2012厦门市质检数学试题(理科)
2012福建厦门中考数学
厦门市2012年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学试题一、选择题 (本大题有 7 小题，每小题3分，共21分。
每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的)1.(2012厦门，1，3分）-2的相反数是 ( )A.2B.-2C.2±D.1 2 -答案:A．2. (2012厦门，2，3分）下列事件中，是必然事件的是 ( )A.抛掷 1 枚硬币，掷得的结果是正面朝上B.抛掷 1 枚硬币，掷得的结果是反面朝上C.抛掷 1 枚硬币，掷得的结果不是正面朝上就是反面朝上D.抛掷 2 枚硬币，掷得的结果是 1 个正面朝上与 1 个反面朝上答案:C．3. (2012厦门，3，3分）图 1是一个立体图形的三视图，则这个立体图形是 ( )A.圆锥B.球C. 圆柱D. 三棱锥答案:A．4.(2012厦门，4，3分）某种彩票的中奖机会是 1%，下列说法正确的是 ( )A.买一张这种彩票一定不会中奖B. 买 1张这种彩票一定会中奖C.买 100张这种彩票一定会中奖D.当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在 1%答案:D．5.(2012厦门，5，3分）x的取值范围是（）A.1x> B.1x≥ C. 1x< D.1x≤答案:B．规律总结：二次根式有意义，令被开方数大于或大于0，转化为解不等式的问题．关键词：二次根式 一元一次不等式6. (2012厦门，6，3分）如图 2，在菱形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，若∠BAC =50°，则∠ABC 等于 ( )A.40°B.50°C.80°D.100° 答案:C ．7. (2012厦门，7，3分）已知两个变量x 和y ，它们之间的 3组对应值如下表所示则y 与x 之间的函数关系式可能是 ( )A.y x =B.21y x =+C.21y x x =++D.3y x=答案:B ．二、填空题 (本大题有 10小题，每小题4分，共40分) 8. (2012厦门，8，4分）计算：32a a -= ． 答案:a9. (2012厦门，9，4分）已知∠A =40°，则∠A 的余角的度数是 ． 答案:50°．10. (2012厦门，10，4分）计算：32m m ÷= ． 答案:m11. (2012厦门，11，4分） 在分别写有整数 1 到 10 的 10张卡片中，随即抽取 1 张卡片，则该卡片的数字恰好是奇数的概率是 ．答案:12．12. (2012厦门，12，4分）如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，若OB =3，则 OC = ．答案:3．13. (2012厦门，13，4分）“x 与y 的和大于 1”用不等式表示为 ． 答案:1x y +>．14. (2012厦门，14，4分）如图 4，点D 是等边△ABC 内的一点，如果△ABD 绕点A 逆时针旋转后能与△ACE 重合，那么旋转了 度．答案:60°．15. (2012厦门，15，4分）五边形的内角和的度数是 ． 答案:540°． 16. (2012厦门，16，4分）已知2a b +=，1ab =-，则33a ab b ++= ，22a b += ． 答案:617. (2012厦门，17，4分）如图 5，已知∠ABC =90°，AB r π=，2rBC π=，半径为 r 的⊙O 从点A 出发，沿A B C →→方向滚动到点 C 时停止。
2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估2
单元质量评估二(第二章)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ，则∁R M ∩N 等于( )A ．{x |x >1}B ．ØC ．{y |y ≥1或y ≤－1}D ．{x |x ≥1}解析：可求得集合M ＝{x |－1<x <1}， 集合N ＝{g (x )|g (x )≥1}，则∁R M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，[来源:学|科|网Z|X|X|K] ∴∁R M ∩N ＝{x |x ≥1}，故选D. 答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于( )A.12 B.413 C ．－95D.2541解析：∵f (12)＝|12－1|－2＝－32，∴f (f (12))＝f (－32)＝11＋(－32)2＝413. 答案：B3．(2011·福建龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC.1eD ．e解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， 得f (x )＝ln x (x >0)，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x (x >0)，g (a )＝1⇒ln a ＝－1， ∴a ＝1e .答案：C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如下图，其中a ，b 为常数．则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：由f (x )＝log a (x ＋b )为减函数可得0<a <1，y ＝log a (x ＋b )是由y ＝log a x 向左平移b 个单位得到的，且0<b <1，所以g (x )＝a x ＋b 的图象为减函数且是由y ＝a x 向上平移了b 个单位，故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：观察得f (x )在定义域内是增函数，而f (－x )＝ln(－x ＋x 2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，则f (a )＝－f (b －1)＝f (1－b )，∴a ＝1－b ，即a ＋b ＝1.[来源:学&科&网][来源:学§科§网Z §X §X §K] 答案：C6．函数f (x )＝－(cos x )|lg|x ||的部分图象是( )解析：特殊值法，通过分离函数得 f 1(x )＝－cos x ，f 2(x )＝|lg|x ||， 由于f 2(x )＝|lg|x ||≥0，观察函数f 1(x )＝－cos x 的符号即可，由于x ∈(－π2，0)∪(0，π2)时，f 1(x )＝－cos x <0，[来源:] 可以得到正确结果． 答案：C7．(2011·皖南八校联考)已知二次函数f (x )的图象如下图所示，则其导函数f ′(x )的图象的大致形状是( )解析：由函数f (x )的图象知：当x ∈(－∞，1]时，f (x )为减函数，∴f ′(x )≤0；当x ∈[1，＋∞)时，f (x )为增函数，∴f ′(x )≥0.结合选项知选C.答案：C8．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(2)等于( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．3e 2D ．2ln2解析：∵f (x )＝x e x ，∴f ′(x )＝e x ＋x e x . ∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2.故选C. 答案：C9．函数f (x )＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a <1 B ．a <13C ．a <0D ．a ≤0 解析：f ′(x )＝3ax 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤13x 2在(－∞，＋∞)上恒成立，而13x 2>0，∴a ≤0.故选D. 答案：D10．将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是( )A ．2sin xB ．cos x[来源:学科网]C ．sin xD ．2cos x解析：y ＝1－2sin 2x ＝cos2x ，向右平移π4个单位得cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin2x ＝2cos x ·sin x ，故f ′(x )＝2cos x ，∴f (x )＝2sin x ，故选A.答案：A11．(2010·湖北调研)已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件： ①f (x )＝a x g (x )(a >0，a ≠1)； ②g (x )≠0；③f (x )g ′(x )>f ′(x )g (x )． 若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于( ) A.54 B.12 C ．2D ．2或12解析：记h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，则有h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，即a x ln a <0，故ln a <0,0<a <1. 由已知得h (1)＋h (－1)＝52，即a ＋a －1＝52，a 2－52a ＋1＝0，故a ＝12或a ＝2，又0<a <1，因此a ＝12，选B.答案：B12．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[14，1)B ．[34，1)C ．(94，＋∞)D ．(1，94)[来源:学#科#网Z#X#X#K]解析：设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论： ①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递减，即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－12，0)上恒成立，∴a ≥34，∴34≤a <1；②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递增，即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－12，0)上恒成立，∴a ≤0，∴a 无解，综上，可知34≤a <1，故选B.[来源:学科网ZXXK]答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的值域为R ，则函数g (x )＝x 2＋ax ＋1的值域为________． 解析：要使f (x )的值域为R ，必有a ＝0，于是g (x )＝x 2＋1，值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)14．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (12)＝________.解析：设f (x )＝x α，则有4α2α＝3，解得2α＝3，α＝log 23，∴f (12)＝(12)log 23＝2－log 23＝13.答案：1315．(2011·济南模拟)已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ，则(x －1ax )6的展开式中的常数项为________．解析：a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ＝(sin t －cos t )| π＝(sin π－cos π)－(sin0－cos0)＝2，所以(x －1ax )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－12x )r ＝(－1)r 2－r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，故常数项为(－1)32－3C 36＝－52. 答案：－5216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，－2≤x <0g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)，0<x ≤2，若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是________．