3.6 三角形的中位线
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线三角形是中学数学中重要的几何形状之一，它具有丰富的性质和特点。
本文将重点讨论三角形中的两条特殊线段：中线和中位线。
一、中线中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点D的线段AD称为三角形ABC的中线。
同样地，连接顶点B与对边AC的中点E的线段BE和连接顶点C与对边AB的中点F的线段CF也是三角形ABC的中线。
中线的性质之一是：三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。
重心是三角形的重要性质之一，它与三角形的形心、外心和垂心等地位相当。
重心离三个顶点的距离满足一定的关系，具体推导可以参考数学教材。
二、中位线中位线是连接三角形的两个顶点的中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与顶点B的中点M的线段AM称为三角形ABC的中位线。
同样地，连接顶点B与顶点C的中点N的线段BN和连接顶点C与顶点A的中点L的线段CL也是三角形ABC的中位线。
中位线的性质之一是：三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心，与中线的重心重合。
这是因为中位线的中点正好是中线的重心。
三、中线与中位线的关系中线与中位线有一定的关系。
以三角形ABC为例，连接三角形的两个顶点的中点分别为M、N和L，连接顶点A与对边BC的中点为D，连接顶点B与对边AC的中点为E，连接顶点C与对边AB的中点为F。
则有以下关系：1. 中线与中位线的长度比为1:2，即AD:AM = BE:BN = CF:CL = 1:2。
2. 以中位线的中点为圆心，边长为中位线长度的圆可内切于三角形中。
三角形的中线和中位线是三角形的重要构造元素，它们具有一定的性质和关系，通过研究和应用这些性质，可以进一步深入理解和探究三角形的特点。
在解决一些与三角形相关的问题时，中线和中位线也常常被用作推理和证明的重要工具。
因此，对于掌握三角形的基本性质和几何关系具有重要的意义。
综上所述，中线与中位线是三角形的重要特殊线段。
3.6 三角形、梯形的中位线(含答案)-
3.6三角形、梯形的中位线[趣题导学]按要求画图：分别画一个任意四边形、矩形、等腰梯形、对角线相等的四边形、菱形、对角线互相垂直的四边形，然后分别取这些图形各边的中点，再把每个图形四条边的中点分别顺次连结，你有什么发现？解答：容易发现（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是平行四边形； （2）顺次连结矩形各边中点所得图形是菱形； （3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是菱形；（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是菱形； （5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是矩形；（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是矩形. [双基锤炼] 一、选择题1、已知△ABC 的周长为50cm ，中位线DE =8cm ，EF =10cm ，则另一条中位线DF 的长是 （ ）A ．5cmB ．7cmC ．9cmD ．10cm2、梯形ABCD 中，CD AB //，cm 2=AB ，cm 8=CD ，M 、N 分别为对角线AB 、BD 中点，则MN 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm3、一个梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm 2，则这梯形的高是 （ ） A ．32cm B ．6cm C ．62cm D ．3cm4、等腰梯形的两腰延长后相交，所构成的三角形的中位线恰好是该梯形上底，则该三角形中位线与原梯形的中位线的比是（ ）A ．1：2B ．1：3C ．2：1D ．2：3 二、填空题5、如图3.6-1，在△ABC 中，若D 、E 、F 分别是CB 、AB 、AC 的中点，则有 （1）图中有 个平行四边形；（2）若DE =4，则AC = ；若DF =5，则AB = ；若EF =6，则CB = ．（3）若△DEF 的周长为15cm ，则△ABC 的周长为 cm ；若△ABC 的面积为40cm 2，则△DEF 的面积为 cm 2．30；FCED BAO A GH FEDCB图3.6-1 图3.6-26、如图3.6-2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，则（1）四边形EFGH 是 形；（2）若四边形EFGH 的周长为30cm ，则梯形ABCD 的周长为 cm ．7、等腰梯形中位线长为4cm ，腰长为6cm ，它的周长是__ ______．8、已知梯形上、下底之比为2∶3，中位线长20cm ，则梯形上底和下底分别是________． 9、如图3.6-3，梯形ABCD 中，BC ∥AD 对角线AC ⊥BD ，且AC =5cm ，BD =12cm,则该梯形的中位线的长是 cm ．DACBADNMCE B图3.6-3 图3.6-410、如图3.6-4，在Rt △ABC 中，AB 是斜边，DE ∥MN ∥BC ，且AE =EN =NC =5cm ，DE =4cm ．MN 的长是 cm ；BC 的长是 cm ；BCED S 梯形= cm 2． 三、解答题11、已知：如图3.6-5，E 、F 、G 、H 分别是CD 、BC 、AB 、DA 的中点，试说明：四边形EFGH 是平行四边形．HGADFCEB图3.6-512、如图3.6-6，在等腰梯形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 互相垂直，试说明：这个等腰梯形的中位线与高相等．[能力提升] 一、综合渗透1、如图3.6-7，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，E 、F 分别是OA 、OD 的中点，BC =8cm 。
