中考数学专题复习圆

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中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点）过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案一、选择题1．下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（）A．①④B．②③C．①③D．②④2．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（）A．66°B．33°C．24°D．30°4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（）A．26°B．48°C．38°D．52°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60°B．50°C．80°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO=35°，AO=2，则AC⌢的长度为（）A．29πB．59πC．πD．79π8．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点AC⌢=AE⌢，∠D=130°则∠B的度数为（）A．130°B．128°C．115°D．116°二、填空题9．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为3π，则该弧的度数为°.10．如图，在△ABC中，∠ACB= 130°，∠BAC=20°，BC=2．以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= √2，则BD的长为.12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC=85°，则∠B=．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，O为BC边上一点CO=2.以O为圆心，OC为半径作半圆与AB边交π，则阴影部分的面积为.于E，且OE⊥AB.若弧CE的长为43三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径.⌢上一点，AG与DC的延长线交于点F．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17．如图，在△ABC中AB=AC，以底边BC为直径的⊙O交两腰于点D，E .（1）求证：BD=CE；⌢的长.（2）当△ABC是等边三角形，且BC=4时，求DE18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．A2．A3．B4．C5．C6．C7．D8．C9．9010．2√311．2√212．95°π13．4√3−4314．（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵OD∥BC∴∠AEO＝∠ACB＝90°⌢＝CD⌢∴AD∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8AC＝4∴AE＝12设⊙O的半径为r∵DE＝2∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2∴16+（r﹣2）2＝r2解得：r＝5∴AB＝2r＝10在Rt△ACB中，BC＝√AB2−AC2＝√102−82＝6∴BC的长为6.15．（1）证明：连接OC∵AC平分∠FAB∴∠FAC＝∠CAO∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC∵CD⊥AF∴CD⊥OC∵OC为半径∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于EAF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°∴AE＝EF＝12∴四边形OEDC为矩形∴CD＝OE＝3，DE＝OC设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r∴AE＝9﹣r∵OA2﹣AE2＝OE2∴r2﹣（9﹣r）2＝32解得r＝5.∴⊙O半径为5.16．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB∴DE=EC=4在Rt △OEC中，∵OC2=OE2+EC2∴R2=(R−2)2+42解得R=5．（2）解：连接AD∵弦CD⊥AB̂ = AĈ∴AD∴∠ADC=∠AGD∵四边形ADCG是圆内接四边形∴∠ADC=∠FGC∴∠FGC=∠AGD．17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C⌢=BE⌢∴CD⌢=CE⌢∴BD∴BD=CE；（2）解：连接OD、OE∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60°∴∠COD =120°∴∠COD +∠BOE =∠COE +∠DOE +∠BOD +∠DOE =240° ∴∠DOE =240°−180°=60°∵BC =4∴⊙O 的半径为 2∴DE ⌢ 的长 =60π×2180=2π3 .18．（1）解：AC 与⊙O 的相切，理由如下∵AO =DO∴∠D =∠OAD∵CF =CA∴∠CAF =∠CFA又∵∠CFA =∠OFD∴∠CAF =∠OFD∵OD ⊥BC∴∠OFD +∠ODF =90°∴∠CAF +∠OAF =90°∴OA ⊥AC∵OA 是半径∴AC 是⊙O 的切线∴ AC 与⊙O 的相切；（2）解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．。

中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习

中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径】3、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】5、垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .（2）推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别几何语言：∵在圆O中，_______∴ , .∵在圆O中，________∴ , .∵在圆O中，________∴ , .【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例1、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 8例2、绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB 为_________考点二：圆心角定理例3、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°例4、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为____________对应训练2．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）．A．55° B．60°C．65° D．70°考点三：圆周角定理例5、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P 是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．例6、如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于_____________对应训练6、△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．考点四：圆内接四边形的性质例3 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．3对应训练【聚焦中考】1．如图，AB是的直径，C是上一点，AB=10，AC=6，，垂足为D，则BD的长为（A）2 （B）3 （C）4 （D）62．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）． A． B． C． D．3．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.4．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120° D．140°6．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=______7．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A. 135°B. 122.5°C. 115.5°D.112.5°8．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D. BC＝2AD.9．如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．10．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．11．AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,连接AC交圆O于点D,E为弧AD上一点,连接AE、BE，BE交AC于点F，且AF²=EF.EB（1）求证：CB=CF （2）若点E到弦AD的距离为1，cos角C=3/5，求圆O的半径12．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．【备考真题过关】一、选择题1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为__________2．如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（）A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化3．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．3 D．44．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．205．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BE B．C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为．10．如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．111314．如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；15．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是．三、解答题16．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）17．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．18．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．。

2023年春九年级数学中考高分复习圆综合压轴解答题专题训练原卷版

2023年春九年级数学中考高分复习圆综合压轴解答题专题训练原卷版1．如图，⊙O为正△ABC的外接圆．（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线⊙O于点D．（2）过点D作⊙O的切线DE，交AB的延长线于点M．①求证：AC∥DE．②连接OM，若AM＝2，求⊙O的半径．2．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH．（1）延长AB到圆外一点P，连接PC，若PC2＝PB•P A，求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CF•AE＝AC•BC；（3）若＝，⊙O的半径是，求tan∠AEC和OH的长．3．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD．（1）如图1，求证：点A到∠C两边的距离相等；（2）如图2，已知BD与AC相交于点E，BD为⊙O的直径．①求证：tan∠CAD＝；②若∠CBD＝30°，AD＝，求AE的长．4．如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠ADB＝90°，P为线段BD上一点，以PD为直径作圆分别交线段CD，AP于点E，F，延长AP交直线BC于点G，连接DF，EF，EP．（1）当∠DEF＝45°时，求证：＝．（2）当BG＝2时，求tan∠FEP的值．（3）①当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求DP的长．②记线段EF交BD于点Q，若＝，则BG的长为．5．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切：（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD＝OD，求EC的长．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上（不与点B、D重合），以O为圆心，以OB为半径作圆O交BD于点E．（1）sin∠ABD＝；（2）若圆O经过点A，求圆O的面积；（3）若圆O与△ACD的边所在直线相切，求OB的长．7．如图1，AB为⊙O的直径，C为弧BE的中点，AD和过点C的直线相交于D，交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F，DE＝CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，交BE于点P，若EP＝2，CD＝3，求直径AB的长；（3）猜想AE、AB和AD之间的数量关系，并证明．8．如图1，在⊙O中，点H是直径AB上的一点，过H点作弦CD⊥AB，点E 是的中点，过点E作BD的平行线交DC延长线于点F，连接BE，交CD 于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：BD+EF＝DF；（3）如图2，连接DE，若＝k，则当k为何值时，线段DE＝EF？9．如图1，点C在以AB为直径的⊙O上，P是AB延长线上一点，∠PCB＝∠P AC，过点C作CE⊥AB，垂足为D，交⊙O于点E．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若点D是P A的中点，求∠P的度数；（3）如图2，过点B作BM∥PC交⊙O于点M，交CD于点N，连接AM．若tan∠P＝，CN＝5，求AM的长．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点A在直线l上，AD与直线l相交所成的锐角为60°，点P在直线上l，AP＝8，过点作EF⊥l，垂足为点E，且与点P重合，EF＝6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任意一点．（1）连接AM，求线段AM的最大值；（2）矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点F落在边AD上时，求半圆O与矩形ABCD重合部分的面积S；（3）在平移过程中，当半圆O与矩形ABCD的边相切时，求平移的距离．（参考数据：tan75°≈2+，结果保留根号）11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD．（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论；（2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF；（3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积．12．李老师在上课时的屏幕上有如下内容：如图，AB是⊙O的直径，点C为弧BD的中点，连结AC交BD于点E，CE ＝1，，老师要求同学们在矩形方框中添加一个条件和结论后，编制成一道完整的题目，并解答．（1）李老师在方框中添加的内容是“BE＝3，求AB的长”，请你解答；（2）以下是小童和小诗的对话：小童：我加的内容是“BE＝3，连结CD，求CD的长”．小诗：我加的内容是“sin∠CBE＝，连结OC，求tan∠ABD的值”．请你帮小诗完成解答：（3）参考第（1）题中李老师添加的内容及第（2）题中的对话，写出你想添加的内容（可以添线添字母，但所添内容不能与（1）、（2）中的内容相同），编制成一道完整的题目，并解答．13．已知，如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上动点，E是△ABD 外接圆⊙O上的点，且，连结DE，BE．（1）求证：CD＝BE；（2）如图2，当AE∥BC时．①求证：AC是⊙O的切线；②若AC＝15，BC＝18，求⊙O的半径．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．（1）求证：AF＝BC；（2）如果AB＝3AF，求的值；（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．15．如图1，已知AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AD，BC，相交于点E，连接OE并双向延长，交CD于点F，交⊙O于点P，点Q．（1）如图2，当AB∥CD时，且OE＝3，EF＝2时，求⊙O的半径；（2）如图3，当AB与CD不平行（假设∠ABC＜∠DAB），过点F作AB的平行线，交BC的延长线于点M，交AD于点N．①求证：△MCF∽△DNF；②若OE＝4，EF＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）②的条件下，连接AC，BD．若∠DEB＝45°，求四边形ACDB的面积．16．若四边形的一组对角α，β，满足∠α+∠β＝180°，我们把这个四边形称为可衍生四边形，∠β为二倍角．（1）如图1，在四边形ABCD中，AD⊥CD，∠A＝130°，当四边形ABCD 为可衍生四边形，且∠C为二倍角时，求∠B的度数；（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点E是圆上一点，连结并延长CE，AD交于点F，延长CD，BA交于点G，CD•DG＝AD•DF，求证：四边形ABCF 是可衍生四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，EG，若CD是⊙O的直径，AF⊥EG，AG＝5AB，求sin∠F AG的值．17．【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角．比如图1中，∠APC、∠BPD 是圆内角，所对的弧分别是、，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？【问题解决】小明想到了将∠APC转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角．解：连接BC，OA，OC，OB，OD．如图2，在△PBC中，∠APC＝∠PBC+∠PCB∵∠PBC＝∠AOC，∠PCB＝∠BOD∴∠APC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）即：∠APC的度数＝（的度数+的度数）（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若的度数是60°，的度数是80°，则∠APD的度数是．【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角的大小呢？（2）如图3，点P是⊙O外一点，点A、点C在圆上，连接P A、PC，分别与⊙O相交于点B、点D，试探索∠APC的度数与、度数之间的关系，并说明理由．【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题．（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（﹣，1）在⊙O上，点B、点C 是线段OM上的两个动点，且AB＝AC，延长AB、AC分别与⊙O相交于点D、E，延长DE交y轴于点F，试探究∠F的度数是否变化，如果不变，请求出它的度数．18．定义：过三角形的一个顶点作该三角形的高线和角平分线，这两条线段所夹的角称为该三角形的珍珠角．（1）如图1，∠DAE是△ABC的珍珠角，∠B＝α，∠C＝β，α＞β，请用α和β表示∠DAE．（2）如图2，△ABC中，∠BAC＞∠B＞∠C，以AC为直径作⊙O交BC于点D，点F在上，AF交DC于点E，∠FDC＝∠BAE．求证：∠DAE是△ABC的珍珠角．（3）在（2）的条件下，如图3，连接OD，交AE于点G，OG＝AB．若GF＝m，BD＝n，求BC的长（用含m，n的式子表示）．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为（26，0），（0，26）．以AB为直径作⊙P，点C在直径AB上，且AC＝a，点Q为⊙P上一动点．（1）若a＝6，如图1，①求点C的坐标．②若CQ∥y轴，求点Q的坐标．（2）若a＝5，如图2，点D在弦OA上，△QCD是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求点Q的坐标．20．问题提出：（1）如图①，正方形ABCD内有一以BC为直径的半圆O，请通过画图在半圆O上找一点E，使得E到AD的距离最小．问题探究：（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点E为AB边上一点，BE＝3AE，且∠CEF＝45°，求CF的长．问题解决：（3）如图③，十四届全运会场馆外有一不规则区域．其中，AD∥BC，弧CD 所对的圆心角为60°，AE是区域内一条笔直的小路，即AE⊥BC于点E．组委会计划将本区域设计成为一个休闲娱乐区，规划在AB边上确定一点M作为一个入口，在AE、弧CD上分别确定点N、P，将△PNE修建成花园．为保持美观且节约成本，要求∠EMN＝90°，且△PNE面积最小．已知AB＝130m，BE＝50m，AD＝CE＝150m，求△PNE面积的最小值．。

