流体力学中的三大基本方程
《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式讲解
《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式1．流体的体积压缩系数计算式：β1dρp=-1dVVdp=ρdp 流体的体积弹性系数计算式：E=-VdpdpdV=ρdρ 流体的体积膨胀系数计算式：βdVT=1VdT=-1dρρdT2．等压条件下气体密度与温度的关系式：ρ0t=ρ1+βt，其中β=1273。
3T=±μAdudy 或τ=TduA=±μdy 恩氏粘度与运动粘度的转换式：ν=(0.0731E-0.0631E)⨯10-4f1∂p⎫x-ρ∂x=0⎪fr-1∂p=0⎫⎪ρ∂r⎪⎪4．欧拉平衡微分方程式： f⎪y-1∂pρ∂y=0⎪⎬和fθ-1∂pρ=0⎬ f1∂p⎪r∂θρ∂z=0⎪⎪⎪⎭f1∂p⎪z-z-ρ∂z=0⎪⎭欧拉平衡微分方程的全微分式：dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz) dp=ρ(frdr+fθrdθ+fzdz) 5 fxdx+fydy+fzdz=0frdr+fθrdθ+fzdz=06pγ+z=C 或 p1γ+zp21=γ+z2 或p1+ρgz1=p2+ρgz2相对于大气时：pm+(ρ-ρa)gz=C 或pm1+(ρ-ρa)gz1=pm2+(ρ-ρa)gz27p=p0+γh，其中p0为自由液面上的压力。
8．水平等加速运动液体静压力分布式：p=p0-ρ(ax+gz)；等压面方程式：ax+gz=C；自由液面方程式：ax+gz=0。
注意：p0为自由液面上的压力。
1 9．等角速度旋转液体静压力分布式：p=p0+γ(ω2r22g-z)；等压面方程式：ω2r22-gz=C；自由液面方程式：ω2r22-gz=0。
注意：p0为自由液面上的压力。
10．静止液体作用在平面上的总压力计算式：P=(p0+γhc)A=pcA，其中p0为自由液面上的相对压力。
压力中心计算式：yD=yc+γsinαIxc (p0+γycsinα)AIxcycA或yD-yc=IxcycA。
当自由液面上的压力为大气压时：yD=yc+矩形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=圆形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc11bh3；三角形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=bh3 1236π4=d 6411．静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力计算式：Pz=p0Az+γVP，注意：式中p0应为自由液面上的相对压力。
流体力学三大方程推导
流体力学连续性方程，动量方程，能量守恒方程推导过程——广州新宿一次狼我在做热设计仿真的时候复习了流体力学的连续性方程，动量方程和能量守恒方程，就整理出来，分享一下。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
最后就是能量守恒方程。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t r νν=随体导数表示流体质点在欧拉场内（见流体运动学）运动时所具有的物理量对时间的全导数。
流体静力学基本方程
流体静力学基本方程流体静力学是研究流体在静止状态下的力学性质和平衡条件的学科。
它是流体力学的基础，对于理解和解决与静止流体有关的问题至关重要。
在流体静力学中，存在着一些基本方程，它们描述了流体静力学的基本原理和规律。
第一个基本方程是压力的定义。
在流体静力学中，压力是指单位面积上的力的大小。
它可以通过一个简单的公式来计算，即压力等于作用在单位面积上的力的大小。
这个基本方程是流体静力学研究中最基础的概念之一。
第二个基本方程是流体静压力的方程。
它描述了流体静止时由于重力而产生的压力分布。
根据这个方程，流体静压力与液体的密度、重力加速度以及液体的深度有关。
具体而言，它可以表示为P=ρgh，其中P是压力，ρ是液体的密度，g是重力加速度，h是液体的深度。
这个方程揭示了在静止的流体中，压力随着深度的增加而增加。
第三个基本方程是流体静力学的平衡条件。
它描述了流体在静止状态下达到平衡所满足的条件。
根据这个方程，流体中的每一点都处于力的平衡状态，即外力和压力力的合力为零。
这个方程是解决静止流体平衡问题的基础，通过它可以推导出各种与静止流体有关的性质和现象。
流体静力学基本方程的研究对于很多工程和科学领域都具有重要意义。
在建筑工程中，我们需要了解流体静力学基本方程来设计和分析水坝、水库等工程结构。
在航空航天工程中，流体静力学的研究可以帮助我们理解和解决航空器中的静压力、静气压力等问题。
在环境科学中，流体静力学的基本方程可以应用于水体的污染扩散和水质调控等方面。
总之，流体静力学基本方程是研究静止流体力学的基础。
它们描述了流体静力学的基本原理和规律，是解决与静止流体相关问题的重要工具。
通过对这些基本方程的理解和应用，我们能够更好地理解和分析静止流体的性质和行为，为相关领域的工程和科学问题提供有效的解决方法。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学常用公式
流体力学常用公式流体力学（Fluid Mechanics）是研究流体（液体和气体）运动规律的科学。
它在物理学和工程学中都有广泛的应用。
以下是流体力学常用的一些公式：1.流体速度和流量：在流体运动中，流速（Velocity）是指单位时间内流体通过一些截面的体积。
流量（Flow rate）是指单位时间内通过一些截面的质量或体积。
流速和流量的关系由以下公式给出：流量=流速×截面积Q=Av其中，Q表示流量，A表示截面积，v表示流速。
2.可压缩流体速度和流量：对于可压缩流体，流速和流量的关系由以下公式给出：流量=流速×截面积×密度Q=Avρ其中，Q表示流量，A表示截面积，v表示流速，ρ表示流体密度。
3.连续性方程：连续性方程描述了流体的质量守恒原理，即在稳态流动和不可压缩条件下，流体质量在流动过程中是不会凭空消失或增加的。
连续性方程可以表示为：流量的入口=流量的出口A1v1=A2v2其中，A1和A2分别表示入口和出口的截面积，v1和v2分别表示入口和出口的流速。
4.压力方程：压力方程是描述压强（Pressure）随深度变化的方程，可通过以下公式表达：ΔP = ρgh其中，ΔP表示在高度h上的压力变化，ρ表示流体密度，g表示重力加速度。
5.伯努利方程：伯努利方程描述了在理想流动条件下，流体的能量守恒原理，即在没有外力作用的情况下，流体速度、压力和高度之间存在关系。
伯努利方程可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P表示压力，v表示速度，ρ表示密度，g表示重力加速度，h 表示高度。
6.流动的雷诺数：雷诺数（Reynolds Number）是用来判断流体的流动状态的参数，可通过以下公式计算：Re=(ρvL)/μ其中，Re表示雷诺数，ρ表示密度，v表示速度，L表示特征长度，μ表示动力粘度。
7.流体的扩散：流体的扩散可以通过热量传递或质量传递来实现。
扩散速率可以使用以下公式计算：质量传递速率=D×A×(C2-C1)/L其中，D表示扩散系数，A表示扩散面积，C2和C1分别表示扩散物质在两个位置上的浓度，L表示扩散路径的长度。
流体动力学基础工程流体力学
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学中的三大基本方程资料
d x 1 p fx dt x
同理可得y,z方向上的：
d x x x x x 1 p x y z fx dt t x y z x d y y y y y 1 p x y z fy dt t x y z y d z z z z z 1 p x y z fz dt t x y z z
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0 t
