人教版数学直线与方程知识点专题讲义

x-x点斜式y-y=k(x-x)(x,y)为直线上一定点，k必修二直线与方程专题讲义1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x轴相交;ⅱ.x轴正向;ⅲ.直线向上方向.②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.③倾斜角α的范围00≤α<1800.④0︒≤α<90︒,k=tanα≥0；90︒<α<180︒,k=tanα<0（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为900的直线斜率不存在.②经过两点P(x,y),P(x,y)的直线的斜率公式是k=111222y-y21(x≠x).1221③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.2、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性1111为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式y=kx+bk为斜率，b是直线在y轴上不包括垂直于x轴的的截距直线两点式y-y1=y-y21x-x1x-x21(x,y),(x,y)是直线上两1122不包括垂直于x轴和(其中x≠x,y≠y)1212定点y轴的直线截距式x y+=1a ba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0）A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点P(x,y),P(x,y)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）111222（1）若x=x且y≠y，直线垂直于x轴，方程为x=x；12121（2）若x≠x且y=y，直线垂直于y轴，方程为y=y；12121（3）若x≠x且y≠y，直线方程可用两点式表示）12123、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行斜截式：对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，则有l//l⇔k=k,b≠b121212注：当直线l,l的斜率都不存在时，l与l的关系为平行.1212一般式：已知l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，则l//l⇔A B=A B,AC≠A C1212211221注：l与l重合⇔A B=A B,AC=A C1212211221l与l相交⇔A B-A B≠0121221（2）两条直线垂直斜截式：如果两条直线l,l斜率存在，设为k,k，则l⊥l⇔k k=-112121212注：两条直线l,l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率12之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果l,l中12有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l与l互相垂直.12⎪⎪ 2⎪ y = y 1 + y 2⎩坐标就是方程组 ⎨ 1 ⎩ 2一般式：已知 l 1 : A 1x + B 1 y + C 1 = 0 , l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ，则l ⊥ l ⇔ A A + B B = 01 21 21 24、线段的中点坐标公式⎧x + x x = 12 若两点 P ( x , y ), P ( x , y ) ，且线段 P , P 的中点 M 的坐标为 ( x , y) ，则 ⎨1 1 12 2 2 1 2 ⎪25、 直线系方程（1）过定点的直线系①斜率为 k 且过定点 ( x , y ) 的直线系方程为 y - y = k ( x - x )②过两条直线 l : A x + B y + C = 0 , l : A x + B y + C = 0 的交点的直线系方程为1 1112222A 1x +B 1 y +C 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0 （ λ 为参数），其中直线 l 2不在直线系中（2）平行垂直直线系①平行于已知直线 Ax + By + C = 0 的直线系 Ax + By + C 1 = 0②垂直于已知直线 Ax + By + C = 0 的直线系 Bx - Ay + C 1 = 06、两条直线的交点设两条直线的方程是 l : A x + B y + C = 0 , l : A x + B y + C = 0 两条直线的交点11 1 12 2 2 2⎧ A x + B y + C = 0 1 1 A x + B y + C = 022的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.7、几种距离（1）两点间的距离平面上的两点 P ( x , y ), P ( x , y ) 间的距离公式 P P =( x - x )2 + ( y - y )21 112221 22121特别地，原点 O (0,0) 与任一点 P( x , y) 的距离 OP =（2）点到直线的距离x 2 + y 2①若点 M ( x , y ) 及 N ( x , y ) 关于 P(a, b ) 对称，则由中点坐标公式得 ⎨⎧x = 2a - x ⎩ y = 2b - y 1⎧ x + xy + y ⎪⎪⎨ y - y Ay =⎪⎩ x - x点 P ( x , y ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离 d =（3）两条平行线间的距离Ax + By + C0 0A 2 +B 2两条平行线 l : Ax + By + C = 0 , l : Ax + By + C = 0 间的距离 d =1122C - C 2 1A 2 +B 2注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算.8、有关对称问题（1）中心对称1 1 12 2②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l // l ，由点斜式得到所求直线方程.1 2（2）轴对称①点关于直线的对称若两点 P ( x , y ) 与 P ( x , y ) 关于直线 l : Ax + By + C = 0 对称，则线段 P P 的中点在1 112221 2对称轴 l 上，而且连接 P P 的直线垂直于对称轴 l 上，由方程组1 2A( 12 ) + B( 12 ) + C = 02 1可得到点 P 关于 l 对称的点 P 的坐标 ( x , y ) （其中 A ≠ 0, x ≠ x ）1 22212②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.注：①曲线、直线关于一直线 y = ± x + b 对称的解法： y 换 x ， x 换 y . 例：曲线⎩- x + 2 y - 1 ⎧3x + y = 0 1 3 ⎪⎪ 7⎪ y = 3. . ⎩f ( x , y) = 0 关于直线 y = x - 2 对称曲线方程是 f ( y + 2, x - 2) = 0②曲线 C : f ( x , y) = 0 关于点 (a, b ) 的对称曲线方程是 f (2a - x,2b - y) = 09、直线 l 上一动点 P 到两个定点 A 、 B 的距离“最值问题”：（1）在直线 l 上求一点 P ，使 P A + PB 取得最小值，① 若点 A 、B 位于直线 l 的同侧时，作点 A （或点 B ）关于 l 的对称点 A / 或 B / ,连接A / B(或AB / )交l 于P ，则点P 即为所求点② 若点 A 、B 位于直线的异侧时，连接 AB 交于 l 点 P ，则 P 为所求点.可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线 l 上求一点 P 使 P A - PB 取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”① 若点 A 、B 位于直线 l 的同侧时，连接 AB 交于 l 点 P ，则 P 为所求点.② 若点 A 、B 位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于 l 的对称点 A / 或 B / ,连接A / B(或AB / )交l 于P ，则点P 即为所求点(3) P A 2 + PB 2 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”.10、直线过定点问题（1）含有一个未知参数，y = (a - 1) x + 2a - 1⇒ y = a( x + 2) - x + 1（1）令 x + 2 = 0 ⇒ x = -2 ，将 x = -2代入(1)式，得y = 3 ，从而该直线过定点 (-2,3)（2）含有两个未知参数(3m - n ) x + (m + 2n ) y - n = 0⇒ m (3x + y) + n (- x + 2 y - 1) = 0⎧1 x =- 令 ⎨ ⇒⎨，从而该直线必过定点 (- , ) . 7 7 ⎪7。