利用平凡不等式证明竞赛不等式

合集下载

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全摘要：一、引言二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.其他不等式三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧2.柯西不等式的应用及解题技巧3.排序不等式的应用及解题技巧4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧5.其他不等式的应用及解题技巧四、高中竞赛不等式公式大全的总结正文：一、引言不等式作为数学中的一个重要部分，在高中竞赛中占据着举足轻重的地位。

熟练掌握各类不等式及其应用，对于提高竞赛成绩具有至关重要的作用。

本文将为您整理一份高中竞赛不等式公式大全，助您竞赛之路一臂之力。

二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式基本不等式是最常见的不等式类型之一，主要包含算术平均数与几何平均数的不等式、调和平均数与几何平均数的不等式等。

2.柯西不等式柯西不等式是一种在向量空间中的重要不等式，它可以用于证明其他许多不等式，同时也是解决某些问题的重要工具。

3.排序不等式排序不等式是一种与排序相关的不等式，可以用于解决一些与排序有关的问题，如求解排序问题、证明排序的稳定性等。

4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种在概率论和统计学中常见的不等式，可以用于求解一些概率和方差的问题。

5.其他不等式除了以上常见的不等式类型，还有一些其他的不等式，如赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式等。

三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧基本不等式在求解一些最值问题、比较大小问题等方面有着广泛的应用。

解题时需要注意观察题目条件，灵活运用基本不等式。

2.柯西不等式的应用及解题技巧柯西不等式在求解一些向量空间中的最值问题、证明其他不等式等方面具有重要意义。

解题时应熟练掌握柯西不等式的形式，灵活运用。

3.排序不等式的应用及解题技巧排序不等式在解决排序问题、证明排序的稳定性等方面具有重要意义。

解题时需要注意排序不等式的适用范围，正确运用。

4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧切比雪夫不等式在求解一些概率和方差的问题中具有重要作用。

不等式性质的三个应用

不等式性质的三个应用陈凯辉关于不等式的性质及其推论有哪些应用教材中叙述很少，但我们学习不等式的性质及其推论时非常关心如何和其他章节内容相结合，如何应用它们解题，下面就其应用，举例加以说明。

一、利用不等式性质证明不等式利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。

解决此类问题一定要在充分理解的基础上，记准不等式的性质并注意在解题中灵活准确地应用。

例1 若0e ,0d c ,0b a <<<>>，求证：db ec a e ->-。

本题考查同学们对不等式性质的掌握程度，注意性质的使用条件。

证明：∵0d c ,0d c >->-<<，且0b a >>， ∴db 1c a 1,0d b c a -<->->-。

而0e <，所以d b e c a e ->-。

二、利用不等式性质求范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，但这种转化不是等价变形。

在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎。

应先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过一次不等式关系的运算，求得待求的范围，这是解这类题的最有效的方法。

例2 已知二次函数bx ax )x (f 2+=，且满足4)1(f 2,2)1(f 1≤≤≤-≤，求)2(f -的取值范围。

如果试图把b a 、从两个约束不等式中解出来，然后求)2(f -的范围，这是一种扩大解集的方法，若用)1(f )1(f 、-表示)2(f -，用待定系数法求此三者的关系，就不会出错。

解：令)1(nf )1(mf )2(f +-=-，即b )m n (a )n m ()b a (n )b a (m b 2a 4-++=++-=-。

比较两边的系数，得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=+.1n ,3m 2m n ,4n m 又∵4)1(f 2,2)1(f 1≤≤≤-≤，∴10)2(f 5),1(f )1(f 3)2(f ≤-≤+-=-。

几个常用不等式证明不等式方法辛

不等式是高等数学中的一个重要工具。

运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。

这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。

几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。

2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。

3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。

4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。

用均值不等式证明不等式

用均值不等式证明不等式【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。

要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。

【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧均值不等式设 n a a a 、、、 21 是 n 个正数，则不等式)()()()(a Q a A a G a H ≤≤≤称为均值不等式[1]．其中na a a na H 111)(21+++=，nn a a a a a a G 121)(=，na a a n A n+++=21)(，na a a n Q n22221)(+++=分别称为 n a a a 、、、 21 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例1 设1a 、2a 、…、n a 均为正，记)()(2121nn na a a na a a n n -+++=ψ试证：)1()(-≥n n ψψ，并求等号成立的条件．证明由所设条件，得)1()(--n n ψψ=)1)(1()(11211212121-----++---+++n n n nn na a a n a a a n a a a na a a n=11211212121)1()(-=--++++--+++n n n n n n a a a n a a a a a a n a a a=n n n n n a a a n a a a n a 12111121)())(1( --+--，将)()(a A a G ≤应用于n 个正数：n a ，个）（11112111121)(-----++n n n n n a a a a a a ，有 11112112(1)()()n n n n n a n a a a a a a n--+-≥ ，即11112112(1)()()n n n n n a n a a a n a a a --+-≥ ．所以)1()(-≥n n ψψ，当且仅当11121)(--=n n n a a a a ，即1121n n n a a a a --= 时等号成立．此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信息找n a a a 、、、 21 的一类题．例2 设0=++z y x ，求证：32222333)()(6z y x z y x ++≤++．证明当0===z y x 时不等式显然成立．除此情况外，z y x 、、中至少有一正一负．不妨设0<xy ，因为)(y x z +-=，所以22222333233354)](3[6])([6)(6zy x y x xy y x y x z y x I =+-=+-+=++=．若由此直接用)3()()(=≤n a A a G ，只能得到较粗糙的不等式32223222222)(2)3(5454z y x zy x z y x I ++=++≤=，如果改用下面的方法，用)()(a A a G ≤，便得32322222)22(3222162221654xy z z xy xy zxy xy zy x I +=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅==，再注意到xy z xy y x y x 22)(2222+=-+=+，因而222222z y x xy z ++=+，于是即得欲证的不等式．此题解题的关键在于构造n a a a 、、、 21通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题．例3 设0>x ，证明：64122222xxx⋅≥+．(第16届全苏数学竞赛试题[2])证明此不等式的外形有点像均值不等式．由)()(a A a G ≤，得24124124122222222xx xxxx+⋅=⋅⋅≥+，又612141121412)(2x x x xx =≥+，即得要证的不等式．结语有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。

不等式的性质及应用

反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最优化问题、数列问题、解析几何问题等。

均值不等式八种技巧

运用均值不等式的八类拼凑技巧一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数)01y x x =<<的最大值。

解：y ==。

因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。

故max 9y =。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。

当且仅当()2224x x=-，即x ==”。

故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。

二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。

解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。

利用带参数的柯西不等式证明竞赛题

利用带参数的柯西不等式证明竞赛题竞赛题：已知数列{an}是一个正数数列，且满足a1>1/2, a2>1/3, a3>1/4, ..., an>1/n 求极限limn→∞ an = ?柯西不等式是由美国数学家詹姆斯·柯西在1867年提出的不等式，即对于所有实数关系式：μ(x1,x2,···,xn)≤[x11+x22+···+xnn]1/n其中μ(x1,x2,···,xn)是非负的算术平均数，即x1+x2+···+xn/n。

在本题中，已知数列{an}是一个正数数列，且满足a1>1/2, a2>1/3, a3>1/4, ..., an>1/n，我们使用柯西不等式来证明极限limn→∞ an = ∞。

首先，我们根据已知条件可以构造一个数列：x1=1/2，x2=1/3，x3=1/4，…,xn=1/n, 由柯西不等式可知，μ(x1,x2,···,xn)≤[x11+x22+···+xnn]1/n。

根据已知情况，可以得到μ(x1,x2,···,xn) = 1/2+1/3+1/4+…+1/n = an, 同时[x11+x22+···+xnn]1/n = (1/22+1/32+1/42+…+1/n2)1/n = 1/n。

由此可见，an > 1/n，即a1 > 1/2, a2 > 1/3, a3 > 1/4, …,an > 1/n，由此，可以得出结论，limn→∞ an = ∞。

综上所述，我们利用柯西不等式证明了竞赛题，即对于已知数列{an}是一个正数数列，且满足a1>1/2, a2>1/3, a3>1/4, ..., an>1/n，极限limn→∞ an = ∞。

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

高中数学竞赛不等式的证明方法 (比较法)

证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。

不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。

对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。

不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。

在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。

一．比较法一般而言，比较法有两种形式：（1）差值比较法：欲证B A ≥，只需证0≥-B A 即可；（2）商值比较法：若0>B ，欲证B A ≥，只需证1≥BA即可。

注意在利用比较法证明不等式时，常需要对所要证明的不等式进行恰当的变形，如因式分解、拆项、合并项等。

一．差值比较法要证明b a >，最基本的方法就是证明0>-b a ，即把不等式的两边相减，转化为比较差与0的大小问题。

这种方法称为差值比较法，有时也叫做比差法。

差值比较法证明不等式的步骤：“作差――变形――判断符号”，为了便于判断符号，往往把差式变形为积的形式或完全平方形式。

例1．已知b a ,都是正数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+。

分析：可以把不等式两边相减，通过适当的变形，转化为一个能明确确定正负的代数式。

证明：)()()()()()(b a b b a a b ab b a a ab b a b a ---=---=+-+2232232233＝222))(())((b a b a b a b a -+=-- 因为b a ,都是正数，所以0>+b a ，又因为b a ≠，所以0)(2>-b a 从而0))((2>-+b a b a ，即0)()(2233>+-+ab b a b a 所以2233ab b a b a +>+。

评注：此题是不等式证明的典型题目，其拆项是有一定的技巧的，需要有较强的观察能力。

全国高中数学竞赛专题-不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。

）例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|. 解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x aa -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。

）例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+，因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+，所以原不等式成立。

例 4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤-证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-，所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-，所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-，也就是证)1)(1()1)(1(b a b b a b a a b a ---≤---，只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。

数学竞赛中的不等式知识点总结

数学竞赛中的不等式知识点总结数学竞赛在学生的学习中扮演着很重要的角色，不仅能够提高学生的数学素养，还能够培养学生的逻辑思维能力和解题能力。

在数学竞赛中，不等式是一个非常重要的知识点，很多的数学竞赛都会考察不等式相关的题目，因此在备战数学竞赛的过程中，掌握好不等式知识点是非常必要的。

1.基本不等式基本不等式是指在所有正整数中，算术平均数大于等于几何平均数。

即对于任意正整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，都有：$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$基本不等式是不等式中最基础的知识点，但是在数学竞赛中应用的非常广泛，尤其是在证明其他不等式定理时，基本不等式起到了非常重要的作用。

