3-1-1 (10年秋)分式的基本概念及性质.讲义学生版
分式性质知识点总结
分式性质知识点总结一、分式的概念分式是由分子和分母组成的表达式，形式为a/b，其中a为分子，b为分母，a、b为整数且b≠0。
二、分式的分母不为0分式的分母不为0，这是因为分母为0时，分式的值就没有意义。
分式的分母不能为0是分式的基本性质之一。
三、分式的约分分式的约分是指将分子和分母的公因数约去得到分式的最简形式。
如2/4的最简形式为1/2，4/6的最简形式为2/3。
四、分式的等价两个分式的值相等时，称它们是等价分式，即a/b = c/d，记作a/b ≡ c/d。
例如2/3 = 4/6。
五、分式的加减当分式的分母相同时，分式的加减运算就像整数的加减一样。
当分式的分母不相同时，需要将分式化简成通分分式后再进行加减运算。
六、分式的乘法分式的乘法是分子相乘，分母相乘。
即(a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)。
七、分式的除法分式的除法是分子相除，分母相除。
即(a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c)。
八、分式的倒数一个分式的倒数是将分子与分母交换位置得到的新的分式。
例如分式a/b的倒数是b/a。
九、分式的乘方分式的乘方是指分式本身或者分式的分子分母分别乘方。
例如(a/b)² = (a²)/(b²)，(a/b)² = (a²)/(b²)。
十、分式方程分式方程是指含有分式的方程。
解分式方程时需要化简分式并求解分式的值。
如2/x+1 = 3，则x的值为1。
十一、分式的实际应用分式的实际应用包括比例、百分比、利润、损失、利率等，这些都是日常生活中常见的分式应用。
总结：分式是数学中常见的一种数学表达式，掌握分式的性质和运算方法对于学习代数和数学计算有着重要的意义。
要熟练掌握分式的加减乘除和方程的解法，掌握这些知识点能够帮助我们更好地理解数学问题，并且在实际生活中做出正确的数学计算。
《分式及其基本性质》课件
分式除法的规则
分式除法的规则是：将除法转化为乘法，即将被除数与倒数相乘。
分式除法的示例介绍
例如：1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 2/3，将被除数乘以倒数得到新分式。
分式加法的规则
分式加法的规则是：相同分母的分式直接相加，分母保持不变。
分式加法的示例介绍
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6，将相同分母的分式的分子相加得到新的 分子，分母保持不变。
分式的绝对值性质
分式的绝对值等于分子的绝对值除以分母的绝对值，即 |a/b| = |a| / |b|。
分式的整除性质
分式的整除性质表明，如果一个分式可以整除另一个分式，则其分子可以整除分子，其分母可以整除分母。
分式的乘方运算原理
分式的乘方运算原理是，将分式的分子和分母分别进行指数运算。
《分式及其基本性质》 PPT课件
本课件介绍了分式的基本概念和性质，包括如何化简分式、最简分式的求法、 分式的四则运算规则以及分式的基本性质和乘方关系，其中包含了分子和分母，如 3/4。
分式的组成部分是什么？
分式由分子和分母组成，分子表示被除数，分母表示除数。
分式减法的规则
分式减法的规则是：相同分母的分式直接相减，分母保持不变。
分式减法的示例介绍
例如：5/6 - 1/3 = 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2，将相同分母的分式的分子相减得到新的分子，分母保持不变。
分式的基本性质介绍
分式的基本性质包括分式的乘法逆元、加法逆元，以及分式的可加性、减法 性和分配律。
可通过因式分解、提取公因式、求最大公约数等方法来化简分式。
最简分式的概念
最简分式是分子与分母互质的分式，即分子和分母没有公因数。
分式的性质课件
总结Biblioteka 分式的基本性质了解分式的定义，运算规则及化 简方法。
分式在数学中的应用
分数在代数、几何和实际问题中 有广泛应用。
知识点回顾和自测
回顾所学知识并进行小测验，以 检验理解程度。
2 化简分式的方法
使用质数分解法和约通分母的方法对分式进 行化简。
分式的乘除
分式的乘法
将两个分式的分子和分母分别相乘，得到乘法结果 的分式。
分式的除法
将一个分式乘以另一个分式的倒数，得到除法结果 的分式。
分式的加减
分式的加法
只有当两个分式的分母相同才能进行加法运算，将 两个分子相加，分母保持不变。
分式的减法
只有当两个分式的分母相同才能进行减法运算，将 两个分子相减，分母保持不变。
分式的约分
1 分式的公因式
分子与分母的公因式可以约去，简化分式。
2 分式的约分方法
使用最大公因数法和最简形式法对分式进行约分。
分式的拓展
基本分式
基本分式是指分子为1的分式，如1/x。
带分数与假分数
带分数由整数和真分数组成，假分数比分子大的分 数。
分式的性质
探索分式的定义，组成部分，化简方法，乘除法，加减法，约分方法，以及 分式在数学中的应用。
什么是分式
分式的定义
分子与分母分别表示分式的组成部分，如1/2。
分式的组成部分
分子和分母分别代表算式中的数字或变量。
分式的化简
1 分式的通分
将不同分式的分母化为相同的通分分母，以 便比较分式的大小。
分式的概念及基本性质 分式的运算
D. 无法确定
C. x y x y D. x y x y
x y x y
x y x y
x2 1
8. 如果分式
的值为零，那么 x 等于（ ）
x
A. －1 或 1
B. 1
C. 1
D. 1 或 2
9. 小明从家到学校每小时走 a 千米，从学校返回家里每小时走 b 千米，则他往返家里和学校的平均速度
2 a
，其中
a
2
3x （3） (
x ) x 2 4 ，其中 x 4
x2 x2 x
四. 阅读理解题 1. 请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题。
x3 3 x2 1 1 x
6
x3 3
A
(x 1)(x 1) x 1
x 3 3(x 1)
a 1
(x y) 5
A.
