用换元法解不等式
例谈数学解题中的换元法
例谈数学解题中的换元法如果用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称换元法。
其中，新的未知量叫做辅助元素，简称辅助元。
某些数学问题通过这种“换元”，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题途径。
1、若(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x, y, z成等差数列。
（1979年）分析：作变换a=x-y, b=y-z，问题化为(a+b)2-4ab=0a=b。
问题已变得十分简单明了。
2、设对所有实数x，不等式x2log2＞0恒成立，求a的取值范围。
（1987年）分析：作变换m=log2，则原式变为(3+m)x2-2mx+2m＞0。
其对一切x∈R恒成立的充要条件完全暴露为：。
由此解出0＜a＜1。
3、设复数z1和z2满足关系式=0，其中A为不等于0的复数，证明：（1）|z1+A|·|z2+A|=|A|2；（2）。
（1987年）分析：作变换α=z1+A，β=z2+A，则z1=α-A，z2=β-A，代入条件式，并化简得α=|A|2。
（1）|z1+A||z2+A|=|α||β|=|α|||=|α|=|A|2；（2），∴。
4、求同时满足下列条件的所有复数z：（1）z+∈R且1＜z+≤6；（2）z的实部与虚部均为整数。
（1992年）分析：设t=z+，则t∈R，且1＜t≤6，∴z2-tz+10=0。
由条件知Δ=t2-40＜0。
再由求根公式知z=±。
∵是整数，∴t=2,4, 6。
当t=2时，z=1±3i；当t=4时，z的虚部不为整数，舍去；当t=6时，z=3±i。
故所求的复数是z=1±3i或3±i。
换元法不仅是一个重要的数学解题方法，而且也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。
高中数学基本不等式解题技巧
作者：李浩
来源：《家长·中》2019年第04期
众所周知，数学具有较强的复杂性、逻辑性，导致部分学生会产生畏难心理，难以感受到数学的趣味。在学习不等式的过程中，需要不断积累经验，并提高理论知识运用的能力，从而可以逐渐形成解题技巧，避免出现解题失误或者效率低等问题。
一、高中数学中不等式的反证解题技巧
例2：已知有n个圆，每两个圆会在两点相交，每3个圆不会在同一点相交。请证明：这n个圆将平面分成的部分为f（n）=n²-n+2。
解析：在证明f（n）=n²-n+2公式成立的过程中，可以采用归纳法的方式。等n等于1时，f（1）等于2。因此，当n等于1时，存在公式n²+n+2等于2成立，因此命题是成立的。另外，也可以假设n等于k，同时第k+1个圆的圆心用O表示，并结合题目的条件进行后续的证明。通过以上两种不同的方式，均可以证明f（n）=n²-n+2成立，其中实现了对不等式性质的合理运用，从而有效降低题目的难度，对于获取正确的证明结果具有重要意义。
二、高中数学中不等式的性质解题技巧
在对不等式进行解析的过程中，可以实现对不等式性质的合理运用。实际上，这一解题方式是最为基础的，能够在很多类型的题目中得到应用。例如：不等式具有传递性，如果a大于b，b大于c，則意味着a大于c。另外，不等式还具备可加性的特点，加深a大于b，那么a+c必然大于b+c，同时ac也同样大于bc。结合如下例题，实现对不等式性质应用方式的分析。
三、高中数学中不等式的换元解题技巧
在分析不等式的过程中，可以将其式子看作整体，然后使变量对其进行替换，从而让问题的解题更加简便。此种解题方式，便可以称之为换元法，实现对不等式的转化。在这一过程中，需要重视置换元、构建元两个要素。具体而言，换元法是以等量代换为基础的进一步延伸，可以实现对研究对象的变换，实现对问题的转移。另外，换元法还可以叫做辅助元素法，即在不等式中引入全新的变量，实现对分散条件的综合处理，并使其中的隐藏条件凸显出来。或者解题期间将结论、条件结合起来，使其成为最为熟悉的结构，为解题提供便利。
活用换元法 巧证不等式
１ ３ ＋ ５
等）１ ＋ ＋ 等＋ ＿ ＋ Ｚ等） 古（ ）
证 明：将条件等式变形为 （ ） ：２ 一 ， ＋ ） ，
≥ ４ ６ ×一 ＝ ． ｝×＋ ＋ 一 × ２
【 评析】 对于一些分母 较为复杂、变元较多的问题，我们往
往可 以引入一些新 的变量进行代换 ，以简化其结构 ，优化形 式， 使原来较 复杂的 问题化 繁为简 ，变成我们 熟悉的基本 问题 ，体
＋
＿
１
１
、
三 角换元 。纵横联 系
１ ６ｙ一百 ，
于 是
＝
例 １ 实数 ，Ｙ满足等式 一 ｘ ＋Ｚ２ ２ ２ｙ ｙ＝ ，求证 ：一 ／ ≤ 、 而一
＋Ｙ ≤ ．
＋
分 析 ：本题 关键 是 由条件 等式寻找 实数 ，Ｙ之 间的联 系 ，
三 角换 元是 不 错 的 选择 ．
【 评析】三角函数蕴含 着丰富的公 式和 性质 ，巧妙地运 用这 些性质可以顺利地解决许多综合 问题．如三角函数中有 以下三个
这 （ ｃⅡ ） ｃｎ６ ｚ｝ Ⅱ６ｃ 里 ： ６ 一）， ＋一） ＝ （ 一） 十 ，＝ （ ， ＋
待证不等式等价于（ ＋ ） ｚ ） ， ） （ ＋ ） ＋， ｚ ｙ 。。 ＋ （ 一 ＋ ： ， （— （ ， （ ）
现 了化 归 的 思想 ．
即 （
设
Ｖ ２
嘉 ，
＝ｃｓ ， ｏｎ ０ ）
解得 ＝、 ｃｓ ＋、 ｓ ０ Ｙ ／ ｉ０ ／ ｏ０ ／ ｉ ， ＝、 ｓ ， ｎ ｎ
所以 ＋Ｙ ＝
ｓ ＝＿ ３ ｉ ｎ Ｖ －
一
三、参数换元 。改头换面 例 ３ 设 口 ，ｃ为—个三角形三边的边长 ，证明 （ ｂ ＋ ，ｂ ａ— ） ６ｃ６一ｃ ＋ｃ （ ２（ ） ２ ｃ—ａ ａ ）≥０ ．并指出等号成立 的条件． 分析 ：待证 不等式对三 角形的 边 ａ ，ｃ不仅是 正数 ，而 ，ｂ 且还 满足 Ⅱ ＜ｂ＋Ｃ ，ｂ＜Ｃ ，ｃ ＋ａ ＜ａ＋ ，如何利 用这些条件 ，通 ｂ
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
基本不等式常数代换法
基本不等式常数代换法基本不等式常数代换法是一种在解决数学不等式问题中常用的方法。
它的基本思想是通过进行变量替换，将原始的不等式转化为更简单的形式，从而更容易求解。
本文将详细介绍基本不等式常数代换法的原理和应用方法。
一、基本不等式常数代换法的原理基本不等式常数代换法的原理是基于不等式的基本性质。
对于一个不等式，我们可以通过引入新的变量，并进行恰当的变量替换，使得不等式的形式更加简单。
常用的变量替换方式包括代入法、换元法等。
其中，代入法是将一个常数或者一个表达式代入到不等式中，从而得到一个新的不等式。
二、基本不等式常数代换法的应用方法1. 代入法：代入法是通过将一个常数代入到不等式中来简化问题。
假设我们需要解决一个不等式2x+1≥5，可以将常数4代入到不等式中，得到2×4+1≥5，然后计算出结果为9≥5。
因此，原始不等式的解为x≥2。
2. 换元法：换元法是通过引入一个新的变量来进行代换，从而简化不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以引入一个新的变量y = x - 2，将原始不等式转化为y^2 - 1 > 0，进一步化简为(y - 1)(y + 1) > 0。
根据乘积大于0的性质，我们可以得到y > 1 或 y < -1，再将y代换回原来的变量x，得到x > 3 或x < 1，即为原始不等式的解。
三、基本不等式常数代换法的实例分析为了更好地理解基本不等式常数代换法的应用，我们举一个具体的例子进行分析。
假设我们需要解决不等式2x^2 + 5x + 3 > 0。