2.均值不等式均值不等式是指在所有实数中，算术平均数大于等于几何平均数。

均值不等式分为两种情况，一种是两个数的情况，另一种是多个数的情况。

两个实数$a$和$b$的均值不等式如下：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$多个实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$的均值不等式如下：$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$均值不等式是在基本不等式的基础上发展起来的，应用范围比基本不等式更广泛，也更加灵活。

3.柯西不等式柯西不等式是指两个向量的点积不大于这两个向量的模的乘积。

柯西不等式可用于证明其他不等式，也可作为求极值的工具在数学竞赛中得到广泛应用。

柯西不等式如下：$(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2 \leq(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$是任意实数。

权方和不等式在竞赛中的应用

权方和不等式在竞赛中的应用吕顺宁（云南省易门县第一中学６５１１００）吕顺宁中学高级教师，玉溪市高中数学学科带头人，玉溪市高中数学名师工作室成员，在《数学教学》、《数理天地》、《中学数学教学》、《中学数学研究》、《中学数学月刊》、《数学教学研究》等刊物发表论文多篇。

１．权方和不等式及推论权方和不等式：设ａｉ，ｂｉ＞０，则∑ｎｉ＝１ａｍ＋１ｉｂ　ｍｉ≥（∑ｎｉ＝１ａｉ）ｍ＋１（∑ｎｉ＝１ｂｉ）ｍ，ｍ＜－１或ｍ＞０，∑ｎｉ＝１ａｍ＋１ｉｂ　ｍｉ≤（∑ｎｉ＝１ａｉ）ｍ＋１（∑ｎｉ＝１ｂｉ）ｍ，－１＜ｍ＜０．取等条件：ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ．特别地，当ｍ＝１时，得推论ａ２１ｂ１＋ａ２２ｂ２＋…＋ａ２ｎｂｎ≥（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）２ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ．取等条件：ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ．２．竞赛中的应用例１已知ｘ＞０，ｙ＞０，且１２ｘ＋ｙ＋１ｙ＋１＝１，则ｘ＋２ｙ的最小值为．（２０１９年甘肃省预赛）解令λ（２ｘ＋ｙ）＋μ（ｙ＋１）＝ｘ＋２ｙ＋μ，比较对应项的系数，得２λ＝１，λ＋μ＝２，｛解得λ＝１２，μ＝３２，烅烄烆结合已知，由权方和不等式的推论，得１＝１２ｘ＋ｙ＋１ｙ＋１＝１２１２（２ｘ＋ｙ）＋３２３２（ｙ＋１）＝１２槡（）２ｘ＋１２ｙ＋３２槡（）２３２ｙ＋３２≥１２槡＋３２槡（）２ｘ＋２ｙ＋３２＝２＋槡３ｘ＋２ｙ＋３２，去分母，化简整理得ｘ＋２ｙ≥１２＋槡３．由取等条件，易得当且仅当ｘ＝１２＋槡３３，ｙ＝槡３３时，上述不等式取等号，故所求最小值为１２＋槡３．例２已知正实数ｘ，ｙ满足１ｘ＋３ｙ＋·５３·２０２１年第１期“希望杯”与其它数学竞赛《数理天地》高中版１２ｘ＋ｙ＝１，则ｘ＋ｙ的最小值为．（２０２０年四川省预赛）解令α（ｘ＋３ｙ）＋β（２ｘ＋ｙ）＝ｘ＋ｙ，比较对应项的系数得α＋２β＝１，３α＋β＝１，｛解得α＝１５，β＝２５，烅烄烆变形已知条件等式并用推论，得１＝１ｘ＋３ｙ＋１２ｘ＋ｙ＝１５１５（ｘ＋３ｙ）＋２５２５（２ｘ＋ｙ）＝１５槡（）２１５ｘ＋３５ｙ＋２５槡（）２４５ｘ＋２５ｙ≥１５槡＋２５槡（）２１５ｘ＋３５ｙ＋４５ｘ＋２５ｙ＝１５槡＋２５槡（）２ｘ＋ｙ，去分母化简整理，得ｘ＋ｙ≥３＋槡２　２５，由取等条件，易得当且仅当ｘ＝４　＋槡２１０，ｙ＝２　＋槡３　２１０时，上述不等式取等号，故所求最小值为３　＋槡２　２５．例３已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ为正数，且ａ＋２０ｂ＝ｃ＋２０ｄ＝２，则１ａ＋１ｂｃｄ的最小值为．（２０２０年福建省预赛）解由已知条件及二元均值不等式，得０＜ｃｄ＝１２０（ｃ·２０ｄ）≤１２０ｃ＋２０ｄ２（）２＝１２０，所以１ｃｄ≥２０，由推论得１ａ＋１ｂｃｄ≥１ａ＋２０ｂ＝１２ａ＋２０２２０ｂ≥（１＋２０）２ａ＋２０ｂ＝４４１２，由取等条件易得当且仅当ｃ＝２０ｄ且１ａ＝２０２０ｂ，即ａ＝ｂ＝２２１，ｃ＝１，ｄ＝１２０时等号成立，故所求最小值为４４１２．例４设ａ，ｂ，ｃ为正实数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证：（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）·ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ（）≥１２．