2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅱ.理)含详解

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2008年高考全国二卷理科数学题及其答案

2008年高考全国二卷理科数学题及其答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2数学)理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z I 则,≤≤( ) A .{}01,B .{}101-,,C .{}012,,D .{}1012-,,,2.设a b ∈R ,且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则( ) A .223b a = B .223a b =C .229b a =D .229a b =3.函数1()f x x x=-的图像关于( ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称4.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( ) A .a <b <cB .c <a <bC . b <a <cD . b <c <a5.设变量x y ,满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩,,.≥≤≥,则y x z 3-=的最小值( )A .2-B .4-C .6-D .8-6.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A .929B .1029C .1929D .20297.64(1(1的展开式中x 的系数是( )A .4-B .3-C .3D .48.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( ) A .1BCD .29.设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( ) A. B.C .(25),D.(210.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为( )A .13B C D .2311.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( ) A .3B .2C .13-D .12-12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( ) A .1B .2C .3D .2第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. 13.设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ . 14.设曲线axy e =在点(01),处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = .15.已知F 是抛物线24C y x =:的焦点,过F 且斜率为1的直线交C 于A B ,两点.设FA FB >,则FA 与FB 的比值等于 .16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在ABC △中,5cos 13B =-,4cos 5C =. (Ⅰ)求sin A 的值;(Ⅱ)设ABC △的面积332ABC S =△,求BC 的长. 18.(本小题满分12分)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p ;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).19.(本小题满分12分)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,124AA AB ==,点E 在1CC 上且EC E C 31=.(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面BED ; (Ⅱ)求二面角1A DE B --的大小. 20.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*n ∈N .(Ⅰ)设3nn n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围.21.(本小题满分12分)设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,,,是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.(Ⅰ)若6ED DF =u u u r u u u r,求k 的值;(Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值. 22.(本小题满分12分) 设函数sin ()2cos xf x x=+.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)如果对任何0x ≥,都有()f x ax ≤,求a 的取值范围.AB CD EA 1B 1C 1D 12008年参考答案和评分参考一、选择题1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 11.A 12.C部分题解析:2. 设a b ∈R ,且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则( )A .223b a =B .223a b =C .229b a =D .229a b =,解:33223()33()()a bi a a bi a bi bi +=+++gg (←考查和的立方公式,或二项式定理) 3223(3)(3)a a b a b b i =-+-gg (←考查虚数单位i 的运算性质) R ∈ (←题设条件)∵a b ∈R ,且0b ≠∴ 2330a b b -=g(←考查复数与实数的概念) ∴ 223b a =. 故选A.6. 从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A .929B .1029C .1929D .2029思路1:设事件A :“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”,其概率为:211220102010330()C C C C P A C += (←考查组合应用及概率计算公式) 201910910202121302928321⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ (←考查组合数公式) 10191010109102914⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ (←考查运算技能)2029=故选D.思路2:设事件A :“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”,事件A 的对立事件为A :“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为:()1()P A P A =- (←考查对立事件概率计算公式)3320103301C C C +=- (←考查组合应用及概率计算公式)2019810983213211302928321⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯(←考查组合数公式) 2019181098302928⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ (←考查运算技能)2029=故选D.12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( ) A .1B .2C .3D .2分析:如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆,想成一般情况,问题解决起来就比较麻烦,许多考生就是因为这样思考的,所以浪费了很多时间才得道答案;但是,如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆,想成其中一个恰好是大圆,那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离3,问题解决起来就很容易了. 二、填空题13.2 14.2 5.3+16.两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形. 注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 三、解答题 17.解:(Ⅰ)由5cos 13B =-,得12sin 13B =, 由4cos 5C =,得3sin 5C =.所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=. ···································· 5分 (Ⅱ)由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=, 由(Ⅰ)知33sin 65A =,故65AB AC ⨯=, ························································································ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==, 故2206513AB =,132AB =. 所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==. ········································································· 10分18.解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p ,记投保的10 000人中出险的人数为ξ,则4~(10)B p ξ,.(Ⅰ)记A 表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则A 发生当且仅当0ξ=, ·················································································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--,又410()10.999P A =-,故0.001p =. ······························································································ 5分 (Ⅱ)该险种总收入为10000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 1000050000ξ+,盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+,盈利的期望为 100001000050000E a E ηξ=--, ·········································· 9分由43~(1010)B ξ-,知,31000010E ξ-=⨯, 4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯. 0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥(元).故每位投保人应交纳的最低保费为15元. ························································· 12分19.解法一:依题设知2AB =,1CE =.(Ⅰ)连结AC 交BD 于点F ,则BD AC ⊥. 由三垂线定理知,1BD A C ⊥. ········································································ 3分 在平面1A CA 内,连结EF 交1A C 于点G ,由于1AA ACFC CE== AB CD EA 1B 1C 1D 1FH G故1Rt Rt A AC FCE △∽△,1AA C CFE ∠=∠,CFE ∠与1FCA ∠互余.于是1A C EF ⊥.1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ,都垂直,所以1A C ⊥平面BED . ················································································· 6分 (Ⅱ)作GH DE ⊥,垂足为H ,连结1A H .由三垂线定理知1A H DE ⊥,故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角. ······················································· 8分EF =CE CF CG EF ⨯==EG == 13EG EF =,13EF FD GH DE ⨯=⨯=.又1AC ==11A G A C CG =-=.11tan AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan . ·················································· 12分 解法二:以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系D xyz -.依题设,1(220)(020)(021)(204)B C E A ,,,,,,,,,,,.(021)(220)DE DB ==u u u r u u u r,,,,,,11(224)(204)AC DA =--=u u u r u u u u r,,,,,. ···································································· 3分 (Ⅰ)因为10AC DB =u u u r u u u r g ,10AC DE =u u u r u u u rg, 故1A C BD ⊥,1A C DE ⊥. 又DB DE D =I ,所以1AC ⊥平面DBE .·················································································· 6分 (Ⅱ)设向量()x y z =r,,n 是平面1DA E 的法向量,则DE ⊥u u ur r n ,1DA ⊥u u u u r r n .故20y z +=,240x z +=.令1y =,则2z =-,4x =,(412)=-r,,n . ····················································· 9分 1AC u u u rr ,n 等于二面角1A DE B --的平面角,111cos A C A C A C==u u u r r u u u r r g u u u r r ,n n n . 所以二面角1A DE B --的大小为. ················································· 12分 20.解:(Ⅰ)依题意,113nn n n n S S a S ++-==+,即123n n n S S +=+,由此得1132(3)n n n n S S ++-=-. ······································································· 4分因此,所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .① ····························································· 6分(Ⅱ)由①知13(3)2n n n S a -=+-,*n ∈N ,于是,当2n ≥时,1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-, 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦g ,当2n ≥时,21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭g ≥≥9a ⇔-≥.又2113a a a =+>.综上,所求的a 的取值范围是[)9-+∞,. ························································· 12分 21.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为2214x y +=, 直线AB EF ,的方程分别为22x y +=,(0)y kx k =>. ····································· 2分 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ,,,,,,其中12x x <, 且12x x ,满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=.①由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==;由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+. 所以212k =+,化简得2242560k k -+=,解得23k =或38k =. ····················································································· 6分 (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ,到AB 的距离分别为1h ==2h ==. ······················································ 9分又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 12===≤当21k =,即当12k =时,上式取等号.所以S 的最大值为 ························· 12分 解法二:由题设,1BO =,2AO =.设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ··································································································· 9分===当222x y =时,上式取等号.所以S 的最大值为. ······································· 12分 22.解: (Ⅰ)22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++.····························· 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+(k ∈Z )时,1cos 2x >-,即()0f x '>; 当2π4π2π2π33k x k +<<+(k ∈Z )时,1cos 2x <-,即()0f x '<.因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,(k ∈Z )是增函数, ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,(k ∈Z )是减函数. ···························· 6分 (Ⅱ)令()()g x ax f x =-,则第11页(共11页) 22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++ 211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭. 故当13a ≥时,()0g x '≥. 又(0)0g =,所以当0x ≥时,()(0)0g x g =≥,即()f x ax ≤. ······················· 9分 当103a <<时,令()sin 3h x x ax =-,则()cos 3h x x a '=-. 故当[)0arccos3x a ∈,时,()0h x '>.因此()h x 在[)0arccos3a ,上单调增加.故当(0arccos3)x a ∈,时,()(0)0h x h >=,即sin 3x ax >.于是,当(0arccos3)x a ∈,时,sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+. 当0a ≤时,有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭g ≥. 因此,a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. ··································································· 12分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)

本卷共 l J 题, 9 分. OJ  ̄ 共 0
二、 填空题: 本大 题共 4 题, 小题 5 小 每 分, 共 2 分. 0 把答 案填在题 中横线 上.
(3设向量 = (,) 1) 12,b = (,) 若向 23. 量 入 + b与 向量 = ( 4一 ) 线, 入= 一 , 7共 则
第1 卷
本卷共 1 小题, 2 每小题 5 共 6 分, 分, 0 在每 Biblioteka { y≤2, f x+2
【≥ 2 一 .
则Z= 一3 的最小值为 … … … … … … ・ ) ( () 2 () 4 () 6 () 8 A -; B-; C-; D-. () 2 名 男同学, 0 6从 0 1名女同学中任选 3 名
参加体能测试, 则选到 的3 名同学 中既有男同学
小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目 要 求的.
参考公式:
如果事件 、 B互斥, 那么P( A+B)= P( ) A +P( B) 如果事件 、B相互独立, 那么P( B) A・ =
又有女 同学的概率为 … … … … … …・ …( ) …
实数, … … … … … … … … … ・ … … …( ) 则 … ( ) a; A b =32 () =3 Ba b;
(等腰 三角形两腰 ( ; ) A;( ; ) 的方程分别 ) B 所在直线 ( . 丢 ) c D 孚 昙 (1 1)
为 + Y一 2= 0 与 一 7 y一 4= 0 原 点 在 等 ,
( ; ( ) 0 ( ) 9 ( O A) B - c 西 ; D 2 1; 1

PA ・ ( ()PB)
如果 事件 在一次试验 中发生的概率是 P , 那么n 次独立重复试验中事件 A恰好发生 次的

2008年高考全国卷2理科数学(含解析)

2008年高考全国卷2理科数学(含解析)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 参考公式:如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kk n P k C p p k n -=-= ,,,, 一、选择题1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z 则,≤≤( ) A .{}01,B .{}101-,,C .{}012,,D .{}1012-,,,【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ,{}3,2,1,0,1-=N ,∴{}1,0,1-=N M【高考考点】集合的运算,整数集的符号识别。

【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题,都超简单。

其实集合问题是可以出难题的,但高考中的集合问题比较简单。

需要注意的是:很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点,我认为这是不妥当的,高中的集合问题涉及到的集合知识并不多(就是一种表达方式),其难度主要体现在知识的综合性上,学生应当先学习其他知识,再在集合中综合。

2008年高考理科数学(全国)卷(Ⅱ)