2025年九年级中考数学复习专题六圆

2025年中考数学复习专题六圆A 诊断练考点1 圆的基本性质1.如图,在⊙O 中,弦AB的长为8,圆心 O 到AB 的距离OE=4,则⊙O的半径长为 ( )A.4B.4√2C.5D.5√22.如图,CD 是⊙O 的直径,点A,B 在⊙O 上. 若AC=BC,∠AOC=36°,则∠D= ( )A.9°B.18°C.36°D.45°3.如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，若∠BEC=20°,则∠ADC的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°4.如图,⊙O 的直径AB平分弦CD( 不是直径). 若∠D = 35°, 则∠C =°.5.如图，AB是半圆的直径,AC是一条弦,D 是AC的中点,DE⊥AB于点 E,交 AC 于点 F,DB 交 AC 于点 G,连接AD，给出下面四个结论：①∠ABD=∠DAC;②AF=FG;;③当DG=2,GB=3时,FG=√142̂=2AD̂,AB=6时，△DFG的面积√3上述结论中，正确结论的序号有 .④当BD考点2 与圆有关的位置关系6.如图,⊙O 中,弦AB 的长为√3,点 C在⊙O 上,OC⊥AB,∠ABC30°.⊙O所在的平面内有一点 P,若OP=5,则点 P与⊙O 的位置关系是 ( )A.点 P在⊙O上B.点 P在⊙O内C.点P在⊙O外D.无法确定7.如图,以AB 为直径的⊙O与AC相切于点 A，以AC 为边作平行四边形ACDE,点 D,E 均在⊙O 上,DE 与AB交于点F,连接CE,与⊙O交于点 G,连接 DG. 若 AB = 10,DE = 8,则 AF = ,DG=.8.如图,⊙O 是△ABC的外接圆，D 是直径AB 上一点，∠ACD 的平分线交AB 于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE.(1)求证:CD⊥AB;(2)设FM⊥AB,垂足为M.若OM=OE=1,求AC的长.9.如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC=10,过点A作AE∥BC,交⊙O 的直径 BD的延长线于点 E，连接CD.(1)求证:AE 是⊙O 的切线;,求 CD 和DE 的长.(2)若tan∠ABE=12考点3 与圆有关的计算10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ( )A.43π−√3B.43πC.23π−√3D.43π−√3411.已知圆锥的底面圆半径为 4，母线长为 5，则圆锥的侧面积为 .12.铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO 的内心，若.AB=2√3,则花窗的周长 ( 图中实线部分的长度 ) = .(结果保留π)B 考点突破练考点4 圆的基本性质基础考向1 弧、弦、圆心角的关系1.如图,AB是⊙O 的直径，BC=CD,∠COD=52°,,则∠AOD 的大小为 .2.如图,在⊙O中,AB̂=CD,有下列结论:①AB = CD;②AC = BD;③∠AOC=∠BOD;④AĈ=BD̂,其中正确的是 (填序号).考向2 垂径定理及其推论3.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OB 交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 ( )A.5B.4C.3D.24.如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB 的距离为4 cm，则水面AB的宽度为 cm.考向3 圆周角定理及其推论5.如图,在⊙O 中,弦AB,CD 相交于点 P,若∠A= 48°,∠APD=80°,则∠B的度数为( )A.32°B.42°C.48°D.52°6.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC,BD 为对角线,BD 经过圆心 O. 若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°7.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 .8.如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦，∠BCD 的平分线交⊙O 于点E,AD,BE 的延长线交于点 F.(1)若∠BAD=70°,求∠ABE 的度数. (2)求证:AB=AF.考向4 圆内接四边形9.如图，圆内接四边形ABCD 中,∠BCD = 105°,连接 OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD 的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°10.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BC∥AD,AC⊥BD. 若∠AOD =120°,AD √3 则∠CAO 的度数与 BC 的长分别为 ( )A.10°,1B.10°， √2C.15°,1D.15°， √211.如图,四边形ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 CD 的延长线上. 若∠ADE=70°,则∠AOC= °.12.如图，四边形AB-CD 内接于 ⊙O,连接 AC,BD, ∠ABD =∠ADC,过点D 作DP∥AB,交⊙O 于点M,交BC 的延长线于点 P. (1)求证:BP=BD;诊断区检测区突破区,AB=10,求 CP 的长.(2)若cos∠ABD=2513.下列说法中正确的个数是 ( )①同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.A.1B.2C.3D.4提升1.如图，已知点A,B,C,D都在⊙O上,OB⊥AC,BC=CD,下列说法错误的是 ( )̂=BĈ B.∠AOD=3∠BOCA.ABC. AC=2CDD. OC⊥BD2.如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=√3,则OC( )A.1B.2C.√3D.43.在半径为2的⊙O中,弦AB的长度为2,点C 为⊙O上异于A,B两点的一个动点,则∠BCA=°.,E,F 分别为AC,BC的中点，弦EF 分别4.如图,AB 为半圆O的直径，C为半圆上一点且sin∠CAB=35交AC,CB 于点 M,N. 若MN=3√2,则 AB =5.如图,OA,OB,OC都是⊙O 的半径,∠ACB=2∠BAC.(1)求证:∠AOB=2∠BOC;(2)若AB=4,BC=√5，求⊙O的半径.6.如图,以△ABC的边AC为直径作⊙O,交 BC 边于点 D,过点 C 作CE ∥AB 交⊙O 于点 E, 连接AD, DE,∠B=∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若 tan B=2,CD=3,求AB 和DE 的长.7.如图，在扇形 AOB 中,OA=8,点 C 在半径 OA 上,将△BOC沿BC翻折,点 O 的对应点 D 恰好落在弧 AB 上,再将弧 AD 沿着 CD 翻折至弧A₁D(点A₁是点A的对应点),那么 OA₁的长为 .考点5 与圆有关的位置关系基础考向1 点、直线和圆的位置关系1.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P 到直线l的最大距离是 ( )A.2B.5C.6D.82.已知平面内有⊙O 和点A,B,若⊙O 的半径为3 cm,线段OA=4cm,OB=3cm,则直线AB与⊙O的位置关系为 ( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD 是AB 边上的高,AB=4，若圆C是以点 C 为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是 ( )A.点 D 在圆 C 上,点 A,B 均在圆C外B.点 D 在圆 C 内,点 A,B 均在圆C外C.点A,B,D 均在圆C外D.点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上考向2 切线的性质及判定4.如图,AC 是⊙O 的切线,B 为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=√3,BC=3则OC的长度是( )A,3 B.√3C√13 D.65.如图,AB 切⊙O 于点B,连接OA交⊙O 于点C,BD∥OA交⊙O 于点D.连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )A.25°B.35°C.40°D.45°̂上. 已知∠A = 50°, 6.如图,点 A 是⊙O 外一点,AB,AC分别与⊙O 相切于点 B,C,点 D 在BDC则∠D 的度数是 .7.如图,已知△ABC 内接于⊙O,CO 的延长线交AB 于点 D,交⊙O 于点E,交⊙O 的切线AF于点F,且AF∥BC.(1)求证:AO∥BE;(2)求证:AO 平分∠BAC.∠A,点O在BC上，以点O为圆心的8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是 AB 上一点,且∠BCD=12圆经过C,D两点.(1)试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；,⊙O的半径为3，求AC的长.(2)若sinB=35考向3 三角形的外接圆与内切圆9.如图,点O 是△ABC外接圆的圆心，点I 是△ABC 的内心，连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.25°10.如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点皆在格线的交点上.今在此方格纸格线的交点上另外找两点 B，C,使得△ABC 的外心为 O,求 BC 的长度（）A.4B.5C.√10D.√2011.如图，⊙O是锐角三角形 ABC 的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为 D,E,F,连接 DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC 的周长为21,则EF 的长为 ( )A.8B.4C.3.5D.312.如图,△ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB 分别相切于点 D,E,F,若⊙I的半径为r,∠A=α,则(BF+CE-BC)的值和∠FDE 的大小分别为 ( )A.2r,90°-αB.0,90°-αC.2r,90∘−α2D.0,90∘−α213.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6),(-3,3),(7,-2),则△ABC 内心的坐标为 .14.在同一平面内，点P不在⊙O上，若点P到⊙O上的点的最大距离是11，最小距离是5，则⊙O的半径是 .提升1.已知点A在半径为3的圆O 上，如果点 A 到直线a 的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.以上答案都不对2.已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为 ( )A.4πB.8πC.12πD.16π3.如图,在四边形AB-CD中,AB∥CD,AD⊥AB,以 D 为圆心,AD 为半径的弧恰好与 BC 相切，切点为E.若ABCD =13,则 sin C的值 ( )A 23 c 344.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD 是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A ，D 时，恰好与 BC 边相切，则此餐盘的半径等于 cm.5.如图，在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),P(-1,0),⊙P 过原点O ，且与x 轴交于另一点D ，AB 为⊙P 的切线,B 为切点,BC 是⊙P 的直径,则∠BCD 的度数为 °.6.如图,在△ABC 中,AB=BC,以BC 为直径作⊙O 与AC 交于点D,过点 D 作DE⊥AB,交CB 延长线于点 F,垂足为点 E.(1)求证:DF 为⊙O 的切线;(2)若 BE =3,cosC =45,求 BF 的长.B.√53D.√747.如图，分别过矩形ABCD的四个顶点作其内部的⊙O 的切线，切点分别为E，F，G，H，若AE = a,BF = b, DH = c, 则 CG 的长为 .(用含a,b,c的代数式表示)考点6 与圆有关的计算基础考向1 圆内接正多边形的计算1.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD= ( )A.60°B.54°C.48°D.36°2.