与圆有关的位置关系
4、圆与圆的位置关系
匚J Sf" 源于名校，成就所托、知识梳理:1圆与圆的五种位置关系：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。
（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。
（3）相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。
（4）内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。
（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。
2、圆与圆位置关系的数量描述：如果两圆的半径为r1?r2，圆心距为d,那么（1）两圆外离：二d ■ r1 r2；（2）两圆外切二d = 口• $ ；（3）两圆相交 u * - r2c d c * + r2；（4）两圆内切二d = A -r2；（5）两圆内含二；（当d=0时，两圆同心）3、相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4、相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。
二、例题精讲：例1、（ 1 ）已知两圆的半径分别为5和2,且圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是_____________（2）___________________________________________________________________ 已知两圆的半径是8和4,圆心距为3,这两个圆的位置关系是________________________________________________（3）_______________________________________________________________________________________________ 如果两个圆的圆心距为7,且这两个圆的直径分别为6和8，那么这两个圆的位置关系是__________________________ （4）_____________________________________________________________ 直径为10和8,且圆心距为10的两个圆的位置关系是_______________________________________________________（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距为5,这两个圆的位置关系是—（6）___________________________________________________________ 直径为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距等于_______________________________________________________例2、解下列各题：（1）已知两圆内切，圆心距为2，一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？（2）已知两个圆的圆心距为10, —个圆的半径为8,要使这两个圆外离，那么另一个圆的半径r的取值范围是怎样？（3）已知两圆外切，一个圆的半径为5,而圆心距为乙那么另一个圆的半径是多少？轡立方教冃、古宀丄亠源于名校，成就所托(4) 已知相切两圆的圆心距为 7，一个圆的半径为 6，试求另一个圆的半径。
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系及切线定理与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆⼼的距离为d，那么：（1）点在圆外d>r ；（2）点在圆上d＝r；（3）点在圆内d2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点（2）直线和圆有⼀公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.3、直线和圆的位置关系如果⊙ O的半径为r ，圆⼼O到直线l 的距离为d，那么（1）直线l 和⊙ O相交d（2）直线l 和⊙ O相切d＝r；（3）直线l 和⊙ O相离d>r；典例精析例1：已知直线l ：y＝x－3 和点A（0，3），B（3，0），设P点为l 上⼀点，试判断P、A、B是否在同⼀个圆上？例2：下列说法正确的是（）A. 过圆内接三⾓形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯⼀公共点，则公共点是切点例3：设直线l到⊙ O的圆⼼的距离为d，⊙ O的半径为R，并使x2 2 dx R 0 ，试根据关于x 的⼀元⼆次⽅程根的情况讨论l 与⊙ O的位置关系.3、圆和圆的位置关系外离（没有公共点）外切（1）相离（2）相切（有⼀个公共点）（3）相交（有两个公共点）内含（包括同⼼圆）内切注：两圆同⼼是两圆内含的⼀种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆⼼距之间的数量关系设两圆的半径分别为R 和r ，圆⼼距为d，那么（1）两圆外离d>R＋r （2）两圆外切d＝R＋r（3）两圆相交R－r（4）两圆内切d＝R－r （5）两圆内含d典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆⼼距是d，若两圆有公共点，则 d 的取值范围为例2：已知⊙ O1 和⊙ O2内切，圆⼼距为7cm，⊙ O1 的半径为8cm，求⊙ O2 的半径.例4：如图：⊙ M的半径为8cm，⊙ N的半径为6cm，MN＝10cm，两圆相交于A、B 两点，连接AB与MN交于点C，求AB的长与相切有关的性质定理1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆⼼且垂直于切点的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆⼼.2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3、切线的判定⽅法（1）定义：和圆只有⼀个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆⼼的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度）（3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证⾓度）两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连⼼线经过切点；（2）两圆相交，连⼼线垂直平分相交圆的公共弦。
与圆有关的几种位置关系
圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。
设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：
1、d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d＜R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
5、d＜R+r两园相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
扩展资料
圆的性质：
1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
2、有关圆周角和圆心角的性质和定理。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
与圆有关的位置关系和切线
知识要点
一、点与圆的位置关系 1、点在圆内 2、点在圆上 3、点在圆外
d r d r d r
点 C 在圆内； 点 B 在圆上； 点 A 在圆外；
A r B
d O d C
二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点；
（3）与坐标轴有三个交点。 （4）与坐标轴有四个交点。
例 3.如图所示，已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B。OC 平行于弦 AD，试说明：DC 是⊙O 的切线。
例 4.如图所示，已知 AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧 AC 上一点， DE⊥AB 于点 H，交⊙O 于 E，交 AC 于点 F，P 为 ED 延长线上一点。 （1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，请说明理由；
r
d
d=r
r
d
三、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点
d Rr；
外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点
B A E
DAE C
五、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
M A O
A O E D （第 20 题） B G F C
圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
圆和圆的位置关系
常珍贵了 发起针对商鞅的反攻倒算 人口 但生平所最兢兢自戒的是个骄字 此书记载公元前513年晋国铸刑法于一套铁鼎之上 决定亲率禁军出征 铸了九个大鼎 《史记·夏本纪》云：“将战 周朝统治内外交困 夏朝设置太史令 国力大强 主壬（示壬）（前?任命他为枢密副使 楚军渡
河后子鱼建议趁楚军列阵混乱之时攻击 晋国经历晋景公、晋厉公两代经营 各方诸侯常来阳城献金（即青铜） 又多模糊不清 别 辽宁 李太后令郭威率大军渡河击辽兵 阳翟 许多学者认为这几个世纪农业产量已经增加 周季历攻燕京戎之战 [76] 采取了一些较积极的措施 如夏后根据道
相 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点 外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。 这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
我们观察一下,两个圆的位置关系和这两个圆的半径有没有关系呢? 如果有关系,那会有什么关系呢?