1. 代入法：我们可以尝试将一些常数代入到不等式中，从而简化问题。
例如，将x = 1代入到不等式中，得到2×1^2 + 5×1 + 3 = 10 > 0。
因此，我们可以得出对于所有的x，不等式都成立。
2. 换元法：我们可以引入一个新的变量y = x + 1，将原始不等式转化为2(y - 1)^2 + 5(y - 1) + 3 > 0，进一步化简为2y^2 + y - 2 > 0。
基本不等式运用中几种常见的解题方法
基本不等式运用方法专题类型一：【函数法】1、则2y =的最小值为2、则2y =的最小值为3、xx y 22sin 2sin +=的最小值为类型二：【换元法】1、若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最_____值______2、已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x -+22的最小值为3、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是4、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4－23, 则2a +b +c 的最小值为类型三：【换双元法】1、若+∈R y x ,，且12=+y x ，yx -+-1111的最小值为2、若+∈R b a ,，且3=+b a ，则b a +++11的最大值是3、若+∈R y x ,，且1=+y x ，2121+++y x 的最大值为4、已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则21+a ＋21+b 的范围是________类型四：【拆项凑项搭配法】1、当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是2、函数)711(log 21+++=x x y （x > －1）的最大值是3、（2010年四川）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是类型五：【等量替换构造基本型】 1、已知0,0>>y x ，且1=+y x ，则yx 94+的最小值为2、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，则2x ＋y 的最小值为3、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是4、已知c b a ,,都是正数，且,12=++c b a 则cb a 111++的最小值是5、若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为6、若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是7、函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为_______8、已知函数)1,0(,1)2(log ≠>+-=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线1-=+ny mx 上，其中0>mn ，则nm 13+的最大值为9、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>和函数log (2)2(0c y x c =++>且1)c ≠的图象恒过同一个定点，则的最小值为10、已知两个正变量m yx y x y x ≥+=+41,4,则使不等式满足恒成立的实数m 的取值范围是类型六：【分离变量法】1、若不等式()y x a xy x +≤+22对一切正数y x ,恒成立，则正数a 的最小值为2、若,,x y R +∈a 的最小值是3、若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为4、已知不等式()2418a b m m ++>-对任意正数,a b 都成立，则实数m 的取值范围是_____类型七：【放缩法】1、若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是2、若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是_______ ．3、设0>>b a ，)(162b a b a -+的最小值是4、已知：a >b >0,求2223196bab b a b a -+-的最小值是类型八：【代入消元法】1、已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为2、设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为第1节 基本不等式运用方法专题（课后作业）1、【函数法】若),0(,+∞∈y x ，且1=+y x ，xyxy 1+的最小值为 2、【换元法】已知两正数x,y 满足x+y =1,则z =11()()x y xy++的最小值为3、【换双元法】若正数a ，b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是 .3、【拆项凑项搭配法】 设2a > b > 0，则22224114b a b a -++的最小值是 4、【等量替换构造基本型】 若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +的取值范围是 5、【等量替换构造基本型】已知函数)10(3)(1≠>-=+a a a x f x 且的反函数的图象恒过定点A ，点A 在直线01=++ny mx 上，若0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为 6、【等量替换构造基本型】若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则14a b+的最小值是7、【分离变量法】若不等式x +≤a (x+y ) 对一切正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值为8、【分离变量法】对一切实数x ，不等式x 2+a |x |+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是10、【放缩法】 已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值是基本不等式运用方法专题（参考答案）类型一：【函数法】1、则2y =的最小值为 223【方法】相关函数图象性质 2、则2y =的最小值为 223 3、xx y 22sin 2sin +=的最小值为 3类型二：【换元法】1、若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最___大__值______1-2、已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x -+22的最小值为 22【解】一元化思想3、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是4、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4－23, 则2a +b +c 的最小值为 23－2类型三：【换双元法】1、若+∈R y x ,，且12=+y x ，yx -+-1111的最小值为 23+【解】令x m -=1, y n -=1, 则22=+y m223)11)(2(21111111+≥++=+=-+-n m n m n m y x当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a ,b ＝2满足条件。
