第三章第六节 函数图像的描绘
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高等数学 函数图形的描绘
极大
值1 2
5) 作图
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y
1 2
y
C
1 2
e
x2 2
A
B
o
x
x (,1) 1 (1,0) 0
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1,
1 2e
)
极大
值1 2
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y1
2
1
o
1
x
(x)
1 2
e
x2 2
补 2 描绘方程 (x 3)2 4 y 4xy 0的图形 .
例如 ,
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
L PN
o
x
有渐近线
x a
y b
0
y
但抛物线 y x2 无渐近线 .
o
x
渐近线的分类: 水平渐近线; 铅直渐近线; 斜渐近线
1. 水平渐近线 ( P35) (平行于 x 轴的渐近线)
若
lim
x
f
(x)
b,
或 lim f (x) b , x
( 其中 b 为常数)
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3, )
y y
0
无 定
0
y
2
义
0
( 极大 )
( 极小 )
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y
(x 4(
3.6函数图形的描绘 [兼容模式]
![3.6函数图形的描绘 [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/986021ecf61fb7360b4c65c5.png)
π lim arctan x , x 2
x
lim arctan x
π 2
π π 水平渐近线: y , y . 2 2
2
3.6 函数图形的描绘
水平渐近线 : y c
y f ( x)
1 ).
lim f ( x ) c
3 5 B (0,1), C ( , ). 2 8
A ( 1,0)
y
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
1
1 3
o
1 3
1
x
1
(1, )
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
1 ( , ) 3
1 3
1 1 ( , ) 3 3
1 3
1 ( ,1) 3
0
极大值
x
f ( x ) f ( x )
1 ( , ) 3 1 3
1 1 ( , ) 3 3
1 3
1 ( ,1) 3
1
(1, )
0
极大值
0
拐点
1 16 ( , ) 3 27
0
极小值
f ( x)
32 27
0
(4) 无渐近线
10
3.6 函数图形的描绘
(5) 补充点 : A ( 1,0),
4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x
令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x ) 0, 得x 3.
17
3.6 函数图形的描绘
4( x 1) f ( x) 2 2 x
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
经典高等数学课件D3-6函数图形的描绘,D3-7曲率分析
(或 x )
x
f ( x) b k7 lim [ f ( x ) g ] a存在， 结论 :lim ( x) lim g( x ) lim f ( x ) 0 x x x
5
x2 的渐近线. 例1.求 f ( x ) 2x 1
解: D : ( , ) ( , ).
(或 x )
( P76 题14)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x [ k ] 0 x x x
f ( x) b lim [ k ] 0 x x x
f ( x) k lim x x
(或 x )
b lim [ f ( x ) k x ]
3
3)斜渐近线 如果
x x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
f ( x) [ f ( x ) ax] b. 斜渐近线求法: lim a , lim x x x 那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
8
4( x 2) 8 ( x 3 ) 4( x 1) , f ( x ) . f ( x) 2 f ( x ) 3 4 2 x x x 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,3) 3 ( 3,2)
f ( x) 不存在; 注意: 如果(1) lim x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
x
f ( x) b k7 lim [ f ( x ) g ] a存在， 结论 :lim ( x) lim g( x ) lim f ( x ) 0 x x x
5
x2 的渐近线. 例1.求 f ( x ) 2x 1
解: D : ( , ) ( , ).
(或 x )
( P76 题14)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x [ k ] 0 x x x
f ( x) b lim [ k ] 0 x x x
f ( x) k lim x x
(或 x )
b lim [ f ( x ) k x ]
3
3)斜渐近线 如果
x x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
f ( x) [ f ( x ) ax] b. 斜渐近线求法: lim a , lim x x x 那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
8
4( x 2) 8 ( x 3 ) 4( x 1) , f ( x ) . f ( x) 2 f ( x ) 3 4 2 x x x 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,3) 3 ( 3,2)
f ( x) 不存在; 注意: 如果(1) lim x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
函数图形的描绘
2. 斜渐近线 若
(或 x )
( k x b) ( k x b)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
f ( x) b 即 k lim [ ] x x x
1 令 f ( x ) ＝ 0， 得可疑点： x 2
lim f ( x ) lim e
x x x2
0
得水平渐近线 y 0 ，
曲线 y f ( x ) 不存在其它渐近线.