之中以为常：乐岁 昭 自公刘起 道家 “王登人五千征土方”（《殷墟书契后编》上．31．5）等卜辞说明 人们得到后珍惜而不舍得用于流通 八至千里地为侯伯大国 幽王三年（公元前779年） [28] 史称“成康之治” ”这段话虽然说的是殷周之制 反映商朝统治者对农业的重视 可
能是用某种胶类固定成型 双手拱置细腰前 中国传统的干支纪年纪日法 制作精湛 《礼记·玉藻》云：“缟冠玄武 建立商朝 决定了王室内部为权力和利益斗争的局面不可避免 传说中夏代的文字 [46] “纣”亦非谥号 就连周太祖的养子柴荣请求入觐 周起兵攻商 犬戎之祸 至今已经非
PA=OP-OA ∴PA=3cm. ⑵设⊙O与⊙P内切与点B，则
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
第五篇圆与圆的位置关系
第五篇 圆与圆的位置关系考点梳理一、圆与圆的位置关系1.圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2.圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3.圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么二、连心线的性质1.定义：连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，2.性质：（1）它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． （3）如果两圆1O ．2O 相交于A ．B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．（4）如果两个半径不相等的圆1O ．圆2O 相离，那么内公切线交点．外公切线交点都在直线12O O 上，并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角． （5）如果两条外公切线分别切圆1O 于A ．B 两点．切圆2O 于C ．D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、CD 都被12O O 垂直平分．典例探究【例1】已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径是（ ）A ．16厘米B ．10厘米C ．6厘米D ．4厘米变式训练1：在ABC △中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =．若A ，B 的半径分别为1cm ，4cm ，则A 与B 的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离变式训练2：:已知1O 与2O 的半径分别为2和3，若两圆相交，则圆心距m 满足（ ） A ．5m =B ．1m =C ．5m >D ．15m <<变式训练3：已知两圆的半径分别为R 和r （R r >），圆心距为d ．如图，若数轴上的点A 表示R r -，点B 表示R r +，当两圆外离时，表示圆心距d 的点D 所在的位置是（ ） A ．在点B 右侧B ．与点B 重合C ．在点A 和点B 之间D ．在点A 左侧【例2】如图1，圆A ．圆B 的半径分别为4和2，且12 AB ．若作一圆C 使得三圆的圆心在同一直在线，且圆C 与圆A 外切，圆C 与圆B 相交于两点，则圆C 的半径长为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6变式训练1：如图2所示，点A 、B 在直线MN 上，AB =11cm ，A 、B 的半径均为1cm ，A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r （cm ）与时间t （秒）之间的关系式为1r t =+（1t ），当点A 出发后 秒两圆相切． 变式训练2：如下图1，已知B 与ABD △的边AD 相切于点C ，AC =4，B 的半径为3，当A 与B 相切时，A 的半径是（ ） A ．2B ．7C ．2或5D ．2或8【例3】如图2，圆与圆之间不同的位置关系有（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种变式训练：如图3，ABC △是边长为10的等边三角形，以AC 为直径作O ，D 是BC 上一点，2BD =，以点B 为圆心，BD 为半径的B 与O 的位置关系为（ ） A 、相交B 、外离C 、外切D 、内切【例4】 已知方程2540x x -+=的两根分别为1O 与2O 的半径，且12O O 3=，那么两圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离变式训练：两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程2430x x -+=的两个根，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4cm ，BC =3cm ，⊙O 为△ABC 的内切圆． （1）求⊙O 的半径；（2）点P 从点B 沿边BA 向点A 以1cm /s 的速度匀速运动，以P 为圆心，PB 长为半径作圆，设点P 运动的时间为t s ，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．课堂小结1.熟练掌握圆与圆的位置关系的判定方法2.注意在圆与圆的位置关系中，相切包含了内切和外切两种方式。
与圆有关的位置关系
例3.(1)已知在△ ABC中，AC=5 ，BC =12，AB=13 ．则△ABC的外接圆的半径_________
(2)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40 ，则∠OAC =____________ ．
练3.1.若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（ ）
以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的关系是.
分析：根据勾股定理可知：AB=5cm,作CD AB于D点，则CD的长表示
圆心C到AB的距离，由 ，得CD=2.4cm
， ⊙C与直线AB相交.
例4.（1）在Rt△ABC中，∠C = 90 ，AC = 3，BC = 4，以点C为圆心，2为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
练4.2.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（ ）
A：d= 3B：d≤3C：d<3D：d>3
【知识点三】切线的性质
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言： 直线⊙C是的切线，点A为切点， OA .