（２０２０年甘肃省预赛）证明首先由二元均值不等式，得ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１２［（ａ２＋ｂ２）＋（ｂ２＋ｃ２）＋（ｃ２＋ａ２）］≥１２（２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ）＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，①结合已知条件，由推论得ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ＝ａ２ａ（ｂ＋ｃ）＋ｂ２ｂ（ｃ＋ａ）＋ｃ２ｃ（ａ＋ｂ）≥（ａ＋ｂ＋ｃ）２２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＝１２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ），②将不等式①和②相乘，得（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ（）≥１２，·６３·《数理天地》高中版“希望杯”与其它数学竞赛２０２１年第１期由取等条件易知当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１３时等号成立，故不等式获证．例５已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ为正实数，且ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝１，求证：ａ３ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｂ３ａ＋ｃ＋ｄ＋ｃ３ａ＋ｂ＋ｄ＋ｄ３ａ＋ｂ＋ｃ≥１３．（２０２０年新疆预赛）证明记不等式左边为Ｍ，结合题设，由二元均值不等式可得ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２≥ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝１，故由推论可得Ｍ＝（ａ２）２ａ（ｂ＋ｃ＋ｄ）＋（ｂ２）２ｂ（ａ＋ｃ＋ｄ）＋（ｃ２）２ｃ（ａ＋ｂ＋ｄ）＋（ｄ２）２ｄ（ａ＋ｂ＋ｃ）≥（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２）２２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＋ａｃ＋ｂｄ）≥ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＋ａｃ＋ｂｄ）．（＊）下面证明：ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２≥２３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ａｃ＋ｂｄ）成立．事实上（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ）＋ａｃ＋ｂｄ＝１＋ａｃ＋ｂｄ≤（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２）＋（ａｃ＋ｂｄ）≤ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＋１２［（ａ２＋ｃ２）＋（ｂ２＋ｄ２）］＝３２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２），所以ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２≥２３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ａｃ＋ｂｄ），将该不等式逆向代入（＊）式即得所证不等式．（上接第３４页）所以ｌｎ（ｙ－ｘ＋１）＞０，且｜ｘ－ｙ｜与１的大小不确定，故（Ｃ）（Ｄ）无法确定．故选（Ａ）．注本解法的思路与解法２相同，不同之处是判断函数ｆ（ｔ）＝２ｔ－３－ｔ的单调性采用导数法，这也是判断函数单调性的常用方法．２．试题探源问渠那得清如许，唯有源头活水来，对试题的探源，可以让我们更深刻地认识问题．（１）已知ｘ，ｙ∈Ｒ，且３ｘ＋５ｙ≤３ｙ＋５－ｘ，则下列关系式中成立的是（）（Ａ）ｅｘ－ｙ≥１．（Ｂ）ｅｙ－ｘ≥１．（Ｃ）ｌｎ（ｘ－ｙ）≥０．（Ｄ）ｌｎ（ｙ－ｘ＋１）≥１．（第２３届“希望杯”高二１试）（２）若（ｌｏｇ７５）ｘ－（ｌｏｇ３５）ｘ≥（ｌｏｇ７５）－ｘ－（ｌｏｇ３５）－ｙ，则（）（Ａ）ｘ－ｙ≥０．（Ｂ）ｘ＋ｙ≥０．（Ｃ）ｘ－ｙ≤０．（Ｄ）ｘ＋ｙ≤０．（第２０届“希望杯”高一培训）可以看出今年考题的“母题”来源于上述竞赛题，只是将题目进行适当的改编而已，这说明命题专家很重视命题的传承和相互借鉴．所以在高考的备考中，除了要进行高考真题的训练外，还可以适当加入一些接近高考难度的高中竞赛题的训练．３．试题推广由高考题及试题的题源，容易得到下列推广结论：结论１已知ａ＞１，ｂ＞１，且ａｘ－ａｙ≤ｂ－ｘ－ｂ－ｙ，则ｘ≤ｙ．结论２已知０＜ａ＜１，０＜ｂ＜１，且ａｘ－ａｙ≤ｂ－ｘ－ｂ－ｙ，则ｘ≥ｙ．结论３已知０＜ａ＜１，ｂ＞１，且ａｘ－ｂｘ≤ａ－ｙ－ｂ－ｙ，则ｘ＋ｙ≥０．结论４已知ａ＞１，０＜ｂ＜１，且ａｘ－ｂｘ≤ａ－ｙ－ｂ－ｙ，则ｘ＋ｙ≤０．·７３·２０２１年第１期“希望杯”与其它数学竞赛《数理天地》高中版。

