流体力学中的三大基本方程讲解
流体力学三大方程是什么适用条件有哪些
流体⼒学三⼤⽅程是什么适⽤条件有哪些
流体⼒学的三⼤⽅程分别是连续性⽅程、能量⽅程、动量⽅程。
下⾯是关于流体⼒学的简要介绍，供⼤家参考了解。
流体⼒学三⼤⽅程
流体⼒学之流体动⼒学三⼤⽅程分别指：
1、连续性⽅程——依据质量守恒定律推导得出；
2、能量⽅程（⼜称伯努利⽅程）——依据能量守恒定律推导得出；
3、动量⽅程——依据动量守恒定律（⽜顿第⼆定律）推导得出的。
适⽤条件：
流体⼒学是连续介质⼒学的⼀门分⽀，是研究流体(包含⽓体，液体以及等离⼦态)现象以及相关⼒学⾏为的科学纳维-斯托克斯⽅程基于⽜顿第⼆定律，表⽰流体运动与作⽤于流体上的⼒的相互关系。
纳维-斯托克斯⽅程是⾮线性微分⽅程，其中包含流体的运动速度，压强，密度，粘度，温度等变量，⽽这些都是空间位置和时间的函数。
⼀般来说，对于⼀般的流体运动学问题，需要同时将纳维-斯托克斯⽅程结合质量守恒、能量守恒，热⼒学⽅程以及介质的材料性质，⼀同求解。
由于其复杂性，通常只有通过给定边界条件下，通过计算机数值计算的⽅式才可以求解。
流体⼒学原理及应⽤
流体⼒学原理主要指计算流体动⼒学中的数值⽅法的现状；运⽤基本的数学分析，详尽阐述数值计算的基本原理；讨论流域和⾮⼀致结构化边界适应⽹格的⼏何复杂性带来的困难等。
流体⼒学原理在游泳中的应⽤：⽔的⾃然特性与⼈体的飘浮能⼒凡涉及⽔环境的运动项⽬，参与者都不可忽视⽔的⼀条最为重要的⾃然属性──⽔是⼀种流体。
物理学中，研究流体宏观运动的这部分⼒学，称为流体⼒学。
它分为流体静⼒学和流体动⼒学两部分。
流体静⼒学研究流体平衡时⼒的宏观状态和规律，其主要内容有⽐重、液体内部压强、浮⼒和阿基⽶德定律等。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体力学中的方程与数学模型
流体力学中的方程与数学模型在流体力学中，方程与数学模型扮演着至关重要的角色。
流体力学是研究流体运动规律的科学，涉及空气、水、油等各种流体的性质、运动和力学。
通过建立数学模型和方程，我们可以更好地理解和预测流体的行为，为工程和科学领域提供有力支持。
一、流体力学的基本方程在研究流体力学中，最基本的方程包括质量守恒方程、动量方程和能量方程。
质量守恒方程描述了流体内部质量的变化和流动过程中质量的流动规律；动量方程则可以揭示流体受到的外力、内部粘性和惯性力的平衡关系；能量方程则描述了流体内部能量的传递和转化过程。
这些方程是流体力学研究的基础，通过它们我们可以定量地描述和分析流体的运动状态。
二、纳维-斯托克斯方程在流体力学中，纳维-斯托克斯方程是一组描述流体运动规律的基本方程。
它由质量守恒方程和动量方程组成，可以描述流体的运动状态和力学性质。
在实际应用中，纳维-斯托克斯方程通常会结合流体的黏性特性以及边界条件进行求解，从而得到流体在不同情况下的运动规律。
三、雷诺数和流体动力学在流体力学中，雷诺数是一个重要的无量纲参数，用于描述流体的惯性力和粘性力之间的相对重要性。
当雷诺数较大时，惯性力占主导地位，流体呈现湍流状态；而当雷诺数较小时，粘性力占主导地位，流体呈现层流状态。
通过控制雷诺数，我们可以探索不同流体状态下的运动特性和动力学行为。
四、数学模型在流体力学中的应用数学模型在流体力学中扮演着至关重要的角色，它可以将流体力学方程转化为数学方程，并通过数值计算和模拟来研究流体的运动规律和特性。
数学模型可以帮助工程师和科学家们更好地设计流体系统、预测流体行为以及优化流体流动过程。
通过数学模型，我们可以深入理解流体力学中复杂的现象和规律，为实际工程和科学问题提供解决方案。
总结：在流体力学中，方程与数学模型是不可或缺的工具，它们为我们理解和研究流体的运动规律提供了重要的理论基础。
通过建立数学模型和求解流体力学方程，我们可以揭示流体的行为特性、预测流体的运动状态，并为实际工程和科学应用提供支持和指导。
流体力学三大方程推导
流体力学连续性方程，动量方程，能量守恒方程推导过程——广州新宿一次狼我在做热设计仿真的时候复习了流体力学的连续性方程，动量方程和能量守恒方程，就整理出来，分享一下。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
最后就是能量守恒方程。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t r νν=随体导数表示流体质点在欧拉场内（见流体运动学）运动时所具有的物理量对时间的全导数。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
流体力学三大基本方程公式
流体力学三大基本方程公式流体力学是研究流体（液体和气体）行为的一门学科，而其中的三大基本方程就像是流体世界里的三位“大神”，每一个都有自己的风格和特点。
今天我们就来轻松聊聊这三大基本方程，看看它们是如何影响我们日常生活的。
1. 连续方程1.1 理论基础连续方程说的就是流体在流动时质量是守恒的，也就是说流体不会凭空消失或者出现。
这就好比你在喝饮料，吸管里的液体不管你怎么吸，它的总量始终不变。
你想，假如你吸得太快，吸管里液体都没了，那饮料可就喝不到了，真是要命！1.2 实际应用在现实生活中，这个方程的应用可广泛了。
比如，水管里流动的水，流量是一定的。