如图,点 P₁~P₈是⊙O 的八等分点.若△P₁P₃P₇,四边形 P₃P₄P₆P₇的周长分别为a，b，则下列正确的是( )A. a<bB. a=bC. a>bD. a，b大小无法比较考向2 弧长与扇形面积的计算3.圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为 ( )A.2πB.3π C32D.12π4.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于 ( )A.πB.3πC.2πD.2π−√35.马面裙(图(1))，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一.将图(1)中的马面裙抽象成数学图形，如图(2)中的阴影部分所示，AD 和BC所在圆的圆心均为点O，且点A在 OB 上,点 D 在 OC 上,若OA=AB=6 dm,OA⊥OD，则该马面裙裙面(图(2)中阴影部分)的面积为 ( )A.36πdm²B.27πdm²C.18πdm²D.12πdm²6.如图，在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,E为BC的中点,连接AE，DE.以E为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积和是 (结果保留π).考向3 圆锥的有关计算7.如图,用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的高是.8.如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为 100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm².9.如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm ，母线长为50cm ，则烟囱帽的侧面积为 cm².(结果保留π)10.如图,在△ABC 中,AC=3,AB=4,BC 边上的高AD=2,将△ABC 绕着BC 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 .考向4 与圆有关的阴影部分面积11.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点 D ，则图中阴影部分的面积是( )A.5√3−√33π B.5√3−4πC.5√3−2πD.10√3−2π12.如图,矩形ABCD 内接于⊙O,分别以AB,BC,CD,AD 为直径向外作半圆.若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是 ( )检测区突破区A.414π−20B.412π−20C.20πD.2013.如图,Rt△BCO中,∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=4cm,将△BCO绕点 O逆时针旋转至△B'C'O,点 C'恰好落在 BO 延长线上，则边 BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ( )A.πcm²B.(π+√3)cm2C.4πcm²D.(4π+√3)cm214.如图，点B在半圆O 上,直径AC=12,∠BAC=40°,则图中阴影部分的面积为(结果保留π).15.如图,△ABC的周长为20,⊙O 的半径为1,⊙O从与AB 相切的切点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形的边无滑动滚动，当滚动一周又回到点 D 的位置时，⊙O的圆心O运动的长度 (填“>”“=”或“<”)三角形的周长，运动长度为 .提升1.如图，正六边形AB-CDEF内接于⊙O,点P在AB上,点Q是DÊ的中点，则∠CPQ的度数为 ( ) A.30° B.45° C.36° D.60°2.如图,正六边形AB-CDEF的外接圆⊙O 的半径为2，过圆心 O 的两条直线l₁，l₂的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为 ( )A.43π−√3B.43π−√32C.23π−√3D.23π−√323.如图，已知点 C 为圆锥母线 SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ( )A.5B.√3C.3√2D.2√34.如图,在▱ABCD中,AB=√3+1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=√3.以点 A 为圆心，AH 长为半径画弧，AB,AC,AD 分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₁；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₂，则r₁−r₂=.(结果保留根号) 5.如图,在△ABC 中,AB=4,∠C=64°,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点 D,E 为ABD̂上一点,且∠ADE=40°.(1)求BÊ的长；(2)若∠EAD=76°, 求证:CB为⊙O 的切线.6.将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图(1)，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图(2)，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图(2)中(1)∠α= 度;(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为 (结果保留根号).C 检测验收练一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图,AB是⊙O 的直径,∠E=35°,则∠BOD= ( )A.80°B.100°C.120°D.110°2.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB 的垂直平分线 CD 交AB于点D,交AB 于点 C,测出AB=40 cm, CD=10cm，则圆形工件的半径为 ( )A.50cmB.35 cmC.25 cmD.20cm3.刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式. 如图,Rt△ABC 中,∠C =90°, AB,BC,CA 的长分别为c,a,b.则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC 的内切圆直径d，下列表达式错误的是 ( )A. d=a+b-cB.d=2aba+b+cC.d=√2(c−a)(c−b)̅̅̅̅̅̅̅̅̅ D. d=|(a-b)(c-b)|4.如图，两个半径长均为 1 的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形 CFD 的圆心 C 是弧 AB的中点,且扇形 CFD 绕着点 C 旋转,半径 AE,CF交于点G，半径BE，CD交于点 H，则图中阴影部分的面积等于 ( )A.π2−1B.π2−12C.π-1D.π-2二、填空题(每小题5分，共30分)5.如图，AB 是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在 AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1+∠2+∠3+∠4=°.6.如图,四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD内部，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点P,连接 OA,OB. 若∠AOB = 140°,∠BCP =35°,则∠ADC 的度数为 .7.[2024 浙江杭州校级二模]如图，正六边形AB-CDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则劣弧BG 所对圆周角的度数为 .8.如图,△ABC 内接于⊙O,点 O 在AB上,AD 平分∠BAC 交⊙O 于D,连接BD.若AB=10,BD=√5,则BC的长为 .9.如图，在边长为6的正六边形 ABCDEF中,以点 F为圆心,以 FB 的长为半径作BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这.个圆锥的底面半径为 .̂的圆心10.如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA₁B₁C₁D₁A₂B₂…叫做“正方形的渐开线”，其中DA1为点A,半径为AD;A₁B₁的圆心为点B，半径为BA₁;B₁C₁的圆心为点C，半径为(CB₁;C₁D₁的圆心为点 D，半径为DC₁;……,DA₁,A₁B₁,B₁C₁,C₁D₁,…I的圆心依次按A,B,C,D 的顺序循环,当AB=1时,的长是 .三、解答题(11 题 10 分,12 题 12 分, 13 题13分,14题15分,共50分)11.日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，如图(1)所示. 小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察探究.(1)探究1：如图(2)，日晷的平面是以点O为圆心的圆，直线l是日晷的底座，OA⊥l于点A,与⊙O交于点B,点P在⊙O 上,OP 为某一时刻晷针的影长，PB的延长线与直线l交于点 C.连接A P,当AP=AC时,求证:AP与⊙O相切.(2)探究2：当小东观察到影长OP 落在图(3)所示位置时，连接AP，交⊙O 于点D,若∠POD=90∘,OA=√10,AD=√2,求⊙O的半径.12.已知△AOB 中,∠ABO =30°,AB为⊙O 的弦,直线MN与⊙O 相切于点 C.(1)如图(1),若AB∥MN,直径 CE 与 AB 相交于点 D,求∠AOB 和∠BCE的大小;(2)如图(2),若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB 相交于点 F,OA=3,求线段 OF的长.13.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点 D,交AC于点 E,过点 D 作DF⊥AC 于点 F,FD 的延长线交AB 的延长线于点 G.(1)若AB=10,BC=12,求△DFC的面积;(2)若 tan C=2,AE=6,求 BG的长.14.如图(1),O 是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O 与AD 相切于点E，与AC 相交于点 F.(1)求证:AB 与⊙O 相切;(2)若正方形ABCD 的边长为√2+1,求⊙O的半径；̂于点 N.(3)如图(2),在(2)的条件下,若点 M是半径OC 上的一个动点,过点 M 作MN⊥OC 交CE当CM:FM=1:4时,求CN的长.。

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52，即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第6章圆微专题7 圆中最值及隐圆问题

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究
微专题七
圆中最值及隐圆问题
类型 11
点圆最值
已知平面内一定点D和⊙O，点E是⊙O上一点，当D，O，E三点共线时，线段
已知条件
DE有最大(小)值(依据：直径是圆中最长的弦)，设点O与点D之间的距离为d，
⊙O的半径为r
位置关系
点D在⊙O内
点D在⊙O上
点D在⊙O外
2π
△A′BC′.若BC＝6，则点C运动的路径长为____．
思路点拨
第一步：依据特征找模型
特征1：是否存在一定点和一动点(定
点：点B，动点：点C)
特征2：连接定点和动点的线段长度是
否固定(BC＝6 )
第二步：抽离模型
第三步：模型应用
以点B为圆心，BC长为半径作圆，
෢
点C′在’上.
例 2 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，
(1)点A，B，C，D在同一个圆上，AB为⊙O的直径；
(2)圆内接四边形的对角互补
例 5 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，BD，若AC＝2，∠BCD＝
135°，则BD的长为( A )
A． 2
B．2 2
C． 3
D．2 3
9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于
A．1.5
B．1.2
C．2.4
D．以上都不对
类型 31
已知条件
定点定长作隐圆
平面内，O为定点，B为动点，且OB长度
OA＝OB＝OC
固定
类型
一点作圆
三点作圆
图示
结论
点B的轨迹在以点O为圆心，OB长为半径

