陕西省西安市高中数学 第一章《三角函数》复习教案 北师大版必修4
陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：1.9.1三角函数的简单应用
§9.1 三角函数的简单应用（第一课时）一、教学目标1．知识与技能：通过分析实际问题建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．2．过程与方法：经历由实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过程，感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．3．情感态度、价值观：培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力以及运用信息技术手段解决实际问题的能力，增强学生的应用意识．二、教材分析教材中设置了1个水车问题来介绍三角函数的简单应用．根据问题情境建立精确的三角函数模型解决问题，使学生初步掌握建立解析式的方法．教科书《三角函数》一章专门设置“三角函数的简单应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例题的教学，使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程，掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．三、重、难点：重点是：用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题；从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．难点是：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．四、教学方法与手段通过数学建模的过程，使学生在观察、分析、探究、归纳、概括等思维活动中获取新知，这不仅可以提高学生的思维能力，培养学生运用信息技术手段解决实际问题的能力，同时也可以增强学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成．五、教学过程（一）问题引入同学们，我们已经学过三角函数的图像与性质，今天我们研究如何建立和应用三角函数模型解决实际问题．我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型. 在这一节. 我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.问题1：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin(π12t＋π3)，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？分析：(1)因为f(t)＝10－2sin(π12t＋π3)，又0≤t<24，所以π3≤π12t＋π3<7π3，－1≤sin(π12t＋π3)≤1.当t＝2时，sin(π12t＋π3)＝1；当t＝14时，sin(π12t＋π3)＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．设计意图： 本题属三角函数的简单应用，通常的解决方法：转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等函数解决图像、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．问题2 水车问题水车一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图3—4 是一个水车工作示意图，它的直径为3 m ，其中心(即圆心)O 距水面1.2 m ，如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是34min ，在水车轮边缘上取一点P ，点P 距水面的高度为h(m)． （1）求 h 与时间t 的函数解析式，并作出这个函数的简图.（2）讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化，若水车转速加快或减慢，函数式中的参数又会受到怎样的影响?分析：不妨设水面的高度为0．当P 点旋转到水面以下时，P 点距水面的高度为负值. 显然，h 与t 的函数关系是周期函数的关系.如图3-4，设水车的半径为R ，R=1.5 m ；水车中心到水面的距离为b,b=1.2 m ；∠QOP 为α ；水车旋转一圈所需的时间为T ；由已知T=34 (min) =80(s ) ，单位时间旋转的角度(rad)为ω=T π2=40πrad/ s为了方便，不妨从P 点位于水车轮与水面交点Q 时开始计时t=0．在t 时刻水车转动的角度为α，如图3-4 所示，∠QOP=α=ωt =40πt (rad ).过点P 向水面作垂线，交水面于M 点，PM 的长度为P 点的高度h.过水车中心O 作PM 的垂线，交PM 于N 点，∠QOP 为φ，从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ )+b ． ①从图中可以看出：sin φ=5.12.1，所以φ=53.1︒ =0.295πrad把前面已经确定了的参数α，φ，R 和b 代入①式，我们就可以得到h =1.5sin(40πt −0.295π)+1.2（m ）②这就是P 点距水面的高度h 关于时间t 的函数解析式．因为当P 点旋转到53.1°时．P 点到水面的距离恰好是1.2(m)，此时，t =360801.53⨯≈11.8（s ）， 故可列表、描点，画出函数在区间[11.8，91.8]上的简图(如图3-5)： 这是一个由三角函数确定的数学模型．表3—1如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心o 与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b 发生变化,水面上涨时参数b 减小；水面回落时参数b 增大,如果水车轮转速加快，将使周期T 减小,转速减慢则使周期T 增大.面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，就像这个例题.把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.（三）练习：课本P58练习（四）小结1.三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图像，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图像，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.2. 在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等数学思想方法．【设计意图】让学生通过思考和回答问题，归纳总结建立三角函数等数学模型解决实际问题的基本步骤，理清解决实际问题的基本思路，渗透数学思想方法，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．（五）作业课本P59习题1-9 3六、教学反思：水车问题是三角函数的重要模型，首先让学生弄清水车转动时它的直径、旋转一圈的时间和中心距水面的距离与函数K x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 中常数之间的对应关系；然后从特殊情况出发，让学生考虑当水车中心刚好在水面时其对应的函数解析式；最后再考虑本题需要建立的函数关系式，这个函数模型解读了三角函数在现实生活中的重要应用价值。
2018_2019学年高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修4
第一章三角函数章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 【例1】 已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ，tan θ的值． 解 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时， sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m 2m.(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m 2m.【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m3＋m2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”．注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号． ③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－2sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________．解析 (1)1－2sinθsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0， 故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α·tan αcos 3π－α的值． 解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π. 2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别． 【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0.又|φ|＜π2，故φ＝－π10，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m π10 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋25m －π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2(k ∈Z )． ∵m ＞0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图像向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．【训练3】 已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6解析 由图像知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A.答案 C要点四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．【例4】f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在 [－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴y ＝f (x )的周期为2.∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减． ∵f (x )是偶函数，∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反． ∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．【训练4】 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .要点五 三角函数的综合应用(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法； (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．【例5】 已知函数f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)求它的定义域和值域、单调区间；(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解 令u (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)要使f (x )有意义，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，所以2k π＜x －π4＜(2k ＋1)π(k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． 因为0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以0＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，所以f (x )＝log 12u (x )≥－12.所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2时，u (x )是增函数，所以f (x )＝log 12u (x )是减函数． 所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4时，函数是减函数．同理可求得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数是增函数．(2)因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数． 又f (x ＋2π)＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＝f (x )，其中x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )是周期函数，且最小正周期是2π.【训练5】 函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围． 解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π，－cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，如图：由图可知：当m ＝0或1＜m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图像有且仅有2个交点.基础过关1．sin(－60°)的值是( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 C2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P (x,4)，且cos α＝x5，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，且终边经过点P (x,4)． ∴x ＜0. cos α＝xx 2＋42＝x，x ＝－3.则P (－3,4)．∴tan α＝4－3＝－43.答案 D3．已知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1，则cos(α＋π)＝( )A.12 B ．－12C.3 D ．－3 解析 ∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝1，∴cos α＝12，cos(α＋π)＝－cos α＝－12，故选B.答案 B4．已知扇形AOB 的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________．解析 由2R ＋l ＝6，lR＝1，得R ＝l ＝2，∴S ＝1×2×2＝2.答案 25．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________，此时自变量x ＝________.解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.令u ＝2x －π3，又函数y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的最大值为1，∴函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x －π3＝π2，即x ＝5π12.答案 1 5π126．计算3sin1 200tan11π3－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解 原式＝－3sin120°tan 2π3＋cos 225°tan π4＝－3cos π6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－tan π3＋(－cos 45°)·tan π4＝－3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×1＝32－22＝3－22.7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R ，求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．解 (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4， 此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z. (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像；②将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．能力提升8．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交，则k ＝( )A.14B ．－34C.14或－34D.14或34解析 由2x ＋π4＝π2＋n π.n ∈Z ，得x ＝π8＋n π2.由题意得k π2＝π8＋n π2，k ＝1＋4n4，又－1≤k ≤1. ∴k ＝14或k ＝－34.答案 C9．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧5ωπ8＋φ＝2k 1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω＝43(k 2－2k 1)－23，又T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，所以ω＝23，φ＝2k 1π＋112π，由|φ|<π得φ＝π12，故选A.答案 A10．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin θ＝________.解析 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.答案 －211．对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图像关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)． 解析 画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图像．由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称，在2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.故③④正确．答案 ③④12．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤ x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4的值．解 (1)由图像可知A ＝2，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π4＝1－3－1＋3＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4＝0×503＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 013π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1－3－1 ＝－ 3.。
必修4第一章 《三角函数》期末复习教案
第一章《三角函数》期末复习教案一、网络构建二、要点归纳1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y . (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x . (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π(k ∈Z )；对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )， 无对称轴奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性最小正周期：2π 最小正周期：2π 最小正周期：π 单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上单调递增；在[－π＋2k π，2k π] (k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π]在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上单调递增在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减(k ∈Z )上单调递减最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值题型一 三角函数的化简与求值例1 已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．考点 综合运用诱导公式化简、求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 解 (1)f (α)＝sin α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝⎛⎭⎫－47π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎫－47π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4 cos π4·sin π4＝22×22＝12.反思感悟 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α，注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 跟踪训练1 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值； (2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 (1)由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125，所以sin αcos α＝－1225，因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0， 所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α ＝⎝⎛⎭⎫152＋4825＝75， 故得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α， 又tan α＝－43，所以1cos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－257. 题型二 三角函数的图象与性质例2 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.反思感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决．跟踪训练2 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B (π，－1)，则φ的值为 ．考点 求三角函数解析式 题点 根据三角函数图象求解析式 答案 －5π6解析 根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B (π，－1)，可得从点A 到点B 正好经过了半个周期，即12·2πω＝π－π2，所以ω＝2.再把点A ，B 的坐标代入可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋φ＝－2sin φ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sin φ＝－1， 所以sin φ＝－12，所以φ＝2k π－π6，或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .又|φ|<π，所以φ＝－π6或－5π6.当φ＝－π6时不合题意，所以φ＝－5π6.题型三 三角函数的最值或值域命题角度1 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 型例3 求函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 解 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1. 当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4. ∴函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1. 反思感悟 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响． 跟踪训练3 (2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65.故选A.命题角度2 可化为二次函数型例4 函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为 ． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 答案 [－4,4]解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]， ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．反思感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．跟踪训练4 (2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是 ． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 余弦函数的最大(小)值 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 题型四 数形结合思想在三角函数中的应用例5 如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．考点 三角函数中的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0， 即(sin x －2)(sin x －a )＝0. ∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，∴此题转化为求在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上，sin x ＝a 有两个实数根时a 的取值范围． 由y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6与y ＝a 的图象(图略)知12≤a <1. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.反思感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想． 跟踪训练5 方程lg|x |＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的实数根的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 考点 三角函数的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 答案 C解析 由⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1得－1≤lg|x |≤1，即110≤|x |≤10， 方程lg|x |＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3实根的个数就是函数y ＝lg|x |与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象公共点的个数， 当x >0时，两函数图象如图所示，两图象有3个公共点，同理，当x <0时，两图象也有3个公共点， 故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根， 故选C.1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 A解析 从图象可得34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4， ∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2， 且－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.3．函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．－π4B ．0 C.π4 D.3π4考点 三角函数图象的平移、伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 平移后的图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 因为此函数为偶函数，中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网() 所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )， 所以φ的一个可能值为π4. 4．y ＝2sin x sin x ＋2的最小值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦函数的最大(小)值答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2， 当sin x ＝－1时，y ＝2sin x sin x ＋2取得最小值－2. 5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值． 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用解 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.。