解析：由于f (x )为奇函数，当－2≤x <0时，f (x )＝2x 有最小值为f (－2)＝2－2＝14，故当0<x ≤2时，f (x )＝g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)有最大值为f (2)＝－14，而当0<x ≤2时，y ＝log 5(x ＋5＋x 2)为增函数，考虑到g (x )＝f (x )＋log 5(x ＋5＋x 2)，结合当0<x ≤2时，f (x )与y ＝log 5(x ＋5＋x 2)在x ＝2时同时取到最大值，故[g (x )]max ＝f (2)＋log 5(2＋5＋22)＝－14＋1＝34.答案：34三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(10分)如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，图2是函数g (x )＝log a (x ＋b )的部分图象．(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围． 解：(1)由题图1得，二次函数f (x )的顶点坐标为(1,2)， 故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，又函数f (x )的图象过点(0,0)，故a ＝－2， 整理得f (x )＝－2x 2＋4x .由题图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象过点(0,0)和(1,1)，故有⎩⎪⎨⎪⎧ log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)．(2)由(1)得y ＝g (f (x ))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．由t ＝0得x ＝2±62，又t 的图象的对称轴为x ＝1.所以满足条件的m 的取值范围为1<m <2＋62.18．(12分)已知关于x 的方程9x ＋m ·3x ＋6＝0(其中m ∈R )． (1)若m ＝－5，求方程的解；(2)若方程没有实数根，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－5时，方程即为9x －5·3x ＋6＝0， 令3x ＝t (t >0)，方程可转化为t 2－5t ＋6＝0， 解得t ＝2或t ＝3，由3x ＝2得x ＝log 32，由3x ＝3得x ＝1， 故原方程的解为1，log 32. (2)令3x ＝t (t >0)．方程可转化为t 2＋mt ＋6＝0①要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根． 当方程①没有实数根时，需Δ＝m 2－24<0， 解得－26<m <26；当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，这时应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24≥0，－m <0，解得m ≥2 6.综上，实数m 的取值范围为m >－2 6.19．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )， 令a ＝－b ，得f (0)＝f (a )＋f (－a )；令a ＝b ＝0，得f (0)＝2f (0)，[来源:Z&xx&] ∴f (0)＝0.∴f (a )＋f (－a )＝0(a ∈R )． ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． (2)解：设x 1<x 2，x 1、x 2∈Rf (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴函数f (x )在R 上是单调递减的．∴f (x )在[－3,3]上的最大值是f (－3)，最小值是f (3)． ∵f (1)＝－2，∴f (2)＝f (1)＋f (1)＝－4， f (3)＝f (2)＋f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.20．(12分)(2010·济南模拟)已知函数f (x )＝ln (1＋x )x .(1)确定y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)设h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3在(0,2)上有极值，求a 的取值范围． 解：(1)由题知f ′(x )＝xx ＋1－ln (1＋x )x 2，设g (x )＝xx ＋1－ln(1＋x )(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0在(0，＋∞)上恒成立，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴g (x )<g (0)＝0，∴f ′(x )<0. 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)由h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3可得，h ′(x )＝1x ＋1－1－3ax 2＝－x (3ax 2＋3ax ＋1)x ＋1，若a ≥0，对任意x ∈(0,2)，h ′(x )<0，∴h (x )在(0,2)上单调递减，则f (x )在(0,2)上无极值．若a <0，h (x )＝x ·f (x )－x －ax 3在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x )＝3ax 2＋3ax ＋1在(0,2)上有零点，又φ(x )在(－12，＋∞)上单调，∴φ(0)·φ(2)<0，解得a <－118.综上，a 的取值范围是(－∞，－118)．21．(12分)(2011·东北三校二模)已知f (x )＝x 2ln(ax )(a >0)． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝ea 处的切线斜率为3e ，求a 的值；(2)求f (x )在[1e，e]上的最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝2x ln(ax )＋x 2·aax ＝x [2ln(ax )＋1]，∴3e ＝f ′(e a )＝e a [2ln(a ·ea )＋1]，∴a ＝1.(2)由题知x >0，f ′(x )＝x [2ln(ax )＋1]， 令f ′(x )＝0，则2ln(ax )＋1＝0，得x ＝1a e，①当a ≥1时，1a e ≤1e .当x ∈[1e，e]时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在[1e，e]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1e )＝1e ln a e ＝1e(ln a －12)；[来源:学科网]②当1e <a <1时，1e <1a e < e.当x ∈[1e ，1a e)时，f ′(x )<0； 当x ∈[1a e ，e]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1e ，1a e ]上是减函数，在[1a e，e]上为增函数， ∴[f (x )]min ＝f (1a e )＝1a 2e ln 1e ＝－12a 2e ；③当0<a ≤1e 时，1a e ≥ e.当x ∈[1e，e]时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[1e，e]上是减函数， ∴[f (x )]min ＝f (e)＝eln a e ＝e(ln a ＋12)．22．(12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若a >14，且当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．[来源:学&科&网Z&X&X&K]解：(1)当a ＝1时，对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.列表讨论f (x )，f ′(x )的变化情况：(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称．若14<a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数，从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a .由f ′(1)≥－12a ，得－13≤a ≤1，由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45.所以a ∈(14，1]∩[－13，1]∩[0，45]，即a ∈(14，45]．若a >1，则|f ′(a )|＝12a 2>12a .故当x ∈[1,4a ]时|f ′(x )|≤12a 不恒成立．所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是(14，45]．。
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(二)
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1．（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．解答：解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．2．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1 B．C．2D．考点：分式的化简求值．分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），∴原式=++=====﹣．故选D．点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：分类讨论．分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（3分）设函数y=﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：二次函数的最值．专题：计算题．分析：由于M是最大值，那么M=，即M=﹣2k2﹣4k﹣5，于是求k=﹣的值即可．解答：解：∵y=﹣x2﹣2kx+（﹣3k2﹣4k﹣5），∴M==∴M=﹣2k2﹣4k﹣5，又∵M最大，∴k=﹣=﹣=﹣1．故选A．点评：本题考查了函数的最值．注意y最大值=即可．5．（3分）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．解答：解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．6．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：应用题．分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现交点．解答：解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．如图所示，显然这样的点有8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中．7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A．11个B．12个C．13个D．14个考点：面积及等积变换．分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解．解答：解：∵如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，∴以AB为边：△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，以AC为边：△ACG，以AD为边：△ADE，以AE为边：△AEF，以AF为边：△AFG，以BC为边：△BCF，以BD为边：△BDE，以BE为边：△BEF，以BF为边：△BFG，以CD为边：△CDF，以CE为边：△CEG．故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个．故选D．点评：此题考查了三角形的面积问题．此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解．8．（3分）锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC 的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理．