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案一、选择题1．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是（）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．√3cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°，则∠ADC 等于（）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°3．如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC ，连接BC ，与⊙O 交于点D ，E 是⊙O 上一点，连接AE ，DE ．若∠C =48°，则∠AED 的度数为（）A ．42°B ．48°C ．32°D ．38°4．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝2√3，∠A ＝30°，则CD⌢的长度为（）A ．πB ．23πC ．√23πD ．2π5．如图，⊙O 的半径为9，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B 若P =60∘，则AB⌢的长为（）A ．133πB ．136πC ．6πD ．52π⌢的中点，点E是BC⌢上的一点，若∠ADC=110°，则∠DEC 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是AC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°7．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．√3B．3 C．2√3D．√68．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π−4D．2π−2√2二、填空题9．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= °．10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5√2cm，则⊙O的半径R为11．如图，秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面(CD)0.5m．一名小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面(BE)2m(左右对称)，则该秋千从B荡到A经过的圆弧长为m．12．如图，已知⊙O上三点A，B，C，切线PA交OC延长线于点P，若OP＝2OC，则∠ABC＝．13．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为.三、解答题14．如图.为的直径，连接，点E在上，AB=BE.求证：（1）平分；（2）.15．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC=2∠PAC；（2）连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD=6求BE的长．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F=∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB=8，CF=2求AC的长．18．如图，在中，AB=AC以为直径的分别与、相交于点D、E，连接过点作，垂足为点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为4，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B2．B3．A4．B5．C6．A7．B8．C9．4010．511．2π12．30°13．9√3−3π14．（1）证明：∵∴∴∴平分（2）证明：∵∠BAD=∠DAC∴∴由（1）知∴∴∠ABC=∠ECB∴AB∥CE.15．（1）证明：过O作OH⊥AC于H∴∠OHA=90°∴∠AOH+∠OAC=90°∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OAC+∠PAC=90°∴∠AOH=PAC∵OA=OC∴∠AOC=2∠AOH∴∠AOC=2∠PAC；（2）解：连接OB，延长AC交PB于E∵PA，PB是⊙O的切线∴OB⊥PB，PA=PB∵AC//OB∴AC⊥PB∴四边形OBEH是矩形∴OH=BE，HE=OB=5∵OH⊥AC，OA=OC∴AH=CH=12AC=3∴OH=√OC2−CH2=4∴BE=OH=4，AE=AH+HE=8∵PA2=AE2+PE2∴PA2=82+(PA−4)2∴PA=10．16．（1）证明：∵BE=EF∴∠EBF=∠EFB∵∠CFD=∠EFB∴∠EBF=∠CFD∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵AE⊥OC∴∠OCB+∠CFD=90°∴∠OBC+∠EBF=90°=∠ABE∴AB⊥BE∵AB是⊙O的直径∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10∴OA=OB=OC=10∴AB=20∵AE⊥OC∴∠ADO=90°∴在Rt△ADO中AD=√AO2−DO2∵OD=6∴AD=√AO2−DO2=√102−62=8∵结合（1），可知∠ABE=∠ADO=90°，∠BAE=∠DAO ∴△ADO∽△ABE∴BEAB =DOAD，即BE=DOAD×AB∵AD=8，AB=20，DO=6∴BE=DOAD ×AB=68×20=15即所求的值为15．17．（1）证明：∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∴∠ODF=90°∴∠F+∠DBC=90°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∴∠BAC+∠DAC=90°∵∠DBC=∠DAC∴∠F=∠BAC；（2）解：连接CD∵DF∥AC，∠ODF=90°∴∠BEC=∠ODF=90°∴直径BD⊥AC于E∴AE=CE=12AC∴AB=BC=8∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°∴∠DBC+∠BDC=90°∵∠DBC+∠F=90°∴∠BDC=∠F∵∠BCD=∠FCD=90°∴△BCD∽△DCF∴BCDC =DCCF，即8DC=DC2∴DC=4∴BD=√BC2+CD2=√82+42=4√5∵在△BCD中SΔBCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE∴12×8×4=12×4√5⋅CE∴CE=85√5∴AC=2CE=165√5．18．（1）证明：连接．是的直径．又AB＝AC∴D是BC的中点．连接；由中位线定理，知又．是的切线；（2）解：连接的半径为。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

2024中考数学模型复习专题与圆有关的最值(含隐圆)问题强化训练(含答案)