如果管道变窄，水速就会变快，简直就像是高速公路上的汽车，车道窄了，车速得加快才能不堵车。
你可以想象一下，如果这条“水路”被堵了，后果可就不堪设想，真是“水深火热”啊。
2. 纳维斯托克斯方程2.1 理论基础说到纳维斯托克斯方程，这可是流体力学里的“超级英雄”。
它描述了流体的运动，考虑了粘性、压力、速度等多个因素，就像一位全能运动员，无论是短跑、游泳，还是足球，样样精通！这个方程让我们能够预测流体的流动，简直就像是给流体穿上了“预测未来”的眼镜。
2.2 实际应用说到实际应用，纳维斯托克斯方程可是在天气预报、飞机设计等领域大显身手。
在气象学中，气象学家利用这个方程来模拟风暴、降雨等自然现象，真的是“未雨绸缪”，让我们提前做好准备。
想象一下，若是没有它，我们可能在大雨来临时还在悠哉悠哉地喝着茶，结果被“浇”了个透心凉。
3. 伯努利方程3.1 理论基础最后我们得提提伯努利方程，它可是流体动力学的明星。
简单来说，伯努利方程告诉我们，流体的压力和速度之间有着“爱恨交织”的关系。
流速快的地方，压力就低；流速慢的地方，压力就高。
这就像是你在一个热闹的派对上，越往外挤，周围的人越少，反而显得格外“安静”。
3.2 实际应用伯努利方程的应用那可是多得数不胜数，尤其是在飞行器设计上。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x ， y ， z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
单位体积流体的运动微分方程：
d p x fx d t x
⑵几何意义：
z ：单位重量流体的位置水头； （距离某一基准面的高度） P/r : 单位重量流体的压力水头，或静压头； （具有的压力势能与一段液柱高度相 当）
2 : 单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头。 2g
物理中：质量为m以速度v垂直向上抛能达到的 最高高度为v2/2g
三者之和为单位重量流体的总水头。
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
3.2 伯努利方程的应用
①
可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
②
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
流体力学方程各项的意义 知乎
流体力学方程各项的意义知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：流体力学方程是描述流体运动规律的基本方程，它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这三个方程分别对应了流体运动中质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理，通过这些方程我们可以推导出流体在不同情况下的运动规律和流态特性。
下面将分别介绍各项方程的意义。
连续性方程是描述流体在空间内不同位置和不同时间的质量变化关系。
其数学表示形式为质量守恒方程：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0ρ表示流体的密度，v表示流体的流速，t表示时间。
这个方程实际上是描述了在流体流动过程中，质量不能被“创造”或“消失”，而只能在空间内不同位置之间转移。
连续性方程可以帮助我们理解和描述流体在不同位置之间的质量变化关系，对于研究流体运动的整体特性和稳定性具有重要意义。
动量方程是描述流体运动过程中力的作用和运动状态变化的方程。
其数学表示形式为牛顿第二定律：p表示压力，τ表示应力张量，F表示外力。
这个方程可以描述流体在外力作用下产生的加速度和流速的变化情况，进而帮助我们理解和分析流体运动中各种复杂的现象和特性。
通过动量方程，我们可以研究流体在不同条件下的运动规律和动力学特性，为流体力学的应用和实践提供理论基础。
ρ[∂(e + v^2/2)/∂t + ∇·[(e + p)v]] = ∇·(k∇T) + φe表示单位质量的内能，k表示热传导系数，T表示温度，φ表示能量来源。
能量方程可以描述流体的内能和动能随着时间和空间的变化情况，进而帮助我们研究和分析流体的温度、热量传递和能量转换过程。
通过能量方程，我们可以深入理解流体在不同环境下的能量交换和转化机制，为热力学和热传导等领域的研究提供依据和支持。
流体力学方程是研究流体运动规律和性质的基本工具，每一个方程都有其独特的物理意义和数学含义。
通过对这些方程的建立和求解，我们可以深入探讨流体在宏观尺度下的行为和特性，为工程应用和科学研究提供理论支持和指导。
流体力学控制方程
流体力学控制方程
流体力学的控制方程描述了流体质点的运动状态，主要包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程三大基本控制方程。
这些方程贯穿在流体运动求解的每个环节，系统地阐述了流体运动的各种规律，是我们理解和揭示流体物理机制的
重要工具。
首先，质量守恒方程，又称为连续性方程。
它是根据质量守恒定律导出的微分形式。
在无源无汇的情况下，流体的质量是不变的。
这就是说，流动的液体每一秒钟流过的质量应该是恒定的，简单表述就是流入的和流出的质量是相等的。
