人教版数学七年级第四单元角及角的度量

人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．破疑点角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案：C【例1－2】如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”．解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ，所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．破疑点角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案：C【例1－2】如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”．解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ，所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

人教版七年级数学上册第四章 4. 角

看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2.角可以用一个数字表示,如∠1,∠2等.也可用一个小写
希腊字母
表示,如∠α,∠β,∠γ等.若用一个大写英文字母表
示角,则必须在顶点处只有一个角时才能用.若用三个大写英
文字母表示任意一个角,则角的顶点的字母必须写在中间 ,
பைடு நூலகம்
角的两边上各任取一点.
1
2
2.角度的计算【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示;
(2)将26°48'36″用度表示.
分析:(1)70.23°实际是70°+0.23°,这里70°不要变,只要先将0.23°化为分,再把所得的分中的小数部分化为秒.将0.23°化为分,只要用 0.23乘60'即可.
(2)将26°48'36″用度表示,应先将36″化成分,再将分化成度就可以了.将36″化成分,可以用 1'乘以36.
3.1周角= 2 平角= 4 直角,1周角= 360°,1平角
= 180° ,1直角= 90° .
知识梳理预习自测
1.下图中表示∠ABC的是( )
-5-
12345
关闭
C
答案
-6-
知识梳理预习自测
12345
2.下列关于角的说法正确的个数是( ) ①由两条射线组成的图形一定是角;②角的边越长,角越大;③角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.0 B.1 C.2 D.3
关闭
B
答案
知识梳理预习自测
3.在钟表上,时针1 h转
度的角.
-7-
12345
关闭
30
答案
知识梳理预习自测

七年级上册第四单元数学知识点汇总

七年级上册第四单元数学知识点汇总本文档旨在汇总七年级上册数学第四单元的重要知识点，以供学生复和梳理知识结构。

1. 直线与角- 角的基本概念：角的顶点、边、内部、外部等。

- 角的分类：锐角、直角、钝角和平角。

- 角的度量：用度来表示角的大小，360°表示一个完整的圆。

- 角的比较：通过角的度数来判断角的大小关系。

2. 角的度量- 角的度量单位：度、分、秒。

- 角的度数：一个直角等于90°，一个平角等于180°。

- 角的度量转换：将角的度数转换为度分秒形式。

- 角的绘制：使用直尺和量角器绘制角。

3. 直角及其特性- 直角的性质：直角是一个度数为90°的角。

- 垂线和水平线：直角的两边互相垂直，并且水平线与竖直线互相垂直，它们构成了直角。

- 垂线段：两条互相垂直的线段构成垂线段。

4. 直角三角形- 直角三角形定义：一个内角为90°的三角形称为直角三角形。

- 直角三角形的特点：斜边与一个直角的两条边相对应，两个锐角的和等于90°。

5. 特殊角的性质- 平角的性质：一个角是平角当且仅当其度数为180°。

- 钝角的性质：一个角是钝角当且仅当其度数大于90°小于180°。

- 锐角的性质：一个角是锐角当且仅当其度数小于90°。

6. 角的运算- 角的加法：两个角的度数相加得到它们的和。

- 角的减法：一个角的度数减去另一个角的度数得到它们的差。

以上是七年级上册第四单元数学的知识点汇总。

希望本文档能够帮助同学们复和巩固所学的知识。

祝大家取得好成绩！。

人教版数学七年级上册4.角课件

(2）调整时钟，使时针、分针重合，这时时针与分针组成的角有什么特点？
周角：终止位置与起始位置重合
说明：
在不做特别说明的情况下，我们说的角都指不大于平角的角
判断下列哪些图形是角
(√)
（×） (√)
(√)
角的表示方法
A
α
O
BO
O1
记作：∠AOB 或∠BOA 或∠O
记作 ∠α
记作∠1
注意：
（1）再用三个大写字母表示角时必须把表示角的顶点字母写在中间。
A
P
O
试一试:
用适当方法分别表示下图中的每个角
B
B
C
A⑴C
∠BAC 或 ∠A
A⑵D
∠BAC , ∠CAD ,∠BAD
练一练
将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下
表
B
5
4 3
2 1
E
D
A
C
∠1
∠BCE
∠2 ∠ACB
∠3
∠BAC
∠4
∠DAB
∠5 ∠ABC
已知∠AOB为小于平角的角，以O为顶点的角有几个？
二：练习册p58
已知∠AOB为小于平角的角，
试以O用为不顶同点的的方角式有分几别个表？示下图中3个的所有角
如果在其内部以O点引一条射线， A
那么以O为顶点的角有几个？
C
6个
D
如果在其内部以O点引99
条射线，那么以O为顶点的角有几个？ 5050个
O
B
如果在其内部以O点引n条射线，那么以O为顶点
角的度量(1)
角的定义
什么是角呢? 生活中有许多与角有关的实例,视察下图,你能指出图中的角吗?