分析：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求出∠BAD+∠E=90°，推出∠C=∠E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可．解答：解：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，∴∠BAD+∠E=90°，∵∠C+∠BAD=90°，∴∠C=∠E，∴E在△ABC的外接圆上，∵∠ABE=90°，∴AE是直径，∴AD一定过△ABC的外心．故选C．点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠E=∠C是解此题的关键．9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A．30升B．40升C．50升D．60升考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农药的容积为（x﹣20﹣）升，倒入两次水后水的容积为【20﹣（1﹣）×10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可．解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x﹣20﹣）：[20﹣（1﹣）×10+10]=3：5，整理得x2﹣48x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升．点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解．10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A．4B．5C．D．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解答：解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．难度中等．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：计算题．分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出a﹣b，b﹣c，a﹣c，的值，然后把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca整理分解因式，然后再代入数据计算即可．解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得a﹣b=﹣4，b﹣c=﹣6，a﹣c=﹣10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=×16+×36+×100，=8+18+50，=76．故答案为：76．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键．12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．解答：解：∵sinA和sinB是方程的两个根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sin2A+sin2B=1，∴2+2k=1，解得，k=﹣．故答案为：﹣．点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．考点：三角形的重心；勾股定理．分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．∵AD=DB，FD=DC，∴四边形ACBF为平行四边形，∵ED=CD，∴CE=CD，∵CE=AB，∴CD=AB，∴CD=AB，∴AB=CF，∴ACBF只能为矩形．设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，∴a=，∴AB=6×=2，∴BC==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．14．（6分）方程的解为．考点：无理方程．分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解．解答：解：两边平方得：3x+2﹣2+3x﹣2=4移项得：2=6x﹣4两边平方得：36x2﹣16=36x2﹣48x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，∴x=是原方程的解．故答案为．点评：本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的．15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据n边形的对角线有n（n﹣3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案．解答：解：正八边形的对角线条数=×8×（8﹣3）=20，又∵正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，∴在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．故答案为：12．点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n ﹣3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行．16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．考点：数的整除性．专题：新定义．分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案．解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）；42=2×3×7不是奇异数；69=3×23是奇异数（第二类），111=3×37是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类），3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）．因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个．故答案为：8．点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN 上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．专题：数形结合．分析：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB，易得∠BOA′=90°，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长．解答：解：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB．∴A′B=2，∵A是半圆的一个三等分点，B是的中点，∴∠BON=30°，∠A′0N=60°，∴△A′OB是等腰直角三角形，∴OA′=2．故答案为2．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点．三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵y=mx2+（m﹣3）x﹣3=（mx﹣3）（x+1），∴x1=﹣1，x2=，∴AB=﹣（﹣1）=4，即m=1；∴y=x2﹣2x﹣3，得A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，∵AC==，∵AM=CM，∴AM==，∴R=，S=π．（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，得﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣3（x﹣3），解得x=2或3，∴或（舍去），∴P（2，﹣3）；当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（，﹣），故存在P（2，﹣3）或P（，﹣）．点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．考点：数的整除性．专题：计算题．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得①或②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．考点：切线的性质．分析：利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．解答：解：∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．∴△ADE∽△DCE∴∴DE2=AE•EC∴DE2=（AC+EC）EC∵DE+EC=6∴DE=6﹣EC∴（6﹣EC）2=AC•EC+EC2∵∠CBD=∠DAC，∴∠CDE=∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CDE=∠BCD．∴BC∥DE．∴△ABD∽△DCE，∴∴AB•EC=18∵AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：∴AB=9，AC=6，EC=2∴DE=4∵BC∥DE．∴△AFC∽△ADE∴=∴∴FC=3可以证明△DFC∽△BFA∴∴FA=∴∴AD=6∴DF=∵DF•AF=BF•FC∴∴BF=∴BC==．故BC的长为．点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．。
2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷[1]
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绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动。
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3。
回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为( ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3)下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ )()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5)已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( )()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=,56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6)如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则( ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为( ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=(9）已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为 1830 ．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD ；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2011-2012年高三理科数学周练试卷及参考答案(十)
