n阶行列式的计算方法
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
n阶行列式的计算方法
0 −a12 Dn = −a13 ⋯
−a1n
a12 0 −a23 ⋯
−a2n
a13 a23 0 ⋯
−a3n
⋯ a1n ⋯ a2n ⋯ a3n ⋯⋯
⋯0
由行列式的性质 D = DT
0 −a12 −a13 ⋯ −a1n
a12 0 −a23 ⋯ −a2n
Dn = a13 a23
0 ⋯ −a3n
⋯ ⋯ ⋯⋯⋯
a1n a2n a3n ⋯ 0
0
a12
a13 ⋯ a1n
−a12 0
a23 ⋯ a2n
= (−1)n −a13 −a23 0 ⋯ a3n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯
−a1n −a2n −a3n ⋯ 0
= (−1)n Dn
当 n 为奇数时，得 Dn = −Dn ，因而得 Dn = 0 。 4．利用行列式按行（列）展开
= 1× 4 − 3× 2 = −2
24
120 例 2 计算三阶行列式 D = 4 − 3 8 。
0 −1 2
解：
120 D = 4 − 3 8 = 1× (−3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (−1) − 0 × (−3) × 0 − 2 × 4 × 2 − 1× 8× (−1)
a1
a2 ⋯ x + an
1 a1 ⋯ an
0
Dn = ⋮
Dn
0
1 a1 a2 ⋯ an 第i行减第1行 −1 x 0 ⋯ 0 i = 2,⋯, n +1 −1 0 x ⋯ 0 （箭形行列式）
⋯⋯⋯⋯⋯ −1 0 0 ⋯ x
∑ 1+ n a j
j=1 x
a1
a2 ⋯ an
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
n阶行列式的计算
a1a2 ...an
0 a1a2 ...an (1 1 / ai )
i 1
3
1、递推法
D 例1：计算行列式
2n
an cn an bn dn 0 0 c n 1 0 0 a n 1 0 0 a1 c1 b1 d1
bn
dn
解：D2 n
1 a1 Dn
ri r1
1 1 a2 1
... 1
... ...
1 1 , 其 中a1a 2 ...a n 0
... 1 a n
ai (i 1,...,n) 解 : 第一行的 (1)倍分别加到各行 i列提取公因子
1 a2 0 a1 a1
各列加到 第c一 列 a
r2 n ri c2 n ci
cn 0 0
( 1) 2 n 2 ( 1) 2 n 2
bn1
(andn bncn )D2( n1)
d n 1
(and n bncn )...(a1d1 b1c1 )
4
练习：计算下列行列式
x y 1. D y y y x y y y y x y y y y y x y
x y y y 答 ：x( x y ) ( x 2 y )[ ] x y x 2y x
2
0 1 2 3 1 0 1 2 2、Dn 2 1 0 1 3 2 1 0
2.
0
5
4、注意将公共因子提出 行列式外。
1
x a 8(2)计算行列式Dn a
a ... a x ... a a ... x
解 ： 将 第一行的 (1)倍分别加到各行 , 把行列式化为箭头型
N阶行列式的计算方法
N阶行列式的计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵的线性变换的特征。
N阶行列式的计算方法可以通过多种途径实现，包括展开法、性质法、三角法等。
下面将详细介绍N阶行列式的计算方法。
1.展开法：展开法也是最常用的计算N阶行列式的方法。
N阶行列式可以根据其中的其中一行或其中一列展开成N个N-1阶行列式之和。
以N阶行列式A为例，可以通过以下公式计算：det(A) = a1j * C1j + a2j * C2j + ... + anj * Cnj其中，a1j, a2j, ..., anj 分别是矩阵A第j列的N个元素；C1j,C2j, ..., Cnj 分别是对应元素的代数余子式。
2.性质法：性质法是通过行列式的性质来计算N阶行列式。
行列式有很多性质，包括换行换列、行列秩相等、其中一行列乘以一个常数等。
利用这些性质，可以将N阶行列式变换成简化形式，进而计算行列式的值。
例如，可以通过初等行变换将行列式变换为上（下）三角形，而上（下）三角形行列式的计算非常简单。
此外，还可以使用性质法计算N阶行列式的公式，例如：det(A) = (-1)^(i+j) * Mij，其中，A是一个N阶矩阵，Mij是A删除第i行和第j列后的N-1阶矩阵。