人教版数学七年级上册4.角的度量课件

1 2
3
∠1 = 155°
∠3 = 155°
4
∠2 = 25° ∠4 = 25°
两条直线相交所形成的四个角中：对顶角相等同一条直线上角的度数和是180°
同学们可真棒，现在我们一起来回忆一下，这节课我们学了什么？
• 角的度量 • 角的顶点 • 角的一条边
—— 量角器 —— 量角器的中心 —— 量角器的0刻度线
然后去找角的另一条边对应的量角器的刻度，读出刻度。
读数时，同学们可一定要注意区分量角器的内外刻度线啊！
请同学们熟读
点对点线对边内外要分清 0在外读外 0在内读内
作业
已知∠1＝40°
• ∠2＝ • ∠3＝ • ∠4＝
2
3
1
4
3
4
∠3 = 60°
∠4 = 50°
∠3 >? ∠4
说出每个钟面上的时间，量出时针和分针所成的角度。
60° 90° 120° 150°
2. 量一量，下面的角各是多少度。
1 4
3
5
2
∠1 = 55° ∠2 = 55° ∠3 = 110°
∠4 = 40° ∠5 = 110°
3. 量出下面各角的度数，你能发现什么?
1
使用量角器的步骤 ∠1=（ 70。）
1.把量器的中心点与角的顶点与重合。点点重合
2.再把零刻ห้องสมุดไป่ตู้线与角的一条边重合。
边线重合
3.角的另一边所对的量角器的刻度，就是这个角的度数。
1
∠1=（ 70。）
2
∠2=（ 110。） 0在内刻
度线上
量
点对点
角
线对边
要
诀

七年级数学第4章角的知识点

七年级数学第4章角的知识点数学是一门重要的学科，而角是数学中的一个基础知识点。

在七年级的数学教学中，第4章主要涉及到角的知识点。

本文就来具体探讨一下这些知识点，包括角的基本概念、角度的度量方式、角的分类以及角的应用。

角的基本概念首先，我们需要了解角的基本概念。

角是由两条射线或直线段所夹的部分，其中，两条夹角的射线或直线段称为角的边，相交于一个点的角的这个点称为角的顶点。

角度的度量方式角度是衡量角的大小的标准，有两种常见的度量方式：弧度制和角度制。

弧度是用半径长为1的圆的圆心角的度量单位，其记号是rad。

1周的圆心角为360度，也就是2pi弧度。

角度制则是用度来衡量角的大小，以角度符号°表示，1度等于1/360周的圆心角。

两种度量方式之间可以相互转换，例如，一个角的角度制大小为30度，则它的弧度制大小为π/6弧度。

角的分类角的分类有以下三种：锐角、直角和钝角。

锐角是指角小于90度，直角是指角等于90度，钝角则是指角大于90度。

当角的大小为180度时，称这个角为平角。

此外，当两个角的和等于180度时，这两个角被称为补角；而当两个角的和等于90度时，这两个角被称为余角。

角的应用角的应用在实际生活中非常广泛。

例如，在航空领域，通过测量两架飞机之间的夹角，可以确定它们的方向；在建筑领域，通过计算墙壁之间的夹角，可以确定建筑物的坡度和方向；在游戏设计领域，通过计算主角与怪物之间的夹角，可以确定攻击和逃避的策略。

总结综上所述，角的知识点是数学中的一个基础概念，包括角的基本概念、角度的度量方式、角的分类以及角的应用。

在学习中，我们可以通过多做题、多画图等方式加深理解，希望本文能为七年级学生对于角学习有所帮助。

人教版七年级数学课件《角的度量与单位换算》

两条射线 —角的边公共端点 —角的顶点
人教版数学七年级上册
复习回顾
人教版数学七年级上册
角的表示方法
1.用三个大写字母表示，如： ∠AOB 或∠BOA；O
当两个或两个以上的角共同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
(注意必须把顶点字母放在中间) 或用一个大写字母表示，如：∠O ；
2. 用一个数字表示，如∠1；
1周角＝ 36 °；1平角＝ 18 °.
0
0
1°＝ 60 ′；1′＝ 60 ″.
人教版数学七年级上册
典例解析
人教版数学七年级上册
例1 度分秒的互化
(1) 57.32°=57 19°12 ′ ″；
(2) 17°6′36″=17.11
°.
解析：57.32 =57 +0.32×60′ =57 +19.2′ =57 19′+0.2×60″ =57 19′12″
达标检测
人教版数学七年级上册
4. 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，请说明它们的大小关系. 解：∵ 38°15′ = 38.25°， ∴ 38°15′ ＞ 38.15°.
你还有别的方法吗？
小结梳理
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角 360等分. 每一份就是 1 度的角，记作1°；把 1 度的角 60 等分，每一份叫做1 分的角，记作 1′；把1分的角 60等分，每一份叫做1 秒的角，记作1″.
【分析】时针每小时旋转的夹角360°÷12=30°，故10分钟，时针旋转的角度为5°，即10：10时，时针与分针所夹角度为4×30°-5°=115°.
针对练习
人教版数学七年级上册
1.甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针和时针互相垂直的时刻时，