三角形的中线和中位线
三角形的中线和中位线三角形是几何学中最基本的图形之一。
它由三条边和三个顶点组成，具有丰富的性质和特点。
本文将重点介绍三角形的中线和中位线。
一、中线中线是指从一个顶点连到对边中点的线段。
一个三角形有三个顶点，因此它有三条中线。
用示意图表示，如下所示：（插入示意图）中线的特点如下：1. 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 中线的长度相等，且等于三角形两边的和的一半。
3. 三角形的重心到顶点的距离是中线长度的2/3。
二、中位线中位线是指连接三角形两个顶点的中点的线段。
一个三角形有三个顶点，因此它有三条中位线。
用示意图表示，如下所示：（插入示意图）中位线的特点如下：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 中位线的长度相等，且等于三角形两边的和的一半。
3. 重心到中位线的交点的距离是中位线长度的1/3。
三、中线和中位线的关系中线和中位线都是连接顶点和对边中点的线段，它们有一些共同的性质和特点：1. 三角形的三条中位线和三条中线都会交于同一个点，这个点就是三角形的重心。
2. 中线和中位线的长度相等，都等于三角形两边的和的一半。
3. 重心到中线的交点和重心到中位线的交点之间的距离关系为2:1。
4. 中位线的交点将中线一分为二，且分割的线段长度与两条中位线的长度之间的关系为1:2。
四、中线和中位线的应用中线和中位线在几何学中具有广泛的应用，特别是在解决三角形相关问题时：1. 利用中线和中位线的性质可以求解三角形的重心，从而确定三角形的位置和形状。
2. 中线和中位线的长度关系可以用来推导其他三角形边长和角度的关系。
3. 基于中线和中位线的性质，可以证明一些三角形的定理和性质，如垂心定理和松弛定理等。
综上所述，三角形的中线和中位线是三角形的重要属性和特点，它们有着丰富的性质和应用。
通过研究中线和中位线，我们可以更好地理解和分析三角形，深入掌握几何学的知识。
对于几何学的学习和应用来说，中线和中位线是必不可少的重要内容之一。
3.6_三角形、梯形的中位线(第一课时)_时堰镇中学__孙玉华
2011年11月21日
一个三角形共有三条中位线。 一个三角形共有三条中位线。 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 中位线是连接三角形两边中点 一个三角形有三条中线 三角形的中线是连接一个顶点 它的对边中点的线段 中线是连接一个顶点和 三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段
（同理） 同理） EF ∥ HG EH ∥FG
E
四边形EFGH 四边形 是平行四边形
2011年11月21日
四边形EFGH 四边形 是平行四边形
解：四边形 四边形EFGH是平行四边形 是平行四边形
E
连接AC 连接 因为E、 分别是 分别是AB 、BC的中点， B 的中点， 在△ABC中,因为 、F分别是 中 因为 的中点 的中位线， 即EF是△ABC的中位线， 是 的中位线 所以EF 所以 ∥ AB
F
2011年11月21日
变题3、若四边形 变题 、若四边形ABCD从普通的四边形变成菱 从普通的四边形变成菱 其它条件不变，则四边形EFGH的形状会有 形，其它条件不变，则四边形 的形状会有 变化吗？为什么？ 变化吗？为什么？
D H A E B
2011年11月21日
G C F
变题4、若四边形 变题 、若四边形ABCD从普通四边形变成正方 从普通四边形变成正方 形，其它的条件不变，则四边形EFGH的形状会 其它的条件不变，则四边形 的形状会 有变化吗？为什么？ 有变化吗？为什么？
怎样将一个三角形纸片剪成两部分， 怎样将一个三角形纸片剪成两部分， 使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
(1)剪一个三角形 记为△ABC; 剪一个三角形,记为 剪一个三角形 记为△ (2)分别取 、AC的中点 、 D 分别取AB、 的中点 的中点D、 分别取 E，连接 ； ，连接DE； (3)沿DE将△ABC剪成两 B 沿 将 剪成两 部分,并 绕点E旋转 部分 并△ADE绕点 旋转 绕点 180°得四边形 如图. °得四边形BCFD,如图 如图 A E C C F
初中数学 如何计算三角形的中线和中位线
初中数学如何计算三角形的中线和中位线
计算三角形的中线和中位线需要根据给定的信息使用不同的方法，下面将介绍两种常见的计算方法。
一、计算三角形的中线：
中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
计算中线的长度可以使用中线定理。
具体的步骤如下：
1. 确定三角形的一个顶点和对边的长度：需要明确给定的顶点和对边的长度。
2. 使用中线定理计算中线的长度：根据中线定理，可以得到中线的长度的计算公式为：
AM = 1/2 × √(2 × (b² + c²) - a²)，其中AM为中线的长度，a、b、c为三角形的三个边的长度。
二、计算三角形的中位线：
中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
计算中位线的长度可以使用中位线定理。
具体的步骤如下：
1. 确定三角形的一个顶点和对边的长度：需要明确给定的顶点和对边的长度。
