第一章 三角函数

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第一章--三角函数(北师大新版)

第一章--三角函数(北师大新版)

第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°.(1)正弦:我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦,记作sinA .即sinA=斜边边的对A ∠=ca.(2)余弦:锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦,记作cosA .即cosA=斜边邻边的A ∠=c b.(3)正切:锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切,记作tanA .即tanA=边对边的邻A ∠的A ∠=ba.(4)三角函数:锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.锐角三角函数的定义1.如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB ,cos A =,BE=2,则tan ∠DBE 的值( ) A 、 B 、2 C 、D 、第1题 第2题 第3题2.如图,点A 为∠α边上的任意一点,作AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,下列用线段比表示cos α的值,错误的是( )A .BD BCB .BC ABC .ADAC D .CD AC3.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则cos α的值是 .4.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A ,B ,C 都在格点上,则∠ABC 的正切值是 .第4题 第5题 第6题 第7题 5.如图,将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan ∠AOB=_______________. 6.如图,△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上,则sin A 的值为 . 7.正方形网格中,∠AOB 如图放置,则cos ∠AOB 的值为 .8.如图,在2×2正方形网格中,以格点为顶点的△ABC 的面积等于23,则sin ∠CAB= .9.如图,已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sinα= .2.2 30°、45°、60°角的三角函数值1、同角三角函数的关系(1)平方关系:sin 2A+cos 2A=1;(2)正余弦与正切之间的关系(积的关系):一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=AAcos sin 或sinA=tanA•cosA .2、互余两角的三角函数的关系 在直角三角形中,∠A+∠B=90°时,正余弦之间的关系为:①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值,即sinA=cos (90°-∠A ); ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值,即cosA=sin (90°-∠A ); 也可以理解成若∠A+∠B=90°,那么sinA=cosB 或sinB=cosA . 3、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1.把一块直尺与一块三角板如图放置,若sin ∠1=22,则∠2的度数为 .2.若2cos (α+15°)=1,则α= 度. 3.在△ABC 中,若,∠A ,∠B 都是锐角,则∠C的度数是 .2.4 解直角三角形(1)解直角三角形的定义在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形. (2)解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系:∠A+∠B=90°; ②三边之间的关系:a 2+b 2=c 2; ③边角之间的关系:sin A=c a ,cos A=c b ,tan A=ba . 基础训练1.如图,在△ABC 中,cosB=22,sinC=53,AC=10,则△ABC 的面积为 .第1题 第2题 第3题 2.如图,在 Rt △ABO 中,斜边 AB=1,若 OC ∥BA ,∠AOC=36°,则下面四个结论: ①点B 到AO 的距离为sin54°; ②点B 到AO 的距离为tan36°;③点A 到OC 的距离为sin36°•sin54°; ④点A 到OC 的距离为cos36°•sin54°. 其中正确的是 (填序号).3.如图,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为 .4.如图,在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,点D 为BC 的中点,DE ⊥AB 于点E ,则tan ∠BDE 的值等于 .第4题 第5题 第6题5.如图,已知Rt △ABC 中,斜边BC 上的高AD=3,cos B=53,则AC 的长为 .6.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ,若AB=6,AD=8,sin ∠OEA= .7.如图,△ABC 中,∠A=30°,tan B =23,AC=23,则AB 的长为 .8.如图,已知AC=4,求AB 和BC 的长.9.如图,已知在△ABC 中,∠ABC=30°,BC=8,sin ∠A=55,BD 是AC 边上的中线.求: (1)△ABC 的面积; (2)∠ABD 的正切值.拓展提升1.如图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,CE ⊥AB 于E ,且BE=2AE ,已知AD=33,tan ∠BCE=33,那么CE 等于 .第1题 第2题 第3题2.如图,已知点A (53,0),直线y=x+b (b >0)与y 轴交于点B ,连接AB ,∠α=75°,则b= . 3.在Rt △ACB 中,∠C=90°,点D 是AC 的中点,cos ∠CBD=415,则sin ∠ABD= . 4.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,点D 为边AC 的中点,DE ⊥BC 于点E ,连接BD ,则tan ∠DBC 的值为 。

高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数

高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数

7 2
-4
, 即������
7 2
= ������
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴������
7 2
= ������
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的 定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(������ + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(������
+
π)-
π 6
=sin
2������-
π 6
+

= sin
2������-
π 6
= ������(������).
∴T=π.
本节结束,谢谢大家!
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求三角函数的周期
【例 2】 求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
������
+
π 3
(������∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)函数 y=sin
������������
+
π 4
(������
>
0)的周期是
2π 3
,
则������
=
_____.