(x y) 5
2x y
B.
2x y
(x y)2
C.
x2 y2
x2 y2
D.
x2 y2
2 xy
6. 分式
中 x、y 都扩大 2 倍，那么分式的值（ ）
x y
A. 变为原来的 2 倍 7. 下列各式正确的是（
B. 不变 ）
A. x y x y B. x y x y
4x 3
（1）
3x
x 1
（2）
x2
2| x|
（3）
(x 1)(x 2)
1. 填空。
（1） x xy ( y 0)
x1 (
)
（2） 3xy (
)
分式基本性质课件
分式的加法与减法
2
分式乘法的规则和分式除法的规则。
掌握利用通分后的分式进行加法和减法
的技巧，包括通分后的分式加(减)法的定
理。
3
分式的化简
学习分式化简的原则与方法，包括分式
的化简原则和常见的化简技巧。
正负数的处理
4
了解在分式中正负数的处理方法，包括 分式中正负数的加减和乘除。
例题演练
通过一系列例题演练，巩固对分式基本性质的理解和应用。难易程度逐渐加深，帮助学生熟练掌握分式的操作 规则。
分式基本性质ppt课件
通过本课件，我将向大家介绍分式的基本性质以及其应用。从分式的定义和 概念入手，深入浅出地讲解不同操作规则和化简方法。让我们一起探索这将介绍分式的定义和概念，并引出本课的主要内容。
分式的基本性质
1
分式的乘法与除法
学习分式乘法和除法的基本规则，包括
总结
对本课的内容进行总结，强调分式基本性质的重要性和实际应用。引导学生思考如何应用相关原理解决实际问 题。
课后作业
布置一些练习题，巩固学生对分式基本性质的掌握。提醒学生注意常见的错误点，帮助他们避免犯错。
扩展阅读
推荐一些扩展阅读材料，帮助学生进一步加深对分式的理解和应用。这些材料可以包括相关的书籍、论文或在 线资源。
3第二讲讲稿分式的概念、性质及运算(二)
第二讲分式的概念、性质及运算（二）分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容．解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1．化整为零，分组通分； 2，步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分； 4．裂项相消后通分等。
典型例题1．已知0199152=--xx，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-xxxx的值为( D )A．1996 B．1997 C．1998 D．19992．已知a、b、c、d都是正数，且dcba<，给出下列4个不等式：①dccbaa+>+；②dccbaa+<+；③dcdbab+>+；④dcdbab+<+，其中正确的是( D )A．①③ B．①④ C．②④ D．②③3.如果11=+ba，12=+cb，那么ac2+等于( B )A．1 B．2 C．3 D．4思路点拨把c、a用b的代效式表示．显然0a≠且1b≠，则由1bab-=，得221ba b=-，由21bc=-，得21cb=-，于是22ca+=。
选B4. 已知yxyxyxyxyx---+=-2232,311则分式的值为__________．解法一：∵311=-yx，∴ y－x＝3xy⇒x－y＝－3xy．∴原式＝xyyxxyyx2)(3)(2--+-53233)3(2=--+-=xyxyxyxy．解法二：将分子、分母同除以xy（≠0）．∴原式＝223112y xy x+---1132()112()x yx y--=---3233235-⨯==--分析：∵填空题不需要写出解题过程，故可取满足已知等式的特殊值求解．解法三：取x＝21，y＝－1，)31211(=+=-yx．∴原式1123(1)2(1)22112(1)(1)22⨯+⨯⨯--⨯-=-⨯⨯---3/23.5/25==注意：特殊值法是解填空题或选择题常用的解题方法或技巧．取特殊值要注意满足条件等式，其原则是要便于计算．5.已知实数b a 与满足等式22224422121996a b a b a b a b -==-+，则 1134 解：由224412a b a b=-得422420a a b b --=得222a b =，220a b +=.后略 6.若a 为整数，且分式()()()()211812624422332-+-+--+--+-a a a a a a a a a a 的值是正整数，则a 的值等于 1 或等于 -1 解：()()()()211812624422332-+-+--+--+-a a a a a a a a a a 332122a a a a -+=---32a =- 21,3a -=±±，有1,1,3,5a =-，又20,2a a -≥≤。
八年级数学下册第十章《分式的基本性质课件》公开
பைடு நூலகம்
第三节：分式的基本性质
分式的比较大小
掌握分式比较大小的方法，帮助你在计算中确定 大小关系。
分式的约分
学会使用最简分式，简化计算过程，提高效率。
基本比例性质
了解分式与比例的密切关系，掌握比例性质的应 用。
总结本章学习的重要性及其在数学领域的应 用。
课后练习
练习题集中的难点解析
解析本章练习题集中的难题，帮助你理解和掌握分 式的基本性质。
实战演练，巩固知识
通过练习提高实战能力，巩固对分式的掌握。
参考资料
教材课文
深入学习本章课文内容，加深对分式的理解。
网络资源
利用网络资源，拓宽知识范围，提高数学水平。
八年级数学下册第十章 《分式的基本性质课件》 公开
这个精彩的课件将带您深入了解分式的基本性质。从分式的定义到分式方程 的解法，我们将一步步指导您掌握这一重要数学概念。
第一节：分式的定义
什么是分式？它是数学中用分数表示的表达式。通过本节课，您将明确了解分式概念，为后续学习打下坚实基 础。
第二节：分式的计算
参考书籍
推荐一些与分式内容相关的书籍，帮助进一步学习分式的基本性质。
分式的通分
分式通分是解决分式运算难题的关键，深入掌握 通分技巧。
第四节：分式方程
1
分式方程的应用
2
通过实际问题的分析，将分式方程应用 于实际生活和数学领域。
分式方程的解法
学会解决涉及分式的方程问题，培养分 式方程解题的能力。
总结
1 分式的应用举例
通过经典案例，展示分式在实际问题中的应 用。
分式的基本性质课件
目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是 整式，并且B中含有字母）的数学 表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分 子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运 算，分母不变，分子进行相应的加减 运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行 加减运算。通分后，分母变为两个分 母的最小公倍数，分子进行相应的加 减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与 分数有关的问题。例如，在食品 包装上，我们经常看到分数的标 注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非 常广泛。例如，在股票交易中， 我们经常听到“五五开”的说法 ，这实际上就是将股票分成五份
