10.解三角形

B
（十）解三角形
【命题解读】
考向1：利用正、余弦定理解三角形（知三求二）
分析定位：根据三角形中已知的边和角，
利用三角函数的诱导公式以及同角、和差角、二倍角公式进行必要的转化，恰当选择正、余弦定理求出未知的边和角，要充分理解和掌握正、余弦定理的公式结构及使用的条件.
例1（2008年海南宁厦卷第17题）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =︒∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求cos CBE ∠的值；
（Ⅱ）求AE ．
分析：从所求结论出发，利用分析法，分别 找出不同三角形内的边角关系.
解：（Ⅰ）因为9060150BCD =︒+︒=
︒∠，CB AC CD ==， 所以15
CBE =︒∠
，cos cos(4530)CBE =︒-︒=
∠
（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理
2sin(4515)sin(9015)
AE =︒-︒︒+︒．
故2sin 30cos15AE ︒
=
︒
12⨯
=
=
总结：若题目中没有图形，则应根据题意画出图形，并借助图形分析解题，主要考查考生数形结合以及运算求解能力.
考向2：利用边角互化求解边与角的取值范围（大多数是边化角，转化成三角函数进行求解） 分析定位：正、余弦定理能巧妙地实现边与角的互化，从而转化成某个内角的三角函数或方程，解题中需要注意各种条件对角的取值范围的限制，如锐角、钝角、最小角等. 例2（2015年全国Ⅰ卷第17题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，
2sin 2sin sin B A C =.
（Ⅰ）若a b =，求cos B ；
（Ⅱ）若90B =︒
，且a = 求ABC ∆的面积. 分析：从条件出发，利用正弦定理进行角化边.
解：（Ⅰ）因为2sin 2sin sin B A C =，根据正弦定理得ac b 22
=，
又因为a b =，所以c b 2=，即4
1
42cos 22222==-+=
c c ac b c a B . （Ⅱ）因为90B =︒
，且a =
，所以222b c =+，
而由（Ⅰ）得ac b 22
=，所以02222
=+-c c ，解得2=c ，
所以ABC ∆的面积为
12
1
=ac . 总结：考生必须熟练掌握正、余弦定理及其应用，主要考查考生的运算求解能力. 【备考启示】
解三角形的题目常考常新，命题素材丰富，其主要解题思路是“先画图后求解”，这是解三角形的本质，而“正、余弦定理，三角形面积公式，平面几何中的重要定理，三角函数公式”等只是三角形中边角关系代数化的工具，开启了用代数方法研究三角形问题的新思路，最终要解决的是三角形的角度、边长、面积等问题.
当其在第17题出现时，已成为解答题能否取得较高分数的分水岭，与广东卷的三角题相比，全国卷更突出思维含量，减少运算量.对恒等变形、逻辑推理、数据处理以及遇到障碍时绕过障碍重新选择思路等方面的能力要求较高，同时还有函数与方程思想，考生的个性心理品质的考查.如：
2010年全国卷第16题：在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =
，AD =
135ADB ∠=︒
，若AC =，则BD = .
分析：先根据题意把图画出来，然后在不同三角形来求解. 设x BD =，则x CD 2=， 在ABD ∆中，x x AB 222
2
++=， 在ACD ∆中，x x AC 4242
2
-+=，
由AC =
，得222AB AC =，整理得0142=--x x ，解得25+=x .
为此，考生备考时，要增强以下两方面能力，
（1）图形分析能力，特别是四边形要分割成三角形时，要明白怎么分割或怎么构造，
A
B
C
D
在哪个三角形内进行解决；
（2）正、余弦定理运用能力，多角度观察和理解正、余弦定理.如：
2016年全国Ⅱ卷第15题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
4cos 5A =
，5cos 13
C =，1a =，则b = ． 此题其实是已知两角及一角对边，求另一边，但这两角并没有直接给出，也不是特
殊角，因此，要先求出A sin 、C sin ，然后再用正弦定理进行求解. 【十年真题】
（A ）组
1.（2013年全国Ⅱ卷第4题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，
π6B =
，π
4
C =，则ABC ∆的面积为
（A ）2 （B 1 （C ）2 （D 1
2.（2016年全国Ⅰ卷第4题）ABC ∆的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =， 2c =，2
cos 3
A =
，则b =
（A （B （C ）2 （D ）3 3.（2016年全国Ⅲ卷第9题）在ABC ∆中，π
4
B =
，BC 边上的高等于BC 31，则=A sin
（A ）
103 （B ）1010 （C ）5
5
（D ）10103 4.（2013年全国Ⅰ卷第10题）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =
（A ）10
（B ）9 （C ）8
（D ）5
5.（2011年全国卷第15题）ABC ∆中，120B =︒，7AC =，5AB =，则ABC ∆的面积 为_________．
6.（2016年全国Ⅱ卷第15题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
4cos 5A =
，5cos 13
C =，1a =，则b = ． 7.（2017年全国Ⅰ卷第11题）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知
sin sin (sin cos )0B A C C +-=
，a =2，c C =
B
（A ）
π12
（B ）
π6
（C ）
π4
（D ）
π3
8.（2017年全国Ⅱ卷第16题）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A c C a B b cos cos cos 2+=,则B= .
9.（2017年全国Ⅲ卷第15题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c.已知C =60°，b c =3，则A =_________.
10.（2007年海南宁厦卷第17题）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．
11.（2008年海南宁厦卷第17题）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =︒∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求cos CBE ∠的值；
（Ⅱ）求AE ．
12.（2009年全国卷第17题）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的,,A B C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求DEF ∠的余弦值．
13.（2012年全国卷第17题）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，
A c C a c cos sin 3-=.
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若2a =，ABC ∆,b c .
14.（2013年全国Ⅱ卷第17题）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，
2,3,1====DA CD BC AB .
（Ⅰ）求C 和BD ；
（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.
15.（2015年全国Ⅰ卷第17题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，
2sin 2sin sin B A C =.
（Ⅰ）若a b =，求cos B ；
（Ⅱ）若90B =︒，且a = 求ABC ∆的面积.
16.（2015年全国Ⅱ卷第17题）
ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，2BD DC =. （Ⅰ）求
sin sin B C
∠∠ ；
（Ⅱ）若60BAC ∠=︒，求B ∠.
（B ）组
17.（2010年全国卷第16题）在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，
135ADB ∠=︒，若AC =，则BD = .
18.（2014年全国Ⅰ卷第16题）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角
60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒
以及75MAC ∠=︒,从C 点测得
60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则
山高MN m.。