然后，动量守恒方程，也叫做动量方程或Navier-Stokes方程。
这个方程是根据牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度，推导出的。
在流体力学中，压力、重力、粘性力等都是作用在流体上的力，这些力导致流体的速度改变，即产生加速度。
最后，能量守恒方程，是根据热力学第一定律，也就是能量守恒定律，推导出来的控制方程。
能量守恒方程包括内能、动能和势能的转换和守恒。
在流体运动的过程中，能量在不同形式之间转换，但是总能量是保持不变的。
流体力学的控制方程的求解，使我们能够预测流体运动的行为，在航空、化工、天气预报、海洋学等领域中有广泛的应用。
这些控制方程虽然在形式上比较复杂，但是它们却揭示了流体运动最基本的规律，对我们理解和研究流体运动提供了强大的理论支持。
流体力学中的三大基本方程讲解
运动方程：
x y z 0 x y z
x x x x 1 p 2 x 2 x 2 x x y z fx ( 2 2 2) t x y z x x y z
y
（ dt）dxdydz dxdydz dtdxdydz t t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxdydz / dt dxdydz t t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
（x） （y） （z） 0 t x y z
a
在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d x p dxdydz dxdydz f x dxdydz dt x
单位体积流体的运动微分方程：
d x p fx dt x
单位质量流体的运动微分方程：
质量为m微团以v运动具有mv22动能若用重量mg除之得v22g理想不可压缩流体在重力场中作稳定流动时沿流线or无旋流场中流束运动时单位重量流体的位能压力能和动能之和是常数即机械能是守恒的且它们之间可以相互转换
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
欲求Q，须 求
1 层流： max 2
紊流：
0 82 max
谢
谢
！
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
流体力学三大方程的推导
微分形式的连续性方程连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。
设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。
先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。
在x 轴方向流出与流入质量之差()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x xρρρρ∂∂+-=∂∂用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入质量之差分别为()y u dxdydzdt y ρ∂∂()z u dxdydzdt z ρ∂∂这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为：()()()[]y x z u u udxdydzdt x x x ρρρ∂∂∂++∂∂∂在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量()dxdydzdt t ρ∂-∂()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z tρρρρ∂∂∂∂++=-∂∂∂∂()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。
代表单位时间内，单位体积的质量变化代表单位时间内，单位体积内质量的净流出利用散度公式：得到利用矢量场基本运算公式和随体导数公式：得到 )()()()div(z y x u z u y u x u ρρρρ∂∂+∂∂+∂∂= 0)div(=+∂∂u tρρ()()()0y x z u u u x y z tρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂在连续方程中 div()div u u u ρρρ=+⋅∇ρρρ∇⋅+∂∂=u tDt D 0div =+u Dt D ρρdiv 0u u tρρρ∂++⋅∇=∂讨论*表明对不可压流体，体积在随体运动中保持不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X方向上作用于垂直 x 轴方向两个面的压力分别为：
pM
?
p?
?p ?x
dx 2
pN
?
p?
?p ?x
dx 2
X 方向上质点所受表面力合力：
（ pM ? p N） dydz
?
?
? p dxdydz ?x
③ 流体质点加速度 a? 的计算方法：
? ?? ? ??（x，y，z，t）x ? f（t） y ? f（' t）y ? f （'' t）
流速的全导数应是：
a? ?
d??
dt
?
???
?t
?