高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修4
第一章三角函数章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图像定义域R R ⎝⎛kπ－π2，⎭⎪⎫kπ＋π2(k∈Z)值域[－1,1][－1,1](－∞，＋∞)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y min＝－1无最大值、最小值周期性周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝kπ(k∈Z) 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增函数；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2，k∈Z；中心对称图形，对称中心(kπ，0)(k∈Z)轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0(k∈Z)中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一任意角的三角函数的定义有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．【例1】 已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ，tan θ的值． 解 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时， sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m2m.(4)当θ在第三、四象限时， sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m2m.【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m3＋m2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”．注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号． ③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－2sin π＋θsin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________．解析 (1)1－2sin π＋θsin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0， 故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别． 【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0. 又|φ|＜π2，故φ＝－π10，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m －π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋25m －π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2(k ∈Z )． ∵m ＞0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图像向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．【训练3】 已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6 B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 解析 由图像知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A.答案 C要点四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．【例4】f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在 [－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴y ＝f (x )的周期为2.∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减． ∵f (x )是偶函数，∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反． ∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.② 由①②，得f (sin α)>f (cos β)．【训练4】 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .要点五 三角函数的综合应用(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法； (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．【例5】 已知函数f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)求它的定义域和值域、单调区间；(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解 令u (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)要使f (x )有意义，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，所以2k π＜x －π4＜(2k ＋1)π(k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．因为0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以0＜2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，所以f (x )＝log 12u (x )≥－12.所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2时，u (x )是增函数，所以f (x )＝log 12u (x )是减函数．所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4时，函数是减函数．同理可求得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数是增函数． (2)因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数． 又f (x ＋2π)＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝f (x )，其中x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )是周期函数，且最小正周期是2π. 【训练5】 函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π，－cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，如图：由图可知：当m ＝0或1＜m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图像有且仅有2个交点.基础过关1．sin(－60°)的值是( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 C2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P (x,4)，且cos α＝x5，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，且终边经过点P (x,4)． ∴x ＜0. cos α＝x x 2＋42＝x5，x ＝－3.则P (－3,4)． ∴tan α＝4－3＝－43. 答案 D3．已知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1，则cos(α＋π)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析 ∵2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝1， ∴cos α＝12，cos(α＋π)＝－cos α＝－12，故选B.答案 B4．