3.三角法：三角法是一种用于计算N阶行列式的简便方法。
它将矩阵进行初等行变换，将其化为上三角阵或下三角阵，然后通过对角线上元素的乘积得到行列式的值。
具体步骤如下：（1）将行列式按其中一行或其中一列展开；（2）通过初等行变换，将行列式化为上三角形或下三角形；（3）计算对角线上元素的乘积，得到行列式的值。
4.克拉默法则：如果N阶行列式的其中一行或其中一列可被向量等式左边的向量线性表出，那么可以使用克拉默法则来计算行列式的值。
克拉默法则通过求解N个方程组，其中每个方程组都将一个未知量用行列式展开的形式表示，最后求解这N个方程组得到行列式的值。
但是，克拉默法则的计算复杂度高，对于大规模的行列式来说，不太适用。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式4231=D 。
解：223414231−=×−×==D 例2计算三阶行列式210834021−−=D 。
解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nn np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。
显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnD λλλλλλ⋯⋱2121==另外nn n nD λλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000n D n n=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n −−，故(1)(2)2(1)!.n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。
行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 001002001000000n D n n=-L LM M M M L L解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
n阶行列式求和公式解释
n阶行列式求和公式解释n阶行列式求和公式是线性代数中的一个重要概念，它可以用来求解n阶矩阵的行列式。
在本文中，我们将详细解释这个公式的含义和应用。
我们需要了解什么是行列式。
行列式是一个数学概念，它是一个n 阶方阵的一个标量值。
行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆，以及计算矩阵的面积、体积等几何量。
n阶行列式求和公式是一个用来计算n阶矩阵行列式的公式。
它的表达式如下：det(A) = Σ(−1)^i+j * aij * det(Aij)其中，det(A)表示矩阵A的行列式，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素，Aij表示矩阵A去掉第i行第j列后得到的n-1阶矩阵，Σ表示对所有i和j的和进行求和。
这个公式的含义是，将矩阵A的行列式分解成n个n-1阶矩阵的行列式之和。
每个n-1阶矩阵的行列式都是由原矩阵中的某一行或某一列去掉后得到的。
这个公式的证明可以使用数学归纳法进行。
这个公式的应用非常广泛。
它可以用来计算任意n阶矩阵的行列式，无论是对角矩阵、上三角矩阵还是任意矩阵。
它也可以用来证明矩阵的可逆性，因为如果一个矩阵的行列式不为零，则该矩阵是可逆的。
n阶行列式求和公式还可以用来计算矩阵的逆矩阵。
逆矩阵是一个矩阵的倒数，它可以用来解线性方程组。
如果一个矩阵A的行列式不为零，则它的逆矩阵可以通过以下公式计算：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)其中，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵，它是矩阵A的每个元素的代数余子式组成的矩阵。
n阶行列式求和公式是线性代数中一个非常重要的概念，它可以用来计算矩阵的行列式、证明矩阵的可逆性以及计算矩阵的逆矩阵。
对于学习线性代数的人来说，掌握这个公式是非常重要的。
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
N阶行列式的几种常见的计算方法
利用范德蒙行列式的结果计算 ｎ 阶行列式． 例 ６． 计算 ｎ 阶行列式
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
Ｄｎ ＝
１＋ｘ２ …
１＋ｘ２ …
… …
１＋ｘ２ …
２
ｎ
１＋ｘｎ １＋ｘｎ … １＋ｘｎ ．