高中数学 第一章 三角函数 141正弦函数、余弦函数的图

高中数学 第一章 三角函数 141正弦函数、余弦函数的图

(2)五点法 利用正弦线画出正弦函数图象的方法比较麻烦,了解即 可.从正弦曲线可以看出,在函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象上 起关键作用的点主要有五个:(0,0),π2,1,(π,0),32π,-1, (2π,0).事实上,描出这五个点后,函数 y=sinx,x∈[0,2π] 的图象的形状就基本确定了.因此,在精确度要求不太高时, 我们常常找出这五个关键的点,然后用光滑曲线将它们连接起 来,就得到函数的简图.这种作图方法,就叫五点(画图)法.
课前热身 1.正弦函数、余弦函数的图象 (1)正弦曲线:正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象叫做________.
(2) 余 弦 曲 线 : 余 弦 函 数 y = cosx , x ∈ R 的 图 象 叫 做 ________.
2.作图象的五个关键点 (1)函数 y=sinx,x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 ________、________、________、________、________. (2)函数 y=cosx,x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 ________、________、________、________、________.
提示 由 sinx=cos2π-x=cosx-π2可知,由 y=cosx 的图 象向右平移π2个单位可得 y=sinx 的图象并且平移的方法不唯 一,如也可向左平移32π个单位,得到 y=sinx 的图象.
思考探究 2 利用五点法作正、余弦函数图象的关键是什 么?
提示 利用五点法作图的关键是抓住三角函数中的最值点 以及与 x 轴的交点.
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课前预习目标
课堂互动探究

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
第二十三页,共42页。
中的第三点和第五点),有
π3ω+φ=π,
ω=2.
56πω+φ=2π,解得φ=π3.
∴y=3sin(2x+π3).
法三:(图象变换法)
由 T=π,点(-π6,0),A=3 可知图象由 y=3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得,所以有 y=3sin 2(x+π6),
即 y=3sin(2x+π3),且 ω=2,φ=π3.
2
第八页,共42页。
2.(2014·高考江苏卷)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+ φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则 φ 的
π 值是____6____. 解析:利用函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标,列方程求解.
由题意,得 sin2×π3+φ=cos π3,因为 0≤φ<π,所以 φ=π6.
2.已知函数 y=Asin(ωx+φ),ω>0,且|φ|<π2的图象的一段 如图所示,求此函数的解析式.
第二十七页,共42页。
解:由图易知 A= 2,T2=|10-2|=8,所以 T=16. 又因为 T=|2ωπ|,ω>0,所以 ω=π8. 因为点(2, 2)在图象上,所以 y= 2sin(π8×2+φ)= 2, 所以 sin(π4+φ)=1,所以π4+φ=2kπ+π2(k∈Z), 又|φ|<π2,所以 φ=π4,所以 y= 2sin(π8x+π4).
第十五页,共42页。
法二:①把 y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin12x 的图象; ②把 y=sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度,得到 y=sin12(x-π2)=sin(12x-π4)的图象; ③把 y=sin(12x-π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到 y=3sin(12x-π4)的图象.

高中数学必修4第一章_三角函数知识复习

高中数学必修4第一章_三角函数知识复习

1第一章 三角函数知识点1、角的定义:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角。

第一象限角的集合为22,2k k k παπαπ⎧⎫<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第二象限角的集合为22,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第三象限角的集合为322,2k k k παππαπ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第四象限角的集合为3222,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭终边在x 轴上的角的集合为{},k k ααπ=∈Z 终边在y 轴上的角的集合为,2k k πααπ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭终边在坐标轴上的角的集合为,2k k παα⎧⎫=∈Z ⎨⎬⎩⎭3、与角α终边相同的角的集合为{}2,k k ββπα=+∈Z4、已知α是第几象限角,确定()*n nα∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域。