已知扇形AOB 的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________． 解析 由2R ＋l ＝6，l R＝1，得R ＝l ＝2， ∴S ＝12×2×2＝2.答案 25．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________，此时自变量x ＝________. 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.令u ＝2x －π3，又函数y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的最大值为1，∴函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x －π3＝π2，即x ＝5π12. 答案 15π126．计算3sin －1 200°tan11π3－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解 原式＝－3sin120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3cos π6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－tan π3＋(－cos 45°)·tan π4＝－3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×1＝32－22＝3－22. 7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R ，求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．解 (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4， 此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z. (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像；②将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．能力提升8．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34D.14或34解析 由2x ＋π4＝π2＋n π.n ∈Z ，得x ＝π8＋n π2.由题意得k π2＝π8＋n π2，k ＝1＋4n4， 又－1≤k ≤1. ∴k ＝14或k ＝－34.答案 C9．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧5ωπ8＋φ＝2k 1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω＝43(k 2－2k 1)－23，又T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，所以ω＝23，φ＝2k 1π＋112π，由|φ|<π得φ＝π12，故选A.答案 A10．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝________.解析 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.答案 －211．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图像关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)． 解析 画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图像．由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称，在2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.故③④正确．答案 ③④12．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤ x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4的值．解 (1)由图像可知A ＝2， 周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 由图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π4＝1－3－1＋3＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4 ＝0×503＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 013π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1－3－1 ＝－ 3.。
北师大版高中必修4第一章三角函数教学设计
北师大版高中必修4第一章三角函数教学设计一、教学目标1.理解三角函数的概念及基本性质。
2.掌握常用三角函数的定义、图像、性质及互相之间的关系。
3.学会求解三角函数在特定角度下的取值及应用实例。
二、教学内容1.三角函数的定义及基本性质。
2.正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的定义、图像、性质及互相之间的关系。
3.三角函数的特殊角度取值及运用。
三、教学方法1.讲授法。
2.实验法。
3.互动探究法。
4.小组讨论法。
四、教学步骤第一步：导入简单介绍三角函数的概念及基本性质，引导学生思考三角函数与直角三角形的关系，培养学生良好的学习态度。
第二步：概念及性质学习1.通过讲解，帮助学生了解三角函数的定义及基本性质。
2.分别讲授正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的定义、图像、性质及互相之间的关系，激发学生兴趣，加深对概念及性质的理解。
第三步：实验探究1.通过实验，深入探究正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像及特点。
2.鼓励学生动手实验，培养实验探究能力，提高学生自主学习的能力。
第四步：小组讨论1.分组讨论，积极思考三角函数的实际应用。
2.引导学生探讨三角函数在实际问题中的应用方法，培养学生解决实际问题的能力。
第五步：课堂练习1.给学生提供相关的练习题，让学生进行自主练习。
2.老师及时进行检查，及时纠正学生的错误。
五、教学评价1.通过小组讨论、课堂展示等方式对学生进行评价，检验学生掌握的知识及运用能力。
2.多角度评价学生的能力，既包括基础知识掌握的程度，也包括后续实际应用的能力。
六、教学总结三角函数是数学的重要分支，基础理论牢固、实际应用广泛。
因此，在教学设计中应注重理论与实践的结合，采用多种教学方法，培养学生探究、实践和创新能力，让学生在掌握知识的同时，能够应用到实际生活中。
高中数学 第一章 三角函数 9 三角函数的简单应用教学案 北师大版必修4
9 三角函数的简单应用讲一讲1．某海滨浴场的海浪高度y (单位：m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：，ω>0)的图像．(1)根据上表数据，求y ＝A cos(ωt ＋φ)＋b 的解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1 m 时才对冲浪者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午到晚上(8：00～20：00)，开放冲浪场所的具体时间段，有多长时间可供冲浪者进行活动？[尝试解答] (1)由表中的数据，知最小正周期T ＝12小时，ω＝2πT ＝π6，φ＝0，故函数解析式为y ＝A cos π6t ＋b .由t ＝0时，y ＝1.5得A ＋b ＝1.5，由t ＝3时，y ＝1.0得b ＝1，∴A ＝0.5， 故函数解析式为y ＝0.5cos π6t ＋1.(2)由题意可知，当y >1时才对冲浪者开放， 即0.5cos π6t ＋1>1，cos π6t >0，则2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )， 又∵8≤t ≤20，∴k ＝1，∴9<t <15，故在规定时间从上午8：00到晚上20：00，有6个小时的时间可供冲浪者进行活动，开放冲浪场所的具体时间段为上午9：00到下午15：00.根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．练一练1．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h (A >0，ω>0)．(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin(π6t ＋φ)＋12.2；又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin(4π6＋φ)＝1，所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin(π6t －π6)＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin(17π6－π6)＋12.2＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin(π6t －π6)＋12.2＜10.3，有sin(π6t －π6)＜－12，因此2k π＋7π6＜π6t －π6＜2k π＋11π6(k ∈Z )，所以2k π＋4π3＜π6t ＜2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8＜t ＜12k ＋12.令k ＝0，得t ∈(8，12)；令k ＝1，得t ∈(20，24)．故这一天共有8小时水深低于10.3 m.讲一讲2．如图所示的为一个观览车示意图，该观览车的半径为4.8 m ，圆上最低点与地面的距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面的距离为h .