分式讲义
分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。
（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。
（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（7）有理式：整式和分式统称有理式。
2、分式的基本性质： （1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
二、例题讲析 1、 （2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、 （2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ． 解得x =1500． 经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元． （2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案． （3）方法一： 设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同． 方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位 清淤费用（元/m 3） 清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。
分式(分式的概念、性质及计算)
学好分式三步走：1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零2．分式的基本性质，约分，通分3．分式的加、减、乘、除、乘方运算1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零①分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且B ≠0 。
②分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即 B ≠0 。
③分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。
即当A ＝0且B ≠0时，0AB =。
【例1】 ⑴若分式25x -有意义，则x 的取值范围是( )⑵分式211x x --的值为0，则x 的值为( )2．分式的基本性质，约分，通分①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
()0A A M A MM B B M B M ÷==÷×≠×②利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式。
③通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式。
为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
【例2】 ⑴化简222a b a ab -+的结果为( )分 式⑵化简2244xy y x x --+的结果为( )3．分式的加、减、乘、除、乘方运算分式的乘法 a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法 a c a d a d b d b c b c ⋅÷=⋅=⋅分式的乘方 nnn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同分母分式相加减 a b a bc c c ±±=异分母分式相加减 acadbc ad bcb d bd bd bd ±±=±=0指数幂 01(0)a a =≠ 负整数指数幂 1p p a a -= (a ≠0，且p 为正整数)【例3】 化简22226211296x x x x x x x x -++++÷--+-思想方法吐血大总结：1．分式是否有意义、何时值为零以及基本性质都和分数相近。
分式的概念及其基本性质
n
2
n2
.
3
3
（×） （ ×） （× ）
先 值化代简入求1值-.x1
x -1 x2 2x
然后请自选一个你喜欢的x
解：
1
1 x
x -1 x2 2x
=
x -1 x
x -1
÷ x2 2x …………………
= x - 1 × xx 2………………
x
x -1
= x+2
……………………
当x=1时，则原式=1+2=3 ……………………④ 请你判断以上解题正确吗？若不正确请说明理由.
-
1 2
1.若分式
A B
有意义，则B≠0.
若分式 A 无意义，则B=0.
B A
若分式 B =0，则A=0且B≠0.
2.分式中的系数化整问题：当分子、分母的系 数为分数或小数时，应用分式的性质将分式 的分子、分母中的系数化为整数.
3.解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式 本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不 变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一 个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号.
一 分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以） 一个不等于0的整式，分式的值不变.
用式子表示为：A A M A M M为不为0的整式
B BM BM
2.分式的约分和通分： （1）约分：把分式的分子与分母的公因式约去. （2）通分：把几个异分母的分式分别化为与原分式相 等的同分母的分式.
4.处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都 是利用分式的基本性质变形的.
5.在进行分式的加减运算时，一定要把分子作为一个 整体进行加减，需要添加括号时，一定要添加括号.