（x） （y） （z） 0 x y z div( ) 0
⑷二维平面流动： x
x
y y
0
2.理想流体的运动方程
3.4.1---欧拉运动微分方程
理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
p dx pN p x 2
X方向上质点所受表面力合力： p （pM pN）dydz dxdydz x
流体力学中的分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x，y，z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
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（ dt）dxdydz dxdydz dtdxdydz
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxdydz/ dt dxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
矢量形式：
•
0
t
——三维连续性微分方程
⑴适用条件：
不可压缩和可压缩流体
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中
任取出以 ox，y，z
②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分关系。
在x方向的分速度为
vx
1 2
vx x
dx
通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为
vx
1 2
vx x
dx
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x轴方向
流入控制体的质量为
vx
1 2
vx
x
dxdydz
流出控制体的质量为
vx
1 2
vx
x
dxdydz
于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为
a 流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成：
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
d y
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
dx
dt
dxdydz
p x
dxdydz
fxdxdydz
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
向量形式： d f 1 gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
fz
1
p z
dz
dt
推导得： d 1 dp gdz
Or
gdz 1 dp d 0
——伯努利方程微分形式。
说明： 流体质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关
系式。
①适用范围：理想流体、稳定流体、质量 力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内 沿某一根流线；
vx
1 2
vx
x
dxdydz
vx
1 2
vx
x
dxdydz
vx
x
dxdydz
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质
量差为
vy dxdydz 和 y
vz dxdydz
z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
x（x）
（
y
y）
z（z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
x y
2.理想流体的运动方程
3.4.1---欧拉运动微分方程
理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。
1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
推导过程：
⑴取微小六面控制体 ⑵推导依据： 牛顿第二定律or动量定理：
理想和实际流体
稳态及非稳态流动
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x y z 0
or div 0
x y z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
div() 0
⑷二维平面流动： x y 0
点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 vx，vy，,液vz体密
度为 。将 各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量
，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点
的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点
即描述流体流动的
完整方程组+单值性条件→描述某一特定流动。
3. 伯努利方程 (Bernoulli)
伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意义
理想流体稳定流动的伯努利微分方程
由理想流体欧拉运动微分方程
fx
1
p x
dx
dt
fy
1
p y
d y
dt
是稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间 无关，方程转换去除t项
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
(2y x2
2y
y2
2y )
z 2
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
(2z x2
2z
y2
2z )
z 2
1. 含有四个未知量（x， y，完z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
p x
dx 2
pN
p
p x
dx 2
X方向上质点所受表面力合力：
（pM pN）dydz
p x
dxdydz
③ 流体质点加速度 a 的计算方法：
（x，y，z，t）x f（t） y f（' t）y f （ '' t）
流速a 的 全ddt导数应t是： x
x
y
y
zБайду номын сангаас
z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
即作F用 力之m合a力=动m量d随时间的d变（化m速率）
dt
dt
⑶分析受力： ① 质量力：
dxdydzf
单位质量力：f fxi f y j fzk
X方向上所受质量力为： f xdxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力
X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
pM
p
gradp p i p j p k x y Z
适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体
（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用
这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例： 连续性方程：
x y z 0
x y z
运动方程：
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
fx
1
p x
(
2x
x2
2x
y2
2x