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l rα=。

7、弧度制与角度制的换算公式:180********.3180πππ⎛⎫===≈ ⎪⎝⎭,,8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==。

9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()0r r =>,则sin yrα=,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠。

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正。

高中数学第一章三角函数1

高中数学第一章三角函数1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 答案 41/43
规律与方法
1.正切函数图象 正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为 x=kπ+π2,k∈Z,相邻两条 渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增.
42/43
2.正切函数性质
(1)正切函数 y=tan x 的定义域是xx≠kπ+π2,k∈Z
,值域是 R.
(2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π,函数 y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的
32/43
跟踪训练4 画出f(x)=tan |x|图象, 并依据其图象判断其单调区间、 周期性、奇偶性.
解答 33/43
达标检测
36/43
1.函数 f(x)=tanx+π4的单调递增区间为
A.kπ-π2,kπ+π2,k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
√C.kπ-34π,kπ+π4,k∈Z
问题导学
4/43
知识点一 正切函数性质
思索1 正切函数定义域是什么?
答案
xx∈R且x≠π2+kπ,k∈Z
.
思考 2 诱导公式 tan(π+x)=tan x,x∈R 且 x≠π2+kπ,k∈Z 说明了正
切函数的什么性质?
答案 周期性.
5/43
思考 3 诱导公式 tan(-x)=-tan x,x∈R 且 x≠π2+kπ,k∈Z 说明了 正切函数的什么性质? 答案 奇偶性. 思考 4 从正切线上看,在0,π2上正切函数值是增大的吗? 答案 是.
解答 24/43
命题角度2 利用正切函数单调性比较大小 例3 比较大小: (1)tan 32°__<__tan 215°;
解析 tan 215°=tan(180°+35°)=tan 35°, ∵y=tan x在(0°, 90°)上单调递增, 32°<35°, ∴tan 32°<tan 35°=tan 215°.

必修四 第一章 三角函数 1.1.1任意角

必修四 第一章 三角函数 1.1.1任意角

练习
☼ 打开水龙头形成的角是正角吗? ☼ 经过两个小时,时针上的时针旋转了多少度?
是正角 -600
☼ 与-4630角终边相同的角是(
A、3600K+1030,K∈Z C、3600K+4630,K∈Z

B、3600K+2570,K∈ Z B D、3600K-2570,K∈Z
☼ 若α是第四象限角,则下列是第一象限角的是( ) A、α+1800 B、α+2700 C、α-1800 D、α-2700
0
终边相同的角
一般地,我们有: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 S={β|β=α+3600k,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的 和。
☼ 一个具体的角,对应一个终边
☼ 一个终边对应无数个角,它们圈数、方向有区别
☼ 分两步确定一个角:代表角+方向和圈数
象限角
为了方便,我们将角放在直角坐标系中研究 ☼ 让角的“始边”与x轴“非负半轴”重合,那么,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第 几“象限角(quadrant angle)”。 画出一个第二象限角 ☼ 象限角有几种? 四种,一、二、三、四象限角。 ☼ 直角坐标系内,只有象限角吗?
终边落在坐标轴上时——轴角。
生活中的角
你能举出生活中超过360o的例子吗?
用什么来区分 这种不同方向 的角呢? 顺时针 逆时针
角的概念推广
通过刚才的试验,我们发现:要准确的描述角,除了给定 大小,还需要给定方向! 正角(positive angle):按逆时针方向旋转形成的角 负角(negative angle):按顺时针方向旋转形成的角 零角(zero angle):一条射线没作任何旋转

高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的性质

高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的性质

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
解:(1)定义域为 R.
f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 1+sin x≠0,∴sin
x≠-1.∴x≠2kπ−
π 2
,
������
∈Z.
∴函数的定义域为
2������-
π 4
的单调递增区间是
������π-
π 8
,������π
+
3π 8
, ������∈
Z.
(2)由 2kπ≤3x+ π6≤2kπ+π,得
2������ 3
π

1π8≤x≤23������
π
+
5π 18
,
������∈Z,
所以函数 y=cos
3������
+
π 6
的单调递减区间是
2������ 3
x
在(0,π)上单调递减,
∴cos
π 8
>
cos
π 7
,
即cos
-
π 8
> cos 137π.
(2)sin
21π 5
=
sin