2023-2024学年人教版七年级数学第四章4.3角

4.3角1.掌握角的不同表示方法.2.会度量角,会用角表示方位,能比较两个角的大小.3.会计算两个角的和与差,能计算有关余角、补角的简单问题.1.在理解角的有关概念的基础上,会进行图形语言和符号语言的转化.2.培养学生独立分析问题的能力,增强解决问题的能力和论证说理的能力.培养学生严谨的学习态度,理解数形结合思想.【重点】角的定义及表示,角平分线的定义及应用.【难点】有关方位角的表示,角的相关计算.4.3.1角1.通过丰富的实例,理解角的形成,建立几何中角的概念.2.掌握角的两种定义形式和四种表示方法.通过在图片、实例中找角,培养学生观察、探究、概括的能力,以及把实际问题转化为数学问题的能力.1.通过实际操作,体会角在实际生活中的应用.2.培养学生参与数学学习活动的热情和对数学的好奇心.【重点】角的概念与角的表示方法.【难点】正确理解角的概念.【教师准备】多媒体课件、直尺、三角板.【学生准备】直尺、三角板、量角器.导入一:1.观察上面的图片,你能发现其中有什么相同的图形吗?2.你能把观察得到的图形画在本子或黑板上吗?这些是什么图形?3.根据这些图形,你能归纳出它们的共同特征吗?[设计意图]挖掘和利用现实生活中与角相关的模型,让学生在现实背景中认识角,培养学生的动手能力,引导学生观察并归纳角的特点.导入二:小学里我们已经学过与角有关的简单知识,也知道角是一种基本图形,那么在我们的现实生活中,你能举出一些角的实例吗?其实我们周围的事物存在着各种各样的角,可以说,只要有直线的地方,就一定有角.门、窗户、桌子、椅子都有直角,我们使用的三角板上有锐角、直角,使用的钟表的指针,时针和分针在不停地转动,它们有时组成锐角,有时组成直角,有时组成钝角,有时还可以组成平角和周角.如果仔细观察,就会很容易理解角的相关知识了.[设计意图]让学生从生活中发现角,通过教师的举例和讲解,使学生认识到生活中处处存在着角,从而使学生主动、积极地投入到本节课的学习之中.探究1:角的定义线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.(2)下面的三个图形是角吗?(3)小组交流:说说生活中的角.分组活动,先独立思考,然后小组内互相交流并做记录,最后各组选派代表发言.探究2:角的表示方法1.一种远古恐龙在漫步时,它的身体与地面总是保持一定的角度,以利用自己长长的尾巴保持身体的平衡,如图所示,设恐龙的眼睛为点A,脚与地面的接触点为B,恐龙正前方的地面上一点为C,你能用适当的方式表示这个倾斜角吗?2.角的表示:角用符号“∠”表示,常见的方法有:(1)用三个大写英文字母表示,如图(1)所示,可记作∠AOB或∠BOA,其中O是角的顶点,必须写中间,A,B分别是角的两边上的一点,写在两边,可以交换位置.(2)用一个大写英文字母表示,如图(1)所示,可记作∠O.用这种方法表示的前提是同一个点作顶点的角只有一个,否则不能用这种表示方法.如图(2)所示的∠AOC就不能记作∠O,因为此时以O为顶点的角不止一个,容易引起混淆.(3)用数字或希腊字母来表示,用这种方法表示角时,要在靠近顶点处加上弧线,注上阿拉伯数字或小写希腊字母α,β,γ等.如图(2)所示,∠AOB可记作∠1,∠BOC记作∠2,如图(3)所示,∠AOB记作∠β,∠BOC记作∠α.[知识拓展](1)不要混淆角的符号“∠”与小于号“<”.(2)几种角的表示方法的优缺点:∠用三个大写英文字母来表示,适用于所有的角的表示,但比较烦琐;∠用顶点处一个字母来表示角时比较简便,但只能用来表示以这个点为顶点的角只有一个的情况;∠用数字或小写希腊字母来表示角比较简便,但需在图中标出相应的数字或小写希腊字母,另外当要表示的角较多且较集中时,会让人有一种眼花缭乱的感觉.(3)在具体表示一个角时,首先用顶点字母表示,若不行,再选用数字或小写希腊字母来表示,至于用三个大写英文字母来表示,一要会用,即顶点字母在三个英文字母的中间,二要少用,因为这种方法较为烦琐.探究3:用旋转的观点定义角思路一想象:1.大海上,一艘轮船打着探照灯正在寻找目标.2.一只挂钟的钟摆不停地摆动.思考:在想象过程中,有以新的方式出现的角吗?在讨论的基础上归纳出:如图所示,角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位说明:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角.继续旋转,当终边和始边重合时,所成的角叫做周角.思路二教师展示一条射线绕端点旋转,通过多媒体,展示出运动从初始状态到终止状态的过程.给出角的概念:一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做角.其中起始位置的射线叫做角的始边,终止位置叫做角的终边.探究4:角的度量即1°=60',1'=60″.归纳:以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.1.想一想:角度进位制和其他什么进位制类似?(时间进位制)2.出示三个问题:【问题1】 (1)一个直角等于 ,一个平角等于 ,一个周角等于 . (2)12直角等于 ,13平角等于 ,110周角等于 .【问题2】 3.32小时= 小时分秒; 3.32度= 度分秒【问题3】 12小时9分36秒= 小时; 12°9'36″= 度.分组讨论后,让学生回答度、分、秒间的转化方法.师生共同总结得出:由度化分,由分化秒,只要乘60即可;由秒化分,由分化度,只要除以60就行.3.角的度量可以用量角器,经纬仪等,在实际应用中,我们还可以借助三角尺画一些特殊的角.请你试一试,利用两个直角三角板,能画出哪些角?[设计意图] 在识别角的过程中加深对角的概念的理解,培养学生主动参与合作交流的意识,提高分析、概括的能力.并通过角的度量,使学生了解了角的单位之间的进率,培养了学生的计算能力.[知识拓展] (1)角的大小与角的两边的长短无关,只与构成角的两条射线张开的幅度有关.(2)角的大小可以度量,可以比较,也可参与计算.角{定义{ 静态描述:有公共端点的两条射线组成的图形动态描述:由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形表示方法{三个大写字母一个大写字母一个希腊字母一个阿拉伯数字角的度量{单位:度、分、秒1°=60′,1′=60″1.下列关于角的说法正确的是 ( ) A.角是由两条射线组成的图形 B.角的边越长,角越大 C.角的一边长为5 cmD.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形解析:角是由两条有公共端点的射线组成的图形,它的两边是射线,没有长短,故A,B,C错误,D正确.故选D.2.如图所示,下列说法正确的是()A.∠1与∠OAB表示同一个角B.∠AOC也可以用∠O表示C.图中共有三个角:∠AOB,∠AOC和∠BOCD.∠β表示的是∠COA解析:A.∠1与∠OAB不能表示同一个角,故错误;B.∠AOC不可以用∠O表示,故错误;C.图中共有三个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,正确;D.∠β表示的不是∠COA,故错误.故选C.3.如图所示,在∠AOB的内部引两条射线OC和OD,则图中角的个数是()A.3B. 4C.5D.6解析:按顺序数有∠AOC,∠COD,∠DOB,∠AOD,∠COB,∠AOB,共6个角.故选D.4.写出图中符合下列条件的角.(图中所有的角均指小于平角的角)(1)能用一个大写字母表示的角;(2)以点A为顶点的角;(3)图中所有的角(用简便方法表示).解:(1)能用一个大写字母表示的角有∠B,∠C.(2)以点A为顶点的角有∠CAD,∠BAD,∠BAC.(3)∠C,∠B,∠1,∠2,∠3,∠4,∠CAB.4.3.1角探究1:角的定义(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.探究2:角的表示方法(1)三个大写字母(2)一个大写字母(3)一个希腊字母(4)一个阿拉伯数字探究3:用旋转的观点定义角探究4:角的度量一、教材作业【必做题】教材第134页练习第1,2,3题.