FG ＝FE ，又∵OF 过圆心，∴OF 平分∠GFE ，∴∠OFM ＝12∠GFE ＝12×60°＝30°， ∴OM ＝12OF ＝12×22＝2(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)，∴MF ＝OF 2－OM 2＝（22）2－（2）2＝6，∴EF ＝2MF＝26，∴正三角形EFG 的边长是2 6.第4题解图 第5题解图5. 8 【解析】连接AD ，如解图，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴DO ＝12AC ，点M 是BE 的中点．∴MD 是△BCE 的中位线，∴CE ＝2MD ＝4，∵AC ＝10，∴AE＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝AB2－AE2＝102－62＝8.6. (1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∵∠AEF＝∠CED＝60°，AC⊥DB，∴∠FDB＝30°，∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△DFB是等腰三角形；(2)解：设AF＝a，则AD＝7a，连接OC，如解图，则△AOC是等边三角形，第6题解图由题意得，BF ＝2－a ＝DF ，∴DE ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝1－a ，在Rt △ADC 中，DC ()271a -271a - 在△DCE 中，tan30°＝CE DC ＝271a -＝33，解得，a ＝－2(舍去)或a ＝12，在△AOC 中，OA ＝1，∴AF ＝12＝12OA ，则根据等边三角形的性质可得CF ⊥OA ， 即CF ⊥AB .。
中考数学复习方案 第六单元 圆 第26课时 圆的基本性质数学课件
[答案]
5 3
3
[解析]根据题意,抽象出数学图形,如图.连结 OD,OC,OC 交 AD 于 E.则 OC⊥AD.
根据题意可知 AD=10,∠AOD=120°,由 OA=OD,得∠DAO=30°.
∵OE⊥AD,∴AE=DE=5.
5
∴OE=AE·tan∠EAO=
3
10
3,OA=
3
3.
5
∴CE=OC-OE=3 3.
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图26-11
考向三 圆周角相关(xiāngguān)性质的应用
例 3[2019·温州]如图 26-12,在△ABC 中,∠BAC=90°,点 E 在 BC 边上,且 CA=CE,
过 A,C,E 三点的☉O 交 AB 于另一点 F,作直径 AD,连结 DE 并延长交 AB 于点
单元(dānyuán)思维导图
第一页，共四十七页。
第六单元(dānyuán)
第 26 课时
圆的基本性质
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圆
考点一
圆的有关(yǒuguān)概念
1.下列说法中,不正确的是 (
)
C
A.圆既是轴对称图形又是中心对称(zhōnɡ xīn duì chēnɡ)图形
B.圆有无数条对称轴
C.圆的每一条直径都是它的对称轴
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2. [2019·衢州]一块(yī kuài)圆形宣传标志牌如图26-4所示,点A,B,C在☉O上,CD垂直平分AB于点
D.现测得AB=8 dm,DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为
A.6 dm
B.5 dm
C.4 dm
图26-4
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(
2020版中考数学第一部分基醇点巩固第六章圆 课件
例1 (2018·某工大附中模拟)如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于点E， AB=BC=12，则OC的长为( D )
例1题图
A.3
B.2 3
C.3 3
D.4 3
【解析】∵AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于点E，∴BE=EC，弧BD=弧DC，
∴AB=AC。又∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAD=∠DAC=30°，
径为r。在Rt△AOC中，AC=4，OC=r-2，AO=r，由勾股定理，得r2=42+(r-2)2，
解得r=5。∵AE是⊙O的直径，∴∠B=90°，∴OC∥BE，∴∠OCE=∠CEB。在
Rt△AEB中，AE=10，AB=8，由勾股定理，得AE2=BE2+AB2，解得BE=6。在
Rt△BEC中，BE=6，BC=4，∴CE=
【特别提示】
圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°的圆周角联系起来，当条件 中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题 创造条件。
陕西考点解读
【提分必练】 4.如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为( B )
第4题图
A.25°
2OC=2 2 ，即b=2 2 。同理，当直线y=-x+b与⊙O相切，且经过第二、三、四象
限时，b=-2 2 。综上可知，若直线y=-x+b与⊙O相交，则b的取值范围是-2 2
＜b＜2 2 。故选D。
陕西考点解读
考点3 圆的切线的性质与判定
中考说明：1.掌握切线的概念。 2.探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。 1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2020年安徽中考数学总复习课件：第六章 第一节 圆的基本性质
考点二 垂径定理及其推论
例2 (2018·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝ 6，∠APC＝30°，则CD的长为( )
【分析】 要求弦CD的长，可先过点O作CD的垂线，再连接OC，由AP和BP 的 长可得AB，从而得到半径，继而只需在Rt△OPH中求OH的长，然后在 Rt△OHC中求CH的长，再结合垂径定理可求CD的长． 【自主解答】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如解图， ∵OH⊥CD，∴HC＝HD.∵AP＝2，BP＝6， ∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA－AP＝12.