分式的基本性质(定义)
应用
在解题过程中，可以利用分式的值不变性质 进行化简和变形，使问题更容易解决。
分式的乘法性质
内容
分式的乘法性质是指，两个分式 相乘时，可以将它们的分子相乘、
分母相乘，得到一个新的分式。
证明
假设有两个分式$frac{a}{b}$和 $frac{c}{d}$，其中$a, b, c, d$都 是实数，且$b neq 0$和$d neq 0$。根据分式的乘法性质，有 $frac{a}{b} times frac{c}{d} = frac{ac}{bd}$。
分式的乘除法
分母乘分母
将两个分式的分母相乘得到新的 分母。
除法转乘法
在进行分式的除法时，可以将除 法转化为乘法，即乘以倒数。
01
02
分子乘分子
在进行分式的乘法时，将两个分 式的分子相乘得到新的分子。
03
约分
在乘法运算后，如果分子和分母 有公因式，可以进行约分，简化 分式。
04
分式的混合运算
优先级
应用
在解题过程中，可以利用分式的除法性质进行化简和变形，使问题更容 易解决。
03
分式的运算
分式的加减法
01
02
03
分母相同
在进行分式的加减法时， 首先确保分母相同，然后 对分子进行加减运算。
通分
如果分母不同，需要先进 行通分，即找一个公共的 分母，使两个分式具有相 同的分母。
约分
在加减法运算后，如果分 子和分母有公因式，可以 进行约分，简化分式。
特殊分式的转换
特殊分式是指分子或分母中含有未知 数的分式。对于这类分式，我们需要 将其转换为一般形式的分式，以便进 行后续的计算或化简。
特殊分式的转换方法包括因式分解、 约分、通分等，具体方法需要根据具 体问题进行分析和选择。
分式的概念和性质 课件
最简分式 ， （1）约分实质是将一个分式化成____________
（2）关键是：确定分子与分母的公因式
最大公因式 与相同因式_______ 最低 次幂的积； 系数的______________ 分解因式 ， 分子、分母中含有多项式时，要先将其____________
再约分.
将下列各式约分： (1)
b b b a a a
对于分式中的分子、分母与分式
本身的符号，改变其中任何两个，
分式的值 不变 ；
改变其中任何一个或三个，分式 成为原分式的 相反数 .
a a b b
a = b
要点五：分式的约分、最简分式
利用分式的基本性质，约去分子和分母的 公因式 ， 不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式 没有相同的因式 分子与分母__________________(1 除外)的分式
x x (2) 2 x 2 2( x 1) 1 1 2 x 1 ( x 1)( x 1)
最简公分母为
x x ( x 1) x2 x 2 x 2 2( x 1)( x 1) 2( x 1)(x 1)
1 1 2 2 2 x 1 2( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1)
解题思路： 关键点：通分的方法 易错点：符号问题 考点、所属类型：分式的通分 总结升华：通分方法 1、找最简公分母 多项式因式分解 系数的最小公倍数 字母或多项式的最高次幂 解题五步走： 2、将分式化为同分母的分式 A正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） C考点 ；D所属类型；E总结升华
M≠0
X2014-11-26 范围变大
D
非同一个
1 x 1 1 2 (1 x) 1 x x 1
高中数学第三章函数的概念与性质3-1函数3-1-1对函数概念的再认识学生用书湘教版必修第一册
3．1 函数3．1.1 对函数概念的再认识教材要点要点一函数的概念(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．要点二两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．状元随笔由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．要点三常见函数的定义域和值域1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为________，值域是________．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__________，当a＞0时，值域为__________________，当a＜0时，值域为__________________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．( )2．下列可作为函数y＝f(x)的图象的是( )的定义域是( )3．函数y＝√x−1A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|x＞1}D．{x|x＜1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型1 函数关系的判断例1 (1)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积(2)设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是( )方法归纳(1)判断所给对应是否为函数的方法 ①首先观察两个数集A ，B 是否非空；②其次验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性，既不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应x .(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．跟踪训练1 (1)(多选)已知集合M ＝{－1，1，2，4}，N ＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝x －1，④y ＝|x |.其中不能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④(2)图中所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4题型2 求函数的定义域 例2 (1)函数f (x )＝√1−x +1x+3的定义域为( )A ．{x |－3＜x ≤0}B ．{x |－3＜x ≤1}C ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤0}D ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}(2)函数f (x )＝(x −12)0＋√x +2的定义域为( )}A．{x|x≥−2且x≠12B．{x|x≥－2}}C．{x|x＞−2且x≠12D．{x|x＞－2}方法归纳求给出解析式的函数的定义域的基本步骤常见函数的定义域(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；(2)由于分式的分母不为0，所以当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；(4)函数y＝x0中的x不为0；(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝√−x的定义域为( )2x2−3x−2A．{x|x≤0}}B．{x|x≤−12}C．{x|x≤0且x≠−12＜x≤0}D．{x|−12的定义域为________．(2)函数y＝√x+3x−2题型3 两个函数是相等函数的判断例3 (多选)下列各组函数是相等函数的是( )A．