【选做题】教材第139页习题4.3第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示的四个图形中,能用∠α,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的图形是()2.下列说法中正确的有()∠由两条射线组成的图形叫做角;∠角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的角度有关;∠角的两边是两条射线;∠把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数也扩大10倍.A.1个B.2个C.3个D.4个3.从3时到6时,钟表的时针旋转的度数是()A.30°B.60°C.90°D.120°4.下图中角的表示方法正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.下图中表示∠ABC的是()【能力提升】6.若∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°,则()A.∠A>∠B>∠CB.∠B>∠A>∠CC.∠A>∠C>∠BD.∠C>∠A>∠B7.图中以O点为顶点的角有几个?以D点为顶点的角有几个?试用适当的方法来表示这些角.(图中所有的角均指小于平角的角)【拓展探究】8.小刚是个数学迷,最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题,他想和大家一起来讨论相关的问题.(1)分针每分钟转多少度?时针每分钟转多少度?(2)12:00整,时针和分针重合,至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象?此时,时针和分针各转动了多少度?【答案与解析】1.B(解析:A.因为顶点O处有四个角,所以这四个角均不能用∠O表示,故本选项错误;B.因为顶点O处只有一个角,所以这个角能用∠O,∠α及∠AOB表示,故本选项正确;C.因为顶点O处有三个角,所以这三个角均不能用∠O表示,故本选项错误;D.因为∠O与∠α表示的不是同一个角,故本选项错误.故选B.)2.B(解析:∠角是由有公共端点的两条射线所构成的图形,故错误;∠角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的角度有关,故正确;∠角的两边是两条射线,故正确;∠把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数不变,故错误.只有∠∠正确.故选B.)3.C (解析:从3时到6时,钟表的时针旋转的度数是(6-3)×30°=90°.故选C.)4.B(解析:因为平角是由处在同一直线上方向相反的两条射线构成的角,不能将直线和射线混为一谈,所以(1)错误,(2)正确;图(3)(4)中,点A为顶点,可表示为∠CAB,所以图中角的表示方法正确的有2个.故选B.)5.C (解析:A应为∠CAB;B没构成角;D应为∠ACB.故选C.)6.A(解析:易知∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°=20°15',所以∠A>∠B>∠C.故选A.)7.解:以O点为顶点的角有3个,分别是∠AOB,∠AOC,∠BOC;以D点为顶点的角有4个,分别是∠1,∠2,∠3,∠4.8.解:(1)分针旋转的速度是360÷60=6(度/分),时针旋转的速度是30÷60=12(度/分).(2)设至少经过x分,会再次出现时针和分针重合的现象,由题意得6x-12x=360,解得x=72011,分针旋转6×72011=432011(度),时针旋转12×72011=36011(度).答:至少经过72011分钟会再次出现时针和分针重合的现象,此时,时针转动了36011度,分针转动了432011度.在教学过程中教师以多媒体课件引入图片,直观形象地刻画出角的形象,与小学阶段的角的形象相对应,自然地引入本节课的内容,给学生熟悉、亲近的感觉.在探索过程中,借助多媒体生动形象地描绘出角的另一种描述方式:以运动的观点来描述,通过多媒体展示运动的角,让学生从感性上接受角的另一种描述方式.关于角的度量换算的内容,充分发挥了学生的主观能动性,通过小组讨论以及师生之间的合作交流,在师生、生生之间的互动中解决本节课的重点和难点,让每个学生都能在交流的过程中获益,同时也培养了学生的合作意识.1.学生对用一个大写字母表示角的方法不熟练,当一个顶点处有多个角的时候也用一个大写字母表示.2.学生对度、分、秒之间的换算练习不到位,以致在做题的过程中出现的错误较多.在本节课的教学中角的表示方法是个难点,教师应针对不同的图形增加练习题,让学生掌握这种表示方法.另外对于角度单位的换算,应明确单位之间的进率与时、分、秒单位之间的进率相同,在换算时典型题多练习、多指导,在课堂上学生没有完全掌握的地方,在习题之后可以再补充几道题,不要局限于有限的资源.练习(教材第134页)1.解:6时整,钟表的时针和分针成180°角;8时整,钟表的时针和分针成120°角;8时30分,钟表的时针和分针成75°角.2.提示:度、分、秒是角的度量单位,相邻两个单位之间的进率都是60,即1°=60',1'=60″.由此即可进行换算.解:(1)35°=35×60'=2100',35°=35×3600″=126000″.(2)38°15'和38.15°不相等.因为38.15°=38°+0.15×60'=38°9',38°9'<38°15',所以38°15'>38.15°.3.解:画法如下:(1)先画一个圆;(2)以圆的半径为半径用圆规在圆周上顺次截取六等份,在圆周上得到六个点A,B,C,D,E,F;(3)顺次连接这六个点就得到正六边形ABCDEF.角是最基本的几何图形之一,正确理解角的概念,掌握角的表示方法对今后的学习非常重要.1.认识角角是由有公共端点的两条射线组成的图形.如图(1)所示,角是由两部分组成的,一是角的顶点(点O);二是角的两条边(射线OA,OB).学习角的定义应注意把握角的特征:(1)角是几何图形;(2)角的边是射线;(3)角的大小与两条边的张开程度有关,与所画角的两边的长短无关.角还可以看作是一条射线OA绕着它的端点O由原来的位置旋转到另一个位置OB所形成的图形.如图(1)所示,旋转所经过的平面部分是角的内部,不包括射线的其他平面部分是角的外部.【评注】应理解并掌握角的定义,注意角的特征.2.表示角角的表示方法主要有以下几种:(1)在角的符号“∠”后面加注角两边上的两个字母和角的顶点字母来表示.如图(1)所示,这个角可记作∠AOB或∠BOA.应注意顶点字母应写在两个字母的中间.(2)在角的符号“∠”后面标注顶点字母表示.如图(1)所示,∠AOB也可以记作∠O.注意这种表示方法必须是在顶点处只有一个角的时候才能使用.当一个顶点处不是唯一的一个角时,不能使用这种方法表示.(3)在角的符号“∠”后标注数字或希腊字母表示.如图(2)所示,这两个角可分别表示为∠1,∠β.【评注】角的表示方法有三种,在表示具体的角的时候,应根据图形的特征,灵活选用表示方法.3.划分角(1)平角:射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时所成的角,如图(3)所示.(2)周角:射线OA绕它的端点O旋转,当终边OB和始边OA重合时所成的角,如图(4)所示.(3)直角:等于平角一半的角.(4)锐角:大于0°而小于90°的角.(5)钝角:大于90°而小于180°的角.【评注】直角、平角、周角都是固定大小的角.直角不是锐角,也不是钝角,同样,平角、周角不是钝角,也不是锐角.4.理清角(1)平角不是直线,周角不是射线.平角、周角都是比较特殊的角,因为平角和周角都有顶点和两条边.平角的两条边成一条直线;周角的两边重合成一条射线.平角和直线是两种不同的几何图形.同样周角与射线也是不同的几何图形.所以要注意它们之间的区别.(2)角和角的度数.角是一个几何图形,而角的度数是用来反映角的大小的一个“量”,带有单位.不能把角和角的度数混为一谈.4.3.2角的比较与运算1.会比较角的大小,能估计一个角的大小.2.