+
π 5
= sin π5,
sin
42π 5
=
sin

+
2π 5
= sin 25π.
∵0<
π 5
<
2π 5
<
π 2
,
且y=sin
x在

必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解

必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解

第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角:一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角:射线不做任何旋转形成的角 负角:一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则:第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、(1)判断下列各式的符号: ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案:+ — —2、象限角:角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角:一般地,所有与α角终边相同的角连同α在内(而且只有这样的角),cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合:(1)终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα(2)终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα (3)终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα(4)终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα (5)终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα(6)终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα (7)终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα(8)终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα (9)终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π=,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭. 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式:若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==.三、三角函数1.设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作: r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作: r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作: x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作: yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作: x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作: yr =αcsc 以上六种函数,统称为三角函数.2.同角三角函数的基本关系式: (1)倒数关系:tan cot 1αα⋅=;(2)商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αααααα==; (3)平方关系:22sin cos 1αα+= .3.诱导公式,奇变偶不变,符号看象限.()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.口诀:函数名称不变,符号看象限.()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.例2.化简(1)sin()cos()44ππαα-++;(2)已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-,求11cot()2πα-的值. ry)(x,αP解:(1)原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=.(2)3cos()cos(9)5απαπ-=-=-,∴3cos 5α=,∵2παπ<<,∴4sin 5α=-,sin 4tan cos 3ααα==,∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=.例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° (2))4sin(π-(3)tan (-672°) (4))311tan(π解:(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°<0(2)∵4π-是第四象限角,∴0)4sin(<-π(3)tan (-672°)=tan (48°-2×360°)=tan48°而48°是第一象限角,∴tan (-672°)>0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角,∴0311tan<π. 例4 求值:sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°. 解:原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5(1)如果α为第一象限角,试问2α是第几象限角?(2)如果α为第二象限角,试问:απαπα+--,,分别为第几象限角?答案:(1)第一或者第三;(2)第三,第一,第四。

1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象

1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象

正弦函数:y sin x

xR


正弦曲线
y
1


-1






x
余弦函数:y cos x


(2 ,1)
( , 1)

2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点: (
第一章 三角函数
题型探究
五点作图法

例1
用“五点法”作出下列函数的简图. y=sinx+1,x∈[0,2π].
x
sinx 1+sinx
y 2 1

0
0 1
π 2 1 2
π
0 1
3π 2 -1 0

0 1
y=1+sinx,x[0, 2]
第一章 三角函数
函数图象的应用
例4 (本题满分 10 分)根据正弦函数的图象, 1 求满足 sinx≥ 的 x 的范围. 2
1 【解】 在同一坐标系内画出 y=sinx 和 y= 2 的图象,如图所示: 3分
第一章 三角函数
由图看到在 x∈[0,2π]内, 1 π 5π 满足 sinx≥ 的 x 为 ≤x≤ . 2 6 6 7分
描点作图法的步骤: (1)列表(2)描点(3)连线
沙漏试验
探究一:函数y sin x, x 0, 2 图象的作法
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线; y
第一章 三角函数
(3) 平移; (4) 连线.
1P 1

/ p1
o1
6
M1
-1A

高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5

2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4



3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?

人教版高中数学必修四教材用书第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第一课时 三角函数的诱导公式(一

人教版高中数学必修四教材用书第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第一课时 三角函数的诱导公式(一

.三角函数的诱导公式第一课时三角函数的诱导公式(一)[提出问题]问题:锐角α的终边与π+α角的终边位置关系如何?它们与单位圆的交点的位置关系如何?任意角α与π+α呢?提示:无论α是锐角还是任意角,π+α与α的终边互为反向延长线,它们与单位圆的交点关于原点对称.问题:任意角α与-α的终边有怎样的位置关系?它们与单位圆的交点有怎样的位置关系?试用三角函数的定义验证-α与α的三角函数值的关系.提示:α与-α的终边关于轴对称,它们与单位圆的交点与关于轴对称,设的坐标为(,),则的坐标为(,-).(-α)=-=-α,(-α)==α,(-α)=-=-α.问题:任意角α与π-α的终边有何位置关系?它们与单位圆的交点的位置关系怎样?试用三角函数定义验证α与π-α的各三角函数值的关系.提示:α与π-α的终边关于轴对称,如图所示,设(,)是α的终边与单位圆的交点,则π-α与单位圆的交点为′(-,),,′关于轴对称,由三角函数定义知,(π-α)==α,(π-α)=-=-α,(π-α)==-α.[导入新知].诱导公式二+π角()α与角原点的终边关于α对称.如图所示.+(π公式:()α)α-=.+(π.)αα-=+π(αα).=.诱导公式三()角-α与角α的终边关于轴对称.如图所示.-(公式:.α())-α=-(α=).α)(-α.=α-.诱导公式四()角π-α与角α的终边关于轴对称.如图所示.(π公式:()-αα=.)α(π-)=α.-α-)(π.=α-[化解疑难]对诱导公式一~四的理解()公式两边的三角函数名称应一致.()符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定.但应注意,将α看成锐角只是为了公式记忆的方便,事实上α可以是任意角.[例]()(-°);() °;().[解]()(-°)=-°=-(×°+°)=-°=-(°-°)=-°=-;。

必修四第一章 三角函数1.2.2

必修四第一章 三角函数1.2.2
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第一章 三角函数
[思路分析] tanα=3,即sinα=3cosα,结合sin2α+cos2α=1,解方程组可求 出sinα和cosα;对于(2),注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式,可分子分母 同除以cosα化为tanα的表达式;对于(3),如果把分母视作1,进行1的代换,1= sin2α+cos2α然后运用(2)的方法,分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式,也 可以将sinα=3cosα代入sin2α+cos2α=1中求出cos2α,把待求式消去sinα,也化为 cos2α的表达式求解.
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第一章 三角函数
[解析] (1)tanα=3=csoinsαα>0, ∴α 是第一或第三象限角. 当 α 是第一象限角时,结合 sin2α+cos2α=1,有
sinα=3
10 10

cosα=
10 10
当 α 是第三象限角时,结合 sin2α+cos2α=1,有
如 sin23α+cos23α=1 成立,但是 sin2α+cos2β=1 就不一定成立.
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写,读作“sinα 的平方”,不能将 sin2α 写成 sinα2,前
者是 α 的正弦的平方,后者是 α2 的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并
能正确书写.

(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的,sin2α+


A

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第一章 三角函数
3.化简 1-sin2440°=____c_o_s_8_0_°_____.

三角函数第一章

三角函数第一章

tan(α-β)=
tanα-tanβ 1+tanαtanβ
和差化積
α+β
α-β
sinα+sinβ=2sin ( 2 ) cos ( 2 )
α+β
α-β
sinα-sinβ=2 cos ( 2 ) sin ( 2 )
α+β
α-β
cosα+cosβ=2 cos ( 2 ) cos ( 2 )
α+β
α-β
cosα-cosβ=-2sin ( 2 ) sin ( 2 )
1 2
8 高中物理課程中的數學工具書
範例 2 sin 22.5=?
45o 〔詳解〕原式=sin 2 =+
2- 2 =2
1-cos 45o
2

1- 2
2 2

2- 2 4
練習
1.試求 cos 20° cos 70-sin 20° sin 70°=?
2.sinθ=
3 5
π 且 2 <θ<π,求 sin 2θ、cos 2θ的值。
答 :1. __0___ 2. __-___22_45_;___27_5___ 3. ___(1_)__19_0_;__(_2_)__11_0___
4. __(_1_)_2_;__(_2_)_1_41___
6- 2 5. ___(1_)___2_-__1_;__(_2_)____4____;__(_3_)_2_-____3___
2tanα sin 2α=2sinαcosα= 1+tan2α
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=
1-tan2α 1+tan2α
2tanα tan 2α= 1-tan2α
α sin 2 =

高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.2 三角函数线

高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.2 三角函数线

,������∈Z
=
������
������
=
������π
+
3π 4
,������∈Z
, 如图.
题型一 题型二 题型三
题型二
解简单的三角不等式
【例 2】 解不等式 sin α≥− 12.
解:如图,作直线
y=−
1 2
交单位圆于A,B
两点,则∠xOA=
76π,∠
xOB=− π6.

sin
α≥−
1 2
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 已知 cos α≥12 , 试求出角������的集合. 解:
如图,在平面直角坐标系内作直线
x=
1 2
交单位圆于A,B
两点,当
α

终边落在阴影部分时,cos α≥12 , 所以角α 的集合为
������
2�����≤
2������π
2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交 点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或反 向延长线)的交点.
3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴的正方向或y轴的正 方向同向的为正值,与x轴的正方向或y轴的正方向反向的为负值.
4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后. 5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号; 三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
x+ 3 > 0,

cos
x≥−
1 2
,
且sin
x>

23.

cos
x≥−
1 2
,

高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义

高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义

解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(������∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】 若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ������的值为( )
A.
2 2
B.