证明不等式的八种常用代换
证明不等式的八种常用代换
曾安雄
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2002(0)10
【摘要】换元法是解数学题时的常用方法.利用换元可使问题简单化、熟悉化,从而使问题获得简解.下面以证明不等式为例,浅析在不等式证明中的几种常用的代换,供参考.一、三角代换这是最常用的一种代换,若 x^2+y^2=a^2,可设
x=acosθ,y=asinθ;若x^2+y^2≤a^2,可设x=rcosθ,y=rsinθ,其中|r|≤a;等等.【总页数】2页(P28-29)
【关键词】不等式问题;整体代换;不等式证明;解数学题;换元法;三角代换;常用方法;简单化;已知条件;代换方法
【作者】曾安雄
【作者单位】浙江泰顺县第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.例谈“三角代换”法证明不等式 [J], 洪木山
2.例谈“线性代换”法证明不等式 [J], 洪木山;
3.用统一的代换证明两个著名的几何不等式 [J], 曹嘉兴
4.用代换法证明若干新颖的不等式问题 [J], 邹守文
5.活跃在不等式证明中的一个常用不等式 [J], 邹守文
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应用基本不等式解题的常用方法分析
课程篇应用基本不等式解题的常用方法分析孙天贶（湖南省平江县一中高467班）在高中数学中，基本不等式作为重点知识内容，在实际运用的过程中，需要掌握相应的解题技巧与方法，进而为实现对基本不等式知识的有效掌握奠定了基础，同时，实现对这一知识点的有效掌握，也是学好其他相关知识的基础。
通常而言，基本不等式解题的常用方法为：“1”的代换法、换元法、适当拼凑组合法、待定系数法、换元法、消元法以及多次应用不等式法。
一、“1”的代换法例题1：若点A （1，1）在直线mx+ny-2=0上，其中，m ，n >0，1m +1n的最小值为（）解析：从本题的题意中，存在m+n -2=0，即m+n 2=1，则=1m+1n =（1m +1n ）·m+n 2=12（2+m n +n m )≥12（2+2m n ·n m √）=2，当m=n =1时等号成立，所以1m +1n的最小值为2。
评析：基于“1”的巧妙利用下，则是以1乘以任何数，相应值都不会发生改变的性质，通过整体代换的方式，将代数式化成齐次式，进而促使在应用不等式的过程中，两数相乘具备定值，此种方式还能够用来求1m 2+1n2的最小值。
二、换元法的运用例题2：已知x ，y ∈R +，且x+y +1x +1y =5，则x+y 的最大值为（）A.3B.72C.4D.92解析：设t=x+y >0，则有已知5-（x+y ）=x+y xy ≥（x+yx+y 2）=4x+y，即5-t ≥4t ，整理得t 2-5t +4≤0，解得1≤t ≤4，因此，x+y ≤4，当x=y =2时等号成立，因此答案为C 。
评析：在这一题目中，涉及了x+y 与xy ，借助基本不等式，可将xy 沟通到目标式x+y ，通过换元法的运用进行换元，再以解不等式的方式，将x+y 的取值范围求出。
同样，在相同的条件下，能够求出xy 的最大值为4。
事实上，在实际解题的过程中，采用换元法的目的是将问题简单化，进而促使不会的问题转变为会的问题，在此基础上，就能轻而易举地得到答案。
一元二次不等式的解法(1)
（2）求⊿，解方程，画图象； （3）根据图象写出解集
序轴标根法
看谁更快,写出下列不等式的解集:
x2 0 ⑴ 2x 5
5 x 2 x 2
3x 2 ≥0 ⑵ x 1
2 x x 1 或 x ≥ 3
。0 -3
。 5
x
练习:
(1)解不等式4x2-4x+1>0 2.解不等式-x2+2x-3>0 3.解不等式2x2-3x-2>0 4.解不等式+1>0 解： ∵ △=0，方程4x2-4x+1=0的 解是x1= x2=1/2
∴不等式的解集是 {x∈R|x≠1/2}
例4 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值. 另解：由条件可知 ： 方程 a x2 ＋bx+6＝0的根－2、3 ， 代入方程可得：
4a－2b+6＝0 9a＋3b+6＝0 解方程组得： a＝－1 b＝1 则a－b＝－2
练习:已知不等式ax2 + bx + 2＞0
∴由上面分析可知原不等式的解集为 x x 7 或 x 3
代数式 x7 x3 x3 x7
x 7
7 x 3
x3
注:如果熟练了可简化成序轴标根法,直接快速写出解集
解一元二次不等式的方法步骤是： 方法：数形结合 步骤：（1）化成标准形式 (a>0)：
变式：函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8）的 值域为 R , 求k的取值范围。
根式换元法解不等式的例题
根式换元法解不等式的例题根式换元法是解不等式的一种常用方法，它的基本思想是将原不等式中的根式部分通过合适的换元化为简单的代数式，从而能够更加方便地进行求解。
下面我们来看一个例题：求解不等式：$sqrt{x^2+6x+9}-sqrt{x^2-2x+1}geq 1$解法：观察不等式左侧的两个根式，发现它们的根号下面都是一个完全平方数，因此我们可以考虑采用根式换元的方法，令：$begin{cases} u=sqrt{x^2+6x+9} v=sqrt{x^2-2x+1}end{cases}$则原不等式可以化为：$u-vgeq 1$将$u$和$v$代入原式，得到：$begin{cases} u=sqrt{x^2+6x+9} v=sqrt{x^2-2x+1}end{cases}Rightarrow begin{cases} u^2=x^2+6x+9 v^2=x^2-2x+1 end{cases}$代入不等式，得到：$u-vgeq 1 Rightarrow sqrt{x^2+6x+9}-sqrt{x^2-2x+1}geq 1$ 移项，得到：$sqrt{x^2+6x+9}geq sqrt{x^2-2x+1}+1$再次平方，得到：$x^2+6x+9geq (x^2-2x+1)+2sqrt{x^2-2x+1}+1$化简，得到：$8x+7geq 2sqrt{x^2-2x+1}$移项，得到：$8x-2sqrt{x^2-2x+1}+7geq 0$再次平方，得到：$64x^2-32xsqrt{x^2-2x+1}+49geq 0$化简，得到：$(8x- sqrt{x^2-2x+1})^2geq 0$由平方不等式的性质可知，左侧恒大于等于0，因此原不等式成立。
综上，解得原不等式的解集为$(-infty,+infty)$。
注：在使用根式换元法时，要注意选取合适的换元方式，并结合平方不等式等相关知识进行求解。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
基本不等式一题多解
当 x ̸= 0且y ̸= 0 时，x2 + y2 = 2 + x 6y ， + −3
yx
因为
x y
+
y x
−3
∈
(−∞,
−5]
∪ (−1,
0)
∪ (0,
+∞)，
所以
2+
x y
6y +
x
−3
∈
(−∞,
−4]
∪
[
4 5
,
) 2
∪ (2,
+∞)，
因为
x2
+
y2
>
0，所以
x2
+
y2
∈
[
4 5
,
) 2
∪ (2,
⩾
4 5
.