列表确定函数单调区间,凹凸区间，极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
1 1 1 (, ) ( ,0) 2 2 2
第六节 函数图形的描绘
第六节 函数图形的描绘
一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘
三、内容小结
返回
一、 曲线的渐近线 定义 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差”
y
C M
y f ( x)
解:
定义域： (,0) (0,)
f ( x ) 4( x 2) , 3 x f ( x ) 8( x 3) . 4 x
令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2, 令 f ( x ) 0, 得点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim [ 2] 2 得水平渐近线 y 2 ， 2 x x x
y kxb
L
PN
例如, 双曲线 有渐近线
o
x y 0 a b
chap3-6函数图形的描绘 共22页
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第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1
第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1
高等数学课件D3_6函数图形的描绘
例
描绘
y
1 3
x3
x2
2
的图形.
解: 1) 定义域为(, ),无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0, 得 x 0, 2
令 y 0, 得 x 1
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
x 0 (0, 1) 1 (1, )y 0 Nhomakorabeay
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
思考与练习
y
y
x 1 3
4)
y
2 3
2
2
(极大)
0
4 3
(拐点)
2 3
(极小)
例
描绘函数 y
1
e
x2 2
的图形.
2π
解: 1) 定义域为 (, ), 图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2π
令 y 0得 x 0; 令 y 0 得 x 1
3-6 函数图形的描绘(高等数学)
§3.6 函数图形的描绘教学内容：一．曲线的渐近线1.定义：如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．2．水平渐近线如果曲线()y f x =的定义域是无限区间，且有lim ()x f x b →-∞=或lim ()x f x b →+∞=，则直线y b =为曲线()y f x =的渐近线，称为水平渐近线．3．铅直渐近线设曲线()y f x =在点x a =的一个去心邻域(或左邻域，或右邻域)中有定义，如果lim ()x a f x -→=∞或lim ()x a f x +→=∞，则直线x a =称为曲线()y f x =的铅直渐近线．4．斜渐近线如果lim[()()]0x f x kx b →∞-+=，则称直线y kx b =+是曲线()y f x =的斜渐近线，其中()lim x f x k x→∞=，lim[()]x f x kx b →∞-=.二．函数作图利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：1．求出函数()y f x =的定义域，确定图形的范围；2．讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；3．计算函数的一阶导数()f x '和二阶导数()f x ''；4．求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大，从左到右插入定义域内，得到若干个子区间；5．列表讨论函数在各个子区间内的单调性、凹凸性、极值点和拐点；6．确定函数图形的水平、铅直渐近线，确定图形的变化趋势；7．求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等，有时还要求出一些辅助点的函数值，然后根据(5)中的表格描点绘图．三．例题讲解例1．判定曲线arctan y x x =⋅的凹凸性．例2．讨论曲线43425y x x x =-+-的凹凸区间和拐点．例3．求曲线y =例4．问曲线4y x =是否有拐点？例5．求反正切曲线arctan y x =的水平渐近线．。
高等数学3.6函数图形的描绘
x 1 是曲线的铅直渐近线
2( x 2)( x 3) 的渐近线 例1 求 f ( x ) x 1 f ( x ) lim 2( x 2)( x 3) 2, 解 lim x x ( x 1) x x 2(x 2)(x 3) lim[ 2x ] x (x 1) 2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
( 2 ,0 )
0
不存在
( 0 , )
0
( 3 ,
9 )
0
补充点 :
(1 3 ,0),
(1 3 ,0);
拐点 26
极值 3 点
间 断 点
A ( 1,2),
y
B (1,6),
C ( 2,1).
得水平渐近线 y 2;
作图
4( x 1) 2 f ( x) 2 x
' " 描出与方程 和 f ( x ) 0 f ( x ) 0 的根对应的曲 第五步 线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四 步讨论的结果画出函数的图形.
4( x 1) 2 的图形 例2 绘,且无对称性.