2008年高考理科数学(全国)卷(Ⅱ)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z 则,≤≤A .{}01,B .{}101-,,C .{}012,,D .{}1012-,,, 2.设a b ∈R ,且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则 A .223b a = B .223a b =C .229b a =D .229a b =3.函数1()f x x x=-的图像关于 A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称4.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则 A .a <b <cB .c <a <bC . b <a <cD . b <c <a5.设变量x y ,满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩,,.≥≤≥,则y x z 3-=的最小值A .2-B .4-C .6-D .8-6.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 A .929B .1029C .1929D .20297.64(1(1+的展开式中x 的系数是A .4-B .3-C .3D .48.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为A .1BCD .29.设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A. B.C .(25),D.(210.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为A .13B C D .2311.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为 A .3B .2C .13-D .12-12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于 A .1B .2C .3D .2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. 13.设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ . 14.设曲线axy e =在点(01),处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = . 15.已知F 是抛物线24C y x =:的焦点,过F 且斜率为1的直线交C 于A B ,两点.设FA FB >,则FA 与FB 的比值等于 .16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在ABC △中,5cos 13B =-,4cos 5C =. (Ⅰ)求sin A 的值; (Ⅱ)设ABC △的面积332ABC S =△,求BC 的长. 18.(本小题满分12分) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p ;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).19.(本小题满分12分)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,124AA AB ==,点E 在1CC 上且EC E C 31=.(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面BED ; (Ⅱ)求二面角1A DE B --的大小. 20.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13nn n a S +=+,*n ∈N .(Ⅰ)设3nn n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围.21.(本小题满分12分)设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,,,是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.(Ⅰ)若6ED DF =,求k 的值;(Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值. 22.(本小题满分12分) 设函数sin ()2cos xf x x=+.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)如果对任何0x ≥,都有()f x ax ≤,求a 的取值范围.AB CD EA 1B 1C 1D 1参考答案和评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 11.A 12.C 二、填空题13.2 14.2 15.3+16.两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形.注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 三、解答题 17.解:(Ⅰ)由5cos 13B =-,得12sin 13B =, 由4cos 5C =,得3sin 5C =.所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=. ··············································· 5分 (Ⅱ)由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=, 由(Ⅰ)知33sin 65A =,故65AB AC ⨯=, ················································································································ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==,故2206513AB =,132AB =. 所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==. ····························································································· 10分 18.解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p ,记投保的10 000人中出险的人数为ξ, 则4~(10)B p ξ,.(Ⅰ)记A 表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则A 发生当且仅当0ξ=, ··································································································································· 2分 ()1()P A P A =-1(0)P ξ=-= 4101(1)p =--,又410()10.999P A =-,故0.001p =. ························································································································ 5分 (Ⅱ)该险种总收入为10000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 1000050000ξ+,盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+, 盈利的期望为 1000010000500E a E ηξ=--, ······················································ 9分 由43~(1010)B ξ-,知,31000010E ξ-=⨯, 4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯. 0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥15a ⇔≥(元). 故每位投保人应交纳的最低保费为15元.········································································· 12分19.解法一:依题设知2AB =,1CE =.(Ⅰ)连结AC 交BD 于点F ,则BD AC ⊥.由三垂线定理知,1BD AC ⊥. ···························································································· 3分 在平面1A CA 内,连结EF 交1AC 于点G ,由于1AA ACFC CE== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△,1AAC CFE ∠=∠, CFE ∠与1FCA ∠互余. 于是1AC EF ⊥. 1AC 与平面BED 内两条相交直线BDEF ,都垂直, 所以1AC ⊥平面BED . ······································································································· 6分 (Ⅱ)作GH DE ⊥,垂足为H ,连结1A H .由三垂线定理知1A H DE ⊥,故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角. ······································································ 8分EF ==CE CF CG EF ⨯==,EG ==13EG EF =,13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1A C ==11AG AC CG =-=11tan AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan ······························································· 12分 解法二:以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系D xyz -.依题设,1(220)(020)(021)(204)B C E A ,,,,,,,,,,,.(021)(220)DE DB ==,,,,,,11(224)(204)AC DA =--= ,,,,,. ······················································································· 3分 (Ⅰ)因为10AC DB = ,10AC DE =,A B CDEA 1B 1C 1D 1 FH G故1AC BD ⊥,1AC DE ⊥. 又DB DE D = ,所以1AC ⊥平面DBE . ········································································································ 6分 (Ⅱ)设向量()x y z =,,n 是平面1DA E 的法向量,则DE ⊥n ,1DA ⊥ n .故20y z +=,240x z +=.令1y =,则2z =-,4x =,(412)=-,,n . ··································································· 9分 1A C ,n 等于二面角1A DE B --的平面角,111cos 42AC AC AC ==,n n n . 所以二面角1A DE B --的大小为arccos 42······························································ 12分 20.解:(Ⅰ)依题意,113nn n n n S S a S ++-==+,即123nn n S S +=+, 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-. ·························································································· 4分因此,所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .① ·············································································· 6分(Ⅱ)由①知13(3)2nn n S a -=+-,*n ∈N ,于是,当2n ≥时,1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-, 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+- 22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,当2n ≥时,21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥.又2113a a a =+>.综上,所求的a 的取值范围是[)9-+∞,. ········································································· 12分21.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为2214x y +=,直线AB EF ,的方程分别为22x y +=,(0)y kx k =>. ··············································· 2分 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ,,,,,,其中12x x <, 且12x x ,满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=由6ED DF = 知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==;由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+. 所以212k =+,化简得2242560k k -+=,解得23k =或38k =. ············································································································ 6分 (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ,到AB 的距离分别为1h ==2h ==. ····································································· 9分又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12===≤当21k =,即当12k =时,上式取等号.所以S 的最大值为 ······························· 12分 解法二:由题设,1BO =,2AO =.设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······························································································································ 9分===当222x y =时,上式取等号.所以S 的最大值为 ·················································· 12分 22.解: (Ⅰ)22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++. ····································· 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+(k ∈Z )时,1cos 2x >-,即()0f x '>; 当2π4π2π2π33k x k +<<+(k ∈Z )时,1cos 2x <-,即()0f x '<. 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,(k ∈Z )是增函数,()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,(k ∈Z )是减函数. ···································· 6分 (Ⅱ)令()()g x ax f x =-,则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++ 211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭.故当13a ≥时,()0g x '≥. 又(0)0g =,所以当0x ≥时,()(0)0g x g =≥,即()f x ax ≤. ······························ 9分 当103a <<时,令()sin 3h x x ax =-,则()cos 3h x x a '=-. 故当[)0arccos3x a ∈,时,()0h x '>. 因此()h x 在[)0arccos3a ,上单调增加. 故当(0arccos3)x a ∈,时,()(0)0h x h >=, 即sin 3x ax >.于是,当(0arccos3)x a ∈,时,sin sin ()2cos 3x xf x ax x =>>+.当0a ≤时,有π1π0222f a ⎛⎫=>⎪⎝⎭ ≥. 因此,a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,.--------------------------------------------------------- 12分。

2008年高考全国数学(Ⅱ)卷

2008年高考全国数学(Ⅱ)卷

2008年高考全国数学(Ⅱ)卷试题、试卷分析及2009年高考走势试卷研究组:王春清康纯芳牛福利李海洋曲茹张传锋徐颖执笔人:徐颖一、2008年高考试题总体评价2008年是全国高考均使用新课程卷的第四个年头,自主命题的省份也延续了2006年的16个省份。

除了考试中心命制的、供部分省市使用的全国(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)卷外,自主命题的省份均进行了独立命题。

在这些试卷中,除了江西、山西和广东省数学文理合用一张卷外,其余包括三套全国卷在内的数学试卷均是文理分开的。

这样,2008年全国高考数学,共命制试题35套。

说明了伴随着课程改革的不断深入,高考改革也正在全国范围内迅速推进,预示着高考制度改革的春天即将到来。

今年是我省使用新课程卷的第五个年头,选用的仍是全国统一试卷(Ⅱ)。

从整体上来看,试题背景公平,面貌平和,易于入手。

基本保持了新课程卷8年来的一些基本做法。

特别是与近几年的试卷相比,出现了“五稳”的态势和“二新”的格局。

“五稳”。

即:稳在内容要求上,稳在试卷结构上,稳在题型、题量上,稳在各部分内容以及新增内容的分值比例上,稳在难易程度上,稳在应用题的落脚点上。

基础题、中档题、难题的分数比例分配上,08年基本达到(而不是理论上达到):5:3:2的比例。

“二新”,即:新在文科与理科试卷进一步分化,相同题、姊妹题的分数减少,不同题的分数增加,预示着命题者对向不同方向发展的学生,在数学素养方面的不同要求;新在难题(或曰能力题)的考查角度上,即在考查学生演绎推理的同时,注重了合情推理的考查,即观察、判断、猜想、类比推理等推理能力的考查(如理、文的12题),并从考查学生思维品质的严谨性和周密性入手(不苛求其深刻性),着力于对学生综合能力(包括阅读理解能力(如理19题))——运算能力、分析和解决问题能力,以及创新精神和实践能力的考查。

从而使08年的全国数学(Ⅱ)卷基本保持了近几年的命题风格,即:“难易适度、结构平稳、梯度合理、知情并重、新旧交融”,突显了“能力立意”的主导思想,体现了新课程的新理念——人人学有用的数学、人人学必要的数学、不同的人在数学上获得不同的发展。

2008年高考全国数学(Ⅱ)卷

2008年高考全国数学(Ⅱ)卷

2008年高考全国数学(Ⅱ)卷试题、试卷分析及2009年高考走势试卷研究组:王春清康纯芳牛福利李海洋曲茹张传锋徐颖执笔人:徐颖一、2008年高考试题总体评价2008年是全国高考均使用新课程卷的第四个年头,自主命题的省份也延续了2006年的16个省份。

除了考试中心命制的、供部分省市使用的全国(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)卷外,自主命题的省份均进行了独立命题。

在这些试卷中,除了江西、山西和广东省数学文理合用一张卷外,其余包括三套全国卷在内的数学试卷均是文理分开的。

这样,2008年全国高考数学,共命制试题35套。

说明了伴随着课程改革的不断深入,高考改革也正在全国范围内迅速推进,预示着高考制度改革的春天即将到来。

今年是我省使用新课程卷的第五个年头,选用的仍是全国统一试卷(Ⅱ)。

从整体上来看,试题背景公平,面貌平和,易于入手。

基本保持了新课程卷8年来的一些基本做法。

特别是与近几年的试卷相比,出现了“五稳”的态势和“二新”的格局。

“五稳”。

即:稳在内容要求上,稳在试卷结构上,稳在题型、题量上,稳在各部分内容以及新增内容的分值比例上,稳在难易程度上,稳在应用题的落脚点上。

基础题、中档题、难题的分数比例分配上,08年基本达到(而不是理论上达到):5:3:2的比例。

“二新”,即:新在文科与理科试卷进一步分化,相同题、姊妹题的分数减少,不同题的分数增加,预示着命题者对向不同方向发展的学生,在数学素养方面的不同要求;新在难题(或曰能力题)的考查角度上,即在考查学生演绎推理的同时,注重了合情推理的考查,即观察、判断、猜想、类比推理等推理能力的考查(如理、文的12题),并从考查学生思维品质的严谨性和周密性入手(不苛求其深刻性),着力于对学生综合能力(包括阅读理解能力(如理19题))——运算能力、分析和解决问题能力,以及创新精神和实践能力的考查。

从而使08年的全国数学(Ⅱ)卷基本保持了近几年的命题风格,即:“难易适度、结构平稳、梯度合理、知情并重、新旧交融”,突显了“能力立意”的主导思想,体现了新课程的新理念——人人学有用的数学、人人学必要的数学、不同的人在数学上获得不同的发展。