2011—2012学年度上学期高三理科数学周练试卷（十）考试范围：函数 数列 三角 向量 概率一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分） 1．若向量),2,4(),1,1(),1,1(=-==则c 等于（ ）A. +3B. -3C. 3+-D. 3+ 2．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足 （ ）A ．→a 与→b 的夹角等于α－βB ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )3. 3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a -- 共线，则λ= （ ）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则 向量P 1P 2→长度的最大值是（ ）A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3 5．6．在OAB ∆中，OA a = ，OB b = ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等 于（ ） A ．()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅-- C ．()a b a a b ⋅-- D ．()a a b a b⋅--6．使)2cos(3)2sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，且在]4,0[π上是减函数的ϕ的一个值（ ）A ．3πB ．32πC ．34πD ．35π7. 已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC ABAC+= 且1..2AB AC AB AC=则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形 8. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，=++且||||AB OA =，则向量CA 在方向上的投影为 （ ） A.3 B.3 C.3- D.3-9. 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上10.已知函数f （x ）＝cos （ωx ＋ϕ）（x ∈R ）的图像的一部分如下图所示，其中ω＞0，｜ϕ｜<2π，为了得到函数f （x ）的图像，只要将函数 g （x ）＝22cos sin 22x x－（x ∈R ）的图像上所有的点（ ） A ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移3π个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变二．填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11．已知：0<α<π2，-π2<β<0，cos(α-β)=35且tan α=34，则sin β=_____________.12.函数()⎪⎭⎫⎝⎛<<-=40sin cos sin πx x x x y 的最大值是 。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理科数学(全国二卷）一、选择题1、 复数131i i-++= A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ＝}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列1n a 1+n a 的前100项和为 (A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a CB =→,b CA=→,a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则=→AD (A)b a 31-31（B ）b a 32-32 (C)b a 53-53 (D)b a 54-54（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β=3，则cos2α=(A) （B ） （8）已知F 1、F 2为双曲线C ：2-x 22=y 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。
2高三数学质检二答案(理科)
2011-2012年度高三复习质量检测二数学（理科答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 BDCCA 6-10 CDBBC 11-12 BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13． ()0,1 14． 7 15． 1 16． 2224x y x y ==或三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d, 数列{}n b 的公比为q, 由题意得：23121a a a =, ……………2分2(12)1(120)d d ∴+=⨯+,24160d d -=,0d ≠ ,4,d ∴=所以43n a n =-.………………4分于是{}1351,9,81,n b b b b ===的各项均为正数, ,所以q=3，13n n b -∴=.……………………6分（Ⅱ）1(43)3n n n a b n -=-,122135393(47)3(43)3n n n S n n --∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ .1231335393(47)3(43)3n nn S n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ .……………8分 两式两边分别相减得：2312143434343(43)3n nn S n --=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ ……………10分231114(3333)(43)343(13)1(43)313(54)35n nn nnn n n --=+++++--⨯⨯⨯-=+--⨯-=-⨯-(45)352nn n S -+∴=.………………12分18. (本小题满分12分)解:(Ⅰ)取AB 的中点M ，连结GM,MC ，G 为BF 的中点,所以GM //FA,又EC ⊥面ABCD, FA ⊥面ABCD, ∵CE//AF, ∴CE//GM,………………2分 ∵面CEGM ⋂面ABCD=CM, EG// 面ABCD,∴EG//CM,………………4分∵在正三角形ABC 中，CM ⊥AB,又AF ⊥CM ∴EG ⊥AB, EG ⊥AF,∴EG ⊥面ABF.…………………6分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2, 则B （0,0,3）E(0,1,1) F （0，-1，2） EF=(0，-2,1) , EB =(3,-1，-1),DE =(3,1， 1),………………8分设平面BEF 的法向量1n =（z y x ,,）则⎩⎨⎧=--=+-0302z y x z y 令1=y ，则3,2==x z ,∴1n =（2,1,3）…………………10分同理，可求平面DEF 的法向量 2n =（-2,1,3） 设所求二面角的平面角为θ，则θcos =41-.…………………12分19.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ) 茎叶图……………………2分或………………2分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；………………4分（Ⅱ）设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：（此处更正）6610.641010-⨯=；……………8分(此部分，可根据解法给步骤分:2分)（Ⅲ）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ， 则0.8x y -<，……………10分 得0.80.8x y x -+<<+，如图阴影部分面积即为33 2.2 2.2 4.16⨯-⨯=，则4.16104(0.8)(0.80.8)33225P x y P x y x -<=-+<<+==⨯.…………12分20.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设()00,P x y ，(),M x y ，由0012x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，得002x x y y =⎧⎨=⎩，…………2分 代入222x y a +=，得222214x y aa+=.……………4分（Ⅱ）①当l 斜率不存在时，设x t =，由已知得a t a -<<，由2224x y a x t⎧+=⎨=⎩，得2224a t y -=所以2122224O AB aS y x t ∆=⨯⨯=⋅=≤，当且仅当222t a t =-，即2t a =时，等号成立.此时OAB S ∆最大值为24a.……………………5分②当l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，由2224x y a y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消去y 整理得()222241840k x kmx m a +++-=， ()()()222222284414444km k m aka m ⎡⎤∆=-+-=+-⎣⎦由0∆>，得2222440k a a m +-> ① 设()()1122,,,A x y B x y ，则 2212122284,km m a x xx x --+==②………7分2241A B k ===+ ③ 原点到直线l 距离为d =， ④…………………9分由面积公式及③④得2222222112224144()111414,2224O AB S AB d k mma a k k∆=⨯=⋅⋅++-++=⋅≤⋅=………………11分综合①②，OAB S ∆的最大值为24a，由已知得214a=，所以 2a =.…………………12分21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ))(x f 的定义域为),,0(+∞x ax x f -=1)('，若,0≤a 则'()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增，……………2分若0,a >则由0)('=x f 得ax 1=，当)1,0(ax ∈时，,0)('>x f 当),1(+∞∈ax 时，0)('<x f ，)(x f ∴在)1,0(a上单调递增，在),1(+∞a单调递减.所以当0a ≤时，()f x 在),0(+∞上单调递增，当0a >时， ()f x 在)1,0(a上单调递增，在),1(+∞a单调递减.……………4分(Ⅱ)1)1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f ,令)1)(1(ln )(2≥--=x x a x x x g ,ax x x g 21ln )(-+=',令()()ln 12F x g x x ax '==+-, 12()axF x x-'=,………………6分(1)a 0,≤若()0F x '>,[)g (x)1,g (x)g (1)1-2a 0'''+∞≥=>在递增， [)0)1()(,,1)(=≥+∞∴g x g x g 递增在,不符合题意从而,01x lnx-f(x)≥+.……………8分(2)1110a ,),()0,(()(1,,)2122x F x g x a a''<<>∴∈若当在递增,g (x)g (1)1-2a,''>=从而以下论证(1)同一样，所以不符合题意.……………10分 [)1(3),()01,2a F x '≥≤+∞若在恒成立,[)02a -1(1)g (x)g 1,(x)g ≤='≤'+∞'∴递减，在,[)01ln )(,0)1()(,,1g(x)≤+-=≤∴+∞x x x f g x g 递减在从而,综上所述，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21………………12分22. (本小题满分10分) 证明：（Ⅰ）依题意， 090AEB ACP ∠=∠=，所以在 R t A C P ∆中，90;P PAB ∠=-∠ ……………2分 在 R t A B E ∆中,90;ABE PAB ∠=-∠ …………4分 所以.P ABE ∠=∠……………5分（Ⅱ）在ADB Rt ∆中，2CD AC CB =⋅，…………6分 由①得BCF ∆∽P C A ∆, ∴B C C F P CA C=,……………8分∴2CD BC AC CF CP=⋅=⋅,所以2CD CF CP = .……………10分 23. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)21:(0),C y x x =≠2:10C x y +-=,则2C的参数方程为：1,2(2.2x t t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），…………2分 代入1C 得0222=-+t t ，……………4分104)(2122121=-+=-=∴t t t t t t AB .……………6分(Ⅱ)221==⋅t t MB MA .…………10分 24. (本小题满分10分)解：(I ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或 或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ ………………3分 解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或.即不等式的解集为}21|{≤≤-x x ……………… 6分（II ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x . ………………8分4<∴a . ……………… 10分。
2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估10
单元质量评估十(第十章) 时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在(x 2－13x )8的二项展开式中，常数项等于( )A.32 B ．－7 C ．7D ．－32解析：(x 2－13x)8的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C 8r (x 2)8－r·(－x －13)r ＝(－1)r C 8r28－r·x 8－43r ， 令8－43r ＝0得r ＝6，所以r ＝6时，得二项展开式的常数项为T 7＝(－1)6C 8628－6＝7. 答案：C2．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A ．6个B ．9个C ．18个D ．36个解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相同的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案：C3．从5位志愿者中选派4位在星期五、星期六、星期日参加海地地震募捐公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种解析：按分步计数原理可分三步：第一步：从5位同学中选派4位有C 54种选法；第二步：从4位同学中选派2人在星期五参加活动有C 42种选法； 第三步：剩下2人在星期六、日参加活动有A 22种．∴不同选派方法共有C 54C 42A 22＝60(种)． 答案：B4．(x －13x )10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：∵T r ＋1＝C 10r (x )10－r (－13x)r＝C 10r x 10－r2·(－13)r ·x －r ＝C 10r(－13)r x 5－32r ，由5－32r ∈N *，知r ＝0或r ＝2，∴展开式中第1、3项的x 的指数为正整数．故选B. 答案：B5．在一底面半径和高都是2 m 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 m 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )A.14B.18πC.14πD ．1－14π解析：可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P ＝2π·22·2＝14π.答案：C6．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A.14 B.29[来源:Z&xx&] C.736D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B 的概率为836＝29，故选B.答案：B7．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的概率分布如下表，则m 的值为( )X 1 2 3 4 P14 mn112A.13B.14C.16D.18解析：由Y ＝12X ＋7⇒EY ＝12EX ＋7 ⇒34＝12EX ＋7⇒EX ＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112， 又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得m ＝13，故选A. 答案：A8．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为( )[来源:学。
2012福建省九地市中考数学试题汇编(3月更新)
23．(本小题满分 10 分) 如图，一次函数 y k1 x b 的图象过点 A(0,3)，且与反比例函数 y 的图象相交于 B、C 两点． (1)(5 分)若 B(1，2)，求 k1 k 2 的值； (2)(5 分) 若 AB＝BC，则 k1 k 2 的值是否为定值?若是，请求出该定值； 若不是，请说明理由．
1 2 1 x x (0 x 10) ．发射 3 s 18 6
后，导弹到达 A 点，此时位于与 L 同一水平面的 R 处雷达站测得 AR 的距离是 2 km， 再过 3s 后，导弹到达 B 点． (1)(4 分)求发射点 L 与雷达站 R 之间的距离； (2)(4 分)当导弹到达 B 点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值．
数
学
试
题
(满分：150 分；考试时间：120 分钟) 一、精心选一选：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要 求的．答对的得 4 分，答错、不答或答案超过一个的一律得 O 分． 1．下列各数中，最小的数是( ) A．－l B．O C．1 ) D． 3 2．下列图形中，是 中心对称图形，但不是 轴对称图形的是( ． ．．
2
＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿
0 甲班 乙班 0 0
1 1 1
2 1 0
3 3 2
4 4 5
5 11 12
6 16 15
7 12 13
8 2 2
请根据以上信息解答下列问题： (1)(2 分)甲班学生答对的题数的众数是＿＿＿＿＿＿； (2)(2 分)若答对的题数大于或等于 7 道的为优秀，则乙班该次考试中选择题答题的优秀率＝＿＿＿＿＿＿ (优秀率＝
2012 福建省九地市中考数学试题汇编
2013-2014厦门市高三质检数学(理科)阅卷分析
2013-2014厦门市高三质检数学（理科）阅卷分析第16题 题组长 厦门十中 陈勋 一、本题典型错误：1、 由12-=n a n 得242-=n a n ；2、 因为142-=n n b ，所以11372312,2,2===b b b ，所以16241223===b b b b 所以数列{}n b 是等比数列；3、 指数运算出错，等比数列的前n 项和公式用错。
二、本题其它解法：因为141173212222-++++=+++=n n n b b b T （1） 所以3411742222++++=n n T （2）)2()1(-得，()34342221+-=-n n T所以15822122344343-=--=++n n n T 三、下阶段的复习建议：1、 注意基本概念，常用方法的滚动练习、考察。
2、 加强运算能力的训练、提高学生的解题技能。
3、 重视数学思想方法的培养，特别是目前数列所处的位置比较尴尬，高中阶段它的课时数少，但在大学它又是一个比较重要的内容。
因此，数列与函数、数列与三角、数列与不等式等的结合就显得尤其重要。
第17题 题组长 集美中学 刘伟 一、典型错误1、三角变形出错。
主要表现在降幂公式、二倍角正弦公式及辅助角公式运用出错。
比如：212cos sin 2+=x x ωω，)42sin(2cos 212sin 21πωωω-=-x x x ，)432sin(222cos 212sin 21πωωω+=-x x x ，)42cos(222cos 212sin 21πωωω+=-x x x 。
2、对正弦型函数()ϕω+=x y s i n 的周期ωπ2=T 记忆僵化。
其一，此题中)42sin(22)(πω-=x x f ，很多学生认为其周期ωπ2=T ，导致错误；其二，有学生看到条件21sin cos sin )(2-+⋅=x x x x f ωωω就先想到：πωπ==2T ，从而，2=ω，导致错误。
2012年高考真题理科数学解析分类汇编7(立体几何)
立体几何一、选择题的边长为1，1.【2012高考新课标理7】如图，网格纸上小正方形粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.BC=2。
将2.【2012高考浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．3.【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 26 ()B 36()C 23 ()D 22 【答案】A【解析】ABC ∆的外接圆的半径33r =，点O 到面ABC 的距离2263d R r =-=,SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2623d =此棱锥的体积为113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯⨯= 另：13236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.4.【2012高考四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 [答案]C[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 5.【2012高考四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A、arccos4R B 、4R π C、arccos 3R D 、3Rπ [答案]A[解析] 以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴，则A )0,23,21(),22,0,22(R R P R R42arccos=∠∴AOP42arccos ⋅=∴R P A[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.6.【2012高考陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A.5B.3C. 5D. 35422=•=∠∴R PO AO AOP COS【答案】A.【解析】法1：设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ，),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴，55||||,cos 111111=⋅>=<∴BC AB BC AB BC AB ，故选A. 法2：过点1B 作11//B D C B 交Oz 轴于点D ，连结AD ，设122CA CC CB a ===，则113,5,22AB a B D a AD a ===，在1AB D ∆中，由余弦定理知直线1AB 与直线1BC 夹角的余弦值为2222221111958525235AB B D AD a a a AB B D a a+-+-==⋅⋅⋅. 7.【2012高考湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.8.【2012高考湖北理4】已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为侧视图2 正视图42 42A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π【答案】B考点分析：本题考察空间几何体的三视图.【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 9.【2012高考广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得πππ57533-53312222=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=圆柱圆锥V V V ．故选C ．10.【2012高考福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 【答案】D.【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念，以及考生的空间想象能力，难度一般.【解析】法1：球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ，故选Ｄ．法2：球的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。
2012届高三数学(理科)试题
2012届高三数学（理科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．对于函数，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．2．执行如图的程序，如果输出的x=256,那么可以在判断框内填入（）A．i≥4？B．i≥3？C．i≤3？D．i≤4？3．数列的首项为，为等差数列且.若则，，则（）A．0 B．3 C．8 D．114．若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设集合，，为虚数单位，R，则为（）A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]6．已知函数.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围（）A．B．C．D．7．设全集，，若C U P恒成立，则实数最大值是（）A．C．C．D．8．设棱锥M－ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，△AMD的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为（）A．2-1B．2+1C．+1D．－19．平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点，点满足，其中，且. 点的轨迹与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于，则双曲线实轴长的取值范围为（）A．B．C．D．10．在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过．．．的平行四边形的个数为，则（）A．B．C．D．二、填空题：将正确答案填入题后横线上11．在中，，则的最大值为。
12．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.13．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A（不同于O点），则△OAF的面积为14．如图：用四种不同颜色给图中的ABCDEF六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种．（用数字作答）15．已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是______。
厦门市高一上数学质检(含答案)
01238000223468开始结束输出s否是i=1,m=0,s=0i<4?i=i+1m=m+11s s m i=+⋅厦门市2012~2013学年（上）高一质量检测一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则集合()U C AB =（ ）A ．{3}B ．{2,4}C ．{1,3,5}D ．{1,2,3,4,5}2．赋值语句3M M =+表示的意义是（ ）A 、将3M +的值赋给MB ．将M 的值赋给3M +C ．M 和3M +值相等D ．以上说法都不对3．袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，设事件P ：取出的都是黑球；事件Q ：取出的都是白球；事件R ：取出的球中至少有一个黑球．则下列结论正确的是（ ） A ．P 与R 互斥 B ．任何两个均互斥 C ．Q 和R 互斥 D ．任何两个均不互斥 4．函数lg 2y x x =+-的定义域为（ ）A ．{|2}x x ≤B ．{|0}x x >C ．{|02}x x x <≥或D ．{|02}x x <≤5．已知有图是某NBA 球员连续10场常规赛得分的茎叶图，则该球员这10场比赛的场均得分为（ ）A ．17．3B ．17．5C ．18．2D ．18．46．样本数据4,2,1,0,-2，标准差是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．257．一个算法的程序框图如右图所示，则运行该程序输出的结果为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．458．函数31()f x x x=-的图像关于（ ） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．直线y x =对称 D ．坐标原点对称9．某校采用系统抽样方法，从高一800多名学生中抽50名调查牙齿健康状况．现将800名学生从1到800进行编号，在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33~48这一组中应取的数是（ ） A ．37B ．38C ．39D ．4010．已知函数()f x 式定义在R 上的奇函数，且 (3)()f x f x +=，当(0,1]x ∈时，()2xf x =， 则(8)f =（ ）INPUT xIF x<=0 THEN y=4*xELSE y=4^x END IF PRINT y END A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分11．某单位为了解用电量y 度与x C ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（C ︒） 18 13 10 -1 用电量（度）24343864由表中数据求得线性回归方程ˆybx a =+中2b =-，并据此预测当气温为4C -︒时，用电量的度数约为12．运行右边程序，可求得(3)(2)f f -+的值为13．已知23,38a b ==，则ab =14．已知函数()33x xf x -=-，则不等式(21)(4)0f x f x -++>的解集为三、解答题：15．（本小题满分10分）已知偶函数2()2(0)f x ax bx a =-+≠的一个零点为1． （1）求,a b 的值；（2）求函数(1)y f x =-在[0,3]上的值域．16.（本小题满分12分）同时抛掷两粒骰子，记事件A ：向上的点数是相邻的两个整数． （1）列出试验的所有基本事件，并求事件A 发生的概率()P A ；（2）某人用计算机做随机模拟实验，用Excel 软件的随机函数randbetween （1,6）得到36组随机数如下：第1组 2 2 第13组 5 6 第25组 2 6 第2组 6 5 第14组 1 4 第62组 6 3 第3组 1 3 第15组 2 3 第27组 6 6 第4组 5 3 第16组 5 2 第28组 1 2 第5组 5 2 第17组 1 6 第29组 6 1 第6组 4 5 第18组 4 6 第30组 4 1 第7组 3 4 第19组 3 1 第31组 3 6 第8组 6 5 第20组 4 2 第32组 4 3 第9组 3 4 第21组 3 3 第33组 5 6 第10组 6 4 第22组 4 4 第34组 1 6 第11组 1 2 第23组 6 2 第35组 4 2 第12组15第24组52第36组31试求事件A 的频率()n f A ，比较()n f A 与()P A ，并用统计的观点解释这一现象．17.（本小题满分12分）已知函数()log (1)a f x x =+的图像过点8(,2)9--．（1）若函数()f x 的定义域为]26,1(-，求函数)(x f 的值域； （2）设函数|)2(|)(-=x f x g ，且有)310()2(b g b g -=+，求实数b 的值．B 卷（共50分）18．已知集合}20|{<<=x x A ，集合}|{a x x B <=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 19．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的阴影部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都相等，此人投镖4000此，镖击中空白部分的次数是854此．据此估算：圆周率π约为21．已知**:N N f →是从*N 到*N 的增函数，且2)1(=f ，k k f f 3)]([=，则=)5(f五、解答题：22.（本小题满分10分）已知函数),,1,0()(R c b a a c bx a x f x∈≠>++=（1）若0=b ，且满足1)2(=f ，73)4(=f ，求函数)(x f 的解析式；（2）当2=a 时，若对任意]1,1[,21-∈x x ，恒有4|)()(|21≤-x f x f ，求非负实数b 的取值范围．0.0300.0200.0150.0100.005405060708090100分数组距频率23.（本小题满分12分）统计某校1000名学生数学某单元水平测试成绩，得到频率分布直方图如图所示．已知频率分布直方图估计的平均分为71分，及格率是%80（满分100分，规定不低于60分为及格）． （1）分别求第三、第四组的频率；（2）若从优秀（]100,80[分）、合格（)80,60[分）、不合格（)60,40[分）钟分层抽取20名学生参加座谈会，问合格学生应抽取多少名？（3）在（2）的条件下，这20名参加座谈会的学生对本单元知识个人掌握程度作出估计（评价区间0分~100分，满分100分），得到下列一组数据： 65 78 76 81 99 78 75 84 83 79 75818477828480858284请选择适当的一个数字特征来描述这组数据，并据此评价学生该单元知识掌握情况．24.（本小题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=3)1()(x x ax f 22≤>x x ，R a ∈．（1）当2=a 时，求方程1)(-=x x f 的实数解；（2）若方程13)(-=x x f 有且只有两个实数解，求实数a 的取值范围； （3）已知函数12)()(-+=ax x f x g ，其定义域为]4,2[，求函数的最大值．厦门市2012-2013学年（上）高一质量检测数学试题参考答案 A 卷（共100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1-5：BACDA 6-10：BCDCA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．11. 68 12. 4 13. 3 14. {}1x x >- 三、解答题：本大题共3小题，共34分． 15．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）依题意得：对于任意x R ∈，均有()()f x f x =-， -------------------------1分2222ax bx ax bx ∴-+=++，20bx ∴=恒成立，0b ∴= ---------------------2分由()10f =得20a b -+=，2a ∴=- ---------------------------4分2a ∴=-，0b = ---------------------------5分（若是由()()11f f =-求得0b =，则需说明经检验满足偶函数，否则扣1分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2(1)212y f x x =-=--+，抛物线开口向下，对称轴1x =，---7分则函数(1)y f x =-在[]0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，---------------------8分()()()00,12,36f f f ===-， ---------------------------9分∴函数(1)y f x =-在[]0,3上的值域为[]6,2-. --------------------------10分16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）用（m ，n ）表示同时抛掷两粒骰子的点数，试验所有的结果为：(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) ……………………………..(6,1) (2,2) (3,3) (6,4) (6,5) (6,6) 共有36种， ---------------------------2分 其中满足事件A 的结果为：（1,2），（2,1），（2,3），（3,2）(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，（6,5）共10种。
厦门市2012~2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷及答案
厦门市2012~2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷及答案满分150分考试时间120分钟参考公式：S圆柱侧2 rl S圆锥侧rl S圆台侧(r r )l S球表4 R2114V柱体Sh V锥体Sh V台体h(S SS S ) V球R3333第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．1．已知x 2 ,cosx 1，则sinx （）2A．11 B．C．D．22222．过点(3, 1)且与直线平行的直线方程是（）A．x 2y 5 0 B．x 2y 5 0 C．2x y 5 0 D．x 2y 1 0 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm333334．已知(2,1), ( 1, 3)，则| |等于（）A．5 B．C．5 D．255．对于a R，直线(x y 1) a(x 1) 0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（）A．x y 2x 4y 0 B．x y 2x 4y 0 C．x y 2x 4y 0 D．x y 2x 4y 0 6．设A为ABC的一个内角且sin(AA．222222221正视图侧视图俯视图6) cosA，则A （）6B．4C．3D．27．已知函数f(x) sin(2x4)，则下列命题正确的是（）A．函数y f(x)的图象关于点( C．函数y f(x 4,0)对称B．函数y f(x)在区间(2,0)上是增函数8)是偶函数D．将函数y sin2x的图像向左平移4个单位得到函数y f(x)的图象8．已知圆O:x2 y2 9，直线l与圆O交于M,N两点，且|MN| 4，则（）A．2 B．3 C．4 D．89．设m,n是不同的直线，, , 是不同的平面，有以下四个命题：①// m m//② ③ ④ // m m n m//n// m n// n其中错误的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④10．若圆x y ax by c 0与圆x y 1关于直线y 2x 1对称，则a b （）A．1 B．2221212 C．1 D．55第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．已知圆锥的母线长尾5，底面圆的半径为3，则此圆锥的体积为（结果保留）12．已知cos(x2)1，则cos2x 22213．直线l:y x与圆x y 2x 4y 0相交于A,B两点，则|AB| 14．已知sinx 2cosx，则1x1 tan21x1 tan2215．若圆O1:x y 5与圆O2:(x m) y 20(m R)相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是16．已知a,b,c分别是ABC的角A,B,C所对的边且a 5,b 12,c 13，点I是ABC的内心，若22AI ，则三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是正方形，EA 底面ABCD,FD//EA，且EA 2FD．E（Ⅰ）求证：CB 平面ABE；（Ⅱ）连接AC,BD交于点O，取EC中点G，证明：FG//平面ABCD．FGOBDC18．（本小题满分12分）已知函数f(x) 23sinx cosx 2cos2x 1．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若sin cos19．（本小题满分12分）已知动圆C的经过点A(2, 3)和B( 2, 5)．（Ⅰ）当圆C面积最小时，求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C圆心在直线3x y 5 0上，求圆C的方程．20．（本小题满分12分）设a (x1,y1),b (x2,y2)，定义一种运算：a b (x1x2,y1y2)．已知15，求f( )的值．21281 1(,2), (,1), (, )．242（Ⅰ）证明：( ) ；（Ⅱ）点P(x0,y0)在函数g(x) sinx的图象上运动，点Q(x,y)在函数y f(x)的图象上运动，且满足，求函数f(x)的单调递减区间．（其中O为坐标原点）21．（本小题满分14分）如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点P在底面的摄影为正方形ABCD的中心O，返水口E为BC的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米．冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与地面的夹角落在区间[符合施工要求？,]内，如何设计可使得侧面钢板用料最省且63PCOEBA22．（本小题满分14分）如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，xOP轴于N．（Ⅰ）比较|OM|与3，作PM x轴于M，PN y6的大小，并说明理由；（Ⅱ）AOB的两边交矩形OMPN的边于A,B两点，且AOB 4，求OA OB的取值范围．厦门市2022年-2022年学年（下）高一质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1-5：BAACB 6-10：CCDDB二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.12 12.126 13. 14. 2 15 4 16. 25三、解答题：本大题共6小题，共76分．17．（本题满分12分）证明：（Ⅰ）EA 底面ABCD ，且BC 面ABCD，∴EA BC．--------------------------------------------2分正方形ABCD 中，AB BC，---------------------3分EA AB A，CB 平面ABE. -----------------------------------------5分（Ⅱ ）连接线段OG．在三角形AEC中，中位线OG//AE，且AE 2OG------------------------7分已知EA 2FD，OG//DF且OG DF，-------------------------------------------------------9分即平面四边形DOGF为平行四边形，----------------------------------------------------------------------10分FG//OD,又FG ABCD,OD ABCD，-------------------------------------------------------11分FG//面ABCD. --------------------------------------------------------------------------------------------12分18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）f(x) x cosx 2cos2x 12x cos2x---------------------------------2分2sin(2x6) ---------------------------------------------------------------------------------4分2-----------------------------------------------------------------------6分2113（Ⅱ）sin cos ，sin2 1 -------------------------------------------------------9分2445 3f( ) 2sin(2 ) 2sin2 -----------------------------------------------------------12分122f(x)的最小正周期为T19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，----------------------------------------------------2分圆心C 0, 4 ,半径r1AB -----------------------------------------------------------------------4分222所以所求圆C的方程为：x y 4 5. --------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）法一：因为kAB1，AB中点为0, 4 ，2所以AB中垂线方程为y 4 2x，即2x y 4 0 --------------------------------------------8分解方程组2x y 4 0 x 1得：，所以圆心C为( 1, 2)．-------------------------------10分3x y 5 0 y 2根据两点间的距离公式，得半径r ------------------------------------------------------------11分因此，所求的圆C的方程为(x 1)2 (y 2)2 10. ------------------------------------------------12分法二：设所求圆C的方程为(x a)2 (yb)2 r2，根据已知条件得(2 a)2 ( 3 b)2 r2222( 2 a) ( 5 b) r -------------------------------------------------------------------------------6分3a b 5 0a 1b 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------11分r2 10所以所求圆C的方程为(x 1)2 (y 2)2 10 . ---------------------------------------------------12分20．（本题满分12分）8 1 4 1解：（Ⅰ）p (,2)，m (,1)，依题意得p m (,2)，又n (, )，2 42 4 1∴(p m) n 2 ( ) 0，------------------------------------------------------------------2分42∴(p m) n．---------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ ）OP (x0,sinx0)，OQ (x,y)，1 1由OQ m OP n得(x,y) (x0 ,sinx0 )，-----------------------------------------6分2421 x x 0 24即，----------------------------------------------------------------------------------------7分y sinx 12111消去x0，得y sin(2x ) cos2x ，即f(x) cos2x ------------------10分2222令2k 2x 2k (k Z)得k x k (k Z)------------------------------------11分2函数f(x)的单调递减区间是[k ,k ](k Z) ------------------------------------------12分221. （本题满分14分）解：依题意，钢梁（侧棱）与底面的夹角PBO ．∴OP 10sin，--------------------------------------------------2分则OE，BC ------------4分在RT POE中，PE---6分∴S侧面4A1PE BC 200cos分2------------------------------------------10分1又, ，则sin ----------------------------11分2 63时，S侧面取最小值是-----------------------13分1此时相应cos，ABOP AB OP 米2当且仅当sin时，侧面钢板用料最省- -----------------------------------------------------------------------14分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）法一：记C(0,1)，连接PC，则PC236-------------------------------------------2分依题意OM PN cos60 PC PC------------------------------------------------------------3分OM6- ----------------------------------------------------------------------------------------------4分法二：∵ xOP 显然3即则OM3，∴OM |OP|cos313，------------------------------------------2分26 3，-----------------------------------------------------------------------------------------3分66 ．-------------------------------------------------------------------------------------------------4分6（Ⅱ）设∠AOx ，[0,1]，P(, 422记f( ) OA OB1111⑴当[0,]时，A(,tan ),B(,tan( ))-----------5分__-__ 11f( ) OA OB tan tan( )-----------------------6分44411 tan 11 tan2(1 tan ) 41 tan 41 tan114cos (cos sin )1111 24cos cos sin 21 cos2sin212(1 )4⑵当(-------------------------8分11,]时，A(,tan ),B---------------9分__tan( )41f( ) OA OB tan )-------------------------------10分tan( )41 tan 1 tan2tan ) 1 tan 1tan11cos (cos sin )1 cos2sin21----------------------------------------------------------------------12分1 )4综上，f( ) OA OB f( )在[0,1121 )411 )4( [0,12])( (,])124]增函数，在(,]是减函数，在(,]是增函数，---------13分__-__1 1 ,f() f()f(0) ,f()__-__1 f( ) OA OB [-----------------------------------------------------------------------------14分。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y ∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V==．三棱锥S﹣ABC故选：C．12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S=bcsinA=，所以bc=4，△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的=，知距离，由△ABD的面积S△ABD=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∵△ABD的面积S△ABD∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i+-+- 【考点】复数的计算 【难度】容易 【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i -+-+-+===+++-.【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或B. 0或 3C. 1或D. 1或3 【考点】集合【难度】容易 【答案】B 【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B AA mB m m A m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴=====或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为A. 216x +212y =1 B.212x +28y =1 C.28x +24y =1 D.212x +24y =1【考点】椭圆的基本方程 【难度】容易 【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a=∴椭圆的方程为22=184x y +【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
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厦门市
2012年高中毕业班质量检查
数 学 试 题（理）
注意事项： 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班
级、学号、姓名； 2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间
120分钟。
参考公式：
线性回归方程系数公式：1
2
21
ˆˆˆ,n
i i
i n
i i x y nx y
b
a
y bx x nx
==-===-∑∑ 第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题所给出的四个答案中有且
只有一个答案是正确的。
1．已知集合2
{0,},{1,2}A m B ==，那么“1m =-”是“{1}A B = ”的
（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．如图，已知幂函数a
y x =的图象过点(2,4)P ，则图中阴影部 分的面积等于 （ ）
A ．165
B ．
83
C ．43
D ．23
3．已知1
tan 47
πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则tan α=
（ ）
A ．65
-
B ．1-
C ．34
-
D ．
65
4．执行右边的程序框图，输出S 的值等于 （ ） A ．10 B ．6 C ．3 D ．2
5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为7，据此模型，若广告费用为10元，则预报销售额等于
（ ） A ．42.0元 B ．57.0元 C ．66.5元 D ．73.5元
6．如图，O 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是
（ ） A ．A 1D B ．AA 1 C ．A 1D 1 D ．A 1C 1
7．已知函数(]2
3,[1,2]
()3,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩
，则方程()1f x =的解是（ ）
A 2
B 3
C 4
D ． 4
8．设01(1)n n n x a a x a x +=+++ ，若1263n a a a +++= ，则展开式中系数最大的项
是（ ）
A ．2
15x
B ．3
20x
C ．3
21x
D ．2
35x
9．已知F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，
线段PF 与圆2
22
39c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭相切于点Q ，且2PQ QF = ，则椭圆
C 的离心率等于 （ ）
A ．
3 B ．
23
C ．
2
D ．
12
10．如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得
AC =Rt ACH ∆中解得1
cos 72AC =
︒
，据此
可得cos72︒的值所在区间为 （ ）
A ．（0.1,0.2）
B ．（0.2,0.3）
C ．（0.3,0.4）
D ．（0.4,0.5）
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．已知R α∈，若
11ai
i
+-为纯虚数，则a 的值等于 。
12．已知实数x ，y 满足0
260
x y x x y >⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则2y x +的最小值等于 。
13．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和n S 满足224k k S S +-=，则
k= 。
14．如图ABC ∆中，AD=2DB ，1
,2
AE EC BE =
与CD 相交于点P ， 若(,)AP xAB yAC x y R =+∈
，则x y += 。
15．记函数()f x 的导数为(1)(1)(),()f x f x 的导数为(2)(1)
(),,()n f x f x - 的
导数为()
*()()n f
x n N ∈。
若()f x 可进行n 次求导，则()f x 均可近似表示为：
(1)(2)(3)()23(0)(0)(0)(0)()(0)1!2!3!!
n n
f f f f f x f x x x x n ≈+++++
若取n=4，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数e ≈ （用分数表示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分） 从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球实验，每次摸出一个球，如果摸出
白球，则从袋外另取一个红球替换．．该白球放入袋中，继续做下一次摸球实验；如果摸出红球，则结束摸球试验。
（1）求一次摸球后结束试验的概率P 1和两次摸球后结束试验的概率P 2；
（2）记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.E ξ
17．（本小题满分13分）
如图，A 为双曲线22:1M x y -=的右顶点，平面上的动点P 到点A 的距离与到直线
:1l x =-的距离相等。
（1）求动点P 的轨迹N 的方程；
（2）已知双曲线M 的两条渐近线分别与轨迹N 交于点B ，C （异于原点）。
试问双曲线
M 上是否存在一点D ，满足2
.DB DC DA ⋅= 若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说
明理由。
18．（本小题满分13分） 如图，从山脚下P 处经过山腰N 到山顶M 拉一条电缆，其中PN 的长为a 米，NM 的边
长为2a 米，在P 处测得M ，N 的仰角为45,30︒︒，在N 处测得M 的仰角为30.︒
（1）求此山的高度； （2）试求平面PMN 与水平面所成角的余弦值。
19．（本小题满分13分）
设函数()sin 3cos ()f x m x x m R =+∈，试分别解答下列两小题。
（1）若函数()f x 的图象与直线y n =（n 为常数）相邻两个交点的横坐标为112
x π
=
，
2712
x π
=
，求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间；
（2）当m 时，在ABC ∆中，满足()f A =BC=1，若E 为BC 中点，试求AE 的最大值。
20．（本小题满分14分）
已知函数()ln(1)()f x x kx k R =+-∈ （I ）若()f x 的最大值为0，求k 的值； （II ）已知数列*111
{}1,ln(1)()2
n n n n a a a a a n N +==+-∈满足 （i ）求证：1232n a a a a ++++< ；
（ii ）是否存在*,(0,1]n n N a ∈∉使得，若不存在，请给予证明；若存在，请求出n 。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，
如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵0101,1010M N -⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（I ）求矩阵MN ；
（II ）若点P （0，1）在矩阵MN 对应的线性变换作用下得到点P ′，求P ′的坐标。
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程是()21
x t
t y t =⎧⎨
=+⎩为参数，在极坐标系（与直
角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C
的极坐标方程是2cos ρθ=
（I ）求圆C 的直角坐标方程； （II ）求圆心C 到直线l 的距离。
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =- （I ）解不等式式()2f x >；
（II ）求函数()(5)y f x f x =-++的最小值。