4( x 2) , f ( x ) 3 x
x x0
x x0 是函数 y f ( x ) 图形的铅直渐近线
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
一、渐近线 2.水平渐近线
平行于 x 轴的渐近线
如果 lim f ( x ) 定义：
x
c , 或 lim f ( x ) c , 则直线
' "
2( x 2)( x 3) 的渐近线 例1 求 f ( x ) x 1 f ( x ) lim 2( x 2)( x 3) 2, 解 lim x x ( x 1) x x 2(x 2)(x 3) lim[ 2x ] x (x 1) 2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
( 2 ,0 )
0
不存在
( 0 , )
0
( 3 ,
9 )
0
补充点 :
(1 3 ,0),
(1 3 ,0);
拐点 26
极值 3 点
间 断 点
A ( 1,2),
y
B (1,6),
C ( 2,1).
得水平渐近线 y 2;
作图
4( x 1) 2 f ( x) 2 x
' " 描出与方程 和 f ( x ) 0 f ( x ) 0 的根对应的曲 第五步 线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四 步讨论的结果画出函数的图形.
4( x 1) 2 的图形 例2 绘,且无对称性.
4( x 2) , f ( x ) 3 x
x x0
x x0 是函数 y f ( x ) 图形的铅直渐近线
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
一、渐近线 2.水平渐近线
平行于 x 轴的渐近线
如果 lim f ( x ) 定义：
x
c , 或 lim f ( x ) c , 则直线
' "
高等数学 上、下册3_6 函数图形的描绘
1. 曲线渐近线的求法
铅直渐近线
2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
作业
P141 1, 3(3), (4)
渐近线来描绘.
定义 若 lim f (x) A或 lim f (x) A，则直线 y A是曲
x
x
线 y f (x)的水平渐近线.
若 lim x x0
f
(x) 或 lim x x0
f
(x) ，直线 x
x0是曲线 y
f (x)
的铅直渐近线.
例如，因为 lim 1 ， lim 1 0 ，所以直线 x 0是曲线
3
3
曲 线 为 凹 的 .当 x 1 时 ， y 16 .故 (1 , 16 ) 为 拐 点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲 线 没 有 渐 近 线 . x
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时 ， y0.当 x0时 ， y1.曲 线 与 x轴 交 于 点 (1,0)及 (1,0)， 与 y轴 交 于 点 (0,1).极 大 值 yx10.
例 1 描 绘 函 数 y x 3 x 2 x 1 的 图 形 .
解 （ 1） 函 数 定 义 域 为(,)
（ 2） y 3 x 2 2 x 1 (3 x 1)( x 1) ， 驻 点 x 1 , x 1 将 3
定 义 域 分 为 ( , 1 ),( 1 ,1),(1,+ )，在 ( , 1 ),(1,+ )内 ，
x0 x
x x
y 1 的一条铅直渐近线，直线 y 0是曲线的一条水平渐近线 x
（图 3-9）
又如，因为
lim
x
ex x2 1
0 ， lim x1
铅直渐近线
2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
作业
P141 1, 3(3), (4)
渐近线来描绘.
定义 若 lim f (x) A或 lim f (x) A，则直线 y A是曲
x
x
线 y f (x)的水平渐近线.
若 lim x x0
f
(x) 或 lim x x0
f
(x) ，直线 x
x0是曲线 y
f (x)
的铅直渐近线.
例如，因为 lim 1 ， lim 1 0 ，所以直线 x 0是曲线
3
3
曲 线 为 凹 的 .当 x 1 时 ， y 16 .故 (1 , 16 ) 为 拐 点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲 线 没 有 渐 近 线 . x
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时 ， y0.当 x0时 ， y1.曲 线 与 x轴 交 于 点 (1,0)及 (1,0)， 与 y轴 交 于 点 (0,1).极 大 值 yx10.
例 1 描 绘 函 数 y x 3 x 2 x 1 的 图 形 .
解 （ 1） 函 数 定 义 域 为(,)
（ 2） y 3 x 2 2 x 1 (3 x 1)( x 1) ， 驻 点 x 1 , x 1 将 3
定 义 域 分 为 ( , 1 ),( 1 ,1),(1,+ )，在 ( , 1 ),(1,+ )内 ，
x0 x
x x
y 1 的一条铅直渐近线，直线 y 0是曲线的一条水平渐近线 x
（图 3-9）
又如，因为
lim
x
ex x2 1
0 ， lim x1
高等数学(上)第3章.第6节 曲线的渐近线与函数图形的描绘
x
x (x 1)
所以曲线还有斜渐近线 y x 5 .