2008年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ理

2008年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ理

2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ.理)数学(必选+选修Ⅰ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式P (A+B )=P (A )+P (B ) S=4π2R如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 R (A·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 V =43πR 3 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k k n n p P C k P --=)1()((k=0,1,2,…,n )一、选择题1.设集合M={m ∈Z|-3<m <2}, N={n ∈Z|-1≤n ≤3},则M N=A .{0,1}B .{-1,0,1}C .{0,1,2}D .{-1,0,1,2}2.设a ,b ∈R ,且b≠0,若复数(a +bi )3是实数,则A .223a b =B .223b a =C .229a b =D .229b a = 3.函数x x x f -=1)(的图像关于 A .y 轴对称 B .直线x y -=对称 C .坐标原点对称 D .直线x y =对称4.若)1,(1-∈e x ,x c x b x a 3ln ,ln 2,ln ===,则A .c b a <<B .b a c <<C .c a b <<D .a c b <<5.设变量y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222,x y x x y ,则y x z 3-=的最小值为A .-2B .-4C .-6D .-86.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为A .299B .2910C .2919D .2920 7.46)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是 A .-4 B .-3 C .3 D .48.若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分布交于M 、N 两点,则|MN|的最大值为A .1B .2C .3D .29.设1>a ,则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是 A .(2,2) B .(2,5) C .(2,5) D .(2,5)10.已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE 、SD 所成的角的余弦值为A .31B .32C .33D .32 11.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为A .3B .2C .31-D .21- 12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于A .1B .2C .3D .2第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)把答案填在答题卡上。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷·理科)(附答案,完全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷·理科)(附答案,完全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题 共40分)注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上.一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ,集合{}|23A x x =-≤≤,{}|14B x x x =<->或,那么集合()UA B ð等于( ) A .{}|24x x -<≤ B .{}|34x x x 或≤≥ C .{}|21x x -<-≤D .{}|13x x -≤≤2.若0.52a =,πlog 3b =,22πlog sin 5c =,则( ) A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >>3.“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( ) A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20),的距离小1,则点P 的轨迹为( ) A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线5.若实数x y ,满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩,,,≥≥≤则23x yz +=的最小值是( )A .0B .1CD .96.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ,满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么10a 等于( ) A .165-B .33-C .30-D .21-7.过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ,,当直线12l l ,关于y x =对称时,它们之间的夹角为( ) A .30B .45C .60D .908.如图,动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD上.过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N ,.设B P x =,MN y =,则函数()y f x =的图象大致是( )A BC DMNP A 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第Ⅱ卷(共110分)注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9.已知2()2a i i -=,其中i 是虚数单位,那么实数a = .10.已知向量a 与b 的夹角为120,且4==a b ,那么(2)+b a b 的值为 .11.若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32,则n = ,其展开式中的常数项为 .(用数字作答)12.如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ,,的坐标分别为(04)(20)(64),,,,,,则((0))f f = ; 0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ .(用数字作答)13.已知函数2()cos f x x x =-,对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的任意12x x ,,有如下条件:①12x x >; ②2212x x >; ③12x x >. 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 .14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k 棵树种植在点()k k k P x y ,处,其中11x =,11y =,当2k ≥时,111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,. ()T a 表示非负实数a 的整数部分,例如(2.6)2T =,(0.2)0T =.按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分)已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的取值范围.16.(本小题共14分)如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥;(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面APB 的距离.17.(本小题共13分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ,,,四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数,求ξ的分布列.A CB P18.(本小题共13分)已知函数22()(1)x bf x x -=-,求导函数()f x ',并确定()f x 的单调区间. 19.(本小题共14分)已知菱形ABCD 的顶点A C ,在椭圆2234x y +=上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (Ⅰ)当直线BD 过点(01),时,求直线AC 的方程; (Ⅱ)当60ABC ∠=时,求菱形ABCD 面积的最大值. 20.(本小题共13分)对于每项均是正整数的数列12n A a a a :,,,,定义变换1T ,1T 将数列A 变换成数列1()T A :12111n n a a a ---,,,,. 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b :,,,,定义变换2T ,2T 将数列B 各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列2()T B ; 又定义2221212()2(2)m mS B b b mb b b b =+++++++. 设0A 是每项均为正整数的有穷数列,令121(())(012)k k A T T A k +==,,,. (Ⅰ)如果数列0A 为5,3,2,写出数列12A A ,;(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A ,证明1(())()S T A S A =;(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ,存在正整数K ,当k K ≥时,1()()k k S A S A +=.2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 9.1- 10.0 11.5 10 12.2 2-13.②14.(12), (3402), 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(共13分) 解:(Ⅰ)1cos 2()22x f x x ωω-=112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以2ππ2ω=,解得1ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为2π03x ≤≤, 所以ππ7π2666x --≤≤,所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤, 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤,即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. 16.(共14分)解法一:(Ⅰ)取AB 中点D ,连结PD CD ,. AP BP =, PD AB ∴⊥. AC BC =, CD AB ∴⊥. PD CD D =,ABDPEPAB ∴⊥平面PCD . PC ⊂平面PCD , PC AB ∴⊥.(Ⅱ)AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥.又90ACB ∠=,即AC BC ⊥,且ACPC C =,BC ∴⊥平面PAC .取AP 中点E .连结BE CE ,. AB BP =,BE AP ∴⊥.EC 是BE 在平面PAC 内的射影, CE AP ∴⊥.BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角.在BCE △中,90BCE ∠=,2BC =,2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==. ∴二面角B AP C --的大小为. (Ⅲ)由(Ⅰ)知AB ⊥平面PCD , ∴平面APB ⊥平面PCD .过C 作CH PD ⊥,垂足为H . 平面APB 平面PCD PD =,CH ∴⊥平面APB .CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离. 由(Ⅰ)知PC AB ⊥,又PC AC ⊥,且AB AC A =,PC ∴⊥平面ABC . CD ⊂平面ABC , PC CD ∴⊥.在Rt PCD △中,12CD AB ==PD ==2PC ∴=.23PC CD CH PD ∴==. ABDPH∴点C 到平面APB的距离为3. 解法二:(Ⅰ)AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥. AC BC C =,PC ∴⊥平面ABC . AB ⊂平面ABC , PC AB ∴⊥.(Ⅱ)如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则(000)(020)(200)C A B ,,,,,,,,. 设(00)P t ,,.PB AB ==, 2t ∴=,(002)P ,,.取AP 中点E ,连结BE CE ,.AC PC =,AB BP =,CE AP ∴⊥,BE AP ⊥.BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角.(011)E ,,,(011)EC =--,,,(211)EB =--,,,cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===. ∴二面角B AP C --的大小为 (Ⅲ)AC BC PC ==,C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ,且CH 的长为点C 到平面APB 的距离. 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系C xyz -.2BH HE =,∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭,,.233CH ∴=. ∴点C到平面APB 的距离为3. 17.(共13分)解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ,那么3324541()40A A P E C A ==,即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140. (Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ,那么4424541()10A P E C A ==,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=. (Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务,则235334541(2)4C A P C A ξ===.所以3(1)1(2)P P ξξ==-==,ξ的分布列是 18.(共13分)解:242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--. 令()0f x '=,得1x b =-.当11b -<,即2b <时,()f x '的变化情况如下表:当11b ->,即2b >时,()f x '的变化情况如下表:所以,当2b <时,函数()f x 在(1)b -∞-,上单调递减,在(11)b -,上单调递增, 在(1)+∞,上单调递减. 当2b >时,函数()f x 在(1)-∞,上单调递减,在(11)b -,上单调递增,在(1)b -+∞,上单调递减.当11b -=,即2b =时,2()1f x x =-,所以函数()f x 在(1)-∞,上单调递减,在(1)+∞,上单调递减.19.(共14分)解:(Ⅰ)由题意得直线BD 的方程为1yx =+. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥. 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+.由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩,得2246340x nx n -+-=. 因为A C ,在椭圆上,所以212640n ∆=-+>,解得33n -<<. 设A C ,两点坐标分别为1122()()x y x y ,,,,则1232n x x +=,212344n x x -=,11y x n =-+,22y x n =-+.所以122n y y +=. 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 由四边形ABCD 为菱形可知,点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭,在直线1y x =+上, 所以3144n n =+,解得2n =-. 所以直线AC 的方程为2y x =--,即20x y ++=. (Ⅱ)因为四边形ABCD 为菱形,且60ABC ∠=, 所以AB BC CA ==.所以菱形ABCD 的面积2S =. 由(Ⅰ)可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=,所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭.所以当0n =时,菱形ABCD 的面积取得最大值20.(共13分)(Ⅰ)解:0532A :,,,10()3421T A :,,,, 1210(())4321A T T A =:,,,; 11()43210T A :,,,,,2211(())4321A T T A =:,,,. (Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ,,,, 则1()T A 为n ,11a -,21a -,,1n a -,从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-. 又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++, 所以1(())()S T A S A - 122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=,故1(())()S T A S A =.(Ⅲ)证明:设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ,,,. 当存在1i j n <≤≤,使得i j a a ≤时,交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B , 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤. 当存在1m n <≤,使得120m m n a a a ++====时,若记数列12m a a a ,,,为C ,则()()S C S A =.所以2(())()S T A S A ≤.从而对于任意给定的数列0A ,由121(())(012)k k A T T A k +==,,, 可知11()(())k k S A S T A +≤.又由(Ⅱ)可知1(())()k k S T A S A =,所以1()()k k S A S A +≤. 即对于k ∈N ,要么有1()()k k S A S A +=,要么有1()()1k k S A S A +-≤. 因为()k S A 是大于2的整数,所以经过有限步后,必有12()()()k k k S A S A S A ++===. 即存在正整数K ,当k K ≥时,1()()k k S A S A +=.。

2008年数二真题及标准答案及解析

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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为( )()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3(2)曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数,则定积分()at af x dx ⎰( )()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3)在下列微分方程中,以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是( )()A 若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛.(6)设函数f 连续,若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y +=+⎰⎰,其中区域uv D 为图中阴影部分,则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u()C ()vf u()D ()vf u u(7)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30A =,则( )()A E A -不可逆,E A +不可逆.()B E A -不可逆,E A +可逆. ()C E A -可逆,E A +可逆.()D E A -可逆,E A +不可逆.(8)设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则在实数域上与A 合同的矩阵为( )()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 已知函数()f x 连续,且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-,则(0)____f =.(10)微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.(11)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (12)曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. (13)设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭,则(1,2)____z x ∂=∂.(14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-,则___λ=.三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定,其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)(本题满分9分)求积分1⎰.(18)(本题满分11分)求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数,且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞,直线0,x x t ==,曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数()f x 的表达式. (20)(本题满分11分)(1) 证明积分中值定理:若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b η∈,使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数,且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰,证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. (22)(本题满分12分)设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,现矩阵A 满足方程AX B =,其中()1,,Tn X x x =,()1,0,,0B =,(1)求证()1nA n a =+;(2)a 为何值,方程组有唯一解,并求1x ; (3)a 为何值,方程组有无穷多解,并求通解. (23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵,12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量,向量3α满足323A ααα=+, (1)证明123,,ααα线性无关; (2)令()123,,P ααα=,求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===,由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈,2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==,所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ,故0x =也是()f x '的零点, D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积,0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积,所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积.本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±,所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=,即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义,故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点,1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=,23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆. 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则()2121421E D λλλλ--==---,又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式,所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵,所以A 和D 相似.由于实对称矩阵相似必合同,故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--,则1cos()11cos()x yy xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-,将(0)1y =代入得1x dy dx==,所以切线方程为10y x -=-,即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)--【详解】5325y x x =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时,0y ''=;0x =时,y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号,在0x =左右近旁0y ''>,且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==,则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一:4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二:331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一:由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =,积分并由条件0t x =得21x e t =+,即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二:由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =,积分并由条件0t x =得21x e t =+,即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一:由于21x -→=+∞,故21⎰是反常积分.令arcsin x t =,有sin x t =,[0,2)t π∈2212222000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二:21⎰1221(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =,有sin x t =,[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故,原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +,为了便于计算继续对 区域分割,最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰,侧面积02(tS f x π=⎰,由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C +=+, 即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =,故t y e +=,1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2x x y f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值,即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质,有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰,即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理,至少存在一点[,]a b η∈,使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈,使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰,知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理,并注意到(1)(2)ϕϕ<,()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理,有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一:作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72,最小值为6.方法二:问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--,代入22z x y =+,得122,8z z == 故所求的最大值为72,最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一:2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二:记||n D A =,下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+. 当1n =时,12D a =,结论成立.当2n =时,2222132a D a a a==,结论成立. 假设结论对小于n 的情况成立.将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三:记||n D A =,将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-, 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解,所以由Ax B =知0A ≠,又(1)nA n a =+,故0a ≠.由克莱姆法则,将n D 的第1列换成b ,得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解,由0A =,有0a =,则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -,所以方程组有无穷多解,其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数.本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一:假设123,,ααα线性相关.因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量,故12,αα线性无关,则3α可由12,αα线性表出,不妨设31122l l ααα=+,其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0,则3α为0,由323A ααα=+可知20α=,而特征向量都是非0向量,矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++,又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++,整理得:11220l αα+=则12,αα线性相关,矛盾. 所以,123,,ααα线性无关.证法二:设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量,所以12,αα线性无关,从而130k k ==,代入(1)得220k α=,又由于20α≠,所以20k =,故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=,则P 可逆,123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)

2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)