2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
������
=

2 2
,
则sin
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,

高中数学必修四 第一章三角函数 1.1.1 任意角

高中数学必修四 第一章三角函数 1.1.1 任意角

2.角α,β的终边相同,α与β不一定相等 剖析因为角α,β的终边相同,所以将角α终边旋转(逆时针或顺时 针)k(k∈Z)周可得角β,所以角α,β的数量关系为β=k·360°+α(k∈Z), 即角α,β的大小相差360°的k(k∈Z)倍,因此α与β不一定相等.
3.锐角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限的角的区别 剖析:受初中所学角的影响,往往在解决问题时,考虑的角仅仅停 留在锐角、直角、钝角上.将角扩展到任意角后,可用集合的观点 来区别上述各类角. 锐角的集合可表示为{α|0°<α<90°}; 0°~90°的角的集合可表示为{α|0°≤α<90°}; 小于90°的角的集合可表示为{α|α<90°},其中包括锐角和零角 以及所有的负角; 第一象限的角的集合可表示为 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},其中有正角,也有负角.
0°<α<90°
第一象限
90°
y 轴非负半轴
90°<α<180°
第二象限
180°
x 轴非正半轴
α 的范围 180°<α<270°
α 终边的位置 第三象限
270°
y 轴非正半轴
270°<α<360°
第四象限
(2)当α<0°或α≥360°时,将α化为 k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°),转化为判断角β的终边所在的位置.
名师点拨要正确区分易混的概念,如锐角一定是第一象限的角,而 第一象限的角不全是锐角,如-350°,730°都是第一象限角,但它们 都不是锐角.
典型例题
题型一
判断象限角
【例1】 在0°~360°之间,求出一个与下列各角终边相同的角,

必修四第一章 三角函数1.2.1第一课时

必修四第一章 三角函数1.2.1第一课时

(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0,则2θ是第
象限角.
A.一

学 必
C.一或三


·


A

B.三 D.任意象限角
( C)
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第一章 三角函数
[解析] (1)①π2<3<π,π<4<32π,32π<5<2π,
∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,∴sin3·cos4·tan5>0.
②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上任意一点坐标
(a,b),则对应角的正弦值 sinα= a2b+b2,余弦值 cosα= a2a+b2,正切值 tanα数 学Fra bibliotek必=ab.
修 ④
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参
·
人 教
数进行分类讨论.
A

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第一章 三角函数
3.已知α是第三象限角,设sinαcosα=m,则有
A.m>0
B.m=0
C.m<0
D.m的符号不确定
(A)
4.(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2),则tanα·cosα等于 25 _____5_.
数 学 必
[解析] 由三角函数的定义,tanα=yx=2,cosα=xr= 55,∴tanα·cosα=255.
人 教
函数值的函数,我们将它们统称为三角函数(trigonometric function).
A

第一章13三角函数的诱导公式

第一章13三角函数的诱导公式
——— 毕达哥拉斯学派
圆是第一个最简单、最完美的图形。
—— 布龙克尔
复习引入
第 一 章 三 角 函 数
1、正弦函数,余弦函数的定义
y
y sin y x cos x
2、终边相同的角的正弦值和 余弦值有什么关系?
P(x,y) x M 1
公式一:sin(α+2kπ)=______ sin , α cos(α+2kπ)= cos α tan α ______ ,tan(α+2kπ)=________ ,其中k∈Z.
1.5
探究一:给定一个角 ,终边与角 的终边
公式 二
1
P
T
sin sin cos cos tan tan
-2 -1
0.5
M1 O M
-0.5 1
A
2
P1
-1
-1.5
观察单位圆,回答下列问题:
第 一 章 三 角 函 数
问题 已知 sin 20 a, 如何求
(1) sin 380 , sin 200 , sin(20

