流体动力学基本方程

4
τ 21 = c21kl
∂ul ∂u ∂u = c2121 1 = µ 1 ∂xk ∂x2 ∂x2
′ = c21 ′ kl τ 21
′ ∂ul′ ∂u1 ∂u ′ ′ = c2121 =µ 1 ′ ′ ′ ∂xk ∂x2 ∂x2
′ x1 x2
x1
′ x2
cijkl 是四阶张量，考察变换
′ = β im β jnτ mn = β im β jn cmnpq τ ij ∂uq ∂x p = β im β jn cmnpq β kp β lq ∂ul′ ′ ∂xk
——能量方程
二、动能方程
G G G G G dV G G G dV 将动量方程 ρ = ρF + ∇ ⋅ P 两边同时点积 V 得： ρV ⋅ = ρF ⋅ V + V ⋅ (∇ ⋅ P) dt dt G G G G dV 1 d (V ⋅ V ) 1 dV 2 而V ⋅ ，故有动能定理 = = dt 2 dt 2 dt
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 §4.本构方程 数学预备： 二阶张量的坐标变换 记 ∇V = E ，将坐标系旋转，从原坐标系 o-xyz 到旋转后的坐标系 o-x′y′z ′ ，二阶张量 E 的张量元满足 变换：
Chapter 3
流体动力学基本方程
§1 质量连续性方程（质量守恒方程） 一．体系和控制体。 体系（物质体） ：流体团无论运动到哪，如何变形，总由同一批流体质点组成。 控制体：流场中一个确定的子空间，大小、形状、位置都固定。有流体质点不停出入。 二．通量的概念和 Reynolds 输运方程 质量通量：单位时间内穿过曲面 s 的质量
= λ Skk δ ij + 2 µ Sij
最后得到：
5
pij = − pδ ij + λ Skk δ ij + 2µ Sij
2 ⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎛ = − pδ ij + 2µ ⎜ Sij − Skk δ ij ⎟ + ⎜ λ + µ ⎟ Skk δ ij 3 ⎠ 3 ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎛ ⎞ = − pδ ij + 2µ ⎜ Sij − Skk δ ij ⎟ + µ ′S kk δ ij 3 ⎠ ⎝
其中
G G G d ρ V d τ = ρ F d τ + P ∫τ ∫∫S n dS dt ∫τ G G d dV ρVdτ = ∫ ρ dτ τ dt ∫τ dt
G G G G G G G ∂Px ∂Py ∂Pz ∫∫S Pn dS = ∫∫S (lPx + mPy + nPz )dS = ∫τ ( ∂x + ∂y + ∂z )dτ G G G G G G ∂Px ∂Py ∂Pz G dV dV 因而有 ρ ie ρ = ρF + ∇ ⋅ P = ρF + + + dt ∂z dt ∂x ∂y
∫∫ ρv ⋅ ds 。
s
G
G
G G 穿出闭曲面的质量通量： ∫∫ ρv ⋅ ds , 曲面法向取外法向。
s
Reynolds 输运方程：
d ∂ G G φ dτ = ∫ φ dτ + w φ v ⋅ ds ∫ ∫∫ sys cv dt ∂t cs
输运方程的引入：1、吴望一书 p138 2、 Streeter et al， Fluid Mechanics， p113-115 （扫描 fig.3.6； 打所有公式，η 换成 φ ） 输运方程的物理解释可由引入方法 2 明确给出。 三．方程的导出 t 时刻取控制体 τ ，边界面 s。由质量守恒原理可知： s 上的质量通量=s 内单位时间内的质量减少，ie.
