势函数分析高斯光束在对数饱和

L SNM 中的光束宽度的势函数曲线形成了一
个势阱。对于势阱底部这一点, 显然有 5 V 5Ρ = 2 2 0, 5 V 5Ρ > 0, 故它是一个稳定平衡点。 当粒 子处于平衡位置时, 如果没有扰动, 粒子将保持 平 衡状态; 如果受到扰动, 粒子将偏离平衡态, 但是这种偏离所产生的力总是力图使粒子恢复 到 它的平衡位置, 并且使粒子在平衡位置作有 界 振动。 粒子在势阱中的这种振动方式可很好 地 描述光束宽度的周期变化。 当光束的初始参 量满足 ( d Ρ d z ) in = 0, V ( Ρ) in = V m in 时, 如果不
在介质中传输的强激光必然会引起介质的非线性效应, 而介质的非线性效应反过来又会 影响光束的传输。 于是人们在设计高功率激光系统时, 不可避免地要研究强激光光束与介质的 非线性相互作用。 过去几十年, 人们对强激光光束在克尔介质中的传播行为进行了广泛的研 究[ 1 ]。研究表明, 在克尔介质中传播的光束, 当其光强超过临界值, 就会发生自聚焦。这时光束 将激烈地收缩形成细丝 ( 这种细丝结构与光束的横向分布有关) , 其光强将随之增加。 当光强超 过介质的损伤阈值时就会损坏介质。 这一因素限制了高功率激光传输系统的设计。 一般来说, 介质的非线性效应应具有可饱和性。 折射率与光强成线性变化的非线性只能描 述自聚焦的初始行为, 随着光束直径的逐渐减小, 光强将越来越高, 饱和效应将变得越来越不 可忽略。 人们已经发现了具有饱和效应的介质, 克尔饱和介质就是其中的一类。 文献 [ 2, 3 ] 分 析了光束在克尔饱和介质中的传输行为, 指出了由于饱和效应的出现, 强激光光束在这种介质 中传播时, 不会出现灾变式的自聚焦, 光束可能传播很长一段距离而其横向尺寸不发生任何变 化。也就是说, 在克尔饱和介质中传播的光束可能形成稳定的空间孤子。近几年人们还发现另 一类饱和非线性介质, 因为它的饱和行为可以用对数函数来描述, 所以这类介质被称为对数饱 和非线性介质 (L SNM ) [ 4～ 6 ]。 文献 [ 4 ] 从理论上预言了在 L SNM 中传播的高斯光束形成呼吸模 式的可能性; 文献 [ 5 ] 通过实验观察到了在这种介质中形成的呼吸模式。 本文将较为详细地研究在 L SNM 中传播的基模高斯光束所形成的呼吸模式。 我们从光束 传播方程出发, 导出了在 L SNM 中的高斯光束宽度随传播距离变化的解析表达式。 将此方程 与粒子在势阱中的运动方程对照, 发现光束的宽度可类比粒子在势阱中的位置, 它对传播距离 的导数可类比粒子的速度。 在得到了约束光束宽度变化的势函数后, 分析了基模高斯光束在 L SNM 中的传播行为, 得到产生空间孤子的条件。对势采用二阶近似后, 对初始条件偏离孤子 的情况进行了分析, 得到了光束在 L SNM 中传播时形成的呼吸模式的近似解析解, 并得到了 呼吸深度和呼吸周期的表达式。
第 11 卷 第 2 期 1999 年 4 月
强
激
光
与
粒
子
束
H IGH POW ER LA SER AND PA R T ICL E B EAM S
. 11,N o. 2 Vol A p r. , 1999
文章编号: 1001- 4322 ( 1999) 02- 0149- 05
势函数分析高斯光束在对数饱和 非线性介质中的传播
k0
d2 Ρ 1 = 3 dz 2 k 0Ρ
2k 0 n 2
n0Ρ
( 4)
在解出光束宽度 Ρ 后, 就能够通过耦合方程组 ( 3) 解出其它几个参量, 因此将着重分析参量 Ρ 随传播距离 z 的变化。 从 ( 4) 式可见, 光束宽度 Ρ 随传播距离 z
V ( Ρ) =
2k 0 n 2 1 + ln Ρ + C 0 2k 0 Ρ2 n0
第2期
唐永林等: 势函数分析高斯光束dΡ 2 ( ) + V ( Ρ) = ( ) in + V ( Ρ) in = W 2 dz 2 dz
in
( 7)
上式对应粒子能量守恒, 初始量 ( 用下标 in 表示) 就是粒子的初始能量。 粒子在势的约束下其 能量包括动能 ( 含 d Ρ d z 项) 和势能 ( 含V ( Ρ) 项) 。 光束宽度沿传播方向的变化趋势 d Ρ d z 对应 粒子运动的速度, d Ρ d z 的符号反映了光束的收缩 ( d Ρ d z < 0) 或扩展 ( d Ρ d z > 0) 。 在自由空 间中传播的高斯光束, 可用束腰腰斑尺寸 Ρ0 和距离束腰位移 z in , 或用 d Ρ d z 和 Ρ 来描述, 这四 个参量只要知道其中两个就可以求出另外两个。 由此可以写出 W in 的另一种表达式