),sin 160 ;

第 一 (2) sin 70 , sin 110 ; 章 三 ( x, y ) 角 160 函 p3 数
y
sin 380 sin 20 y a
(1)sin1320°;(2)cos(
31π 6
);(3)tan(-945°);
【分析】
可直接利用诱导公式转化为特殊角
求值.
第 一 章 三 角 函 数
【解】 (1) 法一:sin1320° =sin(3× 360° +240° ) 3 =sin240° =sin(180° +60° )=-sin60° =- . 2 法二:sin1320° =sin(4× 360° -120° )=sin(-120° ) 3 =-sin(180° -60° )=-sin60° =- . 2 大家思考一下还有没有其他的方法!
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预习探究
知识点一
任意角
端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图 1.角的概念:平面内一条射线绕着________
形. 2.角的分类
逆时针 方向旋转形成的角; (1)正角:按________ 顺时针 方向旋转形成的角; (2)负角:按________
(3)零角:一条射线没有作任何旋转,称形成一个零角.
[ 答 案 ] (1){α|α = k· 360 ° - 40 ° , k ∈ Z}
(2){α|α = k· 360 ° + 90 ° , k ∈ Z}
(3){α|k·360°+90°<α <k·360°+180°,k∈Z}
[解析] (2)因为在 0°~360°范围内, 终边在 y 轴的非负半轴上的角为 90°角, 因 此,终边在 y 轴的非负半轴上的角 α 的集合是{α|α=k· 360°+90°,k∈Z}. (3)因为在 0°~360°范围内,第二象限角的范围是 90°<β <180°,所以由终边 相同的角的表示知,角 α 的集合表示为{α|k· 360°+90°<α <k·360°+180°,k ∈Z}.
及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,找出它们的 关系,探究终边相同的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3.情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即角有正角、负角和 零角之分.角的概念推广以后,知道角与角之间的关系. (2)理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物.
新课导入
师:时钟快了5分钟,现要校正,需将怎样旋转分针?如果时钟慢了5分钟,又该如 何校正? 生:逆时针旋转30°;顺时针旋转30°. 师:互相啮合的两个齿轮,被动轮随着主动轮的旋转而旋转,那么,它们的旋转方 向怎么样?它们旋转的角度大小一样吗? 生:它们的旋转方向相反,两个齿轮旋转的角度大小与它们半径的大小有关系,只 有当两个齿轮一样大时,它们的 旋转的角度才是一样的,否则不一样.
(2)求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角
的一般形式,再依据条件构建不等式求出k的值,k的正确取值是关键.
考点类析
考点一
任意角的概念与分类
[基础夯实型]
例1
(1)时间过了 2 小时 30 分,分针转过的角度是________.
(2)若将钟表拨慢 10 分钟,则时针转了________度,分针转了________度. (3)-20°角是按________(填“顺”或“逆”)时针方向旋转________所成的角.体 操运动员按逆时针方向旋转 360°所成的角是________. (4)已知中学生一节课的上课时间一般是 45 分钟,那么,经过一节课,分针旋转形成 的角是________.
新课导入
[导入一] 思考:小时候骑自行车,初学时骑得慢,一秒钟车轮大概转四分之一圈,约合90°, 长大后,我们不但学会骑自行车,还学会了骑电动车.由于电动车速度较快,一秒 钟车轮不止转一圈,那么这时一秒钟要转过多少度呢?又比如:公交车正常运行时
车轮一秒钟大概转过多少度呢?车子倒退时一秒钟大概又转过多少度呢?
高中数学
必修4 新课标(RJA)
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制 1. 1.1 任意角 1. 1.2 弧度制 1.2 任意角的三角函数 1. 2.1 任意角的三角函数 1. 2.2 同角三角函数的基 本关系 1.3 三角函数的诱导公式
1.4 三角函数的图像与性质 1. 4.1 正弦函数、余弦函数的图像 1. 4.2 正弦函数、余弦函数的性质 1. 4.3 正切函数的性质与图像 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 1.6 三角函数模型的简单应用 本章总结提升