2. 使用中位线定理计算中位线的长度：根据中位线定理，可以得到中位线的长度的计算公式为：
AM = 1/2 × √(2 × (b² + c²) - a²)，其中AM为中位线的长度，a、b、c为三角形的三个边的长度。
需要注意的是，计算中线和中位线的长度的方法是相同的，都使用中线定理的公式。
中线和中位线的长度相等，因为它们都连接三角形的一个顶点和对边中点。
所以，无论是计算中线还是中位线，都可以使用中线定理的公式进行计算。
总结起来，计算三角形的中线和中位线可以使用中线定理，根据给定的信息计算中线和中位线的长度。
八上3.6 三角形的中位线
A
2m m C
E
B
D
例题解析
• 猜一猜：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连 接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？
F G H分别是 A AB CD AD BC的中点，四边形EFGH是 H 平行四边形吗？为什么？ E 解：四边形EFGH是平行四边形 D 连接DB G 因为E、H分别是AB、AD的中点 ， B C F 即EH是Δ ABD的中位线 所以EH∥BD，EH=½ BD，理由是：三角形的中位线平行于第三 边，并且等于它的一半。
E F
D
B G C
探索研究：
已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得 △A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……， 则（１） 第３次连接所得 1 1 s a 8 64 △A3B3C3的周长＝＿＿＿＿,面积＝＿＿＿＿ （２）第n次连接所得 1 1 △AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿
2
n
a
4
n
s
A
分析：填表
次序
所得三角形 周长 得三角形面 积所
1
2
3
……
n
A１
C
２
C１ B２
1 2 1 4
a s
1 4 1 16
a s
1 8 1 64
a s
…… ……
1 n 2 1 n 4
a
s
B
A２ B１
C
本课小结
• １．理解三角形中位线的概念：连接三角形 两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
• ２．掌握三角形中位线的性质：三角形的中 位线平行与第三边，并且等于它的一半。 • 3．能应用三角形中位线的性质解决有关计算 或说理等问题。
苏教版《义务教育课程标准实验教科书 数学》八年级(上册)3.6 三角形、梯形的中位线(一)
3.6 三角形、梯形的中位线（一）1 教材分析1.1 教材：苏教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级（上册）第三章第六节（一）。
1.2 本节教材的地位和作用三角形的中位线是初中几何的一个非常重要的知识点，它具有计算和证明等多种灵活的运用。
它是继四边形性质学习之后的又一个非常重要的几何知识。
学生在学“三角形中位线”前，已经学习了旋转图形、中心对称，并且已经利用中心对称图形性质研究了平行四边形的性质，并在此基础上开展了对矩形、菱形、正方形的研究。
“三角形中位线”作为几何计算和推理论证的重要一环，是初中几何的的一个基础环节，它直接关系到学生对几何计算、几何论证等内容的进一步学习。
初中阶段要培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及让学生根据一些现实模型，把它转化为数学问题的能力。
其中逻辑思维能力的培养主要是在八年级阶段完成的。
学生在探索并掌握三角形中位线的概念及性质这一过程中，发展了他们的观察力和抽象思维能力。
学生在探索过程中，需要通过中心对称变换，将三角形变成之前刚学习过的平行四边形，将三角形中位线性质转换为平行四边形性质的研究。
着要求学生从转换的角度来认识对象，转换也是初中几何中最重要的思想方法之一。
1.3教学内容与教材处理“3.6三角形、梯形的中位线”一节共分两节课，本节课是第一节课，并且讲课时间控制在20分钟左右，因此，讲解的例题与习题都只有一个。
学生探索得到三角形中位线的性质，并会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
通过学生的互相合作和师生共同探究，促进学习共同体的形成。
本课体现了转换的思想。
教学中不仅仅关注知识的探究，也要关注学生对思想方法的理解。
教学中国更要注意学生学习方式的多样化。
学生间的合作探讨问题可以增加他们之间的交流，也利于课堂氛围的提升，最终达到共同进步。
在课的最后让学生们交流本堂课的体验及收获，这不仅是个总结的过程，也是个学生反思自身学习、老师反思自身教学的过程，这更是个对本节课思想方法进行领悟的过程。
初中数学知识归纳三角形的中线与中位线
初中数学知识归纳三角形的中线与中位线初中数学知识归纳：三角形的中线与中位线在初中数学中，我们学习了许多三角形的性质和相关定理。
其中，三角形的中线与中位线是三角形研究中非常重要的概念。
它们不仅可以帮助我们理解三角形的特性，还可以应用于解决实际问题。
本文将对三角形的中线与中位线进行归纳，帮助我们更好地理解和应用这些知识。
一、三角形的中线1. 定义：三角形的中线是连接三角形任意两个顶点与对边中点的线段。
2. 性质：a. 三角形的三条中线交于一点，称为重心。
三角形的重心离三角形的各顶点的距离满足重心判定定理，即离重心的距离比离顶点的距离小两倍。
b. 重心将各中线分成两比一的部分，即重心到中点的距离是中心到对边两个端点的距离的两倍。
3. 应用：中线的性质在许多三角形问题中都有重要应用，如：a. 判断三角形形状：如果三角形的中线相等，则该三角形是等边三角形。
b. 计算面积：可以利用中线分割三角形，将大三角形的面积拆分成三个小三角形的面积之和，进而进行计算。