由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式

㊀㊀㊀由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式◉甘肃省华池县第一中学㊀路李明均值不等式与柯西不等式是历年数学竞赛的热点内容,利用这两类不等式解题的关键是恰当创设应用公式的结构形式,通常需要转化㊁变形甚至构造,还需要很丰富的想象能力．对一些较为复杂的不等式问题,有时要把这两类不等式联袂方可达到事半功倍的效果!笔者通过近两年的几道数学期刊征解问题㊁国内外数学竞赛题的解析与各位读者共勉．例１㊀(«数学通讯»２０２０年第８期问题４６０)已知正实数a ,b ,c 满足a b c ＝１,求证:１＋a b ２c ２０２０＋１＋b c ２a ２０２０＋１＋c a ２b ２０２０ȡ１８３(a ４０４０＋b ４０４０＋c４０４０)．证明:由柯西不等式的变形公式,得１＋a b ２c ２０２０＋１＋b c ２a ２０２０＋１＋c a ２b ２０２０＝１c ２０２０＋１a ２０２０＋１b ２０２０æèçöø÷＋a b ２c ２０２０＋b c ２a ２０２０＋c a ２b ２０２０æèçöø÷ȡ(１＋１＋１)２c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＋(b a ＋cb ＋a b )２c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０ȡ９c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＋(３３a b c a b c )２c ２０２０＋a ２０２０＋b２０２０＝１８c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＝１８(c２０２０＋a２０２０＋b２０２０)２ȡ１８３(a ４０４０＋b ４０４０＋c ４０４０)．例２㊀(«数学通报»２０２０年第９期数学问题２５６２)设a ,b ,c ＞０,且满足a ＋b ＋c ＝３,证明:１－a b １＋a b＋１－b c １＋b c ＋１－c a１＋c aȡ０．证明:㊀１－a b １＋a b ＋１－b c １＋b c ＋１－c a１＋c a＝２－(１＋a b )１＋a b ＋２－(１＋b c )１＋b c ＋２－(１＋c a )１＋c a ＝２１＋a b ＋２１＋b c ＋２１＋c a－３ȡ㊀２(１＋１＋１)２３＋a b ＋b c ＋c a－３ȡ㊀１８３＋a ＋b ＋c －３＝０．例３㊀(«数学通讯»２０２０年第７期问题４５５)已知正实数a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝１,求证:a(a －１)(a －２)＋b(b －１)(b －２)＋c(c －１)(c －２)ȡ３１０１０．证明:显然a ,b ,c ɪ(０,１)．㊀a (a －１)(a －２)＝１０a１０(a －１)(a －２)＝１０a (５－５a )(４－２a )ȡ１０a(５－５a )＋(４－２a )２＝２１０a ９－７a ＝２１０a２a ＋９b ＋９c ．同理b (b －１)(b －２)ȡ２１０b９a ＋２b ＋９c ,c (c －１)(c －２)ȡ２１０c９a ＋９b ＋２c ．将上面三式相加,得a (a －１)(a －２)＋b (b －１)(b －２)＋c(c －１)(c －２)ȡ㊀２１０a ２a ＋９b ＋９c ＋２１０b ９a ＋２b ＋９c ＋２１０c ９a ＋９b ＋２c＝２１０a ２２a ２＋９a b ＋９a c ＋２１０b ２９a b ＋２b ２＋９b c ＋２１０c２９a c ＋９b c ＋２c２ȡ㊀２１０(a ＋b ＋c )２２(a ２＋b ２＋c ２)＋１８(a b ＋b c ＋c a )＝２１０２(a ＋b ＋c )２＋１４(a b ＋b c ＋c a )＝２１０２＋１４(a b ＋b c ＋c a )ȡ２１０２＋１４(a ＋b ＋c )３２７５２０２２年６月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀＝３１０１０．例４㊀(２０２０年摩尔多瓦数学奥林匹克竞赛试题)设a,b,c＞０,证明:a７a２＋b２＋c２＋ba２＋７b２＋c２＋ca２＋b２＋７c２ɤ１．证明:由柯西不等式,得(７a２＋b２＋c２)(７＋１＋１)ȡ(７a＋b＋c)２⇒a７a２＋b２＋c２ɤ３a７a＋b＋c＝３７１－b＋c７a＋b＋cæèçöø÷．同理,㊀ba２＋７b２＋c２ɤ３７１－a＋ca＋７b＋cæèçöø÷,ca２＋b２＋７c２ɤ３７１－a＋ba＋b＋７cæèçöø÷．于是,只需证明:b＋c７a＋b＋c＋a＋ca＋７b＋c＋a＋ba＋b＋７cȡ２３．由柯西不等式和均值不等式,得b＋c７a＋b＋c＋a＋ca＋７b＋c＋a＋ba＋b＋７c＝b７a＋b＋c＋ca＋７b＋c＋aa＋b＋７cæèçöø÷＋c７a＋b＋c＋aa＋７b＋c＋ba＋b＋７cæèçöø÷＝b２７a b＋b３＋b c＋c２a c＋７b c＋c２＋a２a２＋a b＋７a cæèçöø÷＋c２７a c＋b c＋c２＋a２a２＋７a b＋a c＋b２a b＋b２＋７b cæèçöø÷ȡ２(a＋b＋c)２８(a b＋b c＋c a)＋a２＋b２＋c２＝２(a＋b＋c)２６(a b＋b c＋c a)＋(a＋b＋c)２ȡ２(a＋b＋c)２６(a＋b＋c)２３＋(a＋b＋c)２＝２３．例５㊀(«数学通讯»２０２０年第２期问题４３８)已知正实数a,b,c,dɪ０,１２æèçùûúú,求证:１a２＋１b２＋１c２＋１d２ȡ６＋２０a＋b＋c＋d．证明:由条件可知aɪ０,１２æèçùûúú⇒a２ɤ１２aɤ１４．同理,b２ɤ１２bɤ１４,c２ɤ１２cɤ１４,d２ɤ１２dɤ１４．从而a２＋b２＋c２＋d２ɤ１２(a＋b＋c＋d)ɤ１４＋１４＋１４＋１４＝１⇒a＋b＋c＋dɤ２．由均值不等式和柯西不等式知道１a２＋１b２＋１c２＋１d２ȡ(１＋１＋１＋１)２a２＋b２＋c２＋d２ȡ１６１２(a＋b＋c＋d)＝３２a＋b＋c＋d＝１２a＋b＋c＋d＋２０a＋b＋c＋dȡ６＋２０a＋b＋c＋d．例６㊀(«数学通讯»２０２０年第６期问题４４９)已知正实数a,b,c,d满足a b c d＝１,求证:１a２－a＋４＋１b２－b＋４＋１c２－c＋４＋１d２－d＋４ɤ１．证明:由均值不等式得１a２－a＋４＝１a２＋１－a＋３ɤ１２a－a＋３＝１a＋３．同理,１b２－b＋４ɤ１b＋３,１c２－c＋４ɤ１c＋３,１d２－d＋４ɤ１d＋３．将上面的四个式子相加,得１a２－a＋４＋１b２－b＋４＋１c２－c＋４＋１d２－d＋４ɤ１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３．故只需要证明１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３ɤ１．而１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３ɤ１⇔a a＋３＋b b＋３＋c c＋３＋d d＋３ȡ１．由柯西不等式和均值不等式,得aa＋３＋bb＋３＋cc＋３＋dd＋３ȡ㊀(a＋b＋c＋d)２a＋b＋c＋d＋１２ȡ㊀a＋b＋c＋d＋２ˑ６６(a b c d)３a＋b＋c＋d＋１２＝１．在不等式的大家庭中,均值不等式和柯西不等式是高中数学中基本而又重要的不等式,对求解一些不等式问题起到举足轻重的作用,直接用简洁明快 ,联袂用更是威力无穷 ,让人深深感受到数学的无穷奥妙和神奇魅力!F８５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年６月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