2024中考数学模型复习专题与圆有关的最值(含隐圆)问题强化训练类型一点圆最值1. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，P A⊙PB，且P A，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为() A. 3 B. 4 C. 6 D. 8第1题图2. 如图，在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝6，BC＝2 3 ，半径为1的⊙O在Rt⊙ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________．第2题图类型二线圆最值3.如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan ⊙BOD的值是()A. 2B. 3C. 4D. 5第3题图4. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，⊙ACB ＝60°，则⊙ABC面积的最大值为()第4题图A. 6 3B. 12 3C. 18D. 205. 如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 3 ，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．第5题图类型三定点定长作圆6. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C 重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A. 2B. 52 C.3 D. 10第6题图7.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足⊙MPN＝45°的⊙PMN中，边PM的长的最大值是()第7题图A. 4 2B. 6C. 210D. 3 58. 如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将⊙ABE沿BE翻折得到⊙FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是________．第8题图9. 如图，在⊙ABC中，⊙BAC＝30°，⊙ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动．连接CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连接A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是________；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为________．第9题图类型四定弦定角(含直角对直径)10. 如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝2 3 ，BC＝3.点P为⊙ABC内一动点，且满足P A2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，⊙ACP的面积是()第10题图A. 3B. 33C. 334 D.33211. (2022泰安)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，⊙ADM＝⊙BAP，则BM的最小值为()A. 52B. 125C. 13 －32D. 13 －2第11题图12. 如图，在边长为6的等边⊙ABC 中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE ＝CF ，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为________．第12题图13.如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接CF ，DF ，且⊙ADF ＝⊙DCF ，点E 是AD 边上一动点，连接EB ，EF ，则EB ＋EF 长度的最小值为________．第13题图类型五阿氏圆14. 如图，在Rt⊙ABC 中， AB ＝AC ＝4, 点E ，F 分别是AB , AC 的中点，点P 是扇形AEF的EF 上任意一点，连接BP , CP ，则12BP ＋CP 的最小值是________．第14题图15. 如图，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，点P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为________．第15题图16. 如图，正方形ABCD 的边长为4，内切圆记为⊙O ，P 为⊙O 上一动点，则 2 P A ＋PB 的最小值为________．第16题图参考答案与解析1. C 【解析】如解图，连接PO ，∵P A ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵AO ＝BO ，∴AB ＝2PO ，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ′，当点P 位于P ′位置时，OP 取得最小值，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ，则OQ ＝3，MQ ＝4，∴OM ＝5，又∵MP ′＝2，∴OP ′＝3，∴AB ＝2OP ′＝6.第1题解图2. 27 ＋1 【解析】如解图，当⊙O 与AB ，BC 边相切时OA 最大．设⊙O 与AB 边的切点为M ，连接OM ，OA ，OB ，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝23 ，∴AB ＝43 ，∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠OBA ＝12∠ABC ＝30°，在Rt △OBM 中，OM ＝1，∴BM ＝3 ，∴AM ＝AB －BM ＝33 ，在Rt △AOM 中，AO ＝AM 2＋OM 2 ＝27 ，此时点A 到⊙O 上的点的最大距离为27 ＋1.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接AB ，过点P 作PE ⊥BO ，并延长EP 交⊙P 于点D ，此时点D 到弦OB 的距离最大，∵A (8，0)，B (0，6)，∴AO ＝8，BO ＝6，∵∠BOA ＝90°，∴AB ＝AO 2＋BO 2 ＝82＋62 ＝10，则⊙P 的半径为5，∵PE ⊥BO ，∴BE ＝EO ＝3，∴PE ＝52－32 ＝4，∴ED ＝9，∴tan ∠BOD ＝ED EO＝3.第3题解图4. B 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为点D ，延长DO 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则AE ＝BE ，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12AB ·h ，易得当点C 与点E 重合时，h 取得最大值，即DE 的长，此时△ABC 的面积也取得最大值，即△ABE 的面积．∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°，∴△ABE 为等边三角形，∴∠EAB ＝∠AEB ＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD ＝12OA ＝2，AD ＝23 ，∴AB ＝2AD ＝43 ，DE ＝OE ＋OD ＝4＋2＝6.此时S △ABE ＝12 AB ·DE ＝12×43 ×6＝123 .第4题解图5. 3 【解析】如解图，连接QC 和PC ，过点C 作CH ⊥AB 于点H .∵PQ 和⊙C 相切，∴CQ ⊥PQ ，即△CPQ 始终为直角三角形，CQ 为定值，∴当CP 最小时，PQ 最小．∵△ABC 是等边三角形，∴当CP ⊥AB 时，CP 最小，此时点P 与点H 重合，∵AB ＝BC ＝AC ＝4，∴AH ＝BH ＝2，∴CH ＝AC 2－AH 2 ＝23 ，∴CP 的最小值为23 ，∵⊙C 的半径CQ ＝3 ，∴PQ ＝CP 2－CQ 2 ＝3.第5题解图6. A 【解析】如解图，连接AM ，AC ，∵点B 和点M 关于AP 对称，∴AB ＝AM ＝3，∴点M 在以点A 为圆心，3为半径的圆弧上，∵AC ＝32＋42 ＝5，AM ＝AB ＝3，∴CM ≥AC －AM ＝5－3＝2，即MC 的最小值为2.第6题解图7. C 【解析】如解图，取格点O ，连接OM ，ON ，易得OM ＝ON ＝10 .又∵MN ＝42＋22 ＝25 ，∴OM 2＋ON 2＝MN 2，即△OMN 为等腰直角三角形．以O 为圆心，OM 长为半径作圆．∵∠MPN ＝45°，∴点P 在优弧MN 上．延长MO 交⊙O 于点P ，连接PN ，易知P 为格点，则此时PM 取最大值，PM 最大＝210 .第7题解图 8. 55 －5 【解析】如解图，∵BA ＝BF ＝BC ，∴点F 在以点B 为圆心，BA 长为半径的14圆上，∴当G ，F ，B 三点共线时，GF 最小．设AE ＝x ，则EF ＝x ，DE ＝10－x ，∵BG ＝CG 2＋BC 2 ＝55 ，∴GF ＝55 －10，连接EG ，则(10－x )2＋52＝x 2＋(55 －10)2，解得x ＝55 －5，∴AE 的长为55 －5.第8题解图9. 3＋12 ；(1＋32)π－1－3 【解析】由题意得点A ′的运动轨迹是以点C 为圆心，CA 长为半径的圆上，∵点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，∠ACB ＝45°，点A 关于直线CP 的对称点为A ′，∴∠ACA ′最大为90°.当CA ′⊥AB 时，点A ′到直线AB 的距离最大，如解图①，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，A ′C 交AB 的延长线于点F ，∵∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，AB ＝2，∴在Rt △ABE 中，BE ＝1，AE ＝3 .在Rt △BCE 中，BE ＝CE ＝1，∴CA ′＝CA ＝3 ＋1.又∵CA ′⊥AB ，∴在Rt △ACF 中，CF ＝12 AC ＝3＋12，∴A ′F ＝CA ′－CF ＝3＋12 ，即点A ′到直线AB 距离的最大值是3＋12；如解图②，当点P 到达点B 时，线段A ′P 扫过的面积为S 扇形A ′CA －2S △ABC ＝π（3＋1）24 －2×12 ×(3 ＋1)×1＝(1＋32 )π－1－3 .第9题解图10. D 【解析】∵P A 2＋PC 2＝AC 2，∴∠APC ＝90°，如解图，取AC 的中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆，连接PO ，由题意知，当B ，P ，O 三点共线时，BP 最短，∴AO ＝PO ＝CO ，∵AC ＝23 ，BC ＝3，∴CO ＝12AC ＝3 ，∴BO ＝BC 2＋CO 2 ＝23 ，∴BP ＝BO －PO ＝3 ，∴点P 是BO 的中点，∴在Rt △BCO 中，CP ＝12BO ＝3 ＝PO ，∵OP ＝OC ，∴△PCO 是等边三角形，∴∠ACP ＝60°，∴在Rt △APC 中，AP ＝CP ·tan 60°＝3，∴S △APC ＝12 AP ·CP ＝3×32 ＝332.第10题解图11. D 【解析】如解图，取AD 的中点为O ，以AD 为直径作⊙O ，连接OB ，OM ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4，∴∠BAP ＋∠DAM ＝90°，∵∠ADM ＝∠BAP ，∴∠ADM ＋∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∵AO ＝OD ＝2，∴OM ＝12AD ＝2，∴点M 的运动轨迹在以O 为圆心，2为半径的圆弧上，∵OB ＝AB 2＋AO 2 ＝32＋22 ＝13 ，∴BM ≥OB －OM ＝13 －2，∴BM 的最小值为13 －2.第11题解图12. 23 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ACB ＝60°，在△ABE和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAE ＝∠ACF AE ＝CF，∴△ABE ≌△CAF (SAS)，∴∠ABE ＝∠CAF ，∴∠BPF ＝∠P AB ＋∠ABE ＝∠P AB ＋∠CAF ＝60°，∴∠APB ＝120°，如解图，过点A ，P ，B 作⊙O ，连接CO ，PO ，AO ，BO ，OC 交AB 于点P ′，∴点P 在劣弧AB 上运动，∵AO ＝OP ＝OB ，∴∠OAP ＝∠OP A ，∠OPB ＝∠OBP ，∠OAB ＝∠OBA ，∴∠AOB ＝360°－∠OAP －∠OP A －∠OPB －∠OBP ＝120°，∴∠OAB ＝30°，∴∠CAO ＝90°.∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴CO 垂直平分AB ，∴∠ACO ＝30°，∴cos ∠ACO ＝AC CO ＝32，CO ＝2AO ，∵AC ＝6，∴CO ＝43 ，∴AO ＝23 ，在△CPO 中，CP ≥CO －OP ，∴当点P 与点P ′重合，即C ，P ，O 三点共线时，CP 有最小值，∴CP 的最小值为CO －OP ＝CO －AO ＝43 －23 ＝23 .第12题解图 13. 313 －3 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，∴∠ADF ＋∠FDC ＝90°，∵∠ADF ＝∠FCD ，∴∠FDC ＋∠FCD ＝90°，∴∠DFC ＝90°，∴点F 在以DC 为直径的半圆上运动，如解图，设DC 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形AB ′C ′D ，则点B 的对应点是B ′，连接B ′O 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，∴BE ＋EF ＝B ′E ＋EF ＝B ′F ，则线段B ′F 的长即为BE ＋EF 长度的最小值，OF ＝3，∵∠C ′＝90°，B ′C ′＝C ′D ＝CD ＝6，∴OC ′＝9，∴B ′O ＝B ′C ′2＋OC ′2 ＝62＋92 ＝313 ，∴B ′F ＝313 －3，∴EB ＋EF 长度的最小值为313 －3.第13题解图14. 17 【解析】如解图，在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT .∵P A ＝2，AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT ·AB ，∴P A AT ＝AB P A ，∵∠P AT ＝∠P AB ，∴△P AT ∽△BAP ，∴PT BP＝AP AB ＝12 ，∴PT ＝12 PB ，∴12PB ＋CP ＝PT ＋CP ≥TC ，在Rt △ACT 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4，∴CT ＝AT 2＋AC 2 ＝17 ，∴12 PB ＋PC ≥17 ，∴12PB ＋PC 的最小值为17 .第14题解图 15. 106 【解析】如解图，连接BP ，在BC 上取一点G ，使得BG ＝4，连接PG ，DG ，∵PB BG ＝64 ＝32 ，BC PB ＝96 ＝32 ，∴PB BG ＝BC PB ，∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG CP ＝BG BP ＝23 ，∴PG ＝23 PC ，∴PD ＋23PC ＝PD ＋PG ，∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，G ，P 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92 ＝106 .第15题解图16. 25 【解析】如解图，连接OP ，OB ，设⊙O 的半径为r ，则OP ＝r ＝12BC ＝2，OB ＝2 r ＝22 ，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI ＝IB ＝2 ，∵OP OI ＝22＝2 ，OB OP ＝222 ＝2 ，∴OP OI ＝OB OP ，∵∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI BP ＝OI OP ＝22 ，∴PI ＝22PB ，∴AP ＋22 PB ＝AP ＋PI ，∴当A ，P ，I 在一条直线上时，AP ＋22PB 最小，最小值为AI 的长，过点I 作IE ⊥AB 于点E ，∵∠ABO ＝45°，∴IE ＝BE ＝22 BI ＝1，∴AE ＝AB －BE ＝3，∴AI ＝32＋12 ＝10 ，∴AP ＋22 PB 最小值为10 ，∵2 P A ＋PB ＝2 (P A ＋22 PB )，∴2 P A ＋PB 的最小值是2 AI ＝2 ×10 ＝25 .第16题解图。

2025年中考数学考点分类专题归纳之圆

2025年中考数学考点分类专题归纳圆知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.备注：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.备注：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.4．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.备注：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.备注：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A1，A2……A n在同一个圆上的方法当A1O=A2O=……=A n O=R时，A1，A2……A n在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.备注：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.备注：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.1．（2024•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．2．（2024•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（2024•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．24．（2024•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm5．（2024•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．86．（2024•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm7．（2024•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．8．（2024•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸9．（2024•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于（）A．B．C．2 D．10．（2024•巴中）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB 等于（）A．B．2 C．2D．311．（2024•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°12．（2024•盘锦）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°13．（2024•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°14．（2024•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°15．（2024•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（）A．55°B．110°C．120°D．125°16．（2024•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17．（2024•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．518．（2024•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°19．（2024•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°20．（2024•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°21．（2024•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．822．（2024•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．223．（2024•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．24．（2024•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定25．（2024•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4D．426．（2024•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°27．（2024•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°28．（2024•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．2C．3 D．2.529．（2024•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D 在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_______．30．（2024•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________．31．（2024•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．32．（2024•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C 与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为___cm．33．（2024•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________cm．34．（2024•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．35．（2024•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝____度．36．（2024•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝_____．37．（2024•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝____度．38．（2024•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝_____．39．（2024•绥化）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________（结果用含π的式子表示）．40．（2024•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是___．41．（2024•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是__．42．（2024•临沂）如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．43．（2024•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28＝410b，则△ABC的外接圆半径＝_．44．（2024•益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝____度．45．（2024•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．46．（2024•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．。

中考数学圆知识点总结5篇

中考数学圆知识点总结5篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点称为圆心，定长称为半径。

圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心。

圆具有旋转对称性，任意绕圆心旋转一定的角度都可能与原来的圆重合。

二、圆的性质1. 圆心距性质：任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之和的，两圆外离；任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之差的，两圆内含；任意两个圆的圆心距离小于两圆半径之和但大于两圆半径之差的，两圆相交。