在操作活动中认识角的平分线.1.经历利用已有知识解决新问题的过程.2.培养学生的数感和对数学活动的兴趣,让学生实际观察、操作,体会角的大小.3.培养学生的观察思考能力.1.在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论.2.敢于表达自己的观点,尊重和理解他人的见解,从而在交流中获益.【重点】角的比较和角平分线的定义.【难点】角的和差与画法.【教师准备】直尺、三角板.【学生准备】直尺、三角板.导入一:教师提出问题:(1)角的表示方法有几种?(2)怎样比较两条线段的大小?学生思考后回答.导入二:1.把12.35°用度、分、秒表示.2.回顾线段比较大小的方法:度量法和叠合法.提出问题:以前我们学过线段的大小比较,那么怎么来比较图中两个角的大小呢?请同学们在透明纸上任意画两个角.然后想办法比较这两个角的大小.[设计意图]通过对两条线段长短的比较的类比,探究角的大小的比较方法,巩固旧知识,引入新知识.一、角的比较方法问题1请同学们回忆一下,前面我们学习了线段的哪些内容?【师生活动】学生回顾在线段中所学内容,教师归纳.教师关注:学生对所学线段内容的整体认识以及“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程.[设计意图]通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料,使学生对学习进程做到心中有数,帮助学生掌握探究问题的方法.问题2类比线段长短的比较,你认为该如何比较两个角的大小?在练习本上画两个角,比较它们的大小,并说明你是怎样比较的.【师生活动】学生讨论解决问题的方法,学生代表展示交流.学生展示交流后提问:比较角的大小的方法有几种?每种方法中应注意的问题是什么?教师在学生展示交流的基础上,利用课件动画演示:用量角器量角、用叠合法比较角的大小的过程,归纳操作要点.量角器量角要注意:对中,重合,读数.叠合两角时要注意:(1)重合(两角的顶点及一边重合);(2)同旁(另一边落在第一条边的同旁).追问:两个角的大小关系有几种?你能用图形和符号表示吗?【师生活动】学生画出图形,并用符号表示(如图所示),指出两个角的大小关系有且仅有三种情况.教师关注:学生运用度量法、叠合法比较角的大小操作的规范性;学生是否能体会两个角的大小关系有且仅有三种情况.[设计意图]用类比的方法,按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序,学生动手操作,自主探究.建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系,在对比中加深理解.指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样,有且仅有三种情况,为以后分类探究一些有关角的问题奠定基础.问题3如图所示,图中共有几个角?它们之间有什么关系?【师生活动】学生确定角的个数,明确角之间的和差关系.教师关注:学生是否能发现角的和差关系,若学生仅说出它们的大小关系,教师可引导学生进一步观察图形,类比线段的和与差,发现角的和差关系.学生完成上述问题后提问:你能用符号表示这些角之间的和差关系吗?教师关注:学生能否理解角的和与差的意义.[设计意图]以角的比较大小的图形为背景,提出角的和差问题,将知识由角的大小过渡到角的和与差,衔接自然流畅.同时针对同一图形变换审视角度提出问题,可以提高学生的读图能力.用符号表示角的和差关系,仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程,在图形与等式之间建立一种关系.从角的大小上研究角的和与差,突出反映角的和与差与度数的数量关系,加深对角的和与差概念的理解.二、角的运算问题4利用一副三角板,你能画出哪些度数的角?这些角有什么规律?【师生活动】学生动手操作,小组合作探究,师生归纳.师生归纳:一副三角板上的角都是常用的角,它们是30°,45°,60°,90°的角,利用这些角可以很方便地画出与这些角相关的一些特殊角,如15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°等.[设计意图]用一副三角板画出一些特殊角,除了让学生巩固角的和与差概念外,也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识,培养对角的大小的估计能力和动手操作能力,加深学生对角的认识.问题5类比线段的中点,在∠AOB中,射线OB有没有一种特殊位置?若有,此时各个角之间又存在怎样的关系?【师生活动】画出图形(如图所示),明确角的平分线的概念.提出问题:(1)你能用符号表示图(1)中角之间的关系吗?(2)类似角的平分线,还有角的三等分线(如图(2)所示),一个角的三等分线有几条?四等分线呢?[设计意图]从角的和差问题中,将射线OB的位置特殊化,并类比线段的中点,引出角的平分线的概念,体现了由一般到特殊,再由特殊到一般的探究方法,同时,也能建立知识间的联系,完善认知结构.[知识拓展]角的平分线是一条射线,不是线段,也不是直线,它必须满足下面的两个条件:(1)是从角的顶点引出的射线,且在角的内部;(2)把已知角分成了两个角,且这两个角相等.问题6你能得到一个角的平分线吗?【师生活动】画图展示交流,归纳方法(用量角器、折纸),教师结合学生的展示交流(或利用课件动画)演示折叠过程中的翻折过程.教师关注:学生操作是否规范.[设计意图]进一步明确角的平分线的概念,为后续学习轴对称图形和研究有关图形的翻折问题打下基础.问题7在一张纸上画出一个角并剪下,将这个角对折,使其两边重合.想想看,折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系?让学生多想一想,做一做,通过观察和思考,师生共同归纳总结.引出角的平分线的定义及其几何表达式,类似的还有角的三等分线、四等分线等.想一想,还有什么方法可以画出一个角的平分线呢?师生共同归纳角的平分线的作法:(1)折叠法;(2)度量法.角平分线的几何表示.如右图所示,OC是∠AOB的平分线,根据图形填空.(1)∠AOB=∠AOC=∠COB;(2)∠AOC=∠COB=∠AOB.〔答案〕(1)22(2)12(教材例1)如图所示O是直线AB上一点,∠AOC=53°17',求∠BOC的度数.〔解析〕AB是直线,∠AOB是什么角?它是多少度?∠BOC,∠AOC,∠AOB之间是什么关系?学生讨论以上两个问题,然后师生共同解决问题,解题过程中教师应当关注学生能否准确叙述求角的过程,同时关注学生的求值结果是否正确.解:见教材.教师注意规范书写过程.点评:观察图形,发现各角之间的关系是解决问题的关键.(教材例2)把一个周角7等分,每一份是多少度的角(精确到分)?解:见教材.点评:教师要注意方法过程,要详细地把计算过程讲解给学生,学生刚开始对60进制不太熟练,所以要注意放慢速度.1.比较角的大小有两种方法:(1)度量法:即用量角器量角的度数,角的度数越大,角越大.(2)叠合法:即将两个角叠合在一起比较,使两个角的顶点及一边重合,另一边落在第一条边的同旁.2.从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫这个角的平分线,类似的还有角的三等分线.角的平分线把角分成了两个相等的角,这两个角都等于原角的一半.3.角的度数也可以进行加减乘除计算,在计算时要明确度量单位是60进制,需要借位时借1作60,需要进位时,满60进1.四种运算中,加减乘除都是相同单位间各自进行,最后进位,除法要从高位除起,余数化作下一级单位继续除.1.已知OC是∠AOB的平分线,则下列结论中不正确的是()A.∠AOC=∠BOC∠AOBB.∠AOC=12C.∠AOB=2∠BOCD.∠AOB=∠BOC∠AOB,故A,B正确,所以解析:如图所示,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB=2∠BOC,故C正确,D错误.故选D.2.如图所示,在∠AOB的内部取一点C,在∠AOB的外部取一点D,作射线OC,OD.下列结论中错误的是()。