解法二：（换元法 + 极坐标）
令 x = ρ cos θ，y = ρ sin θ，则 x2 + y2 = ρ2，
由已知得
ρ2
− 3ρ2 cos θ sin θ
=
2，所以
ρ2
=
1−
2 3 sin 2θ
>
0，
2
(]
所以
1
−
3 2
sin
2θ
∈
0,
5 2
，
所以
ρ2
⩾
4 5
，即
x2
+ y2
⩾
4 5
.
解法三：（齐次消元）
由已知得
x2 − 3xy + y2 2
= 1，
所以
x2
+ y2
=
2·
用换元法突破基本不等式问题的几种策略_孙西洋
b
=
y2 ，4a － b
=
x2 ． 故 a
=
x2
+ y2 4
=
x + 2y，
即 x2 + y2 － 4x － 8y = 0，亦即（ x － 2） 2 + （ y － 4） 2 = 20．
令 x － 2 = 2槡5 cos t，y － 4 = 2槡5 sin t，t ∈
[ ] 0，π2 ，则 a = x + 2y = 2 + 2槡5 cos t + 8 +
有一定的难度． 本文介绍运用换元法来处理
此类问题的几种策略，希望对读者有所帮助．
一、运用换元法，将问题化归为两种基本
模型来解
现行苏教版必修 5 教科书给出了两种重
要的模型（ P110 例题 3； 习题 10． 9 练习 16） ．
模型 1 已知正数 x、y 满足 ax + by = 1，
求
m x
+
n y
4 y
= 10，求 xy 的取值范围．
分析 问题给出的表达式中既有整式，
又有分式，而求的是 xy 的取值范围． 如果将分
母去掉，就会出现 x、y、xy 及 x2 y、xy2 五个量，如
果令 xy = t ＞ 0 作为变量的话，可以消去一个
变量，得到相应解法．
解
设 xy = t ＞ 0，则 y =
t x
．
解
令b +1
=
x，则 a + x
=
2，即
a 2
+
x 2
= 1． 所以，p =
a+
2 a
+ （ x － 1） 2 x
谈高中数学不等式的解题技巧
谈高中数学不等式的解题技巧作者：汪世利来源：《读写算·基础教育研究》2017年第04期【摘要】不等式教学内容是高中数学重要的部分，我们要引导学生掌握不等式的解题技巧，从而提升学生解题效率，促进学生数学成绩的提升。
为此，本文从数学学科的特点出发，进行分析和研究，认为可以巧用换元法、运用不等式性质和利用反正法等去解决不等式问题等方面进行论述。
【关键词】高中数学不等式解题技巧高中数学是一门逻辑性都很强的学科。
很多题目涉及到了推理、归纳和计算，要求学生思维敏捷，逻辑清楚。
但是学生往往不能很好的做到，导致数学学习效果不佳。
甚至还有一部分同学害怕数学，遇见解题就头疼，一分析和解题就错。
那么作为数学老师就要注重学生数学知识获取和解题能力的并进。
学生为何出会出现这种情况，分析其原因就是不会运用知识，就不会分析题，这样解题技巧没有掌握；对问题理解和分析的不到位，导致解题的效率不高，出现错误也是难免的。
但是，我们在通过分析原因制定解决问题的办法。
数学不等式属于高中数学学习中的重难点，在高考中占有一定的分数，为此，应该在日常的教学中加强对学习解题思想和能力的培养，从而提升学生的数学成绩。
因此，我们要重视挖规律、重逻辑的解题技巧，促进高中学生数学解题效率的提升。
一、巧用换元法在解决不等式的问题中，我们可以把某个式子看成一个整体，再用一个量进行替换，让原有的问题简单化，也就是利用换元法解决问题。
这时不等式解题一种方法，学生要在逐步的练习中，掌握其运用技巧，从而提升解题能力。
例：假若 a，b，c 均∈R+ ，对abc≥ （ b + c - a） ·（ c + a -b） ·（ a + b - c） .的不等式进行证明。
我们可以这样分析并解决问题，对于不等式证明时，我们可以仔细观察，在这个过程我们就会发现a、b、c三者中的两个进行互换后，不等式是不变的。
在解题时，要发现这些，这样就可以证实这是对称不等式。
不等式证明中的换元法
数学竞赛辅导资料 不等式证明中的换元法不等式的证明因其方法灵活多变，综合性强而成为高中数学的一个难点，在各类数学竞赛中，不等式的证明问题是一个热点。
所谓换元法，就是将所要证明的不等式中的字母作适当的代换，变换数学式的形式，以显化其内在结构的本质，从而达到简化证题的过程。
一、 均值换元法若题中有X a a a n =+++ 21的条件时，常可考虑作如下换元，设),,2,1(n i t n X a i i =+=，此时021=++n t t t ，由于nX 是n a a a ,,,21 的平均值，故称之为均值换元法。
例 1 已知e d c b a ,,,,是满足16,822222=++++=++++e d c b a e d c b a 是实数，求证：5160≤≤e二、 三角换元法三角换元是指将不等式中的字母换成角的三角函数形式,再运用三角知识解题。
例2 实数y x ,满足55422=+-y xy x ，求证：310131022≤+≤y x 。
三、 增量换元法若b a ≥，可设t b a +=，其中t 为增量，故这种换元叫做增量换元法。
例3 已知c b a >>，求证：ca cb b a -≥-+-411。
四、 整体换元法有些不等式的证明，若从局部入手困难，不妨把整体看作一个元来处理，这就是整体换元。
例4 求证：3tan sec tan sec 312222≤+-≤xx x x五、 分式换元法对于含有约束条件121=+++n a a a 的某些不等式，可考虑换元：),,,2,1(21n i a ni i =++=αααα由于把不等式中的字母换成了分式，故称之为分式换元法。
例5 已知+∈R x x x x 4321,,,，且1111111114321=+++++++x x x x ，求证：814321≥x x x x 。
六、 分母换元法一些分母复杂的分式不等式的证明，可考虑将分母换元，以使分母变得简洁些，进而把问题解决，故称此法为分母换元法。
高中数学不等式几种解题思路分析
高中数学不等式几种解题思路分析作者：柏亦坚来源：《当代旅游（下旬）》2017年第08期摘要：由于新课改的持续深入，在高中数学中，不等式在学生学习和高考中占有重要地位，与此同时，还是高中学生学习的重点和难点。
而高中数学学习过程中需要对不等式的解题思路进行了解和分析，才能提升数学不等式解题效率。
因此，本文对不等式的几种解题思路做了简单的阐述。
关键词：高中数学；不等式；解题思路高中数学学习过程中，不等式是学生学习的核心内容，并且还是高考的热点与重点。
所以，高中学生在进行数学不等式的学习过程中，需要对重要的不等式概念进行充分理解，并且在此基础之上关注不等式解题思路。
因而，下面就对高中数学不等式的几种解题思路进行了讨论。
一、高中数学不等式解题思路之换元法在高中数学不等式问题之中，多数使用字母表达的方法，其对于学生自己的思路整理是非常严峻的考验。
对变量多以及变量之间的关系不清楚的不等式，可适当使用换元法解答问题，将问题化简，接着回答问题。
采用换元法不等式解题思路可以帮学生自己构建出完美的解题思路，学生需要关注到换元法的阐述，且勤加训练，充分掌握和使用换元法。
换元法一般有这几种换元形式：一个是三角代换法，另一个就是增量换元法。
其中三角代换法多数使用在条件不等式证明中，假设已知条件很复杂，一个变量难以使用另外一个变量来表达，那么就可以采用三角代换法，把两个变量均采用相同的参数表述。
这一方式运用适当，能够将三角和代数相结合，将复杂的问题简单化。
而增量换元法就是在对称式与给出的字母顺序的不等式之中，思考采用增量法换元，目的就是经过换元从而达到减元目的，让问题变得更加简单。
在三角换元里面，因为给定的条件具备一定的局限性，会对引进的角有局限性。
所以需要增加对其的关注力度，不然很有可能产生错误的解答。
此也是换元法的核心部分，需要关注到整体思路的运用。
以增量換元法为例，已经知道一元二次不等式是>0，请计算出m解集范围。