(1)求h 与θ之间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式； (3)求缆车首次到达最高点所用的时间．[尝试解答] (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))，∴h ＝5.6＋4.8sin(θ－π2)＝5.6－4.8cos θ(θ≥0)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30 rad/s ，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6－4.8cos πt30，t ∈[0，＋∞)．(3)到达最高点时，h ＝10.4 m.由cos π30t ＝－1，得π30×t ＝π，∴t ＝30.∴缆车首次到达最高点所用的时间为30 s.解答三角函数应用题的一般步骤：练一练2．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为23m ，圆环的圆心距离地面的高度为1 m ，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P 0处． (1)试确定在时刻t (单位：s)时蚂蚁距离地面的高度h (单位：m)； (2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过23 m?解：(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设t s 时蚂蚁到达点P ，则蚂蚁转过的角的弧度数为2π60t ＝π30t ，于是点P 的纵坐标y ＝23sin(π30t －π2)＝－23cos π30t .∴h ＝1＋y ＝1－23cos π30t (t ≥0)．(2)由1－23cos π30t >23得cos π30t <12，又由0≤t ≤60，得0≤π30t ≤2π，∴π3<π30t <5π3，解得10<t <50.所以一圈内有40 s 的时间蚂蚁距离地面超过23m.下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)图；(2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y 与日期位置序号x 之间的函数关系；(注：一年按365天计算)(3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．[巧思] 解答本题的关键是根据表中数据准确画出散点图，再根据散点图的特征确定函数模型，并求出其解析式，进而可解答问题(3)．[妙解] (1)如图所示(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t ， 由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， 即y max ＝19.4，y min ＝5.4， 由19.4－5.4＝14，得A ＝7； 由19.4＋5.4＝24.8，得t ＝12.4； 又T ＝365，∴ω＝2π365.当x ＝172时，2π365x ＋φ＝π2，∴φ＝－323π730.∴y ＝7sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π365x －323π730＋12.4(1≤x ≤365，x ∈N ＋)．(3)由y >15.9，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π365x －323π730>12，∴π6<2π365x －323π730<5π6， 36512＋3234<x <365×52×6＋3234， ∴112≤x ≤232.∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时．1．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图像中正确的是( )解析：选D 依题意t ＝0时，位移y 最小．2．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：选C T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T＝80.3. 如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )解析：选C 根据点P 的坐标可得∠xOP 0＝π4，故∠xOP ＝t －π4，设P ( x ，y )，则由三角函数的定义，可得sin ∠xOP ＝y r ，即sin(t －π4)＝y 2⇒y ＝2sin(t －π4)，因此点P 到x 轴的距离d＝|y |＝2|sin(t －π4)|，根据解析式可得C 选项图像符合条件．4. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．解析：T ＝2π2π＝1.答案： 15．一个物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的对应值如表所示：则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间关系的一个三角函数为________．解析：由表中数据可设函数解析式为：y ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0)，则A ＝4，T ＝0.8，ω＝2πT＝2π0.8＝5π2，将(0，－4)代入函数解析式中，有sin φ＝－1，得到φ＝－π2，故函数解析式为y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t －π2＝－4cos 5π2t .答案：y ＝－4cos 5π2t6. 如果某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .如图所示．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察题图可知，从8～14时的图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6，∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8，14]．一、选择题1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972πC.1992π D ．100π 解析：选B 由4914T ≤1，得T ≤4197，即2πω≤4197，ω≥1972π.2. 如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解析：选A 依题意A ＝3，且水轮每15 s 转一圈，故周期T ＝15，ω＝2πT ＝2π15.3．一简谐运动的图像如图，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时加速度最大解析：选B 周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 错； 由题中图像可知，振幅为5 cm ，故B 正确； 在最高点时，速度为零，加速度最大，故C ，D 错． 4．下表是某城市2011年月平均气温(单位：°F).若用x 表示月份，y 表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是( ) A ．y ＝26cos π6x B ．y ＝26cos π（x －1）6＋46C ．y ＝－26cos π（x －1）6＋46D ．y ＝26cos π6x ＋46解析：选C 由数据得到，从1月到7月是上升的趋势，只有C 满足要求． 二、填空题5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos(g l t ＋π3)，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．解析：因为周期T ＝2πgl，所以g l ＝2πT＝2π， 则l ＝g4π2.答案：g4π26. 如图是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的振动函数的一个解析式为________．解析：设函数的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)(t ≥0) 由图像知A ＝2，T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8(s)， 所以ω＝2π0.8＝52π，∴y ＝2sin(52πx ＋φ)．又52π×0.1＋φ＝π2，所以φ＝π4. 所以函数解析式为y ＝2sin(52πt ＋π4)(t ≥0)．答案：y ＝2sin(52πt ＋π4)(t ≥0)7．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1 cm 和s 2 cm 分别由下列两式确定：s 1＝5sin(2t ＋π6)；s 2＝10cos 2t .则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是________．解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2. 答案：s 1＝s 28．(江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT＝2，又函数图像经过点(π3，0)，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为ƒ(x )＝2sin(2x ＋π3)，所以ƒ(0)＝2sin π3＝62.答案：62三、解答题9. 如图，表示电流Ι与时间t 的关系式Ι＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出Ι＝A sin(ωt ＋φ)的解析式：(2)若函数Ι＝A sin(ωt ＋φ)在任意一段1100秒的时间内能同时取最大值A 和最小值－A ，那么正整数ω的最小值为多少？解：(1)由题图可知A ＝300，T ＝160－(－1300)＝150，所以ω＝2πT ＝100π.