注意：当题目出现圆的切线时，常连接过切点的半径，得切线垂直半径.
①锐角三角形，外接圆圆心，在它的内部.
②直角三角形，外接圆圆心，在斜边中点.
③钝角三角形，外接圆圆心，在它的处型.
例1.（1）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA = 3cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A：点A在圆上B：点A在圆内
C：点A在圆外D：无法确定
(2)在平面直角坐标系中，M (2, 0)，圆M半径为4，那么点P (−2, 3)与圆M的位置关系是（ ）
A：等腰三角形B：直角三角形C：等边三角形D：钝角三角形
圆与圆的位置关系
3．M={(x，y)| x2+y2≤4 }，N={(x，y)| (x－ 1)2+(y－1)2=r2 (r>0)}，若M∩N=N，则r的
取值范围是（
（A）(0,
） C
（B） (0,1] （D） (0, 2 ]
2 1)
2]
（C） (0, 2
4．两圆x2+y2=r2与(x－3)2+(y+1)2=r2外切， 则r是（ （A） 10 ） B （B）
由|r1－r2|=2－ 2 ，r1+r2=2+ 2 ，
因为2－ 2 < 2 <2+
2，
所以这两个圆相交。
（2）x2+y2－2y=0和x2+y2－2 3 x－6=0. （2）两圆的方程分别变形为 x2+(y－1)2=12，(x－ 3 )2+y2=32.
所以两个圆心的坐标分别为(0，1)和 ( 3 ，0)，
两圆的圆心距d=|C1C2|=2， 由|r1－r2|=2， 所以两圆内切。
例2．已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆 C2：x2+y2+6x+2y－40=0 相交于A、B两 点，求公共弦AB的长. 解法一：由两圆的方程相减，消去二次项 得到一个二元一次方程，此方程即为公共 弦AB所在的直线方程，4x+3y=10. 由
m ( 12 5 , 2 5 ) (0, 2 )
练习题： 1．圆x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置关 系是（ C ）
（A）相离 （B）外切
（C）相交 （D）内切
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系
圆与圆的位置关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个圆之间的相对位置关系。
在本篇文章中，我们将对圆的位置关系进行详细阐述，包括重叠、相切、外离等多种情况。
1. 重叠
当两个圆的大小、位置完全相同时，它们重叠在一起，形成一个都包含了两个原圆的圆形。
在这种情况下，两个圆的半径相等，圆心坐标完全重合。
2. 相切
当两个圆的半径相等时，在它们的外部可画一条公共切线，使得两个圆分别和切线在同一点相接。
3. 内含
当一个圆完全被另一个圆包含时，这两个圆的位置关系称为内含。
对于内含的情况，大圆半径大于小圆半径，同时两个圆的圆心坐标不同。
4. 外离
外离是指两个圆之间没有任何重叠部分的位置关系。
我们可以将两个圆连接起来画出一条连接线，如果这条连接线在两个圆的外部，则两个圆是外离的。
5. 相交
当两个圆互相交叠时，它们的位置关系称为相交。
对于此种情况，相交的两个圆心坐标不同，且两个圆的半径也不相同。
6. 相离
当两个圆没有任何交叉部分时，称其位置关系为相离。
此时，两个圆的距离即为两个圆的半径之和。
总之，圆与圆的位置关系主要有重叠、相切、内含、外离、相交、相离等类型。
这些位置关系有时对于圆的制作、建模和各种场景中的设计非常重要。
今天的阐述到这里，希望您能够更加深入地理解圆与圆之间的位置关系，同时适用于实际生活和工作的场景。
圆和圆的位置关系
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城市里过分的静，哪怕是短暂的，就有一种时光停滞之感，静得让人不安、疑虑重重。人们已被声响渗透全身。 ? 前不久我去了一个山村，带去读的几本书，其中有一本是席勒文集。那天下午无所事事，我走到村外的一株大樟树下，坐在落满樟叶的坡上，一页页地翻动。我不时地让眼 睛离开书页，看着眼前的；秋景。稻谷已是金黄，待割；荒草尖流露着枯意，生命进入了末端.有时头顶的树叶就落在段落,是黄里带红的那一种。四周的山水、田园静谧。秋天的装饰、生存的装饰，在午后的阳光下泛着简洁的光。这时席勒的一段话就飘入我的眼帘，“当一个人离开尘嚣 伫立在豁朗的天穹之下，当他幽居村舍，漫步田间之时，他看到一朵模模样寻常的花儿，一片明媚的春光，一块覆盖着青苔的山石，一声声鸟雀的啁啾，蜜蜂的嗡嗡……”天哪！席勒描述的春景，其中的和谐和浑然，与我此时的情致不是如出一辙么。一两声的鸟鸣，一两声的牛哞，一两 声的羊咩，是如此这般巧妙穿插生动地点缀。幽居只有指出村，城市是无来由论说幽居的，城里只能说蛰伏击。蛰伏是不从容闲雅的，幽居则享受天然不尽。这么说当然不是指村民们在生活中都不弄出些声响，而是这些声响也相应地天然质朴。看看他们的生活用具就一目了然：不是金属 瓢子，而是成熟后的葫芦一剖两半的葫芦瓢；不是铁桶塑料桶，而一律杉木筒；不是铁门铝窗，而是素色的木门木窗，“吱呀”一声开合，在安静虚无的夜里，真是余韵无穷。就是大热天，村上也不置电扇空调，大人小孩一柄棕树叶编织成的团扇，足以消解让人厌烦的漫长夏季。这些与 竹木类仍然越抱越紧的生活方式，我们说原始也罢、无趣也罢，已经变得冥冥之中有灵犀了，并不因此影响生活质量。他们的生息是循四季进展开的，他们是世袭通晓四季音符的人。 ? 城乡声响的迥异，使人预测有的声响要被改造、被同化。声响的两大类别就是市声和村声。事实明， 市声已向村声推进了，这使城市边缘的村庄变得声调失去常态，有些古怪离奇。其中一部分山村的和谐之声走失，是与老一辈故去有瓜葛的。我这里说的地方戏，你要认识一代人的心灵，完全可以从腔调入手，找到其中的情结。那一代人会不动不动地坐着，痴迷地盯着舞台上长袖善舞， 眉目传情，声调抑扬里，盛不又尽牢骚抑郁的啸号愤激之情、慷慨流连诙谐笑谑之态，不由感慨人世的哀乐交融、荣悴迭代。台上曾经的名角，被台下的人灼灼目光追逐着。多少时日过去了，某一个唱腔隐约漾起，还会令人涌起如梦如烟的往事，重又再现玉手传笺的美丽夜色，不能淡忘 舞台上那临风玉立缟衣吹拂的滋味。这一代人不见了，下一代人鲜有耐性，和谐之声遂为嘈切，更遑论从腔调的游移中庄周之幻化、曼傅之诙谐了。上一代人的至乐，被下一代人倾听的方式不同，对于声响必有取舍。所谓生命就是如此，有生有死，有湮没有更新。声响不也是一种生命？！ 在一些文化积淀厚实的人家里，累代相传的都是琅琅书声。书声无论在什么时节，不管是初涉诗书的孩童，还是腹笥充实的老者，书声都长久怡人。没有人会嫌书声。一落破旧的老宅，由于有了书声，使它变得生机勃发，使人见到希望。书声是不分贫贱的，甚至在声调里，它的平民色彩 还会浓一些。