人教版七年级数学上册第四章 4. 角的比较与运算

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A.∠COD>∠AOB
B.∠AOB>∠COD
C.∠COD=∠AOB
D.∠AOB与∠COD的大小关系不能确定
关闭
因为∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD,所以都减去∠BOD,∠AOB仍大于∠COD.
关闭
B
解析答案
知识梳理预习自测
4.如图是∠AOB与∠CDE,则∠AOB
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4.3.2 角的比较与运算
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目标导引
1.会进行角的大小比较. 2.掌握角的平分线的概念,会进行角的有关计算.
思维导图
旧角的概念与分类角的大小比较
新
☞
→
☜
知角的度量与换算角的平分线、角的运算知
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知识梳理预习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ测
1.角的大小与边的长短无关,只与构成角的两边张开的幅度大小有关;角的大小可以度量 ,可以比较 ,
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关闭
B
答案
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知识梳理预习自测
2.在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,则一定存在( A.∠AOB>∠AOC B.∠BOC>∠AOB C.∠BOC>∠AOC D.∠AOC>∠BOC
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)
关闭
A
答案
知识梳理预习自测
3.如图,∠AOD>∠BOC,则下列说法正确的是( )
解:因为OC平分∠BOD,且∠BOC=20°, 所以∠BOD=2∠BOC=2×20°=40°. 又OB是∠AOD的平分线, 所以∠AOD=2∠BOD=2×40°=80°.
分析:根据“叠合法”判断角的大小. 解:∠AOB,∠AOC,∠AOM,∠AOD,∠AOE,∠AOF的大小关系是 ∠AOB<∠AOC<∠AOM<∠AOD<∠AOE<∠AOF.