f(x)＝√−2x3与g(x)＝x·√−2xB ．f (x )＝x 与g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 0与g (x )＝1xD ．f (x )＝x 2－x ＋1与g (t )＝t 2－t ＋1方法归纳判断相等函数的三个步骤和两个注意点(1)判断相等函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 下列函数中与函数y ＝x 2是相等函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )4题型4 函数值与函数的值域例4 (1)设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x+2，求： ①f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)； ②g (f (2))，f (g (2))． (2)求下列函数的值域． ①y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]； ②y ＝2xx+1； ③y ＝x －√1−2x .方法归纳1．函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b±√cx+d(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4 (1)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A．y＝√x B．y＝√xC．y＝1xD．y＝x2＋1(2)已知函数f(x)＝x+1x+2.求f(2)；f(f(1))．易错辨析忽略参数取值范围致误例5 若函数f(x)＝√mx2−mx+2的定义域为R，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)＝√mx2−mx+2的定义域为R，即mx2－mx＋2＞0恒成立．当m＝0时，易知成立，当m≠0时，需满足{m＞0，Δ=m2−8m＜0，∴0＜m＜8，综上所述，0≤m＜8.答案：0≤m＜8易错警示课堂十分钟1．下列各图中，一定不是函数图象的是( )2．函数f (x )＝√1−3xx的定义域为( )A ．{x|x ≤13}B ．{x|x ＜13}C ．{x|0＜x ≤13}D ．{x|x ≤13且x ≠0}3．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．f (x )＝√x 2，g (x )＝(√x )2B ．f (x )＝√x 2，g (x )＝|x |C ．f (x )＝1，g (x )＝x 0D ．f (x )＝x+1x 2−1，g (x )＝1x−14．已知函数f (x )＝11+x ，又知f (t )＝6，则t ＝________． 5．已知函数f (x )＝1x+1+√x +2.(1)求f (x )的定义域； (2)若a ＞0，求f (a －1)的值．第三章 函数的概念与性质3．1 函数3．1.1 对函数概念的再认识新知初探·课前预习要点一实数集 唯一确定 x 要点三 1．R R 2．R [4ac−b 24a，+∞) (−∞，4ac−b 24a][基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．解析：由函数的定义可知D 正确． 答案：D3．解析：要使函数y ＝√x−1有意义，则必须{x −1≥0，√x −1≠0.∴x >1，故选C. 答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.(2)A 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；B 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；C 中，在0≤x <2内，一个x 有两个y 与之对应，不满足条件；D 中，每个x 都有唯一确定的y 与之对应，是函数关系．故选D.答案：(1)A (2)D跟踪训练1 解析：(1)①中，当x ＝4时，y ＝42＝16∉N ，故不能构成函数．②中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故不能构成函数；③中，当x ＝－1时，y ＝－1－1＝－2∉N ，故不能构成函数；④中，当x ＝±1时，y ＝|x |＝1∈N ，当x ＝2时，y ＝|x |＝2∈N ，当x ＝4时，y ＝|x |＝4∈N ，故构成函数．故选ABC.(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象．故选B. 答案：(1)ABC (2)B例2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{1−x ≥0，x +3≠0，解得x ≤1且x ≠－3， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≤1且x ≠－3}，即{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}．故选D. (2)要使函数f (x )有意义，则{x ≠12，x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠12，故选A. 答案：(1)D (2)A跟踪训练2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{−x ≥0，2x 2−3x −2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故选C. (2)∵函数解析式为y ＝√x+3x−2， ∴x ＋3≥0且x ≠2， ∴x ≥－3且x ≠2.答案：(1)C (2){x |x ≥－3且x ≠2}例3 解析：A 中，定义域都是(－∞，0]，但解析式不相同；B 中，g (x )＝√x 2＝|x |与f (x )＝x 解析式不同；C 、D 是相等函数．答案：CD跟踪训练3 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A例4 解析：(1)①f (2)＝2×22＋2＝10；f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20；g (a )＋g (0)＝1a+2+12；②g (f (2))＝g (10)＝110+2＝112；f (g (2))＝f (14)＝2×(14)2＋2＝178.(2)①因为x ∈(－1，3]，所以－12≤－4x <4，所以－9≤3－4x <7， 所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)． ②因为y ＝2xx+1＝2(x+1)−2x+1＝2－2x+1≠2，所以函数y ＝2x x+1的值域为{y |y ≠2}． ③设√1−2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1−t 22，所以y ＝1−t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋1)＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以y ≤12，所以函数y ＝x －√1−2x 的值域为(−∞，12].