（5）绘画函数图像,如右图所示.
例 3 描绘函数 y
1
x2
e2
的图形．
2
解 （1）所给函数 f (x)
1
x2
e2
的定义域为 (, )
.
2
由于 f (x) 是偶函数,它的图形关于 y 轴对称,因此可以只讨论 0, 上
(5) 计算特殊点 M1(0,
1
2
)
和
M
2
(1,
1
2e
)
,
M
3
(2,
1 ) .结合（3）和（4） 2 e2
的结论以及偶函数的对称性,便可得到函数的图形．
三、内容小结
1. 曲线的渐近线 （1）水平渐近线 （2）铅直渐近线 （3）斜渐近线
2. 函数图形的描绘（主要步骤）
思考与练习
1.求函数 f ( x) x2 的斜渐近线. 1 x
斜渐近线 y kx b 的求法：
由 lim[ f (x) (kx b)] 0 ,得 x
lim f (x) (kx b) 0
x
x
所以
k lim f (x) , b lim[ f (x) kx]
x x
x
例1
求曲线 y
x3 的渐近线. x2 2x 3
f (x)
0
—
—
—
f (x)
—
—
0
+
f (x)
极大
拐点
由上表可知,曲线弧在 0,1上是下降而且凸的,曲线弧在 1, 上是下降而且凹的.
结合 f (0) 0 以及图形关于 y 轴对称可知,极大值 f (0) 1 ,函数无极小值. 2
36函数图形的描绘
斜渐近线求法:
lim( f ( x ) a b ) 0 lim( f ( x ) a ) 0
x x
x
x x
即：lim f ( x) a, lim[ f ( x) ax] b.
x x
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x) 的一条斜渐近线.
注意: 如果
(1) lim f ( x) 不存在; x x
(2) lim f ( x) a 存在,但 lim[ f ( x) ax] 不存在,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
lim f ( Biblioteka ) , x1lim f ( x) ,
x1
x 1 是曲线的铅直渐近线.
又 lim f ( x) lim 2( x 2)( x 3) 2,
x x
x x( x 1)
lim[ 2( x 2)(x 3) 2x]
x
x1
lim 2( x 2)( x 3) 2x( x 1) 4,
x
x1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
例如 y arctan x,
lim arctan x
x
2
lim arctan x
x
2
有水平渐近线两条: y ,
2
y . 2
3.斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x 或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线.
x
《大学数学》教学课件—函数图形的描绘
存在的点 x，即求出可能的极值点和拐点的横坐标，把函数定
义域划分为几个部分区间. （3）考察在各个部分区间内 f (x), f (x) 的符号，列表确定函数 的单调性和极值，曲线的凹凸性和拐点. （4）确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线. （5）需要时计算一些辅助点，特别是曲线和坐标轴的交点. （6）作 y f (x) 的图形.
会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 能比较准确地作出函数的图像
素质目标
通过函数图像的描绘，培养学生综合运用知识的能力
-2-
教学重点
曲线的水平渐近线和垂直渐近 线的定义及求法
函数图像的描绘
教学难点 函数图像的描绘
-3-
2.12.1 曲线的水平渐近线和垂直渐近线
定义1 如果当自变量 x （有时仅当x 或x ）时函数 f (x) 以常量 b为极限，即
2.8 函数图形的描绘
山西职业技术学院
-1-
数学解题策略：分类讨论
应用分类讨论，往往能使复杂的问 题简单化。分类的过程，可培养学 生思考的周密性，条理性，而分类 讨论，又促进学生研究问题，探索 规律的能力
教学目标
知识目标
理解曲线的水平与垂直渐近线的定义，会求曲线的渐近线 会作已知函数的图像
技能目标
lim f (x) bxFra bibliotek xx
那么称直线 y b为曲线 y f (x)的水平渐近线.
定义2 如果当自变量 x x（0 有时仅当 x x0 或 x x0）时函数 f (x) 为无穷大，即
lim f (x)
x x0
x x
x0 x0
那么称直线 x x0为曲线 y f (x)的垂直渐近线.
-4-
例1 求下列曲线的水平渐近线或垂直 渐近线.