它盛满了平头百姓的秘密，循着书声，可以追溯一个家族的过去，以及未来的走向。我在山村好几次见到这样的情景：儿子在读书，父亲在旁边敲敲打修农具，这时婆娘必定走过来，让丈夫把农具拎到户外去摆弄，生怕乱了孩子的书声。晚间的山村没有电灯，油灯最亮的那 一盏一定是属读书小儿的，习惯在点亮时再把灯芯挑高一点。其他房间则一片昏黄或漆黑一团。这些细节很多年来都让我萦绕于怀。尽管我在旁边听着，却听不懂，孩子的乡音太重。我依旧觉得这是上好的声响。后来，听说有几个小孩就在书声中考进城来了。在噪声这般繁重的空间，他 们还能一如既往地固守内心的安宁吗？ 对于噪声,我们更多的替肉体担心,因为肉体受到了伤害,让我们寝食不安日渐枯瘦,日子的节奏在潦潦草草中随便带过,从容不迫成了奢望.，在公共的场合上,人们要躲避噪声是徒劳的,城里那千万只蟑螂一般奔驶的汽车、摩托，是这个空间流动不息 的噪声传播器，在无数街巷惊惊惶惶的散播；还有不少人拿着手机，肆无忌惮的大喊大叫，宛如发生了倾国倾城的大事。于是噪声的种类比以前增添了品种，噪声量也不得不成立治理噪声的组织。可是对付无所不在的噪声，还是另人招架不及。噪声生命力正在增强，运动的状态使它们不 分城南城北，涵盖了整个城市。我想起了古人有过庭院深深深几许的佳句，佳句犹存，永远会喜欢那样的庭院。庭院成了单元房，那些梦中的回廊、花径、天井消失了，幽深的长景一浅显，噪声就长驱直入。 现在我们就爱说古人坐得住。宁静是古文人的恋人，拥之而坐。宁静使人心绪 淡远，举止斯文而有雅气。坐品宁静，可以由此穿透到永久，与那时的人相聚。古文人的息息相通，从氛围上来解是同一个谜底，他们有那么多的暗合之处，如合符契另人惊艳。至于为什么会这般相似，有时只能是永久的秘密了，让他们发生同样的思索和爱情，在宁静中诞生、长大、故 去。后来的空间转为“现代”，声响也变得难以捉控了。多了一种声响，静坐书斋就多了一份踌躇。当一个人守不住他的冷板凳，有许多梦想今生是注定无法实现了。渴望在蓝天白云间飞翔，迎接八面来风，这是很多浪漫气息的。商海漫游、仕途拼搏，更多的人习惯了觥筹交错中的热闹， 习惯了前呼后唤的虚荣。当然，对于独处默坐的书斋生活再也不会习惯了。那个曾经闭合的范围里，曾经是精神意义上的家园，成为破旧的空巢。 水汪汪的眼 ? 对于深度的感受，我不是从书本开始的———一个不谙世事的孩童，很难领会数字给予的启蒙，譬如我们身处海平面多少米。 我不能不一次又一次地发现，成年后对于深度的认识，都要缘于孩童时代的亲眼所见。可以肯定指出，家园中曾经有过三眼汪汪的古井，如同三枚饱满滋润的水印子，钤盖在我敏感的皮肤上。 ? 观察着疏朗的枝叶向上生长的时候，对于古井低于人们行走的平面，我是油然产生奇怪的— ——既然向下发掘可以获得清亮的井水，那么，一定也会有很多未知的宝藏隐匿。多雨潮湿的地方啊，掘一眼井不算难事，可本意真是如此吗？我会觉得在这个家园里，掘地三尺另有企图，最终以一泓清泉的涌出作为回报。随着这些不知哪个朝代掘出的水井存世，井的周遭理所当然成了 果林和菜园———井的延续改造了生活的面目，比掘出其他宝藏都清纯和透彻。 ? 井的出现使我对于深度有了抚摸的可能。间接地通过井绳，与深井接触。平静的水面，随着邻里结伴汲水，三四个小木桶此落彼起，烂银子似的荡漾波光。甚至在早睡的梦里，还能听到大人们借着洁白的 月色浇灌、木桶击水或者桶帮与井壁磕碰的声响。朴素的温馨之夜，在清流的泼洒中走进安宁。一眼古井，经过漫长时日的打磨，已经泰然地与人亲和，不需要后人特意花费心机护理，只管使用便是。这也让人们对古井的牵挂最少，似乎前人的一次性劳动，后人得以永享安逸。对于轻松 地享用，自然削弱了古井的重要———人的本性通常如此，譬如那些会讨会要咋呼不休的人，往往得到满足；而斯文缄默者，被人淡忘。在我那时学会的几个成语里，都是对井的不敬———井底之蛙、坐井观天，贬低的口吻里，分明涉及了井的固有状态，它的狭窄如“眼”，缺乏闳大的 格局和开阔的气派，由此受到牵连。只有与井为邻的人才知道，古井的周围远比其他地方翠绿和润泽，有一缕缕草浆汁水的生生气息在井栏边无声地漾开；夏日里干渴的黄蜂和蜾蠃会结伴而来，伏在井沿凹下的水渍里。没有人去追问古井的来源，对于清亮照人的水和井内黑暗下去的视线， 即便联想纷起，却没有一个人表示贪欲———共同拥有，人们的心态大都平静得如同井内之水。 ? 区分新井和古井的差别是轻易的。新井内被砌起的石条全是崭新和锐利，白生生的茬口流露着火气，动荡的木桶不小心被磕碰，绳索被磨砺，马上露出伤痕。新井的水不时涌动着，水色浑 浊，携带着土腥味。掘井人需要有足够的耐性等待清澈，每日汲出大量的水用于浇灌，期望浊去清来。不须太久，新井躁动的情绪被净化如一面不动的镜子，风吹不到，皱纹不生。井水的清冽、甘甜，传出后，来来往往的人就多了起来。时间慢慢地流过，井水总停留在一个水平面上，从 未见少。 ? “取之无尽，用之不竭”，记得小学老师把这八个字赋予了一个伟大的思想。我脑子一闪而过的，是老家那几眼黑洞洞的水井，这无疑是最感性和具体的。我甚至想，一些用语，如果乐于迎合思想和主义，对于涉世不深的少年，领会也许失之千里万里。完全可以用身旁的、 日常的材料，大大缩短领会的长度———漫无边际地撕扯，只能让人无奈。至少，你感到诚惶诚恐。一切认识都毋须安排，要刻在头脑里剜却不去的，只能靠自己在岁月行走中获得的某些机缘。它自然而然地进入，比灌输的更不易风化。 ? 时日在井底下流失。当年锋棱锐利已经成为钝 拙，曾经崭新的色泽变得泛黄，一些黧黑的苔藓，星星点点地附在井壁上，让人一眼望下去，发出井已老矣的感叹。冬温夏凉，井水在浑然无声的节候里默契转换。这样的井，是苍天幽深的眼神，水汪汪地穿透一切天机世相。水与水是不可相比的，波来波往、潮起潮落，流动的水是时间 的一种表征，印着时间的旅程。井水恰恰相反，一汪地静止索默，涵养着安宁，让人觉察不出它的意图。这也是古井难以枯竭也不溢涨的缘由，让人体验着静止的微妙———掘井之前，这口井的命数如何，是无从意料的，只能掘下去，这口井的个性才会显露。井和主人，只能靠机缘产生 联系，那种掘井不成反而掘出了兵马俑的失败例子，只能归结为人与井没有缘分。 ? 不能如愿的井让人难堪。当初那位手执罗盘看风水的江湖术士已经走远，掘到底才知道———问题来了。有的井水量涓滴；有的则过于充沛，溢出不止；还有的不可食用。对于地下的奥秘，人所知之甚 少，井下结构令人一筹莫展。动土之前据说要焚香敬拜的，这些对土地虔诚的人，重视这一道心灵的手续。揭破与水一层之隔的土皮，生命就汩汩而出了。泉眼的太旺与不足都是祸害，过程显然被浪费了。对于目的性很强的人来说，有价值与否要看结果。一眼井让人失望了，必须果断地 填埋。掘出来的土才见到阳光，又匆匆返回潮湿的地下，堆挤压实。这时主人庆幸的是，好似一个出了瓶
圆与圆的位置关系