又因为(1150，0)在函数图像上，所以1150×100π＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝13π＋2k π，k ∈Z ，所以Ι＝300sin(100πx ＋13π)；(2)依题意有T ≤1100，即2πω≤1100.所以ω≥200π，又因为ω∈N ＋，所以ω的最小正整数为629.10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是在某港口某季节每天的时间与水深关系表：(1) (2)一条货船的吃水深(船底与水面的距离)为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，通过画草图可知用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h (A >0，ω>0)来刻画水深与时间之间的对应关系．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋h ＝7.5，－A ＋h ＝2.5，T ＝12，解得A ＝2.5，h ＝5，φ＝π6.∴这个港口的水深与时间的关系可用y ＝52sin π6x ＋5近似描述．(2)货船需要的安全水深为5＋1.25＝6.25米， 所以y ≥6.25时就可以进港，令 52sin π6x ＋5＝254⇒sin π6x ＝12.在区间[0，12]内，π6x ＝π6或者π6x ＝π－π6，解得x ＝1或x ＝5.由周期性可得在[12，24]内x ＝13或x ＝17，∴货船可以在1时进港，早晨5时出港；或在中午13时进港，下午17时出港，每次在港口停留4小时.。
数学必修4教学设计(第一章小结复习1)
课题：高中数学北师大版必修4第一章《三角函数》小结复习（1）主备人：刘克忠 时间： 班级：高一（ 、 ）（数学必修4第66页）1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．理解任意角的三角函数的定义；3．能正确画出函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图像，会利用单位圆或三角函数的图像推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π，正切函数在区间(0,2)π上的性质；4．理解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；会画函数sin()y A x ωϕ=+的图像，体会参数A ，ω，ϕ对函数图像的影响.阅读北师大版数学必修4课本6667P P -内容，完成下列问题：复习本章知识，整理笔记，建议就下列问题思考、归纳、概括.1．本章学习了哪些知识？它们之间存在怎样的逻辑联系？2．为什么要建立度量角的弧度制，它对于我们研究三角函数有什么好处？3．任意角的三角函数是怎样定义的？为什么称之为函数？与必修一中函数的知识相比较，本章学习了三角函数的哪些重要性质？4．函数sin y x =与sin()y A x ωϕ=+有什么关系？，参数A ，ω，ϕ对函数图像有什么影响，它们的物理意义是什么？5．“三角函数是刻画周期现象的一类重要的初等函数”，你对这句话有什么体会？请找一个生活的实际例子予以说明.6．本章出现的公式比较多，你有说明办法帮助记忆并减轻记忆负担？7．举例说明学习本章知识要注意哪些问题，解题时经常会出现哪些错误，原因是什么，怎样避免？教学过程：本章知识网络一、任意角1．任意角的定义、图示、记法（旋转形成了角）角可以看成是平面内 （一条射线）绕着 （端点）从一个位置旋转到另一个位置所形成的 （图形）.2．角的分类：“正角”“负角”“零角”①正角： ；②负角： ；③零角： .3．弧度制①1弧度的角：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角叫作1弧度的角. ②1180π=rad 0.01745≈rad ； ③180157.305718rad π'=≈=； ④弧长公式：l r α=，即l r α=. ⑤“弧度制”下扇形的面积公式？12S lr =.其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径. 4．象限角、轴线角①我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边（除顶点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．②如果角的终边在正半轴上，则认为这个角不在任何象限内，称为轴线角.5．终边相同的角与角α终边相同的角连同角α在内的集合{S ββα==+360,}k k Z ⋅∈.二、三角函数 1．三角函数的定义sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=; 2．诱导公式（1）①sin(2)sin k παα+=， ②cos(2)cos k παα+=．（2）①sin()sin αα-=-， ②cos()cos αα-=．（3）①sin(2)sin παα-=-， ②cos(2)cos παα-=．（4）①sin()sin παα+=-， ②cos()cos παα+=-．（5）①sin()sin παα-=， ②cos()cos παα-=-．（6）①sin()cos 2παα-= ②cos()2πα-= （7）①sin()2πα-= ； ②cos()2πα-= . （8）①sin()2πα+= ； ②cos()sin 2παα+=-. 三、三角函数的性质1．定义域2．值域3．周期性4．奇偶性5．单调性四、函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质1．图像①“五点法”作图②图像的变换2．性质①定义域②值域③周期性④奇偶性⑤单调性五、实际应用在生活、建筑、物理、航海等方面的应用1．课后作业：北师大版数学必修4课本68P 复习参考题A 组第3，4，7题.【教学反思与评价】。
陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：第一章 三角函数复习(第二课时)
三角函数复习（第二课时）一、教学目标：1.知识与技能：（1）能正确进行三角函数图像之间的变换；（2）由三角函数y＝Asin(ωx＋ϕ)的简图或数量特征，求解A、ω、ϕ的值。
2.过程与方法：学生通过对三角函数的图像、性质的综合应用，提高函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用能力。
3．情感态度、价值观通过本节的复习，使学生对三角函数的图象、性质有一个全面的认识，培养学生逻辑推理能力及探究精神。
二、重点、难点重点是：三角函数图像之间的变换难点是：灵活应用三角函数图像及性质解决相关问题三、教材分析：本章从生活中的实例出发，揭示周期现象的特征。
从实例出发，将锐角推广到任意角并引入了度量角的新方法——弧度制。
在此基础上，借助于几何直观——单位圆将锐角三角函数推广到任意角的三角函数；利用单位圆研究了正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式、图像及其性质；函数y＝Asin(ωx＋ϕ)的图像以及三角函数的简单应用。
本节重点是给出图像求y＝Asin(ωx＋ϕ)的解析式及进行三角函数图像之间变换。
四、教学方法与手段：运用“整体化”教学思想，引导学生生从“整体”到“局部”再到“整体”逐步认识三角函数之间的变换。
五、教学过程（一）、问题引入：问题1 三角函数的性质：运用三角函数的性质主要研究函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性例1 已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2，T ＝π，且f(x)满足对于任意x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋x .(1)求ω，φ的值； (2)写出函数的单调增区间；(3)写出函数的对称轴方程及对称中心的坐标． 分析：(1)∵f (x )的周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2. 又f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋x ，∴f (x )关于x ＝π12对称．∴2·π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )．(3)由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )， 得函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )． 由2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )， ∴函数f (x )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0.总结：求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)中的(ωx ＋φ)当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．注意：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时一定不能漏掉函数自身的定义域．反馈练习1：设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8， (1) 求φ；(2) 求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3) 画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像． 分析：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )． ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4.由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，(k ∈Z )． (3)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4知，故函数y问题2 三角函数的图像变换：三角函数的图像变换主要包括平移变换、伸缩变换、对称变换等．