高中竞赛常用的不等式

高中竞赛常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。

附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。

2．四个平均的关系：平方平均na a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。

满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。

调和平均不常用。

3．排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和）（逆序和）。

其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。

4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。

利用Jensen不等式证明不等式

０
日一Ｐ／（
，
＋
＋一 ≤ 一一三９
１０
，
◇ 证明积式不等式
例设（１，且∑ ８ｎ１２一）
／＝１
／。＼
／，ｉ１／＝
ｎ
芝筑八），
Ｉ
Hale Waihona Puke 畦一＋釉｝）ｎ
所以
ｉ＝１
所以～ａ＋－一－－
倜５【７第４届波兰数学奥林匹克第
数学教学通讯（教师版）
投郏ｓｋｖ．３ｏ稿箱：ｊｉ１ｒｘ＠ｐ６ｃｎ
二轮），，ＯＪａｂｃ１设ｎｂｃ，＋＋＝．＞￣
（斗１击一
击卜
唯）＝＝＼／、，／
ｂ上的凸函数，任意筏∈［，］Ａ＞（］对０ｂ，ｉｉＯ＝
、
＋
寺加
）（，）为凸函数．在０上
＋
１２，，）且Ａ，， … ｎ，产１
求证：一ｌａ
Ｚ－ａ１－
ｎ
＋一 ‘ 一 ≥ 丽等＋ ‘ Ｏｃ所（（＋（ｚ奇，Ｚ丽ｘ，尝．￣＜ｚ ∽ ’ 用
证明设函数厂＝Ｏ＜）所以（舻（１，）
ｆ））（－）又因为Ｏ＜ｐ１矿
奇）＇
１所以＞，，厂（）０所以ｔ在（，）为凸厂）０１上（
函数
２，（正）且∑ 数）为
求： ≥ 证毫斋
为常数，为正整数）且．

均值不等式常见题型及解析

均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当且仅当a = b时等号成立。

比如说，已知$a>0$，$b>0$，$a + b = 1$，求$ab$的最大值。

这时候就可以直接用均值不等式啦。

由$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$，把$a + b = 1$代入，得到$\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}$，那么$ab\leq\frac{1}{4}$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$的时候取到最大值。

这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。

就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。

这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。

二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。

比如说，求$y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)$的最小值。

这时候直接用均值不等式可不行，因为$x$和$\frac{1}{x - 1}$的和不是直接能用均值不等式的形式。

那我们就凑项呀，把式子变成$y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1$。

因为$x>1$，所以$x - 1>0$，$\frac{1}{x - 1}>0$。

根据均值不等式$\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}$，也就是$(x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2$，那么$y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3$，当且仅当$x - 1=\frac{1}{x - 1}$，也就是$x = 2$的时候取到最小值。