跟踪训练4 解析：(1)A 中，由x ≥0得y ＝√x ≥0，∴y ＝√x (x ≥0)的值域为[0，＋∞)，A 不符合；B 中，设√x ＝t ，由x >0得t ＝√x >0，由y ＝1t (t >0)的图象知其值域为(0，＋∞)，B 符合；C 中，由y ＝1x (x ≠0)的图象知，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，+∞)，C 不符合；D 中，y ＝x 2＋1≥1，值域为[1，＋∞)，不符合．(2)①f (2)＝2+12+2＝34； ②∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.答案：(1)B (2)见解析[课堂十分钟]1．解析：对于A 选项，由图象可知，存在x 同时对应两个函数值y ，A 选项中的图象不是函数图象；对于B 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，B 选项中的图象是函数图象；对于C 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，C 选项中的图象是函数图象；对于D 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，D 选项中的图象是函数图象．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，只需满足{1−3x ≥0，x ≠0，即x ≤13且x ≠0.故选D.11 答案：D3．解析：对于选项A ：f (x )＝√x 2的定义域为R ，g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是相等函数，故A 不正确；对于选项B ：f (x )＝√x 2＝|x |，g (x )＝|x |是相等函数，故B 正确；对于选项C ：f (x )＝1定义域为R ，g (x )＝x 0＝1，定义域为{x |x ≠0}，定义域不同不是相等函数，故C 不正确；对于选项D ：f (x )＝x+1x 2−1的定义域为{x |x ≠±1}，g (x )＝1x−1的定义域为{x |x ≠1}，定义域不同不是相等函数，故D 不正确；故选B.答案：B4．解析：由f (t )＝6，得11+t ＝6，即t ＝－56.答案：－565．解析：(1)由{x +1≠0x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠－1，故f (x )的定义域为{x |x ≥−2且x ≠−1}；(2)若a >0，f (a －1)＝1a−1+1+√a −1+2＝1a +√a +1.。
分式的概念和性质
分式的概念和性质分式是初中数学的重点之一，它的概念和性质在数学学习中都非常重要。
在学习分式前，我们需要先了解一下什么是分数。
分数是用以表示整体中一部分的数，通常用两个数之间的横线表示。
其中，分数的上面的数叫做分子，下面的数叫做分母。
分数的基本性质是不变性，即分数的分子和分母乘或除以一个数，得到的新分数仍与原来的分数相等。
分数中分数线上下有约定，使分数具有良好的可读性和利于计算。
分式是一种特殊的分数，其中分数线上下分别由两个代数式代替。
其中，分式的分子和分母都可以是整式、分式和带有根式的式子。
分式的性质如下：1.分式的基本性质：两分式整理后可以加减乘除，其中，加减分式的条件是分式的分母相同，乘除分式则相对灵活。
2.分式的转化：①分式的拆分：可以通过因式分解，把分式化为几个分式的和差形式，然后再进行化简。
②通分：通分是把不同分式的分母化为相同的分母，再进行分式的加减运算。
3.分式的简化：①约分：约分是将分式的分子和分母都除以它们的公因数，使分子和分母的最大公约数为1。
②化简：化简是将分式中的分子和分母都除以一个代数式，使它们互质或分子和分母的最大公约数为1。
4.分式的值域：值域是指对于一个分式来说，分母不能为0，分子也不能使式子无解。
因此，我们需要注意分式的值域问题，在分式的运算时，要避免出现分母为0、分式无解等情况。
5.分式的定义域：定义域是指分式中所有的实数值，使得分式的值存在，也就是说，它不存在0为分母的情况。
定义域可以通过化简分式、判断根式、不等式等方法进行确定。
以上就是关于分式的概念和性质的详细解释。
在数学学习中，分式是一个重要的知识点，它不仅广泛应用于代数、数学中，也是日常生活中普遍使用的数学概念之一。
在学习分式时，我们需要搞清楚分式的概念和性质，掌握它们的相关计算方法，这样才能够在数学学习中做好分式的运算和推导。
分式的概念和性质(基础)
分式的概念和性质（基本）【进修目的】1.懂得分式的概念,能求出使分式有意义.分式无意义.分式值为0的前提. 2．控制分式的基赋性质,并能应用分式的基赋性质将分式恒等变形,进而进行前提盘算.【要点梳理】常识点一.分式的概念一般地,假如A.B暗示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.个中A叫做分子,B叫做分母.要点诠释：（1）分式的情势和分数相似,但它们是有区此外.分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母;分数的分子.分母中都不含字母.（2）分式与分数是互相接洽的：因为分式中的字母可以暗示不合的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特定值后的特别情形.（3）分母中的“字母”是暗示不合数的“字母”,但π暗示圆周率,是一个常数,不是字母,如a是整式而不克不及当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个主要标记,断定一个代数式是否是分式不克不及先化简,如2x yx是分式,与xy有差别,xy是整式,即只看情势,不克不及看化简的成果.常识点二.分式有意义,无意义或等于零的前提1.分式有意义的前提：分母不等于零.2.分式无意义的前提：分母等于零.3.分式的值为零的前提：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明白其是否有意义,就必须剖析.评论辩论分母中所含字母不克不及取哪些值,以防止分母的值为零.（2）本章中假如没有特别解释,所碰到的分式都是有意义的,也就是说分式平分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下,才干评论辩论分式的值.常识点三.分式的基赋性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变,这共性质叫做分式的基赋性质,用式子暗示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（个中M是不等于零的整式）.要点诠释：≠0是已知前提中隐含着的前提,一般在解题进程中不另强调;M≠0是在解题进程中别的附加的前提,在应用分式的基赋性质时,必须重点强调M≠0这个前提前提.（2）在应用分式的基赋性质进行分式变形时,固然分式的值不变,但分式中字母的取值规模有可能产生变更.例如：,在变形后,字母x的取值规模变大了.常识点四.分式的变号轨则对于分式中的分子.分母与分式本身的符号,转变个中任何两个,分式的值不变;转变个中任何一个或三个,分式成为原分式的相反数.要点诠释：依据分式的基赋性质有b ba a-=-,b ba a-=-.依据有理数除法的符号轨则有b b ba a a-==--.分式ab与ab-互为相反数.分式的符号轨则在今后关于分式的运算中起着主要的感化.常识点五.分式的约分,最简分式与分数的约分相似,应用分式的基赋性质,约去分子和分母的公因式,不转变分式的值,如许的分式变形叫做分式的约分.假如一个分式的分子与分母没有雷同的因式（1除外）,那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的本质是将一个分式化成最简分式,即约分后,分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的症结是肯定分式的分子与分母的公因式.