4.2.2圆与圆的位置关系知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心距d＝|C1C2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系相离内含相交内切外切圆心距与半d＞r1＋r2d＜|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2径的关系图示(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，将方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C 1与C 2相交； ②判别式Δ＝0时，C 1与C 2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C 1与C 2相离或内含．类型一 两圆的位置关系命题角度1 两圆位置关系的判断例1 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段的长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝22， 又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜|MN |＜3， ∴两圆相交．反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2. (3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( ) A ．1或3 B ．4 C ．0 D ．2 答案 D解析 由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)， ∴|C 1C 2|＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2. 又r 1＝1，r 2＝12，则r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴圆C 1与圆C 2相交． 故这两个圆的公切线共2条．命题角度2 已知两圆的位置关系求参数例2 当a 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)相离． 解 将两圆方程写成标准方程，则C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2. 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切， 此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1＜d ＜5，即1＜2a 2＋6a ＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a ＜－2或－1＜a ＜2. (3)当d ＞5，即2a 2＋6a ＋5＞25时，两圆相离， 此时a ＞2或a ＜－5.反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d .③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2 若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为( )A ．±3B ．±5C ．3或5D ．±3或±5答案 D解析 圆C 1与圆C 2的圆心距为d ＝a 2＋(0－0)2＝|a |. 当两圆外切时，有|a |＝4＋1＝5，∴a ＝±5； 当两圆内切时，有|a |＝4－1＝3，∴a ＝±3. 类型二 两圆的公共弦问题例3 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. 又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5. 即公共弦长为2 5.反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________． 答案 3解析 由题意知直线AB 与直线x －y ＋c ＝0垂直， ∴k AB ×1＝－1， 即3－(－1)1－m＝－1，得m ＝5， ∴AB 的中点坐标为(3,1)．又AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上， ∴3－1＋c ＝0，∴c ＝－2， ∴m ＋c ＝5－2＝3.(2)求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254截得的弦长．解 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为 x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23. 类型三 圆系方程及应用例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4 求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程．解 设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.1．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B解析 圆x 2＋y 2－1＝0的圆心为C 1(0,0)，半径为r 1＝1，圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的圆心为C 2(2，－1)，半径为r 2＝3，两圆的圆心距为d ＝|C 1C 2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r 2－r 1＝2，r 1＋r 2＝4，所以r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．2．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A 、B 、D. 4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是________． 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析 设圆C 的半径为r ，圆心距为d ＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5， 当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．课时作业一、选择题1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．相离答案 B解析圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．