换元法求基本不等式
换元法求基本不等式1. 引言基本不等式是数学中常用的一种不等式形式，它在解决问题、证明问题时起到了重要的作用。
而换元法则是求解基本不等式的一种有效方法，通过适当的变量替换，将原始的不等式转化为一个更易于处理的形式，从而得到最终的结果。
本文将详细介绍换元法求解基本不等式的步骤和相关技巧。
2. 换元法求解基本不等式的步骤换元法求解基本不等式可以分为以下几个步骤：步骤一：确定合适的变量替换首先需要根据具体问题确定一个合适的变量替换，这个替换后的变量通常具有某种特殊性质，能够使得原始不等式更加简化。
常见的替换包括但不限于：平方、倒数、对数、指数等。
步骤二：进行变量代换将选择好的变量代入原始不等式中，进行变量代换。
此时需要注意保持原始不等式中各项之间相对大小关系。
步骤三：化简计算根据选择好的变量替换和变量代换，对原始不等式进行化简计算。
这一步骤通常需要运用一些基本的数学运算法则，如加减乘除、取对数、指数运算等。
步骤四：得到最终结果经过化简计算后，得到一个新的不等式。
根据问题的要求，可以进一步对该不等式进行求解或进行其他操作。
3. 换元法求解基本不等式的技巧在使用换元法求解基本不等式时，可以根据具体问题选择合适的变量替换和变量代换方式。
以下是一些常用的技巧：把复杂的不等式转化为简单形式有时候，原始不等式非常复杂，很难直接求解。
这时可以通过合适的变量替换将其转化为一个更简单的形式。
例如，对于含有平方项的不等式，可以尝试令该平方项为一个新的变量。
利用特殊函数进行替换在某些情况下，特殊函数（如指数函数、对数函数）可以帮助我们更好地处理不等式。
通过选择适当的特殊函数进行替换，可以使原始不等式更易于处理。
利用对称性简化问题有时候，在一个问题中存在着对称性，即某些变量或表达式的值互为相等。
利用这种对称性可以简化问题，减少计算的复杂度。
引入辅助变量在某些情况下，引入一个辅助变量可以帮助我们更好地处理不等式。
通过引入辅助变量，可以将原始不等式转化为一个更易于求解的形式。
用换元法突破基本不等式问题的几种策略
用换元法突破基本不等式问题的几种策略基本不等式是高中数学的重点内容之一，是现行高考的重点和热点，是我们解决许多数学问题的重要工具．对运用基本不等式求较复杂的最值问题，很多学习者掌握起来有一定的难度．本文介绍运用换元法来处理此类问题的几种策略，希望对读者有所帮助．一、运用换元法，将问题化归为两种基本模型来解现行苏教版必修 5 教科书给出了两种重要的模型(P 110 例题 3；习题 10．9练习 16)． 模型1 已知正数x ，y 满足1ax by +=，求m n x y+的最小值．（其中a 、b 、m 、n 为正常数） 模型2 已知a ，b 为正的常数，正数x ，y 满足1a b x y+=，求mx ny +的最小值． 为什么教材的编写者给出这两种基本模型?笔者认为主要是这两种情况下，分式的分母相对简单，便于学习者掌控(合理地进行系数配凑)．例1 若0,0a b >>，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值是________． 解法 1 令2,1a b x b y +=+=，则问题转化为已知正数x ，y 满足111x y +=，求1332222a b x y +=+-的最小值．运用模型2，()(1113133132344222222y x a b x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当x =，即12a b ==． 解法2 设2211sin ,cos .0,212x x x a b b π⎛⎫==∈ ⎪++⎝⎭， 则22211tan ,1tan 2tan b x a x x⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，从而22111123tan 222tan a b x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭当2tan x． 变式1 已知a ，b 为正数，且1a b +=，则22231a b p a b ++=++的最小值是______． 解 令1b x +=，则2a x +=，即122ax +=．所以()22(1)312122()2233x x a p a a x x a a x a x a x a x -+⎛⎫⎛⎫=++=+++-=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当x =，即2,3a b ==-时等号成立．所以，p 的最小值是3+．二、通过换元，将陌生的问题转化为熟悉的问题例2 已知x ，y 为正实数，则44x y x y x y+++的最大值为_______． 分析 这个问题最大的难点在于分母都是多项式，不利于掌控，可以想到通过换元把分母转化为一个字母(单项式)．解 设4,x y a x y b +=+=，则40,0,,33a b b a a b x y -->>==．于是48148443333x y b a x y x y a b ⎛⎫+=-+≤ ⎪++⎝⎭， 当2a b =，即2x y =时等号成立． 故所求的最大值是43． 变式2 是否存在常数c ，使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y +≤≤+++++对任意正数x ，y 恒成立？试证明你的结论．解 令2,2x y a x y b +=+=，则22,33b a a b x y --==． 一方面，22222333x y b a x y x y a b ⎛⎫+=+-≥ ⎪++⎝⎭， 当a b =，即x y =时等号成立，所以23c ≥； 令一方面，41422=2233333x y a b x y x y b a ⎛⎫+-+≤-= ⎪++⎝⎭， 当a b =，即x y =时等号成立，所以23c ≤． 综上，存在23c =，使得命题成立． 变式3 已知正实数a ，b 满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为_______． 分析 这个问题貌似与两种模型相似，但仔细分析发现又大相径庭．如果按照2a b +进行整理，再通过换元可以转化为利用函数的单调性求简单函数的最值问题．解 由21a b +=≥108ab <≤．令ab t =，则()22211114241414a b a b ab ab t ab ab ab t++=++-=--=+-． 易知1()14h t t t =+-在1(0,]8上是减函数，故18t =时，()h t 取得最小值172． 变式4 已知实数x ，y 满足1xy =，且20x y >>，则2242x y x y+-的最小值为_______． 解 设20x y a -=>，则224(2)44422x y x y xy t x y x y t+-+==+≥--， 当2t =时，即12,2x y ==时等号成立． 所以，所求表达式的最小值为4．变式5 设34a b c >>，493344m a b b c a c+≥---恒成立，求实数m 的最小值． 解 令3,34a b x b c y -=-=，则0,0x y >>，4a c x y -=+， 原不等式等价于49m x y x y+≥+, 从而()494913y x m x y x y x y ⎛⎫≤++=++ ⎪⎝⎭． 又4912y x x y+≥，当32y x =时等号成立． 所以，m 的最小值是25．变式6 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1113,,a a a 成等比数列．若11a =，数列{}n a 的前n 项和是n S ，则2163n n S a ++的最小值是_______． 