例2 已知函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54，(x ∈R )， (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用五点法作出它的简图；(3)该函数的图像可由y ＝sin x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 分析：(1)y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的振幅为A ＝12，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6.(2)令x 1＝2x ＋π6，则y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54＝12sin x 1＋54，列出下表，并描出如下图像：X 12π-π65π12 2π3 11π12x 1 0π2π3π22πy ＝sin x 1 0 1 0 -1 0y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5454 74 54 34 54总结：由y＝sin x的图像利用图像变换作函数y＝A sin（ωx＋φ）＋K A>0，ω>0，x ∈R 的图像，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图像沿x 轴的伸缩量不同.练习反馈2：1．如图所示，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)分析该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ 分析： (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. ∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sinx 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．问题3 三角函数的综合应用 例3 求证：sin θ＋cos θ－1cos θ－sin θ＋1＝sin θ－cos θ＋1sin θ＋cos θ＋1.证明：∵左＝(sin θ＋cos θ－1)(sin θ＋cos θ＋1)(cos θ－sin θ＋1)(sin θ＋cos θ＋1)＝(sinθ＋cosθ)2－1(cosθ－sinθ＋1)(sinθ＋cosθ＋1)＝2sinθcosθ(cosθ－sinθ＋1)(sinθ＋cosθ＋1)＝2sinθcosθ(sinθ－cosθ＋1) [1－(sinθ－cosθ)2](sinθ＋cosθ＋1)＝2sinθcosθ(sinθ－cosθ＋1)2sinθcosθ(sinθ＋cosθ＋1)＝sinθ－cosθ＋1sinθ＋cosθ＋1＝右．∴原等式成立．（三）、小结：1．通过本节学习，系统掌握三角函数有关知识，并能灵活应用其进行三角函数式的化简、求值、证明，及其三角函数图像的变换及由图确定解析式的方法；2．数学思想方法：整体考虑、数形结合等思想方法的运用。
高中数学 第一章 三角函数 1.9 三角函数的简单应用与基本关系教案 北师大版必修4(2021年整
高中数学第一章三角函数1.9 三角函数的简单应用与基本关系教案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.9 三角函数的简单应用与基本关系教案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角函数的简单应用整体设计教学分析我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型。
在这一节，我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。
本节教材通过例题及变式训练，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性）的应用。
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力。
培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.三维目标1。
能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系。
认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。
北师大版必修四第一章《三角函数》word教案
北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》全部教案第一课时§1.1 周期现象与周期函数一、教学目标1、知识与技能：（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法：通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教法学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们：你们有没有见过大海，观看过潮涨落，相信大家见过的不多，那今天就来看看著名的钱塘江潮。
（课件展示）众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)（二）、探究新知1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
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本章复习与小结（1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定的解题方法，形成较好的能力。
过程与方法
三角函数是一种重要的函数，通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系，帮助学生系统地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上升到更高一个水平；启发学生将本章内容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。
情感态度与价值观
通过本节的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为洋浦的开发建设贡献力量。
二、教学重、难点
重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质
难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用
三、学法与教学用具
师生共同整理本章的知识结构体系，从角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，再到三角函数的图像与性质；整理本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。
教学用具：投影仪、三角板
四、教学思路
【知识的初步整合】
【知识的概括与引申】
1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。
为了使弧长公式在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅使弧长公式、扇形面积公式得以简化，也为定义任意角的三角函数作好了准备。
2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另一种三角函数值。
3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。
4．三角函数的图像和性质是本章的重要内容，是三角函数应用的基础。
【例题选讲】
例1．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）
图中长度单位为：m
解： ∵ 360π=
ο
∴ )
(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=
⋅=πα
已知θ是第三象限角且02cos
<ϑ，问2ϑ
是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ+
+<<+k k )(Z k ∈
∴4322ππθ
ππ+<<+
k k )(Z k ∈ 则2ϑ
是第二或第四象限角
又∵02cos
<ϑ 则2ϑ
是第二或第三象限角
∴2ϑ
必为第二象限角
例3．已知α=αcos 2sin ，求的值。
及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2
解：2tan cos 2sin =α∴α=αΘ
611222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴
5614241
tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222=++=+αα+α=α+ααα+α=αα+α 例4．函数
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
解：由233π
ππ+≠-
k x 得1853ππ+≠k x ，
∴ 所求定义域为⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且
值域为R ，周期3π
=T ，是非奇非偶函数。
在区间()
z k k k ∈⎪⎭⎫
⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。
【随堂练习】 教材P77复习题一A 组1—11
【教学小结】
本章涉及到的主要数学思想方法有那些？你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？【布置作业】 教材P77复习题一A 组12—15
【课后反思】。