α |k·360°+180°<α <k·360°+270°,k∈Z ; 终边在第三象限的角的集合为____________________________________________ α |k·360°+270°<α <k·360°+360°,k∈Z . 终边在第四象限的角的集合为____________________________________________
[答案] (1)二
(2)x 轴非正半轴上的角
预习探究
知识点三
终边相同的角
所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合
{β|β=α+k· 360°,k∈Z} ,即任一与角 α 终边相同的角, S=__________________________ 整数个 周角的和. 都可以表示成角 α 与________

பைடு நூலகம்

例 2 (1)已知下列各角:①-120°;②-240°;③180°;④495°.其中是第二象 限角的是( A.①② ) B.①③ C.②③ D.②④
(2)若 β 是第四象限角,则 180°-β 是第________象限角. α (3)已知 α 为第二象限角,判断 2 是第几象限角.
(5) 终边在第四象限的角的集合可以表示为 {α|k· 360 °- 90 ° < α <k · 360 °, k ∈ Z}.
[答案] (1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
预习探究
[探究] (1)120°角是第________象限角.
(2)角 α 的终边经过点 C(-1,0),则 α 是 ________________________________________________________________________.
(2)5
60
(3)顺
20°
考点类析
考点二
象限角的理解
[重点探究型]

α |k · 360 ° < α <k · 360 °+ 90 °, k ∈ Z [导入] 终边在第一象限的角的集合为_____________________________________; α | k · 360 °+ 90 ° < α < k · 360 °+ 180 °, k ∈ Z 终边在第二象限的角的集合为___________________________________________;
拿出轮子模型,实际操作 我们发现,一秒钟转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0°~360°之间,这正是 我们这节课要研究的主要内容——任意角.
新课导入
[导入二] 1.回忆:初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种概念的优点是形象、直观、容易理
解,它的弊端在于“狭隘”.
师:初中时,我们已经学习了0°~360°角的概念,它是如何定义的呢? 生:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 师:如图,一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置 OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫作角的始边,旋转结束时的射线OB叫作终边, 射线的端点O叫作角α的顶点.
考点类析
[答案] (1)-900° 360° (4)-270° 1 [解析] (1)所求分针转过的角度为(-360°)×(2+2)=-900°.
360° (2)由题意可知,时针按逆时针方向转了 10× =5°,分针按逆时针方向转了 12×60 360° 10× 60 =60°. (3)因为负角是按顺时针方向旋转形成的,所以-20°角是按顺时针方向旋转 20° 所成的角.按逆时针方向旋转形成的角是正角,故体操运动员按逆时针方向旋转 360°所成的角是 360°. 45 (4) 分针旋转形成的角是负角,故所求分针旋转形成的角是 ( - 360 ° )× 60 =- 270°.
备课素材
1.角的概念与分类疑难点
(1)在列举不在0°~360°之间的角时,应注意所有的角在同一平面内,且在终边旋转过程 中,角的顶点不动. (2)要注意旋转方向对角的正负的影响. 2.象限角与终边相同角的表示 (1)象限角的判断方法有两种:一是根据图像,其依据是终边相同角的思想;二是先将 已知角化为k· 360°+α(0°≤α<360°, k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再 由角α所在的象限判定已知角所在的象限.
重点难点
[重点] 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法及判断方法. [难点] 角的概念的推广,终边相同的角的表示.
教学建议
由于任意角的概念具有抽象性,因此可以利用单位圆和直角坐标系,引导学生用数
形结合的思想方法来认识,也可利用几何画板,通过角的终边的旋转过程使学生形
象、直观地认识角的变化与终边位置的关系,同时注重对终边相同角的表示法的教 学与训练.
预习探究
[探究] (1) 与-40°角终边相同的角的集合是 ________________________________________________________________________. (2)若角 α 的终边在 y 轴的非负半轴上,则角 α 的集合表示为______________. (3)若角 α 是第二象限角,则角 α 的集合表示为______________.
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
三维目标
1.知识与技能 (1)结合具体实例认识角的概念推广的必要性.理解并掌握正角、负角、零角的定
义.理解任意角以及象限角、坐标轴上的角的概念,初步学会在平面直角坐标系中
讨论任意角.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法,能熟练写出与α角 终边相同的角的集合.能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合.能进行简单的
考点类析
α 【变式】若角 α 是第一象限角,则-α,2α , 3 分别是第几象限角?
预习探究
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