2008 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)一、选择题(共12 小题,每小题5 分,满分60 分)1.(5 分)设集合M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈Z|﹣1≤n≤3},则M∩N=()A.{0,1} B.{﹣1,0,1}C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}2.(5 分)设a,b∈R 且b≠0,若复数(a+bi)3是实数,则()A.b2=3a2B.a2=3b2C.b2=9a2D.a2=9b23.(5分)函数f(x)=﹣x 的图象关于()A.y 轴对称B.直线y=﹣x 对称C.坐标原点对称D.直线y=x 对称4.(5 分)若x∈(e﹣1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则()A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a5.(5 分)设变量x,y 满足约束条件:,则z=x﹣3y 的最小值()A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣86.(5分)从20 名男同学,10 名女同学中任选3 名参加体能测试,则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A.B.C.D.7.(5 分)(1﹣)6(1+)4的展开式中x 的系数是()A.﹣4 B.﹣3 C.3 D.48.(5分)若动直线x=a 与函数f(x)=sinx 和g(x)=cosx 的图象分别交于M,N 两点,则|MN|的最大值为()A.1 B.C.D.29.(5 分)设a>1,则双曲线的离心率e 的取值范围是()A.B.C.(2,5)D.10.(5分)已知正四棱锥S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE、SD 所成的角的余弦值为()A.B.C.D.11.(5 分)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0 与x﹣7y﹣4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为()A.3 B.2 C.D.12.(5 分)已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于()A.1 B.C.D.2二、填空题(共4 小题,每小题5 分,满分20 分)13.(5 分)设向量,若向量与向量共线,则λ=.14.(5分)设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0 垂直,则a=.15.(5 分)已知F 是抛物线C:y2=4x 的焦点,过F 且斜率为1 的直线交C 于A,B 两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于.16.(5 分)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件①;充要条件②.(写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题(共6 小题,满分70 分)17.(10 分)在△ABC 中,cosB=﹣,cosC=.(1)求sinA 的值(2)设△ABC 的面积S△ABC=,求BC 的长.18.(12 分)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1﹣0.999 .(I)求一投保人在一年度内出险的概率p;(II)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).19.(12 分)如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点E 在CC1 上且C1E=3EC.(I)证明:A1C⊥平面BED;(II)求二面角A1﹣DE﹣B 的大小.20.(12 分)设数列{a n}的前n 项和为S n.已知a1=a,a n+1=S n+3n,n∈N*.(I)设b n=S n﹣3n,求数列{b n}的通项公式;(II)若a n+1≥a n,n∈N*,求a 的取值范围.21.(12 分)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆相交于E、F 两点.(I)若,求k 的值;(II)求四边形AEBF 面积的最大值.22.(12 分)设函数.(I)求f(x)的单调区间;(II)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a 的取值范围.2008 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题(共12 小题,每小题5 分,满分60 分)1.(5 分)设集合M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈Z|﹣1≤n≤3},则M∩N=()A.{0,1} B.{﹣1,0,1}C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}【考点】1E:交集及其运算.【分析】由题意知集合M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈z|﹣1≤n≤3},然后根据交集的定义和运算法则进行计算.【解答】解:∵M={﹣2,﹣1,0,1},N={﹣1,0,1,2,3},∴M∩N={﹣1,0,1},故选:B.【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题.2.(5 分)设a,b∈R 且b≠0,若复数(a+bi)3是实数,则()A.b2=3a2B.a2=3b2C.b2=9a2D.a2=9b2【考点】A5:复数的运算.【分析】复数展开,化为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部为0 即可.【解答】解:(a+bi)3=a3+3a2bi﹣3ab2﹣b3i=(a3﹣3ab2)+(3a2b﹣b3)i,因是实数且b≠0,所以3a2b﹣b3=0⇒b2=3a2故选:A.【点评】本题考查复数的基本运算,是基础题.3.(5 分)函数f(x)=﹣x 的图象关于()A.y 轴对称B.直线y=﹣x 对称C.坐标原点对称D.直线y=x 对称【考点】3M:奇偶函数图象的对称性.【分析】根据函数f(x)的奇偶性即可得到答案.【解答】解:∵f(﹣x)=﹣+x=﹣f(x)∴是奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称故选:C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质,是高考必考题型.4.(5 分)若x∈(e﹣1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则()A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a【考点】4M:对数值大小的比较.【分析】根据函数的单调性,求a 的范围,用比较法,比较a、b 和a、c 的大小.【解答】解:因为a=lnx 在(0,+∞)上单调递增,故当x∈(e﹣1,1)时,a∈(﹣1,0),于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx<0,从而b<a.又a﹣c=lnx﹣ln3x=a(1+a)(1﹣a)<0,从而a<c.综上所述,b<a<c.故选:C.【点评】对数值的大小,一般要用对数的性质,比较法,以及0 或1 的应用,本题是基础题.5.(5 分)设变量x,y 满足约束条件:,则z=x﹣3y 的最小值()A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8【考点】7C:简单线性规划.【专题】11:计算题.【分析】我们先画出满足约束条件:的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z=x﹣3y 的最小值.【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点(﹣2,2)取最小值﹣8故选:D.【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.6.(5分)从20 名男同学,10 名女同学中任选3 名参加体能测试,则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A.B.C.D.【考点】C6:等可能事件和等可能事件的概率.【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件从30 名同学中任选3 名参加体能测试共有C303 种结果,而满足条件的事件是选到的3 名同学中既有男同学又有女同学共有C201C102+C202C101 种结果.代入公式得到结果.【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,;3020 10 20 10 ∵试验发生的所有事件从 30 名同学中任选 3 名参加体能测试共有 C 3 种结果,满足条件的事件是选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学共有C 1C 2+C 2C 1 种结果,∴由古典概型公式得到,故选:D .【点评】本题考查的是古典概型,可以从它的对立事件来考虑,概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象.7.(5 分)(1﹣)6(1+)4 的展开式中 x 的系数是() A .﹣4B .﹣3C .3D .4【考点】DA :二项式定理. 【专题】11:计算题.【分析】展开式中 x 的系数由三部分和组成: 的常数项与展开式的 x 的系数积 的展开式的 x 的系数与的常数项的积;的的系数与的的系数积.利用二项展开式的通项求得各项系数.【解答】解: 的展开式的通项为∴展开式中常数项为 C 60,含 x 的项的系数为 C 62,含的项的系数为﹣C 61的展开式的通项为∴ 的展开式中的 x 的系数为 C 42,常数项为 C 40,含的项的系数为 C 41故的展开式中 x 的系数是:C 60C 42+C 62C 40﹣C 61C 41=6+15﹣24=﹣3 故选:B .【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.8.(5 分)若动直线 x=a 与函数 f (x )=sinx 和 g (x )=cosx 的图象分别交于 M , N 两点,则|MN |的最大值为( )A .1B .C .D .2【考点】H2:正弦函数的图象;H7:余弦函数的图象. 【分析】可令 F (x )=|sinx ﹣cosx |求其最大值即可. 【解答】解:由题意知:f (x )=sinx 、g (x )=cosx 令 F (x )=|sinx ﹣cosx |= |sin (x ﹣)|当 x ﹣=+kπ,x=+kπ,即当 a=+kπ 时,函数 F (x )取到最大值故选:B .【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系.属基础题.9.(5 分)设 a >1,则双曲线的离心率 e 的取值范围是()A .B .C .(2,5)D .【考点】KC :双曲线的性质. 【专题】11:计算题. 【分析】根据题设条件可知 ,然后由实数 a的取值范围可以求出离心率 e 的取值范围.【解答】解:,因为是减函数,所以当a>1 时,所以2<e2<5,即,故选:B.【点评】本题的高考考点是解析几何与函数的交汇点,解题时要注意双曲线性质的灵活运用.10.(5分)已知正四棱锥S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE、SD 所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】11:计算题;35:转化思想.【分析】由于是正方体,又是求角问题,所以易选用向量量,所以建立如图所示坐标系,先求得相关点的坐标,进而求得相关向量的坐标,最后用向量夹角公式求解.【解答】解:建立如图所示坐标系,令正四棱锥的棱长为2,则A(1,﹣1,0),D(﹣1,﹣1,0),S(0,0,),E,= ,=(﹣1,﹣1,﹣)∴cos<>=故选:C.【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法,同时,还考查了转化思想和运算能力,属中档题.11.(5 分)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0 与x﹣7y﹣4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为()A.3 B.2 C.D.【考点】IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.【专题】16:压轴题.【分析】利用原点在等腰三角形的底边上,可设底边方程y=kx,用到角公式,再借助草图,选项判定结果即可.【解答】解:l1:x+y﹣2=0,k1=﹣1,,设底边为l3:y=kx 由题意,l3 到l1 所成的角等于l2 到l3 所成的角于是有,解得k=3 或k=﹣,因为原点在等腰三角形的底边上,所以k=3.k= ,原点不在等腰三角形的底边上(舍去),故选:A.【点评】两直线成角的概念及公式;本题是由教材的一个例题改编而成.(人教版P49 例7)解题过程值得学习.12.(5 分)已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于()A.1 B.C.D.2【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】求解本题,可以从三个圆心上找关系,构建矩形利用对角线相等即可求解出答案.【解答】解:设两圆的圆心分别为O1、O2,球心为O,公共弦为AB,其中点为E,则OO1EO2 为矩形,于是对角线O1O2=OE,而OE==,∴O1O2=故选:C.【点评】本题考查球的有关概念,两平面垂直的性质,是基础题.二、填空题(共4 小题,每小题5 分,满分20 分)13.(5 分)设向量,若向量与向量共线,则λ= 2 .【考点】96:平行向量(共线).【分析】用向量共线的充要条件:它们的坐标交叉相乘相等列方程解.【解答】解:∵a=(1,2),b=(2,3),∴λα+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3).∵向量λα+b 与向量c=(﹣4,﹣7)共线,∴﹣7(λ+2)+4(2λ+3)=0,∴λ=2.故答案为2【点评】考查两向量共线的充要条件.14.(5分)设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0 垂直,则a= 2 .【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】11:计算题.【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,再根据两直线垂直建立等式关系,解之即可.【解答】解:∵y=e ax∴y′=αe ax∴曲线y=e ax在点(0,1)处的切线方程是y﹣1=a(x﹣0),即ax﹣y+1=0∵直线ax﹣y+1=0 与直线x+2y+1=0 垂直∴﹣a=﹣1,即a=2.故答案为:2【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两直线垂直的应用等有关问题,属于基础题.15.(5 分)已知F 是抛物线C:y2=4x 的焦点,过F 且斜率为1 的直线交C 于A,B 两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于.【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】先设点A,B 的坐标,求出直线方程后与抛物线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程,求出两根,再由抛物线的定义得到答案.【解答】解:设A(x1,y1)B(x2,y2)由,,(x1>x2)∴由抛物线的定义知故答案为:【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线定义的应用16.(5 分)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件①三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体;充要条件②平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分;.(写出你认为正确的两个充要条件)【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件;L2:棱柱的结构特征.【专题】16:压轴题;21:阅读型.【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及棱柱的结构特征及类比推理,由平行六面体与平行四边形的定义相似,故我们可以类比平行四边形的性质,类比推断平行六面体的性质.【解答】解:类比平行四边形的性质:两组对边分别平行的四边形为平行四边形,则我们类比得到:三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体.类比平行四边形的性质:两条对角线互相平分,则我们类比得到:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分;故答案为:三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体;平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分;【点评】类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).三、解答题(共6 小题,满分70 分)17.(10 分)在△ABC 中,cosB=﹣,cosC=.(1)求sinA 的值(2)设△ABC 的面积S△ABC=,求BC 的长.【考点】HT:三角形中的几何计算.【专题】11:计算题.【分析】(Ⅰ)由cosB,cosC 分别求得sinB 和sinC,再通过sinA=sin(B+C),利用两角和公式,进而求得sinA.(Ⅱ)由三角形的面积公式及(1)中的sinA,求得AB•AC的值,再利用正弦定理求得AB,再利用正弦定理进而求得BC.【解答】解:(Ⅰ)由,得,由,得.所以.(Ⅱ)由得,由(Ⅰ)知,故AB×AC=65,又,故,.所以.【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用.属基础题.18.(12 分)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1﹣0.999 .(I)求一投保人在一年度内出险的概率p;(II)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题.【分析】(1)由题意知各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p,记投保的10000 人中出险的人数为ξ,由题意知ξ服从二项分布一投保人在一年度内出险的对立事件是没有一个人出险.(2)写出本险种的收入和支出,表示出它的盈利期望,根据为保证盈利的期望不小于0,列出不等式,解出每位投保人应交纳的最低保费.【解答】解:由题意知各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p,记投保的10000 人中出险的人数为ξ,由题意知ξ~B(104,p).(I)记A 表示事件:保险公司为该险种至少支付10000 元赔偿金,则发生当且仅当ξ=0,=1﹣P(ξ=0)=1﹣(1﹣p)104,又P(A)=1﹣0.999104,故p=0.001.(II)该险种总收入为10000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和.支出10000ξ+50000,盈利η=10000α﹣(10000ξ+50000),盈利的期望为Eη=10000α﹣10000Eξ﹣50000,由ξ~B(104,10﹣3)知,Eξ=10000×10﹣3,Eη=104a﹣104Eξ﹣5×104=104a﹣104×104×10﹣3﹣5×104.Eη≥0⇔104a﹣104×10﹣5×104≥0⇔a﹣10﹣5≥0⇔a≥15(元).∴每位投保人应交纳的最低保费为15 元.【点评】解决离散型随机变量分布列问题时,主要依据概率的有关概念和运算,同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布,若服从特殊的分布则运算要简单的多.19.(12 分)如图,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点E 在CC1 上且C1E=3EC.(I)证明:A1C⊥平面BED;(II)求二面角A1﹣DE﹣B 的大小.【考点】LW:直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】14:证明题;15:综合题;35:转化思想.【分析】法一:(Ⅰ)要证A1C⊥平面BED,只需证明A1C 与平面BED 内两条相交直线BD,EF 都垂直;(Ⅱ)作GH⊥DE,垂足为H,连接A1H,说明∠A1HG 是二面角A1﹣DE﹣B 的平面角,然后解三角形,求二面角A1﹣DE﹣B 的大小.法二:建立空间直角坐标系,(Ⅰ)求出,证明A1C⊥平面DBE.(Ⅱ)求出平面DA1E 和平面DEB 的法向量,求二者的数量积可求二面角A1﹣DE﹣B 的大小.【解答】解:解法一:依题设知AB=2,CE=1.(I)连接AC 交BD 于点F,则BD⊥AC.由三垂线定理知,BD⊥A1C.(3分)在平面A1CA 内,连接EF 交A1C 于点G,由于,故Rt△A1AC∽Rt△FCE,∠AA1C=∠CFE,∠CFE 与∠FCA1 互余.于是A1C⊥EF.A1C 与平面BED 内两条相交直线BD,EF 都垂直,所以A1C⊥平面BED.(6 分)(II)作GH⊥DE,垂足为H,连接A1H.由三垂线定理知A1H⊥DE,故∠A1HG 是二面角A1﹣DE﹣B 的平面角.(8分),. ,又,..所以二面角 A 1﹣DE ﹣B 的大小为.((12 分))解法二:以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系 D ﹣xyz .依题设,B (2,2,0),C (0,2,0),E (0,2,1),A 1(2,0,4).,.(3 分)(Ⅰ)因为,,故 A 1C ⊥BD ,A 1C ⊥DE . 又 DB ∩DE=D ,所以 A 1C ⊥平面 DBE .(6 分)(Ⅱ)设向量=(x ,y ,z )是平面 DA 1E 的法向量,则,.故 2y +z=0,2x +4z=0.令 y=1,则 z=﹣2,x=4,=(4,1,﹣2).(9 分) 等于二面角 A 1﹣DE ﹣B 的平面角,所以二面角 A 1﹣DE ﹣B 的大小为.(12 分),.n n n n ﹣n +1 n n +1 n n nnn nn +1 n n +1 nn n nn ﹣1【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的求法,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.20.(12 分)设数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 a 1=a ,a n +1=S n +3n ,n ∈N *.(I ) 设 b n =S n ﹣3n ,求数列{b n }的通项公式; (II ) 若 a n +1≥a n ,n ∈N *,求 a 的取值范围.【考点】81:数列的概念及简单表示法;8H :数列递推式. 【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】(Ⅰ)依题意得 S =2S +3n ,由此可知 S ﹣3n +1=2(S ﹣3n ).所以 b =S ﹣3n =(a ﹣3)2n ﹣1,n ∈N *.( Ⅱ ) 由题设条件知 S =3n + ( a ﹣ 3 ) 2n ﹣ 1 , n ∈ N * , 于是, a =S ﹣ S 1=,由此可以求得 a 的取值范围是[﹣9,+∞).【解答】解:(Ⅰ)依题意,S n +1﹣S n =a n +1=S n +3n ,即 S n +1=2S n +3n ,由此得 S ﹣3n +1=2S +3n ﹣3n +1=2(S ﹣3n ).(4 分) 因此,所求通项公式为 b =S ﹣3n =(a ﹣3)2n ﹣1,n ∈N *.①(6 分) (Ⅱ)由①知 S =3n +(a ﹣3)2n ﹣1,n ∈N *,于是,当 n ≥2 时,a =S ﹣S =3n +(a ﹣3)×2n ﹣1﹣3n ﹣1﹣(a ﹣3)×2n ﹣2=2×3n ﹣1+(a ﹣3)2n ﹣2, a ﹣a =4×3n ﹣1+(a ﹣3)2n ﹣2= ,当 n ≥2 时, ⇔a ≥﹣9.又 a 2=a 1+3>a 1.综上,所求的 a 的取值范围是[﹣9,+∞).(12 分)【点评】本题考查数列的综合运用,解题时要仔细审题,注意挖掘题设中的隐含条件.21.(12 分)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆相交于E、F 两点.(I)若,求k 的值;(II)求四边形AEBF 面积的最大值.【考点】96:平行向量(共线);KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】(1)依题可得椭圆的方程,设直线AB,EF 的方程分别为x+2y=2,y=kx,D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),且x1,x2 满足方程(1+4k2)x2=4,进而求得x2 的表达式,进而根据求得x0 的表达式,由D 在AB 上知x0+2kx0=2,进而求得x0 的另一个表达式,两个表达式相等求得k.(Ⅱ)由题设可知|BO|和|AO|的值,设y1=kx1,y2=kx2,进而可表示出四边形AEBF 的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值.【解答】解:(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为,直线AB,EF 的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2 满足方程(1+4k2)x2=4,故.①由知x0﹣x1=6(x2﹣x0),得;由D 在AB 上知x0+2kx0=2,得.所以,化简得24k2﹣25k+6=0,解得或.(Ⅱ)由题设,|BO|=1,|AO|=2.由(Ⅰ)知,E(x1,kx1),F(x2,kx2),不妨设y1=kx1,y2=kx2,由①得x2>0,根据E 与F 关于原点对称可知y2=﹣y1>0,故四边形AEBF 的面积为S=S△OBE +S△OBF+S△OAE+S△OAF=•(﹣y1)==x2+2y2===,当x2=2y2时,上式取等号.所以S 的最大值为.【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容,问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等,而不同的解题途径其运算量繁简差别很大.22.(12 分)设函数.(I)求f(x)的单调区间;(II)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a 的取值范围.【考点】3R:函数恒成立问题;6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】(1)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0 和fˊ(x)<0,求出单调区间.(2)令g(x)=ax﹣f(x),根据导数研究单调性的方法,即转化成研究对任何x≥0,都有g(x)≥0 恒成立,再利用分类讨论的方法求出a 的范围.【解答】解:(Ⅰ).(2 分)当(k∈Z)时,,即f'(x)>0;当(k∈Z)时,,即f'(x)<0.因此f(x)在每一个区间(k∈Z)是增函数,f(x)在每一个区间(k∈Z)是减函数.(6分)(Ⅱ)令g (x )=ax ﹣ f (x ),则= = .故当时,g'(x)≥0.又g(0)=0,所以当x≥0 时,g(x)≥g(0)=0,即f(x)≤ax.(9 分)当时,令h(x)=sinx﹣3ax,则h'(x)=cosx﹣3a.故当x∈[0,arccos3a)时,h'(x)>0.因此h(x)在[0,arccos3a)上单调增加.故当x∈(0,arccos3a)时,h(x)>h(0)=0,即sinx>3ax.于是,当x∈(0,arccos3a)时,.当a≤0 时,有.因此,a 的取值范围是.(12 分)【点评】本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.。