解： 加边得
１ ０ ０ …０
１ Ｄｎ ＝ １２ｎ１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
１＋ｘ２ ＋ｘ２ … ＋ｘ２
ｎ－ １
１ ｘ１ － １ ｘ１ （ｘ１ － １） … ｘ１ （ｘ１ － １）
ｎ－ １
１ ｘ２ － １ ｘ２ （ｘ２ － １） … ｘ２ （ｘ２ － １） ＝
…… … … …
ｎ－ １
１ ｘｎ － １ ｘｎ （ｘｎ － １） … ｘｎ （ｘｎ － １）
# ２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ × （ｘｉ － ｘｊ ）－ １"ｊ＜ｉ"ｎ
·１２·
山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
２００８ 年
就有 Ｄｎ ＝［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］×
１ ｂ ｂ …ｂ ０ ａ－ ｂ ０ … ０ ０ ０ ａ－ ｂ … ０ ＝ …… ……… ０ ０ ０ … ａ－ ｂ ［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］（ａ－ ｂ）ｎ－１．
３ 降阶法
运 用 行 列 式 按 行（ 列） 展 开 的 相 关 定 理 使 高 阶 行列式转化为低阶行列式来计算其值．
将第一列的1倍加到其它各列得dn111?11x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn将此?列式拆分为两项得dnv200?01x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn111?11x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn2x1x2?xn1x1?xn111x2?xn12????1xn?xn1n100?01x11x1x11?xn11x111x21x2x21?xn12x21?????1xn1xnxn1?xn1nxn12x1x2?xn1jinxixjx11x21?xn11jinxixj2x1x2?xnx11x21?xn11jinxixj
N阶行列式的计算方法
N 阶行列式的计算方法
常见方法:
1 加边法
把n 阶行列式变为和与之相同的n+1阶行列式，再通过行列式的性质化简 2 把各行（各列）统一加到某一行（列）上，一般可以把那行（列）提出来 3 逐行（列）相加减
4 行列式 按某行或者某列展开
5 数学归纳找到 n D 和1n D +的关系 转化为 数列问题
6 裂项 把某行（列）拆成2行（列）的和，之后行列式变为两个行列式之和
7 构造 比如利用 如果C AB =，那么C AB A B ==，把行列式里面的矩阵写为两个矩阵的乘积，非别求那两个矩阵的行列式。
常见公式，把行列式化为如下2种形式计算，或基于这两种形式的乘积。
()121111121
11n
j i i j n n n n n a a a a a a a a ≤<≤---=-∏
注意结果的顺序，大角标减小角标，如果忘了的可以写一个2阶的看一下。
（推导过程书上有）
1
232
22233122000000n n n n n n n x a a a b x a b a b b x x x x x x b x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
推导思路
这是一个n 阶行列式，对于除第1列外的2,
,n 列，都进行如下操作 把第j 列的j j b x -倍，加到第1列上，之后会发现第一列中的2,
,n b b 都是0，这
个行列式化为了上三角的形式，直接对角线乘积就好了。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，通常用来表示线性方程组的解的情况。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
1. 代数余子式法：代数余子式法是一种常用的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A的任意元素a_{ij}，求出它的代数余子式M_{ij}，即将第i行和第j列的元素划去，剩下的元素按原来的顺序排列成一个(n-1)阶矩阵，然后计算这个矩阵的行列式。
2) 根据代数余子式的符号规律，得到每个代数余子式的符号。
即当i+j为偶数时，代数余子式的符号为正；当i+j为奇数时，代数余子式的符号为负。