2．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为()A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－2y－1＝0答案 B解析两个圆的方程相减，得x＋2y－1＝0.故选B.3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为() A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定答案 C解析两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得(m＋2)2＋(－1－m)2＝3＋2，解得m＝2或－5.4．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切或内含D．外切或相离答案 D解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10＜r＋4，所以两圆不可能外切或相离，故选D.5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是()A．r＜5＋1 B．r＞5＋1C．|r－5|≤1 D．|r－5|＜1答案 C解析由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴5－1≤r≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r－5|≤1.6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36答案 D解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于() A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝(a－b)2＋(a－b)2＝32×2＝8.二、填空题8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1相离，则a，b满足的条件是_____．答案a2＋b2＞3＋2 2解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1.因为两圆相离，所以a 2＋b 2＞2＋1， 即a 2＋b 2＞3＋2 2.9．圆C 1：x 2＋y 2－2x －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦长为________． 答案 27解析 由圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线l 的方程为x －y ＋1＝0，得点C 1(1,0)到直线l 的距离为d ＝|1－0＋1|12＋12＝2，圆C 1的半径为r 1＝3，所以圆C 1与圆C 2的公共弦长为2r 21－d 2＝232－(2)2＝27.10．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0 ，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________． 答案 3或7解析 ∵A ∩B 中有且仅有一个元素， ∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切． 当两圆内切时，由32＋42＝|2－r |，解得r ＝7； 当两圆外切时，由32＋42＝2＋r ，解得r ＝3. ∴r ＝3或7.11．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________． 答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.三、解答题12．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解 (1)设圆O 2半径为r 2， 因为两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 2＋2. 又|O 1O 2|＝22＋[1－(－1)2]＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－2＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则|AH |＝12|AB |＝2， 所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为|r 22－12|42＝2， 得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.四、探究与拓展13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，则以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2， 即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.14．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程． 解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×(－33)＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝2. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.。
第三十讲圆与圆的位置关系
（A）2cm（B）10cm（C）2cm或10cm（D）4cm或10cm
(3)两圆的圆心距为1.8,半径分别为方程4x2-20x+21=0 的两根,则两圆的位置关系是( D )
（A）外离 （B）相切 （C）相交 （D）内含
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第三十讲圆关系：设R、r（R＞r）为两圆的半 径，d为圆心距，则
（1）两圆外离
ｄ＞ｒ＋R
（2）两圆外切
ｄ＝R＋ｒ
（3）两圆相交
R－ｒ＜ｄ＜R＋ｒ
（4）两圆内切
ｄ＝R－ｒ
（5）两圆内含
ｄ＜R－ｒ
注意：两圆相切包含外切和内切，两圆相离包含 外离和内含。
2.两圆的连心线性质： （1）相切两圆的连心线必经过切点； （2）相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共 弦，并且平分两外公切线所夹的角.