解 由23113a a a =，得2(12)112d d +=+，解得2d =． 故221,n n a n S n =-=． 所以2221621683221n n S n n a n n +++==+++． 令1t n =+，则2169243n n S t a t+=+-≥+， 当3t =，即2n =时等号成立．故所求的最小值是4．例3 已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，求xy 的取值范围． 分析 问题给出的表达式中既有整式，又有分式，而求的是xy 的取值范围．如果将分母去掉，就会出现,,x y xy 及22,x y xy 五个量，如果令0xy t =>作为变量的话，可以消去一个变量，得到相应解法．解 设0xy t =>，则t y x =，条件变为23410t x x x x t +++=．故423101t x t x +⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭81,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 即xy 的取值范围是81,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 变式7 已知0,0x y >>，且满足18102y x x y +++=，则2x y +的最大值为______． 解 设2t x y =+，则18102t x y ++=，即有18102t x y +=-．结合柯西不等式，可得()218210182t x y t x y ⎛⎫⎛⎫++=-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()18(2)0t t --≤，得到218t ≤≤，当且仅当3,12x y ==时等号成立．故所求的最大值为18．变式8 设实数11,2x y >>，不等式224211x y p y x ≤+--恒成立，求实数p 的最大值． 解 令21y a -=，1x b -=，则0a >，0b >，且22224(1)(1)211x y b a y x a b+++=+--228⎛≥=≥= ⎝， 当a b =，即2x y =时等号成立．所以，p 的最大值是8．三、换元转化为非基本不等式问题例4 若实数a ，b 满足a =a 的最大值是_________．解 0x ≥0y =≥，则22,4b y a b x =-=．故2224x y a x y +==+， 即22480x y x y +--=，亦即22(2)(2)20x y -+-=．令2,4,0,2x t y t t π⎡⎤-=-=∈⎢⎥⎣⎦，则2281010sin()20a x y t t t ϕ=+=+++=++≤， 当2t πϕ+=时等号成立．所以，a 的最大值是20．变式9 设,,a b c 为直角ABC ∆的三边长，其中c 为斜边长，求使得333a b c k abc++≥成立的最大k 的值．分析 因为ABC ∆为直角三角形，且c 为斜边，考虑三角换元将多元最值问题转化为一元最值问题．解 不妨设sin ,cos ,0,2a c x b c x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则 33333sin cos 1(sin cos )(1sin cos )1sin cos sin cos a b c x x x x x x u abc x x x x +++++-+===．令sin cos )4t x x x π=+=+∈，则21sin cos 2t x x -=，可得2()1u f t t t ==--．由函数()f t 在单调递减，得min ()2f t f ==于是，k 的最大值是2变式10 已知正实数a ，b 满足221a b +=，3321(1)a b m a b ++=++，求实数m 的最小值． 分析 问题中含有三个未知数a 、b 、m ，而且次数比较高，正面直接处理比较棘手．由221a b +=，可以考虑用三角换元来处理．解 设cos a x =，sin b x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则333sin cos 1(sin cos 1)x x m x x ++=++，再令sin cos )4t x x x π=+=+∈， 于是23111(1)2t t t m ⎛⎫--+=+ ⎪⎝⎭，整理得 21312(1)21t m t t -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭．注意到31t +在[]1,2t ∈时为减函数，所以1122m ⎛≥-= ⎝，即m 的最小值是2． 基本不等式问题的解题方法很多，其中换元法是将复杂的基本不等式问题转化为简单问题或者熟悉问题的重要策略．笔者相信，只要学习者能认真总结提炼，就一定能从根本上把握基本不等式问题的解题技巧，做到游刃有余．。
对数不等式的解法
对数不等式的解法：化同底或换元法若logaf(x)＜logag(x)．当a＞1时，原不等式化为当0＜a＜1时，原不等式化为．“分段函数型”不等式若f(x)＝解f(x)＞g(x)时，对x进行分段讨论或用图象法解．．含参数不等式的解法(1)若f(a)x>b，需对f(a)＞0，f(a)＝0，f(a)＜0进行讨论．(2)若f(a)x2＋bx＋c>0(<0)，则需分f(a)＝0与f(a)≠0来讨论．当f(a)≠0时，又需对判别式Δ分Δ＞0，Δ＝0和Δ＜0来讨论．在写出不等式的解集时有时需通过比较两根的大小来分类，最后确定出分类标准．(3)若对数或指数的底数中含有参数a，有时需对a＞1或0＜a＜1来讨论．(4)有些较复杂的含参数的不等式中对参数的分类标准极难把握，往往是在解题过程中发现的．例1 解不等式：(1)2x3－x2－15x＞0；(2)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0.[解答] (1)原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.由数轴标根法可得∴原不等式的解集为.(2)原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3＞0?用数轴标根法可得∴原不等式的解集为{x|x＜－5，或－5＜x＜－4，或x＞2}．例2解不等式：(x2－1)(x2－6x＋8)≥0.[解答] 由(x2－1)(x2－6x＋8)≥0可得①或②由①解得x≥4，或1≤x≤2，或x≤－1.由②得x∈，∴原不等式的解集为{x|x≤－1，或1≤x≤2，或x≥4}．[点评] 在解高次不等式时，有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于0和大于0两种情形讨论．例3 已知：a>0，函数f(x)＝解不等式<1.[解答] ①当x≤0时，解<1，即解<1，即>0，不等式恒成立，即x≤0；②当x>0时，解<1，即解<1，即>0，因为a＋2>2，所以x>a＋2或x<2，即0<xa＋2.由①、②得原不等式的解集为{x|x<2，或x>a＋2}．[点评] 与分段函数有关的不等式问题，需要对每一段进行讨论，做到不重不漏．近年高考对分段函数的考查逐渐升温，从求值域到分段解析式到解分段函数的不等式等，这些问题都要引起我们的重视．[2010·长沙一中二模] 设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( ) A．(0,2)(3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(0,1)(2，＋∞) D．