全国各地2008年数学高考真题及答案-(陕西.理)含详解

全国各地2008年数学高考真题及答案-(陕西.理)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学(必修+选修Ⅱ)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.复数(2)12i i i+-等于( ) A .i B .i - C .1D .1-2.已知全集{12345}U =,,,,,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈,,则集合()U A B ð中元素的个数为( ) A .1B .2C .3D .43.ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,若120c b B ===,则a等于( )AB .2CD 4.已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则该数列前10项和10S 等于( ) A .64B .100C .110D .12050y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于( )A B .C .-D .-6.“18a =”是“对任意的正数x ,21ax x+≥”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 7.已知函数3()2x f x +=,1()fx -是()f x 的反函数,若16mn =(m n ∈+R ,),则11()()f m f n --+的值为( )A .2-B .1C .4D .108.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别是12F F ,,过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )ABCD9.如图,l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ,,,,,到l 的距离分别是a 和b ,AB 与αβ,所成的角分别是θ和ϕ,AB 在αβ,内的射影分别是m 和n ,若a b >,则( ) A .m n θϕ>>, B .m n θϕ><, C .m n θϕ<<,D .m n θϕ<>,10.已知实数x y ,满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥,≤,≤.如果目标函数z x y =-的最小值为1-,则实数m 等于( ) A .7 B .5C .4D .311.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++(x y ∈R ,),(1)2f =,则(3)f -等于( )A .2B .3C .6D .9 12.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为012i a a a a ,{01}∈,(012i =,,),传输信息为00121h a a a h ,其中001102h a a h h a =⊕=⊕,,⊕运算规则为:000⊕=,011⊕=,101⊕=,110⊕=,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A .11010 B .01100 C .10111 D .00011二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题4分,共16分). 13.(1)1lim2n a n n a∞++=+→,则a = .14.长方体1111ABCD A BC D -的各顶点都在球O 的球面上,其中1::AB AD AA =A B ,两点的球面距离记为m ,1A D ,两点的球面距离记为n ,则mn的值为 . 15.关于平面向量,,a b c .有下列三个命题:①若a b =a c ,则=b c .②若(1)(26)k ==-,,,a b ,∥a b ,则3k =-. ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ,则a 与+a b 的夹角为60.其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)16.某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火A B abl αβ炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种.(用数字作答).三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共74分) 17.(本小题满分12分)已知函数2()2sincos 444x x xf x =-. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最值;(Ⅱ)令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,判断函数()g x 的奇偶性,并说明理由. 18.(本小题满分12分)某射击测试规则为:每人最多射击3次,击中目标即终止射击,第i 次击中目标得1~i (123)i =,,分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.(Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率;(Ⅱ)该射手的得分记为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望. 19.(本小题满分12分)三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为111A B C ,90BAC ∠=,1A A ⊥平面ABC,1A AAB =,2AC =,111AC =,12BD DC =. (Ⅰ)证明:平面1A AD ⊥平面11BCC B ; (Ⅱ)求二面角1A CC B --的大小. 20.(本小题满分12分)已知抛物线C :22y x =,直线2y kx =+交C 于A B ,两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(Ⅰ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行;(Ⅱ)是否存在实数k 使0NA NB =,若存在,求k 的值;若不存在,说明理由.A 1 AC 1B 1BDC21.(本小题满分12分) 已知函数21()kx f x x c+=+(0c >且1c ≠,k ∈R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x c =-.(Ⅰ)求函数()f x 的另一个极值点;(Ⅱ)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求1M m -≥时k 的取值范围. 22.(本小题满分14分) 已知数列{}n a 的首项135a =,1321nn n a a a +=+,12n = ,,. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的0x >,21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥,12n = ,,; (Ⅲ)证明:2121n n a a a n +++>+ .2008年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案一、1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.A 8.B 9.D 10.B 11.C 12.C 二、13.1 14.1215.② 16.961.复数(2)12i i i+-等于( ) A .i B .i - C .1D .1-解:(2)2111212i i i i i+-==--- 2.已知全集{12345}U =,,,,,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈,,则集合()U A B ð中元素的个数为( ) A .1B .2C .3D .4解:{1,2},{2,4}A B ==,{1,2,4}A B = ,(){3,5}U A B = ∴ð3.ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,若120c b B ===,则a等于( ) AB .2CD解:由正弦定理1sin sin120sin 2C C =⇒=,于是3030C A a c =⇒=⇒==4.已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则该数列前10项和10S 等于( ) A .64B .100C .110D .120解:设公差为d ,则由已知得112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩1101109101210022a S d =⎧⨯⇒⇒=⨯+⨯=⎨=⎩50y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于( ) AB.C.-D.-解:圆的方程22(1)3x y -+=,圆心(1,0到直线的距离等于半径m⇒=⇒=m⇒=m⇒=-6.“18a=”是“对任意的正数x,21axx+≥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:18a=12218ax xx x⇒+=+≥,另一方面对任意正数x,21axx+≥只要21axx+=≥≥18a⇒≥,所以选A7.已知函数3()2xf x+=,1()f x-是()f x的反函数,若16mn=(m n∈+R,),则11()()f m f n--+的值为()A.2-B.1 C.4 D.10解:312()2()log3xf x f x x+-=⇒=-于是11222()()log3log3log6f m f n m n mn--+=-+-=-2log166462=-=-=-8.双曲线22221x ya b-=(0a>,0b>)的左、右焦点分别是12F F,,过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点,若2MF垂直于x轴,则双曲线的离心率为()ABCD解:如图在12Rt MF F中,121230,2MF F F F c∠==12cos30cMF==∴,22tan30MF c=⋅=122a MF MF=-==∴cea⇒=9.如图,l A B A Bαβαβαβ⊥=∈∈,,,,,到l的距离分别是a和b,AB与αβ,所成的角分别是θ和ϕ,AB在αβ,内的射影分别是m和n,若a b>,则()A.m nθϕ>>,B.m nθϕ><,C.m nθϕ<<,D.m nθϕ<>,解:由勾股定理22222a nb m AB+=+=,又a b>,m n>∴ABablαβs i nb AB θ=,sin aABφ=,而a b >,所以sin sin θφ<,得θφ< 10.已知实数x y ,满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥,≤,≤.如果目标函数z x y =-的最小值为1-,则实数m 等于( ) A .7B .5C .4D .3解:画出x y ,满足的可行域,可得直线21y x =-与直线x y m +=的交点使目标函数z x y =-取得最小值,故21y x x y m=-⎧⎨+=⎩ ,解得121,33m m x y +-==, 代入1x y -=- 得1211533m m m +--=-⇒= 11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++(x y ∈R ,),(1)2f =,则(3)f -等于( ) A .2B .3C .6D .9解:令0(0)0x y f ==⇒=,令1(2)2(1)26x y f f ==⇒=+=;令2,1(3)(2)(1)412x y f f f ==⇒=++=,再令3,3x y ==-得0(33)(3)(3)18(3)18(3)6f f f f f =-=+--⇒-=-=12.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为012i a a a a ,{01}∈,(012i =,,),传输信息为00121h a a a h ,其中001102h a a h h a =⊕=⊕,,⊕运算规则为:000⊕=,011⊕=,101⊕=,110⊕=,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A .11010 B .01100 C .10111 D .00011 解:C 选项传输信息110,0011h =⊕=,102110h h a =⊕=⊕=应该接收信息10110。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)、数学(理)(有答案)

2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)、数学(理)(有答案)