全国高中数学竞赛专题-不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

利用基本不等式证明不等式

利用基本不等式证明不等式作者李凤岩利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明不等式的形式.若符合基本不等式的条件，可以直接利用基本不等式或最值定理证明.若不符合基本不等式的条件，可以对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用基本不等式的条件.若题中还有等式条件，要分析等式条件和所证不等式之间的联系，当等式条件中含有1时，要注意1的代换.最后，要注意等号能否取到.题型一无等式条件的证明问题【例】已知2a >，求证：log (1)log (1)1a a a a -⋅+<.证明： 2a >，0log (1)log (1)a a a a <-<+，∴22log (1)log (1)log (1)log 1222a a a a a a a a -++-==.【例】已知a ，b ，c 都是实数，求证：22221()3a b c a b c ab bc ca ++≥++≥++.证明： a ，b ，c ∈R ，∴222a b ab +≥，222b c ac +≥，222c a ca +≥.将这三个式子相加，得2222()222a b c ab bc ca ++≥++.①在不等式①两边同时加上222a b c ++，得22223()()a b c a b c ++≥++，即22221()3a b c a b c ++≥++.②将不等式①两边同时加上444ab bc ca ++，得22()6()a b c ab bc ca ++≥++，即21()3a b c ab bc ca ++≥++.③由②③，得22221()3a b c a b c ab bc ca ++≥++≥++.【例】设a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：bc ac ab a b c a b c++>++.证明： a 、b 、c 是不全相等的正数，∴2bc ac c a b +>，2bc ab b a c +>，2ac ab a b c+>.∴2()2()bc ac ab a b c a b c ++>++，即bc ac ab a b c a b c ++>++.【例】已知a ，b ，c 为正数，求证：3b c a c a b a b c a b c+-+-+-++≥.证明：左边111()()()3b c c a a b b a c a b c a a b b c c a b a c c b=+-++-++-=+++++-. 0a >，0b >，∴2b a a b+≥，当且仅当a b =时，取等号；2c a a c+≥，当且仅当a c =时，取等号；2b c c b+≥，当且仅当b c =时，取等号.∴(()()33b a c a b c a b a c c b +++++-≥，即3b c a c a b a b c a b c+-+-+-++≥.【例】已知0a >，0b >，求证：1111222222()()a b a b b a+≥+.证明： 0a >，0b >，∴.≥，即1111222222()()a b a b b a +≥+.当且仅当a b =时，取等号.【例】若a 、b 、c 均为正数，求证：3333a b c abc ++≥.证明： 33223232222()()()()()a b a b ab a a b b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-+-=-+.又 a ，b 均为正数，0a b +>，2()0a b -≥，2()()0a b a b -+≥，∴3322a b a b ab +≥+.①同理3322a c a c ac +≥+.②3322b c b c bc +≥+.③①＋②＋③得：333222222222()()()a b c a b ab a c ac b c bc ++≥+++++222222()()()b ac a b c c a b =+++++222b ac a bc c ab≥⋅+⋅+⋅6abc =.∴3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，取等号.题型二有等式条件的证明问题【例】若a ，b 均为正数，且1a b +=，求证：149a b+≥.证明： 0a >，0b >，且1a b +=.∴14144()()145529b a a b a b a b a b +=++=+++≥++.当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号.【例】已知a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥.证明：（方法一） 0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，∴111111()()a b c a b c a b c++=++++111a a b b c c b c a c a b=++++++++3()()()a b b c c a b a c b a c=++++++3≥+9=.当且仅当13a b c ===时，取等号.（方法二） 0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111a a b b c c b c a c a b=++++++++3()()()a b b c c a b a c b a c=++++++3≥+9=.当且仅当13a b c ===时，取等号.【例】已知a ，b ，c +∈R ，且不全相等，若1abc =，证明：111a b c ++>.证明： 0a >，0b >，0c >，1abc =，∴11a b +≥=，当且仅当a b =时，取等号.11b c +≥，当且仅当b c =时，取等号.11c a +≥，当且仅当c a =时，取等号. a ，b ，c 不全相等，∴111111()()()a b b c c a+++++>.即111a b c++>.【例】已知正实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，求证：111(1)(1)(1)8x y z---≥.证明： 0x >，0y >，0z >，∴x y +≥，当且仅当x y =时，等号成立.y z +≥，当且仅当y z =时，等号成立.z x +≥，当且仅当z x =时，等号成立.又 1x y z ++=，∴1x y z -=+，1y x z -=+，1z x y -=+.∴111(1)(1)(1)x y z ---111()()()x y z x y z ---=()()()y z x z x y x y z +++=)()(y ≥88xyz xyz==.当且仅当x y =且y z =且z x =，即x y z ==时，等号成立.【例】已知0a >，0b >，1a b +=，求证：1125()(4a b a b ++≥.证明：2111()2a b a b a b aba b b a ab b a ++=+++=++. 0a >，0b >，∴2a b b a +≥.1a b =+≥，∴12≤32-≥，即294-≥.∴11925()(2244a b a b ++≥++=.当且仅当a b =时，等号成立.【例】已知0a >，0b >，1a b +=，求证221125()()2a b a b +++≥.证明：2211(()a b a b+++2222114a b a b =++++222211()()4a b a b =++++22112()2()4a b ab a b ab ⎡⎤⎡⎤=+-++-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦221(12)(1)4ab a b =-++. 21()24a b ab +≤=，∴1112122ab -≥-=，22116a b ≥，221117a b +≥.∴2211125()()17422a b a b +++≥⨯+=(当且仅当12a b ==时，等号成立).。