3) 将每个代数余子式与对应的元素相乘，得到n个乘积，并将这些乘积相加，即可得到行列式的值。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种特殊的行列式计算方法，适用于线性方程组的求解。
对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]和一个n维向量B=[b_1，b_2，...，b_n]，假设该线性方程组的解存在且唯一，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A，计算它的行列式D。
2) 对于矩阵A的每一列，将向量B替换到对应的列下，形成一个新的矩阵A'。
然后计算新矩阵A'的行列式D'。
3) 行列式D'除以行列式D，即可得到线性方程组的解。
4. 特殊矩阵的行列式计算方法：对于一些特殊的矩阵，可以使用特定的计算方法来求解行列式。
常见的特殊矩阵包括对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵等。
对于对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化，然后计算对角矩阵的行列式。
对于三角矩阵，行列式的值等于对角线上元素的乘积。
对于反对称矩阵，行列式的值等于0。
行列式的计算方法包括代数余子式法、拉普拉斯展开法、克拉默法则和特殊矩阵的行列式计算方法。
不同的方法适用于不同的情况，根据具体的矩阵形式选择合适的计算方法，可以有效地计算行列式的值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中一种重要的概念，它可以通过不同的计算方法来求解。
下面将介绍几种常用的行列式计算方法。
1. 代数余子式展开法代数余子式展开法是求解行列式的一种常用方法。
对于一个n阶行列式A，可以选择任意一行或一列展开，然后按照一定的规律计算各个元素的代数余子式，并与原矩阵对应元素相乘再求和，得到最终的行列式的值。
假设我们选择第i行展开，则有：det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + … + a_{in}A_{in}a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列的元素，A_{ij}表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式。
2. 公式法对于2阶和3阶的行列式，可以直接使用公式来计算。
对于2阶行列式A，有：对于3阶行列式A，有：det(A) = a_{11}·a_{22}·a_{33} + a_{12}·a_{23}·a_{31} +a_{13}·a_{21}·a_{32} - a_{13}·a_{22}·a_{31} - a_{11}·a_{23}·a_{32} -a_{12}·a_{21}·a_{33}3. 初等变换法对于某些特殊形式的矩阵，可以通过初等变换将其转化为简单的行阶梯形或对角形矩阵，从而方便计算行列式的值。
一般来说，可以通过初等行变换将矩阵A转化为行阶梯形矩阵U，即U =E_k·E_{k-1}·…·E_2·E_1·A，其中E_i是一个初等矩阵。
然后，行列式的值可以通过计算行阶梯形矩阵的对角线元素的乘积得到，即det(A) = u_{11}·u_{22}·…·u_{nn}，其中u_{ii}是U的第i行第i列元素。
4. 递推关系法递推关系法是一种递归地求解行列式的方法。
n阶行列式的若干计算方法
n 阶行列式的若干计算方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000000n D n n=-L LMM M M L L解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算 例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ijji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=， 1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
n阶行列式万能公式
n阶行列式万能公式在数学的世界里，行列式可是个让人又爱又恨的家伙。
特别是当涉及到 n 阶行列式的时候，那更是让人头大。
不过别担心，今天咱们就来聊聊 n 阶行列式的万能公式。
先来说说什么是行列式。
简单来讲，行列式就是一个数学表达式，它可以用来解决很多线性代数的问题。
比如说判断一个方程组有没有解，解是唯一的还是有无数个。
那 n 阶行列式又是啥呢？其实就是一个 n×n 的矩阵所对应的行列式。
比如说 2 阶行列式，就是一个 2×2 的矩阵对应的行列式；3 阶行列式呢，就是 3×3 的矩阵对应的。
以此类推，n 阶行列式就是 n×n 的矩阵对应的啦。
n 阶行列式的计算方法有很多种，其中有一种被称为“按行展开”的方法。
我记得我当初上学的时候，为了搞懂这个方法，可是费了好大的劲。
有一次上数学课，老师在黑板上写了一个 4 阶行列式，让我们自己计算。
我看着那一堆数字，脑袋都大了。
我就按照老师讲的按行展开的方法，一步一步地算。
先选一行，然后把这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式，再把这些乘积加起来或者减起来。
可是我算着算着就乱了，一会儿忘了正负号，一会儿又算错了代数余子式。
我旁边的同桌也和我一样，愁眉苦脸的。
这时候老师走过来，看到我一脸迷茫的样子，笑着说：“别着急，慢慢来。
你看这个元素，它对应的代数余子式应该这样算……”老师耐心地给我讲解，我这才恍然大悟，原来我之前有一步算错了。
经过一番努力，我终于算出了答案，那一刻，心里别提多有成就感了。
说回 n 阶行列式的万能公式。
其实严格来说，并没有一个真正意义上适用于所有情况的万能公式。
但是通过一些方法和技巧，我们可以把复杂的 n 阶行列式转化为比较简单的形式来计算。
比如，如果行列式中有很多零元素，那我们就可以利用这个特点来简化计算。
还有，如果行列式的某一行（列）是另外一行（列）的倍数，那也可以通过一些变换来简化。
另外，还有一种叫做“三角化”的方法。
n阶行列式的一般展开式
n阶行列式的一般展开式行列式是线性代数中的一个重要概念，是一种用来描述矩阵性质的数学工具。
n阶行列式是指由n行n列的矩阵所组成的行列式。
在求解行列式的过程中，一般采用展开式的方法来进行计算，而n阶行列式的一般展开式是求解行列式的一个常用方法。
一、定义n阶行列式是由n行n列的矩阵所组成的行列式，记作det(A)，其中A=(a_ij) (1≤i,j≤n)。
其中，a_ij表示第i行第j列的元素。
二、一般展开式的定义对于n阶行列式det(A)，我们可以通过对其任意一行或一列进行展开，得到n-1阶的子行列式，然后继续对子行列式进行展开，直到得到1阶的行列式。
这个过程叫做行列式的展开。
其中，对于任意一行或一列，我们可以通过其余行列式的代数余子式和其对应元素的乘积来表示。
三、一般展开式的计算以n阶行列式的一般展开式的计算为例，假设我们要对第i行进行展开，则有：det(A)=∑(-1)^(i+j)×a_ij×det(A_ij)其中，A_ij表示去掉第i行第j列的n-1阶子矩阵。
由于n阶行列式的一般展开式可以对任意一行或一列进行展开，因此我们可以对任意一行或一列进行展开。
四、优美语言的运用在行列式的计算中，一般展开式是一个非常重要的方法。
它可以将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算，从而大大简化计算过程。
同时，一般展开式的运用也需要一定的技巧和方法。
我们需要通过观察矩阵的性质，灵活选择展开的行列式，以及巧妙地运用代数余子式和乘积的组合，来求解行列式。
总之，n阶行列式的一般展开式是求解行列式的一个常用方法，它可以将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算，从而简化计算过程。
在计算过程中，我们需要通过观察矩阵的性质，灵活选择展开的行列式，以及巧妙地运用代数余子式和乘积的组合，来求解行列式。
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例 ４ 计算 ｎ阶行列式
ｘ ＋ａｌ ａ２ ’’
ａｎ
ａｌ ｘ＋ ａ２ ’‘ ’ ａｎ
Ｄ ＝ ａｌ
ａ ｚ ’‘ ‘ ａｎ
●
● ● ●
ｌ ａ １＋ｂ ａｎ２＋ｂ … ａ 。＋ｂ Ｉａｌｌ ａｌ２＋ｂ … ａ１ ＋ｂｌ Ｉａｍ ａ∞＋ｂ … ａ ＋ｂ１
１＋
．
ｌ
摘 要 ：行列式是解决线性代数的工具 ，它的产生和最早的应用都是在解线性方程组中 ，现 在的应用范围已拓宽 得 较 为 广 泛 ，成 为数 学 、物理 学 以及 工 科许 多课 程 的 重 要 工 具 。行 列 式 的 计 算 问题 非 常 重 要 ，它 是行 列 式 理论 的重要 组成部分 。特 别是 ｎ阶行列式 的计算 ，学生在 学习过程 中，普遍存在很多困难 ．难 于掌握 。文章介绍 了定义法 、化为 上（下 ）三 角形 法 、降 阶法 、加 边法 、拆 项 法 、递 推 法 、数 学 归 纳 法 。
Ｉａ。１ ａｎ２十ｂ … ａ 十ｂｌ
… ａｌａ＋ｂ … ａ￥ａ＋ｂ
解 ：
Ｄ ＝
Ｊ ｉ １ Ｉ … ｉ １
（ｉ＝２，… ，ｎ） ｛１ ０ ０ … ０ 一ｎ
ｒｌ ： ｒｌ
ｌ ２ ０ ０ －Ｎ ０
（ｉ＝ ２，…
１
ｒ １ 十 ～ ｒ ｎ
ｌｎ－Ｉ —ｎ ０ … Ｏ Ｏ
１＋··一十ｎ ０ … ０ ０
１
０ ··－ ０ 一ｎ
： Ｘ ＋ ａ，ｘ
＋ ａｚｘ “一。 ＋ …
＋
ａ 一
ｌｘ＋ａ ，
（ｎ≥
２）
证 明 ：将 Ｄ 按第 １列展开得
Ｘ 一１ ０ ０ · · ·
０
０ Ｘ 一１ · · · ０
０
Ｄ ： Ｘ Ｏ ０ ０ ··· Ｘ －１
ａ ｎ一１ ａｎ一２ ａ ｎ ３ 一 ａ２ ａｌ＋ Ｘ
关键词 ：ｎ阶行列式 ：线性代数 ：计算方法 ：升降阶法
１利用 行列式 定义直接 计算
例 １ 计算行列式
０ … ０ １ ０
Ｏ … ２ ０ Ｏ
Ｄｏ ＝
ｎ一１ … Ｏ Ｏ Ｏ
０ … Ｏ ０ ｎ
解 Ｄ。中不为零的项用一般形式表示为
ａ¨一ｌａ２ ２… ａｎ ｎａ ｎ！．
１ ２ ３ … ｎ一１ １３
２ ３ ４ ··· ｎ １
Ｄ ＝ ３ ４ ５
１ ２
： ： ： …
●
●
●
ｎ １ ２ ·一 ｎ－２ ｎ－１
ｆ分析】根据行列式的性质 ，先从第 ｎ一１列开始乘 以 一 １加 到第 ｎ列 ，第 ｎ一２列 乘 以一１加到 第 ｎ一１列 ，一 直 到第 一列乘 以一ｉ加到第 ２列 。然后把 第 １行乘 以一１加 到各 行去 ，再将其化 为三角形行列式 ，计算就简单多 了 。
９
０ … 一ｎ ０
ｎ－２ ｎ－１
Ｏ … Ｏ Ｏ ｎ — … Ｏ Ｏ
０ ０ … ０ 一ｎ
０ ０ ··· ——ｎ ０
１ ｎ（ｎ＋１）
ｎ
９
０ ——ｎ ··· ０ ０
——ｎ ０ ··－ ０ ０
收稿 日期 ： ２００９－０５－１８ 作者简介 ：缪应铁（１９８１一 ），另 ，云南宣威人 ，临沧师范高等专科学校数理系助教 ，研究方向 ：几何与代数
［分析 】该行 列式 的每 个元 素都是 由两个数 的和组
ｂ ｂ
ｂ
ａｎ＋ｘＤ
成 ，且其 中有一个数是 ｂ，显然用拆行（Fra bibliotek）法 。 解 ：
ａ ａ ＋ ＋露 ； ｂ ｂ
ａ ＋ ｂ
由此得 递推 公式 ： Ｄ ＝ａ。＋ｘＤ … 利用此递推
ｌ ａｌｌ＋ｂ ａＩ２＋ｂ … ａｌ ＋ｂ
该 项 列 标 排 列 的逆 序数 ｔ （ｎ一１ ｎ一２… １ ）等于
二 ！ 二 ，故
２
‘ ： ：
Ｄ ＝（一１）
ｎ
２化为 三角形行 列式
若能把一个行 列式 经过适 当变换化为三角形 ，其 结果为行列式主对 角线上元 素的乘积 。因此化 三角形
是行 列 式 计 算 中的 一 个 重 要方 法 。 例 ２ 计算 ｎ阶行列式
一 １ ０ …
０ Ｘ Ｏ
０ ０
Ｘ －１ ··· ０ ０ ＋（一１ ａ
且满足 ａ ．＝一ａ ，ｉ，ｊ＝ １，２，… ，ｎ，对任意数 ｂ，求
ｎ阶 行 列 式
ａｌ１＋ｂ ａ１２＋ｂ
ａ２Ｉ‰＋ ｂ ａ ＋ｂ
‰
ａ ｌ＋ｂ ａ．２＋ｂ
Ｏ ０ Ｘ
０ ０ …
Ｘ －１
１ 睾 ａ ａ … ａ ｊ＝ｌ
Ｄ ： Ｏ ｘ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ
［１嘻
５拆行ｆ列）法 由行列 式拆项性质 知 ，将 已知行列 式拆成若干 个
行列式之 和 ，计算其值 ，再得原行列式 值 ，此法称 为
０ Ｏ ０ … ｘ
ａ Ｄ ａ ｎ ｌ ａｎ ２ …
ａ２
拆 行 （列）法 。 例 ５ 设 ｒｌ阶 行 列式 ：
第 １８卷 第 ２期 砌 年 ６月
临沧师范高等专科学校学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｍｃａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ＇Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｖｏ１．１８ ＮＯ．２ Ｊｕｎｅ．２００９
ｎ 阶行 列式 的 计算 方 法
１
ｌ
｝
缪应 铁 ■ ● ●
ｌ
（临沧师 范高等 专科学 校数理 系 ，云 南 临沧 ０７７０００）
公 式 可 得
Ｉ ：ｂ Ｄ ：
… ａ２ｎ＋ｂ
岫‰
Ｄ ＝ ａ ｘＤ．ｒＩ＝ ａ ｘ（ａ １ ｘＤ 一２）
ａ ＋ ａｏ ＩＸ ＋ ｘ２Ｄ 一２
＝ … ＝ ａｎ ＋ ａ￣－ｌＸ ＋ … ＋ ａｌｘ 一１ ＋ ｘ“
４升阶法
升 阶 法 是 在 原 行 列 式 中 增 加 一 行 一列 ，且 保 持 原 行 列 式 不变 的方 法 。
８４
：
．
一
：
一
３递推 公式法
递 推公式法 ：对 ｎ阶行列式 Ｄ 找 出 Ｄ。与 Ｄ 或 Ｄ 与 Ｄ ，Ｄ 之 间的一种关系再 由递推 公式求 出 Ｄ
的方法称为递推公式法 。 例 ３ 证 明
Ｘ 一１ Ｏ … Ｏ
０ Ｘ 一 １ … Ｏ
Ｄ ＝ …
● ● ●