第四章第9课角的概念-七年级上册初一数学(人教版)

第四章第9课角的概念-七年级上册初一数学（人教版）1. 角的定义角是由两条射线或线段的公共端点所组成的图形。

角通常表示为∠ABC或∠C，其中A、B、C为角的三个字母顺序排列的顶点、起始点和结束点。

两条射线或线段称为角的两边，公共端点则称为角的顶点。

2. 角的分类根据角的大小和位置关系，可以将角分为以下几类：2.1 零角如果两条线段重合，我们称其所形成的角为零角。

零角的大小为0度。

2.2 直角当两条相邻的线段垂直相交时，所形成的角为直角。

直角的大小为90度。

2.3 直角的补角两个角的和等于90度，则它们互为补角。

如果一个角是直角，那么其补角也是直角。

2.4 锐角角的大小在0度和90度之间的角称为锐角。

2.5 钝角角的大小在90度和180度之间的角称为钝角。

2.6 对角线在一个四边形中，连接非相邻顶点的线段称为对角线。

3. 角的度量3.1 角的度量单位角的度量单位通常有两种：度（°）和弧度（rad）。

在初一数学中，我们主要使用度来度量角的大小。

3.2 角的度量方法我们可以使用量角器或经过计算的方式来确定角的度量。

量角器是一种测量角度的工具，通常由一个半圆形的弧度和一个带有刻度的直尺组成。

通过将量角器的直尺对齐于角的两边，并读取刻度线所在的位置，可以测量出角的度量。

当无法使用量角器时，我们可以通过计算的方式来得出角的度量。

常见的计算方法包括使用三角函数、相似三角形以及角的性质等。

4. 角的表示方法4.1 角的表示方法一角的大小通常使用一个数字来表示，这个数字表示角所对应的圆周上的弧长与半径的比值。

例如，表示角A的度量为60度，可以记作m∠A=60°。

4.2 角的表示方法二另一种表示角的方法是使用三个字母来表示角的顶点、起始点和结束点。

例如，角A的表示方法为∠ABC，其中A为角的顶点，B为起始点，C为结束点。

5. 角的比较5.1 角的比较方法我们可以通过比较角的大小来判断角的关系。

常见的比较方法包括：•使用量角器进行直接比较。

人教版七年级上册数学第四单元知识点总结：角的种类

人教版七年级上册数学第四单元知识点总结：角的种类角的种类：角的大小与边的长短没有关系;角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。

在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。

角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种。

以度、分、秒为单位的角的度量制称为角度制。

此外，还有密位制、弧度制等。

锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：等于180°的角叫做平角。

优角：大于180°小于360°叫优角。

劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。

周角：等于360°的角叫做周角。

负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。

正角：逆时针旋转的角为正角。

0角：等于零度的角。

余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。

等角的余角相等，等角的补角相等。

对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。

两条直线相交，构成两对对顶角。

互为对顶角的两个角相等。

还有许多种角的关系，如内错角，同位角，同旁内角(三线八角中，主要用来判断平行)!通过对人教版七年级上册数学第四单元知识点总结：角的种类的学习，是否已经掌握了本文知识点，更多参考资料尽在!。

人教版七年级数学上册第四章4.3角(教案)

6.培养学生的合作交流能力：通过小组讨论、交流，促进学生相互学习，提高合作交流能力。
本节课将围绕以上核心素养目标，结合教材内容，设计教学活动，点与重点
1.教学重点
-角的概念及其度量：理解角的定义，掌握角的度量方法，能够准确表示角的度数。
-角的分类：区分锐角、直角、钝角、平角、周角，并能够识别生活中各种角的例子。
在导入新课环节，通过提问方式引导学生回顾日常生活中的角，这样有助于激发他们的学习兴趣。但在讲授过程中，我发现有些学生对角的定义还不够明确，因此在今后的教学中，我需要更加细致地讲解基本概念。
在新课讲授环节，我采用了理论介绍、案例分析和重点难点解析相结合的方式。学生们对案例分析很感兴趣，但部分同学在理解角的性质时仍显得吃力。我意识到，对于这部分内容，需要通过更多具体的例子和实际操作来帮助学生理解。
人教版七年级数学上册第四章4.3角（教案）
一、教学内容
人教版七年级数学上册第四章4.3节，主要教学内容包括：
1.角的概念：了解角的定义，认识角的符号表示，掌握角的度量和单位。
2.角的分类：掌握锐角、直角、钝角、平角、周角的概念，学会分类判断。
3.角的度量：学习使用量角器测量角的度数，掌握角的度数表示方法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角的基本概念。角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形。它是研究几何图形的基础，广泛应用于日常生活和各类工程中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了角在三角板中的应用，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的度量方法和角的分类这两个重点。对于难点部分，我会通过动态演示和实际操作来帮助大家理解。