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题 共40分)注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上.一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ,集合{}|23A x x =-≤≤,{}|14B x x x =<->或,那么集合()UAB ð等于( )A .{}|24x x -<≤ B .{}|34x x x 或≤≥ C .{}|21x x -<-≤D .{}|13x x -≤≤2.若0.52a =,πlog 3b =,22πlog sin 5c =,则( ) A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >>3.“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( ) A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20),的距离小1,则点P 的轨迹为( ) A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线5.若实数x y ,满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩,,,≥≥≤则23x yz +=的最小值是( )A .0B .1CD .96.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ,满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么10a 等于( )A .165-B .33-C .30-D .21-7.过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ,,当直线12l l ,关于y x =对称时,它们之间的夹角为( )A .30B .45C .60D .908.如图,动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上.过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N ,.设B P x =,MN y =,则函数()y f x =的图象大致是( )2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第Ⅱ卷(共110分)注意事项:1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9.已知2()2a i i -=,其中i 是虚数单位,那么实数a = .10.已知向量a 与b 的夹角为120,且4==a b ,那么(2)+b a b 的值为 .11.若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32,则n = ,其展开式中的常数项为 .(用数字作答)12.如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ,,的坐标分别为(04)(20)(64),,,,,,则((0))f f = ;(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ .(用数字作答)A BCD MN P A 1B 1C 1D 113.已知函数2()cos f x x x =-,对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的任意12x x ,,有如下条件:①12x x >; ②2212x x >; ③12x x >.其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 .14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k 棵树种植在点()k k k P x y ,处,其中11x =,11y =,当2k ≥时,111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,. ()T a 表示非负实数a 的整数部分,例如(2.6)2T =,(0.2)0T =.按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分)已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的取值范围.16.(本小题共14分)如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥;(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面APB 的距离.ACBP17.(本小题共13分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ,,,四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数,求ξ的分布列.18.(本小题共13分) 已知函数22()(1)x bf x x -=-,求导函数()f x ',并确定()f x 的单调区间.19.(本小题共14分)已知菱形ABCD 的顶点A C ,在椭圆2234x y +=上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (Ⅰ)当直线BD 过点(01),时,求直线AC 的方程; (Ⅱ)当60ABC ∠=时,求菱形ABCD 面积的最大值. 20.(本小题共13分)对于每项均是正整数的数列12n A a a a :,,,,定义变换1T ,1T 将数列A 变换成数列1()T A :12111n n a a a ---,,,,. 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b :,,,,定义变换2T ,2T 将数列B 各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列2()T B ; 又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++.设0A 是每项均为正整数的有穷数列,令121(())(012)k k A T T A k +==,,,. (Ⅰ)如果数列0A 为5,3,2,写出数列12A A ,;(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A ,证明1(())()S T A S A =;(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ,存在正整数K ,当k K ≥时,1()()k k S A S A +=.2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 9.1- 10.0 11.5 10 12.2 2-13.②14.(12), (3402), 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(共13分) 解:(Ⅰ)1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以2ππ2ω=,解得1ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为2π03x ≤≤, 所以ππ7π2666x --≤≤,所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤, 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤,即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. 16.(共14分)解法一:(Ⅰ)取AB 中点D ,连结PD CD ,. AP BP =, PD AB ∴⊥. AC BC =, CD AB ∴⊥.ABDPPD CD D =, AB ∴⊥平面PCD . PC ⊂平面PCD , PC AB ∴⊥.(Ⅱ)AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥.又90ACB ∠=,即AC BC ⊥,且ACPC C =,BC ∴⊥平面PAC .取AP 中点E .连结BE CE ,. AB BP =,BE AP ∴⊥.EC 是BE 在平面PAC 内的射影, CE AP ∴⊥.BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角.在BCE △中,90BCE ∠=,2BC =,2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==. ∴二面角B AP C --的大小为arcsin(Ⅲ)由(Ⅰ)知AB ⊥平面PCD , ∴平面APB ⊥平面PCD .过C 作CH PD ⊥,垂足为H . 平面APB 平面PCD PD =,CH ∴⊥平面APB .CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离. 由(Ⅰ)知PC AB ⊥,又PC AC ⊥,且AB AC A =,PC ∴⊥平面ABC . CD ⊂平面ABC , PC CD ∴⊥.在Rt PCD △中,12CD AB ==PD PB ==2PC ∴==.23PC CD CH PD ∴==. ACBE P ACBDPH∴点C 到平面APB. 解法二:(Ⅰ)AC BC =,AP BP =, APC BPC ∴△≌△. 又PC AC ⊥, PC BC ∴⊥. AC BC C =,PC ∴⊥平面ABC . AB ⊂平面ABC , PC AB ∴⊥.(Ⅱ)如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -. 则(000)(020)(200)C A B ,,,,,,,,. 设(00)P t ,,.PB AB ==2t ∴=,(002)P ,,. 取AP 中点E ,连结BE CE ,.AC PC =,AB BP =,CE AP ∴⊥,BE AP ⊥.BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角.(011)E ,,,(011)EC =--,,,(211)EB =--,,,cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===. ∴二面角B AP C --的大小为. (Ⅲ)AC BC PC ==,C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ,且CH 的长为点C 到平面APB 的距离. 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系C xyz -.2BH HE =,∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭,,.y23CH ∴=. ∴点C 到平面APB 的距离为3. 17.(共13分)解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ,那么3324541()40A A P E C A ==,即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140. (Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ,那么4424541()10A P E C A ==,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=. (Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务,则235334541(2)4C A P C A ξ===.所以3(1)1(2)P P ξξ==-==,ξ的分布列是18.(共13分)解:242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--. 令()0f x '=,得1x b =-.当11b -<,即2b <时,()f x '的变化情况如下表:当11b ->,即2b >时,()f x '的变化情况如下表:所以,当2b <时,函数()f x 在(1)b -∞-,上单调递减,在(11)b -,上单调递增, 在(1)+∞,上单调递减.当2b >时,函数()f x 在(1)-∞,上单调递减,在(11)b -,上单调递增,在(1)b -+∞,上单调递减.当11b -=,即2b =时,2()1f x x =-,所以函数()f x 在(1)-∞,上单调递减,在(1)+∞,上单调递减.19.(共14分)解:(Ⅰ)由题意得直线BD 的方程为1y x=+. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥. 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+.由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩,得2246340x nx n -+-=. 因为A C ,在椭圆上,所以212640n ∆=-+>,解得33n -<<. 设A C ,两点坐标分别为1122()()x y x y ,,,, 则1232nx x +=,212344n x x -=,11y x n =-+,22y x n =-+.所以122ny y +=. 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭,.由四边形ABCD 为菱形可知,点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭,在直线1y x =+上, 所以3144n n =+,解得2n =-. 所以直线AC 的方程为2y x =--,即20x y ++=. (Ⅱ)因为四边形ABCD 为菱形,且60ABC ∠=, 所以AB BC CA ==.所以菱形ABCD 的面积2S AC =. 由(Ⅰ)可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=,所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭.所以当0n =时,菱形ABCD 的面积取得最大值 20.(共13分)(Ⅰ)解:0532A :,,, 10()3421T A :,,,, 1210(())4321A T T A =:,,,; 11()43210T A :,,,,, 2211(())4321A T T A =:,,,.(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ,,,, 则1()T A 为n ,11a -,21a -,,1n a -,从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-.又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++,所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=,故1(())()S T A S A =.(Ⅲ)证明:设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ,,,. 当存在1i j n <≤≤,使得i j a a ≤时,交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B , 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤. 当存在1m n <≤,使得120m m n a a a ++====时,若记数列12m a a a ,,,为C ,则()()S C S A =.所以2(())()S T A S A ≤. 从而对于任意给定的数列0A ,由121(())(012)k k A T T A k +==,,, 可知11()(())k k S A S T A +≤.又由(Ⅱ)可知1(())()k k S T A S A =,所以1()()k k S A S A +≤. 即对于k ∈N ,要么有1()()k k S A S A +=,要么有1()()1k k S A S A +-≤. 因为()k S A 是大于2的整数,所以经过有限步后,必有12()()()k k k S A S A S A ++===. 即存在正整数K ,当k K ≥时,1()()k k S A S A +=.。

2008年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ理

2008年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ理

2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷H .理)数学(必选+选修I )本试卷分第I 卷(选择题)和第H 卷(非选择题)两部分。

参考公式:如果事件A 、 B 互斥,那么P (A+B ) =P(A) +P ( B )R (AB )= P (A ) P ( B )P n (k)=C ;k P k (1 —p)2 ( k=0,1,2,•- n )、选择题1.设集合M={m € Z|-3< m <2}, N={n € Z|- 1< n w 3},则 M N=A . {0 , 1}B . { — 1, 0, 1}C . {0 , 1, 2}D . { — 1, 0,1 ,2}2 .设 a ,b :=R ,且b MQ 若复数(a + bi ) 3是实数,则A . b 2 =3a 2B . a 2 =3b 2C . b 2 =9a 2D . a 2 =9b 213 .函数 f(x):x-x 的图像关于A . y 轴对称B .直线y - -x 对称C .坐标原点对称D .直线y = x 对称4 .若 x (e',1), 3a =1 nx, b=2lnx, c=ln x ,贝yA . a : b ::: cB . c ■ a :: bC . b a :: cD . b ::c :: ay-x,5.设变量x, y 满足条件 x 22,则z = x-3y 的最小值为x _ -2A . - 2B . - 4C . - 6D . - 86•从20名男同学,10名女同学中任选 3名参加体能测试,则选到的 3名同学中既有男同学又有女同学的概率为如果事件A 、 B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么V =4 n R 33n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径球的表面积公式球的体积公式4成的角的余弦值为2 D .311.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ,y-2=0和x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为12 .已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆, 若两圆的公共弦长为 2,则两圆的圆心距等于第n 卷(非选择题,共 90分)二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)把答案填在答题卡上。

2008年高考全国卷理科数学2全国卷数学2试卷与答案-推荐下载

2008年高考全国卷理科数学2全国卷数学2试卷与答案-推荐下载

C. b2 9a2
解: (a bi)3 a3 3a2 Abi 3aA(bi)2 (bi)3 (←考查和的立方公式,或二项式定理)
∵ a,b R 且 b 0
∴ 3a2 Ab b3 0
∴ b2 3a2 .
故选 A.
(a3 3aAb2 ) (3a2 Ab b3 )i (←考查虚数单位 i 的运算性质)
于 E、F 两点.
(Ⅰ)若 ED 6DF ,求 k 的值;(Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.
22.(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) sin x . 2 cos x
(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间;(Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f (x) ≤ ax ,求 a 的取值范围.
A. b2 3a2
B. a2 3b2
3.函数 f (x) 1 x 的图像关于( ) x
A. y 轴对称
C. 坐标原点对称 D. 直线 y x 对称
B. 直线 y x 对称
4.若 x (e1,1),a,,ln x b 2 ln x c ln3 x ,则( )
A. a < b < c
(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ;
(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每位投保 人应交纳的最低保费(单位:元). 19.(本小题满分 12 分)
第 2 页(共 11 页)
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电通,力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置,机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2,荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷,管调需路控要习试在题验最到;大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资,常料要工试加况卷强下安看与全22过,22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资;中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整,高核或中对者资定对料值某试,些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位,卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置,地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中,案资要,料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气,设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术,技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式;资,对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资,件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调,并试合且技理进术利行,用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活:。。在对对分于于线调差盒试动处过保,程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试,题技应,术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进,变行需压隔要器开在组处事在理前发;掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时,、,强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试,卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用,关高要技中进术资行资料检料试查,卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