2. 切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

3. 圆的幂性质：如果两条弦与同一条直径垂直，那么这两条弦所对的直径段相等。

4. 圆锥曲线性质：以圆锥的底面直径为长轴，以圆锥的高为短轴的椭圆，叫做圆锥椭圆。

圆锥椭圆的两焦点是圆锥的底面圆心和顶点。

双曲线类似。

三、圆的应用1. 在建筑设计中，可以利用圆的旋转对称性，设计出美观大方的建筑外观。

如圆形广场、圆形剧场等。

2. 在机械制造中，许多零部件都是圆形或环形的设计，如轴承、齿轮等。

这些零部件的精确制造和安装对于整个机械的性能和稳定性至关重要。

3. 在电子科技领域，许多电子元件和电路板都是基于圆形或环形的布局设计，如电容、电感等。

这些元件的形状和布局对于电子设备的功能和性能有着重要影响。

4. 在生物学和医学领域，许多生物体的结构和器官都是圆形或近似的圆形设计，如人体的大脑、心脏等。

对于这些结构和器官的研究和理解，有助于我们更好地认识生命的奥秘。

四、圆的解题技巧1. 圆的题目中，常常会出现一些隐含的条件，如切线的性质、圆的幂性质等。

我们需要认真分析题目中的条件，找出这些隐含的条件，并加以利用。

2. 对于一些复杂的题目，我们可以利用几何软件进行辅助分析，如使用CAD软件进行绘图分析，可以帮助我们更好地理解题意和解题思路。

3. 在解题过程中，我们需要注重几何语言的准确性和规范性，避免出现混淆概念、计算错误等问题。

专题01 中考数学专题复习最值问题(阿氏圆)练习

中考数学专题复习最值问题（阿氏圆）练习1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．【答案】B【解析】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP13=PA，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案解析：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴PC CM CA CP=，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴13 PM PCPA AC==，∴PM13=PA，∴13AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM==∴13AP +BP ，∴13AP +BP 的最小值为．故选：B ．2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O ＋PB 的最小值为________．【答案】【分析】＋PB （PA PB ）PB 即可解答．【解析】解：设⊙O 半径为r ，OP ＝r ＝12BC ＝2，OB r ＝，取OB PI ，∴OI ＝IB∵OP OI =，OB OP ==，∴OP OBOI OP= ，∠O 是公共角，∴△BOP ，∴PI PB =，∴PI ，∴AP ＝AP ＋PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO ＝∴IE ＝BE ＝1，∴AE ＝AB −BE ＝3，∴AI =∴AP 最小值＝AI＋PB （PA PB ），＋=．故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．3．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【答案】152【分析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻，均有PM =12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，勾股定理即可求得DM ．【解析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，31232BM BP ==Q ，3162BP BC ==BM BPBP BC\=PBM CBP Ð=ÐQ \BPM BCP△∽△12MP BM PC BP \==12MP PC \=12PD PC PD MD\-=-在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，Q 四边形ABCD 是正方形90C \Ð=°在Rt CDM V 中，152DM ===故答案为：152．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造12PC 是解题的关键．4．如图，在V 90,2B AB CB Ð=°==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA +的最小值是___________．【分析】作BH ⊥AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，根据切线的性质得BH等腰直角三角形的性质得到BH 12=AC =接着证明△BPD ∽△BCP 得到PD =，所以PAPC ＝PA +PD ，而PA +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），从而计算出AD 得到PA 的最小值．【解析】解：作BH ⊥AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，∵AC 为切线，∴BH 为⊙B 的半径，∵∠90°＝CB ＝2，∴AC =＝∴BH 12=AC∴BP =∵PB BC BD BP ==，而∠PBD ＝∠CBP ，∴△BPD∴PD PC ∴PD =，∴PA ＝PA +PD ，而PA +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），而AD =∴PA+即PA【点睛】：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD=．也考查了等腰直角三角形的性质．5．如图，在Rt ABCD中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 E F上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是_____．．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明PAT BAPD D∽，推出PTPB＝APAB＝12，推出PT＝12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【解析】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝4=AT•AB，∴PAAT＝ABPA，∵∠PAT＝∠PAB，∴PAT BAPD D∽，∴PTPB＝APAB＝12，∴PT＝12PB，∴12PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt ACTD中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT，∴12PB+PC，∴12PB+PC．．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12 PC的最大值为_____．【答案】5【解析】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．解析: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵221PBBG==，422BCPB==，∴PB BC BG PB=，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴12 PG BGPC PB==，∴PG＝12PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．7．如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？【解析】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ；2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值k OPOB=；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OPOP OB=构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为PA ＋K *PB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．∴本题求“PA ＋k ·PB ”的最小值转化为求“PA ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．8．如图，点A 、B 在O e 上，且OA ＝OB ＝6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD ＝4，动点P 在O e 上．求2PC ＋PD 的最小值．【答案】【分析】连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．由题意易证OPC OEP V :V ，即得出2PE PC =，从而得出2PC PD PE PD +=+，由此可知当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长，最后在Rt OED △中利用勾股定理求出DE 的长即可．【解析】如图，连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．∵C 是OA 的中点，∴1122OC OA OP ==．∴在△OPC 和△OEP 中，12COP POE OC OP OP OE Ð=Ðìïí==ïî，∴OPC OEP V :V ，∴1=2PC PE ，即2PE PC =，∴2PC PD PE PD +=+，.∴当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值即为DE 的长，如图，在Rt OED △中，DE ===，∴2PC PD +的最小值为．【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长是解答本题的关键．9．如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD ，连接AF ，BD（1）求证：△BDC ≌△AFC（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD AD 的值；（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD 的最小值．【答案】（1）见解析；（21 ；（3【分析】（1）利用SAS ，即可证明△FCA ≌△DCB ；（2）分两种情况当点D ，E 在AB 边上时和当点E ，F 在边AB（3）取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，可证得△DCM ∽△ACD ，可得DM ，从而得到当B ，D ，M 共线时，BD 的值最小，即可求解．【解析】（1）证明： ∵四边形CDEF 是正方形，∴CF ＝CD ，∠DCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝∠DCB ，∵AC ＝CB ，∴△FCA ≌△DCB （SAS ）；（2）解：①如图2中，当点D ，E 在AB 边上时，∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，∴sin 45ACAB ==°∵CD ⊥AB ，∴AD AC =´=∴BD ＝1==；②如图3中，当点E ，F 在边AB 上时．BD ＝CF ＝sin 452BC ´°==AD∴BD =综上所述，BD 1+（3）如图4中．取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，∵CD CM ＝1，CA ＝2，∴CD 2＝CM •CA ，∴CD CA ＝CMCD，∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△∴DM AD ＝CD AC ，∴DM ，∴BD ＝BD +DM ，∴当B ，D ，M 共线时，BD 的值最小，最小值BM ==【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连接BC ，且tan∠CBD 4=3，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连接PB ，求35PC ＋PB 的最小值．【答案】（1）241620999x x -++；（2）①32；②245【解析】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （534-t ，t ），点2315244F t t t æö--ç÷èø，，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；②根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ⊥AC 于G ，可得PG 35=PC ，可得35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是35PC +PB 的最小值，由三角形面积公式可求解．答案解析：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴D （2，0），又∵43CDtan CBD DBÐ==，∴CD ＝BD •tan∠CBD ＝4，即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5），解得 49a =-，∴二次函数的解析式为 ()()441599y x x =-+-=-x 2162099x ++；（2）①设P （2，t ），其中0＜t ＜4，设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∴0542.k b k b =+ìí=+î，，解得 4320.3k b ì=-ïïíï=ïî即直线BC 的解析式为 42033y x =-+，令y ＝t ，得：354x t =-，∴点E （534-t ，t ），把354x t =- 代入()()4159y x x =-+-，得 24t y t æö=-ç÷èø，即2315244F t t t æö--ç÷èø，，∴221244t EF t t t t æö=--=-ç÷èø，∴△BCF 的面积12=´EF ×BD 32=（t 24t -）()223334(2)882t t t =--=--+，∴当t ＝2时，△BCF 的面积最大，且最大值为32；②如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∴35AD sin ACD AC Ð==，过点P 作PG ⊥AC 于G ，则在Rt△PCG 中，35PG PC sin ACD PC =×Ð=，∴35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，∴线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∵11641222ABC S AB CD =´´=´´=V ，又∵1522ABC S AC BH BH =´´=V ，∴5122BH =，即245BH =，∴35PC PB +的最小值为245．11．问题提出：如图①，在Rt ABC △中，90C =o ∠，4CB =，6CA =，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求12AP BP +的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP ，在CB 上取一点D ，使1CD =，则12CD CP CP CB ==．又PCD BCP Ð=Ð，所以PCD D ∽BCP D ．所以12PD CD BP CP ==．所以12PD PB =，所以12AP BP AP PD +=+．请你完成余下的思考，并直接写出答案：12AP BP +的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP BP +的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，90COD Ð=o ，6OC =，3OA =，5OB =，P 是 CD上一点，求2PA PB +的最小值．【答案】（1；（2（3）13．【分析】（1）根据题意可知最小值为AD 长度，利用勾股定理即可求出AD 长度．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，即可证明PCD V ∽ACP △，得到13PD AP =，即13AP BP PD BP +=+，所以13AP BP +的最小值为BD 长度，利用勾股定理即可求出BD 长度．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，即可证明OAP △∽OPE V ，得到2EP PA =，即2PA PB EP PB +=+，所以2PA PB +的最小值为BE 长度，利用勾股定理即可求出BE 长度．【解析】（1）根据题意可知，当A 、P 、D 三点共线时，12AP BP +最小，最小值AD ====．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，则有13CD CP CP CA ==，∵PCD ACP Ð=Ð，∴PCD D ∽ACP △，得13PD CD AP CP ==，∴13PD AP =，故13AP BP PD BP +=+，仅当B 、P 、D 三点共线时，13AP BP +的最小值BD ====．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，则12OA OP OP OE ==，∵AOP POE Ð=Ð，∴OAP △∽OPE D ，∴12OA OP AP OP OE EP ===，∴2EP PA =，∴2PA PB EP PB +=+，仅当E 、P 、B 三点共线时，13EP PB BE +====，即2PA PB +的最小值为13．【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出PCD V ∽ACP △和OAP △∽OPE V 是解题的关键．本题较难．12．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且3OB OA =，OAC Ð的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ^轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．【答案】（1）y 13=x 2﹣3；（2）；（3【分析】对于（1），结合已知先求出点B 和点C 的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在Rt△OAC 中，利用三角函数的知识求出∠OAC 的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD 的度数，进而得到点D 的坐标；接下来求出直线AD 的解析式，表示出点P ，H ，F 的3），首先求出⊙H 的半径，在HA 上取一点K ，使得HK=14，此时K （15-8）；然后由HQ 2=HK·HA ，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=14AQ ，进而可得当E 、Q 、K 共线时，14AQ+EQ 的值最小，据此解答.【解析】（1）由题意A 0），B 0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x（x ，把C （0，﹣3）代入得到a 13=，∴抛物线的解析式为y 13=x 2﹣3．（2）在Rt△AOC 中，tan∠OAC OCOA==，∴∠OAC ＝60°．∵AD OAC ，∴∠OAD ＝30°＝D （0，﹣1），∴直线AD 的解析式为y =﹣1，由题意P （m ，13m 2，H （m ﹣1），F （m ，0）．∵FH ＝PH ，∴1=﹣1﹣（13﹣3）解得m =，∴当时，m ．（3）如图，∵PF 是对称轴，∴F 0），H （．∵AH ⊥AE ，∴∠EAO ＝60°，∴EO =＝3，∴E （0，3）．∵C （0，﹣3），∴HC ==2，AH ＝2FH ＝4，∴QH 12=CH ＝1，在HA 上取一点K ，使得HK14=，此时K （158-）．∵HQ 2＝1，HK •HA ＝1，∴HQ 2＝HK •HA ，∴HQ KHAH HQ=．∵∠QHK ＝∠AHQ ，∴△QHK ∽△AHQ ，∴14KQ HQ AQ AH ==，∴KQ 14=AQ ，∴14AQ +QE ＝KQ +EQ ，∴当E 、Q 、K 共线时，14AQ +QE 的值最小，最小值==．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.。