义域划分为几个部分区间. （3）考察在各个部分区间内 f (x), f (x) 的符号，列表确定函数 的单调性和极值，曲线的凹凸性和拐点. （4）确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线. （5）需要时计算一些辅助点，特别是曲线和坐标轴的交点. （6）作 y f (x) 的图形.
会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 能比较准确地作出函数的图像
素质目标
通过函数图像的描绘，培养学生综合运用知识的能力
-2-
教学重点
曲线的水平渐近线和垂直渐近 线的定义及求法
函数图像的描绘
教学难点 函数图像的描绘
-3-
2.12.1 曲线的水平渐近线和垂直渐近线
定义1 如果当自变量 x （有时仅当x 或x ）时函数 f (x) 以常量 b为极限，即
2.8 函数图形的描绘
山西职业技术学院
-1-
数学解题策略：分类讨论
应用分类讨论，往往能使复杂的问 题简单化。分类的过程，可培养学 生思考的周密性，条理性，而分类 讨论，又促进学生研究问题，探索 规律的能力
教学目标
知识目标
理解曲线的水平与垂直渐近线的定义，会求曲线的渐近线 会作已知函数的图像
技能目标
lim f (x) bxFra bibliotek xx
那么称直线 y b为曲线 y f (x)的水平渐近线.
定义2 如果当自变量 x x（0 有时仅当 x x0 或 x x0）时函数 f (x) 为无穷大，即
lim f (x)
x x0
x x
x0 x0
那么称直线 x x0为曲线 y f (x)的垂直渐近线.
-4-
例1 求下列曲线的水平渐近线或垂直 渐近线.
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第六节 函数的作图法
一、曲线的凹凸性与拐点 二、曲线的渐近线 三、函数图形的描绘 四、小结 思考题
一、曲线的凹凸性与拐点
1．曲线的凹凸性
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f (x)
f (x1) f (x2 )
2
f ( x1 x2 ) 2
o
x1
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧
2 1
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
y
y
f
(
1
x)
2
3
B
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
解 lim f ( x) lim 2( x 2)( x 3) 垂直渐近线x 1
x1
x1
x1
lim f ( x) lim f ( x) 没有水平渐近线
x
x
又 lim f ( x) lim 2( x 2)(x 3) 2,
x x
x x( x 1)
lim[
f
(
x)
2
x]
2( lim[
段位于所张弦
的下方
凹
y
y f (x)
o x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧 段位于所张弦 的上方
凸
定义 设f (x)在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
点 x1,
x2 ,
恒有
f
(
x1
2
x2
)
f (x1) f (x2 ) ,那么称 2
f (x) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）;
凹
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
求拐点(凹凸区间)的步骤: (1) 确定函数f ( x)的定义域，求f ( x)和f ( x); (2) 求出f ( x) 0的点和二阶不可导点； (3) 用这些点将定义域分成若干个部分区间，
并确定f ( x)在每个部分区间上的符号； (4)由此判断凹凸性，并确定拐点.
x
2)(
x
3)
2x]
lim
4
x
12
4,
x
x
x1
x x 1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 的两条渐近线如图 x1
三．函数图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形. 第一步 确定函数 y f ( x)的定义域,对函数进行 奇偶性、周期性讨论, 求出函数的一阶导数 f ( x) 和二阶导数 f ( x);
第二步 求内的全部实根，用这些根同一阶导数、二阶 导数不存在的点把函数的定义域划分成若干个区 间.
第三步 确定在各个区间内 f ( x) 和 f ( x) 的符
号，并由此确定函数的形态；
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 定义域 D : (,)
y 3x2, y 6x 当x 0时， y 0 此时曲线是凸的； 当x 0时， y 0 此时曲线是凹的； 综上，曲线f ( x)的凸区间是(，0)，凹区间是(0,+).
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
3. 曲线的拐点
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
4. 拐点的求法
使得f ( x) 0成立的点( x0, f ( x0 ))可能是拐点.
例 f (x) x4
f ( x) 4x3
f ( x) 12x2 f (0) 0
但(0,0)并不是曲线 f ( x) 的拐点.
注意：若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是 连续曲线 y f ( x) 的拐点.
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线.
斜渐近线求法:
lim f ( x) a, lim[ f ( x) ax] b.
x x
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x) 的一条斜渐近线.