分子.分母的公因式是分子.分母的系数的最大公约数与雷同因式最低次幂的积;当分式的分子.分母中含有多项式时,要先将其分化因式,使之转化为分子与分母是不克不及再分化的因式积的情势,然后再进行约分.常识点六.分式的通分与分数的通分相似,应用分式的基赋性质,使分式的分子和分母同乘恰当的整式,不转变分式的值,把分母不合的分式化成雷同分母的分式,如许的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的症结是肯定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）假如各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与雷同字母的最高次幂的乘积;假如各分母都是多项式,就要先把它们分化因式,然后再找最简公分母.（3）约分和通分正好是相反的两种变形,约分是对一个分式而言,而通分则是针对多个分式而言.【典范例题】 类型一.分式的概念例1.下列式子中,哪些是整式？哪些是分式？2a ,3x ,1m m +,23x +,5π,2a a,23-．类型二.分式有意义,分式值为0例2.下列各式中,m 取何值时,分式有意义？（1）2m m +;（2）1||2m -;（3）239mm --．【变式1】在什么情形下,下列分式没有意义?（1）3(7)x x x +;（2）21x x +;（3）222x x ++．【变式2】当x 为何值时,下列各式的值为0．（1）2132x x +-;（2）221x x x +-;（3）224x x +-．类型三.分式的基赋性质例3.不转变分式的值,将下列分式的分子.分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y +-; （2）11341123x y x y+-．【变式1】假如把分式yx x 232-中的y x ,都扩展3倍,那么分式的值（ ）A 扩展3倍B 不变C 缩小3倍D 扩展2倍【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-; （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．例4. 不转变分式的值,使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）2a b -;（2）45x y --;（3）3m n -;（4）23bc --．类型四.分式的约分.通分 例5. 将下列各式约分：（1）23412ax x;（2）243153n n x y x y +-;（3）211a a --;（4）321620m m m m -+-．【变式】通分：（1）4b ac ,22a b c ;（2）22xx +,211x -．（3）232a b 与2a bab c -;（4）12x +,244x x -,22x -．【巩固演习】1．在代数式22221323252,,,,,,33423x x xy x x x x π+-+中,分式共有( )．2．使分式5+x x值为0的x 值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．x ≠－53.下列断定错误的是（ ）A ．当23x ≠时,分式231-+x x 有意义B ．当a b ≠时,分式22ab a b-有意义C ．当21-=x 时,分式214x x +值为0D ．当x y ≠时,分式22x y y x--有意义4．x 为任何实数时,下列分式中必定有意义的是（ )A ．21x x +B ．211x x -- C ．11x x -+ D ．211x x -+5．假如把分式y x yx ++2中的x 和y 都扩展10倍,那么分式的值（ ）A ．扩展10倍B ．缩小10倍C ．是本来的32D ．不变6．下列各式中,准确的是（ ）A ．a m ab m b +=+ B ．0a ba b +=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y -=-+ 7．当x ＝______时,分式632-x x无意义． 67x --的值为正数,则x 知足______．9．（1）112()x x x --=- （2）.y x xy x22353)(= 10．（1）22)(1yx y x -=+（2）⋅-=--24)(21y y x2214a b 与36x ab c 的最简公分母是_________.12. 化简分式：（1）3()x y y x -=-_____;（2）22996x x x -=-+_____．x 为何值时,下列分式有意义?（1）12x x +-;（2）1041x x -+;（3）211x x -+;（4）2211x x ---．14．已知分式,y ay b -+当y ＝－3时无意义,当y ＝2时分式的值为0,求当y＝－7时分式的值．15．不转变分式的值,使分子.分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）22xx y--（2）2ba a--（3）2211x xx x---+（4）2231m mm---。
分式的基本概念课件
先找出分子和分母的公因式，然后将其约去。
约分的注意事项
约分时要注意分子和分母的符号，确保约分后符号正确。
通分时应注意的问题
通分的前提
通分前要确保分母是互质的，即分母没有公因式 。
通分的步骤
先找出最简公分母，然后将分子和分母都乘以适 当的整数，使其变为最简公分母的倍数。
通分的注意事项
通分时要注意分子和分母的符号，确保通分后符 号正确。
运算顺序的注意事项
先乘除后加减
在处理混合运算时，应先进行乘除运算，再进行加减运算。
先括号后乘除
在处理带括号的运算时，应先进行括号内的运算，再进行乘除运 算。
先指数后乘除
在处理指数运算时，应先进行底数的乘除运算，再进行指数的乘 除运算。
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运算关系
整式和分式在一定条件下 可以相互转化，进行运算 时可以统一处理。
实际应用
在解决实际问题时，有时 需要将整式转化为分式来 简化计算，有时则需要将 分式转化为整式来处理。
分式与根式的关系
定义
根式表示开方运算的结果，而分 式表示分数形式的代数式。
性质
根式具有根号的性质，如根号的 开方和乘除法等，而分式则具有 分数的性质，如约分、通分、加
分式的性质
总结词
分式具有一些重要的性质，这些性质决定了分式的运算和化 简方法。
详细描述
分式的性质包括分式的约分、通分、分式的乘除法等。约分 是将分子和分母中的公因式约去，使分式化简；通分是将分 母变为相同，以便进行加减运算；分式的乘除法则是直接将 分子和分母相乘或相除。
分式的符号
总结词
分式的符号表示分式的正负关系和分母的取值范围。
分式知识点总结PPT
分式可以表示销售增长率，如“销售增长率=（本期销售 额-上期销售额）/上期销售额”。
06 分式的综合应用与提高
CHAPTER
分式在函数中的应用
分式函数定义域
01
掌握分式函数定义域的求解方法，理解分母不能为零的原则。
分式函数值域
02
学会求分式函数的值域，掌握分子分母同号或异号时值域的特
点。
工作效率
在工程问题中，分式常用来表示工作效率，如“单位时间内完成 的工作量”。
工程进度
分式可以表示工程的进度，如“已完成的工程量与总工程量的比值 ”。
合作完成工程
当多个单位或个人合作完成一项工程时，可以用分式来表示各自完 成的工作量占比。
行程问题中的分式应用
1 2
速度、时间、路程关系
在行程问题中，分式常用来表示速度、时间和路 程之间的关系，如“速度=路程/时间”。