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《圆》专题复习第一讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义:⑴形成性定义：在一个平面内，线段ＯＡ绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦:连接圆上任意两点的叫做弦弧:圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性:⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴, 的直线都是它的对称轴⑵中心对称性:圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：１、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的２、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

２、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的。

【名师提醒：１、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距)。

3、垂径定理常用作计算，在半径ｒ、弦a、弦心ｄ和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系:1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是,９０0的圆周角所对的弦是【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类,它们的关系是,２、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做，这个圆叫做。

性质：圆内接四边形的对角。

【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2０15•舟山）如图，⊙O的半径OＤ⊥弦ＡB于点Ｃ，连结ＡO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB＝8,ＣD=2,则EＣ的长为（)A．215ﻩB．8ﻩC.210ﻩD.213对应训练1．（2015•南宁）如图，AＢ是⊙O的直径，弦ＣD交AＢ于点E,且ＡE＝CＤ=８,∠ＢAＣ=12∠BOＤ，则⊙O的半径为（)A．42Ｂ.5 Ｃ.4 D．3考点二:圆周角定理例2 （２01５•自贡）如图，在平面直角坐标系中,⊙Ａ经过原点O,并且分别与ｘ轴、y轴交于Ｂ、Ｃ两点，已知B（8,0）,C(0，6)，则⊙Ａ的半径为（）A．3 B.４ﻩC．5ﻩD．8对应训练２.（201５•珠海)如图,▱ABCＤ的顶点Ａ、Ｂ、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°,连接AE,则∠AEB的度数为()A．36°ﻩＢ．4６°ﻩC.27°D．63°【２016中考名题赏析】1．(2０1６兰州,1０，4分)如图，四边形ＡBCＤ内接于⊙O，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC= (）（A)45º(B) ５0º(C)60º(Ｄ) ７5º２. （201６·四川自贡)如图，⊙O中,弦AB与ＣD交于点M,∠Ａ=4５°,∠ＡＭD＝75°,则∠B的度数是( ）A.15°B.25°ﻩC.30°ﻩD.７5°３.（2016·四川成都·3分)如图，AB为⊙Ｏ的直径,点C在⊙O上,若∠OCA=5０°,AB=4,则的长为()A．πﻩＢ.π C.π D.π4.（201６山东省聊城市,3分）如图，四边形AＢCＤ内接于⊙O,Ｆ是上一点,且=，连接ＣF并延长交AD 的延长线于点E,连接ＡＣ．若∠ＡBＣ=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（)A．４5°B．50° C.５5°Ｄ.60°5.(2０１6．山东省泰安市,３分）如图，△AＢC内接于⊙O，ＡB是⊙O的直径，∠Ｂ=３0°,CE平分∠ACB交⊙Ｏ于E,交AＢ于点D，连接ＡE,则S△ADE:S△CDＢ的值等于（）ﻩﻩＡ.1:B．1:C．1:2 Ｄ．2:36．(２01６·黑龙江大庆)如图，在矩形ABＣＤ中,AB=5，BC=１0,一圆弧过点B和点Ｃ,且与AＤ相切,则图中阴影部分面积为 .【真题过关】一、选择题=,∠A=3０°,则∠Ｂ=(）1．(201５•厦门）如图所示，在⊙O中，AB ACA．１50°ﻩB．75°ﻩＣ.60° D.15°2．（2015•昭通）如图,已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°,那么∠ＢＡD＝(）A.28°ﻩＢ.42° C.5６°ﻩD.84°3．(2015•湛江)如图，AＢ是⊙Ｏ的直径，∠AOC＝1１0°,则∠Ｄ=（)A.25°ﻩＢ．3５° C.55°ﻩD．７0°4．（2０15•宜昌)如图，DC 是⊙Ｏ直径,弦AＢ⊥CD于F,连接BＣ,DB，则下列结论错误的是(）= B.AF=BF C．ＯF=CF Ｄ.∠DBＣ=90°A.AD BD5．(20１5•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AＢ于点Ｃ，AＢ＝4,OＣ=1,则OB的长是（）A．3 B.5ﻩC．15Ｄ.176.(2015•兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面ＡB 宽为８cm,水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（）A.３cm ﻩB ．４c ｍ C.5ｃm ﻩD.6cm7．（２01•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB,垂足为P ．若CD ＝8，OP=３，则⊙O 的半径为( ）A ．10ﻩB.8ﻩＣ．5ﻩD ．38.(2０15•温州）在△ＡBC 中,∠C 为锐角,分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B,A ，C 作BAC ，如图所示.若AB=４，AC ＝2，Ｓ1-Ｓ2=4π,则S 3-S 4的值是( ） A ．4 ﻩB ．4 ﻩC.4 Ｄ.4９．(２015•南通）如图．Rt △ABC 内接于⊙O,BC 为直径，ＡB=４,A Ｃ＝３,D 是 AB 的中点，CD 与A Ｂ的交点为Ｅ,则 CE DE等于（）10．（2０15•乐山）如图，圆心在y 轴的负半轴上,半径为５的⊙Ｂ与y 轴的正半轴交于点Ａ(０,1）,过点P （0，-7)的直线ｌ与⊙B 相交于C ，Ｄ两点.则弦CD 长的所有可能的整数值有( ）A ．１个B ．２个ﻩＣ．3个ﻩD.4个11.(2015•安徽)如图，点Ｐ是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中,不正确的是( ）A ．当弦ＰB 最长时,△APC 是等腰三角形Ｂ.当△A ＰC 是等腰三角形时，ＰO ⊥ＡＣC.当PO ⊥AC 时，∠ＡＣP ＝30°Ｄ．当∠ACP=30°时,△ＢPC 是直角三角形二、填空题１2．（2０15•张家界)如图,⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠ＢＡC=40°,则∠B ＯD= .13.(２015•绥化）如图，在⊙Ｏ中,弦ＡB 垂直平分半径OC,垂足为D ，若⊙Ｏ的半径为2,则弦AB 的长为 .1４.(2015•株洲)如图ＡB是⊙Ｏ的直径,∠BAC=42°,点D是弦ＡC的中点，则∠DＯC的度数是度．15.(2015•扬州)如图，已知⊙O的直径ＡB=6,Ｅ、F为ＡＢ的三等分点，M、Ｎ为AB上两点，且∠MEB=∠NFＢ＝６０°,则EＭ＋FN= .16．（2０15•广州)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点，点Ｐ在第一象限，⊙P与x轴交于Ｏ，A两点,点Ａ的坐标为（6,0),⊙Ｐ的半径为13，则点P的坐标为 .三、解答题17.(2０15•贵阳)已知：如图,AＢ是⊙Ｏ的弦，⊙O的半径为10，OＥ、OF分别交AB于点Ｅ、F，OF的延长线交⊙Ｏ于点D,且AE＝ＢF，∠EOＦ=60°．（1)求证:△OEF是等边三角形;(2）当ＡE=OＥ时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π)１８．（2０1５•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,弦ＣD⊥AB与点E,点Ｐ在⊙O上,∠1=∠Ｃ,ﻫ(1)求证：CＢ∥PD;（2）若ＢC=3，sｉn∠P＝35，求⊙O的直径.第二讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点Ｐ到圆心的距离为d则:点P在圆内<＝>点P在圆上＜=＞点Ｐ在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆,过三点,有且只有一个圆⑵三角形的外接圆:经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成:三角形的交点，外心的性质：到相等【名师提醒：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线,直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

２、设⊙Ｏ的半径为r，圆心O到直线ｌ的距离为d，则:直线l与⊙Ｏ相交<=>d ｒ，直线l与⊙Ｏ相切<=>ｄr直线l与⊙Ｏ相离<=>ｄr3、切线的性质和判定:⑴性质定理:圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理,在圆中遇到切线时,常常连接圆心和切点,即可得垂直关系】⑵判定定理:经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时,用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=ｒ来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等,并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆:⑴与三角形各边都的圆,叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成:是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【名师提醒:三类三角形内心都在三角形若△ABＣ三边为a、ｂ、c面积为s,内切圆半径为r,则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】三、圆和圆的位置关系:圆和圆的位置关系有种，若⊙Ｏ1半径为Ｒ，⊙O 2半径为r,圆心距为d，则⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 外离<=＞⊙Ｏ 1 与⊙O ２外切<＝＞⊙O 1 与⊙O ２相交<=> ⊙Ｏ 1 与⊙Ｏ2内切＜＝＞⊙O １与⊙O2内含<＝>【名师提醒:两圆相离(无公共点）包含和两种情况，两圆相切(有唯一公共点)包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d=】四、反证法:假设命题的结论,由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立,通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾,也可以与相矛盾,从而肯定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质例1(2015•义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OＡ于点B，PD交⊙O于点Ｃ、D,PE是⊙O的切线,Ｅ为切点,连结AE，交CD于点F.ﻫ(1)若⊙O的半径为８,求CＤ的长;（２）证明:PE=PF；（3）若PF=1３，ｓinA＝5 13,求EF的长．对应训练1．(20１5•扬州）如图，△ABＣ内接于⊙O，弦ＡＤ⊥ＡB交BC于点Ｅ，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点Ｆ,且∠ＡＢF＝∠ＡBＣ.(1）求证：ＡB＝ＡC; （2)若AD=4,coｓ∠ＡBF=45，求DＥ的长.ﻫﻫﻫ考点二:切线的判定例2（2015•自贡）如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接ＣD,且∠CDＢ＝∠ＯＢD=３0°，DB＝６3cｍ．(1）求证：AＣ是⊙O的切线;ﻫ（2)求由弦ＣD、BD与弧ＢC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）ﻫ对应训练2.（2015•玉林）如图，以△ABC的ＢC边上一点Ｏ为圆心的圆，经过A,B两点，且与BC边交于点E，D为BE 的下半圆弧的中点,连接AＤ交BC于F,若AC=FC.(１)求证:AC是⊙Ｏ的切线:（2)若ＢF＝8,DF=40，求⊙O的半径r．考点三:直线与圆、圆与圆的位置关系例３(２01５•盘锦）如图,△ＡBC中，AB=6,ＡC=８，BC=10,D、E分别是AＣ、ＡB的中点，则以DE为直径的圆与ＢC的位置关系是（)A．相交Ｂ.相切C．相离ﻩD．无法确定例４（201５•攀枝花）已知⊙Ｏ1和⊙O２的半径分别是方程x2-４x+3=０的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙Ｏ1与⊙O2的位置关系是（)A.外离ﻩB.外切C．相交Ｄ．内切对应训练3.（20１5•黔东南州)Rｔ△ABC中,∠C=90°,AＣ=3ｃm,ＢC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆，若圆Ｃ与直线ＡB相切，则ｒ的值为（）A.2cmﻩB.2.4cｍﻩC.3cmﻩＤ．４cm4．（20１5•东营）已知⊙Ｏ１的半径r1＝２，⊙O2的半径r2是方程321x x=-的根，⊙O１与⊙O2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为( )A.内含B.内切Ｃ．相交D．外切【2016中考名题赏析】1.（２０16·山东潍坊·３分）如图，在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A（8,0)，与ｙ轴分别交于点Ｂ（0，４)和点Ｃ（0，１6)，则圆心M到坐标原点O的距离是()A.1０Ｂ.8C．4Ｄ．2２．（2016·湖北荆州·3分）如图,过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点Ｃ,点D是优弧上不与点Ａ、点C重合的一个动点,连接AＤ、CＤ，若∠APＢ=80°,则∠AＤＣ的度数是（）A.15°B．２0° C.25°D．3０°3．(20１６·黑龙江哈尔滨·３分)如图,AB为⊙Ｏ的直径，直线ｌ与⊙O相切于点C，AD⊥l,垂足为Ｄ，AD交⊙O于点Ｅ，连接OＣ、BE.若AＥ＝6，ＯA＝5，则线段DC的长为.4. （２0１6·内蒙古包头·3分)如图,已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接ＡC，若∠A＝３0°，PC=3,则ＢP的长为．５． (2０1６·四川攀枝花)如图,△ABC 中，∠C=９0°，AC=3，AB ＝５,D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB 、B Ｃ均相切，则⊙O 的半径为．6. （2016·湖北武汉·８分)如图，点C 在以AB 为直径的⊙Ｏ上，ＡD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ,ＡD 交⊙O 于点E . (1) 求证：A Ｃ平分∠DAB ； (2) 连接BE 交AC 于点F ,若c ｏs ∠CAD =54,求FC AF 的值．7．（２０1６·江西·8分)如图，ＡB 是⊙O 的直径，点P 是弦AC 上一动点(不与Ａ，C 重合），过点P 作P Ｅ⊥AB ，垂足为Ｅ，射线EP 交于点F ，交过点Ｃ的切线于点D ．（1）求证:DC=D Ｐ;(2）若∠CA Ｂ＝30°，当F 是的中点时，判断以A ，O,C,F 为顶点的四边形是什么特殊四边形?说明理由.８．（2０16·四川南充)如图，在Rt △ABC 中,∠A ＣB ＝９０°,∠BAC 的平分线交ＢＣ于点Ｏ，OC=1,以点Ｏ为圆心ＯC 为半径作半圆．(1）求证：AB 为⊙O 的切线；(２）如果tan ∠CAO=，求ｃosB 的值.9．（2016·湖北荆州·10分)如图，A、Ｆ、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAＢ=１５°,连接ＯF交ＡB于点Ｅ，过点Ｃ作ＯＦ的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.（１）求证:CD是半圆O的切线; (２)若DH=6﹣3,求EF和半径OA的长.【真题过关】一、选择题1.(2０1５•铜仁地区)⊙O的半径为8,圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙Ｏ的位置关系是（)Ａ.相切 B.相交ﻩＣ．相离Ｄ．不能确定2.(２０15•云南）已知⊙O1的半径是３cm，⊙O2的半径是２cm，O１O2=6cm，则两圆的位置关系是（)A．相离ﻩB.外切ﻩＣ.相交ﻩD．内切３.(2015•泉州)已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7,则圆心距O1O2可能是( ）Ａ.2ﻩB．3ﻩC.6 D.１24.（２０15•南京）如图,⊙Ｏ1,⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2ｃｍ,⊙Ｏ2的半径为３cm．O1O2＝8cm,⊙Ｏ1以1ｍ/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙Ｏ1和⊙O2没有出现的位置关系是（）A.外切ﻩB.相交C.内切D．内含5．(２015•重庆) 如图，P是⊙O外一点，ＰA是⊙O的切线，PO=２６cm,PA＝2４cｍ，则⊙O的周长为（) Ａ.18πcmＢ．16πcmﻩC．2０πcｍﻩD.24πcm6．(201３•杭州)在一个圆中,给出下列命题，其中正确的是(）Ａ．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直Ｂ．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点D.若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径7.(2015•河南)如图,CＤ是⊙O的直径，弦AB⊥CＤ于点G，直线ＥF与⊙O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是（）A．AＧ=BG B．AB∥ＥF C．ＡD∥BCﻩD.∠ABC＝∠ADＣ8.（2０15•毕节地区)在等腰直角三角形AＢC中，AB＝AC＝4，点Ｏ为BC的中点,以O为圆心作⊙O交BC于点M、N,⊙O与ＡB、AC相切,切点分别为Ｄ、E，则⊙O的半径和∠ＭND的度数分别为（）Ａ．2,２2.5°Ｂ．3，30°C．３,22.5° D.2,30°9.（2013•安徽)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,不正确的是( )A．当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B．当△AＰC是等腰三角形时，PO⊥ACＣ.当ＰO⊥AC时，∠ACＰ＝３0°Ｄ.当∠ＡCP=30°时,△BＰＣ是直角三角形二、填空题10.（２0１5•舟山)在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为１，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转６0°得到的像为⊙B,则⊙A与⊙B的位置关系为 .11.(201５•天水)已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为ｒ,⊙Ｏ１与⊙Ｏ2只能画出两条不同的公共切线,且O1Ｏ2=5,则⊙O２的半径为r的取值范围是．1２.(20１5•平凉)已知⊙O1与⊙O２的半径分别是方程ｘ2-4x+3＝０的两根,且圆心距Ｏ1O2=t+2，若这两个圆相切，则ｔ=．1３．（２015•永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，BＣ是⊙O的直径,MN与⊙O相切,切点为A，若∠MAB=30°,则∠Ｂ＝度．14.(2０15•天水）如图所示,在△ABC中,ＢC=4，以点A为圆心,2为半径的⊙Ａ与BＣ相切于点Ｄ,交AB于点E，交AC于点Ｆ，且∠EAF=80°,则图中阴影部分的面积是．15.（2015•晋江市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝９0°,∠Ａ=３0°，AB=43．若动点D在线段ＡＣ上(不与点Ａ、C重合），过点D作ＤE⊥AＣ交ＡB边于点Ｅ．ﻫ(1)当点D运动到线段AＣ中点时，DE＝；ﻫ（2)点A 关于点D的对称点为点Ｆ,以FC为半径作⊙C，当DE＝时,⊙C与直线AＢ相切．１6．(２01５•张家界）如图,⊙A、⊙B、⊙Ｃ两两外切,它们的半径都是a，顺次连接三个圆心,则图中阴影部分的面积是 .17.（2015•南宁)如图,在边长为２的正三角形中,将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆)的内部挖去，则此三角形剩下部分(阴影部分)的面积为．18.(２015•黄石）如图所示,在边长为3的正方形ＡBCD中,⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切,⊙Ｏ1分别与ＢA、BＣ边外切，则圆心距,Ｏ1O2为 .三、解答题１9.（2015•永州）如图,AB是⊙O的切线，B为切点,圆心在ＡC上,∠A=30°,D为BＣ的中点.（1）求证:AB=ＢC；（2）求证：四边形BOCD是菱形.２0．（２015•株洲)已知AB是⊙Ｏ的直径,直线BC与⊙Ｏ相切于点B,∠ＡBC的平分线BD交⊙O于点D,AD的延长线交BC于点C．(1）求∠BＡＣ的度数;(2）求证:AＤ＝CD．２1．(2015•苏州)如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长ＤE交BC的延长线于点Ｆ．ﻫ（1）求证：BD=ＢF；(２）若CF=1，cｏsB=35,求⊙O的半径．22．(２015•新疆)如图,已知⊙O的半径为４，ＣＤ是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，Ｂ为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,且AＢ=AC.（１）求证：ＡB为⊙Ｏ的切线；（2)求弦AC的长; (3）求图中阴影部分的面积．ﻫﻫ２3.（２0１5•泸州）如图，D为⊙Ｏ上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDＡ=∠CBD．(1)求证：CD是⊙O的切线；（2)过点B作⊙Ｏ的切线交CD的延长线于点E,若ＢC＝12，tan∠CDA＝23,求BＥ的长.。