注意: a, b要同时存在.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
例 曲线 y 3 x
y
1
2
x 3,
y
2
5
x3
2
显然f (0)不存在
3
9
93 x5
当x 0时， y 0 此时曲线是凹的；
当x 0时， y 0 此时曲线是凸的；
故(0,0)是曲线 f ( x)的拐点.
使得f ( x) 0的点和二阶不可导点都可能是拐点.
判定方法: (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
如果恒有f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) ,那么称 f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那么称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的.
2．凹凸性的判定
y
y f (x) B 3
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹凸区间.
解 定义域 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2)
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f (x) 凹
拐点
凸
(0,1)
拐点
(2 3 ,1127)
二、渐近线
(1) 垂直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条垂直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有垂直渐近线两条:
x 2, x 3.
(2) 水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条: y , y .
2
2
(3) 斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x 或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
一、曲线的凹凸性与拐点 二、曲线的渐近线 三、函数图形的描绘 四、小结 思考题
一、曲线的凹凸性与拐点
1．曲线的凹凸性
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f (x)
f (x1) f (x2 )
2
f ( x1 x2 ) 2
o
x1
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧
2 1
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
y
y
f
(
1
x)
2
3
B
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
解 lim f ( x) lim 2( x 2)( x 3) 垂直渐近线x 1
x1
x1
x1
lim f ( x) lim f ( x) 没有水平渐近线
x
x
又 lim f ( x) lim 2( x 2)(x 3) 2,
x x
x x( x 1)
lim[
f
(
x)
2
x]
2( lim[
段位于所张弦
的下方
凹
y
y f (x)
o x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧 段位于所张弦 的上方
凸
定义 设f (x)在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
点 x1,
x2 ,
恒有
f
(
x1
2
x2
)
f (x1) f (x2 ) ,那么称 2
f (x) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）;
凹
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
求拐点(凹凸区间)的步骤: (1) 确定函数f ( x)的定义域，求f ( x)和f ( x); (2) 求出f ( x) 0的点和二阶不可导点； (3) 用这些点将定义域分成若干个部分区间，
并确定f ( x)在每个部分区间上的符号； (4)由此判断凹凸性，并确定拐点.
x
2)(
x
3)
2x]
lim
4
x
12
4,
x
x
x1
x x 1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 的两条渐近线如图 x1
三．函数图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形. 第一步 确定函数 y f ( x)的定义域,对函数进行 奇偶性、周期性讨论, 求出函数的一阶导数 f ( x) 和二阶导数 f ( x);
第二步 求内的全部实根，用这些根同一阶导数、二阶 导数不存在的点把函数的定义域划分成若干个区 间.
第三步 确定在各个区间内 f ( x) 和 f ( x) 的符
号，并由此确定函数的形态；
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 定义域 D : (,)
y 3x2, y 6x 当x 0时， y 0 此时曲线是凸的； 当x 0时， y 0 此时曲线是凹的； 综上，曲线f ( x)的凸区间是(，0)，凹区间是(0,+).
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
3. 曲线的拐点
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
4. 拐点的求法
使得f ( x) 0成立的点( x0, f ( x0 ))可能是拐点.
例 f (x) x4
f ( x) 4x3
f ( x) 12x2 f (0) 0
但(0,0)并不是曲线 f ( x) 的拐点.
注意：若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是 连续曲线 y f ( x) 的拐点.
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线.
斜渐近线求法:
lim f ( x) a, lim[ f ( x) ax] b.
x x
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x) 的一条斜渐近线.
注意: a, b要同时存在.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
例 曲线 y 3 x
y
1
2
x 3,
y
2
5
x3
2
显然f (0)不存在
3
9
93 x5
当x 0时， y 0 此时曲线是凹的；
当x 0时， y 0 此时曲线是凸的；
故(0,0)是曲线 f ( x)的拐点.
使得f ( x) 0的点和二阶不可导点都可能是拐点.
判定方法: (1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
如果恒有f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) ,那么称 f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那么称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的.
2．凹凸性的判定
y
y f (x) B 3
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹凸区间.
解 定义域 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2)
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f (x) 凹
拐点
凸
(0,1)
拐点
(2 3 ,1127)
二、渐近线
(1) 垂直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条垂直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有垂直渐近线两条:
x 2, x 3.
(2) 水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条: y , y .
2
2
(3) 斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x 或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x