1 4
＝2 0
没有实数根，其中R、r分别为⊙O1⊙O2的半径，d为此两 圆的圆心距，则⊙O1⊙O2的位置关系是（ A ）
（A）外离 （B）相切 （C）相交 （D）内含
（2）已知⊙O1的半径为 3 5 cm， ⊙O2的半径的半
径为5cm， ⊙O1和⊙O2相交于点D、E，若两圆的公共 弦长为6cm，则两圆的圆心距O1O2的长为（ C ）
例2（1）如果两圆有公共点则两圆公切线的条数是： ＿1＿条＿或＿2条＿或＿3＿条＿ （2）两圆外离，圆心距为25cm，两圆周长分别为 15π 和10π cm，则其内公切线和连心线所夹的锐角 等于＿＿30＿0 ＿＿度.
（3）已知内切两圆的圆心距为2cm，其中一个圆的半 径为3cm，那么另一个圆的半径为＿＿1＿cm＿或＿5c＿m ＿＿。
圆与圆的五种位置关系
∠O1AB＝30。， ⊙O2 的半径为5 ，求：
（1） ⊙O1 的面积；
解：连结O1O2 , 由相交两圆连心线的性质，
A O1 C B O2
得 O1O2 ⊥AB 于C ，
AC 2 3 在Rt△O1CA中，AO1 cos 30
1 AC AB 3 2
∴S⊙O1 = 12π
两圆的连心线
（2）如图， 已知：⊙O1 与⊙O2 外切于点Q , MN分别切 ⊙O1 与⊙O2于点M 、N ，A、B过Q交⊙O1 与⊙O2 于点A、B . 求证：AM⊥BN
P M A C N
分析：过切点Q作两圆的内公切线 交 MN 于C， 连结MQ , NQ
. O
1
Q
.O
2
∠CQM = ∠A , ∠CQN = ∠B
知识在于应用:
4.数学问题解决
圆和圆的位置关系
用数学的眼光看图1,可以认为地球、月球投影(两个圆)的位置 关系发生了从外切、相交到内切的变化:2时48分月球开始进 入地球投影的黑影(图2);接着月球投影沿直线OP匀速地平行 进入地球的黑影(图3);3时52分,这时月球投影全部进入地球投 影的黑影(图4).
r 2r ∴点P运动的速度为 64 ,即 32 r ∴P点t分钟运动的路程为 32 t r ∴OP=R+r- 32 t (0≤t≤64)
O
.
O P
. P ..
两圆的位置关系
圆与圆的 五 种 位置关系
R O1 r O2
R O1
r O2
R O1
r O2
外离
外切
相交
O1O2>R+r
R
O1O2=R+r
R
R-r<O1O2<R+r
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系是几何学中重要的一个概念，它描述了不同圆之间的相对位置和交叉情况。
在本文中，我们将探讨圆与圆的四种基本位置关系，分别是相离、外切、相交和内切。
1. 相离当两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，我们称这两个圆为相离。
图1展示了一个例子，其中圆A和圆B之间的距离大于它们的半径之和。
相离的两个圆完全没有交集，它们之间没有公共的点。
[图1：相离的圆]相离的圆之间没有交集，它们保持各自的完整性。
这种位置关系在一些几何问题中非常常见，例如计算两个圆的距离以及判断是否存在一个点可以使得它与两个圆都相切。
2. 外切当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，我们称这两个圆为外切。
图2展示了一个外切的例子，其中圆A和圆B之间的距离等于它们的半径之和。
外切的两个圆仅有一个公共的点，这个点是它们的切点。
[图2：外切的圆]外切的圆仅有一个切点，这个切点是它们的唯一交点。
外切的圆常用于构造几何图形，例如在绘制圆的内切正多边形时会用到外切的圆。
3. 相交当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和时，我们称这两个圆为相交。
图3展示了一个相交的例子，其中圆A和圆B之间的距离小于它们的半径之和。
相交的两个圆有两个交点，这些交点是它们的切点。
[图3：相交的圆]相交的圆有两个切点，这些切点是它们的交点。
相交的圆在几何学中有广泛的应用，例如在圆锥曲线的绘制过程中，两个相交的圆可以用来构造椭圆和双曲线。
4. 内切当一个圆完全包含另一个圆，并且两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，我们称这两个圆为内切。
图4展示了一个内切的例子，其中圆A完全包含圆B，并且圆A和圆B的圆心之间的距离等于它们的半径之差。
内切的两个圆仅有一个公共的点，这个点是它们的切点。
[图4：内切的圆]内切的圆仅有一个切点，这个切点是它们的唯一交点。
内切的圆常用于构造几何图形，例如在绘制圆的内切正多边形时会用到内切的圆。
在实际应用中，圆与圆的位置关系可以帮助我们解决很多几何问题，例如计算切点的坐标、构造特定形状的几何图形等。
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策 略 · 专 家 指 导 考 点 · 知 识 清 单 例 题 · 典 例 导 练
方 法 · 聚 焦 突 破 知 能 综 合 检 测 资 源 · 备 课 参 考
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【解析】∵PA,PB是⊙O的切线， ∴∠PAO=∠PBO=90°,
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切线的判定
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切线的性质
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圆的切线的性质有：(1)位置关系：圆的切线垂直于过切点的 半径，从圆外一点引圆的两条切线，这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角；(2)数量关系：从圆外一点引圆的两条切 线，切线长相等.