射率变化。 在此, 已假设介质具有各向同性, 且介质的非线性响应是瞬时的。 对于 L SNM , ∃ n = 2 2 n 2 ln ( 1 + I I t ) 。 随着光强 I 的增加, ∃ n 其中 n 2 为非线性系数, I = E = A , I t 为阈值强度。 以对数关系缓慢增加。 需要说明的是, 尽管对数函数不能描述通常意义的饱和, 即光强趋于无 穷大时, 对数函数值并没有趋于一定值, 但因为受实际因素 ( 如介质损伤阈值等) 的限制, 光束 光强不会太大, 也就是说, 在实际运用中光强在一定变化范围内近似用对数函数来描述这类非 线性介质的饱和行为是可行的、有效的。在一般情况下均有 I µ I t , 此时可以近似认为 ∃ n = n 2 ln ( I I t ) 。 为简单起见, 仅考虑圆柱对称情况, 此时高斯光束的普遍形式可设为 A ( r , z ) =
Ξ
唐永林, 陈建国, 李大义, 康 俊, 张科军
( 四川大学光电科学技术系, 成都 610064)
摘 要: 导出了在对数饱和非线性介质中传播的强激光基模高斯光束宽度随传播距离 变化的方程。 此方程与势作用下粒子的运动方程形式一致, 因此可用势作用下的粒子行为来描 述高斯光束的呼吸模式。 对势函数采用二阶近似后, 求解此方程得到高斯型呼吸模式的光束宽 度的近似解析式。 分析了呼吸周期和呼吸深度与入射条件的关系, 以及形成空间孤子的条件。 关键词: 高斯光束; 对数饱和非线性效应; 空间孤子; 呼吸模式 中图分类号: O 437 文献标识码: A
B ( z ) exp {2 2 2 r 2Ρ ( z ) + i [ Α( z ) + Β ( z ) r ]}, 将其代入 ( 2) 式, 得
dB d z + 2Β B k0 = 0 d Ρ d z - 2ΒΡ k 0 = 0 d Α dz + 1 (k 0 Ρ ) 2 4 2
( 3a ) ( 3b )
Ξ
1998 年 12 月 3 日收到原稿, 1999 年 1 月 6 日收到修改稿。 唐永林, 男, 1971 年 1 月出生, 博士研究生
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150
强
激
光
W
in
=
k0
2 Ρ2 2k 0 n 2 0 z in 1 + ln ( Ρ0 2 + 2 2 2 z + z2 n0 2k 0 Ρ2 0 z in 0 ( 1 + z in z 0 ) 4 0
2 1 + z2 in z 0 )
( 8)
其中 z 0 = Π Ρ2 。 在下面的分析中, 为方便起见采用 d Ρ d z 和 Ρ 的描述方式。 0 Κ 图 1 给出了圆对称基模高斯光束在 L SNM 中 的 势 函 数 曲 线。 从 图 中 可 见, 在
2 2
( 5)
这里 C 0 是任意常数, 可以取作零。 于是方程 ( 4) 可化为
k 0d Ρ dz = -
5 V 5Ρ
( 6)
将 k 0 比作粒子的质量, V ( Ρ) 比作势, 则上式与粒子在势阱中的运动方程是一样的。 由 ( 6) 式积 分可得
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1 光束的呼吸模式
对于光束
E = A ( x , y , z ) exp ( ik 0 z i Ξt)
2
( 1)
其慢变包络 A ( x , y , z ) 满足下列近轴传播方程
i 2k 0
[1]
5 A + 5z
2
⊥A
+ 2k 2 0
∃n ( A
n0
)
A = 0
2
( 2) ) 是光强引起的折
这里 k 0 = k n 0 , k = 2Π Κ , n 0 是介质折射率, Κ是真空波长, Ξ 是频率, ∃ n ( A
F ig. 1 V ariation of the po ten tial function offundam en tal Gau ssian beam s in the logarithm ically non linear m ed ium
图 1 基模高斯光束在 L SNM 中的势函数曲线
受到扰动, 则光束宽度将稳定不变, 这就形成了稳定的空间孤子传输。 由5 V 5Ρ = 0, 可以解得 孤子宽度 Ρs = 1 ( k 0
2
( k 0 n 2 n 0 ) ln (B
2 2 2 2 0 0
I t) = 0
2
( 3c) ( 3d )
d Β d z - 1 ( 2k 0 Ρ ) + ( 2Β k 0 ) + k 0 n 2 ( n 0 Ρ ) = 0
由 ( 3a ) 和 ( 3b ) 可解出功率守恒关系 B ( z ) Ρ ( z ) = B Ρ 。 由 ( 3b ) 和 ( 3d ) 得出光束宽度变化满 足: