用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用高考压轴题：导数题型及解题方法一、切线问题题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。
方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。
题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。
方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。
例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y-16=0）2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。
提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式关系。
将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。
答案：m的范围是(-3,-2)）练1：已知曲线y=x-3x。
1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。
（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0）2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。
题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、(x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。
（答案：2ex-y-e=0）练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。
（答案：2x-y-1=0或y=0）2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。
巧用二次求导解决函数单调性和极值问题[优质PPT]
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一．二阶导数与凸性
一．二阶导数与凸性
定义1. 设 f ( x ) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点x 1 与x 2 ，
分析 f x 的单调性受阻。
典型例题讲解
我们可以尝试再对
f x ln x 1
x
显然0 当x ＜1 f 时 x， 0
求导，可得f
；x当 1＜f x
x
时 ，
1 x
1 x2
＞f 0x
， ，ln即x 1x
在 时 0即＜，(f xx区 x01间, )f时(x)0，0上此, 1为，时 减我，，函们则数通则，过有所二以次在有求区当f导间x0分1＜析fx1的f单01上成x调为立性ff增。，1函x得f1数出1，x当
恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2) ，那么称 在 I 上的图形是凹的；
如果恒有2f(x1 2x2)2f(x1) 2f(x2)
，那么称 在 I 上的图形是凸的；
定理1 设 f ( x ) 在[ a , b ] 上连续，在( a , b ) 内可导，那么：
（1）若在 ( a , b ) 内f ( x ) 单调增加，则f ( x ) [ 在a , b ] 上的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
间。
，求函数f (x)
f x
(1,)
解：f'(x)2ln1的(x)定x义2域2x是2(1x)ln1(x).x22x
x1 (1x)2
(1x)2
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
专题13 利用导数解决函数的极值、最值-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)【原卷版】
学习界的专题13 利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值例1 已知函数f (x) =+ ln x ，求函数f (x)的极值.x【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020 届月考】下列说法正确的是（）A.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极大值B.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极小值C.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极值D.当f (x0 ) 为f (x) 的极值且f '(x0 ) 存在时，则有f '(x0 ) = 0【变式演练2】（图像与极值）【百师联盟2020 届高三考前预测诊断联考全国卷1】如图为定义在R 上的函数f (x)=ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)的图象，则关于它的导函数y =f '(x)的说法错误的是（）A．f '(x)存在对称轴B．f '(x)的单调递减区间为⎛-∞,1 ⎫2 ⎪ ⎝⎭C．f '(x)在(1, +∞)上单调递增D．f '(x)存在极大值【变式演练3】（解析式中不含参的极值）【江苏省南通市2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数f (x)=(ax2 +x +1)e x ，其中e是自然对数的底数，a ∈R .（1）当a = 2 时，求f (x )的极值；（2）写出函数f (x )的单调增区间；（3）当a = 0 时，在y 轴上是否存在点P，过点P 恰能作函数f (x)图象的两条切线？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020 届高三高考数学（理科）三诊】已知函数f (x )=ax - 2 ln x - 2 ，g (x )=axe x - 4x ．（1）求函数f (x )的极值；（2）当a > 0 时，证明：g (x )- 2 (ln x -x +1)≥ 2 (ln a - ln 2 )．【变式演练5】（由极值求参数范围）【黑龙江省哈尔滨一中2020 届高三高考数学（理科）一模】已知函数学习界的007f ( x ) = x ln x -1 (m + 1) x2 - x 有两个极值点，则实数m 的取值范围为（）2A ． ⎛ - 1 , 0⎫B ． ⎛-1, 1 -1⎫C ． ⎛ -∞, 1 -1⎫ ）D ． (-1, +∞)e ⎪ e⎪ e⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭⎝⎭【变式演练 6】（由极值求其他）【四川省江油中学 2020-2021 学年高三上学期开学考试】已知函数f ( x ) = 1x 3 + ax 2 + bx (a , b ∈ R ) 在 x = -3 处取得极大值为 9.3（1） 求 a ， b 的值；（2） 求函数 f (x ) 在区间[-4, 4] 上的最大值与最小值.类型二 求函数在闭区间上的最值万能模板内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 求出函数 f (x ) 在开区间(a , b ) 内所有极值点；第二步 计算函数 f (x ) 在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 2 【河南省天一大联考 2020 届高三阶段性测试】已知函数 f ( x ) = ln x - x ， g ( x ) = ax 2+ 2x (a < 0) .（1） 求函数 f( x ) 在⎡1 , e ⎤上的最值； ⎢⎣ e ⎥⎦（2） 求函数 h( x ) = f (x ) + g (x ) 的极值点.【变式演练 7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟 2019-2020 学年高三上学期 12 月联考】已知函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上可导，则“函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上有最小值”是“存在 x 0 ∈(a ,b ) ，满足 f '(x 0 ) = 0 ”的⎨ 1 （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练 8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市 2020 届高三下学期六月模拟】若函数⎧a ln x - x 2 - 2 (x > 0 )f ( x ) = ⎪x + + a (x < 0) 的最大值为 f (-1) ，则实数a 的取值范围为（ ）⎩⎪ xA ． ⎡⎣0, 2e 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣0, 2e 3⎤⎦C ． (0, 2e 2⎤⎦D ． (0, 2e 3⎤⎦【变式演练 9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】已知函数f (x ) = cos 2 x s in 2x ，若存在实数 M ，对任意 x 1 , x 2 ∈R 都有 f ( x 1 ) - f (x 2 ) ≤ M 成立.则 M 的最小值为（）A.3 38B.32C.3 3 4D.2 3 3【变式演练 10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学 2020 届高三下学期期中】已知函数f (x ) = (x - a - 1)e x -1 - 1x 2 + ax , x > 02（1） 若 f (x ) 为单调增函数，求实数 a 的值；（2） 若函数 f (x ) 无最小值，求整数 a 的最小值与最大值之和.【高考再现】1.【2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数 ƒ(x ) = 䂸x 3 — t x 䂸 + 1(t C R )在(t h + œ) 内有且只有一个零点，则 ƒ(x )在[ — 1h 1]上的最大值与最小值的和为．2【. 2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷）】已知函数 ƒ x = 䂸sinx + sin 䂸x ，则 ƒ x的最小值是 ．3. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 21】已知函数 f (x ) = sin 2x sin 2x ．3 381 2 n （1） 讨论 f ( x ) 在区间(0,π) 的单调性；（2） 证明： f (x ) ≤ ；（3） 设 n ∈ N *，证明： sin 2x sin 22x sin 24x sin 22nx ≤ 3 ． 4n4. 【2020 年高考天津卷 20】已知函数 f (x ) = x3+ k ln x (k ∈ R ) ， f ' (x ) 为 f ( x ) 的导函数．（Ⅰ）当 k = 6 时，（i ） 求曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（ii ）求函数 g (x ) = f (x ) - f '(x ) + 9的单调区间和极值；x（Ⅱ）当 k - 3 时，求证：对任意的 x , x ∈[1, +∞) ，且 x> x ， 有 f '( x ) + f ' (x ) > f (x 1 )- f (x 2 ) ． 1 2 1 2 2x - x 1 25. 【2018 年全国卷Ⅲ理数】已知函数 ƒ x = 䂸+ x + tx 䂸 ln 1 + x — 䂸x ．（1） 若 t = t ，证明：当— 1 ǹ x ǹ t 时，ƒ x ǹ t ；当 x Σ t 时，ƒ x Σ t ；（2） 若 x = t 是 ƒ x 的极大值点，求 t ．6. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数 ƒ(x ) = [tx 䂸 — (3t + 1)x + 3t + 䂸]e x .（Ⅰ）若曲线 y = ƒ(x )在点(䂸h ƒ(䂸))处的切线斜率为 0，求 a ；（Ⅱ）若 ƒ(x)在 x = 1 处取得极小值，求 a 的取值范围.7. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】设函数 ƒ(x )=(x — t 1)(x — t 䂸)(x — t 3)，其中t 1h t 䂸h t 3 C R ,且t 1h t 䂸h t 3是公差为 d 的等差数列.（I ）若t 䂸 = t h d = 1h 求曲线 y = ƒ(x )在点(t h ƒ(t ))处的切线方程；（II ） 若 d = 3，求 ƒ(x)的极值；4 4 （III ） 若曲线 y = ƒ(x) 与直线 y =— (x — t 䂸) — 6 3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【反馈练习】1.【2020 届高三 6 月质量检测巩固卷数学（文科）】若函数 f ( x ) = e x (-x 2 + 2x + a )在区间(a , a +1) 上存在最大值，则实数a 的取值范围为（）⎛ -1 A ．, -1 + 5 ⎫ B ． (-1, 2)2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ -1 C ． 2 ⎫ , 2⎪⎛ -1 D ．2⎫, -1⎪ ⎝ ⎭⎝⎭2. 【黑龙江省大庆市第四中学 2020 届高三下学期第四次检测】若函数 f (x ) = ae x- 1在其定义域上只有 3x个极值点，则实数a 的取值范围（）⎛ e 2 ⎫⎛ e 2 ⎫ A ． -∞, - ⎪ (1, +∞)⎝⎭ B ． -∞, - ⎪⎝⎭C ． ⎛-e , -1 ⎫ (1, +∞)D ． ⎛-∞, - 1 ⎫4e 2 ⎪ e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭xx2 x3. 【湖北省金字三角 2020 届高三下学期高考模拟】已知函数 f ( x ) = e + - ln x 的极值点为1 ，函数 2g ( x ) = e x + x - 2 的零点为 x ，函数 h ( x ) = ln x的最大值为x ，则（ ） 2 2x 3A. x 1 > x 2 > x 3B. x 2 > x 1 > x 3C. x 3 > x 1 > x 2D. x 3 > x 2 > x 14. 【湖北省宜昌一中、龙泉中学 2020 届高三下学期 6 月联考】已知函数（ff (e ) = 1，当 x ＞0 时，下列说法正确的是（）ex ）满足 x 2 f '(x ) + 2xf (x ) = 1+ ln x ，① f (x ) 只有一个零点；② f (x ) 有两个零点；- 5 + 5 - 5③ f (x) 有一个极小值点；④ f (x) 有一个极大值点A．①③B．①④C．②③D．②④5.【山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟】已知函数f(x)的导函数f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3)，则下列结论正确的是（）A．f (x)在x = 0 处有极大值B．f (x )在x = 2 处有极小值C. f (x)在[1, 3]上单调递减D．f (x )至少有3 个零点6.【云南省曲靖市2020 届高三年级第二次教学质量监测】已知实数a, b 满足0 ≤a ≤1，0 ≤b ≤ 1 ，则函数f (x)=x3 -ax2 +b2 x +1 存在极值的概率为（）A．1B．3C．16 6 3D.37.【云南省红河自治州2019-2020 学年高三第二次高中毕业生复习统一检测】下列关于三次函数f ( x) =ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0) ( x ∈R) 叙述正确的是（）①函数f (x) 的图象一定是中心对称图形；②函数f (x) 可能只有一个极值点；③当x ≠-b时，f (x) 在x =x 处的切线与函数y = f (x) 的图象有且仅有两个交点；0 3a 0④当x ≠-b时，则过点(x, f (x))的切线可能有一条或者三条．0 3a 0 0A．①③B．②③C．①④D．②④8.【2020 届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知e 为自然对数的底数，设函数f (x)=1 x2 -ax +b ln x 存在极大值点x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值f (x )< 0 ,则下列结论2 0 0bb ( ) 中正确的是()A. 存在 x 0= ,使得f (x 0 ) < - 12eB. 存在 x 0= ，使得f (x 0 ) > -e 2C.b 的最大值为e 3D.b 的最大值为 2e 2ax 2⎛ 1 , 3⎫9. 【四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试】函数f （x ）＝ 2+（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间 2 ⎪⎝ ⎭内有极小值，则 a 的取值范围是（）A ． ⎛ -2, -1 ⎫B ． ⎛-2, -1 ⎫3 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭C ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃⎛ - 1 , +∞⎫D ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃ ⎛ - 1 , +∞ ⎫ 3 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭10.【河北省衡水中学 2019-2020 学年高三下学期期中】已知函数 f (x ) =(x2- a )2- 3 x 2 -1 - b ，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一．组．即可）1 3 5 9① a ≤ - ② < a < ③ a = 1 ，-2 < b < 0 ④ a = 1 ，- < b < -2 或b = 0 ⑤4 个极小值点⑥1 个极小值点2 2 2 4⑦6 个零点⑧4 个零点1. 【福建省漳州市 2020 届高三高考数学（文科）三模】已知函数 f (x ) = ( x + 3) e x- 2m ， m ∈ R .（1）若 m = 3，求 f ( x ) 的最值；2（2）若当 x ≥ 0 时， f (x - 2) + 2m ≥ 1 mx 2+ 2x +1 ，求 m 的取值范围.e 212. 【安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学 2020 届高三高考数学（文科）最后一卷】已知函数 f (x ) = 1 x 2- 2x + a ln x ， a > 1 . 2e（1） 讨论 f( x ) 的单调性；（2）若f (x )存在两个极值点x1 、x2 ，求f (x1 )+f (x2 )的取值范围.13.【2020 届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测】已知函数f (x)=ae x + 2e -x+(a - 2 )x .（1）若y =f (x )存在极值，求实数 a 的取值范围；（2）设1 ≤a ≤ 2 ，设g (x)= f (x)-(a + 2)cos x 是定义在⎛-∞,π ⎤上的函数.2 ⎥⎝⎦（ⅰ）证明：y =g'(x )在⎛-∞,π ⎤上为单调递增函数( g'(x)是y =g (x )的导函数)；2 ⎥⎝⎦ （ⅱ）讨论y =g (x )的零点个数.14.【广东省惠州市2021 届高三上学期第一次调研】已知函数f (x) =x- ln(ax) ．a（1）若a > 0 ，求f (x) 的极值；（2）若e x ln x +mx 2 +(1 -e x )x +m ≤ 0 ，求正实数m 的取值范围．15.【北京五中2020 届高三（4 月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围.16.【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021 届高三上学期第一次联考】已知函数f (x) =ae x - cos x -x(a ∈R).（1）若 a = 1 ，证明：f (x) ≥ 0 ；（2）若f (x) 在(0,π) 上有两个极值点，求实数 a 的取值范围.17.【西南地区名师联盟2020 届高三入学调研考试】已知函数f (x)=1x3 +bx2 +cx ，b 、c 为常数，且3学习界的007- 1< b < 1， f '(1) = 0 . 2（1）证明： -3 < c < 0 ；（2）若 x 是函数 y = f (x ) - cx 的一个极值点，试比较 f ( x - 4) 与 f (-3) 的大小. 0218.【山东省威海荣成市 2020 届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖， 如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 PMQ （ M 为此圆弧的中点）和线段 PQ 构成.已知圆O 的半径为12 千米， M 到 PQ 的距离为16 千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域 R 1 为矩形 ABCD ，养殖区域 R 2 为 A M B ，且 A , B 均在圆弧上，C ,D 均在线段 PQ 上，设∠AOM =α.（Ⅰ）用α分别表示矩形 ABCD 和 A M B 的面积，并确定cos α的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在 R 1 内养殖鱼类，在 R 2 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3 : 2 .求当α为何值时，能使年总产值最大.19.【江苏省南通市 2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数 f (x ) = ( x - a ) e x + b (a , b ∈ R ) ．（1） 讨论函数 f( x ) 的单调性；（2） 对给定的 a ，函数 f( x ) 有零点，求b 的取值范围；（3）当 a = 2 ， b = 0 时， F (x ) = f ( x ) - x + ln x ，记 y = F ( x ) 在区间⎛ 1 ,1⎫上的最大值为 m ，且4 ⎪ ⎝ ⎭m ∈[n, n + 1), n ∈Z ，求n 的值．20.【陕西省西安中学2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数f ( x) =x -1 -a ln x ．（1）当 a = 1 时，求f(x)的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，(1+1)(1+1) ⋅⋅⋅ (1+1) <m ，求m 的最小值．2 22 2n。
导数的应用--函数的最大值与最小值
L 1 q 21
令
L
，0 即
4
1 4
q
21
，0 求得唯一的极值点
q 84
答：产量为84时，利润L最大。
课堂练习
1．下列说法正确的是( D )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2. 函 数 y=f(x) 在 区 间 ［ a,b ］ 上 的 最 大 值 是 M ， 最 小 值 是 m,若
(3)检查f ′(x)在方程f ′(x)=0的根的左右的符号，
并根据符号确定极大值与极小值. 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
3、f x
=
0是可导函数
f
(x)在x
=
x
处取极值的必
0
要而不充分条件。
4、f x
在x
0两侧的导数异号是x
为极值点的充要条件。
0
新课讲授
1.函数的最大值和最小值
值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而 这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径 应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得
S(R)= 2πR V
h
V ，则 R2 2V
y
f (x)
a
x1
O x2
x3
bx
例题讲解
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值 和最小值 法一 (利用二次函数单调性)、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，结合二次函数图像来解决。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
高考数学专题《函数与导数》解读
从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。
一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。
通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 3、求与函数零点有关的参数范围的方法： 方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法. 4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点()0f x =()y f x =x ()y f x =重难点06 函数与导数和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min(2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。
导数常见题型与解题方法总结
导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵当时, 恒成立,当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数. （9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
导数在高考中是怎么应用的？
导数在⾼考中是怎么应⽤的？考纲原⽂1．导数在研究函数中的应⽤（1）了解函数单调性和导数的关系；能利⽤导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数⼀般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会⽤导数求函数的极⼤值、极⼩值（其中多项式函数⼀般不超过三次）；会求闭区间上函数的最⼤值、最⼩值（其中多项式函数⼀般不超过三次）.2．⽣活中的优化问题会利⽤导数解决某些实际问题.知识点详解⼀、导数与函数的单调性⼀般地，在某个区间(a,b)内：（1）如果 f'(x)>0,函数f (x)在这个区间内单调递增;（2）如果f'(x)<0,函数f (x)在这个区间内单调递减;（3）如果f'(x)=0，函数f (x)在这个区间内是常数函数．注意：（1）利⽤导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；注意：（3）函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0 )在(a,b)内恒成⽴，且在(a,b)的任意⼦区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f'(x)=0 ,不影响函数f (x)在区间内的单调性.⼆、利⽤导数研究函数的极值和最值1．函数的极值⼀般地，对于函数y=f (x)，（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,则称x=a为f (x)的极⼩值点，叫做函数f (x)的极⼩值.（2）若在点x=b处有f'(b)=0，且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0 ，则称x=b为f (x)的极⼤值点，叫做函数f (x)的极⼤值．（3）极⼩值点与极⼤值点通称极值点，极⼩值与极⼤值通称极值.2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最⾼点的纵坐标是最⼤值，图象上最低点的纵坐标是最⼩值，对于最值，我们有如下结论：⼀般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是⼀条连续不断的曲线，那么它必有最⼤值与最⼩值.设函数f(x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最⼤值与最⼩值的步骤为：（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)⽐较，其中最⼤的⼀个是最⼤值，最⼩的⼀个是最⼩值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某⼀点附近(即局部)⽽⾔，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体⽽⾔；（2）在函数的定义区间[a,b]内，极⼤（⼩）值可能有多个（或者没有），但最⼤（⼩）值只有⼀个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，⽽最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最⼤(⼩)值必在极⼤(⼩)值点或区间端点处取得.三、⽣活中的优化问题⽣活中经常遇到求利润最⼤、⽤料最省、效率最⾼等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有⼒⼯具.解决优化问题的基本思路是：考向分析考向⼀利⽤导数研究函数的单调性1．利⽤导数判断或证明⼀个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 f'(x)>0（f'(x) <0)在给定区间上恒成⽴．⼀般步骤为：（1）求f ′(x)；（2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号；（3）作出结论，f'(x)>0 时为增函数，f'(x)<0时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进⾏分类讨论．注意：2．在利⽤导数求函数的单调区间时，⾸先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的⽅法（1）可导函数在某⼀区间上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0 (或f'(x)≤0 )( f'(x)在该区间的任意⼦区间内都不恒等于0)恒成⽴，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从⽽获得参数的取值范围；（2）可导函数在某⼀区间上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0 )在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知f(x) 在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的⼦集，从⽽可求出参数的取值范围.4．利⽤导数解决函数的零点问题时，⼀般先由零点的存在性定理说明在所求区间内⾄少有⼀个零点，再利⽤导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.考向⼆利⽤导数研究函数的极值和最值1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数f(x)极值的⽅法：①确定函数f(x)的定义域．②求导函数f'(x)．③求⽅程f'(x)=0的根．④检查 f'(x)在⽅程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极⼤值；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极⼩值；如果f'(x) 在这个根的左、右两侧符号不变，则fx() 在这个根处没有极值．（3）利⽤极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f'(x),求⽅程f'(x)=0 的根的情况，得关于参数的⽅程(或不等式)，进⽽确定参数的取值或范围.2．求函数f (x)在[a,b]上最值的⽅法（1）若函数f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)⼀个为最⼤值，⼀个为最⼩值．（2）若函数f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值，与f (a)、f (b)⽐较，其中最⼤的⼀个是最⼤值，最⼩的⼀个是最⼩值．（3）函数f (x)在区间(a,b)上有唯⼀⼀个极值点时，这个极值点就是最⼤(或最⼩)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应⽤.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不⼀定是最值，函数的最值也不⼀定是极值.要注意利⽤函数的单调性及函数图象直观研究确定.3．利⽤导数解决不等式恒成⽴问题的“两种”常⽤⽅法：（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利⽤导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.考向三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1．导数与函数变化快慢的关系：如果⼀个函数在某⼀范围内导数的绝对值较⼤，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就⽐较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”⼀些.2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.考向四⽣活中的优化问题1．实际⽣活中利润最⼤，容积、⾯积最⼤，流量、速度最⼤等问题都需要利⽤导数来求解相应函数的最⼤值.若在定义域内只有⼀个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯⼀的极⼤值就是最⼤值. 2．实际⽣活中⽤料最省、费⽤最低、损耗最⼩、最节省时间等问题都需要利⽤导数求解相应函数的最⼩值.⽤料最省、费⽤最低问题出现的形式多与⼏何体有关，解题时根据题意明确哪⼀项指标最省(往往要从⼏何体的⾯积、体积⼊⼿)，将这⼀指标表⽰为⾃变量x的函数，利⽤导数或其他⽅法求出最值，但⼀定要注意⾃变量的取值范围．。
新高考方案二轮-数学(新高考版)大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
而 f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，所以 f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1， 解得 a＝e－1 2，与 1＜21a＜e 矛盾． ④当21a≥e 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以最大值 1 在 x＝1 处取得， 而 f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，不符合题意． 综上所述，a＝e－1 2或 a＝－2.
所以 f(x)的单调递增区间为0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为12，1. (2)f′(x)＝2ax2－2ax＋1x＋1＝2ax－1xx－1， 令 f′(x)＝0，得 x′1＝1，x′2＝21a， 因为 f(x)在 x＝1 处取得极值，所以 x′2＝21a≠x′1＝1， ①当21a＜0 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以 f(x)在(0，e]上的最大值为 f(1)，令 f(1)＝1，解得 a＝－2.
①当 a≤0 时，g′(x)＝ex－a>0 在 R 上恒成立，
∴g(x)＝f′(x)在(－∞，＋∞)上递增； ②当 a>0 时，令 g′(x)>0 得 x>ln a，令 g′(x)<0 得 x<ln a， ∴g(x)＝f′(x)在(－∞，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增．
综上所述：当 a≤0 时，y＝f′(x)是(－∞，＋∞)上的增函数； 当 a>0 时，y＝f′(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数． (2)由(1)知，①当 a≤0 时，f′(x)＝ex－ax－1 在(－1，＋∞)上递增，又 f′(0) ＝0，∴－1<x<0 时，f′(x)<0；x>0 时，f′(x)>0， 则 f(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴f(x)min＝f(0)＝1； ②当 0<a≤1e时，ln a≤－1，由(1)知 f′(x)在(－1，＋∞)上递增，又 f′(0)＝0， 则 f(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴f(x)min＝f(0)＝1；
高中导数题解题技巧
导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用． 【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2006年辽宁卷）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为A.ln(1y =B.ln(1y =C. ln(1y =-D. ln(1y =-[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=，0,1x x e ≥∴≥，即：1ln(1x e x ==，所以1()ln(1f x -=. 故选A.例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时()()()//2211,0.11111.x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.（2004年重庆卷）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是_____________.思路启迪：求导来求得切线斜率.解答过程：y ′=x 2，当x =2时，y ′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y =4x －4. 答案：4x －y －4=0.例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +25=0相切的直线的方程为 ( )A.y =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x C.y =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =31x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为213830., 3.3k k k k =+-=∴==- 1,3.3y x y x ∴==-或故选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 ()()//22////113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3x xx x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=故选A.例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x若△=0)1(244=+⨯-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例7．（2006年天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.例8. 设y f x =()为三次函数，且图象关于原点对称，当x =12时，f x ()的极小值为-1，求出函数f x ()的解析式.思路启迪：先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，再利用图象关于原点对称确定系数. 解答过程：设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，因为其图象关于原点对称，即f x ()-=-f x ()，得ax bx cx d ax bx cx d b d f x ax cx3232300+++=-+-∴===+，，，即() 由f x ax c '()=+32，依题意，f a c '()12340=+=，f a c()121821=+=-， 解之，得a c ==-43，.故所求函数的解析式为f x x x ()=-433.例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。
2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。
二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。
2. 求解函数极值与最值的方法。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。
四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。
2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。
3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。
2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
教案将继续编写后续章节，敬请期待。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。
2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。
3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。
七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。
2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。
3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。
八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。
考点 利用导数求函数的单调性、极值、最值
考点：利用导数求函数的单调性、极值、最值知识点1.求函数单调区间的步骤：①确定f(x)的定义域；②求导数y ′；③令y ′>0(y ′<0),解出相应的x 的范围。
当y ′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y ′<0时，f(x)在相应区间上是减函数2.求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程/y =0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
4.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
5.求函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；②求方程f ′(x )=0的根 ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，若左正右负，则f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都正或都负，则f (x )在这个根处无极值例题1. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为_______________．2. 讨论下列函数的单调性：（1）x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；（2）)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；3.求下列函数的极值：（1）x x x f 12)(3-=；（2）x ex x f -=2)(；（3）.212)(2-+=x x x f练习1.下列说法正确的是（ ）A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.函数y =216x x +的极大值为（ ） A.3 B.4 C.2 D.53.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为（ ）A.0B.1C.2D.44.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为（ ）A.e －1B.0C.－1D.15．函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π)6．已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示（其中f′（x ）是函数f （x ）的导函数）.下面四个图象中y=f （x ）的图象大致是（ ）7.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ） A ．增函数，且0>y B ．减函数，且0>yC ．增函数，且0<yD ．减函数，且0<y8．函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.9. 求下列函数的单调区间：（1）32)(24+-=x x x f ； （2）22)(x x x f -=； （3）).0()(>+=b xb x x f10.已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．11.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 （1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围．。
导数在函数的单调性,极值中的应用
导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f_′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果f_′(x)＝0，那么f(x)在这个区间内为常数．问题探究1：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f ′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0,2)2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．56．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则“f ′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．三、考向指导考点1 求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求 f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f ′(x)．(2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论： f ′(x)>0时，f(x)为增函数； f ′(x)<0时，f(x)为减函数．例1 (2010年全国)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．课堂过手练习：设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数y＝f(x)的单调区间．考点2 由函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x)单调递增，求实数a的取值范围．课堂过手练习：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．考点3 求已知函数的极值运用导数求可导函数 y ＝f(x)极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数 y ＝f(x)的导数 f ′(x)；(2)求方程 f ′(x)＝0的根；(3)检查 f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．例3 设f(x)＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围．课堂过手练习：函数f(x)＝x3－3x2＋1在x ＝________处取得极小值．考点4 利用极值求参数已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．例4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．课堂过手练习：设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.易错点求参数取值时出现典例：已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．(1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．(2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．(3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．纠错课堂练习：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2.(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间．1．与函数的单调性有关的问题(1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)>0或f ′(x)<0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．(2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．2．与函数的极值有关的问题(1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．(2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值．。
导数的应用-函数的单调性与极值和最值和应用
课本练习
思考,已知函数 在区间[1,5] 思考,已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间 在区间 内的最小值为2, 内的最小值为 ,求m的值 的值
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1,曲线 ,曲线y=x4-2x3+3x在点 在点P(-1,0)处的切线的 在点 , 处的切线的 斜率为( 斜率为 ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2,函数y=x100+2x50+4x25的导数为 ) ,函数 的导数为( (A)y'=100(x99+x49+x24) (B) y'=100x99 (C) y'=100x99+50x49+25x24 (D) y'=100x99+2x49
定义法 公式法
练习: 练习: 1,求下列函数的导数 ,
)(x (1)y=(x2-3x+2)( 4+x2-1) ) ( )( ) (2)y=(x/2+t)2 ) ( )
2,设f(x)=ax3-bx2+cx,且f /(0)=0, , ( ) , ) , f /(1)=1,f /(2)=8,求a,b,c ) , ) , , , 3,抛物线f(x)=x2-2x+4在哪一点处的 ,抛物线 ( ) 在哪一点处的 切线平行于x轴 在哪一处的切线与x轴的 切线平行于 轴?在哪一处的切线与 轴的 交角为45 交角为 0?
5, 求导的公式与法则 , 求导的公式与法则——
/
(C ) = 0 n / n 1 * ( x ) = nx (n ∈ N )
2023年新高考数学一轮复习4-3 应用导数研究函数的极值、最值(知识点讲解)解析版
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．3.考查利用导数解决生活中的优化问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）导数与函数的极值 1．函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.特别提醒：(1)函数f (x)在0x 处有极值的必要不充分条件是f ′(0x )＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如()3f x x ＝，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点)．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．（二）导数与函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．（三）利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x)．(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答． （四）常用结论1．若函数f (x)的图象连续不断，则f (x)在[a ，b]上一定有最值．2．若函数f (x)在[a ，b]上是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f (x)在区间(a ，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．【常考题型剖析】题型一：利用导数研究函数的极值例1.（2017·全国高考真题（理））若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A ．1- B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．例2．（2012·重庆·高考真题（理））设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f 【答案】D 【解析】 【详解】()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增； ()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.例3.（2008·福建·高考真题（文））已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值.【答案】（1）m =-3, n =0. f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；f (x )的单调递减区间是（0，2）（2）当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值. 【解析】 【详解】（Ⅰ）利用条件的到两个关于m 、n 的方程，求出m 、n 的值，再找函数y=f （x ）的导函数大于0和小于0对应的区间即可．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，分情况讨论区间（a -1，a+1）和单调区间的位置关系再得结论．(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分则g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－2623m+⨯＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………………………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．………………………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2. ………………7分当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：增函数增函数…………………………………9分由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．………………………………12分【总结提升】 1.两点说明：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2.求函数f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x 0处取极小值．3.求极值问题主要有两种类型，一是由图象求极值，二是求具体函数的极值. 题型二：根据函数极值（点）求参数的值或范围例4.（2021·全国高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立. 故选：D例5.（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，可得()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，再分1a >和01a <<两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】解：()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>， 若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾， 故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ， 即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， ∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=， 则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点， 所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭.例6.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.【法案】－7【解析】由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值， 而a ＝2，b ＝9满足题意， 故a －b ＝－7.例7．（2017·江苏·高考真题）已知函数()32f x =x x 1(0,)a bx a b R +++>∈有极值，且导函数()fx ，的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b²>3a; （3）若()f x ，()fx ，这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a 的取值范围．【答案】（1）2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（2）见解析（3）(36]，. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1，构造函数23()=9t g t t +，利用导数研究函数单调性，可得(g g 2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．试题解析：解：（1）由()321f x x ax bx =+++，得()22232333a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭'.当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -. 因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()23127039a b a a-=-≤，即3a ≥.3a =时，()>0(1)f x x ≠-'，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x 2x . 列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（2）由（1设23()=9t g t t +，则22223227()=99t g t t t --='.当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增.因为3a >，所以>，故(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而()()32321211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++()()()()2222121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >.因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤. 因此a 的取值范围为(]36，. 【总结提升】由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．题型三：利用导数研究函数的最值例8．（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知12f ，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a bf x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B.例9．（2021·全国·高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______. 【答案】1【解析】 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.例10.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 例11.（2017·北京·高考真题（文））已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式000yf f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x xh x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 【规律方法】1.求函数f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a ，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．3. 二次求导！当导函数y ＝f ′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f ′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f ′(x)的单调性，再根据单调性确定y ＝f ′(x)的正负号．题型四：利用导数解决生活中的优化问题例12．（2020·江苏省高考真题）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米 【解析】 【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 【总结提升】实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值． 题型五：函数极值与最值的综合问题例13.（2016·天津·高考真题（理））设函数3()(1)f x x ax b =---，x∈R ，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；（Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a a f f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或313ax =-. 当变化时，，的变化情况如下表：所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a -∞-，3(1,)3a ++∞. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： （1）当时，33102133a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max (2),(0)max 12,1M f f a b b==----，所以.（2）当时，2333231011213333a a a a-≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a af f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a<-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， (0)(1(1f f f <=，(2)(1(1f f f >=， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.例14．（2021·北京高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-.【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x -'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=； （2）因为()232xf x x a-=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x xa xa -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-.当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <. 所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.【总结提升】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．。
高中数学导数难题怎么解题
高中数学导数难题怎么解题1高中数学导数难题解题技巧1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用利用导数来求函数的最值的一般步骤是：(1)先根据求导公式对函数求出函数的导数;(2)解出令函数的导数等于0的自变量;(3)从导数性质得出函数的单调区间;(4)通过定义域从单调区间中求出函数最值。
2.导数在函数极值中的应用利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。
利用导数求函数极值的一般步骤是：(1)首先根据求导法则求出函数的导数;(2)令函数的导数等于0，从而解出导函数的零点;(3)从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间;(4)根据极值点的定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。
3.导数在求参数的取值范围时的应用利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。
在一般函数含参数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。
2高中数学解题中导数的妙用导数知识在函数解题中的妙用函数知识是高中数学的重点内容，其中包括极值、图像、奇偶性、单调性等方面的分析，具有代表性的题型就是极值的计算和单调性的分析，按照普通的解题过程是通过图像来分析，可是对于较难的函数来说，制作图像不仅浪费时间，而且极容易出错，而在函数解题中应用导数简直就是手到擒来。
例如：函数f(x)=x3+3x2+9x+a，分析f(x)的单调性。
这是高中数学中常见的三次函数，在对这道题目进行单调性分析时，很多学生根据思维定式会采用常规的手法画图去分析单调区间，但由于未知数a的存在而遇到困难。
如果考虑用导数的相关知识解决这一问题，解：f’(x)=-3x2+6x+9，令f’(x)>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是说函数在(-∞，-1)，(3，+∞)这个单调区间上单调递减，这样就能非常容易的判断函数的单调性。
导数知识在方程求根解题中的妙用导数知识在方程求根中的应用属于一项重点内容，在平时的数学练习中以及高考的考察中均曾以不同的难度形式出现过。
导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法(原卷版)
导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法一、函数零点问题常规求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x 轴（或y=k）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数。
二、利用导数确定函数零点的常用方法1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
三、利用函数的零点求参数范围的方法1、分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a 与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
四、导函数的零点不可直接求时的应对策略1、“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循一下原则：①当含有ln x 的函数中，通常选取k x e =，特别的，选当0k =时，1x =来试探；②在含有x e 的函数中，通常选取ln x k =，特别的，选取当1k =时，0x =来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决。
2、“虚设和代换法”：当导函数()f x '的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为0x ，接下来通常有两个方向：①由0()0f x '=得到一个关于0x 的方程，再将这个关于0x 的方程的整体或局部代入0()f x ，从而求得0()f x ，然后解决相关的问题；②根据导函数()f x '的单调性，得出0x 两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。
完整版)导数的综合大题及其分类
完整版)导数的综合大题及其分类.导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。
命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。
这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。
题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。
1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。
如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。
2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点。
3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的。
在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。
例题：已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。
x1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。
审题程序]1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论；2.整合讨论结果，确定单调区间；3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围；4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。
规范解答]1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。
则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1)2.令m(x)＝x2－ax＋1，则Δ＝a2－4.①当－2≤a≤2时，Δ≤0，从而F′(x)≥0，所以F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a>2时，Δ>0，设F′(x)＝0的两根为x1＝(a＋√(a2－4))/2，x2＝(a－√(a2－4))/2，求h(x1)－h(x2)的最小值。
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用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤
（833200）新疆奎屯市第一高级中学 特级教师 王新敞
极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值
求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与
)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值
例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）21
22
-+=
x x
y 解：（1）2
/
2
2
)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f
令0)(/
=x f ，得驻点2,5
7
,1321==
=x x x
0)1(=∴f 是函数的极大值；3125
)5(-
=f 是函数的极小值. （2）2
2222/
2)
1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=
∴当1-=x 时，f 极小
=-3；当1=x 时，f
极大
=-1值。
例2 设e e x ax x f x
()1()(2
-⋅-+=为自然对数的底，a 为常数且R x a ∈<,0），
)(x f 取极小值时，求x 的值.
解：)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x x
e x ax e ax x f
)2)(1(-+⋅-=-x ax e
z
令21
0)(或a x x f -
=⇒=' （1）01
21<<->-a 即当，由表
)(,1
x f a
x 时-=∴取极小值.
（2）0)2(21
)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值. （3）1
21-<<-a 即当时，由表
取极小值时时当综上取极小值时)(,,02,.)(,2x f a
x a x f x -=<<-
-=∴ 取极小值时时当)(,2,2
1
x f x a -=-<。
例3 求抛物线2
2
1x y =
上与点)0,6(A 距离最近的点。
解：设),(y x M 为抛物线2
2
1x y =上一点，
则=+-=
22)6(||y x MA 4
24
1)6(x x +
-。
||MA 与2||MA 同时取到极值，
令4
2
2
4
1)6(||)(x x MA x f +
-==。
由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.
当-∞→x 或+∞→x 时，
2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时222
1
,22=⨯=
=y x . 即抛物线2
2
1x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.
例4 设函数f （x ）=12+x －ax ，其中a ＞0，求a 的范围，使函数f （x ）在区间
［0，+∞）上是单调函数.
分析：要使f （x ）在［0，+∞）上是单调函数，只需f ′（x ）在［0，+∞）上恒正或恒负即可.
解：f ′（x ）=
2
1x
x +－a .
当x ＞0时，
01<
<
因为a ＞0，所以当且仅当a ≥1时，f ′（x ）= 2
1x
x +－a 在［0，+∞）上恒小于0，
此时f （x ）是单调递减函数.
点评：要使f （x ）在（a ，b ）上单调，只需f ′（x ）在（a ，b ）上恒正或恒负，即f ′（x ）＞0（或＜0）⇒单调递增（或减）.
例5 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值.
（1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值； （2）过点A （0，16）作曲线y =f （x ）的切线，求此切线方程. 解：（1）f ′（x ）=3ax 2+2bx －3，
依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0，即⎩
⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a
解得a =1，b =0.
∴f （x ）=x 3－3x ，f ′（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令f ′（x ）=0，得x =－1，x =1. 若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f ′（x ）＞0，故 f （x ）在（－∞，－1）上是增函数， f （x ）在（1，+∞）上也是增函数. 若x ∈（－1，1），则f ′（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数. 所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.
（2）曲线方程为y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上. 设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足y 0=x 03－3x 0. 因f ′（x 0）=3（x 02－1），故切线的方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）. 注意到点A （0，16）在切线上，有 16－（x 03－3x 0）=3（x 02－1）（0－x 0）， 化简得x 03=－8，解得x 0=－2. 所以切点为M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.
点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力.。