应用垂径定理的注意事项 (1)应用垂径定理的推论时，一定要注意，被平分的弦不是直径； (2)在圆中计算线段长时，常需考虑垂径定理，构造直角三角形，利用勾股 定理求解．其中“半径、弦的一半、弦心距”三者的长度满足勾股定理．
考点一 圆周角定理及其推论
例1 (2017·安徽)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行 于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE. (1)求证：四边形AECD为平行四边形； (2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
知识点一 圆的有关概念
❶圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中， 定点称为 _圆__心__，定长称为 _半__径__．不在同一条直线上的三个点确定一 个圆． ❷与圆有关的概念 (1)弧：圆上任意 _两__点__间__的部分叫做圆弧，简称弧． (2)弦：连接圆上任意两点的__线__段___叫做弦． (3)直径：经过__圆__心___的弦叫做直径．
它所对圆周角是90°.
(2)常见辅助线作法：在求弧所对圆周角度数时，有时可过弧的一端点引直
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第六单元圆
第26课时 与圆有关的计算
点对点·课时内考点巩固5分钟
1.(2019长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π
2.(2019青海)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC ︵的长为( )
第2题图
A. 4π
3 B.
8π3
C. 23π
D. 2π
3.(2019哈尔滨)一个扇形的弧长是11πcm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是________度．
点对线·板块内考点衔接15分钟
1.(2019枣庄)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )
A. 8－π
B. 16－2π
C. 8－2π
D. 8－1
2
π
第1题图
2.(2019绍兴)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°.若BC ＝22，则BC ︵
的长为( ) A. πB. 2πC. 2πD. 22π
第2题图
3.(2019青岛)如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )
A. π
B. 2π
C. 22π
D. 4π
第3题图
4.(2019南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )
A. 6π
B. 33π
C. 23π
D. 2π
第4题图
5.(2019山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
A.
534－π2B. 534＋π
2
C. 23－π
D. 43－π2
第5题图
6.(2019泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ︵恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB ︵
的长为( )
A. 1
2
πB. πC. 2πD. 3π
第6题图
7.(2019重庆A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2.分别以点A ，点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
第7题图
8. (全国视野创新题推荐·2019贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．
第8题图
点对面·跨板块考点迁移2分钟
1.(2019天水)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)
第1题图
参考答案
第26课时 与圆有关的计算
点对点·课时内考点巩固
1. C 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴S 扇形＝120·π·62
360
＝12π.
2. B 【解析】如解图，连接CO ，∵OC ＝OA ，∠CAO ＝60°，∴△AOC 为等边三角形．∴∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝80°，∴BC ︵的长为80×6π180＝8π3
.
第2题解图
3. 110 【解析】设此扇形的圆心角为n °，根据题意得l ＝nπr 180＝nπ·18
180
＝11π，解得n ＝110. 点对线·板块内考点衔接
1. C 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB ＝4，∠ABD ＝45°.∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形ABE ＝
12×AB 2
－45π×AB 2360＝12×42－45π×42
360
＝8－2π.
2. A 【解析】如解图，连接OB ，OC .∵∠ABC ＝65°，∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，∵∠1＝2∠A ＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∵BC ＝22，∴OB ＝OC ＝2，∴BC ︵的长为90×π×2180
＝π.
第2题解图
3. B 【解析】如解图，连接OC ，OD .∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD . ∵∠A ＝45°，∴△ACO 是等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝OD ＝
4.∵AC ＝BD ＝4，∴△BDO 是等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOD ＝45°，∴∠COD ＝90°. ∴CD ︵的长为90π×4180
＝2π.
第3题解图
4. A 【解析】如解图，连接OB ，交AC 于点D .由题意易知四边形OABC 为菱形，∴△OAB 为等边三角形，∴S △OAD ＝S △BCD ，∠AOB ＝60°，∵⊙O 的半径为6.∴S 阴影＝S 扇形AOB ＝
60
360
×π×62＝6π.
第4题解图
5. A 【解析】如解图，连接OD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵在Rt △ABC 中，AB ＝23，BC ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝2 3.在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝223＝3
3，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOD
＝60°.∵OA ＝OB ＝OD ＝1
2
AB ＝3，∴S
扇形
BOD ＝60·π·OD 2360＝π2.∵DE ＝OD ·sin60°＝32，∴S △AOD ＝1
2
OA ·DE ＝334.∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝534－π
2
.
第5题解图
6. C 【解析】如解图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，连接AO 、BO ，∵⊙O 的半径为3，∴OM ＝12×3＝32.∵在Rt △AOM 中，OM ＝1
2OA ，∴∠OAB ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝120°.∴AB ︵的长为120π×3180
＝2π.
第6题解图
7. 23－2π
3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD
＝∠BCD ＝120°，∵AB ＝2，∴AO ＝1，BO ＝3，∴S 菱形
ABCD ＝
1
2
AC ·BD ＝2AO ·BO ＝23，S 扇形
＝
2×120π×12360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3
.
8. 42π 【解析】如解图，根据题意可知四叶幸运草的周长是以AB 为直径的4个半圆弧长，∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝22＋22＝22，∴AB ︵的长为12×π×22
＝2π，∵四叶幸运草的周长为2π×4＝42π.
第8题解图
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1. 2π－23【解析】如解图，连接OD、AB，∵∠AOB＝90°，A、O、B在⊙D上，∴AB是⊙D 的直径，∵∠OCA＝30°，∴∠ODA＝60°，∠ABO＝30°.∴△AOD为等边三角形，∴OD＝OA＝
OB·tan30°＝23×
3
3＝2.∴S阴影＝
1
2S⊙D－S△AOB＝
1
2
π×22－
1
2×2×23＝2π－2 3.
第1题解图。