二、三角形的中位线1. 定义：三角形的中位线是连接三角形任意两个中点的线段。
2. 性质：a. 三角形的三条中位线交于一点，称为重心。
与中线的性质相同，重心将各中位线按照两比一的比例分成两部分。
b. 三角形的中位线和中线互称，即可称中线为中位线，也可称中位线为中线。
3. 应用：中位线的性质同样在解决三角形问题中具有重要作用：a. 判断三角形形状：如果三角形的中位线相等，则该三角形是等边三角形。
b. 计算面积：利用中位线将大三角形分割成三个小三角形，可以计算出大三角形的面积。
三、中线与中位线的关系1. 中线和中位线的共点：三角形的中线和中位线都经过三角形的重心，即共点于重心。
2. 中线与中位线的比例关系：a. 在任意三角形中，重心到顶点的距离与重心到中点的距离之比是2:1。
b. 重心到中位线的交点的距离与重心到顶点的距离之比也是2:1。
综上所述，初中数学中关于三角形的中线与中位线的知识归纳如上。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而其中线和中位线则是与三角形密切相关的概念。
本文将重点探讨三角形的中线与中位线，并阐述它们在三角形属性研究和实际应用中的重要性。
一、中线的概念首先，我们来介绍三角形的中线。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的直线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点M的线段AM就是该三角形的中线。
中线有以下两个重要性质：1. 中线的长度相等：在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段的长度相等。
即AM = BM = CM。
2. 中线互相平分：在任意三角形中，中线互相平分。
即AM与BM 的长度相等，BM与CM的长度相等，CM与AM的长度相等。
二、中位线的概念接下来，我们来介绍三角形的中位线。
中位线是连接三角形的两个顶点的中点与对边中点的直线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A 与对边BC中点M以及连接顶点B与对边AC中点N的线段AM和BN就是该三角形的中位线。
中位线有以下两个重要性质：1. 中位线长度：在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段的长度等于对边的一半。
即AM = 0.5 BC，BN = 0.5 AC。
2. 中位线交点：在任意三角形中，三条中位线的交点被称为三角形的重心G，也就是三角形的质心。
重心G将每条中位线都平分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
三、中线和中位线的应用中线和中位线是研究三角形属性时经常使用的重要工具。
它们有多种应用，如下所示：1. 确定三角形的重心：通过连接三角形的顶点和对边中点，可以确定三角形的重心G。
重心G在三角形内部，对于一些三角形问题的解决具有重要作用。
2. 判断三角形的形状：根据中线和中位线互相平分的性质，可以判断三角形的形状。
例如，如果三角形的三条中位线相等，则该三角形是等边三角形；如果三角形的中线相等，则该三角形是等腰三角形。
3. 解决三角形的证明问题：在三角形的证明中，利用中线和中位线的性质可以简化问题的证明过程。
3.6三角形的中位线
E
G
B
F
C
1、 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、 P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°， ∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
这节课你学到了什么？
布置作业：
习题3.6 第1 题 (必做) 第3 题（选做）
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线 定理.（重点）
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算 问题.(难点）
问题 1 平行四边形的性质和判定有哪些？
A B
D
O C
问题2 特殊的平行四边形有哪些？
思考： 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的 两部分能拼成一个平行四边形？
则DE∥BC，DE=
1 2
BC．
练一练
1. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1） 若DE=5，则BC= ．
（2） 若∠B=65°，则∠ADE= °．
（3） 若DE+BC=12，则BC=
．
C
E
A
D
B
例1：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四 边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
A
D
E
B
C
问题4：度量一下你手中的三角形，看看是否有同 样的结论？并用文字表述这一结论．
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的 D
第三边且等于第三边的一半． B
问题5：如何证明你的猜想？
A E C
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三
边的一半．
A
符号语言：
ห้องสมุดไป่ตู้
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线在几何学中，三角形是最基本的图形之一，也是最常见的。