2008年高考全国二卷理科数学题及其答案

2008年高考全国二卷理科数学题及其答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2数学)理科数学( 必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1.设集合M{ m Z| 3 m 2} ,N { n Z| 1 ≤n ≤3},则M N ()A.0,1 B.1,0,1 C.0,1,2 D.1,0,1,22.设a,b R且b 0 ,若复数 3( a bi ) 是实数,则()A. 2 2b a B.32 2a b C.32 2b a D.92 2a 9b3.函数1f ( x)xx的图像关于()A.y 轴对称B.直线y x 对称C.坐标原点对称D.直线y x 对称4.若 1 3x ( e ,1), a ln x,b 2 ln x,c ln x ,则()A.a < b < c B.c <a < b C. b < a < c D. b < c < a≥,yx≤5.设变量x,y 满足约束条件:x 2 y 2 ,则z x 3 y 的最小值(),≥x 2.A. 2 B. 4 C. 6 D.86.从20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A.929B.1029C.1929D.20297. 6 4(1 x ) (1 x ) 的展开式中x 的系数是()A. 4 B. 3 C.3 D.48.若动直线x a 与函数 f ( x ) sin x 和g ( x) cos x 的图像分别交于M ,N 两点,则MN 的最大值为()A.1 B. 2 C. 3 D.22 2x y9.设a 1 ,则双曲线 2 2 1的离心率 e 的取值范围是()a (a 1)A.( 2,2) B.( 2,5)C.(2 ,5) D.(2 ,5 )第1 页(共11 页)10.已知正四棱锥 S AB C D 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则 AE , SD 所成的角的余弦值为( )1 23 2A .B .C .D .333311.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0 与 x 7 y 4 0 ,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( ) A .3B .2C .1 3D .1 212.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2,则两圆的圆心距等于( )A .1B . 2C . 3D .2第Ⅱ卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.13.设向量 a (1,2) , b(2 ,3) ,若向量ab 与向量 c( 4, 7) 共线,则.14.设曲线 axye 在点 (0 ,1) 处的切线与直线 x 2 y 1 0 垂直,则 a.15.已知 F 是抛物线 2C : yx 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A , B 两点.设 FA FB ,4则 FA 与 FB 的比值等于 .16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空 间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① ; 充要条件②.(写出你认为正确的两个充要条件) 三、解答题:本大题共6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)在 △ A B C 中, cos 5 B ,13cos 4 C .5(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ A B C 的面积 33△,求 B C 的长.SA BC218.(本小题满分 12 分)购买某种保险, 每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金. 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险 相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999 .(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p ;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).第2 页(共11 页)19.(本小题满分12 分)如图,正四棱柱A BC D ABCD 中,AA1 2 AB 4 ,点E 在CC 1 上且C1 E 3EC .1 1 1 1(Ⅰ)证明:A C 平面B E D ;1 D1 C1(Ⅱ)求二面角 A D E B 的大小.1 A1 B1ED C A B20.(本小题满分12 分)设数列 a 的前n 项和为S .已知n n a a ,1na 1 S 3 ,n n*n N.n(Ⅰ)设 b S 3 ,求数列n n b 的通项公式;n(Ⅱ)若a≥ a ,n 1 n*n N,求a 的取值范围.21.(本小题满分12 分)设椭圆中心在坐标原点, A (2 ,0),B (0,1) 是它的两个顶点,直线y kx ( k 0) 与AB 相交于点D,与椭圆相交于E、F 两点.(Ⅰ)若ED 6DF ,求k 的值;(Ⅱ)求四边形A EBF 面积的最大值.22.(本小题满分12 分)sin x设函数 f ( x).2 cos x(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;(Ⅱ)如果对任何x≥0 ,都有 f ( x ) ≤ax ,求a 的取值范围.第3 页(共11 页)2008 年参考答案和评分参考一、选择题1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D7.B 8.B 9.B 10.C 11.A 12.C部分题解析:2. 设a,b R且b 0 ,若复数 3( a bi ) 是实数,则()A. 2 2b a B.32 2a b C.32 2b a D.92 2a b ,9解: 3 3 2 2 3( a bi ) a 3a bi 3a(bi ) (bi ) (←考查和的立方公式,或二项式定理)3 2 2 3(a 3a b ) ( 3a b b ) i(←考查虚数单位i 的运算性质)R (←题设条件)∵a,b R且b 0∴ 2 33a b b 0 (←考查复数与实数的概念)∴ 2 2b a .3故选 A.6. 从20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A.929B.1029C.1929D.2029思路1:设事件A:“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学”,其概率为:P ( A )2 1 1 2C C C C20 10 20 103C30(←考查组合应用及概率计算公式)2 0 1 9 1 0 91 02 02 1 2 13 0 2 9 2 8(←考查组合数公式)3 2 11 0 1 9 1 0 1 0 1 0 9(←考查运算技能) 1 0 2 9 1 42029故选 D.思路2:设事件A:“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学”,事件 A 的对立事件为 A :“选到的 3 名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为:P ( A) 1 P ( A) (←考查对立事件概率计算公式)13 3C C20 103C30(←考查组合应用及概率计算公式)第4 页(共11 页)20 19 8 10 9 81 32 13 2 130 29 28(←考查组合数公式)3 2 12 0 1 9 1 8 1 0 9 8(←考查运算技能) 3 0 2 9 2 82029故选 D.7. 已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于()A.1 B. 2 C. 3 D.2分析:如果把公共弦长为 2 的相互垂直的两个截球面圆,想成一般情况,问题解决起来就比较麻烦,许多考生就是因为这样思考的,所以浪费了很多时间才得道答案;但是,如果把公共弦长为2 的相互垂直的两个截球面圆,想成其中一个恰好是大圆,那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离 3 ,问题解决起来就很容易了.二、填空题13.2 14.2 5.3 2 216.两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形.注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分.三、解答题17.解:(Ⅰ)由cos5B ,得13sin12B ,13由cos4C ,得5sin3C .5所以33sin A sin( B C ) sin B cos C cos B sin C .···········································5 分65(Ⅱ)由33S△得ABC21 33A B A C sin A ,2 2由(Ⅰ)知sin33A ,65故AB AC 65 ,·······································································································8 分又A B sin B 20A C A Bsin C 13,故20132A B 65 ,13A B .2所以 B CA B sin A 11sin C 2 . (10)分18.解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p ,记投保的10 000 人中出险的人数为,第5 页(共11 页)4则~ B (10 , p ) .(Ⅰ)记A 表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000 元赔偿金,则A 发生当且仅当 0 ,···· ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ··· ······ ······ ······ ······ ······ ····2 分P ( A ) 1P ( A ) 1P (0)4101 (1 p ) ,又410 P (A ) 1 0.999 ,故 p 0.001 . ····· ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ··· ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····5 分(Ⅱ)该险种总收入为 10 000 a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 1 0 0 0 05 0 0,0盈利 1 0 0 0a0( 1 0 0 0 05 0,0盈利的期望为 E1 0 0 0 a 0 1 0 0E0 05 ,0 ····· ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····9 分由43~ B (10 ,10 ) 知,3E10 000 10 ,444E10 a10 E5 104443410 a 10 10105 10 .E ≥44410 a 1010 5 10≥ 0a≥10 5a ≥(元).15故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. ·· ······ ······ ······ ···· ·· ···· ··· ······ ······ ······ ······ ······ ··12 分19.解法一:D1依题设知 A B 2 , C E 1 .C 1(Ⅰ)连结A C 交 BD 于点 F ,则B D A C .A 1B1由三垂线定理知, B DA C . 1······ ······ ······ ······ ······ ··· ······ ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····3 分H E在平面 A C A 内,连结E F 交 A 1C 于点 G ,1G DA A A C C1 2 2由于, A BF F C C E第6 页(共11 页)故R t △A AC ∽Rt △FCE ,1 AA C CFE ,1C F E 与F C A 互余.1于是A C EF .1A C 与平面B E D 内两条相交直线 B D,E F 都垂直,1所以A C 平面 B ED .·······························································································6 分1(Ⅱ)作G H D E ,垂足为H ,连结A H .由三垂线定理知A H D E ,1 1故A HG 是二面角1 A D E B 的平面角.1·······························································8 分2 2EF CF CE 3 ,C GC E C FE F 23, 2 23 EG C E C G.3EG 1 1 EF F D 2,G H . EF 3 3 D E 15又 2 2A1 C AA1 AC 2 6 ,5 6A G A C C G .1 13A G1tan A H G 5 51H G .所以二面角A D E B 的大小为arctan 5 5 .1························································12 分z解法二:以D 为坐标原点,射线 D A 为x 轴的正半轴,D1 C1建立如图所示直角坐标系D xyz .A1 B1 依题设,B (2 ,2,0) ,C (0,2,0),E (0,2,1), A (2 ,0,4) .1 ED E (0 ,2,1),D B (2 ,2,0) ,xDA BCyA1 C ( 2,2,4),DA1 (2,0,4) .················································································3 分(Ⅰ)因为A1C DB 0 ,A1C DE 0 ,故A C BD ,A1C D E .1又DB DE D ,第7 页(共11 页)所以A C 平面 D BE .····························································································6 分1(Ⅱ)设向量n( x,y,z)是平面D A E 的法向量,则1n DE ,n D A .1故2 y z 0 ,2 x 4 z 0 .令y 1,则z 2 ,x 4 ,n(4 ,1,2) .······························································9 分n等于二面角,A C1 A D E B 的平面角,1cos n A C,1 nnA C1A C11442.所以二面角 A D E B 的大小为a rccos11442.·························································12 分20.解:(Ⅰ)依题意,nS 1 S a 1 S 3 ,即n n n nnS 1 2S 3 ,n n由此得n 1 nS S .···················································································4 分1 3 2( 3 )n n因此,所求通项公式为n n 1b S 3 ( a 3)2 ,n n*n N.①········································································6 分(Ⅱ)由①知n n 1S 3 ( a 3)2 ,n*n N,于是,当n ≥ 2 时,a S Sn n n1n n 1 n 1 n 2 3 ( a 3) 2 3 ( a 3) 2n 1 n 22 3 ( a 3)2 ,n 1 n 2a 1 a 4 3 (a 3)2n nn 2n2 32 12 a3 ,2当n ≥ 2 时,n 2 3a ≥ a 12 a 3≥0n 1 n2第8 页(共11 页)a ≥.9又a2 a13 a1 .综上,所求的 a 的取值范围是9,.·································································12 分21.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为2x42 1y ,直线A B,EF 的方程分别为x 2 y 2 ,y kx ( k 0) .··········································2 分如图,设D ( x ,kx ),E ( x ,kx ),F ( x ,kx ) ,其中0 0 1 1 2 2 x x ,1 2且x ,x 满足方程1 22 2(1 4k ) x 4 ,yBF故x x2 121 4k 2.①EODAx由ED 6DF 知x0 x1 6( x2 x0 ) ,得1 5 10x (6 x x ) x0 2 1 27 7 7 1 4k 2;由D 在A B 上知x0 2kx0 2 ,得x 021 2 k.2 10所以,1 2 k 7 1 4k 2化简得 224 k 25 k 6 0 ,解得2k 或33k .8··································································································6 分(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F 到 A B 的距离分别为h 12x 2kx 2 2(1 2k 1 4k ) 1 125 5(1 4 )k,h 22x 2kx 2 2(1 2k 1 4k )2 225 5(1 4 )k.······························································9 分又 2AB 2 1 5 ,所以四边形A EBF 的面积为1S A B (h h )1 221 4(12 k)52 5(1 4 2 )k第9 页(共11 页)2(1 2 k )2 1 4 k221 4k4k21 4k≤ 2 2 ,当2k 1 ,即当1k 时,上式取等号.所以S的最大值为2 2 .2···························12 分解法二:由题设,BO 1 ,AO 2 .设y kx ,1 1 y kx ,由①得2 2x2 0 ,y 2 y1 0 ,故四边形A EBF 的面积为S S△S△BEF AEFx2 2 y2 ····················································································································9 分( x 2 y )2 222 2x2 4 y2 4 x2 y2≤ 2 22( x 4 y )2 22 2 ,当x2 2 y2 时,上式取等号.所以S的最大值为2 2 .············································12 分22.解:(Ⅰ) f ( x) (2 cos x) cos x sin x( sin x) 2 cos x 12 2(2 cos x) (2 cos x).··································2 分当2 π2π2kπx 2kπ(k Z)时,3 3cos1x ,即 f ( x) 0 ;2当2 π4π2kπx 2kπ(k Z)时,3 3cos1x ,即 f ( x) 0 .2因此 f ( x)在每一个区间2π2π2 π 2 πk ,k (k Z)是增函数,3 3f ( x)在每一个区间2π4π2 π 2 πk ,k (k Z)是减函数.3 3································6 分(Ⅱ)令g ( x ) ax f ( x),则11 页)第10 页(共g (x) a2 cos x 12 (2 cos x)a2 32 cos x (2 cos x)2321 1 1a2 cos x3 3.故当1a ≥时,g ( x)≥0 .3又g (0) 0 ,所以当x ≥0 时,g ( x)≥g (0) 0 ,即 f ( x ) ≤ax .··························9 分当01a 时,令h(x ) sin x 3ax ,则h( x)cos x 3a.3故当x 0,arccos 3a 时,h ( x) 0 .因此h( x ) 在0,arccos 3a 上单调增加.故当x (0 ,arccos 3a ) 时,h(x ) h (0) 0 ,即sin x 3ax .于是,当x (0,arccos 3a)时,sin x sin xf ( x ) ax2 cos x 3.π 1 π当a ≤0 时,有f≥ a .2 2 21因此, a 的取值范围是,.··············································································12 分311 页)第11 页(共。

2008高考试题——数学理(全国卷2)

2008高考试题——数学理(全国卷2)

绝密★启用前 【考试时间:6月7日 15:00—17:00】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ(选择题)卷和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并认真核准条形码的准考证号码、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔吧答题卡上对应题目的答案涂黑。

如需改动用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。

答在试卷上的答案无效。

参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k (1-P)n -k本卷12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

一.选择题(1)设集合}23{<<-∈=m Z m M ,}31{≤≤-∈=n Z n N ,则=⋂N MA .}1,0{ B. }1,0,1{- C. }2,1,0{ D }2,1,0,1{- (2)设a ,b ∈R 且b ≠0,若复数3bi)(a +是实数,则A . 223a b = B. 223b a = C. 229a b = D.229b a =球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式V=334R π, 其中R 表示球的半径(3)函数x xx f -=1)(的图像关于 A . y 轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x (4)若)1,(1-∈e x ,x ln =a ,x ln 2=b ,x 3ln =c ,则A .c b a << B. b a c << C. c a b << D. a c b <<(5)设变量x,y 满足约束条件:2,22,-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值为:A .-2 B.-4 C. -6 D.-8(6)从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 A .299 B. 2910 C. 2919 D. 2920 (7)()()4611x x+-的展开式中x 的系数是A .-4 B.-3 C.3 D.4(8)若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点,则MN 的最大值为A .1 B. 2 C.3 D.2(9)设1>a ,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A .)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2((10)已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE 、SD 所成的角的余弦值为 A .31 B. 32 C. 33 D. 32 (11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为 A .3 B. 2 C. 31-D. 21-(12)已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于A .1 B. 2 C. 3 D. 2第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二.填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分。

2008年普通高校招生统一考试全国卷二答案

2008年普通高校招生统一考试全国卷二答案

1.(2014北京)已知椭圆,(1) 求椭圆的离心率. (2)设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,求直线与圆
的位置关系,并证明你的结论.
2.(2014四川)已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C 的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q。

(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当||
||
TF
PQ
最小时,求点T的坐标。

3. (2014江西)如图,已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,∥(为坐标原点).求双曲线的方程;
过上一点的直线与直线相交于点,与直线
相交于点,证明点在上移动时,恒为定值,并求此定值
4.(2014重庆)设椭圆的左右焦点分别为、,点在椭圆上,
,,的面积为.(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
5.(2014浙江)如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.(1)已知直线的斜率为,用表示点的坐
标;(2)若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.。

