用换元法解不等式

用换元法解不等式【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。

在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。

换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。

换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。

【关键词】 换元法 三角换元 代数换元做任何事情都要讲究方法。

方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。

解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。

波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。

”换元法是数学中的一个基本方法之一。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。

一、增量换元若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。

例1 设()1,0,,∈z y x 并且它们的和为2 ，求证 341≤++≤zx yz xy .分析与证明 由条件()1,0,,∈z y x 可令3211,1,1a z a y a x -=-=-=，且()1,0,,321∈a a a ，则1321=++a a a .()()()()()()133221111111a a a a a a zx yz xy --+--+--=++∴ ()()1332213212-3a a a a a a a a a +++++= 11133221>+++=a a a a a a又 ()1332213-1a a a a a a ++()()13322123213a a a a a a a a a ++-++==133221232221a a a a a a a a a ---++ ()()()[]021213223221≥++++-=a a a a a a ， 31133221≤++∴a a a a a a .1332211a a a a a a zx yx xy +++=++ ，343111=+≤++<∴zx yz xy .例 2 已知2,2>>b a ，求证 ab b a <+. 证 设n b m a +=+=2,2，显然0,0>>n m .则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222 mn n m n m ----++=2244 0<---=mn n m 故ab b a <+.注 增量换元的目的，在于从不等式b a ≥转化为x b a +=这个等式。

再应用这个不等式往不等转化，以达到证题的目的。

二、三角换元在解某些不等式，迭用适当的三角函数换元，把代数问题转化为三角问题，从而充分利用函数的性质解决问题。

例3 若1=++r q p ，且1,,0≤≤r q p ，求证：3≤++r q p .分析 由1=++r q p ，可令α2cos =p ，βα22cos sin =q ，βα22cos sin =r ，其中α，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πβ，.则βαα222cos sin cos +=++r q p βα22sin sin +βαβααsin sin cos sin cos ++= ()ββααsin cos sin cos ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=4sin sin 2cos πβααααsin 2cos +≤322tanarc sin 3≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=α 例4 已知:,1>a ,0>b ,1=-b a 求证:11110<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<b b a a a . 分析:由于,1>a ,0>b ,1=-b a 并且不等式中有,,b a因此我们联想三角函数平方关系:1tan sec 22=-θθ .经过对比,发现a 相当于θ2sec ， b 相当于θ2tan ，因而可令：,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20tan 2πθθb .证明:令,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20tan 2πθθb , 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b a a a 111 =θθθθθtan 1tan sec 1sec sec 1222+- θsin =1<可见原不等式成立。

104sin 105-≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤∴θπ原不等式成立。

从例3，例4可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式三、代数换元对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，则能化难为易，简洁明快地解决问题。

例5 解不等式03223222<+⋅-+x x .解：设t x =2，则原不等式可化为032122<+-t t ，解之得84<<t .即824<<x ，故32222<<x .根据指数函数的单调性，原不等式的解集为{}32<<x x . 例6 设a,b,c 是三角形的三边长，s 是三角形的半周长，求证： ()()()c s b s a s abc --->8 。

证明 令x z c z y b y x a +=+=+=,,，其中0,0,0>>>z y x ，则 ()z y x c b a s ++=++=21. 所以不等式等价于()()()xyz y x z x z y 8≥+++ 因为yz z y 2≥+，xz z x ≥+，xy y x ≥+. 上述三式相乘，得()()()xyz xy xz yz y x x z z y 8222=⋅⋅≥+++ 故原不等式得证。

四、均值换元使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。

例7 n 个正数,,,21n x x x 它们的和是1,求证: +++++ 32222121x x x x x x2112121≥+++--x x x x x x n n n n n .分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等 式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令12112m x x x ++=, ,22322m x x x ++=,n n n m x x x ++=21（其中01=∑=ni i m ）. 证明:令,,2,223221211 m x x x m x x x ++=++=,21n nn m x x x ++=则 01=∑=ni im.+++++ 32222121x x x x x x 12121x x x x x x n n n n n +++-- ()()()121322232212121212121x x m x x x x m x x x x m x x n n n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++= ()322221212113221444x x m x x m m m m x x x x x x n n ++++++++++++++= 12x x m n n+++ ≥()4221n x x x +++21=因而原不等式成立。

例8 设1232=++z y x ，求证：2432222≥++z y x .分析 12=+++++z z z y y x ，故平均值为2.令3212,2,2t z t y t x +=+=+=，则032321=++t t t .()()()2322212222322232t t t z y x +++++=++∴()23222132********t t t t t t ++++++=24≥.注 选取平均数，引入新变元，证明过程的确自有它独特的魅力。

又证z z y y x x 66321,44221,2221222≥+⋅≥+⋅≥+, 三式相加：()()24322123221222=++≥+++z y x z y x ，2432322≥++∴z y x ，等号当且仅当6321,4221,221222=⋅=⋅=z y x ，即2===z y x 时取得。

注 凑常数，决不是信手拈来，估计等号成立的条件，有的放矢地匹配。

再证 ()()()14432323212222=++≥++++z y x z y x2432222≥++∴z y x .例7例8说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。

五、几何换元在∆ABC 中，b CA a BC c AB ===,,，内切圆交CA BC AB ,,分别于F E D ,,,如图，则可设x z c z y b y x a +=+=+=,,，其中0,0,0>>>z y x .几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。

例9 已知3,,≥-++-++-+cb a cb c a b a c b a c b a 为三角形三边，求证. 证：设x z c z y b y x a +=+=+=,,其中 0,0,0>>>z y x ，则cb a cb c a b a c b a -++-++-+y x z x z y z y x 222+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x x yy z z y x z zx21322221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅≥y x x y y z z y x z z x 所以原不等式得证。

例10 已知c b a ,,是ABC ∆三边的长，求证：222222333a c c b b a a c c b b a ++≥++.分析:(如图)作ABC ∆的内切圆,设F E D ,,为切点, 令,BD x =,CD y =,AE z =(其中+∈R z y x ,,), 则原不等式可转化为:z y x y y x x x z z z y 222222++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 利用重要不等式:ab b a 2≥+可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。

证明:设F E D ,,为切点,令,BD x =,CD y =,AE z =则原不等式可转化为:z y x y y x x x z z z y 222222++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+.()1 又因为+∈R z y x ,,,则有,22y z z y ≥+ z x x z 22≥+, x y yx 22≥+， 所以(1)式成立,因此原不等式成立。