(0,2)A [解析] 当x0≥2时，>1，解得x0>3；当x0<2时，2x0>1，解得0<x0<0f(x)·g(x)0，(2x2－3x＋1)(3x2－7x＋2)>0或x<或<x2.∴原不等式的解集为∪∪(2，＋∞)．解法二：原不等式等价于>0(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0.用序轴标根法，∴原不等式的解集为∪∪(2，＋∞)．例5 解关于x的不等式：≥1.[解答] 设t＝，原不等式等价于≥1≥0?≤0?≤t<2?≤<2?－2.[解答] 原不等式可以化为log2(2x－1)·[－1－log2(2x－1)]>－2，令log2(2x－1)＝t，则t(－1－t)>－2，即(t＋2)(t－1)<0，∴－2<t<x<log2(2x－1)<1.∴2－2<2x －1<2，得<2x2的解集为A，且3A.(1)求实数a的取值范围；(2)求集合A.(2)>2?－2>0>0，由(1)知a－2<0，所以>0<0.又由－2＝，当0＜a≤1时，>2，则集合A＝[解答] (1)3?A，当x＝3时，≤2，即≤2，a≤1，故a的取值范围是{a|a≤1}．当a＝0时，原不等式解集A为空集；当a＜0时，<2，则集合A＝.综上所述：当0＜a≤1时，集合A＝；当a＝0时，集合A为空集；当a＜0时，集合A ＝.[点评] 本题中第(1)问是解不等式的逆向性问题，应理解不等式的解的意义. 第(2)问是含参分式不等式的解法，先要等价转化为整式不等式，再就两根与2的大小分三种情况讨论．</t</x</x0</x。
浅谈不等式证明题的常用方法与技巧
课程篇”肉谈不等式证朗题的常用方出与技巧李阳刚(贵卅省长顺县民族高级中学，贵州长顺)摘要：一般来说，不等关系以及相等关系是数学中最为基本的数量关系。
不等式的内容在高中数学的教学内容中占据着重要的比重，它是高中数学非常重要的知识点，在日常生活、学习中不等式的证明方法以及相关的应用都会得到相应的体现。
在高中不等式的教学过程中，不等式的证明方法是丰富多样的。
主要介绍了一些能够有效证明常见不等式的解题思路和技巧，希望对学生解决不等式问题有一些帮助。
关键词：不等式证明；方法与技巧；教学策略不等关系是在客观世界中广泛存在的一种基本关系，其中，：各种类型的不等式在现代数学的各个领域中都应用得较为广泛。
］不等式.即利用不等号或者是“#”)来表示不等式关系的1式子。
在高中数学不等式的证明过程中，其证明方法都有相对应:的技巧和模式，利用绝对值来求解不等式、结合分段讨论的方法:求解不等式法、综合法、放缩法、比较法、换元法等都是证明和求：解不等式的简便方法。
因此，在数学的学习过程中,教师要引导学;生结合不等式题型的特点，合理地选用不等式证明方法和技巧，1通过简便的途径来有效地解决问题，提高解题效率。
以下我们就:来实际列举一些不等式证明的常见方法与技巧。
一、利用绝对值解不等式在高中数学的不等式解题过程中，处理绝对值样式的不等式的解题思路在于将绝对值不等式转化为非绝对值的不等式。
绝对:值本质上表示数轴上的点位于原点之间的距离，所以教师只有帮1助学生清晰地认知绝对值的含义，才能够帮助学生在理解的基础1上，透彻地掌握绝对值解不等式的解题思路，有效地证明不等式。
1例如，在证明“不等式|乂-3|-|乂+5卜2成立”的过程中，|x-3|:可以表示为数轴上的点到3的距离，那么相应的b+5|就表示为数轴上的点到点-5之间的距离。
那么，不等式b-3|-h+5卜2的■解则会体现在数轴中.所以，教师就可以引导学生：数轴上的点距［离3的长度与点到-5的长度之差能够大于2的所有点都满足这［个不等式的解，则有了以下证明。
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`用换元法解不等式【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。
在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。
换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。
换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。
【关键词】 换元法 三角换元 代数换元做任何事情都要讲究方法。
方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。
解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方确，问题就容易解决。
波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。
”换元法是数学中的一个基本方法之一。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。
下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。
一、增量换元若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。
例1 设()1,0,,∈z y x 并且它们的和为2 ，求证 341≤++≤zx yz xy . 分析与证明 由条件()1,0,,∈z y x 可令3211,1,1a z a y a x -=-=-=，且()1,0,,321∈a a a ，则1321=++a a a .()()()()()()133221111111a a a a a a zx yz xy --+--+--=++∴ ()()1332213212-3a a a a a a a a a +++++= 11133221>+++=a a a a a a又 ()1332213-1a a a a a a ++()()13322123213a a a a a a a a a ++-++==133221232221a a a a a a a a a ---++ ()()()[]021213223221≥++++-=a a a a a a ， 31133221≤++∴a a a a a a .1332211a a a a a a zx yx xy +++=++ ，343111=+≤++<∴zx yz xy .例 2 已知2,2>>b a ，求证 ab b a <+. 证 设n b m a +=+=2,2，显然0,0>>n m .则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222 mn n m n m ----++=2244 0<---=mn n m 故ab b a <+.注 增量换元的目的，在于从不等式b a ≥转化为x b a +=这个等式。
再应用这个不等式往不等转化，以达到证题的目的。
二、三角换元在解某些不等式，迭用适当的三角函数换元，把代数问题转化为三角问题，从而充分利用函数的性质解决问题。