人教版七年级数学上册4.角

D．21°32′24″
3．(1)27°14′24″＝ 27.24 °；
(2)7200″＝ 120 ′＝ 2 °.
4．任意画一个∠AOB，在∠AOB 的内部引射线 OC， OD，这时图中共有几个角？分别把它们表示出来．解：如图所示．这时图中共有 6 个角，分别是 ∠BOD，∠BOC，∠BOA，∠DOC， ∠DOA，∠COA.
(2)用度表示37°24′36″. 分析：根据度分秒之间60进制的关系计算．解：(2)根据1°＝60′，1′＝60″得36″÷60＝0.6′， 24.6′÷60＝0.41°，所以37°24′36″用度来表示为 37.41°.
方法点拨：用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互转化的过程正好相反：大单位化小单位，乘以进率60；而小单位化大单位要除以进率60.
知识要点2 角的度量与换算
角的度量单位：度、分、秒，记作°、′、″.
角的换算：1°＝
60பைடு நூலகம்
′，1′＝60
″，1′＝
1 60
°，1″＝
1 60
′.
1周角＝360°，1周角＝2平角＝4直角．
1平角＝180°，1平角＝2直角．
例 (1)用度、分、秒表示48.26°；分析：度、分、秒是常用的角的度量单位．根据 1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，把大单位化成小单位乘以60即可；解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°＋15.6′＝ 48°15′＋0.6×60″＝48°15′36″；
知识要点1 角的定义及表示方法
角
内容
静态：有公共端点的两条射线所组成的图形．动
定义态：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.

人教版数学七年级7.4角与角的度量课件(共41张PPT)

3.（1）若∠α=30°，则∠α的余角是______.
（2）若∠α=40°，那么∠α的补角等于_____.
4.已知一个角的余角是它的补角的
1 ，则这个角是_____度. 3
如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠.指出图中还有哪些角相等，并说明理由。
D
C
B
O
A
如图，已知直线AB上一点O，∠AOD=44°，∠BOC=32°，∠EOD=90°，OF 平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数。
（）
B.110°和90°的角互为补角 C.10°、20°、60°的角互为余角 D.120°和60°的角互为补角
2.如果∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，则∠1___∠3（填＞、=或＜），理由是__________；若∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1=∠4，则∠2___∠3，理由是 ____________.
B C
______,______,________,_________ ，直角钝角平角周角
∠AOB=2 ∠1=2 ∠2
1
O
2
A
应用新知
（1）根据图形填空：
①∠DBA=∠DBC+ ∠ABC ；
30°
D
C P
②∠DBC=∠DBP- ∠PBC =∠DBA- ∠ABC ；
90°
（2）变式
B
A
Ⅰ：如图若∠ABC=90º，∠CBD=30º，你能求出哪些角的度数？ Ⅱ：若在Ⅰ的条件下再添上条件BP平分∠ABD，你还能求出哪些角的度数？
F D C
A E
O
B
小明从点A出发向北偏西50°方向走了3.3m到达点B，小林从点A出发向南偏西40° 方向走了6.6m到达点C，试画图确定A、B、C三点的位置（用1cm表示3.3m），并从图上求出B点到C点的实际距离.

人教版七年级上册教材 4. 角课件

人教版七年级上册教材 4 . 角课件
B
0.2°等于多少分? 等于多少秒?
解： 0.2°=（ 0.2×60）′= 12′ 0.2°=（0.2×3600）″=720″
即：0.2°=12′=720″
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
1、对顶点 2、重合一边 3、读另一边所对度数
∠ABC > ∠DEF
D
700 B
300
C
E
F
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
观察与思考
角的大小与角的两边画出的长短有关吗？
角的大小与角的两边画出的长短没有关系。
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
解： 7200″=（ 7200÷60）′ = 120′ 7200″=（7200÷3600）°= 2°
即：7200″=120′=2°
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
练习B
计算:
⑴1.45°等于多少分? 等于多少秒?
⑵1800″等于多少分? 等于多少度?
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
Thank you!
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
人教版七年级上册教材 4 . 角课件
角的单位换算
1.把以度为单位的化成度分秒表示
例：3.38° =3°+ 0.38° =3°+ (0.38×60) ′ =3°+ 22.8′ =3°+ 22 ′ + 0.8′ =3°+ 22 ′ + (0.8 ×60) 〞 =3°+22′+48〞 =3°22′48〞

人教版七年级上册4.角的度量课件

④∠O ⑤∠COP ⑥∠P。
生活中有许多与角有关的实例,观察下图,你能指出图中的角吗?
5°等于多少分? 等于多少秒?
75°＝
′＝
″
30°20′24″＝
°
（）
即30°20′24″＝ 30.
有公共端点的两条射线组成的图形
30÷60 = 0.
巴黎时间伦敦时间即5°= 300′= 18000″.
（注意：只适用于顶点处只有一个角的情况. 即30°20′24″＝ 30.
（）
2、用一个顶点的字母来表示 ①∠APO ②∠AOP ③∠OPC，
在靠近顶点的处画上弧线，
一个字母只表示一个角
5°等于多少分? 等于多少秒?
1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″
3、用一个数字（或希腊字当旋转到终边与始边重合时，所成的角叫做周角.
角可以看成是一条射线绕着它的
母）表示解：1800÷60 = 30′
°
(2)48′＝
°
2、角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形。
5°等于多少分? 等于多少秒? 1、角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
32×60′ =19. 3、用一个数字（或希腊字母）表示其中正确的有（把你认正确的序号都填上。
解：60′× 5 = 300′ 在靠近顶点的处画上弧线，
在靠近顶点的处画上弧线，
5°等于多少分? 等于多少秒?
在靠近顶点的处画上弧线，并写上数字（或希腊字母）
分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数
重合——角的一边与量角器的零线重合
即1800″ = 30′= 0.
4.平角、周角的概念 (2)48′＝
°
2、角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形。

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