?
x
???
?x
??y
???
?y
?
?
z
???
?z
当地加速度： 流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度： 流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
a? 流体质点加速度
在三个坐标轴上的分量表示成：
?t
?
?x
?? x
?x
?
?y?? x源自?y??z
?? x
?z
?
fx ?
1
?
?p ? ?x
? ?
(
? 2? x
ax
?
d?x
dt
?
??x
?t
??x
??x
?x
??y
??x
?y
??z
??x
?z
ay
?
d? y
dt
?
?? y
?t
??x
?? y
?x
??y
?? y
?y
??z
?? y
?z
az
?
d?z
dt
?
??z
?t
??x
??z
?x
??y
??z
?y
??z
??z
?z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x 方向上的运动微分方程：
推导过程：
⑴取微小六面控制体 ⑵推导依据： 牛顿第二定律 or动量定理：
即作用力之合力=动量随时间的变化速率
?
? F?
ma? ?
m d?? ?
dt
d（m??）
dt
⑶分析受力： ① 质量力：
?
? dxdydzf
???? 单位质量力： f ? fxi ? f y j ? fzk
X方向上所受质量力为： ?f xdxdydz
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
?? x ? ?? y ? ?? z ? 0 or div?? ? 0
?x ?y ?z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
⑶稳定流动时： 所有流体物性参数均不随时间而变，?? ? 0
?t
?（??
?x
x）?
?（??
?y
y）?
?（??
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
? 理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 ? 数学描述：
[单位时间流出的质量 ]-[单位时间流入的质量 ]+[单位时间
质量的累积or增量]=0
?公式推导：
（1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中
任取出以 o??x，y，z?
?t
?t
单位时间内，微元体质量增量：
?? dtdxdydz / dt ? ?? dxdydz
?t
?t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
??
?t
?
?（??
?x
x）?
?（??
?y
y）?
?（??
?z
z）?
0
矢量形式：
??
?
?
?
? ?? ?
0
?t
——三维连续性微分方程
⑴适用条件： 不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态流动
?z
z）?
0
div(???) ? 0
⑷二维平面流动： ?? x ? ?? y ? 0
?x ?y
2. 理想流体的运动方程
3.4.1--- 欧拉运动微分方程
? 理论依据： 是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。
? 1775 年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx ，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x ，
y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 vx，v,y，液vz体密
度为 。将? 各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量
，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点 的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点 M的质点 在x 方向的分速度为
vx
?
1 2
?vx ?x
dx
通过控制体后表面中心点N的质点在x 方向的分速度为
vx
?
1 2
?vx ?x
dx
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x 轴方向
流入控制体的质量为
???? vx
?
1 2
?
?? v
?x
x
?dx
???dydz
流出控制体的质量为
???? vx
?
?
d? x
dt
dxdydz
?
?
?p ?x
dxdydz
?
?
f x dxdydz
单位体积 流体的运动微分方程：
?
d? x
dt
?
?
?p ?x
?
?
fx
单位质量 流体的运动微分方程：
d? x
dt
?
?
1
?
?p ? ?x
fx
同理可得y,z 方向上的：
d?x
dt
?
??x
?t
??x
??x
?x
??y
??x
?y
??z
??x
量差为
?
??
v
y
? dxdydz
和
?y
? ?? v z ?dxdydz
?z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
?????x（??
x）?
?（??
?y
y）?
?（??
?z
z）?? dxdydz ?
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt 时间内：
（? ? ?? dt）dxdydz ? ? dxdydz ? ?? dtdxdydz
式中：
gradp ? ?p i ? ?p j ? ?p k ?x ?y ?Z
适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体
（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用
这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例：
连续性方程： 运动方程：
?? x ? ?? y ? ?? z ? 0
?x ?y ?z
?? x
1 2
?
?? vx
?x
?dx
???dydz
于是，单位时间内在 x方向流出与流入控制体的质量差 为
???? v x
?
1 2
?
?? v
?x
x
?dx
???dydz
?
???? v x
?
1 2
?
?? vx
?x
?dx???dydz
?
???vx ?dxdydz
?x
同理可得在单位时间内沿 y，z方向流出与流入控制体的质
?z
?
?
1
?
?p ?x
?
fx
d?y
dt
?
??y
?t
??x
??y
?x
??y
??y
?y
??z
??y
?z
?
?
1
?
?p ? ?y
fy
d?z
dt
?
??z
?t
??x
??z
?x
??y
??z
?y
??z
??z
?z
?
?
1
?
?p ? ?z
fz
向量形式： d? ? f ? 1 gradp
dt
?
——理想流体欧拉运动微分方程