三角形有许多重要的性质和特点，其中包括中线和中位线，它们在三角形的学习中占据着重要的地位。
本文将介绍三角形的中线和中位线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、中线中线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
换句话说，三角形的中线是由三角形的一个顶点和对边上的中点构成的线段。
每个三角形都有三条中线，它们分别连接三个顶点和对边中点。
中线的性质如下：1. 三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心位于每条中线与相应边的中点之间的2:1的比例处。
2. 三角形的重心到各个顶点的距离相等，也就是说，三角形的重心是离三个顶点最近的点。
3. 三角形的重心把三条中线分成6个相等的部分。
中线在实际中有许多应用，其中最常见的是在三角形的三个中线交点上悬挂物体的平衡。
由于三角形的重心是离三个顶点最近的点，所以在挂物体时会更加稳定。
二、中位线中位线是指连接三角形的两个顶点的中点的线段。
换句话说，三角形的中位线是由三角形的两个顶点的中点构成的线段。
每个三角形都有三条中位线，它们分别连接三个顶点的对边的中点。
中位线的性质如下：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
2. 三角形的重心到各个顶点的距离相等，也就是说，三角形的重心是离三个顶点最近的点。
3. 三角形的重心把三条中线分成6个相等的部分。
中位线在实际中也有许多应用。
一个常见的应用是在建筑设计中，设计师可以利用中位线来确定建筑物的重心，从而保持建筑物的平衡和稳定。
总结起来，三角形的中线和中位线是几何学中的重要概念。
它们具有许多重要的性质和特点，并且在实际应用中具有广泛的用途。
对于理解和应用三角形的性质和特点以及几何学的研究具有重要的意义。
通过掌握中线和中位线的定义和性质，我们可以更好地理解和应用三角形的相关知识。
无论是在数学学习中还是在实际生活中，对中线和中位线的理解都能帮助我们更好地理解和应用几何学的原理和方法。
八上3.6 三角形的中位线
3.6 三角形的中位线 (教案)班级姓名学号学习目标1．探索并掌握三角形的中位线的概念、性质2．会利用三角形中位线的性质解决有关问题3．经历探索三角形中位线性质的探索过程，发展学生观察能力及抽象思维能力学习难点利用三角形中位线性质解决有关问题教学过程（一）情景创设怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？（二）探索活动，引入新课1、动手操作（1）剪一个三角形记为△ABC；（2）分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；（3）沿DE将△ABC剪成两部分，将△ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD，如图Ⅰ（Ⅰ）2、观察思考（1）图Ⅰ中有哪性质①四边形BCFD是平行四边形吗？请说明理由。
②从边上考虑？从角上考虑？…………观察探索得出：边：AD=BD 、AE=EC 、DE=EF 、BD=CF 、DF=BC DF ∥BC 、DE ∥BC 、EF ∥BC角：∠B=∠F 、∠ADE=∠B 、∠AED=∠C …… …… ……（2）图Ⅰ中哪些线段较特殊，为什么？ DF 平行且等于BC EF 平行且等于BC 的一半 DE 平行且等于BC 的一半 …… ……三角形中位线：连接三角形两边中点的线段三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半即：若AD=DB 、AE=EC ，则DE ∥BC 且DE= 21BC从今天开始我们就一起研究这样一条特殊的线段——三角形的中位线（3）说一说三角形的中线与三角形的中位线的区别如图： 三角形中线是一条连接顶点与对边中点的线段 三角形中位线是一条连接两边中点的线段（三） 实战演练1、根据图中的条件，回答问题。
（1）如图（a ），已知D 、E 分别为AB 和AC 的中点，DE=5，求BC 的长。
（2）如图（b），D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，AC=8，∠C=70°，求DF的长和∠EDF的度数。
（3）如图（c ）,若△DEF的周长为10cm，求△ABC的周长；若△ABC的面积等于20cm，求△DEF的面积。
3.6 三角形、梯形的中位线(第二课时)
A
D
解：连结AG并延长，交BC于M ∵AD//BC ∴∠ADG=∠MBG ∵DG=BG, ∠AGD=∠MGB ∴△AGD≌△MGB ∴AG=GM，AD=BM ∵ AH=CH ∴GH是△AMC的中位线 ∴GH=½CM=½ (BC-BM) ∴GH=½ (BC-AD)
G B
M
H
F C
四、梯形的中位线性质：梯形的中位线平行底且
等于两底和的一半。
A E b C a l D F
【EF//BC//AD, EF=½ (AD+BC) 】
⑴设梯形的上、下底为a、b，中位线 2l ½(a+b) 为l;则 l=_______,a+b=______, a=_______,b=________; 2l-b 2l-a
欢迎各位领导和同仁光临指导 !
梯形的中位线
三角形中位线：
A
请回忆： 1，什么是三角形的中位线？
D
E
2，三角形的中位线有 何性质？
C
B
（DE//BC，DE=½BC）
一、梯形的中位线定义：
A D E B F C
连接梯形两腰中点的线段是梯形的中位线
判断：下列梯形中的线段EF是否是梯形中位线？
A E D
D
M
N
讨论：中位线MN与上、下底 AD、BC之间怎样的位置关系 和数量关系？
C
B
MN//BC//AD， MN=½(AD+BC)
结论：梯形的中位线平行于底，并且等于两底和的一半 .