分式化简与求值的注意事项
确保化简过程正确
在化简过程中，要确保每一步操 作都符合数学规则，避免出现错
误。
注意符号问题
在化简过程中，要注意分子、分母 以及整个分式的符号，避免出现符 号错误。
验证结果
在求出分式的值后，可以通过代入 原式或其他方法进行验证，确保结 果的准确性。
04 分式方程及其解法
CHAPTER
分式方程的定义及分类
定义
分母中含有未知数的方程称为分式方 程。
分类
根据方程中未知数的最高次数，可分 为一元一次分式方程、一元二次分式 方程等。
分式方程的解法及步骤
去分母
通过找公共分母或通分的方法， 将分式方程转化为整式方程。
解整式方程
利用整式方程的解法，求出方程 的解。
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内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．知识点睛中考要求分式的基本概念及性质一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例5】⑴x为何值时，分式1111x++有意义？⑵要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例6】x为何值时，分式1122x++有意义？【例7】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？例题精讲【例8】 若分式25011250x x -++有意义，则x ； 若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例9】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例10】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例11】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例12】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【巩固】当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288x x +⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例13】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【巩固】若22x x a-+的值为0，则x = .【巩固】若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【巩固】若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例14】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【巩固】若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例15】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【巩固】x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【巩固】若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .四、分式的基本性质【例16】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例17】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xyx y- ⑶22x y x y -+【巩固】把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例18】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
（1）0.3 1.20.051x x +-； （2）115710.12x yx y -+【例19】 不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数：（1）212a a ---； （2）322353a a a a -+---【例20】 求下列各组分式的最简公分母⑴277a -，2312a a a-+，211a - ⑵2145x x --，232xx x ++，22310x x x --⑶22a ab a ab +-，22ab b ab -，222a ab -⑷231881x x -+，2281x -，211881x x ++【例21】 通分：⑴238x y -，3512x yz ，3320xy z - ⑵1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+ ⑶2n m mn -，2m n mn -，221m n - ⑷1()()a b a c --，1()()b c b a --，1()()c a c b --【例22】 下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式。
（1）22444x x x -+- （2）()()6334a a b b a -- （3）222x y y -； （4）2221288x x x x ++++【巩固】以下分式化简：①42226131x x x x ++=--；②x a ax b b+=+；③22x y x y x y +=++；22x y x y x y -=++。
其中错误的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【例23】 约分：⑴32324______30x y x y -=；⑵262______31x xx +=+【例24】 化简：232428_______416n nn n nx x x x x +++-=++．【巩固】（6级）约分：（1）22366m mm m +-- （2）2222444y x x xy y -+-+- （3）14162n n a b a b +-（n 是大于1的整数）； （4）2222142n nn n nx x x x x +++---（n 是正整数）1.⑴x 为何值时，分式2141x x ++无意义？ 课后作业⑵x 为何值时，分式2132x x -+有意义？⑶x 为何值时，分式211x x -+有意义？2. 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________． 3. 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值. 4. 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；5.（6级）若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-6.（4级）约分： ⑴232215____20a b c b c -=⑵224____16x x x -=-⑶2(2)____2x y y x-=-⑷22____mx my x y +=-⑸222249____4129x y x xy y -=++ ⑹22412____710x x x x --=++ ⑺2222222____2a b c bc c a b ab--+=--+⑻11234____18m m m m x y x y +-+-=。