19-20 第1章 章末复习课

集合的并、交、补运算

【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝

{x∈R|x2－3x＋2＝0}．

(1)用列举法表示集合A与B；

(2)求A∩B及∁U(A∪B)．

[解](1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．

(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．

集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.

1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1,3,4}B．{3,4}

C ．{3}

D ．{4}

D [∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}， ∴∁U (A ∪B )＝{4}．]

集合关系和运算中的参数问题

【例2】 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围； (2)是否存在a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？ [解] (1)A ＝{x |0≤x ≤2}，

∴∁R A ＝{x |x <0或x >2}． ∵(∁R A )∪B ＝R ， ∴⎩⎨⎧

a ≤0，a ＋3≥2. ∴－1≤a ≤0.

(2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时，－1≤a ≤0，而2≤a ＋3≤3， ∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．

根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A ⊆B 的问题转化为A B 或A ＝B ，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.

2．已知集合A ＝{x |－3≤x ＜2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且B ⊆A ，求实数k 的取值范围.

[解] 由于B ⊆A ，在数轴上表示A ，B ，如图，

可得⎩⎨⎧

2k －1≥－3，2k ＋1＜2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

k ≥－1，k ＜1

2.

所以k

的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫k ⎪

⎪⎪

－1≤k ＜1

2. 充分条件与必要条件

【例3】 已知a ≥1

2，y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ，其中a ，c 均为实数．证明：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1成立的充要条件是c ≤3

4.

[解] 因为a ≥12，所以函数y ＝－a 2x 2

＋ax ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝a 2a 2＝12a ，且0＜12a ≤1，当x ＝12a 时，y ＝1

4＋c .

先证必要性：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1，即14＋c ≤1，所以c ≤3

4. 再证充分性：

因为c ≤34，当x ＝12a 时，y 的最大值为14＋c ≤14＋3

4＝1， 所以对于任意x ∈{x |0≤x ≤1}， y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ≤1，即y ≤1. 即充分性成立．

利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.

3．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，则实数a 的值为________．

－1

2或

1

3[p：x

2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.

q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－1 a.

由题意知p q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－1

a＝2或－

1

a＝－3，

解得a＝－1

2或a＝

1

3.

综上可知，a＝－1

2或a＝

1

3.]

全称量词与存在量词

【例4】(1)下列语句不是全称量词命题的是()

A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高一(一)班绝大多数同学是团员

D．每一个实数都有大小

(2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则()

A．p是假命题；﹁p：∃x∈R，x2＜0

B．p是假命题；￢p：∃x∈R，x2≤0

C．p是真命题；￢p：∀x∈R，x2＜0

D．p是真命题；￢p：∀x∈R，x2≤0

(1) C(2) B [(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A 是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C.

(2)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B.]

“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系

(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.

(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.

4．下列命题不是存在量词命题的是()

A．有些实数没有平方根

B．能被5整除的数也能被2整除

C．在实数范围内，有些一元二次方程无解

D．有一个m使2－m与|m|－3异号

B[选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]

5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．

存在一个能被7整除的数不是奇数[原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]