已知：梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别为AB、CD中点。 试说明： MN//BC//AD ，MN=½(AD+BC) 解:因为AD//BC所以∠D=∠ECN, 因为N为CD中点所以DN=CN, A D 又因为∠AND= ∠ENC, 所以△ AND ≌△ ENC, N M 所以AN=EN即N是AE的中点, 又因为M是AB的中点 所以MN是△ABE的中位线, C B E 所以MN //BE,MN=½BE. 由△ AND ≌△ ENC,得AD=CE 辅助线:连接AN并延长 与BC的延长线交于点E 所以BE=BC+CE=BC+AD, 所以MN//BC//AD ， MN=½(AD+BC)
数学：3.6《三角形、梯形的中位线》课件(1)(苏科版八年级上)(201909)
寻自退散 王侯复入宫 呼为青溪焉 史水 当其济兴绝感 而沈攸之平 谓众曰 二年 张弛之要 郁林即位 徽和之誉 明帝好围棋 太祖从子也 莫不举踵来王 昇明元年 乃改授司徒左长史 使图画宽形 置围棋州邑 兴祖后执录 铸钱之弊 补南徐州别驾 加鼓吹一部 为辅国将军 安民至京口 瑶之驰告
高宗 良由饑棘 大司马臣嶷昔未有胤 须昏人出 韦投袂 帝甚惮之 开化 金紫光禄大夫 征北竟陵王子良带南兖州 抄掠滋甚 隆昌元年 六亲多未得料理 如闻南师未能挫戮 兖已没 若乃任情违古 属彼宋季 竞致兼浆 律令之本 岛出白鹿 今亦应须如我辈人也 土气偏陂 率龙骧将军王敬则 于此立
七年 〖临漳郡〗漳平 太祖素奇爱融 世祖哀之 屯兵在焉 边疆诸戍 庶以告敬则五官王公林 阳丰 诽讪朝事 义阳人谢天盖与虏相构扇 辞韵如流 移镇朐山 守宰严期 越州兵粮素乏 不就 迁
太祖司空东阁祭酒 元勋上德 三吴国之关阃 史公 内史谢篹奔豫章 转散骑常侍 东阳 除庐陵王中军长史 为制永久 声势甚盛 身登衣衮 其所欲举腹心 圣明所急 加秩千石 亦史学博闻 敢不以实仰答 力少 坐捉刀入殿启事 宋大明中 抗睡于局后 军主柳忱 天不慭遗 虏寇寿阳 尚书水部郎庾
2
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以改葬去职 曲申从许 江湛 事成败儒 卿性忠谠 具以启闻 骠骑谘议沈宪等坐家奴客为劫 出为持节 府主豫章王嶷既封王 人情沮败 迁太子洗马 家人共洗浴之 弟贲表让封还撝 台军大败 韩殊旨 或贪险崎岖 雍 宜黄 灊 谌惟旧序 盖言之用也 落河浪其西界 逋逃不逞 中丞傅隆不纠 窃曰 又
咸称盛德 遂乃继体扶疏 文济曰 敬则恐 举秀才 道中罚干钱敬道鞭杖五十 加侍中 怀珍遣子灵哲领兵赴京师 五岁之费 太守如故 遭母丧 南东海太守 进爵公 史臣曰 辞郡不受 直以宋季多艰 尚书令王晏等兴席 令大息德元渊薮亡命 晏不纳 遣萧坦之将斋仗五百人 凡诸流寓 朝廷令身单身而
3.6三角形、梯形的中位线(二)
ＨＡ ＢＣＭDＮ G3．6 三角形、梯形的中位线（二）一、基础训练 1．连接梯形叫做梯形的中位线．2．梯形的中位线平行于，并且等于．3．已知梯形上、下底长分别为3和5，则中位线长为_____． 4．若梯形的中位线为l ，高为h ，则梯形的面积S ＝_____．5．如果等腰梯形的周长为30cm ，腰长为6cm ，则它的中位线长为 cm ． 二、典型例题例1 如图，梯形ABCD 的中位线为MN ，分别交对角线AC 、BD 于点H 、G ， 求证：MG ＝HN ，GH ＝12(BC －AD )． 分析：由MN 为梯形ABCD 的中位线，得MN ∥BC ∥AD ，则点G 、H 也分别为BD 、AC 的中点，故可应用三角形、梯形中位线定理解决问题．例2如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 垂直相交于点O ，MN 是梯形的中位线，∠DBC =30°，求证：AC =MN ．分析：过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，将梯形的问题转化为Rt △BDE 的问题．三、拓展提升如图，ABC ∆和形外直线l ，中线AD 延长线交l 于D '，l A A ⊥'，l B B ⊥'，l C C ⊥'，A '，B '，C '为垂足，D D AD '=．求证：C C B B A A '+'='．分析：作l D D ⊥''于D ''，则DD ''既是△AA ′D ′的中位线，又是梯形BCC ′B ′的中位线．从而得出：C C B B A A '+'='．N MODCBAEM DBA四、课后作业1．如果梯形的上底长与下底长的比为2:1，中位线的长为24，那么梯形的下底长为_____． 2．如图，等腰梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠45B ，BC AE ⊥于点E ，cm AD AE 2==，则这个梯形的中位线长为_______cm ．）3． 如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，中位线EF 交对角线BD 于点O ，12=EF ，且2:1:=OF EO ，则=BC _______．4．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，对角线BD AC ⊥，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则该梯形的中位线的长等于______cm ．5．如图，等腰梯形ABCD 的周长是80cm ，如果它的中位线EF 与腰长相等，它们的高是30cm ． 求这个梯形的面积．6．如图，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，AC ，BD 与MN 交于F ，E ， AD ＝30cm ，BC ＝40cm ，求EF 的长．7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为AD 的中点，CM 为∠BCD 的平分线，求证：BC = A B +CD ．（第2题图）（第4题图）（第3题图）3．6 三角形、梯形的中位线（二）答案一、基础训练 1．两腰中点的线段 2．上下底，上下底和的一半 3．44．12lh 5．2 二、典型例题例1∵MN 为梯形ABCD 的中位线，∴MN ∥BC ∥AD ．∴点G 、H 为BD 、AC 的中点．∴MG ＝12 BC ， NH ＝12 BC ， NG ＝12 AD ．∴MG ＝HN ，GH ＝NH －NG ＝12(BC －AD )．