（牵连速度=地心平动速度+绕地心的转动速度）
K K K K wa = wr + we + wc K K dVo dω e K K K K K + × r + ω × (ω × r ) we = dt dt K K K wc = 2 (ω × Vr ) G G G G d ′Vr G 1 d ′Vr ∂Vr G K K = F + ∇ ⋅ P − we − wc , = + Vr ⋅∇′Vr dt dt ρ ∂t ∂ ∇′ i = ∂xi′
′ = βim β jn β kp βlq cmnkl 可知 cijkl
2、对于各向同性流体，可以证明（吴书 p75）四阶张量 cijkl 的可表示为
cijkl = νδ ijδ kl + αδ ik δ jl + βδ ilδ jk ，其中ν , α , β 是标量。
3、偏应力张量是对称张量 cijkl = c jikl ，于是 α = β = µ cijkl = λδ ijδ kl + µ 另外，由上式还可知 cijkl = cijlk 。 4、流体微团的旋转运动对偏应力张量无贡献 分解
2
O − x′y′z ′ 是固定在地球上的参照系。
§3.能量方程（按余志豪书讲） 一、推导：t 时刻流体团 τ ，边界 S，能量关系式：
系统能量增加率
(1)
= 外力的功率+ 单位时间通过边界流入的热量+ 单位时间内从外界吸收的其他能量
( 2) ( 3) ( 4)
d V2 U ——单位质量流体的内能 (1) = ∫ ρ (U + )dτ dt sys 2 G G G G (2) = ∫ ρ F ⋅ Vdτ + w P ∫∫ n ⋅VdS
∫∫ ρv ⋅ ds = − ∂t ∫τ ρdτ = − ∫τ ∂t dτ
s
G
G
∂
∂ρ
——积分形式
由奥高公式
∫∫ ρv ⋅ ds = ∫ ∇ ⋅ ( ρv )dτ
s
G
G
G
τ 任意，故有
ie 分析： ①
G ∂ρ + ∇ ⋅ ( ρv ) = 0 ∂t G dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 ——质量守恒方程微分形式 dt
dρ dρ ∂ρ ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动 = 0 ,不可压缩流动 =0 dt ∂t dt
②由
dδm 1 dρ 1 d δτ = 0 （ δm 为 微 团 的 质 量 ） 知 =− （ δτ 为 该 微 团 t 时 刻 体 积 ） 从 而 知 dt ρ dt δτ dt
G ∇ ⋅ v = 体积随时间的相对变化率， ie.体膨胀率。
(δ
ik
δ jl + δ ilδ jk )
∂ul = S kl + Akl ，于是 ∂xk
τ ij = cijkl S kl + cijkl Akl = cijkl Skl
5、将 cijkl 的表达式带入上式，得
τ ij = λδ ijδ kl Skl + µ (δ ikδ jl + δ ilδ jk ) Skl
从 Newton 粘性定律推广到到线性假设。 四阶张量 cijkl 三、各向同性流体及其四阶张量 cijkl 的表达式 1、所谓各向同性流体，指表征流体物理性质的张量的张量元不随坐标系的旋转而改变，即 若 在 原 坐 标 系 o-xyz 和 旋 转 后 的 坐 标 系 o-x′y′z ′ 中 偏 应 力 张 量 分 别 表 示 为 τ ij = cijkl
K
∂V j′ ∂xi′ ∂x′j ∂Vn ∂V = = β im β jn n ∂xi′ ∂xm ∂xn ∂xm ∂xm
K K ⎛ i ⋅ i′ ⎜K K 其中变换矩阵 β = ⎜ i ⋅ j ′ K K ⎜ i ⋅ k′ ⎝
逆变换：
K K K K j ⋅ i′ k ⋅ i′ ⎞ K K K K⎟ j ⋅ j′ k ⋅ j′ K K K K⎟ j ⋅ k′ k ⋅ k′⎟ ⎠
2
⎡ ⎣
r
⎤ ⎦
求当管内流动完全发展为抛物型剖面时的最大速度 Vm 。 解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有： 可写为：
∫∫
界面
ρV ⋅ dS = 0 ， 由于管壁无渗透故上式
G
G
ρV0πR 2 = ∫ ρV 2πrdr 可得 Vm = 2V0 。
0
R
§2.动量方程 一推导 1 先在直角坐标系下讲分量形式推导 2 矢量形式推导：体系 τ ，边界 S 由动量定理有
2
即 V (r ) ∝ r 。 eg2.不可压缩流体
−2
G dρ = 0 故有 ∇ ⋅ V = 0 dt
1
eg3 不可压缩流体从圆管入口端以速度 V0 流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度完全发展为抛 物型剖面，即 V = Vm ⎢1 − ( ) ⎥ 通常称这种流动为圆管的入口流。若流体密度为 ρ ,圆管半径为 R，试 R
V2 G G G G G G ρ 2 = ρF ⋅ V + V ⋅ (∇ ⋅ P) = ρF ⋅ V + ∇ ⋅ ( P ⋅ V ) − ( P : S ) dt d
G V ⋅ (∇ ⋅ P) ——合面力的功率（不是面力功率和） ，合面力的功对平动动能有贡献。
3
三、 （热流量方程）从而得： ρ
dU = P : S + ∇ ⋅ ( k ∇T ) + ρ qR dt
∇ ⋅ P 意义：单位体积流体团所受面力的合力。
3 兰姆-葛罗米柯形式的动量方程
K G K K⎞ ⎛ ∂V V2 +∇ + rot V × V ⎟ = ρ F + ∇ ⋅ P ρ⎜ 2 ⎝ ∂t ⎠
二、地转参照系下的动量方程
K K K Va = Vr + Ve K K K K Ve = Vo + ω × r