不等式各种形式的证明及其应用

即
（3）
当且仅当
（3）式取等号即点到直线的距离公式
即
4、证明不等式
例 3已知正数满足证明
证明：利用xx不等式
又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：
故
5、解三角形的相关问题
例 4设是内的一点，是到xx的距离，是外接圆的半径，证明
证明：由xx不等式得，
记为的面积，则
故不等式成立。
6、求最值
例5已知实数满足，试求的最值
或者
推广形式的证明：
推广形式证法一：
或者
推广形式证法二：
事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，
这个不等式并不难，可以简单证明如下：
付：xx（Cauchy）不等式相关证明方法：
等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数
=
xx成立
即
当且仅当即时等号成立
证明（2）数学xx
现记，，则，
，由xx不等式有，
当时，
此时，，为常数。点均在直线
上，
当时，
即
而
为常数。
此时，此时，，为常数
点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大
当时，不具备上述特征，从而，找不到合适的常数，使得点都在直线附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。
9、关于不等式的几何背景
几何背景：如图，在三角形中，，
一、xx不等式的各种形式及其证明
二维形式
在一般形式中，
等号成立条件：
扩展：
等号成立条件：
二维形式的证明：
三角形式
三角形式的证明：
向量形式
向量形式的证明：
一般形式
一般形式的证明：

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

参考文献(3条)
1.刘有良寻找匹配因子证明不等式[期刊论文]-数学通讯 2003(05) 2.王志进.程美竞赛不等式的创新证法-向量内积法[期刊论文]-数学通报 2005(04) 3.刘南山也谈一类竞赛不等式的创新法[期刊论文]-数学通报 2005(05)
相似文献(1条)
1.期刊论文王志进.程关竞赛不等式的创新证法——向量内积法 -数学通报2005,44(4)
万பைடு நூலகம்数据
中国科教创新导刊ＣｈｉｎａＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ
９５
利用平凡不等式证明竞赛不等式
作者：作者单位：刊名：
英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
陈卓华广东省林业职业技术学校,广东广州,510520
中国科教创新导刊 CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD 2008，""(8) 1次
证明ａ，ｂ，ｃ因为为正数，且ａｂｃ＝１
证明因为ａ，ｂ，ｃ，ｄ＞０且ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝１，所以
故不等式成立．
故不等式成立．例２第２６届全俄数学竞赛奥林匹克试题证明对任意＞１ｂ＞１有不等式
故不等式成立．例４（第二届友谊杯国际数学邀请赛试题）已知：ａ，ｂ，ｃＲ＋，求证：
文[1]利用匹配因子的方法,构造均值不等式来证明竞赛题中对称和轮换对称不等式.但笔者认为这种匹配因子的方法需要较高的技巧,在实际操作中很难掌握.
引证文献(1条)
1.杨帆浅谈不等式证明方法的综合运用[期刊论文]-科教文汇 2008(23)
本文链接：/Periodical_rdsta200808080.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：9943bcf9-fcd8-41f9-a27c-9dc8012a4d69
例３（第３６届ＩＭＯ备选试题）设ａ，ｂ，ｃ
为正数，ａｂｃ＝１，求证：
故不等式成立．例５（第３１届ＩＭＯ备选试题）ａ，ｂ，ｃ，ｄ＞０且ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝１，求证：
明文［１］的例题方法直接简单
例１第２４届全苏数学竞赛试题如
果正数ｘｘ
１
２
ｘ的和为１那么ｎ
下载时间：2010年8月4日
中国科教创新导刊投稿须知
１．稿件应具有科学性先进性和实用性，论点鲜明论据充分数据真实逻辑严谨文字准确语句通顺２．文章以２２００２７００字为宜文章标题字数在２０字以内摘要关键词参考文献按引用的先后顺序列于文末等要素齐全３．计量单位以国家法定计量单位为准统计学符号须按国家标准统计学名词及符号的规定书写标点符号使用准确表格设计合理推荐使用三线表图片清晰注明图题图号４．投稿请使用ｗｏｒｄ格式并注明作者姓名联系电话工作单位通讯地址邮编电子邮箱５．本刊编辑部有权对所投稿件进行修改６．本刊已被相关电子期刊等网络媒体所收录不愿通过网络媒体发布者请在来稿中注明７．严禁一稿多投剽窃或抄袭行为否则一切后果由作者本人负责
参考文献
［１］刘有良．寻找匹配因子证明不等式［Ｍ］．数学通讯，２００３，５．
［２］王志进，程美，竞赛不等式的创新证法向量内积法［Ｍ］．数学通报，２００５，４．
［３］刘南山，也谈一类竞赛不等式的创新证法［Ｍ］．数学通报，２００６，５．
证明ａ，ｂ，ｃ因为Ｒ＋，
文［１］利用匹配因子的方法构造均值不等式证明不等式文［２］利用向量内积的方法构造向量来证明不等式而文［３］利用数学期望的性质构造离散型随机变量的概率分布列证明不等式方法新颖但构造需要技巧笔者利用不等式
证明：因为＞１ｂ＞１，所以－１＞０，ｂ－１＞０．
故不等式成立．
科教研究
中国科教创新导刊２００８ＮＯ．０８
ＣｈｉｎａＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ
利用平凡不等式证明竞赛不等式
陈卓华广东省林业职业技术学校广东广州５１０５２０
摘要本文通过对寻找匹配因子证明不等式竞赛不等式的创新证法向量内积法也谈一类竞赛不等式的创新证法三个文章中的不等式证明方法的研究和总结设计出了利用本文列举的不等式来证明方法简单关键词不等式匹配因子向量内积离散型随机变量中图分类号Ｇ４２０文献标识码Ａ文章编号１６７３－９７９５（２００８）０３（ｂ）－００９５－０１