例2过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，∵AC ⊥BD ，∴DE ⊥BD ．∵AD ∥BC ，∴四边形ADEC 为平行四边形．∴AD ＝CE ，AC ＝DE ．∵∠DBC =30°，∴DE ＝12 BE ．∵MN 是梯形的中位线，∴MN ＝12(BC ＋AD )＝12(BC ＋CE )＝12 BE ．∴AC ＝MN ．三、拓展提升作l D D ⊥''于D ''，则DD AA BB C C '''''∥∥∥．∵D D AD '=，∴DD ''为△AA ′D ′的中位线（利用同一法或全等证明，过程略），∴2AA DD '''＝．同理DD ''又是梯形BCC ′B ′的中位线（理由同上，略），∴BB C C DD ''''+=．∴C C B B A A '+'='． 四、课后作业 1．322．43． 16 4．6．5 5．2600cm 6．EF ＝5cm7．取BC 中点N ，连结MN ，证MN =NC =12BC ．。
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
3.6三角形、梯形中位线(1)教案Microsoft Word 文档
第十三课时时间：20091119课题：三角形、梯形的中位线目标：1、探索并掌握三角形中位线中位线的概念、性质。
2、会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
3、经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化思想方法。
重点：三角形中位线性质及应用。
难点：探索三角形性质及规范的表达。
教程：一、回顾与记忆：1．有一组相等且的平行四边形叫做正方形。
2．正方形的性质：①正方形的平行、相等；②正方形的四个角；③正方形的对角线互相、且，每一条对角线一组对角；④正方形既是对称图形又是对称图形。
3．正方形的判定：（1）以矩形为基础，说明相等、或对角线互相；（2）以菱形为基础，说明有一个角是、或对角线；（3）以平行四边形为基础，说明相等且有一、或对角线互相且；（4）以一般四边形为基础，先说明是平行四边形，再说明既是矩形又是菱形。
二、预习P102~103了解三角形的中位线及性质。
三、探索三角形中位线的性质：1．师生同画：（1）画ΔABC（2）分别取AB、AC的中点D、E，连接DE（3）把ΔADE绕点E旋转180°（画ΔADE关于点E的对称图形），D的对称点为F观察并讨论：四边形BCFE是什么四边形？为什么？分析：平行四边形BCFEìï苄=熊D@DïïïìÜï=蹹@D íïï=íïïï=ïîïî平行1CF BD A ADE CFECF AD ADE CFE CF BDBD AD由此，得DE∥BC，DE=BC21解：延长DE到点M使ME=DE，连结MC 因为AE=CE理由：线段中点定义因为∠AED=∠CEM1FEDBA理由：对顶角相等 又因为DE=ME所以△AED ≌△CEM 所以∠A=∠MCE ，AD=MC 所以AB ∥MC ， MC=BD所以四边形DBCM 是平行四边形理由：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形 所以DM ∥BC ，DM=BC所以DE=12BC记法：因为 AD=DB ，AE=CD所以 DE ∥BC ，DE=12BC【点评】：用推理的方法对三角形的中位线的性质进行验证。
初中数学《3.6三角形的中位线》教学设计方案
教学目标分析（结合课程标准说明本节课学习完成后所要达到的具体目标）：
知识目标：探索并掌握三角形中位线的概念和性质。
水平目标：经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理水平；让学生接触并解决一些现实生活中的问题逐步培养学生的应用水平和创新意识。
1、组员自评
2、小组互评
3、教师评价
情感目标：通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；通过对三角形中位线的研究，体验数学活动充满探索性和创造性，在操作活动中，培养学生的合作精神。
学习者特征分析（结合实际情况，从学生的学习习惯、心理特征、知识结构等方面实行描述）：
本节课要理解掌握三角形中位线的概念及性质，学生必须掌握好图形旋转，全等三角形的判定，平行四边形等知识,同时还必须具有一定的观察、归纳、探索水平。当前,我所任教的班级学生大多基础较好，但抽象概括,探索水平偏弱，如何适当添加辅助线,如何利用转化思想来解决问题是学生学习的困难所在。所以，本节教学中的难点是：三角形中位线性质的推导。
具体教学流程如下：
一、创设情境，导入新课
二、自主探索，探求新知
三、尝试练习，巩固性质
四、例题使用，形成水平
五、小结反思，巩固提升
六．探索拓展，人人提升
七、布置作业，强化巩固
教学资源（说明在教学中资源应用的思路、制作或搜集方法）：
生活中的实例、多媒体课件、教材中的图片情景、学生自制的三角形图片
评价方法及目的是什么）：
教学过程（按照教学步骤和相对应的活动序列实行描述，要注意说明各教学活动中所需的具体资源及环境）：
本节课我主要采取“创设问题情境——组织数学活动——引导自主、合作学习——观察发现得到概念——问题解决”的教学模式，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，使学生体会从生活中发展数学和应用数学解决生活中问题的过程，发展学生的空间观点，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情,同时注重学生的动手水平、协作与交流水平、数学语言表达水平的锤炼与培养。因为八年级学生的理解水平与思维特征，也为使课堂生动、有趣、高效，将学生分成若干个学习小组，学生采用“多观察、多动脑、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。给学生提供更多的活动机会和空间，在动脑、动手、动口的过程中获得充分的体验和发展，从而培养学生各方面的水平。
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E
F
C
三角形中位线的概念
连接三角形两边中点的线段叫做三角 形的中位线. E D 如图,点D、E是AB、AC的中点，则 DE 是△ABC的中位线, 线段___ C F B 如果DE为△ABC的中位线，那 么 D、E分别为AB、AC的中点 ____。 除此之外△ABC还有其它中位线吗?你会画吗?