【深度解析高考真题】2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)

【深度解析高考真题】2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)

2008年全国统一高考数学试卷(理科) (全国卷n )、选择题(共12小题,每小题5分,满分60 分)1.( 5 分)设集合 M={m € Z| - 3< m < 2} ,N={n € Z| - K n < 3},则 M n N=( )(5分)从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A gB 10C 19292929(5分)(1 -五)6 (1皿)4的展开式中x 的系数是(10. (5分)已知正四棱锥S- ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,9. 2卩7=1的离心率e 的取值范围是(C. (2, 5)D .⑵亦)2. 3. 4. 5. A . {0, 1} C. {0, 1, 2}(5分)设a , A . b 2=3a 2(5分)函数f A . y 轴对称(5分)若x € A . a v b < c(5分)设变量A .- 2B . { - 1, 0, 1} D . { - 1, 0, 1, 2}b € R 且b M 0,若复数(a+bi ) 3是实数,则( B . a 2=3b 2C. b 2=9a 2(x )丄 -x 的图象关于( )B . (e -1. B . D . a 2=9b 2直线y=- x 对称C.坐标原点对称 1), a=lnx , b=2Inx , c=ln 3x ,贝^( c < a < bx , y 满足约束条件: B .- 4D . D . 直线y=x 对称b <c < aC. b < a < c好勿<2,则z=x- 3y 的最小值( )D .- 8 6. 7. 8. A .- 4B .- 3C. 3D . 4(5分)若动直线x=a 与函数f (X )=sinx 和 g (x ) =cosx 的图象分别交于M , N 两点,则I MN|的最大值为( B .近A . 1D . 2则AE、SD所成的角的余弦值为(A.吉B.乎)C亜.3第1页(共22页)两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( )B.血 C.血二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13. (5 分)设向量2), b=(2, 3),若向量 X a+b 与向量&(_4, -T)共 线,贝y 入 ____ .14. (5分)设曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a ___ . 15. (5分)已知F 是抛物线C : y 2=4x 的焦点,过F 且斜率为1的直线交C 于A , B 两点.设I FA >I FB ,则I FA 与I FB 的比值等于 __________ .16. (5分)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边 分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① 充要条件②(写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题(共6小题,满分70分)17. (10分)在^ ABC 中,cosB=-备,cosC=- (1)求si nA 的值(2)设^ ABC 的面积S A ABC ^,求BC 的长.18. (12分)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投 保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年11. (5分)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x+y - 2=0与X - 7y - 4=0,原 点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( ) 一— D .丄3212. (5分)已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,若A . 3B . 2C.A . 1D . 2度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1 - 0.999 Md.(I )求一投保人在一年度内出险的概率P;(n )设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元)19. (12分)如图,正四棱柱ABCD- A i B i C i D i中,AA i=2AB=4,点E在CG上且C i E=3EC(I )证明:AQ丄平面BED(n )求二面角A1 - DE- B的大小.Cl■41ft20. (12 分)设数列{a n}的前n 项和为S n.已知a1=a,a n+1=Si+3n,n € N*.(I )设b n=S- 3n,求数列{b n}的通项公式;(n )若a n+1 >a n,n € N*,求a的取值范围.21. (12分)设椭圆中心在坐标原点,A (2, 0),B (0,1)是它的两个顶点, 直线y=kx (k>0) 与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(I )若m=6Df,求k的值;(n)求四边形AEBF面积的最大值.22. (12分)设函数f⑷二自血2+cosx(I)求f (X)的单调区间;(n)如果对任何x>0,都有f (x)< ax,求a的取值范围.参考答案与试题解析C. {0, 1, 2} D . { - 1, 0, 1, 2}【考点】1E:交集及其运算.【分析】由题意知集合M={m € z| -3v m v 2} , N={n € z| - K n W 3},然后根 据交集的定义和运算法则进行计算.【解答】解:••• M={ - 2,- 1, 0, 1} , N={ - 1, 0, 1 , 2, 3}, ••• M n N={ - 1, 0, 1}, 故选:B.【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题.A. b 2=3a 2B. a 2=3b 2C. b 2=9a 2D. a 2=9b 2【考点】A5:复数的运算.【分析】复数展开,化为a+bi (a 、b € R )的形式,虚部为 【解答】解:(a+bi ) 3=a 3+3a 2bi - 3ab 2 - b 3i= (a 3 - 3ab 2) + 实数且 b 工0,所以 3a 2b - b 3=0? b 2=3a 2 故选:A .【点评】本题考查复数的基本运算,是基础题.-x 的图象关于()B .直线y=- x 对称C.坐标原点对称第5页(共22页)2 (5分)设a , b € R 且b M 0,若复数(a+bi ) 3是实数,则( )(()2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷n )、选择题(共 12小题,每小题5分,满分60分)1.( 5分)设集合 M={m € Z| - 3v m v 2} ,N={n € Z| - K n W 3},则 M n N=( )A . {0, 1}B . { - 1, 0, 1}0即可.(3a 2b — b 3) i ,因是 A . y 轴对称 D .直线y=x 对称••• T 捕二丄是奇函数,所以f (X )的图象关于原点对称 故选:C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质,是高考必考题型.4. (5分)若 x €(e 1, 1), a=lnx , b=2lnx , c=ln 3x ,贝9(于是 b - a=2Inx -lnx=lnx <0,从而 b <a .又 a - c=lnx- ln 3x=a (1+a ) (1 - a )< 0,从而 a <c . 综上所述,b < a < c. 故选:C.【点评】对数值的大小,一般要用对数的性质,比较法,以及 本题是基础题.【考点】7C:简单线性规划.【考点】 3M :奇偶函数图象的对称性.【分析】 【解答】 根据函数f (X )的奇偶性即可得到答案.-1+x= - f (x ) 解:••• f (- X )=A . a v b < cB . c < a < b C. b < a < c D. b <c <a【考点】 4M :对数值大小的比较.【分析】 根据函数的单调性,求a 的范围,用比较法,比较 a 、b 和a 、c 的大小.【解答】 解:因为a=lnx 在(0, +x )上单调递增, 故当x € (e -1, 1)时,a € (- 1, 0),0或1的应用,5. (5分)设变量x , y 满足约束条件: A .- 2 B .- 4 彳好勿<2,则z=x- 3y 的最小值()D .- 8【专题】11:计算题.廿务<2的平面区域,求出平面区域的各.K >-2角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数 Z=x-3y的最小值.【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示, 由图可知目标函数在点(-2, 2)取最小值-8【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件 和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列 出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将 可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.6. (5分)从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )强B 境C 境【考点】C6:等可能事件和等可能事件的概率.【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件从 30名同学中任 选3名参加体能测试共有C 303种结果,而满足条件的事件是选到的3名同学中既有男同学又有女同学共有 C 2O 1C IO 2+C 2O 2C IO 1种结果.代入公式得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,【分析】我们先画出满足约束条件:D.fi•••试验发生的所有事件从30名同学中任选3名参加体能测试共有C303种结果, 满足条件的事件是选到的3名同学中既有男同学又有女同学共有C201C I02+C202C I01种结果, •由古典概型公式得到□_°20。

2008年(全国卷II)(含标准答案)高考理科数学

2008年(全国卷II)(含标准答案)高考理科数学

2008年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n MN =∈-=Z 则,≤≤( )A.{}01, ﻩB .{}101-,, ﻩ C.{}012,, ﻩD.{}1012-,,, 2.设a b ∈R ,且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则( )A .223b a =ﻩB.223a b = C .229b a =ﻩﻩD.229a b = 3.函数1()f x x x=-的图像关于( ) A .y 轴对称 B. 直线x y -=对称C . 坐标原点对称 ﻩD. 直线x y =对称4.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( ) A.a <b <c ﻩﻩ B .c <a <b ﻩ C . b <a <c ﻩD . b <c <a5.设变量x y ,满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩,,.≥≤≥,则y x z 3-=的最小值( )A.2-ﻩ B.4- C.6- D.8-6.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A.929 B .1029ﻩ C .1929 D.20297.64(1(1+的展开式中x 的系数是( )A.4- ﻩB.3-ﻩﻩ C.3 ﻩD.48.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( )A.1ﻩD.29.设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( )A.ﻩﻩB.ﻩﻩC .(25),ﻩﻩD.(210.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为( )A.13 B .3ﻩﻩC ﻩD.2311.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( )A .3ﻩB .2ﻩ C.13- D.12- 12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( )A.1 B.2 ﻩﻩC.3 ﻩﻩD .2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ .14.设曲线ax y e =在点(01),处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = . 15.已知F 是抛物线24C y x =:的焦点,过F 且斜率为1的直线交C 于A B ,两点.设FA FB >,则FA 与FB 的比值等于 .16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

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2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.参考公式:如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-= ,,,,一、选择题1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z 则,≤≤( )A .{}01,B .{}101-,,C .{}012,,D .{}1012-,,, 2.设a b ∈R ,且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则( ) A .223b a = B .223a b =C .229b a =D .229a b =3.函数1()f x x x=-的图像关于( )A .y 轴对称B . 直线x y -=对称C . 坐标原点对称D . 直线x y =对称4.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( ) A .a <b <cB .c <a <bC . b <a <cD . b <c <a5.设变量x y ,满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩,,.≥≤≥,则y x z 3-=的最小值( )A .2-B .4-C .6-D .8-6.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A .929B .1029C .1929D .20297.64(1(1-的展开式中x 的系数是( )A .4-B .3-C .3D .48.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( )A .1BCD .29.设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( ) A. B.C .(25),D.(210.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为( ) A .13B.3C.3D .2311.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( ) A .3B .2C .13-D .12-12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( ) A .1B .2C .3D .22008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. 13.设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ . 14.设曲线axy e =在点(01),处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = . 15.已知F 是抛物线24C y x =:的焦点,过F 且斜率为1的直线交C 于A B ,两点.设FA FB >,则FA 与FB 的比值等于 .16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在ABC △中,5cos 13B =-,4cos 5C =. (Ⅰ)求sin A 的值;(Ⅱ)设ABC △的面积332ABC S =△,求BC 的长. 18.(本小题满分12分)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p ;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).19.(本小题满分12分)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,124AA AB ==,点E 在1CC 上且EC E C 31=.(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面BED ; (Ⅱ)求二面角1A DE B --的大小.20.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,,.{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围. 21.(本小题满分12分)设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,,,是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.(Ⅰ)若6ED DF =,求k 的值;(Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值. 22.(本小题满分12分) 设函数sin ()2cos xf x x=+.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)如果对任何0x ≥,都有()f x ax ≤,求a 的取值范围.AB CD EA 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案和评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 11.A 12.C 二、填空题13.2 14.2 5.3+16.两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形.注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分.1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z 则,≤≤( )A .{}01,B .{}101-,,C .{}012,,D .{}1012-,,, 【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ,{}3,2,1,0,1-=N ,∴{}1,0,1-=N M 【高考考点】集合的运算,整数集的符号识别2.设a b ∈R ,且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则( ) A .223b a = B .223a b =C .229b a =D .229a b =【答案】A【解析】i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(322332233-+-=--+=+,因是实数且 0b ≠,所以2232303a b b b a =⇒=- 【高考考点】复数的基本运算3.函数1()f x x x=-的图像关于( ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称【答案】C 【解析】1()f x x x=-是奇函数,所以图象关于原点对称 【高考考点】函数奇偶性的性质4.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( ) A .a <b <cB .c <a <bC . b <a <cD . b <c <a【答案】C【解析】由0ln 111<<-⇒<<-x x e ,令x t ln =且取21-=t 知b <a <c 5.设变量x y ,满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩,,.≥≤≥,则y x z 3-=的最小值( )A .2-B .4-C .6-D .8- 【答案】D【解析】如图作出可行域,知可行域的顶点是A (-2,2)、B(32,32)及C(-2,-2)于是8)(m in -=A z6.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A .929B .1029C .1929D .2029【答案】D【解析】2920330110220210120=+=C C C C C P 7.64(1(1-的展开式中x 的系数是( )A .4-B .3-C .3D .4【答案】B【解析】324156141604262406-=-+=-+C C C C C C 【易错提醒】容易漏掉1416C C 项或该项的负号8.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( )A .1B CD .2【答案】B【解析】在同一坐标系中作出x x f sin )(1=及x x g cos )(1=在]2,0[π的图象,由图象知,当43π=x ,即43π=a 时,得221=y ,222-=y ,∴221=-=y y MN【高考考点】三角函数的图象,两点间的距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题9.设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( )A .B .C .(25),D .(2【答案】B【解析】222222)11(1)1()(a a a a a c e ++=++==,因为a 1是减函数,所以当1a >时 110<<a,所以522<<e ,即52<<e 【高考考点】解析几何与函数的交汇点10.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,是成的角的余弦值为( )AB .3C .3D .23【答案】C【解析】连接AC 、BD 交于O ,连接OE ,因OE ∥SD.所以∠AEO 为所求。

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