例3 若1=++r q p ，且1,,0≤≤r q p ，求证：3≤++r q p .分析 由1=++r q p ，可令α2cos =p ，βα22cos sin =q ，βα22cos sin =r ，其中α，`⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πβ，.则βαα222cos sin cos +=++r q p βα22sin sin +βαβααsin sin cos sin cos ++= ()ββααsin cos sin cos ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=4sin sin 2cos πβααααsin 2cos +≤322tanarc sin 3≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=α 例4 已知:,1>a ,0>b ,1=-b a 求证:11110<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<b b a a a . 分析:由于,1>a ,0>b ,1=-b a 并且不等式中有,,b a因此我们联想三角函数平方关系:1tan sec 22=-θθ .经过对比,发现a 相当于θ2sec ， b 相当于θ2tan ，因而可令：,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20tan 2πθθb .证明:令,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=20tan 2πθθb , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b a a a 111 =θθθθθtan 1tan sec 1sec sec 1222+- θsin =1<可见原不等式成立。
104sin 105-≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤∴θπ原不等式成立。
从例3，例4可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式三、代数换元对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，则能化难为易，简洁明快地解决问题。
例5 解不等式03223222<+⋅-+x x .解：设t x =2，则原不等式可化为032122<+-t t ，解之得84<<t .即824<<x ，故32222<<x .根据指数函数的单调性，原不等式的解集为{}32<<x x . 例6 设a,b,c 是三角形的三边长，s 是三角形的半周长，求证： ()()()c s b s a s abc --->8 。
证明 令x z c z y b y x a +=+=+=,,，其中0,0,0>>>z y x ，则 ()z y x c b a s ++=++=21. 所以不等式等价于()()()xyz y x z x z y 8≥+++ 因为yz z y 2≥+，xz z x ≥+，xy y x ≥+. 上述三式相乘，得()()()xyz xy xz yz y x x z z y 8222=⋅⋅≥+++ 故原不等式得证。
四、均值换元使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。
例7 n 个正数,,,21n x x x 它们的和是1,求证: +++++ 32222121x x x x x x2112121≥+++--x x x x x x n n n n n .`分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等 式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令12112m x x x ++=, ,22322m x x x ++=,n n n m x x x ++=21（其中01=∑=ni i m ）. 证明:令,,2,223221211 m x x x m x x x ++=++=,21n nn m x x x ++=则 01=∑=ni im.+++++ 32222121x x x x x x 12121x x x x x x n n n n n +++-- ()()()121322232212121212121x x m x x x x m x x x x m x x n n n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=()322221212113221444x x m x x m m m m x x x x x x n n ++++++++++++++= 12x x m n n+++ ≥()4221n x x x +++21=因而原不等式成立。
例8 设1232=++z y x ，求证：2432222≥++z y x . 分析 12=+++++z z z y y x ，故平均值为2.令3212,2,2t z t y t x +=+=+=，则032321=++t t t .()()()2322212222322232t t t z y x +++++=++∴()23222132********t t t t t t ++++++=24≥.注 选取平均数，引入新变元，证明过程的确自有它独特的魅力。
又证z z y y x x 66321,44221,2221222≥+⋅≥+⋅≥+, 三式相加：()()24322123221222=++≥+++z y x z y x ， 2432322≥++∴z y x ，等号当且仅当6321,4221,221222=⋅=⋅=z y x ，即2===z y x 时取得。
注 凑常数，决不是信手拈来，估计等号成立的条件，有的放矢地匹配。
再证 ()()()14432323212222=++≥++++z y x z y x2432222≥++∴z y x .例7例8说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。
五、几何换元在∆ABC 中，b CA a BC c AB ===,,，切圆交CA BC AB ,,分别于F E D ,,,如图，则可设x z c z y b y x a +=+=+=,,，其中0,0,0>>>z y x .几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。
例9 已知3,,≥-++-++-+c b a cb c a b a c b a c b a 为三角形三边，求证. 证：设x z c z y b y x a +=+=+=,,其中 0,0,0>>>z y x ， 则cb a cb c a b a c b a -++-++-+y x z x z y z y x 222+++++=`⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x xyy z zyx z z x 21322221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅≥y x x y y z z y x z z x 所以原不等式得证。
例10 已知c b a ,,是ABC ∆三边的长，求证：222222333a c c b b a a c c b b a ++≥++.分析:(如图)作ABC ∆的切圆,设F E D ,,为切点, 令,BD x =,CD y =,AE z =(其中+∈R z y x ,,), 则原不等式可转化为:z y x y y x x x z z z y 222222++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 利用重要不等式:ab b a 2≥+可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。
证明:设F E D ,,为切点,令,BD x =,CD y =,AE z =则原不等式可转化为:z y x y y x x x z z z y 222222++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+.()1 又因为+∈R z y x ,,,则有,22y z z y ≥+ z x x z 22≥+, x y yx 22≥+， 所以(1)式成立,因此原不等式成立。