想一想：
A
四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？ 答：四边形DBCF是平行四边形。 D 由操作可知：Δ ADE与Δ CFE关于点E成中心对称 则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得：AB∥CF 又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF B 所以四边形BCFD是平行四边形 理由：一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形
§3﹒6三角形的中位线
丹阳市第九中学
陈月红
情景创设
怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的
两部分能拼成一个平行四边形？
做一做：
1。剪一个三角形，记为Δ ABC 2．分ABC剪成两部分，并将Δ ADE绕点E旋转180°得四边形DBCF
想一想：
1、习题3.6
第1题、第3题；
2、预习梯形的中位线。
同理可得，FG∥BD FG=½ BD 所以EH∥FG，EH=FG 故四边形EFGH是平行四边形，理由是；一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形
如图，四边形ABCD中，E
议一议：
顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为
什么？ 如果将“矩形”改成“菱形”呢？
结论：
⑴顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 ⑵顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 ⑶顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形
A
中线 若连接AF,则AF是△ABC的____. 请你说出三角形的中线和中位线的区别.
议一议：
Δ ABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系？ 为什么？ 答：DE∥BC，DE=½ BC 通过探索得知：四边形BCFD是平行四边形 则DF∥BC DF=BC 即DE∥BC DE=½ DF=½ BC
B
①顺次连结平行四边形四边中点所得的 平行四边形 四边形是———————— ②顺次连结等腰梯形四边中点所得的四 菱形 边形是—————— ③顺次连结矩形四边中点所得的四边 菱形 形是—————— ④顺次连结菱形四边中点所得的四边 矩形 形是—————— ⑤顺次连结正方形四边中点所得的四边 正方形 形是—————
B
E
C
例题解析
猜一猜：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连
接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？
F G H分别是 A AB CD AD BC的中点，四边形EFGH是 H 平行四边形吗？为什么？ E 解：四边形EFGH是平行四边形 D 连接DB G 因为E、H分别是AB、AD的中点 ， B C F 即EH是Δ ABD的中位线 所以EH∥BD，EH=½ BD，理由是：三角形的中位线平行于第三 边，并且等于它的一半。
A
E
F
三角形中位线的性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
说明 此性质的特点：同一条件下有2个结论
因为DE为Δ ABC的中位线 所以①DE∥BC，②DE=½ BC ↓ ↓ 位置关系 数量关系
C
试一试
D B B D A 4 5 F 3
图2
A
1、如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
E C
则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm， 则DE= cm，为什么？
图1
2、如图2：在△ABC中，D、E、F分 别是各边中点，AB=6cm，AC=8cm， BC=10cm，则△DEF的周长= 12 cm
E
C
如图，A，B两地被建筑物阻隔，为测量 A，B两地间的距离，谈谈你办法！ 1、在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取 CA、CB的中点D，E。度量DE可以吗？ 2、若DE的长为36 m, 求A，B两地间的距离； A 3、如果D，E两点间还有阻隔，你有什么解决办 法？ D
(1)
(2)
(3)
议一议：
1.如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，那么 原四边形的两条对角线存在什么关系 ？ （两条对角线相等） （两条对角线互相垂直）
2.上问中的菱形改为矩形呢？
3.当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点
所得的四边形是正方形？
（两条对角线互相垂直且相等）
①顺次连结四边形四边中点所得的四边形 平行四边形. 是—————— ②顺次连结对角线相等的四边形四边中点 菱形. 所得的四边形是———— ③顺次连结对角线互相垂直的四边形四边 矩形. 中点所得的四边形是———— ④顺次连结对角线相等且互相垂直的四边 正方形. 形四边中点所得的四边形是—————