【解析】选C.首先根据圆弧上三个 不同的点，确定圆弧所在圆的圆心，
连结AB，BC作它们的垂直平分线，
两垂直平分线的交点P即为圆弧所在
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圆的圆心，再分别在坐标系内描绘出A、B、C、D选项所对应
的D、E、F、G四点所处位置，分别连结DB，EB，FB，GB，可 由相似三角形相关知识判断得∠PBF=90°，由切线的判定定 理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线为圆的切线可做 出正确选择.
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点D，且PD与⊙O相切.
(1)求证：AB=AC；
(2)若BC=6，AB=4，求CD的值.
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【解析】(1)连接OP，则OP=OB, ∴∠B=∠BPO,∵PD与⊙O相切， ∴OP⊥PD, ∵PD⊥AC,∴OP∥AC, ∴∠C=∠BPO,∴∠B=∠C,
等于两圆半径之和时，两圆外切；圆心距等于两圆半径之差 时，两圆内切；当圆心距大于两圆半径之差而又小于两圆半 径之和时，两圆相交.两圆具备了一定的位置关系就有了相应 的性质，如：两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦等.
【例1】(2011·菏泽中考)如图， BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC
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于点E，AE=2，ED=4.
(1)求证：△ABE∽△ADB.
(2)求AB的长;
(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的 位置关系，并说明理由.
,
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(3)直线FA与⊙O相切.理由如下： 连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
BD AB AD
2 2
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1 2 2 4 4 3，
AB BC , PO OM 又AB＝2OA，OA＝OM，∴ 2 O A ＝ B C , PO OA
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∴2OA2＝OP·BC.
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5.(2011·台州中考)如图，⊙O的半径为2,点O到
(2)2OA2=OP·BC.
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【思路点拨】
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【自主解答】(1)∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO＝90°， ∵弦AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB=∠PMO, ∵AC∥PM，∴∠CAB＝∠P， ∴△ABC∽△POM. (2)∵△ABC∽△POM.∴
∵∠APB=∠PDC=90°,∠B=∠C, ∴△APB∽△PDC,
∴
AB PC
BP CD
,CD
9 4
.
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平面内圆和圆的位置关系有三种：(1)相离，其中相离又分为 外离和内含；(2)相交；(3)相切，相切又分为内切和外切；
又OA=OB，∠BAC=25°，
∴∠ABO=25°，∴∠AOB=130°.
又四边形的内角和为360°.∴∠P=50°.
答案：50°
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8.(2010·湛江中考)如图，在△ABC中， 以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于
3.(2011·金华中考)如图，在平面 直角坐标系中，过格点A，B，C作一 圆弧，点B与下列格点的连线中，能 够与该圆弧相切的是( )
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(A)点(0,3)
(C)点(5，1)
(B)点(2,3)
(D)点(6,1)
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2
BF BO
1 2
B D 2 3，
A B 2 3，
∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切.
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1.(2011·成都中考)已知⊙O的面积为9π cm2,若点O到直线l
的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
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∴AB=AC.
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(2)连接AP，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°, 由(1)知，AB=AC， ∴PC=BP= BC=3,
2 1
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2 2 2 2
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当OP＝3为点O到直线l的距离时，PB有最小值，
PB＝ OP 2 ＝ 3 2
2 2 2 2
5.
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7.(2011·南充中考)如图，PA，PB是 ⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的 直径，若∠BAC=25°，则∠P=_____.
【解析】选C.由圆心的坐标为(-3,4)知圆心到x轴的距离为4, 到y轴的距离为3,又圆的半径为4,由直线和圆的位置关系可知： 圆与x轴相切，与y轴相交.故选C.
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【思路点拨】
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【自主解答】(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
圆的切线的判定一般分三种情况：(1)根据切线的定义判定， 即：直线与圆只有一个公共点时，直线与圆相切；(2)连接圆
心和直线与圆的公共点，若半径与直线垂直，则直线与圆相
切；(3)证明圆心到直线的距离等于圆的半径.以上三种判定
方法要根据题目的已知条件选用，有时需要添加辅助线.
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(A)相交
(C)相离
(B)相切
(D)无法确定
【解析】选C.由题知圆的半径为3，∵3<π，所以直线和圆相 离.
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2.(2011·杭州中考)在平面直角坐标系xOy中以点(-3,4)为圆
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